중단원 평가(발전)	Ⅲ. 도형의 방정식										1학년
	3. 원의 방정식
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2}+2kx-5k ^{ 2}-6k-4=0]이 반지름의 길이가 [eqn: 2`] 이하인 원을 나타내도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는?

① [eqn: -2 LEQk LEQ0]	② [eqn: -1 LEQk LEQ0]

③ [eqn: - {1} over {2} LEQ k LEQ {1} over {2}]	④ [eqn: 0LEQk LEQ1]

⑤ [eqn: 1LEQk LEQ6]

2

[eqn: x^2 +y^2 -2x-4ay+b=0]이 점 [eqn: (-3,`````4)]를 지나고, [eqn: x]축에 접하도록 [eqn: a,~ b]의 값을 정할 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3

직선 [eqn: 4x+ay+1=0`]이 두 원 [eqn: x^2 +y^2 +by=0,]

[eqn: x^2 +y^2 +3x-5y+1=0]의 중심을 모두 지나도록 하는 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: ab`]의 값을 구하여라.

4

점 [eqn: (3,`````3)]을 지나고, [eqn: x]축 및 [eqn: y]축에 동시에 접하는 원은 두 개 있다. 이 두 원의 중심 사이의 거리를 구하면?

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

5

중심이 곡선 [eqn: y=x ^{2} -6`]위에 있고, [eqn: x`]축과 [eqn: y`]축에 동시에 접하는 원의 개수는 [eqn: m`]이고, 이 원들의 넓이의 합은 [eqn: n`pi]이다. 이때 [eqn: m+n`]의 값은?

① [eqn: 18]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 42]

6

두 점 [eqn: rmA(-1,~1),`B(2,~1)]로부터의 거리의 비가 [eqn: 2:1]인 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: RMANGLEPAB]의 크기가 최대일 때, 선분 [eqn: rmAP]의 길이를 구하여라.

7

중심이 제[eqn: 2]사분면 위에 있으면서 원

[eqn: x^{ 2}+y ^{ 2}+8x-10y+25=0]과 외접하고 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 동시에 접하는 원은 [eqn: 2]개 있다. 이때 작은 원의 둘레의 길이를 구하여라.

8

중심이 직선 [eqn: x+y-9=0] 위에 있고, [eqn: x]축에 접하는 원 [eqn: rmC]가 있다. 원 [eqn: rmC]가 [eqn: y]축에 의하여 잘린 현의 길이가 [eqn: 6]일 때，원 [eqn: rmC]의 반지름의 길이는?

(단, 원 [eqn: rmC]의 중심은 제[eqn: 1]사분면 위에 있다.)

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

9

두 점 [eqn: LEFT ( 0,~-3 RIGHT ),~ LEFT ( 4,~1 RIGHT )]을 지름의 양 끝으로 하는 원이 직선 [eqn: y=x+k]와 만나지 않을 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

10

오른쪽 그림과 같이 원

[eqn: x^2 + y^2 = 4``]위의 점 [eqn: rm P``]에서의 접선이 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm Q,~R]라 할 때, [eqn: rm bar QR = 8``]

이다. 이때 [eqn: rm bar OQ cdot bar OR``]의 값은?

(단, 점 [eqn: rm P``]는 제[eqn: 1]사분면 위에 있고, [eqn: rm O``]는 원점이다.)

① [eqn: 14]	② [eqn: 10 root 2]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 12 root 2]	⑤ [eqn: 10 root 3]

3. 원의 방정식

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 ②

[eqn: x ^{2} +y ^{2}+2kx-5k ^{ 2}-6k-4=0에서]

[eqn: (x+k) ^{2} +y ^{2} =6k ^{2} +6k+4]

이 원의 반지름의 길이가 [eqn: 2`] 이하이려면

[eqn: 6k ^{2} +6k+4 LEQ 4,~k ^{2} +k LEQ 0]

[eqn: k(k+1) LEQ0]    ∴[eqn: ```-1 LEQ k LEQ 0]

2 답 ③

원 [eqn: x^2 +y^2 -2x-4ay+b=0]이 점 [eqn: (-3,`````4)]를 지나므로

[eqn: 9+16+6-16a+b=0]

[eqn: THEREFORE ~-16a+b=-31]                         [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

또, 표준형으로 바꾸면

[eqn: (x-1)^2 +(y-2a)^2 =1+4a^2 -b]이고, [eqn: x]축에 접하므로 중심의 [eqn: y]좌표의 절댓값과 반지름의 길이가 같다.

이때, 중심의 좌표가 (1, [eqn: 2a])이고 [eqn: r^2 =1+4a^2 -b]

[eqn: (2a)^2 =1+4a^2 -b]   [eqn: ∴~ b=1]

㉠에서 [eqn: a=2]   [eqn: ∴~ a+b=3]

3 답 [eqn: 2]

[eqn: x^2 +y^2 +by=0`]에서

[eqn: x^2 + LEFT ( y+ { b} over {2 } RIGHT )^2 = { b^2} over { 4}]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: x^2 +y^2 +3x-5y+1=0`]에서

[eqn: LEFT ( x+ { 3} over {2 } RIGHT )^2 + LEFT ( y- { 5} over {2 } RIGHT )^2 = { 15} over { 2}]	[eqn: cdotscdots]㉡

직선 [eqn: 4x+ay+1=0`]이 원 ㉡의 중심 [eqn: LEFT ( - {3} over {2} ,~ {5} over {2} RIGHT )`]를 지나므로

[eqn: -6+ {5} over {2}a+1=0]	[eqn: THEREFORE``a=2]

직선 [eqn: 4x+2y+1=0`]이 원 [eqn: ㉡`]의 중심 [eqn: LEFT ( 0,~- {b} over {2} RIGHT )`]를 지나므로

[eqn: -b+1=0]   [eqn: THEREFORE``b=1]

[eqn: THEREFORE``ab=2]

4 답 ③

점 [eqn: (3,`````3)]을 지나므로 이 원은 제[eqn: 1]사분면에 있다. 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 중심은 점[eqn: (r, ~r)]가 되므로 원의 방정식은

[eqn: (x-r) ^2 + (y-r)^2 = r^2]

이 원이 점 [eqn: (3,`````3)]을 지나므로

[eqn: (3-r)^2 + (3-r)^2 = r^2]

[eqn: ∴~ r^2 -12r `+18 `=0]

이 방정식의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라 하면

[eqn: alpha + beta =12,~ alpha beta =18]

두 원의 중심이 점 [eqn: ( alpha ,~ alpha ),~( beta ,~ beta )]이므로 중심 사이의 거리는

[eqn: sqrt {( alpha - beta ) ^{2} +( alpha - beta ) ^{2}} = sqrt {2` LEFT { ( alpha + beta ) ^{2} -4 alpha beta RIGHT }}]

[eqn: = root {2 (12^2 -`4 cdot 18 ) }]

[eqn: =12]

5 답 ③

[eqn: x`]축과 [eqn: y`]축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 [eqn: y=x`]또는 직선 [eqn: y=-x`] 위에 있다.

따라서 주어진 원의 중심은 곡선
[eqn: y=x^2 -6`]과 직선

[eqn: y=x`] 또는 [eqn: y=-x`]의 교점이다.

(i) [eqn: x^2 -6=x`]에서 [eqn: x^2 -x-6=0]

[eqn: (x+2)(x-3)=0]  [eqn: THEREFORE ``x=-2`] 또는 [eqn: x=3]

(ii) [eqn: x^2 -6=-x`]에서 [eqn: x^2 +x-6=0]

[eqn: (x+3)(x-2)=0]   [eqn: THEREFORE ~x=-3`] 또는 [eqn: x=2]

(i), (ii)에서 [eqn: m=4]

또 네 원의 중심의 좌표는 각각

[eqn: (-3,~3),~(-2,~-2),~(2,~-2),~(3,~3)`]

이고, 반지름의 길이는 각각 [eqn: 3,~2,~2,~3`]이다.

따라서 네 원의 넓이의 합은

[eqn: pi·3^2 +pi·2^2 +pi·2^2 +pi·3^2 =26 pi]

이므로 [eqn: n=26]

[eqn: THEREFORE ``m+n=30]

6 답 [eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: rm P][eqn: (x,~y)]라고 하면 [eqn: rm bar{AP`} `:`` bar{BP} `=`2`:`1]이므로

[eqn: rm bar{AP`} =`2 bar{BP} ,~ rm {bar{AP`} } ^{2} =`4 {bar{BP}} ^{2}]

[eqn: (x+1) ^{2} +(y-1) ^{2} =4 LEFT { (x-2) ^{2} +(y-1) ^{2} RIGHT }]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -6x-2y+6=0]

∴[eqn: (x-3) ^{2} +(y-1) ^{2} =4]

따라서 점 [eqn: rmP]는 중심의 좌표가 [eqn: (3,~1)], 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 위를 움직인다.

[eqn: rmANGLE PAB]의 크기가 최대가 되는 것은 오른쪽 그림과 같이

직선 [eqn: rm AP]가 원에 접할 때이므로 원의 중심을 [eqn: rm C]라고 하면 직각삼각형 [eqn: rm PAC]에서

[eqn: rm bar{AP} = sqrt {4 ^{2} -2 ^{2}} =2 sqrt {3}]

7 답 [eqn: 2 pi]

[eqn: x^{ 2}+y ^{ 2}+8x-10y+25=0]에서

[eqn: (x+4) ^{2} +(y-5) ^{2} =16]

중심이 제[eqn: 2]사분면 위에 있으면서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 동시에 접하는 원의 방정식을

[eqn: (x+r) ^{2} +(y-r) ^{2} =r ^{2} ``(r>0)]

이라 하면 두 원의 중심의 좌표가 각각 [eqn: (-4,~5),] [eqn: (-r,~r)]이므로 중심 사이의 거리는
[eqn: sqrt {(-r+4) ^{2} +(r-5) ^{2}}]

두 원의 반지름의 길이가 각각 [eqn: 4,~r]이므로 두 원이 외접하려면 [eqn: sqrt {(-r+4) ^{2} +(r-5) ^{2}} =4+r]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: r ^{2} -26r+25=0,]	[eqn: (r-1)(r-25)=0]

∴ [eqn: r=1] 또는 [eqn: r=25]

따라서 작은 원의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이므로 작은 원의 둘레의 길이는 [eqn: 2 pi]이다.

8 답 ①

원 [eqn: rmC]가 [eqn: x]축에 접하므로 원의 방정식을

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT )^2 + LEFT ( y-b RIGHT )^2 =b^2~ LEFT ( a>0,~b>0 RIGHT )]

이라고 하자.

오른쪽 그림과 같이 원 [eqn: rmC]와 [eqn: y]축의 두 교점을 [eqn: rmA,~B]라 하고, 원의 중심 [eqn: rmC]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면

[eqn: bar { rmAH}= { 1} over {2 } bar {rmAB }= { 1} over { 2} CDOT6=3]

직각삼각형 [eqn: rmACH]에서

[eqn: b^2 =a^2 +9]	[eqn: cdotscdots]㉠

또 점 [eqn: rmC LEFT ( ita,~b RIGHT )]가 직선 [eqn: x+y-9=0] 위에 있으므로

[eqn: a+b-9=0]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=4,~b=5]

따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 [eqn: 5]이다.

9 답 [eqn: k<"-7"~또는~k>1]

두 점 [eqn: LEFT ( 0,~-3 RIGHT ),~ LEFT ( 4,~1 RIGHT )]을 지름의 양 끝으로 하는 원의 중심의 좌표는

[eqn: LEFT ( { 4} over {2 } ,~ { -3+1} over {2 } RIGHT ),~즉~ LEFT ( 2,~-1 RIGHT )]

반지름의 길이는 [eqn: { sqrt { 4^2 + LEFT ( 1+3 RIGHT )^2 } } over {2 }=2 sqrt { 2}]

원의 중심 [eqn: LEFT ( 2,~-1 RIGHT )]과 직선 [eqn: y=x+k], 즉
[eqn: x-y+k=0] 사이의 거리는
[eqn: {LEFT | 2+1+k RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}} = {LEFT | 3+k RIGHT |} over {sqrt {2}}]

원의 반지름의 길이가 [eqn: 2sqrt { 2}]이므로 원과 직선이 만나지 않으려면

[eqn: {LEFT | 3+k RIGHT |} over {sqrt {2}} >2 sqrt {2} ,~~ LEFT | 3+k RIGHT | >4]

[eqn: 3+k<`-4~또는~3+k>4]

[eqn: THEREFORE ``k<"-7"] 또는 [eqn: k>1]

10 답 ③

[eqn: rm P( it a,~b)``][eqn: (a>0,````b>0)]라고 하면 점 [eqn: rm P]에서의 접선의 방정식은

[eqn: ax + by = 4]

[eqn: therefore ~ rm Q left( 4 over {it a} ,~ 0 right ) ,~ R left ( 0 , ~4 over {it b } right )]

[eqn: rm bar QR =8 ``]이므로

[eqn: 16 over a^2 + 16 over b^2 = 64 , ~~ 1 over a^2 + 1 over b^2 = 4]

[eqn: therefore ~ a^2 + b^2 = 4 a^2 b^2]	[eqn: cdotscdots]㉠

점 [eqn: rm P ( it a,~ b )`]는 원 [eqn: x^2 + y ^ 2 = 4 `]위의 점이므로

[eqn: a^2 + b^2 = 4]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면  [eqn: a^2 b^2 = 1]

[eqn: therefore ~ ab = 1 ~ ( because ~ a> 0 , ~ b > 0 )]

[eqn: therefore ~ rm bar OQ cdot bar OR = 16 over {it ab} = 16]