중단원 평가(기본)	Ⅱ. 방정식과 부등식										1학년
	2. 이차방정식과 이차함수
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2mx+4m+5]의 그래프는 실수 [eqn: m]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: rmP]를 지난다. 점 [eqn: rmP]가 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점일 때, [eqn: m]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

2

이차함수
[eqn: y=ax ^{2} +bx+c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

(단, [eqn: a,~b,~c]는 상수이다.)

① [eqn: ab>0]	② [eqn: bc<0]

③ [eqn: a+b+c=0]	④ [eqn: 4a-2b+c<0]

⑤ [eqn: a+2b+4c>0]

3

축의 방정식이 [eqn: x=2]이고 두 점 [eqn: (0,~7),] [eqn: (3,~1)]을 지나는 이차함수가 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c]일 때, 상수 [eqn: a,~b,~c]의 곱 [eqn: abc]의 값을 구하여라.

4

두 이차함수 [eqn: y=x^2 -4x+a,] [eqn: y=2x^2 -bx+3]의 그래프의 꼭짓점이 일치할 때, 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

5

오른쪽 그림과 같이 이차함

수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축

과 만나는 두 점이 각각

[eqn: rmA,~B,] [eqn: y]축과 만나는 점이

[eqn: rm C(0,``-3)]이다. 축의 방정식

이 [eqn: x=1]이고 삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이가 [eqn: 9]일 때, [eqn: f(6)]의 값을 구하여라.

6

이차함수 [eqn: y=x ^{2} + LEFT ( a-1 RIGHT ) x+1-a]의 그래프가 [eqn: x]축과 접할 때, 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라.

7

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2ax+a ^{2}]의 그래프와 직선
[eqn: y=2x+1]이 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

8

직선 [eqn: y= -2x+1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동하였더니 이차함수 [eqn: y= x^2 - 4x]의 그래프와 접하였다. 이때 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

9

[eqn: x,``y]가 실수일 때, [eqn: 2x ^{2} -12x+y ^{2} +4y+18]의 최솟값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

10

[eqn: 2x+y=1]을 만족시키는 실수 [eqn: x,``y]에 대하여 [eqn: x ^{2} +y ^{2}]의 최솟값을 구하여라.

2. 이차방정식과 이차함수

중단원 평가(기본) 정답 및 풀이

1 답 ⑤

[eqn: y=x ^{2} -2mx+4m+5]를 [eqn: m]에 대하여 정리하면

[eqn: 2(x-2)m+y-x ^{2} -5=0]

이 식이 [eqn: m]의 값에 관계없이 항상 성립하려면

[eqn: x-2=0,~y-x ^{2} -5=0]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: x=2,~y=9]

[eqn: rm THEREFORE ~P(2,~9)]

점 [eqn: rm P(2,~9)]가 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점이므로

[eqn: y=(x-2) ^{2} +9=x ^{2} -4x+13]

따라서 [eqn: x ^{2} -2mx+4m+5=x ^{2} -4x+13]에서

[eqn: m=2]

2 답 ④

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]라 하면

①, ② 주어진 그래프가 위로 볼록하므로 [eqn: a<0]
대칭축이 [eqn: y]축의 왼쪽에 있으므로 [eqn: a,~b]는 같은 부호이다.
[eqn: THEREFORE ~b<0]    [eqn: THEREFORE ~ab>0]
[eqn: y]축과 [eqn: y>0]인 부분에서 만나므로 [eqn: c>0]
[eqn: THEREFORE ~bc<0]

③ [eqn: f(1)=a+b+c]이고 그래프에서 [eqn: x=1]일 때
[eqn: y=0]이므로 [eqn: a+b+c=0]

④ [eqn: f(-2)=4a-2b+c]이고 그래프에서 [eqn: x=-2]일 때 [eqn: y>0]이므로 [eqn: 4a-2b+c>0]

⑤ [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {4} a+ {1} over {2} b+c]이고 그래프에서 [eqn: x= {1} over {2}]일 때 [eqn: y>0]이므로 [eqn: {1} over {4} a+ {1} over {2} b+c>0]
[eqn: THEREFORE ~a+2b+4c=4 LEFT ( {1} over {4} a+ {1} over {2} b+c RIGHT ) >0]

3 답 [eqn: -112]

축의 방정식이 [eqn: x=2]이므로 이차함수의 식을

[eqn: y=a(x-2) ^{2} +k] ([eqn: k]는 상수)로 놓으면 이 함수의 그래프가 두 점 [eqn: (0,~7),~(3,~1)]을 지나므로

[eqn: 4a+k=7]	[eqn: cdots cdots `㉠`]

[eqn: a+k=1]	[eqn: cdots cdots `㉡`]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=2,~k=-1]

[eqn: THEREFORE ~y=2(x-2) ^{2} -1][eqn: =2x ^{2} -8x+7]

따라서 [eqn: a=2,~b=-8,~c=7]이므로

[eqn: abc=-112]

4 답 [eqn: 7]

[eqn: y=x ^{2} -4x+a=(x-2) ^{2} +a-4]에서 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (2,~a-4)]

[eqn: y=2x ^{2} -bx+3=2 LEFT ( x- {b} over {4} RIGHT ) ^{2} - {b ^{2}} over {8} +3]

에서 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {b} over {4} ,~- {b ^{2}} over {8} +3 RIGHT )]

두 이차함수의 그래프의 꼭짓점이 일치하므로

[eqn: 2= {b} over {4}]에서 [eqn: b=8,~a-4=- {b ^{2}} over {8} +3]에서 [eqn: a=-1]

[eqn: THEREFORE ~a+b=7]

5 답 [eqn: 6]

[eqn: rm TRIANGLE ACB= {1} over {2} cdot bar{AB} cdot bar{OC}]이므로

[eqn: rm9= {1} over {2} CDOT bar{AB} CDOT 3]    [eqn: rm THEREFORE ~ {bar{AB}} =6]

그런데 두 점 [eqn: rmA,~B]는 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이므로 [eqn: rmA(-2,~0),~B(4,~0)]

즉, [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: (-2,~0)], [eqn: (4,~0)]에서 만나므로

[eqn: f(x)=a(x+2)(x-4)] ([eqn: a]는 상수)로 놓을 수 있다.

이때 [eqn: f(0)=-3]이므로

[eqn: -8a=-3]    [eqn: THEREFORE ~a= {3} over {8}]

[eqn: THEREFORE ~f(x)= {3} over {8} (x+2)(x-4)]

[eqn: THEREFORE ~f(6)= {3} over {8} CDOT 8 CDOT 2=6]

6 답 [eqn: -2]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} + LEFT ( a-1 RIGHT ) x+1-a]의 그래프가 [eqn: x]축과 접하려면 이차방정식 [eqn: x ^{2} + LEFT ( a-1 RIGHT ) x+1-a=0]이 중근을 가져야 하므로 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D= LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 1-a RIGHT ) =0]

[eqn: a ^{2} +2a-3=0], [eqn: LEFT ( a+3 RIGHT ) LEFT ( a-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~a=-3] 또는 [eqn: a=1]

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: -3+1=-2]

7 답 [eqn: a LEQ 1]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2ax+a ^{2}]의 그래프와 직선

[eqn: y=2x+1]이 적어도 한 점에서 만나려면 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+a ^{2} =2x+1], 즉

[eqn: x ^{2} +2 LEFT ( a-1 RIGHT ) x+a ^{2} -1=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 할 때

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) GEQ 0]

[eqn: -2a+2 GEQ 0]     [eqn: THEREFORE ~a LEQ 1]

8 답 [eqn: -1]

직선 [eqn: y=-2x+1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동하면

[eqn: y=- 2( x-k ) +1 = -2x +2k+1]

이 직선이 [eqn: y=x^2 - 4x]의 그래프와 접하므로 이차방정식 [eqn: x^2 - 4x = - 2x +2k +1], 즉

[eqn: x^2 - 2x - 2k - 1 =0]이 중근을 갖는다.

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D over 4 = (-1)^2 - ( -2k-1) =0]

[eqn: 2k+2 =0]	[eqn: THEREFORE ~k=-1]

9 답 ①

[eqn: 2x ^{2} -12x+y ^{2} +4y+18=`2(x-3) ^{2} +(y+2) ^{2} -4]

이때 [eqn: x,``y]는 실수이므로

[eqn: (x-3) ^{2} GEQ 0,````(y`+`2) ^{2} GEQ 0]

[eqn: THEREFORE ```2x ^{2} -12x+y ^{2} +4y+18 GEQ -4]

따라서 주어진 식의 최솟값은 [eqn: -4]이다.

10 답 [eqn: {1} over {5}]

[eqn: 2x+y=1]에서 [eqn: y=1-2x]를 [eqn: x ^{2} +y ^{2}]에 대입하면

[eqn: x ^{2} +y ^{2}][eqn: =`x ^{2} +(1-2x) ^{2} =5x ^{2} -4x+1]
[eqn: =5 LEFT ( `x- {2} over {5} RIGHT ) ^{2} + {1} over {5}]

따라서 [eqn: x= {2} over {5}]일 때 최솟값은 [eqn: {1} over {5}]이다.