중단원 평가(발전)	Ⅴ. 함수와 그래프										1학년
	2. 유리함수와 무리함수
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

[eqn: 1]이 아닌 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: {x ^{9} +1} over {(x-1) ^{10}} = {a _{1}} over {x-1 _{} _{}} + {a _{2}} over {(x-1) ^{2} _{}} + CDOTS + {a _{9}} over {(x-1) ^{9}}]가 성립할 때, [eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{9}]의 값은?

(단, [eqn: a _{1} ,``a _{2} ,`` CDOTS ,``a _{9}]는 상수이다.)

① [eqn: 507]	② [eqn: 513]	③ [eqn: 517]

④ [eqn: 521]	⑤ [eqn: 525]

2

[eqn: 0]이 아닌 세 실수 [eqn: a,`b,`c]가
[eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}} + {1} over {c ^{2}} = LEFT ( {1} over {a} + {1} over {b} + {1} over {c} RIGHT ) ^{2}]을 만족시킬 때,
[eqn: {a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}} over {abc}]의 값을 구하여라.

3

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {1-x}]에 대하여

[eqn: f ^{2} =f CIRC f,~f ^{3} =f CIRC f ^{2} ,`` CDOTS ,]               [eqn: ~f ^{n+1} =f CIRC f ^{n} ~(n=1,~2,~3,~ CDOTS )]

으로 정의할 때, [eqn: f ^{1004} (-1)]의 값을 구하여라.

4

함수 [eqn: y= {k} over {x-p} +q] [eqn: (k != 0)]의 그래프에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: pq != 0])

[보 기]

ㄱ. [eqn: x>0]일 때, [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값은 감소한다.

ㄴ. [eqn: LEFT | k RIGHT |]의 값이 커질수록 그래프는 점 [eqn: (p,~q)]에

서 멀어진다.

ㄷ. 직선 [eqn: y=(x-p)+q]에 대하여 대칭이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

5

함수 [eqn: f(x)= {x+5} over {x-2}]와 그 역함수 [eqn: f ^{-1} (x)]에 대하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하면 [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프와 일치한다. 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: b-a]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

6

함수 [eqn: y=sqrt2x+3 `+4]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하였더니

[eqn: y=sqrt2x-3 `-4]의 그래프가 되었다. 이때 [eqn: m^2 +n^2]의 값을 구하여라.

7

함수 [eqn: f(x)=root2x-a `+2]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=f``^-1 (x)]의 그래프의 두 교점 사이의 거리가 [eqn: 4root2]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

8

두 함수 [eqn: y= sqrt{x+1 }-1], [eqn: x= sqrt {y+1} -1`]의 그래프가 두 점에서 만날 때, 이 두 점 사이의 거리는?

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt2]	③ [eqn: sqrt3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt5]

9

함수 [eqn: y= sqrt {ax+b} +c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 함수

[eqn: y= {cx+3} over {ax+b}]의 두 점근선의 교점의 좌표를 구하여라.

(단, [eqn: a,```b,``c]는 상수이다.)

10

함수 [eqn: f(x)= {cases{1- sqrt {x}&(x GEQ 0)#sqrt {1-x}&(x<0)}}]에 대하여

[eqn: (f ^{-1} CIRC f ^{-1} )(a)=16]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

2. 유리함수와 무리함수

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 ②

주어진 식의 양변에 [eqn: (x-1)^10`]을 곱하여 정리하면

[eqn: x^9``+`1``]

[eqn: =``a_1`(x-1)^9`+`a_2`(x-1`)^8``+``cdots``+``a_9`(x-1`)]

이 식이 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로 양변에 [eqn: x`=`2]를 대입하면

[eqn: 2^9 +1=``a_1``+``a_2``+``a_3``+``cdots``+``a_9]

∴ [eqn: a_1``+`a_2``+cdots``+``a_9`=``513``]

2 답 [eqn: 3]

[eqn: LEFT ( {1} over {a} + {1} over {b} + {1} over {c} RIGHT ) ^{2} = {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}} + {1} over {c ^{2}} +2 LEFT ( {1} over {ab} + {1} over {bc} + {1} over {ca} RIGHT )]
이므로 [eqn: {1} over {ab} + {1} over {bc} + {1} over {ca} =0]
[eqn: abc != 0]이므로 이 식의 양변에 [eqn: abc]를 곱하면
[eqn: a+b+c=0]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠
그런데 인수분해 공식에서
[eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc]

[eqn: = LEFT ( a+b+c RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca RIGHT )]
이므로 ㉠에 의하여
[eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc=0]   [eqn: THEREFORE ```a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} =3abc]
[eqn: THEREFORE {a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}} over {abc} = {3abc} over {abc} =3]

3 답 [eqn: 2]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = {1} over {1- LEFT ( -1 RIGHT )} = {1} over {2} ,]

[eqn: f ^{2} LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {1- {1} over {2}} =2,]

[eqn: f ^{3} LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( f ^{2} LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) = {1} over {1-2} =-1,]

[eqn: f ^{4} LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT ) = {1} over {2} ,]

[eqn: f ^{5} LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =2,~…]

즉, [eqn: {1} over {2} ,~2,~-1]이 반복되므로

[eqn: f ^{1004} LEFT ( -1 RIGHT ) =f ^{3 TIMES 334+2} LEFT ( -1 RIGHT ) =f ^{2} (-1)=2]

4 답 ④

ㄱ. [eqn: k<0]이고 [eqn: x>p]일 때, [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값도 증가한다.

ㄴ. 점 [eqn: (p,~q)]는 두 점근선의 교점이므로 [eqn: LEFT | k RIGHT |]의 값이 커질수록 그래프는 점 [eqn: (p,~q)]에서 멀어진다.

ㄷ. [eqn: y= {k} over {x}]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 [eqn: y= {k} over {x-p} +q]의 그래프는 직선
[eqn: y=(x-p)+q]에 대하여 대칭이다.

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

5 답 ⑤

[eqn: f(x)= {x+5} over {x-2} = {(x-2)+7} over {x-2} = {7} over {x-2} +1]

의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프의 식은
[eqn: y= {7} over {x-2-a} +1+b~~]                    [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

한편 [eqn: y= {x+5} over {x-2}]로 놓으면	[eqn: y(x-2)=x+5]
[eqn: (y-1)x=2y+5~~~ THEREFORE x= {2y+5} over {y-1}]

[eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸면 [eqn: y= {2x+5} over {x-1}]

[eqn: THEREFORE f ^{-1} (x)][eqn: = {2x+5} over {x-1} = {2(x-1)+7} over {x-1}]
[eqn: = {7} over {x-1} +2~~~]                  [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡의 그래프가 일치하므로
[eqn: -2-a=-1,~1+b=2]

따라서 [eqn: a=-1,~b=1]이므로
[eqn: b-a=2]

6 답 [eqn: 73]

[eqn: y=sqrt2x+3` +4]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하면

[eqn: y&=sqrt 2(x-m)+3 `+4+n]

[eqn: = sqrt {2x+(3-2m)} `+(4+n)]

이것이 [eqn: y=sqrt 2x-3` -4]이므로

[eqn: 3-2m = -3, ~ 4+n=-4]

즉, [eqn: m=3, ~n=-8]

[eqn: ∴~ m^2 + n^2 =73]

7 답  1

[eqn: y= f(x)]와 [eqn: y= f^{-1}(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 두 그래프의 교점은 직선 [eqn: y=x] 위에 있다.

두 교점을 [eqn: (α,~α),~ (β,~ β)]라 놓으면 교점 사이의 거리는

[eqn: root { (α-β)^2 + (α -β )^2 } = root { 2 (α-β)^2 }]

[eqn: = root2 |`α - β `|]

즉, [eqn: root 2 |`α-β `| = 4root2]

[eqn: ∴~ |`α-β`| =4]

[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= f^{-1}(x)]의 그래프의 교점은 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=x]의 그래프의 교점과 같으므로

[eqn: root 2x-a `+2 `=x`]에서 [eqn: root 2x-a `= x-2]

양변을 제곱하면 [eqn: 2x-a = (x-2)^2]

[eqn: 2x-a = x^2 - 4x +4]

[eqn: ∴~ x^2 - 6x + a +4 =0]

두 근이 [eqn: α,~β]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: α+β=6 ,~ αβ= a+4]

[eqn: |` α -β ` | ^2 =(α-β)^2 = (α +β )^2 -4αβ]에서

[eqn: 16=36-4(a+4),]

[eqn: 16=36-4a-16]

[eqn: 4a=4~~~~ THEREFORE `a=1]

8 답 ②

두 함수가 서로 역함수이므로 두 함수의 그래프의 교점은 곡선 [eqn: y= sqrt {x+1} -1`]과 직선 [eqn: y=x`]의 교점과 같다.

[eqn: sqrt {x+1} -1=x`]에서 [eqn: sqrt x+1 = x+ 1]

양변을 제곱하면 [eqn: x+ 1= x^2 + 2 x+ 1]

[eqn: x^2 + x =0], [eqn: x(x+1)= 0]

[eqn: THEREFORE ~x=-1`] 또는 [eqn: x=0]

따라서 주어진 두 함수의 그래프는 두 점

[eqn: (-1,~-1)], [eqn: (0,~0)`]에서 만나므로 두 점 사이의 거리는

[eqn: SQRT {(-1)^2 +(-1)^2 } = sqrt 2]

9 답 [eqn: (-1,~2)]

주어진 함수의 그래프는 [eqn: y= sqrt {ax} (a>0)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 [eqn: y]축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로

[eqn: y= sqrt {a(x+1)} +2]                         [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

㉠의 그래프가 점 [eqn: (0,``3)]을 지나므로

[eqn: 3= sqrt {a} +2],  [eqn: sqrt {a} `=1``````~~~ THEREFORE a=1]

[eqn: a=1]에 ㉠을 대입하면 [eqn: y= sqrt {x+1} +2]

이 함수가 [eqn: y= sqrt {ax+b} +c]와 같으므로

[eqn: b=1,```c=2]

[eqn: y= {cx+3} over {ax+b}]에서

[eqn: y= {2x+3} over {x+1} = {2(x _{} +1)+1} over {x+1} = {1} over {x+1} +2]

따라서 점근선의 방정식은 [eqn: x=-1,```y=2]이므로 두 점근선의 교점의 좌표는 [eqn: (-1,``2)]이다.

10 답 [eqn: 2]

[eqn: (f ^{-1} CIRC f ^{-1} ) ^{-1} =f CIRC f]이므로

[eqn: (f ^{-1} CIRC f ^{-1} )(a)=16]에서

[eqn: (f CIRC f )(16)=a]

이때 [eqn: 16 GEQ 0이므로~~f(x)=1- sqrt {x}]

[eqn: THEREFORE ``f(16)=1- sqrt {16} =1-4=-3]

[eqn: -3<0이므로~~f(x)= sqrt {1-x}]

[eqn: THEREFORE ``f(-3)= sqrt {1-(-3)} = sqrt {4} =2]

[eqn: THEREFORE ``a=(f CIRC f)(16)=f(f(16))=f(-3)=2]