중단원 평가(발전)	Ⅱ. 방정식과 부등식										1학년
	2. 이차방정식과 이차함수
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

이차방정식 [eqn: x^2 -(a+2)bx +(a+1)b =0`]

([eqn: a`>`0 ,~b`>`0`])이 서로 다른 두 개의 실근을 가질 때, 두 개의 근이 모두 [eqn: 1`]보다 크기 위해서 필요한 조건은?

① [eqn: b`>`1`]	② [eqn: b`<`1`]	③ [eqn: b`>`2`]

④ [eqn: b`<`2`]	⑤ [eqn: b`>`3`]

2

유리수 [eqn: a, ~b]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x^2 -a]와 직선 [eqn: y=bx]가 만나는 두 점을 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: `x]좌표가 [eqn: -1+sqrt5]일 때, 점 [eqn: rm Q]의 좌표를 구하여라.

3

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+1]의 그래프와 직선 [eqn: y=3x+4]의 위치 관계를 말하여라.

4

이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c]의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 [eqn: (-2,~-1)]이고, [eqn: x]축과 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]에서 만난다. [eqn: bar{rm PQ it} =4]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.

5

실수 [eqn: a]의 값에 관계없이 이차함수

[eqn: y=x ^{2} -2ax+a ^{2} -1]의 그래프에 항상 접하는 직선의 방정식을 구하여라.

6

이차함수 [eqn: y=x^2 +px+q]의 그래프와 직선
[eqn: y=3x-1]은 서로 다른 두 점에서 만나고, 이 중 한 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1- sqrt {3}]이다. 유리수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p-q]의 값을 구하여라.

7

이차함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: x`=1]에서 최댓값 [eqn: 2]를 갖고, 이차함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=`-1]에서 최솟값 [eqn: 1]을 갖는다. 또, [eqn: f`(x)+g(x)]가 [eqn: x=3]일 때 최솟값 [eqn: -5]를 가질 때, [eqn: f(0)+g(0)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

8

실수 [eqn: x,~y``]가 [eqn: x^2 +y^2 =1`]을 만족시킬 때,

[eqn: (x+2y)^2 +(3x+2y)^2`]의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: 18`]	② [eqn: 20`]	③ [eqn: 24`]

④ [eqn: 28`]	⑤ [eqn: 30 `]

9

점 [eqn: rmP][eqn: (x,~y)]가 두 점 [eqn: rmA(1,~1)], [eqn: rmB(4,~-5)]를 잇는 선분 [eqn: rmAB] 위를 움직일 때, [eqn: 2x ^{2} -y ^{2}]의 최댓값을 구하여라.

10

길이가 [eqn: 80`rm`m]인 철망을 이용하여 오른쪽 그림과 같이 벽면을 빗변으로 하는 직각삼각형 모양의 가축우리를 만들려고 한다. 이때 가축우리의 넓이의 최댓값은?

① [eqn: 600`㎡]	② [eqn: 700㎡]	③ [eqn: 800`㎡]

④ [eqn: 900`㎡]	⑤ [eqn: 1000`㎡]

2. 이차방정식과 이차함수

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 ②

실근을 가질 조건은 [eqn: (a+2)^2 b^2 -4`(a+1)`b`>`0`]

[eqn: therefore~ b`>` {4`(a+1)} over (a+2)^2]                            ……(i)

여기서, 두 근이 모두 [eqn: 1`]이하라 하면

(두 근의 합)[eqn: =(a+2)`b` LEQ `2`]                  ……(ii)

(i), (ii)에서 [eqn: {4`(a+1)} over a+2 `<`2`]  [eqn: therefore~ a`<`0]

이것은 문제의 조건에 모순된다.

따라서 적어도 한 개의 근은 [eqn: 1`]보다 크다.

[eqn: f(x)=x ^{2} -(a+2)bx+(a+1)b=0]이라 하자.

[eqn: f`(1)`>`0]이면 두 근이 모두 [eqn: 1`]보다 크게 된다.

∴ [eqn: f`(1) = 1-(a+2)b+(a+1)b `>`0`]  [eqn: therefore~ b`<`1]

2 답 [eqn: it (-1- sqrt {5} ,~2+2 sqrt {5} )]

[eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 이차함수 [eqn: y=x^2 -a]와 직선 [eqn: y=bx]의 교점이므로 [eqn: x^2 -a = bx`]에서 [eqn: x^2 -bx -a =0]의 한 근이
[eqn: -1 + sqrt5]이고, 다른 한 근은 [eqn: -1-sqrt5]이다.
(∵ [eqn: a,~b]는 유리수)

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (-1 +sqrt5 ) + (-1 -sqrt5 ) =-2=b]

[eqn: (-1+sqrt5 )(-1-sqrt5 ) =-4 =-a]

따라서 [eqn: a=4,~b=-2]

즉, 주어진 두 함수는 [eqn: y=x^2 -4,~y=-2x]이므로

[eqn: rm P it(-1 +sqrt5 ,~2-2sqrt5 ),~rm Q it(-1-sqrt5 , ~2+2sqrt5 )]

3 답 서로 다른 두 점에서 만난다.

[eqn: x ^{2} -3x+1=3x+4]에서

[eqn: x ^{2} -6x-3=0]

∴ [eqn: {D} over {4} = LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} -1· LEFT ( -3 RIGHT ) =12>0]

따라서 서로 다른 두 점에서 만난다.

4 답 [eqn: {5} over {4}]

꼭짓점의 좌표가 [eqn: (-2,~-1)]이므로 구하는 이차함수는 [eqn: y=a(x+2) ^{2} -1]

[eqn: y=ax ^{2} +bx+c=a(x+2) ^{2} -1=ax ^{2} +4ax+4a-1]

이때 주어진 이차함수의 축의 방정식이 [eqn: x=-2]이고 [eqn: rm bar{PQ} =4]이므로 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -4], [eqn: 0]이다.

[eqn: -4], [eqn: 0]은 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +4ax+4a-1=0]의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: -4 CDOT 0= {4a-1} over {a}]

[eqn: 4a-1=0]	∴ [eqn: a= {1} over {4}]

즉, [eqn: y= {1} over {4} (x+2) ^{2} -1= {1} over {4} x ^{2} +x]이므로

[eqn: b=1], [eqn: c=0]

∴ [eqn: a+b+c= {5} over {4}]

5 답 [eqn: y=-1]

구하는 직선의 방정식을 [eqn: y=mx+n]이라 하자.

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+a ^{2} -1]의 그래프와 직선

[eqn: y=mx+n]이 접하므로 방정식

[eqn: x ^{2} -2ax+a ^{2} -1=mx+n], 즉

[eqn: x ^{2} -(2a+m)x+a ^{2} -1-n=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D= LEFT { -(2a+m) RIGHT } ^{2} -4(a ^{2} -1-n)=0]

∴ [eqn: 4ma+(m ^{2} +4+4n)=0]

이 식이 [eqn: a]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: 4m=0],	[eqn: m ^{2} +4+4n=0]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: m=0,~n=-1]

따라서 구하는 직선의 방정식은 [eqn: y=-1]

6 답 [eqn: 4]

[eqn: x ^{2} +px+q=3x-1]에서	[eqn: x ^{2} +(p-3)x+q+1=0]

이 이차방정식의 계수가 모두 유리수이고 한 근이 [eqn: 1- sqrt {3}]이므로 다른 한 근은 [eqn: 1+ sqrt {3}]이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (1- sqrt {3} )+(1+ sqrt {3} )=-(p-3)], [eqn: (1- sqrt {3} )(1+ sqrt {3} )=q+1]

[eqn: 2=-p+3], [eqn: -2=q+1]

∴ [eqn: p=1,~q=-3]

∴ [eqn: p-q=4]

7 답 ⑤

[eqn: f(x)=a(x-1) ^{2} +2~(a<0)],

[eqn: g(x`)=b(x+1)^2 +1~(b>0)]

이라 하면

[eqn: f(x) + g(x)]

[eqn: =(a+b)x ^{2} -2(a-b)x+a+b+3]	…… ㉠

또, [eqn: f(x)+g(x)]는 [eqn: x=3]에서 최솟값 -5를 가지므로

[eqn: f(x) + g(x)= c(x-3)^2 -5~(c>0)]	…… ㉡

곧, [eqn: ``f(x)+g(x)=cx ^{2} -6cx+9c-5]

㉠, ㉡에서 [eqn: a+b=c,~a-b =3c ,~ a+b+3=9c-5]

[eqn: ∴~a=2,~b=-1,~c=1]

따라서 [eqn: f(x)+g(x)=x^2 -6x+4]

[eqn: ∴~f(0)+g(0) =4]

8 답 ①

[eqn: (x+2y)^2 +(3x+2y)^2 =k``]로 놓으면,

[eqn: 10x^2 +16xy +8y^2 = k``]	…… ㉠

[eqn: x^2 +y^2 =1`]	…… ㉡

㉠[eqn: TIMES k -`]㉡에서 [eqn: (k-10)x^2 -16xy +(k-8)y^2 =0`]

[eqn: x``]는 실수이므로 [eqn: {D} over {4} =64y ^{2} -(k-10)(k-8)y ^{2} ` GEQ `0`]

[eqn: y ^{2} ` GEQ `0`]에서 [eqn: (k-10)(k-8)-64` LEQ `0`]

[eqn: k ^{2} -18k+16` LEQ `0`]

최댓값과 최솟값의 합은 방정식 [eqn: k^2 -18k +16=0`]의 두 근이므로, 두 근의 합은 [eqn: 18`]

9 답 [eqn: 9]

두 점 [eqn: rmA(1,~1)], [eqn: rmB(4,~-5)]를 잇는 선분 [eqn: rmAB]를 나타내는 직선의 방정식은

[eqn: y-1= {-5-1} over {4-1} (x-1)]     [eqn: THEREFORE ``y=-2x+3```(1 LEQ `x` LEQ 4)]

[eqn: THEREFORE ``2x ^{2} -y ^{2}][eqn: =2x ^{2} -(-2x+3) ^{2} =-2x ^{2} +12x-9]
[eqn: =-2(x-3) ^{2} +9]

따라서 [eqn: x=3]일 때 최댓값은 [eqn: 9]이다.

10 답 ③

직각을 낀 한 변의 길이를 [eqn: x`rm`m]라 하면 다른 한 변의 길이는 [eqn: (80-x)rm`m]

이므로 가축우리의 넓이는

[eqn: {1} over {2} x(80-x)=- {1} over {2} (x ^{2} -80x)][eqn: =- {1} over {2} (x-40) ^{2} +800]

이때 [eqn: 0<x<80]이므로 [eqn: x=40]일 때 최댓값은 [eqn: 800]이다.

따라서 가축우리의 넓이의 최댓값은 [eqn: 800~ rm m ^{2}]이다.