중단원 평가(기본)	Ⅳ. 집합과 명제										1학년
	1. 집합
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

[eqn: 10]의 양의 약수를 원소로 갖는 집합 [eqn: X]에 대하여 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보 기>

ㄱ. [eqn: 0 in X]     ㄴ. [eqn: 4 notin X]    ㄷ. [eqn: left{ 1, ~ 10 right} subset X]

① ㄱ,	② ㄷ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2

집합 [eqn: A = LEFT { 1,~3,~5,~7,~9 RIGHT }]의 부분집합 중에서 원소의 개수가 [eqn: 2]개인 부분집합들의 원소의 총합은?

① [eqn: 80]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 120]

3

두 집합 [eqn: A=left{x``|``a <x le 3a+4 right}],
[eqn: B=left{x``|``0<x<3 right}`]에 대하여 [eqn: B subsetA`]가 성립하도록 하는 정수 [eqn: a`]의 값을 구하여라.

4

전체집합 [eqn: U=left{x``|``x`]는 [eqn: 10] 미만의 자연수[eqn: `right}`]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여
[eqn: A-B=left{2,````5,````7right}], [eqn: B SMALLINTER A ^{C} = LEFT { 4,````8 RIGHT } `]이고
[eqn: (A CUP B) ^{C} = LEFT { 1,````9 RIGHT } `]일 때, 집합 [eqn: B`]를 구하여라.

5

전체집합 [eqn: U=left{1,````2,````3,````4,````5 right}`]의 두 부분집합

[eqn: A=left{1,````2 right], [eqn: B=left{1,````3,````5 right}`]에 대하여
[eqn: A cupX =X], [eqn: (B-A) capX =left{5 right]를 만족하는 집합 [eqn: X`]의 개수를 구하여라.

6

다음 중 오른쪽 벤다이어그램에서 색칠한 부분을 나타내는 집합은? (단, [eqn: U`]는 전체집합)

① [eqn: (A-B) cap(B-C)]

② [eqn: (A-B) cap(A-C)]

③ [eqn: A cap(B cupC)]

④ [eqn: A SMALLINTER B SMALLINTER C ^{C}]

⑤ [eqn: (A-B) cup(B-C)]

7

전체집합 [eqn: U`]의 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]에 대하여 다음은 [eqn: (A CUP C ^{C} `) ^{C} CUP (B-A)= {BOX{~~(가)~~}} `]임을 증명한 것이다.

<증명>

[eqn: (A CUP C ^{C} `) ^{C} CUP (B-A)]

[eqn: LEFT. =(A CUP C ^{C} `) ^{C} CUP (B SMALLINTER {BOX{~(나)~}} RIGHT )]
[eqn: =(box{~(다)~}capC ) cup (box{~(나)~}capB)]
[eqn: =box{~(나)~}``box{~(라)~}(B cup box{~(마)~})]
[eqn: =box{~(가)~}]

위의 증명에서 (가)∼(마)에 들어갈 식을 바르게 나타낸 것은?

① (가) : [eqn: A-(B cupC)]	② (나) : [eqn: A]

③ (다) : [eqn: A]	④ (라) : [eqn: cup]

⑤ (마) : [eqn: C]

8

세은이네 반 학생들에게 [eqn: \A,~B] 두 문제를 풀게 하였더니 [eqn: \A]문제를 푼 학생은 [eqn: 23]명, [eqn: \B]문제를 푼 학생은 [eqn: 18]명, 적어도 한 문제를 푼 학생은 [eqn: 30]명이었다. 이때 두 문제를 모두 푼 학생 수를 구하여라.

9

두 집합 [eqn: A,``B]에 대하여 [eqn: n(A)=35,] [eqn: n(B)=28,]

[eqn: n(A capB) ge 13]일 때, [eqn: n(A cupB)]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라.

10

자연수 전체의 집합 [eqn: N]의 부분집합 [eqn: A]가 조건 [eqn: x IN A]이면 [eqn: {64} over {x} IN A]를 만족한다. 집합 [eqn: A] 중에서 원소의 개수가 가장 많은 집합을 [eqn: B], 원소의 개수가 가장 적은 집합을 [eqn: C]라고 할 때, 집합 [eqn: B-C]를 구하여라.

(단, [eqn: A != EMPTYSET ``])

1. 집합

중단원 평가(기본) 정답 및 풀이

1 답 ③

[eqn: 10]의 양의 약수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 10]이므로

[eqn: X= left{ 1, ~2, ~ 5, ~ 10 right}]

ㄱ. [eqn: 0]은 집합 [eqn: X]의 원소가 아니므로 [eqn: 0 notin X] (거짓)

ㄴ. [eqn: 4]는 집합 [eqn: X]의 원소가 아니므로 [eqn: 4 NOTIN X] (참)

ㄷ. [eqn: 1], [eqn: 10]은 집합 [eqn: X]의 원소이므로 [eqn: left{ 1, ````10 right} subset X] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

2 답 ③

원소의 개수가 [eqn: 2]개이고 [eqn: 1]이 반드시 포함된 부분집합은 [eqn: LEFT { 1,~3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,~5 RIGHT], [eqn: LEFT { 1,~7 RIGHT }], [eqn: left{ 1,~9 RIGHT }]이므로 [eqn: 4]개이다.

마찬가지로 원수의 개수가 [eqn: 2]개이고 [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9]가 각각 포함된 부분집합은 [eqn: 4]개씩이다.

따라서 각각의 원소는 모두 [eqn: 4]번씩 들어 있고 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 총합은 [eqn: 1+3+5+7+9=25]이므로 구하는 원소의 총합은 [eqn: 4 times 25=100]

3 답 [eqn: 0]

두 집합 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여 [eqn: B subsetA`]를 수직선에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

즉, [eqn: B subsetA`]이려면 [eqn: a le0`]이고 [eqn: 3a+4 ge3`]이어야 한다.

[eqn: therefore````- 1over3 le a le0]

따라서 만족하는 정수 [eqn: a`]는 [eqn: 0`]이다.

4 답 [eqn: left{3,````4,````6,````8right}]

[eqn: U=left{1,````2,````3,````cdots,````9right}], [eqn: A-B=left{2,````5,````7right}],

[eqn: (A CUP B) ^{C} = LEFT { 1,````9 RIGHT } `]이므로

[eqn: A cupB=left{2,````3,````4,````5,````6,````7,````8right}],

[eqn: B SMALLINTER A ^{C} =B-A= LEFT { 4,````8 RIGHT }]

이것을 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

[eqn: therefore````A capB=left{3,````6right}]

따라서 구하는 집합 [eqn: B`]는

[eqn: B= LEFT { 3,````4,````6,````8 RIGHT }]

5 답 [eqn: 2]

[eqn: A cupX =X`]이므로 [eqn: A subsetX]

즉, [eqn: left{1,````2 right} subset X]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: (B-A) capX =left{3,````5 right} capX =left{5 right}`]이므로

[eqn: 5 inX], [eqn: 3 nin X]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: left{1,````2,````5 right} subset X subset left{1,````2,````4,````5 right}]

따라서 집합 [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 2^4-3 =2]

6 답  ②

따라서 색칠한 부분은

[eqn: (A-B) cap(A-C)]

7 답 ⑤

[eqn: (A CUP C ^{C} `) ^{C} CUP (B-A)][eqn: =(A CUP C ^{C} `) ^{C} CUP (B SMALLINTER {BOX{A ^{C} `}} )]
[eqn: =(A ^{C} SMALLINTER C) CUP (B SMALLINTER A ^{C} `)]
[eqn: =( {BOX{A ^{C} `}} SMALLINTER C) CUP ( {BOX{A ^{C} `}} SMALLINTER B)]
[eqn: =A ^{C} SMALLINTER (C CUP B)]
[eqn: = {BOX{``A ^{C} `}} ` {BOX{SMALLINTER }} (B CUP {BOX{C`}} )]
[eqn: =(B CUP C) SMALLINTER A ^{C}]
[eqn: =box{(B cupC)-A]

8 답 [eqn: 11]명

[eqn: \A]문제를 푼 학생의 집합을 [eqn: A,] [eqn: \B]문제를 푼 학생의 집합을 [eqn: B`]라고 하면

[eqn: n(A)=23,] [eqn: n(B`)=18,] [eqn: n( A cupB`) =30]

따라서 두 문제를 모두 푼 학생 수는 [eqn: n(A capB`)]이므로

[eqn: n(A capB`)`][eqn: =n(A)+n(B`)-n(A cupB`)]
[eqn: =23+18-30]
[eqn: =11]

9 답 [eqn: 85]

[eqn: n(A cupB`) = n(A)+ n(B`) -n(A capB`)]에서

(ⅰ) [eqn: n(A cupB`)]의 최댓값은 [eqn: n(A capB`)]가 최소일 때이다.
[eqn: n(A SMALLINTER B`) GEQ 13]에서 [eqn: n(A capB`) =13]일 때
[eqn: n(A cupB`) =35 +28 -13 =50]

(ⅱ) [eqn: n(A cupB`)]의 최솟값은 [eqn: n(A capB`)]가 최대일 때이다.
[eqn: n(A capB`) le n(A),~n(A capB` ) le n(B`)]에서
[eqn: n(A capB`) le 28]이므로 [eqn: n(A capB`)=28]일 때
[eqn: n(A cupB`) =35 +28 -28 =35]

(ⅰ), (ⅱ)에서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 50+35 =85]

10 답 [eqn: LEFT { 1,~2,~4,~16,~32,~64 RIGHT }]

집합 [eqn: A]의 원소는 자연수이고, [eqn: {64} over {x} IN A``]이므로 [eqn: x``]가 될 수 있는 수는 [eqn: 64``]의 양의 약수인

[eqn: 1,~2,~4,~8,~16,~32,~64``]이다.

[eqn: THEREFORE ~B= LEFT { 1,~2,~4,~8,~16,~32,~64 RIGHT } ,~C= LEFT { 8 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE ~B-C= LEFT { 1,~2,~4,~16,~32,~64 RIGHT }]