중단원 평가(발전)	Ⅲ. 도형의 방정식										1학년
	2. 직선의 방정식
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

직선 [eqn: sqrt { 3}x+ay +b=0]이 점 [eqn: LEFT ( 2,````-1 RIGHT )]을 지나고 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 60°]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b``]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2-2 sqrt { 3}]	② [eqn: 2-2 sqrt { 3}]	③ [eqn: -2+2 sqrt { 3}]

④ [eqn: 2sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 2+2 sqrt { 3}]

2

오른쪽 그림과 같이 마름모

[eqn: rmABCD]에서 두 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]

의 좌표가 각각 [eqn: LEFT ( 4,````5 RIGHT )],

[eqn: LEFT ( 1,````1 RIGHT )]이고 선분	[eqn: rmBC]가 [eqn: x]축

에 평행할 때, 직선 [eqn: rmCD]의 [eqn: y]

절편을 구하여라.

3

두 점 [eqn: rm A(1`,~0)`], [eqn: rm B(-2`,~4)`]를 이은 선분 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: kx-y-2k+2=0]이 한 점에서 만날 때, 실수 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라.

4

두 직선 [eqn: (k-2)x+3y-1=0,~y=kx+3`]이 평행하도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값을 [eqn: alpha ,] 수직이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값을 [eqn: beta`]라고 할 때, [eqn: alpha beta`]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: beta`>`0])

5

직선 [eqn: 3x-4y+12=0]과 수직이고 원점으로부터의 거리가 [eqn: 3]인 직선의 [eqn: y]절편을 [eqn: a]라고 할 때, [eqn: a^2]의 값을 구하여라.

6

오른쪽 그림과 같이
점 [eqn: rm`A LEFT ( 2,~ {5} over {2} RIGHT )]에서 직선

[eqn: x+2y-2=0]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm`H]라고 할 때, 점 [eqn: rm`H]의 좌표를 구하여라.

7

평행한 두 직선

[eqn: ax+2y-1=0`,~3x+(a-1)y-1=0`] 사이의 거리

는? (단, [eqn: a]는 실수이다.)

① [eqn: sqrt2 over4]	② [eqn: sqrt2 over3]	③ [eqn: {5sqrt2} over12]

④ [eqn: sqrt2 over2]	⑤ [eqn: {7sqrt2} over12]

8

점 [eqn: (a,~b)]가 직선 [eqn: x-3y+1=0] 위에 있을 때, 직선 [eqn: ax-by=2]는 항상 점 [eqn: (p,~q)]를 지난다. 이때 [eqn: p+q]의 값을 구하여라.

9

세 점 [eqn: rm { A(1, ``-2) ,~ B(4,``0), ~C(0,``2) }]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm { ABC }]가 있다. 직선 [eqn: mx+y-m+2 =0]이 삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 넓이를 이등분할 때, 상수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

10

점 [eqn: rm P`]에서 두 직선 [eqn: 2x-y-1=0,] [eqn: x+2y-1=0`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm R], [eqn: rm S]라 할 때, [eqn: rm bar PR = 2 bar PS `]를 만족하는 점 [eqn: rm P`]의 자취의 방정식을 구하여라.

[eqn: left( pile{ `#` }]단, [eqn: x!= 3 over 5 right)]

2. 직선의 방정식

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 ①

점 [eqn: LEFT ( 2,````-1 RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: tan`60° = sqrt { 3}]인 직선의 방정식은

[eqn: y - LEFT ( -1 RIGHT )`= sqrt { 3} LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: sqrt { 3}x - y -1 -2 sqrt { 3}=0]

따라서 [eqn: a=`-1], [eqn: b=`-1-2 sqrt { 3}]이므로

[eqn: a+b = `-2-2 sqrt { 3}]

2 답 [eqn: -7]

[eqn: rmbarAB = sqrt { LEFT ( 4-1 RIGHT )^2 + LEFT ( 5-1 RIGHT )^2 }=5]이므로

[eqn: rmC LEFT ( 6,````1 RIGHT )], [eqn: rmD LEFT ( 9,````5 RIGHT )]

따라서 직선 [eqn: rmCD]의 방정식은

[eqn: y -1 = {5-1}over {9-6} LEFT ( x-6 RIGHT )], 즉 [eqn: y = 4over3 x -7]

이므로 구하는 [eqn: y]절편은 [eqn: -7]이다.

3 답 [eqn: 3 over2]

직선 [eqn: kx-y-2k+2=0]에서

[eqn: k(x-2)-(y-2)=0]	…… ㉠

이므로 [eqn: k]의 값에 관계없이 점 [eqn: (2,~2)]를 지난다.

오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠이

선분 [eqn: rmAB]와 한 점에서 만나도록

움직여 보면

(ⅰ) 직선 ㉠이 점 [eqn: rm A(1,~0)]을 지날

때
[eqn: -k+2=0``~~~ THEREFORE ~k=2]

(ⅱ) 직선 ㉠이 점 [eqn: rm B(-2,~4)]를 지날 때
[eqn: -4k-2=0]   [eqn: THEREFORE ~k=- {1} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는

[eqn: - 1 over2 le k le 2`]

따라서 실수 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값의 합은

[eqn: 2+ left( - 1 over2 right) = 3 over2]

4 답 [eqn: { {3} over {2} }]

직선 [eqn: (k-2)x+3y-1=0`]과 직선 [eqn: y=kx+3], 즉

[eqn: kx-y+3=0`]이

(ⅰ) 두 직선이 평행하려면 [eqn: { k-2} over {k } = { 3} over {-1 } NE { -1} over {3 }]
[eqn: -k+2 =3k]   [eqn: therefore~k= { 1} over { 2}]

(ⅱ) 두 직선이 수직이려면
[eqn: (k-2) CDOT k+3 CDOT (-1)=0]
[eqn: k ^{2} -2k-3=0,] [eqn: (k+1)(k-3)=0]
[eqn: therefore~k=-1] 또는 [eqn: k=3]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: alpha = {1} over {2} ,] [eqn: beta = 3] ([eqn: because~ beta>0])이므로

[eqn: alpha beta = { 3} over { 2}]

5 답 [eqn: 25]

직선 [eqn: 3x-4y+12=0]에서 [eqn: y= 3 over4 x +3]이므로 이 직선과 수직인 직선의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면

[eqn: 3 over4 cdot m= -1]   [eqn: THEREFORE ~m=- {4} over {3}]

따라서 구하는 직선의 방정식을

[eqn: y= - 4 over3 x +a ,`]즉 [eqn: 4x+3y-3a=0]이라고 하면 원점에서 이 직선까지의 거리가 [eqn: 3]이므로

[eqn: {|-3a| over{sqrt{4^2 +3^2 } }=3], [eqn: |-3a|=15], [eqn: -3a= +- 15]

[eqn: THEREFORE ~a=-5] 또는 [eqn: a=5]

[eqn: THEREFORE ~a ^{2} =25]

6 답 [eqn: rm {H LEFT ( 1,~ {1} over {2} RIGHT ) }]

직선 [eqn: x+2y-2=0,] 즉 [eqn: y=- {1} over {2} x+1]의 기울기가

[eqn: - {1} over {2}]이므로 직선 [eqn: rm`AH]의 기울기는 [eqn: 2]이다.

따라서 직선 [eqn: rm`AH]의 방정식은

[eqn: y- {5} over {2} =2 LEFT ( x-2 RIGHT )]	[eqn: therefore~4x-2y-3=0]

[eqn: x+2y-2=0,] [eqn: 4x-2y-3=0]을 연립하여 풀면

[eqn: x=1,~y= {1} over {2}]

[eqn: therefore` rm `H LEFT ( 1,~ {1} over {2} RIGHT )]

7 답 ③

두 직선 [eqn: ax+2y-1][eqn: =0``,````3x+(a-`1)y-1=0]이 평행하므로

[eqn: a over3 = 2 overa-1 != -1 over-1]에서 [eqn: a(a-1)=6]

[eqn: a^2 -a -6=0], [eqn: (a+2)(a-3)=0]

[eqn: THEREFORE ~a=-2] 또는 [eqn: a=3]

그런데 [eqn: a=3]이면 두 직선이 일치하므로 [eqn: a=-2]

[eqn: a=-2]일 때, 두 직선의 방정식은

[eqn: 2x-2y+1=0], [eqn: 3x-3y-1=0]

따라서 [eqn: 2x-2y+1][eqn: =0] 위의 점 [eqn: left( 0`,~ 1over2 right)]과 직선

[eqn: 3x-3y-1=0] 사이의 거리는

[eqn: {LEFT |` - {3} over {2} -1 `RIGHT |`} over {sqrt {3 ^{2} +(-3) ^{2}}} ={5sqrt {2}} over {12}]

8 답 [eqn: bold{-8}]

직선 [eqn: x-3y+1=0]이 점 [eqn: (a,~b)]를 지나므로
[eqn: a-3b+1=0]	∴ [eqn: a=3b-1]              [eqn: cdots cdots]㉠
㉠을 [eqn: ax-by=2]에 대입하면 [eqn: (3b-1)x-by=2]
이 식을 [eqn: b]에 대하여 정리하면

[eqn: (3x-y)b-x-2=0]
이 식이 [eqn: b]의 값에 관계없이 항상 성립하려면
[eqn: 3x-y=0,] [eqn: -x-2=0]	∴ [eqn: x=-2,] [eqn: y=-6]
따라서 [eqn: p=-2,] [eqn: q=-6]이므로 [eqn: p+q=-8]

9 답 [eqn: {-3}]

[eqn: mx+y-m+2=0]에서

[eqn: m LEFT ( x-1 RIGHT ) + LEFT ( y+2 RIGHT ) =0]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

이므로 직선 ㉠은 [eqn: m]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]를 지난다.

[eqn: rm A LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]이므로 직선 ㉠이 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이를 이등분하려면 직선 ㉠은 [eqn: rm bar{BC}]의 중점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]을 지나야 한다.

따라서 [eqn: m+3=0]이므로 [eqn: m=-3]

10 답 [eqn: y = 1 over 5] 또는 [eqn: 4x + 3y -3=0]

[eqn: rmP][eqn: (x,~y)]라고 하면 [eqn: rmbar PR `= 2 bar PS`]이므로

[eqn: {{left|`2x-y-1`right|} over {root{2^2 + (-1)^2 }}}`=`2cdot{left|`x+2y-1 `right|} over {root{1^2 + 2^2 }]

[eqn: 2x-y-1 = +- 2 (x+2y-1)]

[eqn: ∴] [eqn: y = 1 over 5] 또는 [eqn: 4x + 3y -3=0]