중단원 평가(기본)	Ⅱ. 방정식과 부등식										1학년
	3. 여러 가지 방정식과 부등식
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

[eqn: x]에 대한 사차방정식 [eqn: x ^{4} -2x ^{3} +x ^{2} +ax+b=0]의 두 근이 [eqn: -1], [eqn: 1]일 때, 실수 [eqn: a,```b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

2

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -4x ^{2} + LEFT ( k+4 RIGHT ) x-2k=0]의 근이 모두 실수가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

3 연립방정식 [eqn: cases{ x^2 - 2xy - 3 y^2 = 0 # x^2 +y^2 = 40 }]의 해를
[eqn: x=a,~y=b]라고 할 때, 정수 [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하여라.

4

연립방정식 [eqn: cases{x^2 +y^2 =a #x+y=2}`]가 오직 한 쌍의 실수해를 가질 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

5

연립부등식 [eqn: cases{3x+2 LE11# 2-x <3x+10]을 만족하는 가장 큰 정수를 [eqn: M], 가장 작은 정수를 [eqn: m]이라고 할 때,	[eqn: M-m]의 값을 구하여라.

6

부등식 [eqn: 4(x-2) Le -2 (1-x) < 3x+4]의 해가

[eqn: a< x LE b]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -3]

7

다음 부등식을 풀어라.

(1) [eqn: left|1-x right| ge 2 -x]

(2) [eqn: left|x-1 right| le 3x-1]

(3) [eqn: 1< left|x-2 right| <3]

8

이차함수 [eqn: y= x^2 -2x-8`]의 그래프가 이차함수

[eqn: y= - 2x^2 + x-2`]의 그래프보다 아래쪽에 있는 [eqn: x`]의 값의 범위는?

① [eqn: -2 `＜` x`＜`1`]	② [eqn: -1 `＜` x`＜`2`]

③ [eqn: -1 `＜` x`＜`3`]	④ [eqn: 1 `＜` x`＜`2`]

⑤ [eqn: 1 `＜` x`＜`3`]

9

[eqn: -1`＜` `x＜`3`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 이차부등식 [eqn: x^2 - 4x +a-3`＜`0`]이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최댓값은?

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 4`]

④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

10

연립부등식 [eqn: cases{`x^2 -5x+6 >0`#`x^2 -(a+4)x+4a le 0}]의 해가
[eqn: 3`＜` x le 4`]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값의 범위를 구하여라.

3. 여러 가지 방정식과 부등식

중단원 평가(기본) 정답 및 풀이

1 답 ①

[eqn: x ^{4} -2x ^{3} +x ^{2} +ax+b=0]의 두 근이 [eqn: -1,```1]이므로

[eqn: 1+2+1-a+b=0], [eqn: 1-2+1+a+b=0]

즉, [eqn: a-b=4], [eqn: a+b=0]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=`2], [eqn: b=`-2] [eqn: THEREFORE ``ab=`-4]

2 답 [eqn: 1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -4x ^{2} + LEFT ( k+4 RIGHT ) x-2k]로 놓으면

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로 조립제법을 이용하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 인수분해하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+k RIGHT )]

이때 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 모든 근이 실수가 되려면 방정식 [eqn: x ^{2} -2x+k=0]이 실근을 가져야 하므로 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: {D} over {4} `=1-k GEQ 0] [eqn: THEREFORE ``k LEQ 1]

따라서 실수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

3 답 [eqn: 12]

[eqn: {cases{x ^{2} -2xy-3y ^{2} =0~~~~~ CDOTS CDOTS `㉠#x ^{2} +y ^{2} =40~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS `㉡}}]
[eqn: ㉠]에서 [eqn: (x+y)(x-3y)=0]
[eqn: THEREFORE x=-y] 또는 [eqn: x=3y]

(ⅰ) [eqn: x=-y]를 [eqn: ㉡]에 대입하면
[eqn: (-y) ^{2} +y ^{2} =40,~y ^{2} =20]
[eqn: THEREFORE y=±2 sqrt {5} ,~x= -+ 2 sqrt {5}](복부호 동순)

(ⅱ) [eqn: x=3y]를 [eqn: ㉡]에 대입하면
[eqn: (3y) ^{2} +y ^{2} =40,~y ^{2} =4]
[eqn: THEREFORE y=±2,~x=±6](복부호 동순)

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a,~b]가 정수이므로
[eqn: a=±6,~b=±2](복부호 동순)
[eqn: THEREFORE ``ab=12]

4 답 [eqn: 2`]

[eqn: {cases{x ^{2} +y ^{2} =a~~~~ CDOTS CDOTS `㉠#x+y=2~~~~~``` CDOTS CDOTS `㉡}}]

㉡에서 [eqn: y=-x+2]를 ㉠에 대입하면

[eqn: x ^{2} +(-x+2) ^{2} =a,```2x ^{2} -4x+4-a=0]

주어진 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지므로 위의 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: {D} over {4} =(-2) ^{2} -2(4-a)=0,```4-8+2a=0]

[eqn: THEREFORE ``a=2]

5 답 [eqn: 4]

[eqn: 3x+2 LE 11]에서 [eqn: x LE 3]

[eqn: 2-x< 3x+10]에서 [eqn: x > -2]

따라서 [eqn: -2 < x LE 3]이므로

[eqn: M-m = 3-(-1)=4]

6 답 ⑤

[eqn: cases{ 4(x-2) Le -2(1-x) # -2(1-x) < 3x+4]에서 [eqn: -6 < x LE 3]

[eqn: THEREFORE a+b = (-6) +3 = -3]

7 답 풀이 참조

(1) [eqn: |1-x| ge 2-x]에서

(ⅰ) [eqn: 1-x ge 0], 즉 [eqn: x le 1]일 때
[eqn: 1-x ge 2-x]  [eqn: therefore~ 0 cdot x ge 1]
따라서 해는 없다.

(ⅱ) [eqn: 1-x<0], 즉 [eqn: x>1]일 때
[eqn: -(1-x) ge 2-x]  [eqn: therefore~ x ge 3 over 2]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: x ge 3 over 2]

(2) [eqn: |x-1| le 3x-1]에서

(ⅰ) [eqn: x < 1]일 때
[eqn: -(x-1) le 3x -1 ~~ therefore~ x ge 1 over 2]
그런데 [eqn: x<1]이므로 [eqn: 1 over 2 le x <1]

(ⅱ) [eqn: x ge 1]일 때
[eqn: x-1 le 3x -1 ~~ therefore~ x ge 0]
그런데 [eqn: x ge 1]이므로 [eqn: x ge 1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: x ge 1 over 2]

(3) [eqn: 1< |x-2| <3]에서

(ⅰ) [eqn: x<2]일 때
[eqn: 1< - (x-2)<3,~ -3 <x-2< -1]
[eqn: therefore~-1<x<1]

(ⅱ) [eqn: x ge 2]일 때
[eqn: 1<x-2<3]  [eqn: therefore~ 3<x<5]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: -1<x<1] 또는 [eqn: 3<x<5]

8 답 ②

이차함수 [eqn: y= x^2 -2x-8`]의 그래프가 이차함수

[eqn: y= - 2x^2 + x-2`]의 그래프보다 아래쪽에 있으므로

[eqn: x^2 -2x-8 `＜` -2x^2 +x-2`]

[eqn: 3x^2 -3x-6`＜` 0, ~ (x+1)(x-2) `＜`0`]

[eqn: therefore~ -1`＜`x`＜`2`]

9 답 ①

[eqn: f(x) = x^2 -4x + a-3`]으로

놓으면

[eqn: -1`＜` `x＜`3`]에서 [eqn: f(x)`＜`0`]

이 항상 성립하려면 오른쪽

그림에서 [eqn: f(-1) le 0 , ~f(3) le 0`]이어야 한다.

[eqn: f(-1) le 0`]에서

[eqn: 1+ 4 + a-3 le 0`]    [eqn: therefore~ a le -2`]           [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: f(3) le 0`]에서

[eqn: 9-12 + a-3 le 0`]   [eqn: therefore~ a le 6`]            [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 [eqn: a le -2`]

따라서 실수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: -2`]이다.

10 답 [eqn: 2 le a le 3`]

[eqn: x^2 - 5x+6`＞`0`]에서 [eqn: (x-2)(x-3) `＞`0`]

[eqn: therefore~x`＜`2`] 또는 [eqn: x`＞`3`]                    [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: x^2 - (a+4)x + 4a le 0`]에서

[eqn: (x-4)(x-a) le 0`]                       [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡의 공통 범위가 [eqn: 3`＜` x le 4`]이기 위해서는 다음 그림에서 [eqn: 2 le a le 3`]이어야 한다.