대단원 평가	Ⅰ. 다항식								1학년
❍❍고등학교		일시:		반:		번호:		이름:

1

다항식 [eqn: LEFT ( x^2 +x +1 RIGHT ) LEFT ( x^2 +x-2 RIGHT )]를 전개한 식이

[eqn: ax^4 + 2x^3 +bx ^2 +cx -2]일 때, [eqn: a-b+c]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

2

두 다항식 [eqn: A = x ^2 -x+1], [eqn: B= `-x^2 +2x -3]에 대하여 [eqn: A ast B = 2A +B], [eqn: A STAR B= A-2B]로 정의할 때, [eqn: A star LEFT ( B astA RIGHT )]를 계산하면?

① [eqn: x^2 -2x +3]	② [eqn: x^2 +5x +1]

③ [eqn: 3x^2 -2 x+3]	④ [eqn: 3x^2 -7x +11]

⑤ [eqn: 3x^2 -11 x +9]

3

다항식 [eqn: left( 1 + x+ 2x^2 +`cdots`+100x^100`)^2`]의 전개식에서 [eqn: x^3`]의 계수를 구하여라.

4

등식 [eqn: x ^{3} +1= LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT ) LEFT ( x- gamma RIGHT )]가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3}]의 값은?

(단, [eqn: alpha ,``` beta ,``` gamma]는 상수이다.)

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

5

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} +4x ^{2} -ax+5]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지와 [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지가 같도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

6

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx-12]는 [eqn: x-2]로 나누어떨어지고, [eqn: x-3]으로 나누면 나머지가 [eqn: 12]일 때, 상수 [eqn: a,```b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

7

다항식 [eqn: f(x)=x ^{4} +ax ^{2} +b]가 [eqn: (x+1)(x- sqrt {2} )]로 나누어떨어질 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

8

다음 중 [eqn: x ^{2} -y ^{2} -x+y]의 인수인 것은?

① [eqn: x+y]	② [eqn: x+y+1]	③ [eqn: x-y+1]

④ [eqn: x+y-1]	⑤ [eqn: x-y-1]

9

삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a,~b,~c]에 대하여
[eqn: b^2 -ba -c^2 +ca=0]이 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하여라.

10

부피가 [eqn: LEFT ( x ^{3} -3x-2 RIGHT ) pi], 겉넓이가 [eqn: 2 pi LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( bx-1 RIGHT )]인 원기둥의 높이와 밑면의 반지름의 길이는 각각 일차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 일차식이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

Ⅰ. 다항식

대단원 평가 정답 및 풀이

1 답 ③

[eqn: x^2 +x =t]로 놓으면

[eqn: LEFT ( x^2 +x +1 RIGHT ) LEFT ( x^2 +x -2 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( t+1 RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT )]
[eqn: = t^2 -t -2]
[eqn: = LEFT ( x^2 +x RIGHT )^2 - LEFT ( x^2 +x RIGHT )`-2]
[eqn: = x^4 + 2x^3 +x^2 - x^2 -x-2]
[eqn: = x^4 +2x^3 -x -2]
[eqn: = a x^4 +2 x^3 +bx^2 +cx-2]

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=0], [eqn: c=`-1]이므로  [eqn: a-b+c =0]

2 답 ④

[eqn: B astA][eqn: =2 B +A]
[eqn: = 2 LEFT ( -x ^2 +2x -3 RIGHT )`+ LEFT ( x^2 -x+1 RIGHT )]
[eqn: =`-x ^2 +3x -5]

[eqn: therefore] [eqn: A star LEFT ( B ast A RIGHT )][eqn: = LEFT ( x^2 -x+1 RIGHT ) star LEFT ( -x ^2 +3x -5 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x^2 -x +1 RIGHT )`-2 LEFT ( -x^2 +3x -5 RIGHT )]
[eqn: = 3 x^2 -7x +11]

3 답 [eqn: 10]

[eqn: (1+x+2x ^{2} + CDOTS +100x ^{100} ) ^{2}]

[eqn: =(1+x+2x ^{2} + CDOTS +100x ^{100} )]

[eqn: (1+x+2x ^{2} + CDOTS +100x ^{100} )]

이 식의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]항은
[eqn: 1ᐧ3x ^{3} `+xᐧ2x ^{2} `+2x ^{2} `ᐧx+3x ^{3} `ᐧ1=10x ^{3}]

따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: 10]이다.

4 답 ➀

주어진 등식의 양변에 [eqn: x= alpha]를 대입하면

[eqn: alpha ^{3} +1=0`````````` THEREFORE ` alpha ^{3} =-1]

양변에 [eqn: x= beta]를 대입하면

[eqn: beta ^{3} +1=0``````````` THEREFORE beta ^{3} =-1]

양변에 [eqn: x= gamma]를 대입하면

[eqn: gamma ^{3} +1=0```````````` THEREFORE gamma ^{3} =-1]

[eqn: THEREFORE ` alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3} =-3]

5 답 ④

[eqn: f(x)=x ^{3} +4x ^{2} -ax+5]로 놓으면

[eqn: f(1)=1+4-a+5=10-a]

[eqn: f(-2)=-8+16+2a+5=13+2a]

[eqn: f(1)=f(-2)]이어야 하므로 [eqn: 10-a=13+2a]

[eqn: THEREFORE ~a=-1]

6 답 [eqn: 6]

[eqn: f(x)=2x ^{3} +ax ^{2} +bx-12]로 놓으면

[eqn: f(2)=16+4a+2b-12=0]

[eqn: THEREFORE ~2a+b=-2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: f(3)=54+9a+3b-12=12]

[eqn: THEREFORE ~3a+b=-10~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~CDOTS CDOTS ㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-8,~b=14]

[eqn: THEREFORE ~a+b=6]

7 답 [eqn: 6]

[eqn: f(x)]가 [eqn: (x+1)(x- sqrt {2} )]로 나누어떨어지므로

[eqn: f(-1)=0,~f( sqrt {2} )=0]

[eqn: 1+a+b=0,~4+2a+b=0]

∴ [eqn: a+b=-1,~2a+b=-4]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=-3,~b=2]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{4} -3x ^{2} +2]이므로

[eqn: f(2)=16-12+2=6]

8 답 ④

[eqn: x ^{2} -y ^{2} -x+y][eqn: =x ^{2} -y ^{2} -(x-y)]
[eqn: =(x+y)(x-y)-(x-y)]
[eqn: =(x-y)(x+y-1)]

9 답 [eqn: b=c]인 이등변삼각형

[eqn: b ^{2} -ba-c ^{2} +ca][eqn: = LEFT ( c-b RIGHT ) a+b ^{2} -c ^{2}]
[eqn: = LEFT ( c-b RIGHT ) a+ LEFT ( b-c RIGHT ) LEFT ( b+c RIGHT )]
[eqn: =LEFT ( c-b RIGHT )a- LEFT ( c-b RIGHT ) LEFT ( b+c RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( c-b RIGHT ) LEFT { a- LEFT ( b+c RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =LEFT ( c-b RIGHT ) LEFT ( a-b-c RIGHT )=0]

이때 [eqn: a,~b,~c]는 삼각형의 세 변의 길이이므로

[eqn: a<b+c]

즉, [eqn: a-b-c !=0`]이므로 [eqn: c-b=0`]	[eqn: THEREFORE~b=c`]

따라서 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 [eqn: b=c]인 이등변삼각형이다.

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -3]	[eqn: -2]
		[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 2]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 0]

10 답 ④

[eqn: x ^{3} -3x-2]를 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: LEFT ( x ^{3} -3x-2 RIGHT ) pi]

[eqn: = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+1 RIGHT ) pi][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT ) pi]

따라서 주어진 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는

[eqn: x+1], 높이는 [eqn: x-2]이므로 겉넓이는

[eqn: 2 pi LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +2 pi LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} =2 pi LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x-1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``a+b=1+2=3]