중단원 평가(기본)	Ⅲ. 도형의 방정식										1학년
	3. 원의 방정식
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

다음 중 원의 방정식이 아닌 것은?

① [eqn: x^{ 2}+y ^{ 2}+6x=0]

② [eqn: x^{ 2}+y ^{ 2}+2x-8y-8=0]

③ [eqn: x ^{2} +y ^{2} +x+y+1=0]

④ [eqn: x^{ 2}+y ^{ 2}+4x+2y+1=0]

⑤ [eqn: x^{ 2}+y ^{ 2}-2x+4y=0]

2

다음 원의 방정식을 구하여라.

(1) 두 점 [eqn: (`-2`,~3`)`], [eqn: (`4`,~-3`)`]을 지름의 양 끝점으로 하는 원

(2) 중심이 [eqn: y`]축 위에 있고 두 점 [eqn: (`-1`,~2`)`], [eqn: (`3`,~4`)`]를 지나는 원

(3) 중심이 [eqn: x`]축 위에 있고 두 점 [eqn: (`0`,``-4`)`], [eqn: (`1`,~3`)`]을 지나는 원

3

점 [eqn: (`2`,~3`)`]을 중심으로 하고 [eqn: y`]축에 접하는 원의 방정식은 [eqn: x ^{2}+y ^{ 2}+ax+by+c=0]이다. 이때 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합 [eqn: a+b+c`]의 값을 구하여라.

4

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]과 직선 [eqn: mx-y+1-2m=0]이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 구하여라.

5

직선 [eqn: 2x+3y+k=0]이 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} =13]에 접할 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

6

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+10y+9=0]이 [eqn: y]축에 의하여 잘린 선분의 길이를 구하여라.

7

원 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} =8] 위의 점과 직선 [eqn: y=x+3] 사이의 최단 거리는?

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

8

원 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =r ^{2}`]과 원 밖의 한 점 [eqn: rmA LEFT ( 4,~5 RIGHT )`]가 있다. 점 [eqn: rmA`]에서 원에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 양수 [eqn: r`]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: sqrt10]	③ [eqn: 2sqrt3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2sqrt5]

9

원 [eqn: x^{ 2}+y ^{ 2}-4x+a ^{ 2}-4a-1=0]의 넓이가 최대일 때의 원의 반지름의 길이를 구하여라. (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

10

점 [eqn: rm{P}it LEFT ( 2,~3 RIGHT )`]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +4x-2y+1=0`]에 그은 두 접선의 접점 사이의 거리는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: sqrt6]

④ [eqn: {8sqrt5} over {5}]	⑤ [eqn: {16sqrt5} over {5}]

3. 원의 방정식

중단원 평가(기본) 정답 및 풀이

1 답 ③

① [eqn: x ^{2} `+y ^{2}+6x=0]에서 [eqn: (x+3) ^{2} +y ^{2} =9]

② [eqn: x ^{2} +y ^{2} +2x-8y-8=0`]에서
[eqn: (x+1) ^{2}+(y-4) ^{ 2}=25`]

③ [eqn: x ^{2} +y ^{2} +x+y+1=0]에서
[eqn: left(x+ {1} over {2} right) ^{2} + left(y+ {1} over {2} right) ^{2} =`- {1} over {2}]
따라서 [eqn: - 1 over 2 <0`]이므로 원이 아니다.

④ [eqn: x ^{2} +y ^{2} +4x+2y+1=0`]에서
[eqn: (x+2) ^{2} +(y+1) ^{2} =4`]

⑤ [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x+4y=0`]에서 [eqn: (x-1) ^{2}+(y+2) ^{ 2}=5`]

2 답 (1) [eqn: (x-1) ^{2} +y ^{2}=18]  (2) [eqn: x ^{2} +(y-5) ^{2}=10]
(3) [eqn: (x+3) ^{2} +y ^{2} =25]

(1) 원의 중심의 좌표는  [eqn: LEFT ( ` {-2+4} over {2} ,`` {3-3} over {2} ` RIGHT )`],
즉 [eqn: (1`,~0)`]
반지름의 길이는
[eqn: {1} over {2} sqrt {(4+2) ^{2} +(-3-3) ^{2}}=3 sqrt {2}`]
따라서 구하는 원의 방정식은 [eqn: (x-1) ^{2} +y ^{2}=18]

(2) 중심이 [eqn: y]축 위에 있으므로 구하는 원의 방정식을 [eqn: x ^{2}+(y-b) ^{ 2}=r ^{ 2}]으로 놓으면 이 원이 두 점
[eqn: (-1`,~ 2)`,~ (3`,~ 4)`]를 지나므로
[eqn: (-1) ^{2} +(2-b) ^{2} =r ^{2} `]에서
[eqn: b ^{2} -4b+5=r ^{2}]	…… ㉠
[eqn: 3 ^{2} +(4-b) ^{2} =r ^{2} `]에서
[eqn: b ^{2} -8b+25=r ^{2}]	…… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: b=5,``````r ^{2}=10]

따라서 구하는 원은 중심의 좌표가 [eqn: (`0`,~5`)`]이고 [eqn: r^{ 2}=10`]이므로 [eqn: x ^{2} +(y-5) ^{2}=10]

(3) 중심이 [eqn: x`]축 위에 있으므로 구하는 원의 방정식을 [eqn: (x-a) ^{2} +y ^{2} =r ^{2}`]으로 놓으면 이 원이 두 점[eqn: (`0`,``-4`)`], [eqn: (`1`,~3`)`]을 지나므로
[eqn: a ^{2} +16=r ^{2}]	…… ㉠
[eqn: (1-a) ^{2} +9=r ^{2} ``]에서
[eqn: a ^{2} -2a+10=r ^{2}]	…… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
[eqn: `a=`-3,~r ^{2} =25`]
따라서 구하는 원은 중심의 좌표가 [eqn: (-3,~0)`]이고 [eqn: r^{ 2}=25`]이므로 [eqn: (x+3) ^{2} +y ^{2}=25`]

3 답 [eqn: `-1`]

점 [eqn: (2`,~3)`]을 중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원의 방정식은

[eqn: (x-2) ^{2} +(y-3) ^{2} =2 ^{2} `]

[eqn: x ^{2} -4x+4+y ^{2} -6y+9=4`]

[eqn: THEREFORE ```x ^{2} +y ^{2} -4x-6y+9=0`]

따라서 [eqn: a=`-4,````b=`-6,`````c=9`]이므로

[eqn: a+b+c=`-1`]

4 답 [eqn: 0<m< {4} over {3}]

원의 중심 [eqn: LEFT ( 0`,~0 RIGHT )]과 직선 [eqn: mx-y+1-2m=0] 사이의 거리는 [eqn: {LEFT | 1-2m RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}]

원의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면

[eqn: {LEFT | 1-2m RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}} <1`], [eqn: LEFT | 1-2m RIGHT | `< sqrt {m ^{2} +1}`]

양변을 제곱하면

[eqn: 1-4m+4m ^{2} <m ^{2} +1]

[eqn: 3m ^{2} -4m<0,``m LEFT ( 3m-4 RIGHT ) <0]

[eqn: THEREFORE ```0<m< {4} over {3}]

5 답 ④

원의 중심 [eqn: LEFT ( 3,```-2 RIGHT )]와 직선 [eqn: 2x+3y+k=0] 사이의 거리는 [eqn: {LEFT | 6-6+k RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +3 ^{2}}} = {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {13}}]

이고, 원의 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {13}]이므로 원과 직선이 접하려면

[eqn: {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {13}} = sqrt {13} ,`` LEFT | k RIGHT | =13]

[eqn: THEREFORE `k=13`( BECAUSE `k>0)]

6 답 [eqn: 8]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+10y+9=0]이 [eqn: y]축과 만나므로 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: y ^{2} +10y+9=0,` LEFT ( y+1 RIGHT ) LEFT ( y+9 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `y=-1] 또는 [eqn: y=-9]

따라서 주어진 원과 [eqn: y]축과의 교점이

[eqn: LEFT ( 0`,~-1 RIGHT ) `,~ LEFT ( 0`,~-9 RIGHT )]이므로 선분의 길이는 [eqn: 8]이다

7 답 ②

원의 중심 [eqn: LEFT ( 1,`-2 RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x+3], 즉

[eqn: x-y+3=0] 사이의 거리는

[eqn: {LEFT | 1+2+3 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}} =3 sqrt {2}]

이고, 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2 sqrt {2}]이므로 원 위의 점과 직선 사이의 최단 거리는

[eqn: 3 sqrt {2} -2 sqrt {2} = sqrt {2}]

8 답 ⑤

원의 중심을 [eqn: rmC], 두 접선과 원과의 교점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 하면 사각형 [eqn: rmAPCQ]는 정사각형이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm C`A`P]에서 [eqn: rmbarCA` ^{2} =barCP` ^{2} `+barAP` ^{2}``]이므로

[eqn: LEFT ( 4-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 5+1 RIGHT ) ^{2} =r ^{2} +r ^{2} `,~2r ^{2} =40]

[eqn: r ^{2} =20~~~~ THEREFORE ~r=2 sqrt {5} ` LEFT ( BECAUSE ``r>0 RIGHT ) `]

9 답 [eqn: 3`]

[eqn: x ^{2} +y ^{2}-4x+a ^{ 2}-4a-1=0]에서

[eqn: (x-2) ^{2} +y ^{2} =-a ^{2}+4a+5]

이 방정식이 원의 방정식이므로

[eqn: -a ^{2} +4a+5>0,````a ^{2}-4a-5<0]

[eqn: (a+1)(a-5)<0]   ∴ [eqn: -1<a<5]

이 범위에서 원의 넓이가 최대이려면 반지름의 길이가 최대이어야 한다.

[eqn: -a ^{2} +4a+5=-(a-2) ^{2}+9]

따라서 [eqn: a=2]일 때 넓이는 최대이고, 그때의 반지름의 길이는 [eqn: 3`]이다.

10 답 ④

다음 그림과 같이 점 [eqn: rmP LEFT ( 2,~3 RIGHT )]에서 원에 그은 접선의 두 접점을 [eqn: rmQ,~R`]라고 하자.

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +4x-2y+1=0]에서 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =4]이므로 원의 중심은 [eqn: rmC LEFT ( -2,~1 RIGHT )]이고 반지름의 길이는 [eqn: 2]이다.

[eqn: THEREFORE `` rm {bar{CQ}} `=2,~ {bar{CP}} `= sqrt {LEFT ( 2+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2}} `=2 sqrt {5}]

삼각형 [eqn: rmCPQ]에서 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: LEFT ( 2sqrt5 RIGHT ) ^{2} =2 ^{2} +rmbarPQ` ^{2} ,~barPQ` ^{2} =16]

[eqn: rm { thereforebarPQ`=4` LEFT ( becausebarPQ`>0 RIGHT ) }]

또한, [eqn: rm TRIANGLE CPQ= {1} over {2} CDOT bar{CQ} ` CDOT bar{PQ} `= {1} over {2} CDOT bar{CP} ` CDOT bar{QM}`]

이므로

[eqn: {1} over {2} CDOT 2 CDOT 4= {1} over {2} CDOT 2 sqrt {5} ` CDOT rm {bar{QM}} `~~~~ THEREFORE {bar{rm QM}} `= {4 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: thereforermbarQR`=2barQM`= {8sqrt5} over {5}]