중단원 평가(발전)	Ⅰ. 다항식										1학년
	1. 다항식의 연산
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

두 다항식 [eqn: A`,``B`]에 대하여
[eqn: A-B =-3x^2 +2xy-2y^2`,] [eqn: A+B=x ^{2}`-2y ^{2}}]
일 때, [eqn: A+2B`]를 계산하여라.

2

다항식 [eqn: left( x^3 +ax^2 +3right) left( x^2 +x+b right)]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수가 [eqn: 1], [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: -3]일 때, 상수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 [eqn: a^3 `+b^3`]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 19]

3

[eqn: a-b=4], [eqn: b-c=-1]일 때,
[eqn: a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca]의 값을 구하여라.

4

합이 [eqn: 3]인 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가
[eqn: 2a+b=3ab], [eqn: 2b+c=3bc], [eqn: 2c+a=3ca]를 만족시킬 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

5

임의의 두 실수 [eqn: p,````q]에 대하여

[eqn: p AST q=p+q+pq]라고 하자. 등식
[eqn: (x AST a)+(y AST b)=(x AST 3)+ LEFT { (-1) AST 3 RIGHT }]이 [eqn: x], [eqn: y]의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

6

두 다항식 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여 [eqn: f(x)+g(x)]는 [eqn: x-1]로 나누어떨어지고, [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: x-1]로 나누면 나머지가 [eqn: 2]일 때, 다항식 [eqn: f(x)g(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

7

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나누면 나누어떨어지고, [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나누면 나머지가 [eqn: 4x-8]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)(x-3)]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: R(0)]의 값을 구하여라.

8

두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: [a,~b]=ab-2]라고 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: x]는 실수이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: [2,~-2] = 2[1,~-1]]

ㄴ. [eqn: [x,~x] + [3x,~1] = (x+1)(x-4)]

ㄷ. [eqn: [x ^{2} ,~x ^{2} ]+[x+4,~x-4]]
[eqn: =(x+2)(x-2)(x ^{2} +5)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9

[eqn: {xy LEFT ( x-y RIGHT ) +zx LEFT ( z-x RIGHT ) +yz LEFT ( y-z RIGHT )} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: x != y], [eqn: y != z], [eqn: z != x])

10

[eqn: 6^6 -1``]이 두 자리 자연수 [eqn: n``]으로 나누어떨어진다고 할 때, [eqn: n]의 값을 모두 구하여라.

1. 다항식의 연산

중단원 평가(발전) 정답 및 풀이

1 답 [eqn: 3x^2 -xy-2y^2]

[eqn: A-B =-3x^2 +2xy-2y^2]                  [eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: A+B=x^2 -2y^2]	[eqn: cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠＋㉡]을 하면

[eqn: 2A= -2x^2 +2xy -4y^2]

[eqn: therefore ~A= -x^2 +xy -2y^2]

이것을 [eqn: ㉡]에 대입하면

[eqn: (-x^2 +xy-2y^2 )+B =x^2 -2y^2]
[eqn: therefore ~B = x^2 -2y^2 -( -x^2 +xy-2y^2 )=2x^2 -xy]

[eqn: therefore ~A+2B][eqn: =-x^2 +xy -2y^2 +2(2x^2 -xy)]
[eqn: =3x^2 -xy -2y^2]

2 답 ⑤

[eqn: (x^3 + ax^2 +3) (x^2 + x+b)]의 전개식에서 [eqn: x^3]항은
[eqn: x^3 cdotb + ax^2 cdot x =(a+b)x^3]

이므로 [eqn: x^3]의 계수는 [eqn: a+b]

또 [eqn: x^2]항은 [eqn: ax^2 cdotb + 3x^2 =(ab+3)x^2]

이므로 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: ab+3]

이때 [eqn: x^3]의 계수가 [eqn: 1,] [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: -3]이므로

[eqn: a+b=1,~ab=-6]

[eqn: therefore~a^3 `+b^3][eqn: =(a+b)^3 -3ab(a+b)]
[eqn: =1^3 -3 cdot(-6) cdot1 =19]

3 답 [eqn: 13]

[eqn: a-b=4], [eqn: b-c=-1]을 변끼리 더하면 [eqn: a-c=3]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca]
[eqn: = {1} over {2} (2a ^{2} +2b ^{2} +2c ^{2} -2ab-2bc-2ca)]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { (a ^{2} -2ab+b ^{2} )+(b ^{2} -2bc+c ^{2} )]
[eqn: +(a ^{2} -2ca+c ^{2} ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { (a-b) ^{2} +(b-c) ^{2} +(a-c) ^{2} RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { 4 ^{2} +(-1) ^{2} +3 ^{2} RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} CDOT 26=13]

4 답 ①

주어진 세 식을 변끼리 더하면

[eqn: 3a + 3b + 3c = 3 ab + 3bc + 3 ca]

[eqn: THEREFORE ````ab+bc+ca=a+b+c=3]

[eqn: THEREFORE ~a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}][eqn: =(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca)]
[eqn: = 3^2 - 2 cdot 3]
[eqn: =3]

5 답 [eqn: 10]

[eqn: (x AST a)+(y AST b)][eqn: =x+a+x CDOT a+y+b+y CDOT b]
[eqn: = LEFT ( a+1 RIGHT ) x+ LEFT ( b+1 RIGHT ) y+a+b]

[eqn: LEFT ( x AST 3 RIGHT ) + LEFT { LEFT ( -1 RIGHT ) AST 3 RIGHT }][eqn: =x+3+x CDOT 3+ LEFT { LEFT ( -1 RIGHT ) +3+ LEFT ( -1 RIGHT ) CDOT 3 RIGHT }]

[eqn: =4x+2]

따라서 [eqn: (a+1)x+(b+1)y+a+b=4x+2`]가 [eqn: x,~y`]에 대한 항등식이므로
[eqn: a+1 =4 ,~ b+1 =0], [eqn: a+b =2]
[eqn: THEREFORE ````a=3,~b=-1]
[eqn: THEREFORE ````a ^{2} +b ^{2} =3 ^{2} +(-1) ^{2} =10]

6 답 ②

[eqn: f(x)+g(x)]를 [eqn: x-1]로 나누면 나누어떨어지므로

[eqn: f(1)+g(1)=0]	[eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: f(x)-g(x)]를 [eqn: x-1]로 나누면 나머지가 [eqn: 2]이므로

[eqn: f(1)-g(1)=2]	[eqn: cdotscdots㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: f(1)=1,~g(1)=-1]

따라서 [eqn: f(x)g(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: f(1)g(1)=`-1]

7 답 [eqn: 4]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)(x-3)]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+R(x)]	[eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: f(x)]를 [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 4x-8]이므로 ㉠에서 [eqn: R(x)]를  [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 4x-8]이다.

즉 [eqn: R(x)=a(x-2)(x-3)+4x-8] ([eqn: a]는 상수)이므로

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)]

[eqn: +a(x-2)(x-3)+4x-8]

[eqn: f(x)]는 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나누어떨어지므로

[eqn: f(1)=2a+4-8=0]	∴ [eqn: a=2]

따라서 [eqn: R(x)=2x ^{2} -6x+4]이므로

[eqn: R(0)=4]

8 답 ③

ㄱ. [eqn: [2,~-2] = 2 cdot (-2) - 2 = -6],
[eqn: [1,~-1] = 1 cdot (-1) -2 =-3]
[eqn: therefore [2,~-2] = 2 [ 1,~ -1]]

ㄴ. [eqn: [x,~x]+[3x,~1]][eqn: =x ^{2} -2+3x-2=x ^{2} +3x-4]
[eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]

ㄷ. [eqn: [x ^{2} ,~x ^{2} ]+[x+4,~x-4]]
[eqn: =x ^{4} -2+(x+4)(x-4)-2]
[eqn: =x ^{4} -2+x ^{2} -16-2]
[eqn: =x ^{4} +x ^{2} -20]
[eqn: = LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +5 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +5 RIGHT )]

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

9 답 [eqn: 1]

[eqn: {xy LEFT ( x-y RIGHT ) +zx LEFT ( z-x RIGHT ) +yz LEFT ( y-z RIGHT )} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]

[eqn: = {xy(x-y)+xz ^{2} -x ^{2} z+y ^{2} z-yz ^{2}} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]

[eqn: = {xy(x-y)+xz ^{2} -yz ^{2} +y ^{2} z-x ^{2} z} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]

[eqn: = {xy(x-y)+z ^{2} (x-y)-z(x ^{2} -y ^{2} )} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]

[eqn: = {z ^{2} (x-y)-z(x ^{2} -y ^{2} )+xy(x-y)} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]

[eqn: = {z ^{2} (x-y)-z(x-y)(x+y)+xy(x-y)} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]

[eqn: = {(x-y) LEFT { z ^{2} -(x+y)z+xy RIGHT }} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]

[eqn: = {(x-y)(z-x)(z-y)} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]

[eqn: = {(x-y) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )} over {LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( x-z RIGHT )}]

[eqn: =1]

10 답 [eqn: 31,~35,~43]

[eqn: 6^6 -1][eqn: = (6^3 ) ^2 -1= (6^3 -1) (6^3 +1)]
[eqn: =(6-1)(6^2 +6 +1)(6+1)(6^2 -6+1)]
[eqn: =5cdot7cdot31cdot43]

따라서 구하는 두 자리 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 31,~35,~43]이다.