중단원 평가(기본)	Ⅲ. 도형의 방정식										1학년
	1. 평면좌표
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

두 점 [eqn: {rmA}(a`,~-3)`,~{rmB}(1`,~a)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 길이가 최소가 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: -1]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -4]

2

세 점 [eqn: {rmA}(a,~a),~{rmB}(3,~a),````{rmC}(2,~b)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]가 정삼각형일 때, 이 정삼각형의 한 변의 길이를 구하여라. (단, [eqn: a,``b]는 상수이다.)

3

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: {rmA}(1,```3),] [eqn: {rmB}(6`,````5)`]에 대하여 점 [eqn: rmP`]는 [eqn: y`]축, 점 [eqn: rmQ`]는 [eqn: x`]축 위의 점일 때,

[eqn: rm bar{AP} + bar{PQ}+ bar { QB}`]의 최솟값을 구하여라.

4

[eqn: rm TRIANGLE ABC]에 대하여 [eqn: rm {bar{PA}} ^{2} +{bar{PB}} ^{2} + {bar{PC}} ^{2}]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: rmP`]의 위치는?

① [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 외심

② [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 내심

③ [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게중심

④ [eqn: rm bar{AB}]의 중점

⑤ [eqn: rm bar{AC}]를 [eqn: 2`:`1`]로 내분하는 점

5

두 점 [eqn: rm { A(1`,~-3)`,~B(-4`,~6) }`]에 대하여 선분 [eqn: rm { AB }]를 [eqn: k:(2-k)]로 내분하는 점이 제[eqn: 2]사분면 위에 존재할 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

6

세 점 [eqn: {rmO}(0`,~0)`,~{rmA}(a`,~3) `,~{rmB}(2`,~4)``]에 대하여

[eqn: {rmbar OA = barAB]일 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2root2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2root5]	⑤ [eqn: 5]

7

좌표평면 위의 세 점 [eqn: {rmA}(2`,~a+1)`], [eqn: {rmB}(b+1`,````-1)`], [eqn: {rmC}(a-1,`b+1)]에 대하여 선분 [eqn: rm { AB }]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: (2`,~1)`]이고, 선분 [eqn: rm { BC }]를 [eqn: 3:2]로 외분하는 점의 좌표가 [eqn: (x`,~y)`]일 때, [eqn: LEFT | x-y RIGHT |]의 값을 구하여라.

8

두 점 [eqn: rm { A(-1`,~0)`,~B(5`,~2) }]에 대하여 선분 [eqn: rm { AB }]의 연장선 위에  [eqn: rm { 3 bar{AB} =2 bar{BC} }]를 만족시키는 점을 [eqn: {rm C}(a`,~b)`]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a > 0])

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

9

삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 [eqn: rm bar AB`,~bar BC`,~bar CA``]의 중점이 각각 [eqn: rm P(2,~0)], [eqn: rm Q(3,~5)], [eqn: rm R(-1,~1)]이라 한다. 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 무게중심의 좌표를 [eqn: (a`,~b)`]라고 할 때, 상수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 [eqn: 3a-b`]의 값을 구하여라.

10

네 점 [eqn: {rm A} LEFT ( a,~1 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 2,~3 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 4`,~4 RIGHT )`], [eqn: rm D it LEFT ( b`,~2 RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm ABCD]가 마름모일 때, 다음 중 [eqn: ab]의 값이 될 수 있는 것은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

1. 평면좌표

중단원 평가(기본) 정답 및 풀이

1 답 ②

[eqn: rm barAB][eqn: = root{(1-a)^2 + (a+3)^2 }]
[eqn: = root{2a^2 + 4a +10}]
[eqn: = root{ 2(a+1)^2 +8]

따라서 [eqn: a=-1]일 때, 선분 [eqn: rm { AB }]의 길이가 최소가 된다.

2 답 [eqn: 2]

[eqn: {rm bar{AB`}} ` ^{2} =(3-a) ^{2} `]	[eqn: cdots cdots`㉠`]

[eqn: {rm bar{BC}} ` ^{2} =(2-3) ^{2} +(b-a) ^{2} =1+(b-a) ^{2} `]	[eqn: cdots cdots`㉡`]

[eqn: {rm bar{AC} }` ^{2} =(2-a) ^{2} +(b-a) ^{2} =a ^{2} -4a+4+(b-a) ^{2}`]

[eqn: cdots cdots`㉢`]

삼각형 [eqn: rm ABC`]가 정삼각형이므로 [eqn: rm bar{BC} ` ^{2} = bar{AC} ` ^{2}`]

㉡, ㉢에서

[eqn: 1=a ^{2} -4a+4`], [eqn: a ^{2} -4a+3=0`]

[eqn: (a-1)(a-3)=0`]   ∴ [eqn: a=1`] 또는 [eqn: a=3`]

한편, ㉠에서

(ⅰ) [eqn: a=1]이면 [eqn: rm bar{AB} ` ^{2} =4]

(ⅱ) [eqn: a=3]이면 [eqn: rm bar{AB} ` ^{2} =0]

(ⅰ), (ⅱ)에서 정삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: sqrt {4 }=2]이다.

3 답 [eqn: root 113]

점 [eqn: rm A`]와 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 점을 [eqn: rm A`']이라고 하면

[eqn: rm A` prime (-1,````3)`], 점 [eqn: rm B]와 [eqn: x]축에 대하여 대칭인 점을 [eqn: rm B`']이라고 하면

[eqn: rm B` prime (6,```-5)]

[eqn: rm bar{AP} = bar{A`'P} `,~` bar{BQ} = bar{B`'Q}]이므로

[eqn: rm bar{AP} + bar{PQ} + bar{QB} = bar{A`'P} + bar{PQ} + bar{B`'Q}`]

[eqn: ge rm bar A'B'`]

[eqn: = sqrt {(6+1) ^{2} +(-5-3) ^{2}} = sqrt {113}`]

따라서 [eqn: rm bar{AP} + bar{PQ} + bar{QB}`]의 최솟값은 [eqn: sqrt {113}]이다.

4 답 ③

[eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 세 꼭짓점의 좌표를 [eqn: {rm A}(x _{1} `,~y _{1} )`],

[eqn: {rm B}(x _{2} `,~ y _{2} )``], [eqn: {rm C}(x _{3} `,~y _{3} )`]이라 하고, 점 [eqn: {rm P}(`x`,~y)`]라 하면

[eqn: rm bar{PA} ` ^{2} + bar{PB} ` ^{2} + bar{PC} ` ^{2}`]

[eqn: =(x-x _{1} ) ^{2} +(y-y _{1} ) ^{2} +(x-x _{2} ) ^{2} +(y-y _{2} ) ^{2}]

[eqn: +(x-x _{3} ) ^{2} +(y-y _{3} ) ^{2}`]

[eqn: =3x ^{2} -2(x _{1} +x _{2} +x _{3} )x+x _{1} ` ^{2} +x _{2} ` ^{2} +x _{3} ` ^{2}`]

[eqn: +3y ^{2} -2(y _{1} +y _{2} +y _{3} )y+y _{1} ` ^{2} +y _{2} ` ^{2} +y _{3} ` ^{2}`]

[eqn: =3 left(x- {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} right) ^{2} +3 left(y- {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3} right) ^{2}`]

[eqn: +x _{1} ` ^{2} +x _{2} ` ^{2} +x _{3} ` ^{2} +y _{1} ` ^{2} +y _{2} ` ^{2} +y _{3} ` ^{2}`]

[eqn: - {(x _{1} +x _{2} +x _{3} ) ^{2}} over {3} - {(y _{1} +y _{2} +y _{3} ) ^{2}} over {3}`]

따라서 [eqn: x= {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} ,```y= {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3}]일 때,

[eqn: rm bar{PA} ` ^{2} + bar{PB} ` ^{2} + bar{PC} ` ^{2}`]의 값이 최소이므로 점 [eqn: rm P`]는

[eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 무게중심이다.

5 답 [eqn: 2 over 3 < k < 2]

두 점 [eqn: rm A(1`,~-3)`,```B(-4`,~6)`]을 이은 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: k`:`(2-k)]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: left( {k TIMES (-4)+(2-k) TIMES 1} over {k+(2-k)} `,~ {k TIMES 6+(2-k) TIMES (-3)} over {k+(2-k)} right)`]

[eqn: =left( {2-5k} over {2} `,```` {9k-6} over {2} right)`]

이때 내분점이 제[eqn: 2]사분면 위에 존재하므로

[eqn: {2-5k} over {2} <0`,``` {9k-6} over {2} >0`]

[eqn: {2-5k} over {2} <0]에서 [eqn: k> {2} over {5}]	[eqn: cdots cdots`㉠`]

[eqn: {9k-6} over {2} >0]에서 [eqn: k> {2} over {3}]	[eqn: cdots cdots`㉡`]

그런데 [eqn: k>0`,````2-k>0`]에서

[eqn: 0<k<2]	[eqn: cdots cdots`㉢`]

따라서 ㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면  [eqn: {2} over {3} <k<2]

6 답 ②

[eqn: rm { barOA``=barAB }]에서 [eqn: rm { barOA `^2 = barAB` ^2 }]이므로

[eqn: a^2 + 3^2 = (2-a)^2 +(4-3)^2]

[eqn: a^2 +9 = a^2 -4a +5]

[eqn: 4a=-4]    [eqn: THEREFORE~a=-1]

7 답 [eqn: 3]

선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2`:`1`]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: left( {2 TIMES (b+1)+1 TIMES 2} over {2+1} `,~ {2 TIMES (-1)+1 TIMES (a+1)} over {2+1} right)]

[eqn: =(2`,~1)`]

즉, [eqn: {2b+4} over {3} =2,``` {a-1} over {3} =1]

따라서 [eqn: a=4,```b=1]이므로

[eqn: rm B(2`,~-1)`,```C(3`,~2)]

선분 [eqn: rm BC]를 [eqn: 3`:`2`]로 외분하는 점의 좌표는

[eqn: left( {3 TIMES 3-2 TIMES 2} over {3-2} ,` {3 TIMES 2-2 TIMES (-1)} over {3-2}right )=(x`,~y)`]

이므로 [eqn: x=5,```y=8]

[eqn: THEREFORE LEFT | x-y RIGHT | =3]

8 답 ⑤

[eqn: a>0]이므로 직선 [eqn: rm AB] 위의 세 점은 [eqn: rm A`,````B`,````C`]의 순서로 놓여 있다.

[eqn: rm 3 bar{AB} =2 bar{BC}]에서 [eqn: rm bar{AB} `:` bar{BC} =2`:`3`]이므로 점 [eqn: rm C]는 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 5`:`3`]으로 외분하는 점이다.

따라서 점 [eqn: rm C]의 좌표는

[eqn: left( {5 TIMES 5-3 TIMES (-1)} over {5-3}` ,~ {5 TIMES 2-3 TIMES 0} over {5-3} right)=(14`,~5)`]

이므로 [eqn: a=14,```b=5]    [eqn: THEREFORE a+b=19]

9 답 [eqn: 2`]

[eqn: {rm A}(a_1`,~a_2 )`], [eqn: {rm B}(b_1`,~b_2 )`], [eqn: {rm C} (c_1 `,~c_2 )`]라 하면

[eqn: rm bar AB `,~bar BC`,~bar CA``]의 중점이 각각 [eqn: rm P(2`,~0)`], [eqn: rm Q(3`,~5)`], [eqn: rm R(-1`,~1)`]이므로

[eqn: {a_1 +b_1 } over 2 =2`], [eqn: {a_2 +b_2 } over 2 =0`]

에서 [eqn: a_1 +b_1 =4`], [eqn: a_2 +b_2 =0`]	[eqn: cdots cdots `㉠`]

[eqn: {b_1 + c_1 } over 2 =3`], [eqn: {b_2 +c_2 } over 2 =5`]

에서 [eqn: b_1 +c_1 =6`], [eqn: b_2 +c_2 =10`]	[eqn: cdots cdots `㉡`]

[eqn: {a_1 +c_1 } over 2 =-1`], [eqn: {a_2 +c_2 } over 2 =1`]

에서 [eqn: a_1 +c_1 =-2`], [eqn: a_2 +c_2 =2`]	[eqn: cdots cdots `㉢`]

[eqn: ㉠`,~ ㉡`,~ ㉢`]에서

[eqn: 2(a_1 +b_1 +c_1 )=8`], [eqn: 2(a_2 +b_2 +c_2 )=12`]

∴  [eqn: a_1 +b_1 +c_1` =4`], [eqn: a_2 +b_2 +c_2 =6`]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left( {a_1 +b_1 +c_1 } over 3`,~{a_2 +b_2 +c_2 } over 3 right)= left( 4 over 3`,~ 6 over 3 right)= left( 4 over 3 `,~2 right)`]

이므로 [eqn: a= 4over 3`], [eqn: b=2`]    ∴ [eqn: 3a-b=2`]

10 답 ②

사각형 [eqn: rm { ABCD }]가 마름모이므로 두 대각선 [eqn: rm { AC }]와 [eqn: rm { BD }]의 중점이 일치한다. 즉,
[eqn: LEFT ( {a+4} over {2} `,~ {1+4} over {2} RIGHT ) = LEFT ( {2+b} over {2} `,~ {3+2} over {2} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE b=a+2`]	[eqn: CDOTS CDOTS `㉠]
또한, 마름모의 정의에 의하여 [eqn: rm { bar{AB} = bar{BC} }]이므로
[eqn: sqrt {LEFT ( 2-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {LEFT ( 4-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 4-3 RIGHT ) ^{2}}]
양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: a ^{2} -4a+3=0`,~` LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE ```a=1] 또는 [eqn: a=3]	[eqn: CDOTS CDOTS `㉡]
㉡을 ㉠에 대입하면
[eqn: a=1`,~`b=3] 또는 [eqn: a=3`,~`b=5]
따라서 [eqn: ab]의 값은 [eqn: 3] 또는 [eqn: 15]이다.