중단원 평가(기본)	Ⅱ. 방정식과 부등식										1학년
	1. 복소수와 이차방정식
❍❍고등학교		일시:			반:		번호:			이름:

1

복소수에 대한 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

(정답 [eqn: 2]개)

① [eqn: a+bi`]가 실수이면 [eqn: a ne 0, `` b= 0`]이다.

② [eqn: 3-2i`]의 실수부분은 [eqn: 3]이고 허수부분은 [eqn: -2`]이다.

③ [eqn: 2- 5i`]는 순허수이다.

④ [eqn: root 3 i`]의 실수부분은 [eqn: 0`]이고 허수부분은 [eqn: root 3 `]이다.

⑤ [eqn: -9`]의 제곱근은 [eqn: +- 3`]이다.

2

[eqn: alpha = 1 + 2i`,~beta = 2 - i``]에 대하여 [eqn: alpha^2 beta + alpha beta^2``]의 값을 [eqn: a + bi``]꼴로 나타낼 때, 실수 [eqn: a,~b``]의 합 [eqn: a + b``]의 값은?

① [eqn: 18``]	② [eqn: 20``]	③ [eqn: 22``]

④ [eqn: 24``]	⑤ [eqn: 26``]

3

두 등식 [eqn: z + bar z = 2,~z bar z = 1``]을 모두 만족시키는 복소수 [eqn: z``]는? (단, [eqn: bar z``]는 [eqn: z``]의 켤레복소수이다.)

① [eqn: 1 + i``]	② [eqn: 1 - i``]	③ [eqn: i``]

④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: 2``]

4

[eqn: z = {1 over {1 - i}``]일 때, [eqn: 2z^2 - 4z + 3``]의 값은?

① [eqn: 3``]	② [eqn: 1 - i``]	③ [eqn: -1 - i``]

④ [eqn: 1 + i``]	⑤ [eqn: 3 - i``]

5

등식 [eqn: root-x-3 rootx-2 =-root{-x^2 -x+6}`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 최댓값을 구하여라.

6

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -9x+10=0``]의 해는?

① [eqn: x=-2``] 또는 [eqn: x=-5``]

② [eqn: x=-2``] 또는 [eqn: x=5``]

③ [eqn: x=1``] 또는 [eqn: x=5``]

④ [eqn: x=2``] 또는 [eqn: x=- {5} over {2} ``]

⑤ [eqn: x=2``] 또는 [eqn: x= {5} over {2} ``]

7

이차방정식 [eqn: x` ^{2} `-`5`x`+`k`+`2`=`0`]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 최댓값은?

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]

④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

8

이차방정식 [eqn: 2`x` ^{2} `+`4x`+`3`=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]라고 할 때, [eqn: {alpha` ^{2} `+`beta` ^{2}} over {(`alpha`-beta`)` ^{2}} `]의 값을 구하여라.

9

다음 물음에 답하여라.

(1) 두 수 [eqn: {sqrt {3} -1} over {sqrt {2}} ,~{root3 +1}over{root2}]을 두 근으로 하고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1``]인 이차방정식을 구하여라.

(2) 두 수 [eqn: 3-root3 i,~3+root3 i]를 두 근으로 하고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1``]인 이차방정식을 구하여라.

(단, [eqn: i=root-1])

10

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(k-1)x+3-k=0]이 한 개의 양의 근과 한 개의 음의 근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는?

① [eqn: k<1~]	② [eqn: k>1]	③ [eqn: k>3]

④ [eqn: k<3]	⑤ [eqn: k GEQ -5]

1. 복소수와 이차방정식

중단원 평가(기본) 정답 및 풀이

1 답 ②, ④

① (반례) [eqn: 0 = 0 + 0 cdot i]는 실수이지만 [eqn: a = 0 , ~ b = 0]

③ [eqn: 2- 5i]는 순허수가 아니다.

⑤ [eqn: - 9]의 제곱근은 [eqn: ± sqrt {-9} =±3i]이다.

2 답 ③

[eqn: alpha + beta = (1 + 2i) + (2 - i) = 3 + i``]

[eqn: alpha beta = (1 + 2i)(2 - i) = 4 + 3i``]

[eqn: therefore~alpha^2 beta + alpha beta^2 = alpha beta (alpha + beta)``][eqn: = LEFT ( 4 + 3i RIGHT ) LEFT ( 3 + i RIGHT ) = 9 + 13i``]

따라서 [eqn: a = 9,~b = 13``]이므로

[eqn: a + b = 22``]

3 답 ④

[eqn: z = a + bi]([eqn: a,~b``]는 실수)로 놓으면 [eqn: bar z = a - bi``]

[eqn: z + bar z = 2``]에서

[eqn: (a + bi) + (a - bi) = 2a = 2``]   [eqn: therefore~a = 1``]

[eqn: z bar z = 1``]에서

[eqn: (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = 1,~b^2 = 0``]   [eqn: therefore~b = 0``]

[eqn: therefore~z = 1``]

4 답 ②

[eqn: z = 1 over {1 - i} = {1 + i} over {(1 - i)(1 + i)} = {1 + i} over 2``]

[eqn: 2z = 1 + i`,~~~2z - 1 = i``]

양변을 제곱하면

[eqn: 4z^2 - 4z + 1 = -1``]	[eqn: 2z^2 = 2z - 1``]

[eqn: therefore~2z^2 - 4z + 3][eqn: = LEFT ( 2z - 1 RIGHT ) - 4z + 3``]
[eqn: = -2z + 2``]
[eqn: = (-2) times {1 + i} over 2 + 2``]
[eqn: = -(1 + i) + 2``]
[eqn: = 1 - i]

5 답 [eqn: 2]

[eqn: root-x-3 rootx-2][eqn: =-root{-x^2 -x+6]
[eqn: =-root{(-x-3)(x-2)]

이므로 [eqn: -x-3=0] 또는 [eqn: x-2=0] 또는 [eqn: -x-3<0], [eqn: x-2<0]

[eqn: therefore````-3 le x le2]

따라서 주어진 등식을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 최댓값은 [eqn: 2`]이다.

6 답 ⑤

[eqn: 2x ^{2} -9x+10=0``]에서

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( 2x-5 RIGHT ) =0``]

[eqn: THEREFORE ~x=2``] 또는 [eqn: x= {5} over {2} ``]

7 답 ②

이차방정식 [eqn: x` ^{2} `-`5`x`+`k`+`2=`0`]이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식을 [eqn: D`]라고 하면

[eqn: D`=`(`-5`)` ^{2} `-`4`(`k`+`2`)`>`0`] , [eqn: 17`-`4`k`>`0`]	[eqn: therefore`k`<` {17} over {4} `]

따라서 자연수 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 4`]이다.

8 답 [eqn: - {1} over {2} `]

이차방정식 [eqn: 2`x` ^{2} `+`4`x`+`3`=`0`]의 두 근이 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha`+`beta`=`-2`] , [eqn: alpha`beta`=` {3} over {2} `]

[eqn: therefore` {alpha` ^{2} `+`beta` ^{2}} over {(`alpha`-`beta`) ^{2}} `][eqn: =` {(`alpha`+`beta`) ^{2} `-2`alpha`beta} over {(`alpha`+`beta`) ^{2} -`4`alpha`beta} `]
[eqn: =` {(-2) ^{2} `-`2`cdot` {3} over {2}} over {(-2) ^{2} `-`4cdot` {3} over {2}} `]
[eqn: =` {4`-3`} over {4`-`6} `=`- {1} over {2} `]

9 답 (1) [eqn: x^2 -root6 x +1=0]  (2) [eqn: x^2 -6x+12=0]

(1) 두 근의 합은 [eqn: {sqrt {3} -1} over {sqrt {2}} +{root3 +1}over{root2} =root6]

두 근의 곱은 [eqn: {root3 -1}over{root2}×{root3 +1}over{root2}=1]

따라서 [eqn: {root3 -1}over{root2} ,~{root3 +1}over{root2}]을 두 근으로 하고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1`]인 이차방정식은 [eqn: x^2 -root6 x+1=0]

(2) 두 근의 합은   [eqn: (3-root3 i)+(3+root3 i)=6]

두 근의 곱은   [eqn: (3-root3 i)(3+root3 i)=12]

따라서 [eqn: 3-root3 i,~3+root3 i]를 두 근으로 하고

[eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1`]인 이차방정식은 [eqn: x^2 -6x+12=0]

10 답 ③

주어진 이차방정식이 한 개의 양의 근과 한 개의 음의 근을 가지므로 두 근은 서로 다른 부호이다. 즉, 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면

[eqn: alpha beta=3-k<0]    [eqn: ∴~k>3]