중단원 평가(기본)	Ⅳ. 집합과 명제										1학년
	2. 명제
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

다음 명제 중 거짓인 명제는?

① [eqn: x]가 [eqn: 3]의 배수이면 [eqn: x]는 [eqn: 6]의 배수이다.

② [eqn: vert x vert =1]이면 [eqn: x^2 `=` 1]이다.

③ [eqn: - 1` <` x ` < ` 1]이면 [eqn: x^2 ` < 1]이다.

④ [eqn: x]가 [eqn: 8]의 양의 약수이면 [eqn: x]는 [eqn: 16]의 양의 약수이다.

⑤ 평행사변형은 사다리꼴이다.

2

명제 ‘[eqn: a-3 LEQ x<a+1]이면 [eqn: -2<x<4]이다.’가 참이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

① [eqn: a<1]	② [eqn: 1<a` LEQ 3]

③ [eqn: 1` LEQ a``<`3]	④ [eqn: a>1]

⑤ [eqn: a>3]

3

양의 정수 [eqn: a, ~ b `]에 대하여 명제 [eqn: ‘][eqn: ab `]가 짝수이면 [eqn: a `] 또는 [eqn: b `]가 짝수이다.[eqn: ’]의 역, 대우 중 참인 명제를 모두 구하여라.

4

두 조건 [eqn: p~:~x ^{2}` LEQ`9`], [eqn: q~:~x`>`3`]에 대하여 다음 보기의 명제 중 참인 것을 있는 대로 고른 것은?

<보 기>

ㄱ. [eqn: p` `-> ``q]	ㄴ. [eqn: simq ``->``p]

ㄷ. [eqn: q``->``simp]	ㄹ. [eqn: p``->``simq]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄷ, ㄹ

5

다음은 명제 [eqn: ‘]자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n^2 `]이 [eqn: 3`]의 배수이면 [eqn: n`]도 [eqn: 3`]의 배수이다.[eqn: ’]가 참임을 대우를 이용하여 증명하는 과정이다.

<증명>

주어진 명제의 를 구해 보면

(가)

[eqn: ‘]자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n`]이 [eqn: 3`]의 배수가 아니면 [eqn: n^2 `]도 [eqn: 3`]의 배수가 아니다.[eqn: ’]이다.

[eqn: n`]이 [eqn: 3`]의 배수가 아니면

[eqn: n=`]또는 [eqn: n=3k-1]([eqn: k`]는 자연수)로 놓을 수 있다.

(나)

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: n=`]일 때, [eqn: n^2 `=`3(][eqn: ) + 1 `]

(나)

(다)

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: n=3k-1]일 때, [eqn: n^2 `=`3(][eqn: ) + 1 `]

(라)

즉, [eqn: n^2 `]은 [eqn: 3`]으로 나누면 나머지가 [eqn: 1`]인 자연수가 되므로 [eqn: n`]이 [eqn: 3`]의 배수가 아니면 [eqn: n^2 `]도 [eqn: 3`]의 배수가 아니다

따라서 주어진 명제의 가 참이므로 주어진 명제도 참이다.

(가)

위의 증명 과정에서 (가)~(라)에 알맞은 것을 구하여라.

6

다음 중 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은?

① [eqn: p~:~x ^{2} =4], [eqn: q~:~x=2]

② [eqn: p~:~x`]는 [eqn: 6`]의 양의 약수
[eqn: q~:~x`]는 [eqn: 12`]의 양의 약수

③ [eqn: p~:~a=b`], [eqn: q~:~ac`=`bc`]

④ [eqn: p~:~x`=`2`, `` y`=`3], [eqn: q~:~xy`=`6]

⑤ [eqn: p~:~x`<`1], [eqn: q~:~x`{leq}`2]

7

두 조건 [eqn: p,`` q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P= left{ x```|``x{geq}a right} ,]
[eqn: Q = left{ x`|-1<x{leq}2] 또는 [eqn: x{geq} 4` right}`]라고 하자. [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건일 때, 실수 [eqn: a`]의 최댓값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

8

다음 두 명제가 모두 참일 때, 다음 중 반드시 참인 명제는?

㈎ 수학을 잘하는 사람은 머리가 좋다.

㈏ 수학을 잘 못 하는 사람은 컴퓨터를 잘 못 한    다.

① 수학을 잘하는 사람은 컴퓨터를 잘한다.

② 머리가 좋은 사람은 컴퓨터를 잘한다.

③ 수학을 잘 못 하는 사람은 머리가 좋지 않다.

④ 컴퓨터를 잘하는 사람은 머리가 좋다.

⑤ 컴퓨터를 잘하는 사람은 수학을 잘 못 한다.

9

다음은 [eqn: x,```y]가 실수일 때, [eqn: A= 2x^2 -y^2],

[eqn: B= x^2 - 4xy - 6y^2]에 대하여 [eqn: A ``BOX {`````㈎`````}``B]임을 증명하는 과정이다.

[eqn: A-B][eqn: = (2x^2 -y^2 )- (x^2 -4xy - 6y^2 )]
[eqn: = ( ``BOX {`````㈏`````}``)^2 +y^2]

[eqn: ( ``BOX {`````㈏`````}``)^2 {geq} 0 ,```y^2 {geq}0]이므로

[eqn: A-B ``BOX {`````㈎`````}``0]에서 [eqn: A ``BOX {`````㈎`````}``B]이다.

이때 등호는 [eqn: `BOX {`````㈐`````}``]일 때, 성립한다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 들어갈 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

① [eqn: > ,```x-2y ,```x^2 =y^2]

② [eqn: > ,```x+2y ,```x^2 =y^2]

③ [eqn: geq ,```x+2y ,```x=y=0]

④ [eqn: < ,```x-2y ,```x^2 =y^2]

⑤ [eqn: leq ,```x+2y ,```x=y=0]

10

부등식 [eqn: ax ^{2} +(a+1)x+a GEQ 0]을 만족시키는 실수 [eqn: x]가 존재하기 위한 상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

2. 명제

중단원 평가(기본) 정답 및 풀이

1 답 ①

① (반례) [eqn: x= 9]이면 [eqn: x]는 [eqn: 3]의 배수이지만 [eqn: 6]의 배수는 아니다. (거짓)

② [eqn: |` x `| = 1]이면 [eqn: x^2 `=` 1]이다. (참)

③ [eqn: -1 `<` x ` < ` 1]이면 [eqn: x^2 ` <` 1]이다. (참)

④ [eqn: 8]의 양의 약수의 집합은 [eqn: A `=` left { `1`,`2`,`4`,`8` right }]
[eqn: 16]의 양의 약수의 집합은 [eqn: B `=` left { `1`,`2`,`4`,`8`,`16` right }]
[eqn: A SUBSET B]이므로 주어진 명제는 참이다. (참)

⑤ 평행사변형은 사다리꼴이다. (참)

2 답 ②
주어진 명제가 참이 되려면

[eqn: LEFT { x`|`a-3` LEQ `x<a+1 RIGHT } SUBSET LEFT { x~|~-2<x<4 RIGHT }]

이어야 하므로 오른쪽 그

림에서

[eqn: -2<a-3,`a+1 LEQ 4]

즉, [eqn: a>1,```a LEQ 3]

[eqn: THEREFORE ```1<a` LEQ 3]

3 답 역, 대우

양의 정수 [eqn: a, ~ b]에 대하여

역 : [eqn: a `]또는 [eqn: b `]가 짝수이면 [eqn: ab `]가 짝수이다. (참)

대우 : [eqn: a `]와 [eqn: b `]모두 홀수이면 [eqn: a b `]도 홀수이다. (참)

4 답 ➄

[eqn: x>3`]이면 [eqn: x ^{2}` >`9`]이므로 명제 [eqn: q``->``simp`]가 참이다.

따라서 그 대우인 [eqn: p``->``simq`]도 참이다.

5 답 (가) 대우  (나) [eqn: 3k-2`]  (다) [eqn: 3k ^{2} -4k+1`]
(라) [eqn: 3k ^{2} -2k`]

주어진 명제의 를 구해 보면 ‘자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n`]이 [eqn: 3`]의 배수가 아니면 [eqn: n ^{2}`]도 [eqn: 3`]의 배수가 아니다.’ 이다.

대우

[eqn: n`]이 [eqn: 3`]의 배수가 아니면  또는 [eqn: n=3k-1``]([eqn: k`]는 자연수)로 놓을 수 있다.

[eqn: `3k-2`]

(ⅰ) 일 때
[eqn: n ^{2} =(3k-2) ^{2} =9k ^{2} -12k+4]

[eqn: 3k-2`]

[eqn: =3][eqn: (][eqn: )+1`]

[eqn: 3k ^{2} -4k+1]

(ⅱ) [eqn: n=3k-1`]일 때,
[eqn: n ^{2} = LEFT ( 3k-1 RIGHT ) ^{2} =9k ^{2} -6k+1]
[eqn: =3][eqn: (][eqn: ) +1`]

[eqn: 3k ^{2} -2k]

즉, [eqn: n ^{2}`]은 [eqn: 3`]으로 나누면 나머지가 [eqn: 1`]인 자연수가 되므로 [eqn: n`]이 [eqn: 3`]의 배수가 아니면 [eqn: n ^{2}`]도 [eqn: 3`]의 배수가 아니다.

따라서 주어진 명제의 가 참이므로 주어진 명제도 참이다.

대우

6 답 ①

① [eqn: x ^{2} `=`4`]  [eqn: x`=`2`] ([eqn: ->] 반례) [eqn: x`=`-2]
따라서 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

② [eqn: x`]는 [eqn: 6`]의 양의 약수  [eqn: x`]는 [eqn: 12`]의 양의 약수
([eqn: <-]의 반례) [eqn: x`=`4]
따라서 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

③ [eqn: a`=`b]  [eqn: ac`=`bc]
([eqn: <-]의 반례) [eqn: a`=`1], [eqn: b`=`2], [eqn: c`=`0]
따라서 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

④ [eqn: x`=`2], [eqn: y`=`3`]  [eqn: xy`=`6`]
([eqn: <-]의 반례) [eqn: x`=`-2], [eqn: y`=`-3]
따라서 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

⑤ [eqn: x`<`1`]  [eqn: x`{leq}`2`] ([eqn: <-]의 반례) [eqn: x`=`2`]
따라서 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

7 답 ②

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건

이므로 [eqn: P supset Q]이다.

오른쪽 그림에서 [eqn: a{leq}-1]

따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: -1]이다.

8 답 ④

[eqn: p:] 수학을 잘하는 사람이다.

[eqn: q:] 머리가 좋다.

[eqn: r :] 컴퓨터를 잘하는 사람이다.

로 놓으면 주어진 명제 ㈎, ㈏가 참이므로

[eqn: p`` RARROW``q,``` SIMp`` RARROW`` SIMr]이다.

이때 [eqn: SIMp`` RARROW`` SIMr]는 [eqn: r`` RARROW``p]이므로

[eqn: r`` RARROW``p,```p`` RARROW``q]에서 [eqn: r`` RARROW``q]이다.

따라서 반드시 참인 명제는 ④이다.

9 답 ③

[eqn: A-B][eqn: =(2x ^{2} -y ^{2} )-( x^{2} -4xy-6y ^{2} )]
[eqn: =x^2 + 4xy + 5y^2 =(x^2 +4xy +4y^2 )+y^2]
[eqn: =(`box { `x+2y`} `)^2 +y^2]

[eqn: (`box {`x+2y`} `)^2 {geq}0], [eqn: y^2 {geq}0]이므로

[eqn: A-B ``BOX{geq} `0]에서 [eqn: A`` box {`geq}` B]이다.

이때 등호는 [eqn: x+2y =0 ,```y=0], 즉 [eqn: box { `x=y=0`}]일 때 성립한다.

10 답 [eqn: a GEQ - {1} over {3}]

[eqn: ax ^{2} +(a+1)x+a GEQ 0]을 만족시키는 실수가 존재하는 경우는 전체에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: ax^2 + (a+1)x +a<0]인 경우를 제외하면 된다.

[eqn: ax^2 + (a+1)x +a<0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면

[eqn: a<0]                                     [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

또, 이차방정식 [eqn: ax^2 + (a+1)x +a=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D=(a+1)^2 -4a^2 <0], [eqn: -3a^2 +2a+1<0]

[eqn: 3a^2 -2a-1>0], [eqn: (3a+1)(a-1)>0]

∴ [eqn: a< - 1over3] 또는 [eqn: a>1]                    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 [eqn: a< - 1over3]

따라서 [eqn: ax ^{2} +(a+1)x+a GEQ 0]을 만족하는 실수가 존재하려면 [eqn: a GEQ - {1} over {3}]이면 된다.