중단원 평가(발전)	Ⅵ. 순열과 조합										1학년
	1. 순열과 조합
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

[eqn: 1]에서 [eqn: 100]까지의 자연수 중에서 [eqn: 10]과 서로소인 것의 개수는?

① [eqn: 40]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 60]
④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 80]

2

오른쪽 그림과 같은 팔면체의 꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 출발하여 모서리를 따라 움직여 꼭짓점 [eqn: rm F`]에 도착하는 방법의 수를 구하여라. (단, 한 번 지나간 꼭짓점은 다시 지나지 않는다.)

3

한 개의 가격이 각각 [eqn: 100`]원, [eqn: 300`]원, [eqn: 500`]원인 세 종류의 사탕을 [eqn: 1000`]원어치 사는 방법의 수를 구하여라.

4

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: a,~b,~c,~d,~e]를 일렬로 나열할 때, [eqn: a,~e]가 양 끝에 오는 경우의 수는?

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 18]

5

[eqn: c`o`m`p`u`t`e`r]의 [eqn: 8]개의 문자를 일렬로 나열할 때 적어도 한 쪽 끝에 자음이 오는 경우의 수는?

① [eqn: 4320]	② [eqn: 8640]	③ [eqn: 21600]
④ [eqn: 28800]	⑤ [eqn: 36000]

6

지수는 인터넷 카페에 가입하면서

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7]의 [eqn: 7]개의 숫자 중에서 서로 다른 [eqn: 5]개의 숫자를 사용하여 다섯 자리의 비밀번호를 만들려고 한다. 각 자리에 짝수와 홀수 또는 홀수와 짝수를 교대로 사용하여 비밀번호를 만드는 방법의 수를 구하여라.

7

부모와 네 명의 자녀가 한 줄로 서서 가족 사진을 찍을 때, 부모 사이에 자녀 네 명 중 적어도 두 명이 서는 경우의 수를 구하여라.

8

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT } ,~Y= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f]가 [eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f(x _{1} )<f(x _{2} )]를 만족시킬 때, 함수 [eqn: f]의 개수를 구하여라.

9

[eqn: 7]종류의 서로 다른 꽃이 있다. [eqn: 2]종류, [eqn: 2]종류, [eqn: 3]종류로 묶어 꽃다발을 만든 다음 이 세 개의 꽃다발을 [eqn: 3]명에게 나누어 주는 방법의 수는?

① [eqn: 610]	② [eqn: 630]	③ [eqn: 650]

④ [eqn: 690]	⑤ [eqn: 720]

10

[eqn: 6]개의 팀이 오른쪽 그림과 같은 대진표를 이용하여 시합을 할 때, 대진표를 작성하는 방법의 수는?

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]

③ [eqn: 35]	④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 45]

1. 순열과 조합

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 ①
[eqn: 10]과 서로소인 수는 [eqn: 2]의 배수도 [eqn: 5]의 배수도 아닌 수이므로 [eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수 중에서 [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 5]의 배수인 수를 제외하면 된다.
[eqn: k]의 배수의 집합을 [eqn: A _{k}]라 하면 [eqn: A _{2} SMALLINTER A _{5} =A _{10}]
[eqn: A _{2} = LEFT { 2,~4,~6,~ CDOTS ,~100 RIGHT }]에서 [eqn: n(A _{2} )=50]
[eqn: A _{5} = LEFT { 5,~10,~15,~ CDOTS ,~100 RIGHT }]에서 [eqn: n(A _{5} )=20]
[eqn: A _{10} = LEFT { 10,~20,~30,~ CDOTS ,~100 RIGHT }]에서 [eqn: n(A _{10} )=10]

[eqn: THEREFORE ``n(A _{2} CUP A _{5} )][eqn: =n(A _{2} )+n(A _{5} )-n(A _{2} SMALLINTER A _{5} )]
[eqn: =50+20-10=60]

[eqn: THEREFORE ``n(A _{2} ` ^{C} SMALLINTER A _{5} ` ^{C} `)][eqn: =n((A _{2} CUP A _{5} ) ^{C} `)]
[eqn: =100-n(A _{2} CUP A _{5} )]
[eqn: =100-60=40]

2 답 [eqn: 28}]

주어진 팔면체의 꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 출발하여 꼭짓점 [eqn: rm B`]로 움직인 후 꼭짓점 [eqn: rm F`]에 도착하는 경우를 구해 보면 다음과 같다.

같은 방법으로 꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 출발하여 꼭짓점 [eqn: rm C`] 또는 [eqn: rm D`]또는 [eqn: rm E`]로 움직인 후 꼭짓점 [eqn: rm F`]에 도착하는 경우도 각각 [eqn: 7`]가지씩이다.

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 7 cdot 4 =28`]

3 답 [eqn: 7]

[eqn: 100`]원, [eqn: 300]원, [eqn: 500`]원짜리 사탕을 각각 [eqn: x`]개, [eqn: y`]개,

[eqn: z`]개 산다고 하면 [eqn: 100x`+300y+500z=1000]

[eqn: therefore~x+3y+5z=10]	[eqn: cdotscdots]㉠

(ⅰ) [eqn: z=0`]일 때, ㉠에서 [eqn: x+3y=10`]이므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 10,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( 7,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 4,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 1,~3 RIGHT ) `]의 [eqn: 4`]개

(ⅱ) [eqn: z=1`]일 때, ㉠에서 [eqn: x+3y=5`]이므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT ) `]는 [eqn: LEFT ( 5,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~1 RIGHT ) `]의 [eqn: 2`]개

(ⅲ) [eqn: z=2`]일 때, ㉠에서 [eqn: x+3y=0`]이므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT ) `]는 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT ) `]의 [eqn: 1`]개

이상에서 구하는 방법의 수는

[eqn: 4+2+1=7]

4 답 ④
[eqn: a,~e]를 양 끝에 고정시키고 나머지 [eqn: b,~c,~d]의 [eqn: 3]개의 문자를 나머지 자리에 나열하는 경우의 수이므로
[eqn: 2! TIMES 3!`=12]

5 답 ⑤
[eqn: 8]개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 8!](가지)
양쪽 끝에 모음이 오는 경우는 모음 [eqn: o,~u,~e] 중 [eqn: 2]개를 뽑아 양 끝에 나열하고 나머지 [eqn: 6]개의 문자를 나열하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: rm rm _{3} P _{2} TIMES 6!]
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: rm8!- _{3} P _{2} TIMES 6!`=`6! TIMES (8 TIMES 7-3 TIMES 2)]

[eqn: =720 TIMES 50=36000]

6 답 [eqn: 216]
비밀번호를 만드는 방법은 [eqn: {BOX{짝}}][eqn: {BOX{홀}}][eqn: {BOX{짝}}][eqn: {BOX{홀}}][eqn: {BOX{짝}}] 또는 [eqn: {BOX{홀}}][eqn: {BOX{짝}}][eqn: {BOX{홀}}][eqn: {BOX{짝}}][eqn: {BOX{홀}}]인 [eqn: 2]가지 경우가 있다.

(ⅰ) [eqn: {BOX{짝}}][eqn: {BOX{홀}}][eqn: {BOX{짝}}][eqn: {BOX{홀}}][eqn: {BOX{짝}}]인 경우
[eqn: 3]개의 짝수를 배열하는 방법의 수는
[eqn: 3!`=6]
이 각각에 대하여 홀수를 배열하는 방법의 수는 [eqn: rm rm _{4} P _{2} =12]
[eqn: THEREFORE ```6 TIMES 12=72]

(ⅱ) [eqn: {BOX{홀}}][eqn: {BOX{짝}}][eqn: {BOX{홀}}][eqn: {BOX{짝}}][eqn: {BOX{홀}}]인 경우
[eqn: 3]개의 홀수를 배열하는 방법의 수는
[eqn: rm rm it _{4} P _{3} =24]
이 각각에 대하여 짝수를 배열하는 방법의 수는 [eqn: rm rm _{3} P _{2} =6]
[eqn: THEREFORE ```24 TIMES 6=144]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 72+144=216]

7 답 [eqn: 288]
부모 사이에 자녀 네 명 중 적어도 두 명이 서는 경우의 수는 전체 순열의 수에서 부모 사이에 자녀가 서지 않거나 한 명만 서는 경우의 수를 빼면 된다.
[eqn: 6]명의 가족이 일렬로 서는 방법의 수는

[eqn: 6!`=720]

(ⅰ) 부모 사이에 자녀가 서지 않는 경우
부모 사이에 자녀가 서지 않는 경우는 부모가 이웃하여 서는 경우와 같으므로
[eqn: 5!` TIMES 2!`=240]

(ⅱ) 부모 사이에 자녀가 한 명만 서는 경우
‘부 자녀 모’를 만들 때, 부모 사이에 네 명의 자녀 중에서 한 명이 서고 부모가 자리를 바꿀 수 있으므로 [eqn: 4 TIMES 2!`=8]
이때 ‘부 자녀 모’와 자녀 세 명, 즉, 네 명을 일렬로 세우는 방법의 수는 [eqn: 4!`=24]
[eqn: THEREFORE ```8 TIMES 24=192]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는
[eqn: 720-(240+192)=288]

8 답 [eqn: 4]
[eqn: f(1),~f(2),~f(3)]에 대응하는 함숫값을 적어 보면 오른쪽과 같다. 즉, 공역 [eqn: Y]의 원소에서 [eqn: 3]개의 수를 뽑아 순서대로 나열하면 된다. 따라서 함수의 개수는

[eqn: {} _{4} rmC _{3} =4]

9 답 ②
[eqn: 7]종류의 꽃을 [eqn: 2]종류, [eqn: 2]종류, [eqn: 3]종류로 나누는 방법의 수는
[eqn: {} _{7} rm C _{2} TIMES _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{3} TIMES {1} over {2!} =105]
세 개의 꽃다발을 세 사람에게 나누어 주는 방법의 수는 [eqn: 3!`=6]
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: 105 TIMES 6=630]

10 답 ⑤
[eqn: 6]개의 팀을 [eqn: 4]개, [eqn: 2]개의 팀으로 나누는 방법의 수는
[eqn: {} _{6} rm C _{4} TIMES _{2} C _{2} =15]
나누어진 [eqn: 4]개의 팀을 [eqn: 2]개, [eqn: 2]개의 팀으로 나누는 방법의 수는
[eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES _{2} C _{2} TIMES {1} over {2!} `=3]
따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 15 TIMES 3=45]