중단원 평가(발전)	Ⅱ. 방정식과 부등식										1학년
	1. 복소수와 이차방정식
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

[eqn: LEFT ( 1-i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 3- sqrt {2} i RIGHT ) ^{2} LEFT ( 3+ sqrt {2} i RIGHT ) ^{2}]을 계산하여라.

2

세 실수 [eqn: a,````b,````c]에 대하여
[eqn: a LEFT ( 1-i RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( 1-i RIGHT ) +c=1-4i]일 때,
[eqn: a LEFT ( 1+i RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( 1+i RIGHT ) +c]의 값은?

① [eqn: 1+i]	② [eqn: 1-i]	③ [eqn: 1+4i]

④ [eqn: 1-4i]	⑤ [eqn: 1]

3

복소수 [eqn: z]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: {z+ bar{z}} over {2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

㈎ [eqn: (1+2i)+z]는 양의 실수이다.

㈏ [eqn: z bar{z} =6]

4

[eqn: 0]이 아닌 세 실수 [eqn: a,`b,`c]에 대하여
[eqn: sqrt {a} sqrt {b} =- sqrt {ab}], [eqn: {sqrt {c}} over {sqrt {b}} =- sqrt {{c} over {b}}]일 때,
[eqn: sqrt {a ^{2}} + sqrt {c ^{2}} - LEFT | b-c RIGHT |]를 간단히 하면?

① [eqn: a+b]	② [eqn: -a+b]	③ [eqn: a-b-c]

④ [eqn: a+b+2c]	⑤ [eqn: 2c]

5

이차방정식 [eqn: kx^2 -(a+1)x-kb=0]이 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: x=-1]을 근으로 가질 때, 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

6

[eqn: -2 < x < 0`]일 때, 방정식 [eqn: 2x^2 +3 [x] =x`]의 모든 근의 합은? (단, [eqn: [x]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: - 5 over2]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - 3 over2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - 1 over2]

7

[eqn: x`]에 대한 이차방정식

[eqn: x^2 +(a+2k)x +k^2 -2k-b=0`]이 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 중근을 가질 때, 실수 [eqn: a,```b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

8

[eqn: 0`]이 아닌 두 실수 [eqn: a,```b`]에 대하여

[eqn: root b over roota = - root{ b overa}`]가 성립할 때, 항상 서로 다른 두 실근을 갖는 이차방정식인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: x^2 +ax-b=0]	ㄴ. [eqn: x^2 +bx+a=0]

ㄷ. [eqn: ax^2 +bx+1=0]	ㄹ. [eqn: x^2 -2ax+b=0]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄹ

9

이차방정식 [eqn: x^2 -5x+1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라고 할 때, [eqn: sqrt{alpha} +sqrt{beta}`]의 값은?

① [eqn: root3]	② [eqn: root5]	③ [eqn: root7]

④ [eqn: root11]	⑤ [eqn: root13]

10

[eqn: m,~n`]이 실수일 때, 이차방정식

[eqn: x ^{2} +mx+n=0`]의 한 근이 [eqn: -1+2i`]이다. [eqn: 1 over m], [eqn: 1 over n]을 두 근으로 하는 이차방정식이 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]일 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - {3} over {5}]	③ [eqn: - {3} over {10}]

④ [eqn: {1} over {10}]	⑤ [eqn: 1]

1. 복소수와 이차방정식

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 [eqn: 242]

[eqn: LEFT ( 1-i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 3- sqrt {2} i RIGHT ) ^{2} LEFT ( 3+ sqrt {2} i RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( 1+1 RIGHT ) LEFT ( 9-6 sqrt {2} i-2 RIGHT ) LEFT ( 9+6 sqrt {2} i-2 RIGHT )]

[eqn: =2 LEFT ( 7-6 sqrt {2} i RIGHT ) LEFT ( 7+6 sqrt {2} i RIGHT )]

[eqn: =2 LEFT ( 49+72 RIGHT )]

[eqn: =242]

2 답 ③

[eqn: a LEFT ( 1-i RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( 1-i RIGHT ) +c][eqn: =-2ai+b-bi+c]
[eqn: = LEFT ( b+c RIGHT ) - LEFT ( 2a+b RIGHT ) i]

따라서 [eqn: LEFT ( b+c RIGHT ) - LEFT ( 2a+b RIGHT ) i=1-4i]이므로

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: b+c=1], [eqn: 2a+b=4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a LEFT ( 1+i RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( 1+i RIGHT ) +c][eqn: =2ai+b+bi+c]
[eqn: = LEFT ( b+c RIGHT ) + LEFT ( 2a+b RIGHT ) i]
[eqn: =1+4i]

3 답 [eqn: sqrt {2}]

[eqn: z=a+bi]([eqn: a,`b]는 실수)라고 하면 [eqn: bar{z} =a-bi]이다.

조건 ㈎에서

[eqn: 1+2i+a+bi= LEFT ( a+1 RIGHT ) + LEFT ( b+2 RIGHT ) i]

가 양의 실수이므로

[eqn: a+1>0,`b+2=0]     [eqn: THEREFORE ```a>-1,`b=-2]

조건 ㈏에서

[eqn: LEFT ( a+bi RIGHT ) LEFT ( a-bi RIGHT ) =6]

이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =6]

[eqn: a ^{2} =2]      [eqn: THEREFORE a=± sqrt {2}]

그런데 [eqn: a>-1]이므로 [eqn: a= sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE {z+ bar{z}} over {2} = {LEFT ( sqrt {2} -2i RIGHT ) + LEFT ( sqrt {2} +2i RIGHT )} over {2} = {2 sqrt {2}} over {2} = sqrt {2}]

4 답 ②

[eqn: sqrt {a} sqrt {b} =- sqrt {ab}]에서 [eqn: a<0,`b<0]

[eqn: {sqrt {c}} over {sqrt {b}} =- sqrt {{c} over {b}}]에서 [eqn: b<0,`c>0]

[eqn: THEREFORE sqrt {a ^{2}} + sqrt {c ^{2}} - LEFT | b-c RIGHT |][eqn: =-a+c+ LEFT ( b-c RIGHT )]
[eqn: =-a+b]

5 답 ③

[eqn: x=-1`]이 주어진 방정식의 근이므로

[eqn: k cdot (-1)^2 - (a+1)cdot(-1) - k b =0 `]

[eqn: (1-b)k+a+1=0]

이 식이 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: 1-b=0,````a+1=0]

따라서 [eqn: a=-1,```b=1]이므로

[eqn: a+b=0]

6 답 ①

(ⅰ) [eqn: -2<x< -1`]일 때
[eqn: [x] =-2`]이므로
[eqn: 2x^2 -6=x,] [eqn: 2x^2 -x-6=0]
[eqn: (2x+3)(x-2)=0]   [eqn: THEREFORE```x= - 3 over2] 또는 [eqn: x=2]
그런데 [eqn: -2<x< -1`]이므로    [eqn: x= - 3 over2]

(ⅱ) [eqn: -1 le x <0]일 때
[eqn: [x]=-1]이므로
[eqn: 2x^2 -3=x ,] [eqn: 2x^2 -x-3=0]
[eqn: (x+1)(2x-3)=0]   [eqn: THEREFORE````x=-1] 또는  [eqn: x= 3 over2]
그런데 [eqn: -1 le x <0]이므로   [eqn: x=-1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 방정식의 근은

[eqn: x= - 3over2] 또는 [eqn: x=-1]

이므로 구하는 합은 [eqn: - 5 over2]이다.

7 답 ③

이차방정식 [eqn: x^2 +(a+2k)x +k^2 -2k-b=0]의 판별식을 [eqn: D`]라고 하면

[eqn: D= (a+2k)^2 -4(k^2 -2k-b)=0]

[eqn: a^2 +4ak +4k^2 -4k^2 +8k+4b =0]

[eqn: (4a+8)k+a^2 +4b=0]

이 식이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: 4a+8=0,]    [eqn: a^2 +4b=0]

따라서 [eqn: a=-2, ```b=-1]이므로

[eqn: a+b=-3]

8 답 ④

[eqn: root b over roota = - root{b over a}]에서   [eqn: a<0,```b>0]

ㄱ. [eqn: x^2 +ax-b=0]의 판별식을 [eqn: D_1`]이라고 하면
[eqn: D_1 =a^2 +4b >0]
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: x^2 +bx+a =0]의 판별식을 [eqn: D_2]라고 하면
[eqn: D_2 = b^2 -4a >0]
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: ax^2 +bx+1=0]의 판별식을 [eqn: D_3`]이라고 하면
[eqn: D_3 =b^2 -4a >0]
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄹ. [eqn: x^2 -2ax +b=0]의 판별식을 [eqn: D_4]라고 하면
[eqn: D_4 over4 = a^2 -b]
[eqn: a^2 -b]의 값의 부호는 알 수 없으므로 이 이차방정식의 근은 판별할 수 없다.

이상에서 서로 다른 두 실근을 갖는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

9 답 ③

근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha + beta `=`5,~alpha beta = 1]                      [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ∴``][eqn: (rootalpha + root beta )^2`]
[eqn: =`alpha + beta + 2 roota root beta]
[eqn: = alpha + beta + 2 root{alpha beta}] ([eqn: ∵] ㉠에서 [eqn: alpha > 0 ,~ beta > 0])
[eqn: = 5 + 2 cdot 1 `=`7]

[eqn: ∴] [eqn: rootalpha + root beta`=`root7]

10 답 ②

[eqn: m,~n]이 실수이므로 이차방정식 [eqn: x ^{2} +mx+n=0]의 한 근이 [eqn: -1+2i`]이면 다른 한 근은 [eqn: -1-2i`]이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: LEFT ( -1+2i RIGHT ) + LEFT ( -1-2i RIGHT ) =-m,~~ LEFT ( -1+2i RIGHT ) LEFT ( -1-2i RIGHT ) =n]

이므로 [eqn: m=2,~n=5]

[eqn: therefore~{1} over {m} + {1} over {n} = 1over2 + 1over5 = {7} over {10} ,~ {1} over {m} cdot {1} over {n} = 1over2 cdot 1over5 = 1 over10]

따라서  [eqn: {1} over {m} ,~ {1} over {n}]을 두 근으로 하고 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은 [eqn: x^2 - 7over10 x + 1over10 =0`]이므로

[eqn: a=- {7} over {10} ,~~b= {1} over {10}]

[eqn: THEREFORE ````a+b=- {3} over {5}]