중단원 평가(발전)	Ⅴ. 함수와 그래프										1학년
	1. 함수
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

두 함수 [eqn: f(x) = x^2 -9x+20,~ g(x)]가
[eqn: g(x-4)=f(2x+5)]를 만족시킬 때, [eqn: g(-3)]의 값을 구하여라.

2

자연수 [eqn: m,~n]에 대하여 함수 [eqn: f(n)]을 다음과 같이 정의한다.
[eqn: f(n) = cases{ n~~(1 le n le 5 )#f(a_m +a_m-1 + a_m-2 + cdots + a_0 )]

[eqn: (n= a_m cdot 5^m + a_m-1 5^m-1 + a_m-2][eqn: CDOT 5 ^{m-2}]

[eqn: + CDOTS +a _{1} CDOT 5+a _{0} )]

이때 [eqn: f(427)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3

집합 [eqn: X= left{-3,~ 0,~ 3 right]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 중 [eqn: f(x)-f(-x)=0]을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하여라.

4

집합 [eqn: X= left{1,~ 2,~ 3 right}]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 일대일대응인 두 함수 [eqn: f,~ g]가 있다.

[eqn: f(3)=g(2)=1], [eqn: (g circ f)(3)= ( f circ g )(2)=2]일 때,

[eqn: f(2)+g(3)]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

5

함수 [eqn: f(x) = left{ pile{ ````x+1 _`_`_`&``` (x le 1) # -2x+4 & ```(`x`＞`1)}`]에 대하여

[eqn: f= f`^1 , ~ f circ f = f`^2 , ~ f circ f`^2 = f`^3 , `` cdots ` ,]

[eqn: f circ f`^n = f`^n+1`]과 같이 정의할 때, [eqn: f`^100 left( 3 over 2 right)`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

6

함수 [eqn: f(x)= LEFT { pile{x+3 _`_`&`````(`x`＜`5)`#`2x-2`& ````(x ge 5 ) }`]에 대하여
[eqn: f`^-1 (6) + f`^-1 (12)`]의 값을 구하여라.

7

두 집합 [eqn: A = left{` x`` |`` x ge 1 right}, ~ B= left{` y``|`` y ge 3 right}`]에 대하여 [eqn: A`]에서 [eqn: B`]로의 함수 [eqn: f(x) = |` 2x-2`| + |`x-4`|`]의 역함수를 구하여라.

8

함수 [eqn: f(x)= 2x+3]이고, 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]가 임의의 함수 [eqn: h(x)`]에 대하여 [eqn: ( `f circ g circ h) (x) = h(x)`]를 만족시킨다. 이때 함수 [eqn: g(x)`]를 구하여라.

9

함수 [eqn: f(x)= {cases{{1} over {2} x+9&(x GEQ 0)#2x+9&(x<0)}}]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

10

함수 [eqn: f(x)=[x]]에 대하여  [eqn: f(a)=-1`,``f(b)=3`,]

[eqn: f(c)=4]일 때, [eqn: f(a+b-c)]의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

1. 함수

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 [eqn: 6]

[eqn: x-4 = -3]에서 [eqn: x=1]

[eqn: g(x-4) = f(2x+5)]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g(-3) = f(7) = 7^2 - 9 cdot 7 + 20= 6]

2 답 ③

[eqn: 427 = 3 cdot 5^3 + 2 cdot 5^2 + 2]이므로

[eqn: f(427)][eqn: =f(3 CDOT 5 ^{3} +2 CDOT 5 ^{2} +2)=f(3+2+2)=f(7)]
[eqn: =f(1 cdot 5 +2 ) = f(1+2)=f(3)=3]

3 답 [eqn: 9]

[eqn: f(x)-f(-x)=0]에서 [eqn: f(x)=f(-x)]

[eqn: f(3)]의 값이 될 수 있는 것은 [eqn: -3,~ 0,~ 3] 중 하나이므로 [eqn: 3]개

[eqn: f(-3)=f(3)]에서 [eqn: f(-3)]의 값이 될 수 있는 것은 [eqn: f(3)]의 값과 같으므로 [eqn: 1]개

[eqn: f(0)]의 값이 될 수 있는 것은 [eqn: -3,~ 0,~ 3] 중 하나이므로 [eqn: 3]개

따라서 주어진 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 3 cdot 1 cdot 3 = 9]

4 답 ⑤

[eqn: ( g circ f ) (3)=g(f(3))=g(1)=2]

[eqn: (f circ g )(2)= f(g(2)) = f(1)=2]

이때 [eqn: f(3)=g(2)=1]이고 두 함수 [eqn: f,~ g]는 각각 일대일대응이므로

[eqn: f(2)=3,~ g(3)=3]    [eqn: therefore~ f(2)+g(3)=6]

5 답 [eqn: 1`]

[eqn: f left( 3 over 2 right) = -2 cdot 3 over 2 +4 =1`]이므로

[eqn: f`^2 left( 3 over 2 right) = ( f circ f ) left( 3 over 2 right) = f(1) =2`]

[eqn: f`^3 left( 3 over 2 right) = ( f circ f`^2 ) left( 3 over 2 right) = f(2) =0`]

[eqn: f`^4 left( 3 over 2 right) = ( f circ f`^3 ) left( 3 over 2 right) = f(0) =1`]

[eqn: f`^5 left( 3 over 2 right) = ( f circ f`^4 ) left( 3 over 2 right) = f(1) =2`]

[eqn: vdots`]

즉 [eqn: f`^n left( 3 over 2 right) `]은 [eqn: 1,~2,~0`]이 이 순서대로 반복된다.

이때 [eqn: 100 = 3 cdot 33 +1`]이므로

[eqn: therefore~f`^100 left( 3 over 2 right) = f`^1 left( 3 over 2 right) =1`]

6 답 [eqn: 10`]

[eqn: x`＜`5`]일 때, [eqn: f(x)= x+3 `＜` 8`]

[eqn: x ge 5`]일 때, [eqn: f(x) = 2x-2 ge 8`]

[eqn: f`^-1 (6) =m`]이라고 하면 [eqn: f(m) = 6`]이므로

[eqn: m+3 = 6`]    [eqn: therefore~m=3`]

[eqn: f`^-1 (12) = n`]이라고 하면 [eqn: f(n)=12`]이므로

[eqn: 2n-2 = 12`]    [eqn: therefore~n=7`]

[eqn: therefore~f`^-1 (6) + f`^-1 (12) = 3+7 =10`]

7 답 [eqn: f`^-1 (x) = left{ pile{ ``x-2 _`_` ~~~(3 le x`＜`6) # 1 over 3 x +2 ~ `` ( x ge 6)~~~`}`]

[eqn: f(x) = |` 2x-2`| + |`x-4`|`]에서

[eqn: 1 le x `＜`4`]일 때,  [eqn: f(x) = 2x-2 - (x-4) = x+2`]

[eqn: x ge 4`]일 때,  [eqn: f(x) = 2x-2 + x-4 = 3x-6`]

[eqn: therefore~ f(x) = left{ pile{ x+2 _`_`&```` ( 1 le x `＜`4) # ``3x-6 &` (x ge 4 )``````````}`]

(ⅰ) [eqn: 1 le x `＜`4`]일 때, [eqn: y= x+2`]로 놓으면
[eqn: 3 le y `＜` 6`]
[eqn: x`]를 [eqn: y`]에 대한 식으로 나타내면  [eqn: x= y-2`]
[eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면 역함수는
[eqn: y= x-2 ``( 3 le x `＜`6)`]

(ⅱ) [eqn: x ge 4`]일 때, [eqn: y= 3x-6`]으로 놓으면  [eqn: y ge 6`]
[eqn: x`]를 [eqn: y`]에 대한 식으로 나타내면  [eqn: x= 1 over 3 y +2`]
[eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면 역함수는
[eqn: y= 1 over 3 x +2 ``( x ge 6)`]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 역함수는

[eqn: f`^-1 (x) = left{ pile{ ``x-2 _`_` ~~~(3 le x`＜`6) # 1 over 3 x +2 ~ `` ( x ge 6)~~~`}`]

8 답 [eqn: g(x)= 1 over 2 x - 3 over 2`]

[eqn: ( `f circ g circ h) (x) = (( `f circ g ) circ h)(x) = h(x)`]이므로

[eqn: f circ g`]는 항등함수이고 [eqn: f`]가 일대일대응이므로 [eqn: g`]는 [eqn: f`]의 역함수이다.

[eqn: y= 2x+3`]으로 놓으면

[eqn: 2x= y-3`]   [eqn: therefore~x= 1 over 2 y - 3 over 2`]

[eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면  [eqn: y= 1 over 2 x - 3 over 2`]

[eqn: therefore~g(x)= 1 over 2 x - 3 over 2`]

9 답 [eqn: 243]
함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는

오른쪽 그림과 같다. 함수

[eqn: y=f(x)]의 그래프와 그 역

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는

직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]와

[eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이의 [eqn: 2]배이다.
함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

(ⅰ) [eqn: x GEQ 0]일 때,
[eqn: {1} over {2} x+9=x```````````````` THEREFORE ```x=18]

(ⅱ) [eqn: x<0]일 때, [eqn: 2x+9=x```````````````` THEREFORE ```x=-9]

따라서 구하는 넓이는
[eqn: 2 LEFT ( {1} over {2} CDOT 9 CDOT 9+ {1} over {2} CDOT 9 CDOT 18 RIGHT ) =243]

10 답 ③

[eqn: f(a)=-1]이므로 [eqn: -1 LEQ a<0```````````````````````````````~```~~~ CDOTS CDOTS]㉠
[eqn: f(c)=4]이므로 [eqn: 3 LEQ b<4`````````````~~~~````````````````````~~~`` CDOTS CDOTS]㉡
[eqn: f(c)=4]이므로

[eqn: 4 LEQ c<5`````````````` THEREFORE -5<`-c LEQ -4`````````````~~~~```~~ CDOTS CDOTS]㉢
㉠, ㉡, ㉢의 각 변을 더하면 [eqn: -3<a+b-c<0]
따라서 [eqn: f(a+b-c)=[a+b-c]]의 최댓값은 [eqn: -1], 최솟값은 [eqn: -3]이므로 구하는 값은

[eqn: -1+(-3)=-4]