중단원 평가(발전)	Ⅳ. 집합과 명제										1학년
	2. 명제
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

다음 중 참인 명제는?

① [eqn: a, ~b]가 정수이면 [eqn: a over b]도 정수이다. (단, [eqn: b != 0])

② [eqn: A ⊂ ( B CUP C )]이면 [eqn: A⊂B] 그리고 [eqn: A ⊂ C]이다.

③ [eqn: x+ y = 0]이면 [eqn: x^2 + y^2 = 0]이다.

④ [eqn: x+y>1]이면 [eqn: x>1]이고 [eqn: y>1]이다.

⑤ [eqn: rmTRIANGLE ABC]에서 [eqn: rmANGLE A`=` ANGLE B]이면  [eqn: rmTRIANGLE ABC]는 이등변삼각형이다.

2

전체집합 [eqn: U = \{ it x``|`` x]는 [eqn: 50] 이하의 양의 짝수[eqn: \}]에 대하여 세 조건

[eqn: p~:~ x]는 [eqn: 48]의 약수
[eqn: q~:~ 0 ``< `` x ``< `30]
[eqn: r~:~ x^2 -10x + 24 = 0]

일 때, 다음 중 ‘[eqn: p]이고 [eqn: q]이고 [eqn: ∼r]’를 만족하는 집합에 속하지 않는 것은?

① 6	② 8	③ 12

④ 16	⑤ 24

3

다음 명제 중 그 역이 참인 것은?

① [eqn: |`a`| = a]이면 [eqn: a `< ~0]이다.

② [eqn: xy`` LEQ `0]이면 [eqn: x` LEQ `0] 또는 [eqn: y` LEQ `0]이다.

③ [eqn: a, ~ b]가 짝수이면 [eqn: a+ b]는 짝수이다.

④ [eqn: x = y]이면 [eqn: ax = a y]이다.

⑤ [eqn: x = y = 0]이면 [eqn: x+y = 0 , ~ x y = 0]이다.

4

세 조건 [eqn: p , ~ q, ~ r, ~ s] 에 대하여

[eqn: ∼p ~ -> ~ ∼ q, ~ r ~ -> ~ q , ~ ∼ r ~ -> ~ s] 일 때, 다음 중 항상 옳은 것을 모두 고르면?

① [eqn: r ~ -> ~ p]	② [eqn: ∼p ~ -> ~∼ s]

③ [eqn: ∼ s ~ -> ~ ∼ r]	④ [eqn: r ~ -> ~∼ s]

⑤ [eqn: ∼ q ~ -> ~ s]

5

다음 두 명제가 모두 참일 때, 보기 중 반드시 참인 명제를 모두 고른 것은?

(가) 자동차의 전기장치가 누전되면 배터리가 방전된다.

(나) 배터리가 방전되면 시동이 걸리지 않는다.

		<보기>
	ㄱ. 전기장치가 누전되면 시동이 걸리지 않는다. ㄴ. 전기장치가 누전되지 않으면 시동이 걸린다. ㄷ. 시동이 걸리면 전기장치가 누전된 것이 아니다. ㄹ. 시동이 걸리지 않으면 전기장치가 누전된 것이다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

6

두 조건 [eqn: p:`-2 <x<3 , `` q:`|`x-a`|<3 ``]에 대하여 [eqn: p ``]가 [eqn: q ``]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 [eqn: a ``]의 값의 범위를 구하여라.

7

실수 [eqn: a,```b``]에 대하여 다음 부등식을 성립함을 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 구하여라.

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +1 geqab+a+b``]

8

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 0<a<b], [eqn: a+b=1]일 때, 다음 중 대소를 비교한 것으로 옳지 않은 것은?

① [eqn: rootb - roota < rootb-a]	② [eqn: rootb - roota < roota + rootb]

③ [eqn: roota + rootb <1]	④ [eqn: rootb-a <1]

⑤ [eqn: rootb-a < roota + rootb]

9

다음은 임의의 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[eqn: LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | GEQ |`a+b`|]임을 증명하는 과정이다. (가), (나), (다), (라)에 알맞은 것을 써넣어라.

	<증명>
[eqn: LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | GEQ 0], [eqn: LEFT | a+b RIGHT | GEQ 0]이므로 [eqn: ( LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | ) ^{2}], [eqn: (LEFT | a+b RIGHT | )^2]의 대소를 비교하면 된다. [eqn: ( LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | ) ^{2} -( LEFT | a+b RIGHT | ) ^{2}] [eqn: =][eqn: LEFT | a RIGHT | ^{2} +2` LEFT | a RIGHT | ` LEFT | b RIGHT | + LEFT | b RIGHT | ^{2} -(a+b) ^{2}] [eqn: =][eqn: a ^{2} + {BOX{````(가``)````}} ``][eqn: +b^2 - (a^2 +][eqn: box{```(`나``)````}``][eqn: + b^2 )] [eqn: =][eqn: 2(][eqn: box{````(다 ``)````}``])[eqn: GEQ 0] (∵ [eqn: |`ab|` GEQ ab`]) (단, 등호는 [eqn: box{````(``라``)````}``][eqn: GEQ 0]일 때, 성립)

10

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt { kx^2 + 2kx + 2 }]가 허수가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 값의 개수를 구하여라.

2. 명제

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 ⑤

① (반례) [eqn: a = 1 , ~ b = 2]이면 [eqn: 1 over 2]은 정수가 아니므로 거짓이다.

② (반례) [eqn: A= LEFT { 2 RIGHT } ,~B= LEFT { 1,````2 RIGHT } ,~C= LEFT { 1,```3 RIGHT }]이면
[eqn: A ⊂ ( B CUP C )]이고 [eqn: A⊂B]이지만 [eqn: A NOT ⊂ C]
이므로 거짓이다.

③ (반례) [eqn: x= 1 , ~ y = - 1]이면 [eqn: x+ y = 0]이지만
[eqn: x^2 + y^2 ` !=` 0]이므로 거짓이다.

④ (반례) [eqn: x= 4 , ~ y = 0]이면 [eqn: x+ y `> ` 1]이고 [eqn: x`>` 1], [eqn: y `< 1] 이므로 거짓이다.

2 답 ①

조건 [eqn: p, ~ q, ~ r]를 만족하는 집합을 각각 [eqn: P , ~ Q, ~ R]라고 하면

[eqn: P = \{ 2, ~ 4, ~ 6, ~ 8, ~ 12, ~ 16, ~ 24, ~4 8 \}]

[eqn: Q`=` \{ 2, ~ 4, ~ 6, ~ 8, ~10 , ~CDOTS , ~ 28 \}]

[eqn: R`=` \{ 4, ~ 6 \}]

‘[eqn: p]이고 [eqn: q]이고 [eqn: ∼r]’를 만족하는 집합은 [eqn: P SMALLINTER Q SMALLINTER R ^{C}] 이므로

[eqn: P SMALLINTER Q SMALLINTER R ^{C}][eqn: = \{ 2, ~ 8, ~ 12 , ~ 16, ~ 24 \}]

3 답 ⑤

각 명제의 역을 구하면

① [eqn: a `< ~0]이면 [eqn: |`a`| = a]이다. [eqn: (times)]

(반례) [eqn: a= - 1]이면 [eqn: | ` -1 `|` = 1 ` != -1]

② [eqn: x` LEQ `0] 또는 [eqn: y` LEQ `0]이면 [eqn: xy`` LEQ `0]이다. [eqn: (times)]

(반례) [eqn: x=-1 , ~ y= -1]이면 [eqn: x y `> ` 0]이다.

③ [eqn: a+ b]가 짝수이면 [eqn: a, ~ b]는 짝수이다. [eqn: (times)]

(반례) [eqn: a= 1 , ~ b = 3]일 때, [eqn: a+ b]는 짝수이지만 [eqn: a, ~ b]는 홀수이다.

④ [eqn: ax = a y]이면  [eqn: x = y]이다. [eqn: (times)]

(반례) [eqn: a= 0 , ~ x = 1 , ~y = 2]일 때, [eqn: ax = a y]이지만
[eqn: x != y]이다.

⑤ [eqn: x+y = 0 , ~ x y = 0]이면 [eqn: x = y = 0]이다. [eqn: ( BIGCIRC )]

4 답 ①, ⑤

[eqn: ∼p ~ -> ~ ∼ q, ~ r ~ -> ~ q , ~ ∼ r ~ -> ~ s]이므로 각각의 대우

[eqn: q ~->~ p , ~ ∼ q ~->~ ∼ r , ~ ∼ s ~->~ r] 도 참이 된다.

따라서 [eqn: ∼p ~->~ ∼ q ~->~ ∼ r ~->~ s ,~ ~ r ~->~ q ~->~ p]

이므로 [eqn: ∼q ~->~ s , ~ r ~->~ p]

5 답 ②

세 조건 [eqn: p, ``q, ``r ``]를

[eqn: p``:] 전기장치가 누전된다.

[eqn: q``:] 배터리가 방전된다.

[eqn: r``:] 시동이 걸리지 않는다.

라 하면 두 명제 [eqn: p`->` q]와 [eqn: q`->`r `]는 참이다.

따라서 명제 [eqn: p`->`r `]와 그 대우 [eqn: sim r `-> simp `]도 모두 참이므로 ㄱ과 ㄷ은 모두 참이다.

그러나 [eqn: sim p `-> sim r `]와 [eqn: r`-> `p `]는 반드시 참이라고 할 수 없으므로 ㄴ과 ㄹ은 반드시 참이라고 할 수 없다.

이상에서 반드시 참인 명제는 ㄱ, ㄷ이다.

6 답 [eqn: 0 LEQ a LEQ 1``]

두 조건 [eqn: p, ``q ``]를 만족하는 집합을 각각 [eqn: P, ``Q ``]라고 하면

[eqn: P = left{ x`|`-2 <x < 3 right} , ``Q= left{ x`|`a-3 <x<a+3 right} ``]

[eqn: p ``]가 [eqn: q ``]이기 위한 충분조

건이면

[eqn: P subset Q ``]이어야 하므로

[eqn: a-3 LEQ -2,````a+3 GEQ 3``]

따라서 실수 [eqn: a ``]의 값의 범위는 [eqn: 0 LEQ a LEQ 1``]이다.

7 답 풀이 참조

[eqn: (a ^{2} +b ^{2} +1)-(ab+a+b)``]
[eqn: = 1 over2 (2a^2 +2b^2 -2ab -2a -2b +2)``]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( a ^{2} -2ab+b ^{2} RIGHT ) +(a ^{2} -2a+1)+(b ^{2} -2b+1) RIGHT }``]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { (a-b) ^{2} +(a-1) ^{2} +(b-1) ^{2} RIGHT } geq0``]
[eqn: THEREFORE ```a ^{2} +b ^{2} +1 GEQ ab+a+b``]
이때 등호는 [eqn: a-b=0,```a-1=0,```b-1=0``], 즉

[eqn: a=b=1``]일 때 성립한다.

8 답 ③

① [eqn: (rootb - roota )^2 -( rootb-a )^2]
[eqn: =b-2rootab +a - (b-a)]
[eqn: =2a-2rootab]
[eqn: =2roota (roota - rootb )<0]
∴ [eqn: rootb - roota < rootb-a]

② [eqn: ( rootb - roota ) - ( roota + rootb )=-2roota <0]
∴ [eqn: rootb - roota < roota + rootb]

③ [eqn: ( roota + root b )^2 -1^2]
[eqn: = a+b+2rootab -1]
[eqn: =2rootab (∵ a+b=1)][eqn: >0]
∵ [eqn: sqrt {a} + sqrt {b} >1]

④ [eqn: ( rootb-a )^2 - 1^2 =b-a-1]

[eqn: =1-a-a-1 (∵b=1-a)]

[eqn: =-2a<0]

∴ [eqn: rootb-a <1]

⑤ [eqn: ( sqrt {b-a} ) ^{2} -( sqrt {a} + sqrt {b} ) ^{2}][eqn: =b-a-(a+2 sqrt {ab} +b)]
[eqn: =-2a-2 sqrt {ab} <0]

∴ [eqn: rootb-a < roota + rootb]

9 답  (가) [eqn: 2`|`ab`|`]	(나) [eqn: 2ab]
(다) [eqn: `|`ab`|`-ab]	(라) [eqn: ab]

[eqn: LEFT ( LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | RIGHT ) ^{2} - LEFT ( LEFT | a+b RIGHT | RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT | a RIGHT | ^{2} +2 LEFT | a RIGHT | LEFT | b RIGHT | + LEFT | b RIGHT | ^{2} -(a+b) ^{2}]

[eqn: =a ^{2} + {BOX{``2 LEFT | a RIGHT | LEFT | b RIGHT | `}} +b ^{2} -(a ^{2} + {BOX{`2ab``}} +b ^{2} )]

[eqn: =2( {BOX{LEFT | a RIGHT | LEFT | b RIGHT | -ab}} ) GEQ 0] [eqn: ( BECAUSE LEFT | ab RIGHT | GEQ ab)]

(단, 등호는 [eqn: LEFT | ab RIGHT | =ab], 즉 [eqn: {BOX{``ab``}} GEQ 0]일 때 성립)

10 답 [eqn: ``0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt {kx^2 + 2kx + 2 }]가 허수가 되려면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: kx^2 + 2kx + 2 < 0]이어야 한다.

(i) [eqn: k= 0]일 때,
[eqn: kx^2 + 2kx +2 = 2> 0]이므로 항상 성립하지 않는다.

(ii) [eqn: k != 0]일 때,
[eqn: k<0]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

이차방정식 [eqn: kx ^{2} +2kx+2=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면
[eqn: D over 4 = k^ 2 - 2k = k(k-2) < 0]
[eqn: therefore 0 < k<2]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: k]의 값은 없다.

(i), (ii)에서 [eqn: sqrt { kx^2 + 2k x +2 }]가 허수가 되도록 하는 실수 [eqn: k]는 존재하지 않으므로 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 0]이다.