중단원 평가(기본)	Ⅴ. 함수와 그래프										1학년
	2. 유리함수와 무리함수
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

[eqn: x ne-1], [eqn: x ne 0], [eqn: x ne 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 3x+1 over {x^3 -x} = a over x + bx+c over {x^2 -1}]가 성립하도록 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 정할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

2

[eqn: 2x=3y=6z`]일 때, [eqn: {xyz} over {x ^{3} +y ^{3} +z ^{3} -xyz} `]의 값을 구하여라.

3

두 집합 [eqn: A= left{ (x,~y)` left|` y = 3x-1 over x right},]
[eqn: B=left{ (x,~y)`|` y = ax+3 right}`]에 대하여 [eqn: A cap B = emptyset `]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값의 범위를 구하여라.

4

함수 [eqn: y = a over x-p + q `]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a,~p,~q`]의 합 [eqn: a+p+q`]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]

③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]

⑤ [eqn: 3]

5

함수 [eqn: y= {x+2} over {x-1} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx+1`]이 만나지 않도록 하는 실수 [eqn: m`]의 값의 범위는?

① [eqn: -12 LEQ m<0]	② [eqn: -12<m LEQ 0]

③ [eqn: 0 LEQ m<12]	④ [eqn: 0<m LEQ 12]

⑤ [eqn: -12 LEQ m LEQ 12]

6

함수 [eqn: y= root 2x-4 `+1]의 그래프는 [eqn: y= root 2x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 것이다. 이때 [eqn: m-n]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

7

[eqn: -3 LEQ x LEQ 2]에서 정의된 함수 [eqn: f`(x)=sqrta-x `-1]의 최댓값이 [eqn: 2]일 때, 최솟값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

8

함수 [eqn: f`(x)=sqrtx+2`-2]에 대하여 두 함수

[eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y=f`^-1 (x)]의 그래프의 교점의 좌표를 구하여라.

9

다음 중 그래프가 오른쪽 그림과 같은 무리함수의 식으로 적당한 것은?

① [eqn: y= 2 sqrt{ -x -3 } - 2]

② [eqn: y=-2 sqrtx-3 - 2]

③ [eqn: y=-2 sqrt{-x+3 } -2]

④ [eqn: y= 2 sqrt{ -x+3 } +2]

⑤ [eqn: y = 2 sqrt{-x+3 }-2]

10

함수 [eqn: y= sqrt {3x-2} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k`]가 접할 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하여라.

2. 유리함수와 무리함수

중단원 평가(기본) 정답 및 풀이

1 답 ②

우변의 분모를 통분하면

[eqn: a over x + bx+c over {x^ 2 -1} &][eqn: = {a(x^2 -1) +(bx+c)x }over { x(x^2 -1)}]
[eqn: ={(a+b)x^2 +cx -a} over { x^3 -x}]

따라서 주어진 등식은

[eqn: 3x+1 over{x^3 -x} = {(a+b) x^2 +cx-a}over {x^3 -x}]

이 식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: 0 = a+b ,~ 3 = c ,~ 1=- a]

[eqn: therefore ````a=-1,~ b=1,~ c=3]

[eqn: therefore````a+b+c = 3]

2 답 [eqn: {{1} over {5}}]

[eqn: 2x=3y=6z`]에서 [eqn: {x} over {3} = {y} over {2} =z=k````(k != 0)`]로 놓으면

[eqn: x=3k], [eqn: y=2k], [eqn: z=k]

[eqn: therefore] [eqn: {xyz} over {x ^{3} +y ^{3} +z ^{3} -xyz}]
[eqn: = {3k CDOT 2k cdot k} over {(3k)^3 + (2k)^3 + k^3 - 3k cdot 2k cdot k }]
[eqn: = {6k ^{3}} over {30k ^{3}}]
[eqn: = {1} over {5}]

3 답 [eqn: a ge0`]

함수 [eqn: y= {3x-1} over {x} =- {1} over {x} +3`]의 그래프는 [eqn: y=- {1} over {x} `]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 것이다.

또, 직선 [eqn: y=ax+3`]에서 [eqn: ax+(3-y) = 0`]은 [eqn: a`]의 값에 관계없이 점 [eqn: (0,~3)`]을 지난다.

[eqn: A capB = emptyset`]에서 [eqn: y = 3x-1 overx `]의 그래프와 직선 [eqn: y = ax+3`]은 만나지 않으므로 오른쪽 그림에서 구하는 [eqn: a`]의 값의 범위는 [eqn: a ge 0`]이다.

4 답 ⑤

[eqn: y = a overx-p +q `]의 그래프의 점근선의 방정식이

[eqn: x=2,~y=-1`]이므로

[eqn: p=2,~q=-1]

따라서 [eqn: y = a overx-2 -1`]의 그래프가

점 [eqn: (0,~-2)`]를 지나므로

[eqn: -2= {a} over {-2} -1]	[eqn: THEREFORE ``a=2]

[eqn: THEREFORE ~a+p+q=3]

5 답 ②

[eqn: y = x+2 overx-1 = (x-1)+3 overx-1 = 3 overx-1 +1]

이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

또, 직선 [eqn: y=mx+1`]에서

[eqn: mx+(1-y)=0`]은 [eqn: m`]의 값에 관계없이 점 [eqn: (0,````1)`]을 지난다.

(ⅰ) [eqn: m=0]일 때, 두 그래프는 만나지 않는다.

(ⅱ) [eqn: {x+2} over {x-1} =mx+1`]에서 [eqn: mx^2 - mx-3 = 0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하면 근이 없어야 하므로
[eqn: D = (-m)^2 -4m(-3)<0], [eqn: m(m+12)<0]
[eqn: THEREFORE ~-12<m<0]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 실수 [eqn: m`]의 값의 범위는

[eqn: -12<m le0]

6 답 ③

[eqn: y= root 2x-4`` +1= root 2(x-2) +1]

따라서 [eqn: y= root 2x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 그래프이다.

[eqn: THEREFORE `m=2,~n=1]

[eqn: THEREFORE `m-n=1]

7 답 ⑤

[eqn: f`(x) = root -x+a `-1]은 [eqn: x=-3]일 때 최댓값 [eqn: 2]를 갖는다.

[eqn: f(-3)=root 3+a `-1 =2 ,~ 3+a =9 ~~~∴~a=6]

또, [eqn: x=2]일 때 최솟값을 가지므로

[eqn: f(2) =root a-2 `-1= root 6-2 `-1 =1]

8 답 [eqn: (-1,```-1)], [eqn: (-2,```-2)]

[eqn: y`=` `f^{-1}(x)]의 그래프는 [eqn: y`=`f`(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y`=x]에 대하여 대칭이므로, 구하는 교점은 [eqn: y`=` f`(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y`=x]의 교점과 같다.

[eqn: root {x`+2} `-2 `=x]에서 [eqn: x+2 `=(x+2)^2]

[eqn: x^2 +3x `+2 `=0,~ (x+1)(x+2)=0]

[eqn: ∴~ x`=`-1 ~또는~ x`=`-2]

따라서 구하는 교점의 좌표는

[eqn: (-1,```-1)], [eqn: (-2,```-2)]

9 답 ⑤

주어진 함수의 그래프에서 정의역은 [eqn: LEFT { x``□``x LEQ 3 RIGHT } ,] 치역은 [eqn: LEFT { y``□``y GEQ -2 RIGHT } `]이므로

[eqn: y= k sqrt {a(x-3)}-2] [eqn: (k>0, ```a<0)]

따라서 주어진 함수의 그래프의 식으로 적당한 것은 ⑤이다.

10 답 [eqn: 1 over 12]

함수 [eqn: y= sqrt {3x-2} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k`]가 접하므로 [eqn: sqrt {3x-2} =x+k`]의 양변을 제곱하면

[eqn: 3 x-2 = x^2 + 2kx + k^2]

[eqn: x^2 +(2k-3)x+k^2 + 2=0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=(2k-3)^2 - 4(k^2 +2)=0]

[eqn: -12k +1=0]	[eqn: THEREFORE ~k= {1} over {12}]