중단원 평가(발전)	Ⅲ. 도형의 방정식										1학년
	1. 평면좌표
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

세 점 [eqn: {rm A }(a`,~1)`,``` `{rmB}(-1`,~2)`,~{rmC}(3`,~4)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]가 [eqn: rm ANGLE A`]가 직각인 직각삼각형일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2

[eqn: a,~b`]가 실수일 때,

[eqn: root {a^2 + b^2 } + root {(a-1)^2 + (b-3)^2 } `]의 최솟값은?

① [eqn: 2root 2`]	② [eqn: root 10`]	③ [eqn: 2 root 3`]

④ [eqn: root 15`]	⑤ [eqn: 2 root 5`]

3

좌표평면 위의 두 점 [eqn: {rmA}(-1`,~2)`,````{rmB}(3`,~5)]와 [eqn: x`]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmAPB]의 둘레의 길이의 최솟값은?

① [eqn: 4+ sqrt {65}]	② [eqn: 5+ sqrt {65}]	③ [eqn: 6+ sqrt {65}]

④ [eqn: 7+ sqrt {65}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {65}]

4

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2``:`1]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAQ]를 [eqn: 1``:`2]로 내분하는 점이다.

ㄴ. 점 [eqn: rmB]는 선분 [eqn: rmAQ]의 중점이다.

ㄷ. 점 [eqn: rmA]는 선분 [eqn: rmPB]를 [eqn: 3``:`2]로 외분하는 점이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

5

좌표평면 위의 세 점
[eqn: rm O(0`,~0)`,````A(5`,~3)`,````B(4`,~9)`]

에 대하여 [eqn: rm {bar{PO}} ^{2} + {bar{PA}} ^{2} +{bar{PB}} ^{2}`]은 점 [eqn: rmP`]의 좌표가 [eqn: (a`,````b)`]일 때, 최솟값 [eqn: m]을 가진다고 한다. 이때 [eqn: a+b+m]의 값을 구하여라.

6

오른쪽 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 점 [eqn: rm M]은 변 [eqn: rmBC]의 중점이고 점 [eqn: rmG]는 무게중심이다. [eqn: rmbar{AB}=8`],  [eqn: rm bar{AC} =2 sqrt {6}`],

[eqn: rm bar{BM} =4`]일 때, [eqn: rmbar{GM}]의 길이를 구하여라.

7

두 점 [eqn: rmA LEFT ( -1,````-6 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 3,````2 RIGHT )]와 선분 [eqn: rmAB]의 연장선 위의 점 [eqn: rmC LEFT ( ita,````b RIGHT )]에 대하여 [eqn: 3`rmbarAB = 2` barBC]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a>0])

① [eqn: 20]	② [eqn: 21`]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

8

두 점 [eqn: rmA(-3,`````4)], [eqn: rm B(5,`````-1)]을 잇는 선분 [eqn: rmAB]를

[eqn: t`:`(1-t)]로 내분하는 점이 제1사분면에 속할 때, [eqn: t]의 값의 범위를 구하여라.

9

세 점 [eqn: {rmA}(a`,~1)`,~{rmB}(b`,~6)`,~{rmC}(-4`,~ab)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 무게중심이 원점일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은?

① [eqn: 20`]	② [eqn: 25`]	③ [eqn: 30`]

④ [eqn: 35`]	⑤ [eqn: 40`]

10

마름모 [eqn: rm ABCD`]에서 세 꼭짓점의 좌표가 각각

[eqn: rmA LEFT ( 1`,~1 RIGHT )`], [eqn: rm B LEFT ( 3`,~5 RIGHT )`], [eqn: {rm D} LEFT ( a`,~b RIGHT )`]이고 대각선 [eqn: rm `AC]의 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 4`,~2 RIGHT )`]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

1. 평면좌표

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 ②

[eqn: {rm bar{AB}} ` ^{2} =(-1-a) ^{2} +(2-1) ^{2} =a ^{2} +2a+2]

[eqn: {rm bar{AC}} ` ^{2} =(3-a) ^{2} +(4-1) ^{2} =a ^{2} -6a+18]

[eqn: {rm bar{BC} }` ^{2} =(3+1) ^{2} +(4-2) ^{2} =20]

[eqn: rm bar{AB} ` ^{2} + bar{AC} ` ^{2} = bar{BC} ` ^{2}]이므로

[eqn: (a ^{2} +2a+2)+(a ^{2} -6a+18)=20]

[eqn: 2a ^{2} -4a=0`], [eqn: 2a(a-2)=0`]

그런데 [eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2]

2 답 ②

[eqn: {rmO}(0,~0),~{rmP}(a,~b),~{rm Q}(1,~3)`]이라고 하면

[eqn: sqrt { a^2 +b^2 } = {rm bar OP} , ~ sqrt { (a-1)^2 + (b-3)^2 }=` {rm bar PQ}]

[eqn: THEREFORE`` sqrt { a^2 +b^2 } + sqrt { (a-1)^2 + (b-3)^2 }][eqn: = rm bar OP + bar PQ`]
[eqn: geq rm bar OQ = sqrt { 1^2 +3^2 `}]
[eqn: = sqrt { 10}`]

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: sqrt { 10`]이다.

3 답 ②

[eqn: rm bar{AB} = sqrt {(3+1) ^{2} +(5-2) ^{2}} =5]

로 일정하므로 [eqn: rm bar{AP} + bar{BP}]의 값

이 최소일 때, 삼각형 [eqn: rm APB]의

둘레의 길이도 최소가 된다.

점 [eqn: rm A]와 [eqn: x]축에 대하여 대칭인

점을 [eqn: rm A']이라고 하면

[eqn: rm A prime (-1,```-2)]

[eqn: rm bar{AP} = bar{A'P}]이므로

[eqn: rm bar{AP} + bar{BP} = bar{A'P} + bar{BP}`]

[eqn: ge rm bar A'B`]

[eqn: = sqrt {(3+1) ^{2} +(5+2) ^{2}} = sqrt {65}`]

따라서 [eqn: rm `bar{AP} + bar{BP}`]의 최솟값은 [eqn: sqrt {65}]이므로 삼각형

[eqn: rm ABC`]의 둘레의 길이의 최솟값은 [eqn: 5+ sqrt {65}]이다.

4 답 ③

점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rmB]보다 수직선의 왼쪽에 위치한다고 할 때, 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 위치는 다음 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: rmbarAP ``:` barPQ `= 1``:`2]이므로 점 [eqn: rmP]는 [eqn: rmbarAQ]를 [eqn: 1``:`2]로 내분하는 점이다.

ㄴ. [eqn: rmbarAB `= barBQ]이므로 점 [eqn: rmB]는 [eqn: rmbarAQ]의 중점이다.

ㄷ. [eqn: rmbarAP ``:` barAB `= 2``:`3]이므로 점 [eqn: rmA]는 [eqn: rmbarPB]를 [eqn: 2``:`3]으로 외분하는 점이다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

5 답 [eqn: 63]

[eqn: rm bar{PO} ` ^{2} + bar{PA} ` ^{2} + bar{PB} ` ^{2}`]

[eqn: =a ^{2} +b ^{2} +(a-5) ^{2} +(b-3) ^{2} +(a-4) ^{2} +(b-9) ^{2}`]

[eqn: =3a ^{2} -18a+3b ^{2} -24b+131`]

[eqn: =3(a-3) ^{2} +3(b-4) ^{2} +56`]

따라서 [eqn: a=3,```b=4]일 때, 최솟값 [eqn: m=56]이다.

[eqn: THEREFORE a+b+m=63]

6 답 [eqn: {2 sqrt {7}} over {3}]

[eqn: rm bar{BM} = bar{CM}`]이므로 중선 정리에 의하여

[eqn: rm bar{AB} ` ^{2} + bar{AC} ` ^{2} =2( bar{AM} ` ^{2} + bar{BM} ` ^{2} )`]

[eqn: rm 8 ^{2} +(2 sqrt {6} ) ^{2} =2( bar{AM} ` ^{2} +4 ^{2} )`]

[eqn: rm 44= bar{AM} ` ^{2} +16`], [eqn: rm bar{AM} ` ^{2} =28`]

[eqn: rm THEREFORE bar{AM} =2 sqrt {7} ```~`( BECAUSE bar{AM} `>0)`]

한편, 점 [eqn: rm G]는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심이므로

[eqn: rm bar{GM} = {1} over {3} bar{AM}`][eqn: = {1} over {3} TIMES 2 sqrt {7} = {2 sqrt {7}} over {3}`]

7 답 ④

[eqn: a>0]이므로 직선 [eqn: rmAB] 위의 세 점은 [eqn: rmA,````B,````C]의 순서로 놓여 있다.

[eqn: 3 ` rmbarAB `= 2 ` barBC]에서 점 [eqn: rmC]는 [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 5``:`3]으로 외분하는 점이므로

[eqn: a= {5cdot3 -3 cdot LEFT ( -1 RIGHT )}over{5-3} =9]

[eqn: b= {5cdot2 - 3 cdot LEFT ( -6 RIGHT )}over{5-3} =14]

[eqn: therefore] [eqn: a+b =23]

8 답 [eqn: 3 over 8 <t< 4 over 5]

[eqn: rm bar{AB}]를 [eqn: t``:`(1-t)]로 내분하는 점은

[eqn: LEFT ( {t CDOT 5+(1-t) CDOT (-3)} over {t+(1-t)} ,~ {t CDOT (-1)+(1-t) CDOT 4} over {t+(1-t)} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: (8t-3, ~4-5t)]

이 점이 제1사분면에 속하려면

[eqn: 8t-3>0]이고 [eqn: 4-5t>0]

∴ [eqn: 3 over 8 <t< 4 over 5]

9 답 ③

삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심이 원점이므로

[eqn: {a+b-4} over {3} =0,``` {1+6+ab} over {3} =0]

[eqn: a+b=4,```ab=-7]

[eqn: THEREFORE a ^{2} +b ^{2} =(a+b) ^{2} -2ab`][eqn: =4 ^{2} -2 TIMES (-7)=30`]

10 답 [eqn: 4]

마름모 [eqn: rm { ABCD }]에서 대각선 [eqn: rm { BD }]와 [eqn: rm { AC }]의 중점이 일치하므로
[eqn: LEFT ( {3+a} over {2} `,~ {5+b} over {2} RIGHT ) = LEFT ( 4`,~2 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE a=5`,~`b=-1`~~~`` THEREFORE a+b=4]