중단원 평가(발전)	Ⅲ. 도형의 방정식										1학년
	4. 도형의 이동
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

세 점 [eqn: rmO(0,````0)], [eqn: rmA(2,````0)], [eqn: rmB(ita,````b)`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동한 점을 각각 [eqn: rmO`prime], [eqn: rmA`'], [eqn: rmB` '`]이라고 하자. [eqn: rmB`'(3,````2root3 )`]이고,

[eqn: triangle rmO'A'B'`]이 정삼각형일 때, 상수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: mn`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: ab>0])

2

점 [eqn: (a,~-1)``]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동하였더니 원

[eqn: x^2 + y^2 - 2x + by + b^2 - 15 = 0]의 중심과 일치하였다. 이때 상수 [eqn: a,~b``]에 대하여 [eqn: a + b``]의 값을 구하여라.

3

원 [eqn: rmO``:``it x^2 +y^2 +6x -4y-12=0`]과 이 원을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 원 [eqn: rmO`'`]의 공통인 현의 길이가 [eqn: 2root23 `]일 때, 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 곱은?

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

4

포물선 [eqn: y=x ^{2} +6x+a]를 포물선 [eqn: y=x ^{2}]으로 옮기는 평행이동에 의하여 직선 [eqn: x+2y-1=0]이 옮겨지는 직선의 방정식은 [eqn: x+2y+a=0]이다. 이때 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

5

직선 [eqn: x-y+2 =0`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 직선과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 8`]일 때, [eqn: m`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: m>1])

6

직선 [eqn: 3x-y+1=0]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( 3`,````0 RIGHT )]과 대칭인 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a`,````b RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

7

직선 [eqn: l``:``2x-y+4 =0`]을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 직선을 [eqn: l_1], [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 직선을 [eqn: l_2`]라고 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: l_1`]의 교점을 [eqn: rmP], 두 직선 [eqn: l], [eqn: l_2`]의 교점을 [eqn: rmQ`]라고 할 때, 선분 [eqn: rmPQ`]의 길이를 구하여라.

8

원 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =2]의 [eqn: x LEQ 0,~y LEQ 0]인 부분과 이 부분을 각각 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축, 원점에 대하여 대칭이동하여 생기는 모든 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

9

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x-10y+28=0``]을 직선 [eqn: y=ax+b``]에 대하여 대칭이동한 원의 방정식이

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x-6y+c=0``]일 때, [eqn: a+b+c``]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b,~c``]는 상수이다.)

10

원 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} =16]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 후, 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이동한 원이 [eqn: x]축과 만나는 두 교점을 [eqn: rm P`,````Q]라고 할 때, 선분 [eqn: rm bar{PQ}]의 길이는?

① [eqn: sqrt {7}]	② [eqn: 2 sqrt {7}]	③ [eqn: 3 sqrt {7}]

④ [eqn: 4 sqrt {7}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {7}]

4. 도형의 이동

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 [eqn: 2root3]

도형을 평행이동해도 그 모양은 변하지 않으므로

[eqn: triangle rmOAB`]는 정삼각형이다. 정삼각형 [eqn: rmOAB`]의 한 변의 길이는 [eqn: bar{rmOA}=2`]이므로

[eqn: bar{rmOB}=bar{rmOA}=2]

[eqn: therefore````|`a`|=2`cos`60DEG=1], [eqn: |`b`|=2`sin`60DEG =root3]

[eqn: ab>0], [eqn: rmA(2,````0)`]이므로 [eqn: a=1,````b=root3]

[eqn: rmB'(3,````2root3 )`]이므로 [eqn: 1+m=3], [eqn: root3 +n =2root3]

[eqn: therefore````m=2,````n=root3]

[eqn: therefore````mn=2root3]

2 답 [eqn: 3``]

점 [eqn: (a,~-1)``]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2``]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1``]만큼 평행이동한 점의 좌표는 [eqn: (a + 2,~-2)``]

한편 [eqn: x^2 + y^2 - 2x + by + b^2 - 15 = 0``]에서

[eqn: (x - 1)^2 + LEFT ( y + b over 2 RIGHT )^2 = 16 - 3b^2 over 4``]

이므로 원의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,~- b over 2 RIGHT )``]

따라서 [eqn: a + 2 = 1,~-2 = - b over 2``]이므로

[eqn: a = -1,~b = 4``]

[eqn: therefore``a + b = 3``]

3 답 ②

[eqn: x^2 +y^2 +6x-4y-12=0`]에서

[eqn: (x+3)^2 +(y-2)^2 =25]

따라서 평행이동한 원 [eqn: rmO`'`]의 방정식은

[eqn: (x-a+3)^2 +(y-4)^2 =25]

[eqn: therefore````bar{rmOO`'][eqn: =root{(a-3+3)^2 +(4-2)^2}]
[eqn: =root{a^2 +4]

두 원 [eqn: rmO], [eqn: rmO`']의 공통인 현을 [eqn: bar{rmAB}], [eqn: bar{rmAB}`]와 [eqn: bar{rmOO`'}`]의 교점을 [eqn: rmH`]라 하면 [eqn: triangle rmAOO`'`]이 이등변삼각형이므로

[eqn: bar{rmOH}= 1over2 bar{rmOO`'}={root{a^2 +4}} over2]

[eqn: bar{rmAH}= 1over2 bar{rmAB}=root23 `]이므로 직각삼각형 [eqn: rmAOH`]에서

[eqn: 5^2 = left({root{a^2 +4}} over2 right)^2 +(root23 )^2]

[eqn: a^2 =4]    [eqn: therefore````a=+-2]

따라서 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 곱은 [eqn: -4`]이다.

4 답 [eqn: 22]

[eqn: y=x ^{2} +6x+a=(x+3) ^{2} +a-9]에서 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (-3,```a-9)]이고, 포물선 [eqn: y=x ^{2}]의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (0,```0)]이므로 주어진 조건을 만족시키는 평행이동은 [eqn: (x`,````y)`` rarrow``(x+3`,````y-a+9)]

이 평행이동에 의하여 직선 [eqn: x+2y-1=0]이 옮겨지는 직선의 방정식은

[eqn: (x-3)+2(y+a-9)-1=0]

[eqn: THEREFORE `x+2y+2a-22=0]

이 직선이 [eqn: x+2y+a=0]과 일치하므로

[eqn: a=2a-22`]    ∴ [eqn: a=22`]

5 답 [eqn: 5]

직선 [eqn: x-y+2=0`]을 평행이동한 직선의 방정식은

[eqn: (x-m)-(y+1)+2 =0]

[eqn: therefore````y=x+1 -m]	[eqn: cdotscdots]㉠

이때 [eqn: m>1`]이므로 직선 ㉠과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.

이 부분의 넓이가 [eqn: 8`]이므로

[eqn: 1over2 (m-1)^2 =8],	[eqn: (m-1)^2 =16]

[eqn: m-1 =+-4]	[eqn: therefore````m=5] ([eqn: because] [eqn: m>1])

6 답 ②

두 점 [eqn: (3`,~0)`]과 [eqn: (a`,~b)`]를 이은 선분의 중점

[eqn: left(` {3+a} over {2} `,```` {b} over {2} right)`]가 직선 [eqn: 3x-y+1`=`0] 위의 점이므로
[eqn: 3 CDOT {3+a} over {2} `-` {b} over {2} `+1`=`0]
[eqn: THEREFORE ``3a-b`=`-11`````````````````````~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS]㉠
또, 두 점  [eqn: (3`,~0)`]과 [eqn: (a`,~b)`]를 지나는 직선이
직선 [eqn: 3x-y+1`=`0]과 수직이므로
[eqn: {b} over {a-3} TIMES `3`=`-1]
[eqn: THEREFORE ``a+3b`=3``````````````````````` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~CDOTS CDOTS]㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=`-3`,~``b=2]    [eqn: THEREFORE ``a+b`=`-1]

7 답 [eqn: 2root5]

직선 [eqn: l_1`]의 방정식은 [eqn: -x+2y+4=0]

직선 [eqn: l_2`]의 방정식은 [eqn: 2x+y+4 =0]

직선 [eqn: l], [eqn: l_1`]의 방정식을 연립하여 풀면

[eqn: x=-4], [eqn: y=-4]	[eqn: therefore````rmP(-4,````-4)]

직선 [eqn: l], [eqn: l_2`]의 방정식을 연립하여 풀면

[eqn: x=-2], [eqn: y=0]	[eqn: therefore````rmQ(-2,````0)]

[eqn: therefore````bar{rmPQ}=root{(-2+4)^2 +4^2}=2root5]

8 답  [eqn: 4 pi +8``]

주어진 원을 [eqn: x]축, [eqn: y]축, 원점에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 각각

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =2``],

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =2``],

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =2``]

따라서 구하는 넓이는 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로

[eqn: 2 CDOT pi CDOT LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} =4 pi +8``]

9 답 [eqn: 26``]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x-10y+28=0``]에서

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2} =1``]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x-6y+c=0``]에서

[eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =25-c``]

두 원의 반지름의 길이가 같아야 하므로

[eqn: 1= sqrt {25-c} ``]	[eqn: THEREFORE ~c=24``]

두 원의 중심 [eqn: LEFT ( `2,~5` RIGHT ) ,~ LEFT ( 4,~3` RIGHT ) ``]을 이은 선분의 중점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {2+4} over {2} ,~ {5+3} over {2} ` RIGHT ) ``], 즉 [eqn: LEFT ( `3,~4` RIGHT ) ``]

이 점이 직선 [eqn: y=ax+b``]위의 점이므로

[eqn: 4=3a+b``]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

또 두 원의 중심 [eqn: LEFT ( `2,~5` RIGHT ) ,~ LEFT ( `4,~3` RIGHT ) ``]을 지나는 직선이 직선 [eqn: y=ax+b``]와 수직이므로

[eqn: {3-5} over {4-2} CDOT a=-1``]	[eqn: THEREFORE ~a=1``]

[eqn: a=1]을 ㉠에 대입하면 [eqn: 4=3+b``]   [eqn: THEREFORE ~b=1``]

[eqn: THEREFORE ~a+b+c=26``]

10 답 ②

원 [eqn: (x+2) ^{2} +(y+2) ^{2} `=`16]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동하면
[eqn: (x+3) ^{2} +(y+2) ^{2} `=16``````````````````````~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS]㉠
㉠을 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이동하면
[eqn: (-y+3) ^{2} +(-x+2) ^{2} `=16]
[eqn: THEREFORE `(x-2) ^{2} +(y-3) ^{2} `=16```````````~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS]㉡
원 ㉡이 [eqn: x]축과 만나는 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: y=0]을 대입하면
[eqn: (x-2) ^{2} +9`=`16`,`````````(`x-2) ^{2} `=`7`,`````````x-2`=`± sqrt {7}]

따라서  [eqn: x=`2`+` sqrt {7} `````또는```x`=`2- sqrt {7}]이므로

[eqn: ` bar{rmPQ`} `=`(`2+ sqrt {7} )`-`(`2- sqrt {7} )`=`2 sqrt {7}]