중단원 평가(발전)	Ⅳ. 집합과 명제										1학년
	1. 집합
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

집합 [eqn: A= LEFT { EMPTYSET ,~1,~ LEFT { 1,~2 RIGHT } ,~3 RIGHT }]에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: EMPTYSET SUBSET A]	② [eqn: 1 IN A]	③ [eqn: LEFT { 1,~2 RIGHT } IN A]

④ [eqn: LEFT { 1,~3 RIGHT } SUBSET A]	⑤ [eqn: LEFT { 2 RIGHT } IN A]

2

[eqn: x`]의 다항식 [eqn: f`(x), ~g`(x)]에 대하여
[eqn: A = left { x vert f`(x) - g`(x) = 0 right }], [eqn: B = left { x left vert f(x) over g(x) = 1 right }],

[eqn: C = left { x vert left { f`(x) right }^2 - left { g`(x) right }^2 = 0 right }]일 때, 다음 중 세 집합 [eqn: A, ~B, ~C`] 사이의 포함 관계로 옳은 것을 고르면?

① [eqn: A `subset` B `subset` C`]

② [eqn: A `subset` C `subset` B`]

③ [eqn: B `subset` A `subset` C`]

④ [eqn: B `subset` C `subset` A`]

⑤ [eqn: C `subset` B `subset` A`]

3

두 집합 [eqn: A=]{[eqn: x``|``x]는 [eqn: 10]의 양의 약수},
[eqn: B= LEFT { 1,~10,~a-2,~b+2 RIGHT }]가 서로 같을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: b != 0])

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

4

자연수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: A _{k}]를 [eqn: A_k =]{[eqn: x``|``x]는 [eqn: k]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: k-1]인 자연수}라 하자. 이때 집합 [eqn: A _{3} SMALLINTER A _{4}]의 원소의 최솟값을 구하여라.

5

전체집합 [eqn: U=left{1,~2,~3,~cdots,~10 right}]의 두 부분집합

[eqn: A=]{[eqn: x``|``x = 2k +1], [eqn: k]는 음이 아닌 정수},
[eqn: B =]{[eqn: x``|``x = 3k+1], [eqn: k]는 음이 아닌 정수}에 대하여 집합 [eqn: (A∪B)-(A∩B)]를 원소나열법으로 나타내면?

① [eqn: left{1,~7 right}]	② [eqn: left{3,~5,~9 right}]

③ [eqn: left{1,~3,~5,~9 right}]	④ [eqn: left{3,~4,~5,~9,~10 right}]

⑤ [eqn: LEFT { 1,~3,~4,~5,~7,~9,~10 RIGHT }]

6

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A,~B]에 대하여
[eqn: LEFT ( A SMALLINTER B ^{C} ` RIGHT ) CUP LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B RIGHT ) = EMPTYSET]일 때, 다음 중 옳은 것은?

① [eqn: A=B]	② [eqn: A ^{ C it} = EMPTYSET]

③ [eqn: A ^{C} SMALLINTER B ^{C} = EMPTYSET]	④ [eqn: A CUP B=U]

⑤ [eqn: A SMALLINTER B ^{C} =A]

7

전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A,~B`] 에 대하여 [eqn: A ^{C} CUP B ^{C} = LEFT { 1,```2,```3,```5 RIGHT }],

[eqn: (B-A) ^{C} SMALLINTER LEFT { A SMALLINTER (A SMALLINTER B) ^{C} RIGHT } = LEFT { 1 RIGHT }]이 성립할 때, 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합을 구하여라.

8

전체집합 [eqn: U=]{[eqn: 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7]}의 두 부분집합
[eqn: A=]{1, 3, 5}, [eqn: B]에 대하여 집합 [eqn: B]가 다음 세 가지 조건을 만족할 때, 집합 [eqn: B]의 개수를 구하여라.

(ⅰ) [eqn: 2][eqn: IN B]  (ⅱ) [eqn: n(B)=][eqn: 3]  (ⅲ) [eqn: B SUBSET A ^{C}]

9

두 집합 [eqn: A it rm _{m} ,~ B it rm _{n}]에 대하여
[eqn: A_{itm} =]{[eqn: x``|``x]는 [eqn: m]의 배수, [eqn: m]은 자연수}
[eqn: B_{itn} =]{[eqn: x``|``x]는 [eqn: n]의 약수, [eqn: n]은 자연수}라고 하자.

[eqn: A it rm _{p} SUBSET LEFT ( A _{6} SMALLINTER A _{9} RIGHT )]를 만족시키는 자연수 [eqn: p]의 최솟값과 [eqn: B it rm _{q} SUBSET LEFT ( B _{12} SMALLINTER B _{18} RIGHT )]을 만족시키는 자연수 [eqn: q]의 최댓값의 합을 구하여라.

10

[eqn: 40]명의 학생을 대상으로 세 개의 수학 문제 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 풀게 하였더니 [eqn: rmA]문제, [eqn: rmB]문제, [eqn: rmC]문제를 맞힌 학생은 각각 [eqn: 16]명, [eqn: 20]명, [eqn: 22]명이고, 세 문제를 모두 맞힌 학생은 [eqn: 3]명이었다. 한 문제도 맞히지 못한 학생은 없다고 할 때, 세 문제 중 두 문제만을 맞힌 학생 수를 구하여라.

1. 집합

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 ⑤

① 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 [eqn: EMPTYSET SUBSET A]

②, ④ [eqn: 1 IN A,~3 IN A]이므로 [eqn: LEFT { 1,~3 RIGHT } SUBSET A]

⑤ [eqn: LEFT { 2 RIGHT } NOTIN A]

2 답 ③

[eqn: A = left { x vert f`(x) - g`(x) = 0 right } = left { x vert f`(x) = g`(x) right }]

[eqn: B = left { x left vert {f`(x)} over {g`(x)} = 1 right } = left { x vert f`(x) = g`(x),~ g`(x) not = 0 right }]

[eqn: THEREFORE ~B` SUBSET `A~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: C = left { x vert left { f`(x) right }^2 - left { g`(x) right }^2 = 0 right }]

[eqn: = left {x vert f`(x) = g`(x) ~ 또는~ f`(x) = -g`(x) right }]

[eqn: THEREFORE ~A` SUBSET `C~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: B `subset` A `subset` C`]

3 답 ③

[eqn: A= LEFT { 1,~2,~5,~10 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,~10,~a-2,~b+2 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A=B]이므로

[eqn: a-2=2,~b+2=5] 또는 [eqn: a-2=5,~b+2=2]

[eqn: THEREFORE ``a=4,~b=3] 또는 [eqn: `a=7,~b=0]

그런데 [eqn: b != 0]이므로  [eqn: a=4,~b=3]

[eqn: THEREFORE ``ab=12]

4 답 [eqn: 11]

[eqn: A _{3} = left{2,~5,~8,~11,~ CDOTS right}], [eqn: A _{4} = LEFT { 3,~7,~11,~15,~ CDOTS RIGHT }]

이므로 [eqn: A _{3} SMALLINTER A _{4} = LEFT { 11,~23,~35,~ CDOTS RIGHT }]

따라서 [eqn: A _{3} SMALLINTER A _{4}]의 원소의 최솟값은 [eqn: 11]이다.

5 답 ➃

[eqn: A= left{ 1,~3,~5,~7,~9 right},~ B= left{1,~4,~7,~10 right}]이므로

[eqn: A cup B = left { 1,~3,~4,~5,~7,~9,~10 right} ,~ A cap B = left{1,~7 right}]

[eqn: therefore`` (A cup B`) - ( A cap B`)= left{ 3,~4,~5,~9,~10 right}]

6 답 ➀

[eqn: LEFT ( A SMALLINTER B ^{C} ` RIGHT ) CUP LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B RIGHT ) = LEFT ( A-B RIGHT ) CUP LEFT ( B-A RIGHT ) = EMPTYSET]

이므로 [eqn: A-B= EMPTYSET ,````B-A= EMPTYSET]

따라서 [eqn: A SUBSET B,````B SUBSET A]이므로 [eqn: A=B]

7 답 [eqn: 5]

[eqn: (B-A)^C CAP LEFT { A CAP(A CAP B)^C RIGHT }]

[eqn: =(B-A) ^{C} SMALLINTER LEFT { A SMALLINTER (A ^{C} CUP B ^{C} ) RIGHT }]

[eqn: =(B CAPA^C `)^C CAP LEFT { (A CAP A^C`) CUP (A CAP B^C `) RIGHT }]

[eqn: =(B ^{C} CUP A) SMALLINTER LEFT { EMPTYSET CUP (A SMALLINTER B ^{C} `) RIGHT }]

[eqn: =(A CUP B ^{C} ) SMALLINTER LEFT ( A SMALLINTER B ^{C} `) RIGHT .]

[eqn: = LEFT { (A CUP B ^{C} `) SMALLINTER A RIGHT } SMALLINTER B ^{C}]

[eqn: =A CAPB^C =A-B]

[eqn: THEREFORE``A-B= LEFT { 1 RIGHT }]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉠

또, [eqn: A^C CUPB^C = (A CAP B)^C]이므로

[eqn: (A CAP B)^C = LEFT { 1,~2,~3,~5 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE``A CAP B= LEFT { 4 RIGHT }]                      [eqn: CDOTSCDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A= LEFT { 1,~4 RIGHT }]
그러므로 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 1+4 =5]

8 답 [eqn: 3]

(ⅲ)에서 [eqn: B SUBSET A ^{C}]이므로  [eqn: B SUBSET]{[eqn: 2,```4,```6,```7]}

(ⅰ)에서 [eqn: 2][eqn: IN B]이고, (ⅱ)에서 [eqn: n(B)=][eqn: 3]이므로 집합 [eqn: B]의 나머지 원소는 [eqn: 4,```6,```7]중에서 [eqn: 2]개를 골라야 한다.

따라서 집합 [eqn: B]는 {[eqn: 2,```4,```6]}, {[eqn: 2,```4,```7]}, {[eqn: 2,```6,```7]}로 [eqn: 3]개이다.

9 답 [eqn: 24]

[eqn: A _{6} SMALLINTER A _{9}]는 [eqn: 6]과 [eqn: 9]의 공배수의 집합, 즉 [eqn: 18]의 배수의 집합이므로 [eqn: A _{6} SMALLINTER A _{9} =A _{18}]

따라서 [eqn: A _{p} SUBSET A _{18}]을 만족시키는 [eqn: p]는 [eqn: 18]의 배수이므로 자연수 [eqn: p]의 최솟값은 [eqn: 18]이다.

또 [eqn: B _{12} SMALLINTER B _{18}]은 [eqn: 12]와 [eqn: 18]의 공약수의 집합, 즉 [eqn: 6]의 약수의 집합이므로 [eqn: B _{12} SMALLINTER B _{18} =B _{6}]

따라서 [eqn: B _{q} SUBSET B _{6}]을 만족시키는 [eqn: q]는 [eqn: 6]의 약수이므로 자연수 [eqn: q]의 최댓값은 [eqn: 6]이다.

따라서 구하는 값은 [eqn: 18+6=24]

10 답 [eqn: 12]

학생 전체의 집합을 [eqn: U], 세 문제 [eqn: rmA,~B,~C]를 맞힌 학생의 집합을 [eqn: A,~B,~C] 라고 하면

[eqn: n(U)=n(A CUP B CUP C)=40],

[eqn: n(A)=16,```n(B)=20,```n(C)=22,```n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)=3]

세 문제 중 두 문제만 맞힌 학생 수는

[eqn: n(A SMALLINTER B)+n(B SMALLINTER C)+n(C SMALLINTER A)-3 TIMES n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)]이고,

[eqn: n(A CUP B CUP C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A SMALLINTER B)]

[eqn: -n(B SMALLINTER C)-n(C SMALLINTER A)+n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)]

에서

[eqn: 40=16+20+22- LEFT { n(A SMALLINTER B)+n(B SMALLINTER C)]

[eqn: +n(C SMALLINTER A) RIGHT } +3]

[eqn: THEREFORE ``n(A SMALLINTER B)+n(B SMALLINTER C)+n(C SMALLINTER A)=21]

따라서 구하는 학생 수는

[eqn: 21-3 TIMES 3=21-9=12]