중단원 평가(발전)	Ⅱ. 방정식과 부등식										1학년
	3. 여러 가지 방정식과 부등식
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

삼차방정식 [eqn: ax ^{3} -bx ^{2} +cx-d=0]의 한 근을

[eqn: alpha `( alpha != 0)]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a,~b,~c,~d]는 상수이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: - alpha]는 [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d=0]의 근이다.

ㄴ. [eqn: -` {1} over {alpha }]은 [eqn: dx ^{3} +cx ^{2} +bx+a=0]의 근이다.

ㄷ. [eqn: {1} over {alpha }]은 [eqn: dx ^{3} -cx ^{2} +bx-a=0]의 근이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2

사차방정식 [eqn: x ^{`4} -(2m+3)`x ` ^{2} +m ` ^{2} =0]의 서로 다른 네 실근 중 두 양의 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라 할 때, [eqn: beta =2 alpha]가 되도록 하는 정수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

3

다음 그림과 같은 전개도로 만든 오각기둥의 부피가 [eqn: 195 `{rm cm } ^{3}]일 때, [eqn: x`]의 값은?

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

4

[eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}}]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]의 꼭짓점 [eqn: rm A]에서 변 [eqn: rm BC]에 그은 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하자. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 둘레의 길이는 높이 [eqn: rm AD]의 길이의 [eqn: 4`]배이다. 이때 [eqn: rm bar AB over bar BD]의 값은?

① [eqn: 4 over 3`]	② [eqn: 5 over 3`]	③ [eqn: 2`]	④ [eqn: {1 + sqrt17 } over 3`]	⑤ [eqn: {1+sqrt9} over 3`]

5

실수 [eqn: x,~y]가 [eqn: 2x ^{2} +4xy+5y ^{2} -4x+2y+5=0]을 만족시킬 때, [eqn: x-y]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

6

연립부등식 [eqn: LEFT { {2x－1>9~} atop {1－x GEQ －9} RIGHT .]를 만족하는 정수를 [eqn: a]라 할 때, 분수 [eqn: 1over a]이 유한소수가 되는 [eqn: a]는 몇 개인가?

① [eqn: 1]개           ② [eqn: 2]개          ③ [eqn: 3]개

④ [eqn: 4]개           ⑤ [eqn: 5]개

7

부등식 [eqn: LEFT | 2x-3RIGHT |+1>a`]의 해가 모든 실수가 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

① [eqn: a>1]	② [eqn: a GEQ1]	③ [eqn: a>-1]

④ [eqn: a<1]	⑤ [eqn: a leq1]

8

이차부등식 [eqn: (a+1) x^2 +(b-1) x + 1>0`]의 해가

[eqn: -1 < x<3`]일 때, 실수 [eqn: a, ````b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하여라.

9

연립부등식 [eqn: cases{2LEFT [x RIGHT ]+1 LEQ0 # LEFT [ x RIGHT ]^2 +LEFT [ x RIGHT ]-6<0 }]의 해를 구하여라.

(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

10

이차방정식 [eqn: x^2 +px -1=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: -2<alpha<1<beta <2]를 만족시키는 정수 [eqn: p]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

3. 여러 가지 방정식과 부등식

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 ⑤

주어진 삼차방정식의 한 근이 [eqn: alpha]이므로

[eqn: a alpha ^{3} -b alpha ^{2} +c alpha -d=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]

ㄱ. ㉠의 양변에 [eqn: -1]을 곱하면

[eqn: -a alpha ^{3} +b alpha ^{2} -c alpha +d=0]

[eqn: THEREFORE `a(- alpha ) ^{3} +b(- alpha ) ^{2} +c(- alpha )+d=0]

따라서 [eqn: - alpha]는 [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d=0]의 근이다.

ㄴ. ㉠의 양변을 [eqn: alpha ^{3}]으로 나누면

[eqn: a- {b} over {alpha } + {c} over {alpha ^{2}} - {d} over {alpha ^{3}} =0]

[eqn: THEREFORE `d LEFT ( - {1} over {alpha } RIGHT ) ^{3} +c LEFT ( - {1} over {alpha } RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( - {1} over {alpha } RIGHT ) +a=0]

따라서 [eqn: - {1} over {alpha }]은 [eqn: dx ^{3} +cx ^{2} +bx+a=0]의 근이다.

ㄷ. ㉠의 양변을 [eqn: - alpha ^{3}]으로 나누면

[eqn: -a+ {b} over {alpha } - {c} over {alpha ^{2}} + {d} over {alpha ^{3}} =0]

[eqn: THEREFORE `d left( {1} over {alpha } right) ^{3} -c left( {1} over {alpha } right) ^{2} +b CDOT {1} over {alpha } -a=0]

따라서 [eqn: {1} over {alpha }]은 [eqn: dx ^{3} -cx ^{2} +bx-a=0]의 근이다.

이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

2 답 ⑤

[eqn: x ^{2} =X]로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: X ^{2} -(2m+3)X+m ^{2} =0~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]

이때 방정식 ㉠의 두 근은 [eqn: alpha ^{2} ,~ beta ^{2}]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =2m+3,~` alpha ^{2} beta ^{2} =m ^{2}]

이때 [eqn: beta =2 alpha]이므로 [eqn: 5 alpha ^{2} =2m+3,~~4 alpha ^{4} =m ^{2}]

[eqn: alpha ^{2} = {2m+3} over {5}]이므로 [eqn: 4left( {2m+3} over {5} right) ^{2} `=m ^{2}]

[eqn: 3m^2 -16m-12=0,~~(3m+2)(m-6)=0]

[eqn: THEREFORE `m=- {2} over {3}] 또는 [eqn: m=6]

그런데 [eqn: m]은 정수이므로 [eqn: m=6]

3 답 ③

밑면인 오각형은 오른쪽 그림과 같이 사각형과 사다리꼴로 나눌 수 있으므로

(밑넓이)

[eqn: =x(x+2)+ 1over2 cdot 3 left{x+(x+2) right}]

[eqn: =x^2 +2x+ 3over2 (2x+2)]

[eqn: =x^2 +5x+3]

이때 오각기둥의 높이는 [eqn: (x+1){ rm cm }]이고, 부피가

[eqn: 195 `{ rm cm^3 }]이므로

[eqn: (x^2 +5x+3)(x+1)=195]

[eqn: x^3 +6x^2 +8x -192 =0]

[eqn: (x-4)(x^2 +10x+48) =0]

[eqn: therefore][eqn: x=4] 또는 [eqn: x= -5 +- root{23} i]

그런데 [eqn: x`>0]이므로

[eqn: x=4]

4 답 ②

[eqn: rm bar AB = bar AC =it a ,~rm bar BC =it 2b,~ rm bar AD =it h`]라 놓으면

[eqn: 2a+2b = 4h``]                             [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a^2 = b^2 +h^2 `]                              [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠에서 [eqn: h = a+b over 2`]를 ㉡에 대입하여 정리하면
[eqn: 3a ^{2} -2ab-5b ^{2} =0~`]                      [eqn: CDOTS CDOTS]㉢

㉢의 양변을 [eqn: b^2]으로 나누고 [eqn: rm bar AB over bar BD =it a over b = x`]라 놓으면

[eqn: 3x^2 -2x-5 =0`]  ∴ [eqn: (x+1)(3x-5) =0`]

∴ [eqn: x = 5 over 3 `] (∵ [eqn: x`>`0`])

5 답 ④

주어진 방정식을 [eqn: x]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: 2x ^{2} +4 LEFT ( y-1 RIGHT ) x+5y ^{2} +2y+5=0]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: x]가 실수이므로 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: ㉠]이 실근을 가져야 한다.

즉, [eqn: ㉠]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: {D} over {4} = LEFT { 2 LEFT ( y-1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} -2 LEFT ( 5y ^{2} +2y+5 RIGHT ) GEQ 0]

[eqn: 6y ^{2} +12y+6 LEQ 0,~~ LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} LEQ 0]

이때 [eqn: y]도 실수이므로 [eqn: y=-1]

[eqn: y=-1]을 [eqn: ㉠]에 대입하면

[eqn: 2x ^{2} -8x+8=0], [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} =0~~~~ THEREFORE x=2]

[eqn: THEREFORE x-y=3]

6 답 ②

[eqn: 2x－1>9]에서 [eqn: 2x>10], [eqn: x>5]

[eqn: 1－x≥ －9]에서 [eqn: －x≥ －10]  [eqn: x≤ 10]

[eqn: therefore~5<x≤10]

따라서 연립부등식을 만족하는 정수는 [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10]이고 [eqn: 1over a]이 유한소수로 나타내어지는 [eqn: a]는 [eqn: 8(＝2^3 )], [eqn: 10(＝2 times 5)]의 [eqn: 2]개이다.

7 답 ➃

[eqn: LEFT | 2x-3RIGHT |+1>a`]에서 [eqn: LEFT | 2x-3 RIGHT | >a-1]

이 부등식의 해가 모든 실수이려면
[eqn: a-1<0]    [eqn: therefore``a<1]

8 답 [eqn: 1 over 3]

[eqn: (a+1) x^2 +(b-1) x + 1>0]의 해가 [eqn: -1 < x<3]이므로
[eqn: a+1<0]

해가 [eqn: -1 < x<3]이고 [eqn: x^2 `]의 계수가 [eqn: 1]인 이차부등식은 [eqn: (x+1)(x-3) <0]    [eqn: therefore ``x^2 - 2x -3 <0]

양변에 [eqn: a+1]을 곱하면

[eqn: (a+1) x^2 - 2(a+1) x - 3(a+1) >0]
이 부등식이 [eqn: (a+1) x^2 +(b-1) x + 1>0]과 같으므로

[eqn: -2(a+1) = b-1, ```-3(a+1) = 1]

[eqn: therefore`` a = - 4 over 3 , ```` b = 5 over 3]    [eqn: therefore`` a+ b = 1 over 3]

9 답 [eqn: -2 leq x <0]

[eqn: 2[x]+1 leq 0]에서

[eqn: [x] LEQ - {1} over {2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: [x]^2 +[x]-6<0]에서 [eqn: ([x]+3)([x]-2)<0]

[eqn: THEREFORE~~-3 < [x] <2~~~~~~~~~~~~~~~~cdotscdots ㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: -3 <[x] leq - 1 over 2]

이때  [eqn: [x]]의 값은 정수이므로

[eqn: [x] = -2]에서 [eqn: -2 leq x < -1]

[eqn: [x] =-1]에서 [eqn: -1 leq x<0]

따라서 주어진 연립부등식의 해는 [eqn: -2 leq x <0]

10 답 ③

[eqn: f(x) = x^2 +px-1]이라 하면

[eqn: -2<alpha<1<beta<2]이므로
이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

(i) [eqn: f(-2)=4-2p-1>0]에서
[eqn: 2p<3]  [eqn: THEREFORE ``p< {3} over {2}]

(ii) [eqn: f(1)=1+p-1<0]에서 [eqn: p<0]

(iii) [eqn: f(2)=4+2p-1>0]에서 [eqn: 2p>`-3] [eqn: therefore ``p> - 3 over 2]

이상에서 조건을 만족시키는 [eqn: p]의 값의 범위는

[eqn: - 3 over 2 <p<0]

따라서 구하는 정수 [eqn: p]의 값은 [eqn: -1]이다.