Ⅲ. 수열

Ⅲ

수열

1. 등차수열과 등비수열

		2015학년도 6월 평가원 A형 28

자연수 [eqn: n]에 대하여 순서쌍 [eqn: (x _{n} ,~y _{n} )]을 다음 규칙에 따라 정한다.

㈎ [eqn: (x _{1} ,~y _{1} )=(1,~1)]

㈏ [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: (x _{n+1} ,~y _{n+1} )=(x _{n} ,~(y _{n} -3) ^{2} )]이고,

[eqn: n]이 짝수이면 [eqn: (x _{n+1} ,~y _{n+1} )=((x _{n} -3) ^{2} ,~y _{n} )]이다.

순서쌍 [eqn: (x _{2015} ,~y _{2015} )]에서 [eqn: x _{2015} +y _{2015}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold8]

		2012학년도 6월 평가원 가형, 나형 17

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA _{itn}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

㈎ 점 [eqn: rmA _{1}]의 좌표는 [eqn: (1,~1)]이다.

㈏ [eqn: n]이 짝수이면 점 [eqn: rmA _{itn}]은 점 [eqn: rmA _{itn-1}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점이다.

㈐ [eqn: n]이 [eqn: 3] 이상의 홀수이면 점 [eqn: rmA _{itn}]은 점 [eqn: rmA _{itn-1}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 점이다.

위의 규칙에 따라 정해진 점 [eqn: rmA _{itk}]의 좌표가 [eqn: (7,~-2)]이고 점 [eqn: rmA _{itl}]의 좌표가 [eqn: (9,~-7)]일 때, [eqn: k+l]의 값은? [4점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

정답 ①

		2016학년도 3월 가형 6 (고2)

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a_4 =14]일 때, [eqn: a_10]의 값은? [3점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 36]

정답 ①

		2016학년도 6월 평가원 A형 4

공차가 [eqn: 7]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{13} -a _{11}]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

정답 ③

	수능패턴 12	2017학년도 4월 교육청 나형 23

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{2} =8], [eqn: a _{6} =16]일 때, [eqn: a _{4}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold12]

		2015학년도 9월 나형 4(고2)

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{3} =8], [eqn: a _{7} =20]일 때, [eqn: a _{11}]의 값은? [3점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

정답 ②

		2015학년도 6월 나형 5(고2)

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =4]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

정답 ④

		2015학년도 6월 평가원 A형 6

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{3} =10]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [3점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

정답 ⑤

		2013학년도 수능 나형 23

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: a _{2} =16], [eqn: a _{5} =10]

일 때, [eqn: a _{k} =0]을 만족시키는 [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold10]

		2015학년도 3월 교육청 A형 6

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{4} =9], [eqn: a _{7} =21]일 때, [eqn: a _{3} +a _{8}]의 값은? [3점]

① [eqn: 28]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 32]

정답 ③

		2018학년도 9월 평가원 나형 25

첫째항과 공차가 같은 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]이

[eqn: a_2 +a_4 =24]

를 만족시킬 때, [eqn: a_5]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold20]

		2017학년도 6월 평가원 나형 12

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: a_8 = a_2 +12], [eqn: a_1 + a_2 +a_3 =15]

일 때, [eqn: a_10]의 값은? [3점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

정답 ③

		2016학년도 6월 평가원 B형 23

첫째항이 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]이

[eqn: a _{7} +a _{11} =20]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold11]

		2015학년도 4월 교육청 A형 7

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{3} =6], [eqn: a _{4} +a _{6} =20]일 때, [eqn: a _{7}]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

정답 ⑤

		2015학년도 4월 교육청 B형 6

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} +a _{8} =55]일 때, [eqn: a _{11}]의 값은? [3점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

정답 ①

		2015학년도 4월 교육청 B형 23

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]이

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} =21], [eqn: a _{7} +a _{8} +a _{9} =75]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{10} +a _{11} +a _{12}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold102]

		2014학년도 수능 B형 4

첫째항이 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{9} =3a _{3}]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

정답 ①

		2016학년도 수능 B형 22

첫째항이 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: 2(a _{2} +a _{3} )=a _{9}]

일 때, 수열 [eqn: left{a _{n} right]의 공차를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold3]

		2014학년도 6월 평가원 B형 22

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{3} =10], [eqn: a _{2} +a _{5} =24]일 때, [eqn: a _{6}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold22]

		2014학년도 6월 평가원 A형 22

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{3} =8], [eqn: a _{6} -a _{4} =12]일 때, [eqn: a _{6}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold26]

		2018학년도 사관학교 나형 23

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a_2 = 14], [eqn: a_4 + a_5 = 23]일 때,

[eqn: a_7 + a_8 + a_9]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold24]

		2015학년도 사관학교 B형 22

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{2} +a _{4} =16], [eqn: a _{8} +a _{12} =58]일 때, [eqn: a _{17}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold50]

		2014학년도 9월 B형 4(고2)

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{3} =6], [eqn: a _{3} +a _{5} =26]일 때, [eqn: a _{3}]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

정답 ②

		2013학년도 6월 B형 5(고2)

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{3} a _{5} =a _{2} a _{8}]이 성립할 때, [eqn: a _{7}]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

정답 ②

		2012학년도 6월 평가원 나형 6

공차가 [eqn: 6]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: |`a _{2} -3`|=|`a _{3} -3`|]

일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

정답 ②

		2015학년도 7월 교육청 A형 25

수열 [eqn: left{a _{n} right]과 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left{b _{n} right]에 대하여

[eqn: b _{n} -a _{n} =2n]

이 성립한다. [eqn: a _{10} =11]일 때, [eqn: b _{5}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold16]

EBS 연계

2017학년도 수능 나형 15

공차가 양수인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_2]의 값은? [4점]

㈎ [eqn: a_6 + a_8 = 0]

㈏ [eqn: |a_6 | = |a_7 | +3]

① [eqn: -15]	② [eqn: -13]	③ [eqn: -11]

④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -7]

정답 ①

		2017학년도 3월 가형 24(고2)

첫째항이 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 수열 [eqn: "{" 3a_n+1 -a_n"}"]은 공차가 [eqn: 6]인 등차수열이다. [eqn: a_10]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold29]

		2016학년도 4월 교육청 나형 26

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이루고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: abc]의 값을 구하시오. [4점]

㈎ [eqn: {2 ^{a} times2 ^{c}} over {2 ^{b}} =32]

㈏ [eqn: a+c+ca=26]

정답 [eqn: bold80]

		2016학년도 사관학교 A형 22

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -kx+72=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: alpha+beta]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold18]

		2015학년도 사관학교 A형 3

[eqn: 5]개의 실수 [eqn: 1], [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]가 이 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: s-p=9]일 때, [eqn: r]의 값은? [2점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

정답 ④

		2015학년도 7월 교육청 A형 13

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2}]과 [eqn: g(x)=-(x-3) ^{2} +k] ([eqn: k>0])에 대하여 직선 [eqn: y=k]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 만나는 두 점을 [eqn: RMA], [eqn: RMB]라 하고, 함수 [eqn: y=g(x)]의 꼭짓점을 [eqn: rmC]라 하자. 세 점 [eqn: rmA], [eqn: RMB], [eqn: RMC]의 [eqn: x]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: rmA]는 제[eqn: 2]사분면 위의 점이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

정답 ①

	수능패턴 14	2011학년도 11월 나형 22(고2)

다섯 개의 수 [eqn: 1], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: 13]이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오. [2점]

정답 [eqn: bold21]

		2012학년도 11월 A형 5(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이고,

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 첫째항이 [eqn: 1000], 공차가 [eqn: -6]인 등차수열이다.

이때 [eqn: a _{k} =b _{k}]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: 112]	② [eqn: 115]	③ [eqn: 118]

④ [eqn: 121]	⑤ [eqn: 124]

정답 ①

		2013학년도 6월 B형 29(고2)

네 자연수 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}]가 [eqn: a _{1} <a _{2} <a _{3} <a _{4}]를 만족시킨다.

[eqn: b _{n} = {a _{n+1}} over {a _{n}}] ([eqn: n=1,~2,~3])이라 할 때, 세 자연수 [eqn: b _{1}], [eqn: b _{2}], [eqn: b _{3}]은 이 순서대로 첫째항과 공차가 같은 등차수열을 이룬다.

[eqn: a _{4} =144]일 때, [eqn: a _{1} +b _{1}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold5]

		2014학년도 4월 교육청 A형 5

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{5} =a _{3} +4]일 때, [eqn: a _{n} >100]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 46]	② [eqn: 47]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 50]

정답 ⑤

		2014학년도 4월 교육청 B형 23

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]이

[eqn: |`a _{3} -1`|=|`a _{6} -3`|]

을 만족시킨다. 이때 [eqn: a _{n} >92]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold50]

		2015학년도 4월 교육청 A형 20

그림과 같이 함수 [eqn: y=|`x ^{2} -9`|]의 그래프가 직선 [eqn: y=k]와 서로 다른 네 점에서 만날 때, 네 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}]라 하자. 네 수 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: a _{1} <a _{2} <a _{3} <a _{4}]) [4점]

① [eqn: {34} over {5}]	② [eqn: 7]	③ [eqn: {36} over {5}]

④ [eqn: {37} over {5}]	⑤ [eqn: {38} over {5}]

정답 ③

		2016학년도 3월 나형 30 (고2)

두 등차수열 [eqn: LEFT { a_n right], [eqn: left{ b_n right]과 실수 전체의 집합의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT { a _{k} ``|``1 LEQ a _{k} LEQ 60,~a _{k} 는``수열` LEFT { a _{n} RIGHT } 의``항 RIGHT }]

[eqn: B= LEFT { b _{k} ``|``1 LEQ b _{k} LEQ 60,~b _{k} 는``수열` LEFT { b _{n} RIGHT } 의``항 RIGHT }]

이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: a _{1} =1], [eqn: a_10 =55]

㈏ [eqn: n ( A cap B ) = n ( A cap B^C `) = 1over 2 times n ( A ^C cap B )]

㈐ 집합 [eqn: A cap B]의 모든 원소의 합은 [eqn: 125]이다.

집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합을 구하시오. (단, 수열 [eqn: left{ b_n right]의 항은 유한개가 아니다.) [4점]

정답 [eqn: bold435]

		2015학년도 11월 6(고1)

첫째항이 [eqn: 1], 제[eqn: 3]항이 [eqn: 9]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합은? [3점]

① [eqn: 130]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 170]

④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 210]

정답 ④

		2014학년도 예비평가 A형 23, B형 22

첫째항이 [eqn: -6]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: 30]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold10]

		2011학년도 6월 평가원 나형 6

[eqn: 1]과 [eqn: 2] 사이에 [eqn: n]개의 수를 넣어 만든 등차수열

[eqn: 1], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: cdots], [eqn: a _{n}], [eqn: 2]

의 합이 [eqn: 24]일 때, [eqn: n]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ④

		2018학년도 수능 나형 14

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]이

[eqn: a_5 + a_13 + 3a_9], [eqn: sum_k=1 ^ 18 a_k = 9 over 2]

를 만족시킬 때, [eqn: a_13]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

정답 ①

		2018학년도 6월 평가원 나형 15

공차가 양수인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 이차방정식

[eqn: x^2 -14x +24=0]의 두 근이 [eqn: a_3], [eqn: a_8]이다. [eqn: sum _{n=3} ^{8} a _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

정답 ②

		2016학년도 경찰대 21

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{13} +a _{15} =72]일 때,

[eqn: sum _{n=1} ^{15} a _{n}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold270]

		2015학년도 3월 나형 25(고2)

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에서

[eqn: a _{1} +2a _{10} =34], [eqn: a _{1} -a _{10} =-14]

일 때, 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold90]

		2015학년도 3월 가형 28(고2)

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에서

[eqn: a _{11} +a _{21} =82], [eqn: a _{11} -a _{21} =6]

일 때, 집합 [eqn: A=left{a _{n} ``|``a _{n} 은```자연수right}]의 모든 원소의 합을 구하시오.

[4점]

정답 [eqn: bold442]

		2014학년도 6월 B형 5(고2)

등차수열 [eqn: left { a_ n right]에 대하여 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_100 - a_98 =6]일 때,

[eqn: a_1 +a_2 + a_3 + cdots + a_10]의 값은? [3점]

① [eqn: 155]	② [eqn: 158]	③ [eqn: 161]

④ [eqn: 164]	⑤ [eqn: 167]

정답 ①

		2013학년도 9월 B형 8(고2)

모든 항이 양수인 등차수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_n : S_3n = 1:9]일 때, [eqn: a_2 = ka_1]이다. 상수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

정답 ②

		2011학년도 7월 교육청 나형 6

첫째항과 공차가 같은 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{n} =ka _{n}]을 만족시키는 [eqn: k]가 두 자리 자연수가 되게 하는 [eqn: n]의 최댓값은? (단, [eqn: a _{1} !=0]) [3점]

① [eqn: 191]	② [eqn: 193]	③ [eqn: 195]

④ [eqn: 197]	⑤ [eqn: 199]

정답 ④

		2015학년도 9월 나형 14(고2)

이차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(4+x)=f(4-x)]

를 만족시킨다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)]이 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합과 같을 때,

[eqn: |`f(k)`|>|`f(k+1)`|]이 성립하도록 하는 [eqn: k]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

정답 ③

		2015학년도 3월 교육청 A형 15

첫째항이 [eqn: 30]이고 공차가 [eqn: -d]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 등식

[eqn: a _{m} +a _{m+1} +a _{m+2} +cdots+a _{m+k} =0]

을 만족시키는 두 자연수 [eqn: m], [eqn: k]가 존재하도록 하는 자연수 [eqn: d]의 개수는? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ②

		2015학년도 3월 교육청 B형 9

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{3} =26], [eqn: a _{9} =8]일 때, 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 최대가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ①

		2014학년도 3월 교육청 B형 28

첫째항이 [eqn: a]이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: S _{n} <200]일 때, 자연수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold37]

		2014학년도 3월 교육청 A형 30

첫째항이 [eqn: 60]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 수열 [eqn: left{T _{n} right]을

[eqn: T _{n} =|`a _{1} +a _{2} +a _{3} +cdots+a _{n} `|]

이라 하자. 수열 [eqn: left{T _{n} right]이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: T _{19} <T _{20}]	㈏ [eqn: T _{20} =T _{21}]

[eqn: T _{n} >T _{n+1}]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값과 최댓값의 합을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold61]

		2013학년도 11월 A형 28(고2)

첫째항이 [eqn: 1]인 등차수열 [eqn: left{ a_n right]이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: a_2 + a_ 6 + a_10 =8]

㈏ [eqn: a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_n = 25]

이때, [eqn: n]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold10]

		2015학년도 10월 교육청 B형 13

그림과 같이 좌표평면에 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: RMF], [eqn: RMF']과 점

[eqn: RMP(0,~itn)] ([eqn: n>0])이 있다. 삼각형 [eqn: RMPF'F]가 [eqn: RMANGLEFPF'=90DEG]인 직각이등변삼각형이고 [eqn: n]이 자연수일 때 삼각형 [eqn: rmPF'F]의 세 변 위에 있는 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n}]의 값은? [3점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 60]

정답 ⑤

		2011학년도 경찰대 18

공차가 양수인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]과 공차가 음수인 등차수열 [eqn: left{b _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: S _{n}]과 [eqn: T _{n}]이라 하자.

다음이 성립할 때, [eqn: a _{20}]과 [eqn: b _{20}]의 곱 [eqn: a _{20} b _{20}]의 값은?

[eqn: {cases{eqalign{`a _{1} =b _{1} +1# # `S _{n} ^{2} -T _{n} ^{2} =n ^{2} (n+1)~(n=1,~2,~3,~cdots)}}}]

① [eqn: -108]	② [eqn: -105]	③ [eqn: -102]

④ [eqn: -99]	⑤ [eqn: -96]

정답 ④

		2015학년도 6월 가형 10(고2)

어느 공장에서 생산하는 직원뿔대 모양의 유리컵의 높이는 [eqn: a``(rmcm)]이고 크기와 모양은 모두 일정하다. [그림 [eqn: 1]]과 같이 유리컵 두 개를 밑면이 지면과 평행하도록 지면 위에 포개어 쌓으면 유리컵 한 개의 높이의 [eqn: {2} over {3}]만큼 항상 겹치게 된다.

[그림 [eqn: 2]]와 같이 유리컵 [eqn: 3]개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이가 [eqn: 20``(rmcm)]이다. 유리컵 [eqn: 6]개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이는 [eqn: k``( rm km)]이다. [eqn: k]의 값은? (단, 유리컵을 쌓은 지면은 평평하다.) [3점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

정답 ②

		2014학년도 6월 B형 8(고2)

물 [eqn: 800~rmml]를 [eqn: 5]개의 컵 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]에 적당히 나누어 모두 부었더니 [eqn: 5]개의 컵에 들어 있는 물의 양이 이 순서대로 등차수열을 이루었다. 컵 [eqn: rmC]에 들어 있는 물의 양([eqn: rmml])은?

(단, [eqn: 5]개의 컵 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]에 들어 있는 물의 양의 합은 [eqn: 800~rmml]이다.) [3점]

① [eqn: 120]	② [eqn: 140]	③ [eqn: 160]

④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 200]

정답 ③

		2012학년도 6월 B형 27(고2)

높이가 서로 같은 원판을 나무통 위에 올려놓으려고 한다. 그림과 같이 원판을 [eqn: 1]개 올려놓았을 때의 전체 높이를 [eqn: h_1], [eqn: 2]개 올려놓았을 때의 전체 높이를 [eqn: h_2], [eqn: 3]개 올려놓았을 때의 전체 높이를 [eqn: h_3]이라 하자. 이와 같은 방법으로 [eqn: n]개 올려놓았을 때의 전체 높이를 [eqn: h_n]이라 하자.

[eqn: h_15 =6]일 때, [eqn: h_5 + h_ 13 + h_ 17 + h_ 25]의 값을 구하시오.[4점]

정답 [eqn: bold24]

		2013학년도 6월 B형 21(고2)

그림과 같이 [eqn: 4]개의 원기둥 모양의 물통 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]는 밑면의 반지름의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 높이는 모두 같다.

각각의 물통에 매분 [eqn: pi ``` rm L]의 물을 넣어 가득 채울 때, 다음이 성립한다.

㈎ 물통 [eqn: rmB]를 채우는 데 걸리는 시간은 물통 [eqn: rmA]를 채우는 데 걸리는 시간보다 [eqn: 8]분이 더 걸린다.

㈏ 물통 [eqn: rmC]를 채우는 데 걸리는 시간은 물통 [eqn: rmB]를 채우는 데 걸리는 시간보다 [eqn: 16]분이 더 걸린다.

물통 [eqn: rmD]를 채우는 데 걸리는 시간은? (단, 물통의 두께는 고려하지 않는다.)[4점]

① [eqn: 57]분	② [eqn: 55]분	③ [eqn: 53]분

④ [eqn: 51]분	⑤ [eqn: 49]분

정답 ⑤

		2012학년도 3월 교육청 나형 20

어느 공원에는 아래 그림과 같이 [eqn: RMA] 지점에서 출발하여 [eqn: RMA] 지점으로 돌아오는 제[eqn: 1]산책로, [eqn: RMA] 지점에서 출발하여 [eqn: RMB] 지점으로 이어지는 제[eqn: 2]산책로, [eqn: RMB] 지점에서 출발하여 [eqn: RMA] 지점으로 이어지는 제[eqn: 3]산책로가 있고, 각 산책로의 거리는 [eqn: 1~rmkm]이다.

이 산책로들을 따라 다음과 같은 규칙으로 산책한 거리가 [eqn: n~rmkm]일 때, [eqn: rmA] 지점에서 출발하여 [eqn: RMA] 지점에 도착하는 방법의 수를 [eqn: a _{n}], [eqn: RMA] 지점에서 출발하여 [eqn: RMB] 지점에 도착하는 방법의 수를 [eqn: b _{n}]이라 하자.

㈎ 각 산책로에서는 화살표 방향으로만 진행해야 한다.

㈏ 같은 산책로를 반복할 수 있다.

㈐ 지나지 않는 산책로가 있을 수 있다.

[eqn: a _{7} +b _{7}]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [4점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 55]

정답 ③

	수능패턴 13	2015학년도 수능 A형 9

수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} = {n} over {n+1}]일 때, [eqn: a _{4}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {22}]	② [eqn: {1} over {20}]	③ [eqn: {1} over {18}]

④ [eqn: {1} over {16}]	⑤ [eqn: {1} over {14}]

정답 ②

		2015학년도 4월 교육청 A형 22

수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =3 ^{n} -1]일 때, [eqn: a _{3}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold18]

		2015학년도 3월 교육청 A형 23

수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2}]일 때, [eqn: a _{50}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold99]

		2012학년도 11월 A형 22(고2)

수열 [eqn: left{ a_n right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n = 3 cdot 2 ^n - 3]일 때, [eqn: a_5]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold48]

		2012학년도 5월 A형 24(고2)

수열 [eqn: left{ a_n right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n = 2 ^n-1 +5]일 때, [eqn: a_1 + a_5]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold14]

		2012학년도 4월 교육청 나형 7

수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이

[eqn: S _{n} =n ^{2} +3n+1]일 때, [eqn: a _{1} +a _{6}]의 값은? [3점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

정답 ③

		2014학년도 6월 평가원 A형 12

수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2} -10n]일 때, [eqn: a _{n} <0]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수는? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

정답 ①

		2017학년도 9월 평가원 나형 6

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: {a _{7}} over {a _{5}} =4]

일 때, [eqn: a _{4}]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

정답 ②

	수능패턴 12	2016학년도 4월 교육청 나형 5

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{2} =5], [eqn: a _{10} =80]일 때, [eqn: {a _{5}} over {a _{1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

정답 ④

		2017학년도 6월 평가원 나형 25

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} =3], [eqn: {a _{4} a _{5}} over {a _{2} a _{3}} =16]일 때, [eqn: a _{6}]의 값은? [3점]

정답 [eqn: bold96]

		2016학년도 수능 A형 7

첫째항이 [eqn: 0]인 아닌 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: a _{3} =4a _{1}], [eqn: a _{7} =(a _{6} ) ^{2}]

일 때, 첫째항 [eqn: a _{1}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16}]

정답 ①

		2015학년도 수능 A형 5

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{5} =48]일 때, [eqn: a _{3}]의 값은? [3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 10]

정답 ④

		2015학년도 9월 평가원 B형 3

공비가 [eqn: 0]이 아닌 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} =4], [eqn: 3a _{5} =a _{7}]일 때, [eqn: a _{3}]의 값을 구하시오. [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

정답 ③

		2015학년도 3월 가형 22(고2)

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에서 [eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{3} =2a _{2}]일 때, [eqn: a _{4}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold24]

		2014학년도 6월 B형 22(고2)

첫째항이 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 [eqn: a_3 =8]일 때, [eqn: a_5]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold 32]

		2018학년도 6월 평가원 나형 26

첫째항이 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여

[eqn: a_3 over a_2 - a_6 over a_4 = 1 over 4]

일 때, [eqn: a_5 = q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold19]

		2015학년도 10월 교육청 A형 5

모든 항이 실수인 등비수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 [eqn: a _{2} ^{3} =8], [eqn: a _{3} =4]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 4 sqrt {2}]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 8 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 16]

정답 ⑤

		2015학년도 9월 평가원 B형 22

공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{4} =55]일 때, [eqn: a _{3}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold20]

		2014학년도 수능 A형 24

수열 [eqn: left{a _{n} right]이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: a _{1} =a _{2} +3]

㈏ [eqn: a _{n+1} =-2a _{n} ~(n{ge}1)]

[eqn: a _{9}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold256]

EBS 연계

2017학년도 수능 나형 5

세 수 [eqn: 9 over 4], [eqn: a], [eqn: 4]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 8 over 3]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 10 over 3]

④ [eqn: 11 over 3]	⑤ [eqn: 4]

정답 ②

	수능패턴 14	2015학년도 11월 22(고1)

세 수 [eqn: 3], [eqn: a], [eqn: 12]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold36]

		2015학년도 3월 나형 6(고2)

세 수 [eqn: 3], [eqn: 12], [eqn: a]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 72]

정답 ③

		2017학년도 3월 나형 15(고2)

유리함수 [eqn: f(x) = k over x]와 [eqn: a<b<12]인 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: f(a)], [eqn: f(b)], [eqn: f(12)]가 순서대로 등비수열을 이룬다. [eqn: f(a) =3]일 때, [eqn: a+b+k]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

정답 ⑤

		2015학년도 7월 교육청 B형 13

[eqn: x>0]일 때, 함수 [eqn: f(x)= {p} over {x} ~(p>1)]의 그래프는 그림과 같다. 세 수 [eqn: f(a)], [eqn: f( sqrt {3} )], [eqn: f(a+2)]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {9} over {8}]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {11} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

정답 ①

		2015학년도 3월 교육청 A형 6

첫째항이 [eqn: a]이고 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 세 수 [eqn: a _{3}], [eqn: 2], [eqn: a _{7}]이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

정답 ⑤

		2014학년도 6월 평가원 A형 7

등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} a _{9} =4]일 때, [eqn: a _{2} a _{8} +a _{4} a _{6}]의 값은?

[3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

정답 ①

		2014학년도 6월 평가원 B형 4

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]이

[eqn: a _{1} +a _{2} =12], [eqn: {a _{3} +a _{7}} over {a _{1} +a _{5}} =4]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{4}]의 값은? [3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

정답 ③

		2013학년도 수능 나형 6

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: {a _{1} a _{2}} over {a _{3}} =2], [eqn: {2a _{2}} over {a _{1}} + {a _{4}} over {a _{2}} =8]

일 때, [eqn: a _{3}]의 값은? [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

정답 ①

		2013학년도 11월 A형 7(고2)

공비가 실수인 등비수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여

[eqn: a_5 over a_2 =2], [eqn: a_4 + a_ 7 =12]

일 때, [eqn: a_13]의 값은? [3점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

정답 ②

		2013학년도 9월 평가원 나형 11

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여

[eqn: a _{1} a _{5} =9], [eqn: a _{2} a _{6} =36]

일 때, [eqn: 8(a _{1} a _{2} +a _{3} a _{4} )]의 값은? [3점]

① [eqn: 153]	② [eqn: 157]	③ [eqn: 161]

④ [eqn: 165]	⑤ [eqn: 169]

정답 ①

		2012학년도 6월 B형 22(고2)

등비수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 [eqn: a_1 a_2 =4], [eqn: a_3 a_4 = 8]일 때, [eqn: a_5 a_6]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold16]

		2011학년도 11월 나형 9(고2)

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left {a_n right]이 [eqn: a_2 =64], [eqn: a_3 + a_4 = 48]을 만족시킬 때, [eqn: a_7]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

정답 ⑤

		2015학년도 6월 가형 7(고2)

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 [eqn: a _{1} TIMES a _{9} =8]일 때,

[eqn: a_2 times a_5 times a_8]의 값은? [3점]

① [eqn: 10 sqrt { 2}]	② [eqn: 12 sqrt { 2}]	③ [eqn: 14 sqrt { 2}]

④ [eqn: 16 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 18 sqrt { 2}]

정답 ④

		2013학년도 9월 B형 4(고2)

등비수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 [eqn: a_5 times a_6 =2]가 성립할 때,

[eqn: a_1 times a_2 times a_3 times cdots times a_10]의 값은? [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

정답 ⑤

		2013학년도 6월 평가원 나형 8

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여

[eqn: b_n = (a_n+1 )^2 - (a_n )^2]

일 때, [eqn: {b _{6}} over {b _{3}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 56]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 62]	⑤ [eqn: 64]

정답 ⑤

		2014학년도 9월 B형 7(고2)

첫째항이 [eqn: 10]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: a_8 over { S_10 - S_8 } = 4 over 3]일 때, [eqn: a_2]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

정답 ③

		2014학년도 6월 B형 26(고2)

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 수열 [eqn: left{ a_2n-1 right]은 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이다.

㈏ 수열 [eqn: left{ S_2n-1 right]은 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

[eqn: a_14]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold42]

		2016학년도 6월 평가원 A형 16

공차가 [eqn: 6]인 등차수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 세 항 [eqn: a _{2}], [eqn: a _{k}], [eqn: a _{8}]은 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 항 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{k}]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다. [eqn: k+a _{1}]의 값은? [4점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

정답 ②

		2013학년도 4월 교육청 나형 10

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 세 수 [eqn: a+3], [eqn: 3], [eqn: b]는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: {2} over {b}], [eqn: 1], [eqn: {2} over {a+3}]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다. [eqn: b-a]의 값은? [3점]

① [eqn: -5-2 sqrt {5}]	② [eqn: -3-2 sqrt {5}]	③ [eqn: -1-2 sqrt {5}]

④ [eqn: 1-2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 3-2 sqrt {5}]

정답 ⑤

		2012학년도 수능 가형, 나형 25

세 수 [eqn: a], [eqn: a+b], [eqn: 2a-b]는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: 1], [eqn: a-1], [eqn: 3b+1]은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다. [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold10]

		2011학년도 수능 나형 22

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left{ a_n right]의 세 항 [eqn: a _{2}], [eqn: a _{4}], [eqn: a _{9}]가 이 순서대로 공비 [eqn: r]인 등비수열을 이룰 때, [eqn: 6r]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold15]

		2014학년도 10월 교육청 A형 30

두 수열 [eqn: left{a _{n} right], [eqn: left{b _{n} right]이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: a _{1} =b _{1} =6]

㈏ 수열 [eqn: left{a _{n} right]은 공차가 [eqn: p]인 등차수열이고, 수열 [eqn: left{b _{n} right]은 공비가 [eqn: p]인 등비수열이다.

수열 [eqn: left{b _{n} right]의 모든 항이 수열 [eqn: left{a _{n} right]의 항이 되도록 하는 [eqn: 1]보다 큰 모든 자연수 [eqn: p]의 합을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold11]

		2015학년도 9월 나형 27(고2)

두 집합 [eqn: A=left{2 ^{l} ``|``l은```자연수right}], [eqn: B=left{3m-2``|``m은```자연수right}]에 대하여 집합 [eqn: A smallinter B]의 모든 원소를 작은 수부터 순서대로 모두 나열하여 만든 수열을 [eqn: left{a_n right]이라 하자. [eqn: a_4]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold256]

		2015학년도 6월 나형 25(고2)

어느 음악 사이트에서는 매달 말에 그 달 [eqn: RMA]노래의 다운로드 건수를 발표한다. [eqn: 2015]년 [eqn: 1]월부터 [eqn: 5]월까지 이 사이트에서 발표한 [eqn: RMA]노래의 다운로드 건수는 매달 일정한 비율로 감소하였다. [eqn: 2015]년 발표한 [eqn: RMA]노래의 ‘[eqn: 1]월 다운로드 건수’는 [eqn: 480]건이었고, ‘[eqn: 5]월 다운로드 건수’가 [eqn: 30]건이었다. [eqn: 2015]년 ‘[eqn: 3]월 다운로드 건수’를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: BOLD120]

		2015학년도 4월 교육청 A형 13

그림과 같이 좌표평면 위의 두 원

[eqn: C _{1} ``:``x ^{2} +y ^{2} =1]

[eqn: C _{2} ``:``(x-1) ^{2} +y ^{2} =r ^{2} ~(0<r< sqrt {2} )]

이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자.

원 [eqn: C _{1}]이 [eqn: x]축과 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0]보다 작은 점을 [eqn: rmQ], 원 [eqn: C _{2}]가 [eqn: x]축과 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]보다 큰 점을 [eqn: rmR]라 하자. [eqn: rm bar OP], [eqn: RM BAR OR], [eqn: RM BAR QR]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 원 [eqn: C_2]의 반지름의 길이는? (단, [eqn: RMO]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: {-2+ sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: {2- sqrt {3}} over {2}]	③ [eqn: {-1+ sqrt {3}} over {2}]

④ [eqn: {-1+ sqrt {5}} over {2}]	⑤ [eqn: {3- sqrt {3}} over {2}]

정답 ④

		2014학년도 6월 B형 29(고2)

그림과 같이 세 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2], [eqn: C_3]은 직선 [eqn: y= root 3 x]와 [eqn: x]축에 동시에 접하고, 원 [eqn: C_2]는 두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_3]과 각각 외접하고 있다. 세 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2], [eqn: C_3]의 반지름의 길이는 이 순서대로 등비수열을 이루고 원 [eqn: C_1]의 중심과 원 [eqn: C_3]의 중심 사이의 거리는 [eqn: 12]일 때, 세 원의 넓이의 합은 [eqn: q over p pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, 세 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2], [eqn: C_3]의 중심은 제[eqn: 1]사분면에 있고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold835]

		2014학년도 4월 교육청 A형 12

그림과 같이 두 함수 [eqn: y=3 sqrt {x}], [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프와 직선 [eqn: x=k]가 만나는 점을 각각 [eqn: RMA], [eqn: RMB]라 하고, 직선 [eqn: x=k]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: RMC]라 하자.

[eqn: RM BAR BC], [eqn: RM BAR OC], [eqn: RM BAR AC]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 9]

정답 ③

		2012학년도 11월 A형 10(고2)

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA(itx)], [eqn: rmB(6)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmC(ity)]라 하자. [eqn: x], [eqn: y], [eqn: 6]이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: x]의 값은? (단, [eqn: x<6]) [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

정답 ③

		2017학년도 3월 가형 18(고2)

첫째항이 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_4]의 값은? [4점]

㈎ [eqn: S_12 -S_2 = 4S_10]

㈏ [eqn: S_12 < S_10]

① [eqn: -24]	② [eqn: -16]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 24]

정답 ②

		2017학년도 사관학교 나형 15

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자.

[eqn: S _{6} -S _{3} =6], [eqn: S _{10} -S _{6} =72]

일 때, [eqn: a _{10} +a _{11} +a _{12}]의 값은? [4점]

① [eqn: 48]	② [eqn: 51]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 60]

정답 ③

		2012학년도 11월 A형 7(고2)

첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여

[eqn: a_1 + a_3 + a_5 + a_ 7 + a_9]의 값은? [3점]

① [eqn: 1019]	② [eqn: 1021]	③ [eqn: 1023]

④ [eqn: 1025]	⑤ [eqn: 1027]

정답 ③

		2012학년도 9월 평가원 나형 8

등비수열 [eqn: left{a_n right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]에 대하여 [eqn: {S _{4}} over {S _{2}} =9]일 때, [eqn: {a _{4}} over {a _{2}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

정답 ④

		2016학년도 3월 가형 28 (고2)

두 함수 [eqn: f(x)=k(x-1)], [eqn: g(x)=2x ^{2} -3x+1]에 대하여 함수

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{`f(x)~~(f(x){ge}g(x))# # `g(x)~~(f(x)<g(x))}}}]

가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [4점]

㈎ 세 수 [eqn: h(2)], [eqn: h(3)], [eqn: h(4)]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

㈏ 세 수 [eqn: h(3)], [eqn: h(4)], [eqn: h(5)]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

정답 [eqn: bold8]

		2013학년도 6월 B형 27(고2)

두 수 [eqn: 3]과 [eqn: 40] 사이에 [eqn: 10]개의 수를 넣어 만든 등비수열

[eqn: 3], [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_10], [eqn: 40]

이 있다. 등식

[eqn: 3+a_1 + a_2 + cdots + a_10 +40]

[eqn: =k left ( 1over 3 + 1over a_1 + 1over a_2 + cdots + 1over a_10 + 1over 40 right)]

을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold 120]

		2014학년도 4월 교육청 A형 14

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: a _{1} a _{2} =a _{10}], [eqn: a _{1} +a _{9} =20]일 때,

[eqn: (a _{1} +a _{3} +a _{5} +a _{7} +a _{9} )(a _{1} -a _{3} +a _{5} -a _{7} +a _{9} )]의 값은? [4점]

① [eqn: 494]	② [eqn: 496]	③ [eqn: 498]

④ [eqn: 500]	⑤ [eqn: 502]

정답 ②

		2015학년도 9월 가형 29, 나형 30(고2)

한 변의 길이가 [eqn: 66]인 정삼각형 [eqn: RMABC]가 있다. 그림과 같이 세 선분 [eqn: RMAB], [eqn: RMAC], [eqn: RMCB]를 [eqn: 5:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: RMP _{1}], [eqn: RMQ _{1}], [eqn: RMR _{1}]이라 하고, 세 선분 [eqn: rm AP _{1}], [eqn: rm AQ _{1}], [eqn: rm CR _{1}]을 [eqn: 5:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm Q _{2}], [eqn: rm R _{2}]라 하고, 세 선분  [eqn: RMAP _{2}], [eqn: RMAQ _{2}], [eqn: RMCR _{2}]를 [eqn: 5:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: RMP _{3}], [eqn: RMQ _{3}], [eqn: RMR _{3}]이라 하자.

이와 같은 방법으로 세 선분 [eqn: rm AP _{itk-1}], [eqn: rmAQ _{itk-1}], [eqn: rmCR _{itk-1}]을 [eqn: 5:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmP _{itk}], [eqn: rmQ _{itk}], [eqn: rmR _{itk}] ([eqn: k=4,~5,~6,~cdots])라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 선분 [eqn: rmAR _{1}]과 선분 [eqn: rmP _{itn} Q _{itn}]의 교점을 [eqn: rmA _{itn}], 선분 [eqn: rmAR _{2}]와 선분 [eqn: rmP _{itn} Q _{itn}]의 교점을 [eqn: rmB _{itn}], 선분 [eqn: rmAR _{3}]과 선분[eqn: rmP _{itn} Q _{itn}]의 교점을 [eqn: rmC _{itn}], 선분 [eqn: rm AR _{4}]와 선분[eqn: rmP _{itn} Q _{itn}]의 교점을 [eqn: rmD _{itn}], 선분 [eqn: rm AR _{5}]와 선분 [eqn: rmP _{itn} Q _{itn}]의 교점을 [eqn: rmE _{itn}], 선분 [eqn: rmAR _{6}]과 선분 [eqn: rmP _{itn} Q _{itn}]의 교점을 [eqn: rmF _{itn}]이라 하자.

[eqn: rm {bar{A _{1} B _{1}}} + {bar{B _{2} C _{2}}} + {bar{C _{3} D _{3}}} + {bar{D _{4} E _{4}}} + {bar{E _{5} F _{5}}} =25- {5 ^{it b rm}} over {6 ^{it a rm}}]일 때,

[eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold22]

		2015학년도 4월 교육청 A형 21

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 모양의 종이 [eqn: rmABCD]에서 각 변의 중점을 각각 [eqn: RMA _{1}], [eqn: RMB _{1}], [eqn: RMC _{1}], [eqn: RMD _{1}]이라 하고 [eqn: RM BAR { A_1 B_1}], [eqn: RM BAR {B_1 C_1], [eqn: RM BAR {C_1 D__1], [eqn: RM BAR {D_1 A_1]을 접는 선으로 하여 네 점 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC], [eqn: RMD]가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 [eqn: S_1]이라 하자.

[eqn: S_1]에서 정사각형 [eqn: RMA_1 B_1 C_1 D_1]의 각 변의 중점을 각각 [eqn: RMA_2], [eqn: RMB_2], [eqn: RMC_2], [eqn: RMD_2]라 하고 [eqn: RM BAR {A_2 B_2], [eqn: RM BAR{B_2 C_2], [eqn: RM BAR { C_2 D_2], [eqn: RM BAR {D_2 A_2]를 접는 선으로 하여 네 점 [eqn: RMA _{1}], [eqn: RMB _{1}], [eqn: RMC _{1}], [eqn: RMD _{1}]이 한 점에서 만나도록 접은 모양을 [eqn: S_2]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 모양을 [eqn: S_n]이라 하고,

[eqn: S_n]을 정사각형 모양의 종이 [eqn: rmABCD]와 같도록 펼쳤을 때 접힌 모든 선들의 길이의 합을 [eqn: l_n]이라 하자. 예를 들어 [eqn: l_1 = 4 sqrt { 2}]이다. [eqn: l_5]의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점]

① [eqn: 24+28 sqrt { 2}]	② [eqn: 28+28 sqrt { 2}]	③ [eqn: 28+32 sqrt { 2 }]

④ [eqn: 32+32 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 36+32 sqrt { 2}]

정답 ①

2. 수열의 합

		2017학년도 9월 평가원 나형 9

수열 [eqn: left{a_n right]이

[eqn: sum _{k=1} ^{7} a _{k} = sum _{k=1} ^{6} (a _{k} +1)]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{7}]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ①

		2017학년도 4월 교육청 나형 10

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{ b_n right]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} =9], [eqn: sum _{n=1} ^{10} b _{n} =7]

일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} (3a _{n} +b _{n}-2 )]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ④

		2016학년도 6월 평가원 A형 8

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{ b_n right]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{11} a _{k} =4], [eqn: sum _{k=1} ^{11} b _{k} =24]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{11} (5a _{k} +b _{k} )]의 값은? [3점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 52]

정답 ③

		2015학년도 6월 나형 4(고2)

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{ b_n right]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =9], [eqn: sum _{k=1} ^{10`} b _{k} =5]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +2b _{k} )]의 값은? [3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

정답 ⑤

EBS 연계

2018학년도 수능 나형 27

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +1)^2 =28], [eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +1)=16]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k}) ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold14]

		2013학년도 11월 A형 6(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} =4], [eqn: sum _{n=1} ^{10} (2a _{n} -1) ^{2} =34]일 때,

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} ^{2}]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ⑤

		2018학년도 9월 평가원 나형 11

두 수열 [eqn: left{a _{n} right], [eqn: "{"b_n "}"]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n + b_n =10]을 만족시킨다. [eqn: sum_k=1 ^10 (a_k + 2b_k ) =160]일 때, [eqn: sum _ k=1 ^ 10 b_k]의 값은? [3점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 100]

정답 ①

		2016학년도 3월 나형 19 (고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: a _{1} +a _{2} =8]이고

[eqn: sum _{k=2} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} a _{n} =2n ^{2} +2~(n{ge}2)]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값은? [4점]

① [eqn: 756]	② [eqn: 766]	③ [eqn: 776]

④ [eqn: 786]	⑤ [eqn: 796]

정답 ③

		2015학년도 6월 평가원 A형 26

수열 [eqn: left{a _{n} right}]은 [eqn: a _{1} =15]이고,

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{k+1} -a _{k} )=2n+1~(n{ge}1)]

을 만족시킨다. [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold34]

		2012학년도 6월 B형 5(고2)

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{2k-1} +a _{2k} )=n ^{2}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값은? [3점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 45]

정답 ①

		2013학년도 6월 B형 20(고2)

자연수로 이루어진 수열 [eqn: left{a _{n} right]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{1}]의 최댓값은? [4점]

㈎ [eqn: a _{10} le5120]

㈏ [eqn: n]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때, [eqn: a _{n} =8+ sum _{k=1} ^{n-1} a _{k}]이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

정답 ④

		2014학년도 6월 B형 16(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right]이 모든 자연수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: sum _{k=m} ^{m ^{2}} a _{k} =m ^{2}]을 만족시킨다. [eqn: sum _{k=1} ^{677} a _{k} =777]일 때, [eqn: a _{677}]의 값은? [4점]

① [eqn: 71]	② [eqn: 75]	③ [eqn: 79]

④ [eqn: 83]	⑤ [eqn: 87]

정답 ①

	수능패턴 15	2016학년도 4월 교육청 나형 23

[eqn: sum _{k=1} ^{6} (k ^{2} +5)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold121]

		2013학년도 9월 B형 22(고2)

[eqn: sum _{k=1} ^{20} (k-1)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold190]

		2013학년도 6월 B형 22(고2)

[eqn: sum _{k=5} ^{10} (2k+1)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold96]

		2016학년도 6월 평가원 A형 24

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (2k+a)=300]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold19]

EBS 연계

2017학년도 수능 나형 25

함수 [eqn: f(x) = 1 over 2 x+2]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{15} f(2k)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold150]

		2016학년도 7월 교육청 나형 13

이차함수 [eqn: f(x)=- {1} over {2} x ^{2} +3x]에 대하여 수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{n} =2f(n)]이다. [eqn: a _{6}]의 값은? [3점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

정답 ③

		2015학년도 4월 교육청 A형 9

수열 [eqn: left{a _{n} right]에서 [eqn: a _{n} =2n-3]일 때, [eqn: sum _{k=2} ^{m} a _{k+1} =48]을 만족시키는 [eqn: m]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

정답 ④

		2015학년도 6월 나형 28(고2)

두 수열 [eqn: left{a _{n} right], [eqn: left{b _{n} right]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [4점]

㈎ [eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} =n ^{2} +n]

㈏ [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} b _{k} -5 sum _{k=1} ^{n} b _{k} = {n ^{2} (n+1) ^{2}} over {2}]

정답 [eqn: bold105]

		2017학년도 7월 교육청 나형 26

첫째항이 [eqn: 2], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: sum_ k=1 ^ n a_k b_k =4n^3 +3n^2 -n]일 때, [eqn: b_5]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold15]

		2017학년도 9월 평가원 나형 14

첫째항이 [eqn: 4]이고 공차가 [eqn: 1]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{12} {1} over {sqrt {a _{k+1}} + sqrt {a _{k}}}]

의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ②

		2016학년도 7월 교육청 나형 26

첫째항이 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{10} (a _{5n} -a _{n} )=440]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold120]

		2015학년도 9월 가형 26(고2)

등차수열 [eqn: left{a _{n} right] 대하여 [eqn: a _{1} =k-1], [eqn: a _{2} = {4} over {3} k], [eqn: a _{3} =3k-3]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold{110}]

		2014학년도 9월 평가원 B형 24

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]이 [eqn: a _{2} =-2], [eqn: a _{5} =7]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{2k}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold250]

		2015학년도 9월 평가원 A형 24

등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{10} =22]일 때, [eqn: sum _{k=2} ^{9} a _{k}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold88]

		2012학년도 9월 B형 4(고2)

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{2} =-1], [eqn: a _{4} +a _{6} +a _{8} =33]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값은? [3점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 100]

정답 ④

		2015학년도 수능 A형 17

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{2k-1} =3n ^{2} +n]을 만족시킬 때, [eqn: a _{8}]의 값은? [4점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 25]

정답 ④

		2013학년도 6월 B형 16(고2)

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{15} (S _{2k} -S _{2k-1} )=750]일 때, [eqn: a _{30}]의 값은? [4점]

① [eqn: 92]	② [eqn: 93]	③ [eqn: 94]

④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 96]

정답 ①

	수능패턴 16	2015학년도 6월 평가원 A형 10

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {4} over {k(k+1)} = {15} over {4}]일 때, [eqn: n]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ⑤

		2012학년도 6월 평가원 나형 25

[eqn: sum _{k=1} ^{14} {1} over {k(k+1)} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

정답 [eqn: bold29]

		2014학년도 9월 B형 9(고2)

첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{2n-1} a _{2n+1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {10} over {61}]	② [eqn: {12} over {61}]	③ [eqn: {14} over {61}]

④ [eqn: {16} over {61}]	⑤ [eqn: {18} over {61}]

정답 ①

		2014학년도 6월 B형 24(고2)

[eqn: sum _{k=1} ^{9} {2} over {(2k-1)(2k+1)} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소이다.) [3점]

정답 [eqn: bold37]

		2013학년도 11월 A형 11(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이

[eqn: S _{n} = {n(n+3)} over {2}]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} {1} over {a _{n} a _{n+1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {11}]	② [eqn: {2} over {11}]	③ [eqn: {3} over {11}]

④ [eqn: {4} over {11}]	⑤ [eqn: {5} over {11}]

정답 ⑤

		2013학년도 경찰대 16

[eqn: sum _{k=1} ^{20} (2k+1)left( {1} over {k} + {1} over {k+1} + {1} over {k+2} +cdots+ {1} over {20} right)]의 값은?

① [eqn: 250]	② [eqn: 254]	③ [eqn: 258]

④ [eqn: 262]	⑤ [eqn: 266]

정답 ①

		2017학년도 3월 나형 21(고2)

첫째항이 [eqn: 1]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 수열 [eqn: "{"b_n "}"}]을

[eqn: b_n = a_1 +2a_2 +3a_3 + cdots+na_n] [eqn: (n GE1)]

이라 하자. [eqn: b_10 = 715]일 때, [eqn: sum_n=1 ^ 10 b_n over n(n+1)]의 값은? [4점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

정답 ②

		2012학년도 6월 B형 28(고2)

첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k} a _{k}], [eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k} a _{k+1}}]

이다. [eqn: S _{10} =25], [eqn: {1} over {T _{5}} = {54} over {5}]일 때, [eqn: a _{6}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold27]

		2015학년도 3월 교육청 B형 27

모든 항이 양의 실수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{3} =7a _{3}]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} {S _{n}} over {a _{n}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold502]

		2013학년도 11월 B형 18(고2)

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]이

[eqn: a _{10} =8a _{4}], [eqn: a _{3} +`a _{7} =10]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {a _{n+1} -a _{n}} over {(a _{n} +1)(a _{n+1} +1)}]의 값은? [4점]

① [eqn: {31} over {66}]	② [eqn: {17} over {33}]	③ [eqn: {37} over {66}]

④ [eqn: {20} over {33}]	⑤ [eqn: {43} over {66}]

정답 ①

		2016학년도 사관학교 A형 6

첫째항이 [eqn: 1]이고, 둘째항이 [eqn: p]인 수열 [eqn: left{a _{n} right]이

[eqn: a _{n+2} =a _{n} +2~(x{ge}1)]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =70]일 때, 상수 [eqn: p]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

정답 ①

		2014학년도 6월 평가원 A형 28

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: a _{1} =7]이고, 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: a _{n+2} =a _{n} -4] ([eqn: n=1,~2,~3,~4])

㈏ 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+6} =a _{n}]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{50} a _{k} =258]일 때, [eqn: a _{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold11]

	수능패턴 17	2011학년도 7월 교육청 나형 28

한 면은 흰색, 다른 면은 검은색인 같은 크기의 정사각형 모양의 카드를 다음 규칙에 의하여 그림과 같이 놓는다.

[[eqn: 1]단계] 검은색 면이 보이도록 카드를 한 개 놓는다.

[[eqn: 2]단계] [eqn: 1]단계에서 놓여진 카드를 흰색 면이 보이도록 뒤집고 그 카드 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 두 개의 카드를 놓는다.

[[eqn: 3]단계] [eqn: 2]단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 [eqn: 2]단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 세 개의 카드를 놓는다.

⋮

[[eqn: n]단계] [eqn: n-1]단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 [eqn: n-1]단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 [eqn: n]개의 카드를 놓는다.

[eqn: n]단계에서 보이는 면의 색이 검은색인 카드의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{n+1} -a _{n} =15]가 되는 모든 [eqn: n]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 29]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 49]

④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 65]

정답 ④

		2012학년도 11월 A형 18(고2)

그림과 같이 [eqn: 1]행에는 [eqn: 1]개, [eqn: 2]행에는 [eqn: 3]개, [eqn: 3]행에는 [eqn: 5]개, [eqn: cdots], [eqn: n]행에는 [eqn: (2n-1)]개의 수가 다음과 같이 규칙으로 나열되어 있다.

㈎ [eqn: n ge 1]일 때, [eqn: n]행 [eqn: n]열의 수는 [eqn: 2n-1]이다.

㈏ [eqn: n ge 2]일 때, [eqn: n]행의 모든 수들은 [eqn: 1]열부터 [eqn: (2n-1)]열까지 이 순서대로 공차가 [eqn: 2n-3]인 등차수열을 이룬다.

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열	[eqn: 4]열	[eqn: 5]열	[eqn: 6]열	[eqn: 7]열
[eqn: 1]행	[eqn: 1]
[eqn: 2]행	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: 3]행	[eqn: -1]	[eqn: 2]	[eqn: 5]	[eqn: 8]	[eqn: 11]
[eqn: 4]행	[eqn: -8]	[eqn: -3]	[eqn: 2]	[eqn: 7]	[eqn: 12]	[eqn: 17]	[eqn: 22]
⋮				⋮

[eqn: n]행 [eqn: (n+2)]열의 수를 [eqn: a_n] [eqn: (n ge 3 )]이라 할 때, [eqn: sum _{n=3} ^{10} a _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 256]	② [eqn: 266]	③ [eqn: 276]

④ [eqn: 286]	⑤ [eqn: 296]

정답 ①

		2015학년도 3월 교육청 A형 18

수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{n} =p]라 할 때, 등식

[eqn: 2a _{n} +n=p~(n{ge}1)]

가 성립한다. [eqn: a _{10}]의 값은? (단, [eqn: p]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {5} over {6}]

④ [eqn: {11} over {12}]	⑤ [eqn: 1]

정답 ③

		2015학년도 9월 가형 11(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right]이 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} a _{k} =n ^{2} +n]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k+1}]의 값은? [3점]

① [eqn: {17} over {11}]	② [eqn: {18} over {11}]	③ [eqn: {19} over {11}]

④ [eqn: {20} over {11}]	⑤ [eqn: {21} over {11}]

정답 ④

		2015학년도 6월 가형 25(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right]이

[eqn: sum _{k=1} ^{n} ka _{k} = {n ^{2} (n+1)} over {2}] [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{15}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold22]

		2015학년도 6월 평가원 B형 13

수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2} -n~(n{ge}1)]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} ka _{4k+1}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2960]	② [eqn: 3000]	③ [eqn: 3040]

④ [eqn: 3080]	⑤ [eqn: 3120]

정답 ④

		2013학년도 6월 평가원 가형, 나형 11

첫째항이 [eqn: 2]이고, 각 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT{a _{n} right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{10} {a _{k+1}} over {S _{k} `S _{k+1}} = {1} over {3}]일 때, [eqn: S _{11}]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ①

		2014학년도 3월 교육청 A형 17

수열 [eqn: LEFT{a _{n} right]이 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k+1} =n ^{2} +n]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {11}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {6} over {11}]

④ [eqn: {13} over {22}]	⑤ [eqn: {7} over {11}]

정답 ①

		2013학년도 11월 A형 18(고2)

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a _{n} right]이 [eqn: a _{1} =1]이고,

[eqn: n(n+2)a _{n+1} ^{`````````````````2} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} ^{`````2}] [eqn: (n ge 1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: a _{n} ^{2} =b _{n}], [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} ^{2} =S _{n}]이라 하면

[eqn: b _{1} =1], [eqn: n(n+2)b _{n+1} =S _{n}]

[eqn: b _{n} =S _{n} -S _{n-1}][eqn: (n GEQ 2)]이고, [eqn: b _{1} =1], [eqn: b _{2} = {1} over {3}]이므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b _{n+1} = BOX{~~㈎~~} TIMES b _{n}]	…… (*)

(*)의 [eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: n-1]을 차례로 대입하여 얻어진 [eqn: (n-1)]개의 등식을 변끼리 곱하여 정리하면

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b _{n} =box{~~㈏~~}]

⋮

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때,

[eqn: {f(11)} over {g(12)}]의 값은? [4점]

① [eqn: 66]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 68]

④ [eqn: 69]	⑤ [eqn: 70]

정답 ①

		2013학년도 11월 A형 26(고2)

[eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x ^{2} -(2n+1)x+n(n+1)=0]

의 두 근을 [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} (1-a _{n} )(1-b _{n} )]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold330]

		2013학년도 6월 평가원 나형 16

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (k-alpha)(k-beta)]의 값은? [4점]

① [eqn: 255]	② [eqn: 265]	③ [eqn: 275]

④ [eqn: 285]	⑤ [eqn: 295]

정답 ②

		2011학년도 4월 교육청 나형 20

[eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x ^{2} -33x+n(n+1)=0]의 두 근을 [eqn: alpha _{n}], [eqn: beta _{n}]이라 하자. 이때

[eqn: sum _{n=1} ^{10} left( {1} over {alpha _{n}} + {1} over {beta _{n}} right)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold30]

		2017학년도 3월 가형 29(고2)

그림과 같이 좌표평면에 점 [eqn: (-1, ~1)]을 지나는 서로 다른 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=n]이 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A it_n], [eqn: rm B it _ n]이라 하자. 사각형 [eqn: {rm A}_n `{rmB}_n`{rmB}_n+1`{rm A } _n+1]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: Sum_k=1 ^ 10 `S_2k-1 = 115]이다. [eqn: sum_k=1 ^ 10 `S_2k]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold125]

		2017학년도 수능 나형 21

좌표평면에서 함수

[eqn: f(x) = left{ matrix{ -x+10~~(x<10) ## (x-10)^2 ~~(x GE 10)]

과 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: (n,~f(n))]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원 [eqn: O_n]이 있다. [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점 중에서 원 [eqn: O_n]의 내부에 있고 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 아랫부분에 있는 모든 점의 개수를 [eqn: A_n], 원 [eqn: O_n]의 내부에 있고 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 윗부분에 있는 모든 점의 개수를 [eqn: B_n]이라 하자. [eqn: sum_ n=1 ^ 20 (A_n -B_n )]의 값은? [4점]

① [eqn: 19]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

정답 ④

		2017학년도 9월 평가원 나형 17

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= {3} over {x} ~(x>0)] 위의 점 [eqn: left( n,~ 3 over n right)]과 두 점 [eqn: (n-1,~0)], [eqn: (n+1,~0)]을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {9} over {a _{n} a _{n+1}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 410]	② [eqn: 420]	③ [eqn: 430]

④ [eqn: 440]	⑤ [eqn: 450]

정답 ④

		2016학년도 3월 가형 14 (고2)

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에서 점 [eqn: rmA(0,~2)]를 지나는 직선과 점 [eqn: rmB(itn,~2)]를 지나는 직선이 서로 수직으로 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 넓이를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 51pi]	② [eqn: 53pi]	③ [eqn: 55pi]

④ [eqn: 57pi]	⑤ [eqn: 59pi]

정답 ①

		2016학년도 4월 교육청 나형 29

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 기울기가 [eqn: 1]이고 [eqn: y]절편이 양수인 직선이 원 [eqn: x sup2 + y sup2 = n sup2 over 2]에 접할 때, 이 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]이라 하자. 점 [eqn: rm A _{itn}]을 지나고 기울기가 [eqn: -2]인 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmC _{itn}]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rmA _{itn} rmC _{itn} rmB _{itn}]과 그 내부의 점들 중 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold725]

		2017학년도 사관학교 나형 29

자연수 [eqn: n]에 대하여 원 [eqn: x sup2 + y sup2 = n sup2]과 곡선 [eqn: y= k over x (k>0)]이 서로 다른 네 점에서 만날 때, 이 네 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형을 만든다. 이 직사각형에서 긴 변의 길이가 짧은 변의 길이의 [eqn: 2]배가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을 [eqn: f(n)]이라 하자.

[eqn: sum _{n=1} ^{12} f(n)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold195]

		2016학년도 경찰대 13

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 조건 [eqn: left[ {x} over {n} right]=2], [eqn: left[ {x} over {n+1} right]=1]을 만족시키는 실수 [eqn: x] 중 가장 큰 자연수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{30} a _{n}]의 값은? (단, [eqn: [t]]는 [eqn: t]보다 크지 않은 최대 정수이다.) [4점]

① [eqn: 955]	② [eqn: 956]	③ [eqn: 957]

④ [eqn: 958]	⑤ [eqn: 959]

정답 ⑤

		2015학년도 수능 B형 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: m]을 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값은? [4점]

㈎ 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (2 ^{n} ,~0)]이다.

㈏ 두 점 [eqn: RMB(1,~0)]과 [eqn: rm C(2 ^{it m rm} ,~itm)]을 지나는 직선 위의 점 중 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2 ^{n}]인 점을 [eqn: rmD]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이는 [eqn: {m} over {2}]보다 작거나 같다.

① [eqn: 109]	② [eqn: 111]	③ [eqn: 113]

④ [eqn: 115]	⑤ [eqn: 117]

정답 ①

		2015학년도 6월 나형 14(고2)

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=n]이 무리함수

[eqn: f(x)= sqrt {2x+2} +3]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB _{itn}]이라 하자. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

선분 [eqn: rmA _{itn} B _{itn}]의 길이보다 크지 않은 최대의 정수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 61]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 63]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 65]

정답 ①

		2016학년도 사관학교 A형 12

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]를

[eqn: f(x)=x ^{2} -6x+7], [eqn: g(x)=x+n]

이라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 두 점 사이의 거리를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} ^{2}]의 값은? [3점]

① [eqn: 780]	② [eqn: 800]	③ [eqn: 820]

④ [eqn: 840]	⑤ [eqn: 860]

정답 ⑤

		2015학년도 4월 교육청 A형 14

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y= sqrt {n} x]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP _{itn}], 점 [eqn: rmP _{itn}]을 지나고 직선 [eqn: y= sqrt {n} x]와 수직인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ _{itn}], [eqn: rmR _{itn}]이라 하자. 삼각형 [eqn: RMOQ _{ITn} R _{ITn}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} {2S _{n}} over {sqrt {n}}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 100]

정답 ③

		2015학년도 3월 가형 14(고2)

그림과 같이 [eqn: 4] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2} +x]와 직선 [eqn: y=nx-2]가 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만난다. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

두 직선 [eqn: RMOA], [eqn: RMOB]의 기울기를 각각 [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}]이라 할 때,

[eqn: sum _{n=4} ^{20} (a _{n} +b _{n} )]의 값은? [4점]

① [eqn: 211]	② [eqn: 216]	③ [eqn: 221]

④ [eqn: 226]	⑤ [eqn: 231]

정답 ③

		2015학년도 3월 가형, 나형 29(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right]을 다음과 같이 정의하자.

집합 [eqn: A=left{x``|``(x-n)(x-2n+1)le0right}]에 대하여 [eqn: 25 IN A _{n}]이면 [eqn: a_n =1]이고, [eqn: 25 nin A_n]이면 [eqn: a_n =-1]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =-20]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold46]

		2015학년도 3월 교육청 A형 30

집합 [eqn: U=left{x``|``x는```30```이하의```자연수right}]의 부분집합

[eqn: A=left{a _{1} ,~a _{2} ,~a _{3} ,~cdots,~a _{15} right}]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 집합 [eqn: A]의 임의의 두 원소 [eqn: a _{i}], [eqn: a _{j}] [eqn: (i!=j)]에 대하여

[eqn: a _{i} +a _{j} !=31]

㈏ [eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{i} =264]

[eqn: {1} over {31} sum _{i=1} ^{15} a _{i} ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold184]

		2015학년도 7월 교육청 A형 14

좌표평면의 원점에 점 [eqn: RMP]가 있다. 한 개의 동전을 [eqn: 1]번 던질 때마다 다음 규칙에 따라 점 [eqn: RMP]를 이동시키는 시행을 한다.

㈎ 앞면이 나오면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨다.

㈏ 뒷면이 나오면 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨다.

시행을 [eqn: 1]번 한 후 점 [eqn: RMP]가 위치할 수 있는 점들을 [eqn: x]좌표가 작은 것부터 차례로 [eqn: RMP _{1}], [eqn: RMP _{2}]라 하고, 시행을 [eqn: 2]번 한 후 점 [eqn: RMP]가 위치할 수 있는 점들을 [eqn: x]좌표가 작은 것부터 차례로 [eqn: RMP _{3}], [eqn: RMP _{4}], [eqn: RMP _{5}]라 하자. 예를 들어 점 [eqn: RMP _{5}]의 좌표는 [eqn: (2,~0)]이고 점 [eqn: RMP _{5}]의 좌표는 [eqn: (0,~3)]이다. 이와 같은 방법으로 정해진 점 [eqn: RMP _{100}]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 할 때, [eqn: a-b]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

정답 ③

		2015학년도 3월 교육청 A형 21

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: 15]와 서로소인 자연수를 작은 수부터 차례대로 모두 나열하여 만든 것이다. 예를 들면 [eqn: a _{2} =2], [eqn: a _{4} =7]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 240]	② [eqn: 280]	③ [eqn: 320]

④ [eqn: 360]	⑤ [eqn: 400]

정답 ①

		2015학년도 3월 교육청 A형 25

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2 ^{n-1}]의 모든 양의 약수의 합을 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold502]

		2013학년도 6월 B형 26(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right]을

[eqn: a _{n} =(6 ^{n} 의``양의``약수``중``짝수인``것의``개수)]

라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold440]

		2015학년도 4월 교육청 A형 27

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= {6 ^{n}} over {x}] 위의 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold505]

		2017학년도 9월 평가원 나형 30

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 영역

[eqn: left{ (x,~y) `` left| `` 0 le x le n,~0 le y le {root x+3 } over 2 right}]

에 포함되는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자.

㈎ 각 꼭짓점의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표가 모두 정수이다.

㈏ 한 변의 길이가 [eqn: sqrt { 5}] 이하이다.

예를 들어 [eqn: f(14)=15]이다. [eqn: f(n) le 400]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold65]

		2016학년도 3월 가형 29 (고2)

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에서 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 네 꼭짓점의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표는 모두 자연수이다.

㈏ 네 꼭짓점은 모두 부등식

[eqn: {y-10}over 4 le x le n]

이 나타내는 영역에 포함된다.

서로 다른 정사각형의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: a_2 +a_6]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold118]

		2013학년도 9월 평가원 나형 14

다음 [단계]에 따라 정육각형이 인접해 있는 모양의 도형에 자연수를 적는다.

[단계 [eqn: 1]]<그림 [eqn: 1]>과 같이 한 개의 정육각형을 그리고, 각 꼭짓점에 자연수를 [eqn: 1]부터 차례로 적는다.

[단계 [eqn: 2]]<그림 [eqn: 1]>의 아래에 [eqn: 2]개의 정육각형을 그리고, 새로 생긴 각 꼭짓점에 자연수를 [eqn: 1]부터 차례로 적어서 <그림 [eqn: 2]>를 얻는다.

⋮

[단계 [eqn: n]]<그림 [eqn: n-1]>의 아래에 [eqn: n]개의 정육각형을 그리고, 새로 생긴 각 꼭짓점에 자연수를 [eqn: 1]부터 차례로 적어서 <그림 [eqn: n]>을 얻는다.

<그림 [eqn: 6]>에 적혀 있는 모든 수의 합은? [4점]

① [eqn: 338]	② [eqn: 349]	③ [eqn: 360]

④ [eqn: 371]	⑤ [eqn: 382]

정답 ④

		2014학년도 9월 B형 21(고2)

[eqn: 3]행 [eqn: 3]열로 이루어진 바닥에 고정된 숫자판이 있다. [그림]과 같이 이 숫자판에서 이웃한 두 행과 이웃한 두 열이 교차하여 만들어지는 오른쪽 위, 오른쪽 아래, 왼쪽 아래, 왼쪽 위에 있는 두 행과 두 열의 네 칸으로 이루어진 영역을 각각 [eqn: A _{1}], [eqn: A _{2}], [eqn: A _{3}], [eqn: A _{0}]이라 하자.

[eqn: 0] 이상의 정수 [eqn: n]에 대하여 숫자판 [eqn: T _{n}]을 다음과 같은 규칙에 따라 만든다.

㈎ 모든 칸에 [eqn: 0]을 써 만든 숫자판이 [eqn: T _{0}]이다.

㈏ [eqn: n ge 1], [eqn: m=(n을``4로``나눈``나머지)]일 때, 숫자판 [eqn: T _{n-1}]에서 영역 [eqn: A _{m}]의 네 칸에만 각각 [eqn: n]을 더하여 만든 숫자판이 [eqn: T _{n}]이다.

숫자판 [eqn: T _{n}]에서 제[eqn: 2]행에 있는 세 수를 왼쪽부터 차례대로 [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}], [eqn: c _{n}]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{5} =7], [eqn: b _{5} =15], [eqn: c _{5} =8]이다. 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: b _{8} =36]

ㄴ. [eqn: c _{4n} = sum _{k=1} ^{n} (8k-5)]

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{4n} =1505]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

		2015학년도 9월 가형 14(고2)

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 다음과 같다.

[eqn: f(x)= {x+2n ^{2} +n} over {x-n}]

[eqn: n=k] ([eqn: k=1,~2,~3,~cdots])일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]의 제[eqn: 1]사분면 위의 점 중에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축까지의 거리가 같게 되는 점을 [eqn: rmP _{itk}]라 하고, 점 [eqn: rmP _{itk}]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmQ _{itk}], [eqn: rmR _{itk}]라 하자. 사각형 [eqn: rm OQ _{it k rm} P _{ITk} R _{it k rm}]의 넓이를 [eqn: A _{k}]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} A _{k}]의 값은? [4점]

① [eqn: 1770]	② [eqn: 1780]	③ [eqn: 1790]

④ [eqn: 1800]	⑤ [eqn: 1810]

정답 ①

		2015학년도 6월 가형 27(고2)

자연수 [eqn: n]에 대하여 그림과 같이 직선 [eqn: x=2n-1]과 두 곡선

[eqn: y= 1over x +1], [eqn: y= 1 over {x+2}]의 교점을 각각 [eqn: rm P _{it itn}], [eqn: rmQ_{itn]이라 하고, 직선 [eqn: x=2n+1]과 두 곡선 [eqn: y= 1over x +1], [eqn: y= 1 over {x+2}]의 교점을 각각 [eqn: rmP _{itn+1}], [eqn: rmQ _{itn+1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmP _{itn} Q _{itn} P _{itn+1}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} S _{n} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold169]

		2013학년도 6월 B형 18(고2)

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: (2n,~0)]에서 원 [eqn: (x+1) ^{2} +y ^{2} =1]에 그은 접선을 [eqn: l]이라 할 때, 수열 [eqn: left{a _{n} right]을

[eqn: a _{n} =(접선``l의``기울기의``제곱)]

이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{40} a _{k}]의 값은? [4점]

① [eqn: {6} over {41}]	② [eqn: {7} over {41}]	③ [eqn: {8} over {41}]

④ [eqn: {9} over {41}]	⑤ [eqn: {10} over {41}]

정답 ⑤

		2014학년도 6월 B형 10(고2)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 모양의 종이를 [eqn: 9]개의 정사각형으로 [eqn: 9]등분한 후 중앙의 정사각형 부분을 잘라내고 남은 도형을 [eqn: A _{1}]이라 하자. [eqn: A _{1}]에서 [eqn: 8]개의 정사각형 각각을 다시 [eqn: 9]등분하여 중앙의 정사각형 부분을 각각 잘라내고 남은 도형을 [eqn: A _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형을 [eqn: A _{n}]이라 하자.

[eqn: A _{n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n}]의 값은? [3점]

① [eqn: 8left{1-left( {8} over {9} right) ^{11} right}]	② [eqn: 8 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]

③ [eqn: 9 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{11} RIGHT }]	④ [eqn: 9 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]

⑤ [eqn: 10 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{11} RIGHT }]

정답 ②

3. 수학적 귀납법

		2013학년도 11월 A형 22(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: a _{1} =1]이고,

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +3] [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]

을 만족시킨다. [eqn: a _{30}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold88]

	수능패턴 18	2017학년도 4월 교육청 나형 25

수열 [eqn: left{a _{n} right]이 [eqn: a _{1} =2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = 2(a_n +2)]

를 만족시킨다. [eqn: a_5]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold92]

EBS 연계

2018학년도 수능 나형 13

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: a_1 = 2]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = left{ matrix{a_n -1 ~(a_n 이 ~짝수인~경우) ##a_n +n~(a_n 이~홀수인 ~경우)]

를 만족시킨다. [eqn: a_7]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

정답 ②

		2018학년도 6월 평가원 나형 29

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left{a _{n} right]이 있다. 수열 [eqn: "{"b_n "}"]은

[eqn: b_1 = a_1]

이고 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b_n = left{ matrix{b_n-1 +a_n ~(n이~3의~배수가~아닌~경우)##b_n-1 -a_n ~(n이~ 3의~배수인~경우)~~~~~]

이다. [eqn: b_10 = a_10]일 때, [eqn: b_8 over b_10 = q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold13]

		2017학년도 6월 평가원 나형 20

첫째항이 [eqn: a]인 수열 [eqn: left{a _{n} right]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = left{ matrix { a_n + (-1)^n times2 ~(n이~3의~배수가~아닌~경우)## a_n +1 ~~~~~~~~~(n이 ~3의~배수인~경우)~~~~~]

를 만족시킨다. [eqn: a_15 = 43]일 때, [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 35]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 39]

정답 ⑤

		2015학년도 4월 교육청 B형 26

수열 [eqn: left{a _{n} right]이 [eqn: a _{1} =3]이고,

[eqn: a _{n+1} = {cases{eqalign{` {a _{n}} over {2} ~~~~~~~(a _{n} 은```짝수)# # ` {a _{n} +93} over {2} ~~~(a _{n} 은```홀수)}}}]

이 성립한다. [eqn: a _{k} =3]을 만족시키는 [eqn: 50] 이하의 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold235]

		2013학년도 6월 평가원 가형, 나형 28

수열 [eqn: left{a _{n} right]에서 [eqn: a _{1} =2]이고, [eqn: n{ge}1]일 때 [eqn: a _{n+1}]은

[eqn: {1} over {n+2} < {a _{n}} over {k} < {1} over {n}]

을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수이다. [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold513]

		2018학년도 9월 평가원 나형 19

두 수열 [eqn: left{a _{n} right], [eqn: "{"b_n "}"]은 [eqn: a_1 = a_2 = 1], [eqn: b_1 = k]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+2 = (a_n+1 ) ^2 - (a_n )^2], [eqn: b_n+1 = a_n - b_n +n]

을 만족시킨다. [eqn: b_20 = 14]일 때, [eqn: k]의 값은? [4점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

정답 ①

		2013학년도 4월 교육청 나형 24

수열 [eqn: left{a _{n} right]이 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} =1- {1} over {(n+1) ^{2}}]

을 만족시킬 때, [eqn: 100a _{10}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold55]

		2016학년도 사관학교 A형 19, B형 17

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: a _{1} =- {5} over {3}]이고

[eqn: a _{n+1} =- {3a _{n} +2} over {a _{n}} ~(n{ge}1)]	⋯⋯(＊)

를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

(＊)에서

[eqn: a _{n+1} +2=- {a _{n} +box{~~㈎~~}} over {a _{n}} ~(n{ge}1)]

이다. 여기서

[eqn: b _{n} = {1} over {a _{n} +2} ~(n{ge}1)]

이라 하면 [eqn: b _{1} =3]이고

[eqn: b _{n+1} =2b _{n} -box{~~㈏~~}~(n{ge}1)]

이다. 수열 [eqn: left{b _{n} right]의 일반항을 구하면

[eqn: b _{n} =box{~~㈐~~}~(n{ge}1)]

이므로

[eqn: a _{n} = {1} over {BOX{~~㈐~~}} -2~(n GEQ 1)]

이다.

위의 ㈎와 ㈏에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 하고, ㈐에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: p times q times f(5)]의 값은? [4점]

① [eqn: 54]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 62]

④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 70]

정답 ④

		2015학년도 9월 평가원 A형 17, B형 16

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right]은 [eqn: a_1 =10]이고

[eqn: (a _{n+1} ) ^{n+1} = {a _{1} +(a _{2} ) ^{2} +(a _{3} ) ^{2} +cdots+(a _{n} ) ^{n}} over {n} ~(n{ge}1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: b _{n} =(a _{n} ) ^{n}]이라 하면 [eqn: b _{1} =10]이고 주어진 식으로부터

[eqn: b _{n+1} = {b _{1} +b _{2} +cdots+b _{n}} over {n} ~(n{ge}1)]

이다. [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} b _{k}]라 하면

[eqn: S _{n+1} = BOX{~~㈎~~} times S_n]

이다.

[eqn: S_1 = 10]

[eqn: S _{n} =S _{1} TIMES {S _{2}} over {S _{1}} TIMES {S _{3}} over {S _{2}} TIMES CDOTS{TIMES} {S _{n}} over {S _{n-1}} ~(n{ge}2)]

을 이용하여 [eqn: S _{n}]을 구하면

[eqn: S _{n} =box{~~㈏~~}~(n{ge}1)]

이다.

⋮

위의 ㈎와 ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때,

[eqn: f(5)times{g(6)]의 값은? [4점]

① [eqn: 72]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 88]

정답 ①

		2015학년도 7월 교육청 A형 17, B형 16

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: a _{1} = {1} over {4}]이고

[eqn: (n+1)a _{n} =a _{n+1} (3n-2a _{n} )~(n{ge}1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정의 일부이다.

주어진 식의 양변을 [eqn: a _{n} a _{n+1}]로 나누면

[eqn: {n+1} over {a _{n+1}} = {3n-2a _{n}} over {a _{n}}]

이다. [eqn: b _{n} = {n} over {a _{n}}]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =3b _{n} =box{~~㈎~~}]

이고, [eqn: b _{n+1} -1=3(b _{n} -1)]이다.

[eqn: b _{1} =4]이므로  [eqn: b _{n} -1=box{~~㈏~~}]

[eqn: b _{n} =box{~~㈏~~}]+1

이다. 그러므로

[eqn: a _{n} = {n} over {box{~~㈏~~}+1} ~(n{ge}1)]

이다.

위의 ㈎에 알맞은 값을 [eqn: p], ㈏에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(3)]의 값은? [4점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

정답 ②

		2015학년도 4월 교육청 A형 17

수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]라 할 때,

[eqn: 2S _{n} =3a _{n} -4n+3~(n{ge}1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

[eqn: 2S _{n} =3a _{n} -4n+3]	⋯⋯㉠

에서 [eqn: n=1]일 때, [eqn: 2S _{1} =3a _{1} -1]이므로 [eqn: a _{1} =1]이다.

[eqn: 2S _{n+1} =3a _{n+1} -4(n+1)+3]	⋯⋯㉡

㉡에서 ㉠을 뺀 식으로부터

[eqn: a _{n+1} =3a _{n} +box{~~㈎~~}]

이다.

수열 [eqn: left{a _{n} +2right]가 등비수열이므로 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하면

[eqn: a _{n} = BOX{~~㈏~~} ~(n{ge}1)]

이다.

위의 ㈎에 알맞은 수를 [eqn: p], ㈏에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(5)]의 값은? [4점]

① [eqn: 225]	② [eqn: 230]	③ [eqn: 235]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 245]

정답 ⑤

		2014학년도 사관학교 A형 17, B형 16

첫째항이 [eqn: -8]인 수열 [eqn: left{a _{n} right]에 대하여

[eqn: a _{n+1} -2 sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} =2 ^{n+1} (n ^{2} +n+2)~(n{ge}1)]

가 성립한다. 다음은 수열 [eqn: left{a _{n} right]의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

주어진 식에 의하여

[eqn: a _{n} -2 sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {k} =2 ^{n} (n ^{2} -n+2)~(n{ge}2)]

이다. 따라서 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} `-a _{n} - {2} over {n} a _{n} =box{~~㈎~~}]

이므로

[eqn: a _{n+1} - {n+2} over {n} a _{n} =box{~~㈎~~}]

이다. [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n(n+1)}]이라 하면

[eqn: b _{n+1} -b _{n} =box{~~㈏~~}~(n{ge}2)]

이고, [eqn: b _{2} =0]이므로

[eqn: b _{n} =box{~~㈐~~}~(n{ge}2)]

이다.

⋮

위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)], [eqn: h(n)]이라 할 때, [eqn: {f(4)} over {g(5)} +h(6)]의 값은? [4점]

① [eqn: 65]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 85]

정답 ③

		2015학년도 4월 교육청 A형 28

수열 [eqn: left{ a_n right]은 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =2]

㈏ [eqn: a _{n}]은 [eqn: a _{n-2}]와 [eqn: a _{n-1}]의 합을 [eqn: 4]로 나눈 나머지 ([eqn: n{ge}3])

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =166]일 때, [eqn: m]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold123]

		2013학년도 사관학교 인문, 자연 23

두 수열 [eqn: left{a _{n} right], [eqn: left{b _{n} right]을 다음과 같이 정의하자.

㈎ [eqn: a _{1} =0], [eqn: b _{1} =2]

㈏ [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: a _{n} =a _{n-1} + {b _{n-1}} over {n}], [eqn: b _{n} =b _{n-1} - {b _{n-1}} over {n}]이다.

㈐ [eqn: n]이 [eqn: 1]보다 큰 홀수이면 [eqn: a _{n} =a _{n-1} - {a _{n-1}} over {n}],

[eqn: b _{n} =b _{n-1} + {a _{n-1}} over {n}]이다.

[eqn: a _{41} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은?

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

① [eqn: 79]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 81]

④ [eqn: 82]	⑤ [eqn: 83]

정답 ③

		2015학년도 7월 교육청 A형 27

다음 [단계]에 따라 반지름의 길이가 같은 원들을 외접하도록 그린다.

[단계 [eqn: 1]][eqn: 3]개의 원을 외접하게 그려서 [그림 [eqn: 1]]을 얻는다.

[단계 [eqn: 2]][그림 [eqn: 1]]의 아래에 [eqn: 3]개의 원을 외접하게 그려서 [그림 [eqn: 2]]를 얻는다.

[단계 [eqn: 3]][그림 [eqn: 2]]의 아래에 [eqn: 4]개의 원을 외접하게 그려서 [그림 [eqn: 3]]을 얻는다.

⋮

[단계 [eqn: m]][그림 [eqn: m-1]]의 아래에 [eqn: (m+1)]개의 원을 외접하게 그려서 [그림 [eqn: m]]을 얻는다. [eqn: (m{ge}2)]

[그림 [eqn: n]]에 그려진 원의 모든 접점의 개수를

[eqn: a _{n}]([eqn: n=1,~2,~3,~cdots])이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{2} =9]이다.

[eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold165]

		2015학년도 사관학교 A형 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에 원 [eqn: C _{n}]을 다음과 같은 규칙으로 그린다.

㈎ 원 [eqn: C _{1}]의 방정식은 [eqn: (x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} =1]이다.

㈏ 원 [eqn: C _{n}]의 반지름의 길이는 [eqn: n]이다.

㈐ 원 [eqn: C _{n+1}]은 원 [eqn: C _{n}]과 외접하고, 두 원 [eqn: C _{n}], [eqn: C _{n+1}]의 중심을 지나는 직선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축과 평행하다.

㈑ [eqn: n=4k+p] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수, [eqn: p=1,~2,~3,~4])일 때,

원 [eqn: C _{n}]의 중심은 제[eqn: p]사분면에 있다.

예를 들어 원 [eqn: C _{4}]의 중심의 좌표는 [eqn: (5,~-4)]이고 반지름의 길이는 [eqn: 4]이다. 원 [eqn: C _{n}] 중에서 그 중심이 원 [eqn: C _{40}]의 내부에 있는 원의 개수는? [4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

정답 ②

		2015학년도 사관학교 A형 20, B형 18

수열 [eqn: left{a _{n} right]이 다음 조건을 만족시킨다.

(i) [eqn: a _{1} =2]이고 [eqn: a _{n} <a _{n+1} ~(n{ge}1)]이다.

(ii) [eqn: b _{n} = {1} over {2} left(n+1- {1} over {n+1} right)~(n{ge}1)]이라 할 때, 좌표평면에서 네 직선 [eqn: x=a _{n}], [eqn: x=a _{n+1}], [eqn: y=0], [eqn: y=b _{n} x]에 동시에 접하는 원 [eqn: T _{n}]이 존재한다.

다음은 수열 [eqn: left{a _{n} right]의 일반항을 구하는 과정이다.

원점을 [eqn: rmO]라 하고, 원 [eqn: T _{n}]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n}]이라 하자.

직선 [eqn: x=a _{n}]과 두 직선 [eqn: y=0], [eqn: y=b _{n} x]의 교점을 각각 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]이라 하고, 원 [eqn: T _{n}]과 세 직선 [eqn: x=a _{n}], [eqn: y=b _{n} x], [eqn: y=0]의 접점을 각각 [eqn: rmC _{itn}], [eqn: rmD _{itn}], [eqn: rmE _{itn}]이라 하면 [eqn: rm bar{A _{it n rm} B _{it n rm}} =ita _{itn} b _{n}]이고

[eqn: rm bar{OB _{it n rm}} = it a _{n} sqrt {BOX{~~㈎~~} +b _{n} ^{2}}]이다.

[eqn: rm bar{OD _{it n rm}} = bar{OB _{itn}} + bar{B _{it n rm} D _{it n rm}} = bar{OB _{it n rm}} + bar{B _{it n rm} C _{it n rm}}]

[eqn: =a _{n} sqrt {box{~~㈎~~}+b _{n} ^{2}} +a _{n} b _{n} -r _{n}]

[eqn: rm bar{OE _{it n rm}} =ita _{n} +r _{n}]

[eqn: rmbar{OD _{itn} }=bar{OE _{itn}]이므로

[eqn: r _{n} = {a _{n} (b _{n} -1+ sqrt {box{~~㈎~~}+b _{n} ^{2} )}} over {2}]

∴[eqn: a _{n+1} =a _{n} +2r _{n} =(box{~~㈏~~}`)times{a _{n} }~(n{ge}1)]

이때 [eqn: a _{1} =2]이고

[eqn: a _{n} = BOX{~~~~} TIMES a _{n-1} = BOX{~~~~} TIMES a _{n-2} = CDOTS = BOX{~~~~} TIMES a _{1}]

이므로

[eqn: a _{n} =box{~~㈐~~}]

위의 과정에서 ㈎에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, ㈏, ㈐에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(4)+g(4)]의 값은? [4점]

① [eqn: 54]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 58]

정답 ①

		2014학년도 9월 평가원 A형 29

그림과 같이 직사각형에서 세로를 각각 이등분하는 점 [eqn: 2]개를 연결하는 선분을 그린 그림을[그림 [eqn: 1]]이라 하자. [그림 [eqn: 1]]을 [eqn: {1} over {2}]만큼 축소시킨 도형을[그림 [eqn: 1]]의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 하나의 꼭짓점으로 하여 오른쪽에 이어 붙인 그림을[그림 [eqn: 2]]라 하자.

이와 같이 [eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: k]에 대하여[그림 [eqn: 1]]을 [eqn: {1} over {2 ^{k-1}}]만큼 축소시킨 도형을[그림 [eqn: k-1]]의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 하나의 꼭짓점으로 하여 오른쪽에 이어 붙인 그림을[그림 [eqn: k]]라 하자.

자연수 [eqn: n]에 대하여[그림 [eqn: n]]에서 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 [eqn: rmA _{itn}], 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 [eqn: rmB _{itn}]이라 할 때, 점 [eqn: rmA _{itn}]에서 점 [eqn: rmB _{itn}]까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.

[eqn: a _{7}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold255]

		2013학년도 수능 가형, 나형 27

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rmP _{itn}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

㈎ 세 점 [eqn: rmP _{1}], [eqn: RMP _{2}], [eqn: RMP _{3}]의 좌표는 각각 [eqn: (-1,~0)], [eqn: (1,~0)],

[eqn: (-1,~2)]이다.

㈏ 선분 [eqn: RMP _{ITn} P _{ITn+1}]의 중점과 선분 [eqn: RMP _{ITn+1} P _{ITn+3}]의 중점은 같다.

예를 들어 점 [eqn: RMP _{4}]의 좌표는 [eqn: (1,~-2)]이다. 점 [eqn: RMP _{25}]의 좌표가 [eqn: (a,~b)]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold23]

		2015학년도 10월 교육청 A형 16, B형 15

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =0]이고,

[eqn: (n+1)(n+2)a _{n+2} -n ^{2} a _{n} =0~(n{ge}1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: n=2m-1] ([eqn: m]은 자연수)일 때

주어진 식을 정리하면

[eqn: {a _{n+2}} over {a _{n}} = {n ^{2}} over {(n+1)(n+2)}]

이므로

[eqn: {a _{3}} over {a _{1}} = {1 ^{2}} over {2times3}]

[eqn: {a _{5}} over {a _{3}} = {3 ^{2}} over {4times5}]

⋮

[eqn: {a _{2m+1}} over {a _{2m-1}} =box{~~㈎~~}]

이다. 좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면

[eqn: a _{2m+1} = {1times3times5times{cdots}times(2m-1)} over {2times4times6times{cdots}times{2m}} times{box{~~㈏~~}}]

이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때,

[eqn: f(5)times{g(4)]의 값은? [4점]

① [eqn: {7} over {110}]	② [eqn: {4} over {55}]	③ [eqn: {9} over {110}]

④ [eqn: {1} over {11}]	⑤ [eqn: {1} over {10}]

정답 ③

	수능패턴 19	2017학년도 3월 가형 16(고2)

자연수 [eqn: N]을 음이 아닌 정수 [eqn: m]과 홀수 [eqn: p]에 대하여

[eqn: N = 2^m times p]

로 나타낼 때, [eqn: f(N)=m]이라 하자.

예를 들어, [eqn: 40 = 2^3 times 5]이므로 [eqn: f(40) = 3]이다.

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f(3^2n-1 +1) = 2] ⋯⋯ (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(i) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: 3^1 +1 = 2^2 times 1]이므로 [eqn: f(3^1 +1 ) =2]이다.

따라서 [eqn: n=1]일 때, (*)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: f(3^2k-1 +1 ) =2]

음이 아닌 정수 [eqn: m]과 홀수 [eqn: p]에 대하여

[eqn: 3^ 2k-1 +1= 2^m timesp]

로 나타낼 수 있으므로

[eqn: 3^2k-1 +1 = box{~~(가)~~} times p]

이다.

[eqn: 3^2(k+1)-1 +1 = 9times3^2k-1 +1]

[eqn: 3^2(k+1)-1 +1][eqn: =2^2 times (`box{~~(나)~~}`)]

이고, [eqn: p]는 홀수이므로 [eqn: box{~~(나)~~]도 홀수이다.

따라서 [eqn: f(3^2(k+1)-1 +1) =2]이다.

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f(3^2n-1 +1) = 2]이다.

위의 ㈎에 알맞은 수를 [eqn: a], ㈏에 알맞은 식을 [eqn: g(p)]라 할 때, [eqn: a+g(7)]의 값은? [4점]

① [eqn: 65]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 69]

④ [eqn: 71]	⑤ [eqn: 73]

정답 ①

		2016학년도 3월 나형 16 (고2)

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a _{n} right]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {a _{n} ^{2} +1} over {2a _{n}}]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: left{a _{n} right]이

[eqn: a _{n} = sqrt {n} - sqrt {n-1}]	⋯⋯ (★)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(i) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: a _{1} = {a _{1} ^{2} +1} over {2a _{1}}]에서 [eqn: a _{1} >0]이므로 [eqn: (좌변)=a _{1} =1],

[eqn: (우변)=1-0=1]이다.

따라서 [eqn: n=1]일 때, (★)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=m]일 때, (★)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{m} = sqrt {m} - sqrt {m-1}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} = sum _{k=1} ^{m} a _{k} +a _{m+1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} ( sqrt {k} - sqrt {k-1} )+a _{m+1}]

[eqn: =box{~~㈎~~}+a _{m+1}]

이다. 이때

[eqn: {a _{m+1} ^{2}} +1} over {2a _{m+1}} = BOX{~~㈎~~} +a _{m+1}]

즉,

[eqn: a_m+1 ^2 + 2 root m times a_m+1 -1=0]

이고, [eqn: a_m+1 >0]이므로

[eqn: a _{m+1} = BOX{~~㈏~~} `- sqrt {m}]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (★)이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} = sqrt {n} - sqrt {n-1}]

위의 ㈎와 ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: f(25)+g(35)]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

정답 ④

		2015학년도 9월 가형, 나형 18(고2)

다음은 수열 [eqn: left{a _{n} right]의 일반항 [eqn: a _{n}]이 [eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {k}]일 때, [eqn: n{ge}2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

[eqn: n+a _{1} +a _{2} +a _{3} +cdots+a _{n-1} =na _{n}]	⋯⋯(★)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) [eqn: n=2]일 때

(좌변)[eqn: =1+a _{1} =3], (우변)[eqn: =2a _{2} =2(1+box{~~㈎~~}`)=3]

이므로 (★)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=m] ([eqn: m{ge}2])일 때 (★)이 성립한다고 가정하면

[eqn: m+a _{1} +a _{2} +a _{3} +cdots+a _{m-1} =ma _{m}]이므로

[eqn: (m+1)+a _{1} +a _{2} +a _{3} +cdots+a _{m-1} +a _{m}]

[eqn: =ma _{m} +box{~~㈏~~}]

[eqn: =(m+1)(a _{m+1} -box{~~㈐~~}`)+1]

[eqn: =(m+1)a _{m+1}]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (★)이 성립한다.

그러므로 (i), (ii)에 의하여 [eqn: n{ge}2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n+a _{1} +a _{2} +a _{3} +cdots+a _{n-1} =na _{n}]이 성립한다.

위의 증명에서 ㈎에 알맞은 수를 [eqn: p], ㈏, ㈐에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: {p{times}f(3)} over {g(11)}]의 값은? [4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

정답 ③

		2015학년도 3월 가형, 나형 17(고2)

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: a _{1} =1]이고

[eqn: {a _{n+1}} over {n+2} = {a _{n}} over {n} + {1} over {2} ~(n{ge}1)]	⋯⋯㉠

을 만족시킨다. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} =(1+2+3+cdots+n)left(1+ {1} over {2} + {1} over {3} +cdots+ {1} over {n} right)]	⋯⋯㉡

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: =a _{1} =1], (우변)[eqn: =1times1=1]

따라서 ㉡이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k]일 때 ㉡이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k} =(1+2+3+cdots+k)left(1+ {1} over {2} + {1} over {3} +cdots+ {1} over {k} right)]

이다. ㉠에서

[eqn: a _{k+1} =box{~~㈎~~}a _{k} + {k+2} over {2}]

[eqn: =box{~~㈎~~}(1+2+3+cdots+k)]

[eqn: left(1+ {1} over {2} + {1} over {3} +cdots+ {1} over {k} right)+ {k+2} over {2}]

[eqn: =box{~~㈏~~}left(1+ {1} over {2} + {1} over {3} +cdots+ {1} over {k} right)+ {k+2} over {2}]

[eqn: =left{1+2+3+cdots+(k+1)right}]

[eqn: left(1+ {1} over {2} + {1} over {3} +cdots+ {1} over {k+1} right)]

이다.

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉡이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉡이 성립한다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때,

[eqn: f(10)times{g(9)]의 값은? [4점]

① [eqn: 66]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 70]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 74]

정답 ①

		2014학년도 9월 평가원 A형 12

수열 [eqn: left{a _{n} right]은 [eqn: a _{1} =3]이고

[eqn: na _{n+1} -2na _{n} + {n+2} over {n+1} =0~(n{ge}1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]이

[eqn: a _{n} =2 ^{n} + {1} over {n}]	⋯⋯(＊)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(i) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =a _{1} =3], (우변)[eqn: =2 ^{1} + {1} over {1} =3]

이므로 (＊)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k]일 때 (＊)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k} =2 ^{k} + {1} over {k}]이므로

[eqn: ka _{k+1} =2ka _{k} - {k+2} over {k+1}]

[eqn: =box{~~㈎~~}- {k+2} over {k+1} =k2 ^{k+1} +box{~~㈏~~}]

이다. 따라서 [eqn: a _{k+1} =2 ^{k+1} + {1} over {k+1}]이므로

[eqn: n=k+1]일 때도 (＊)이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} =2 ^{n} + {1} over {n}]이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때,

[eqn: f(3)times{g(4)]의 값은? [3점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

정답 ⑤

		2015학년도 6월 가형 16(고2)

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k ^{2} RIGHT . right)=5 sum _{k=1} ^{n} k ^{4} + sum _{k=1} ^{n} k ^{2}]	⋯⋯(＊)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 일부이다.

⑴ [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =6times1times1 ^{2} =6]이고,

(우변)[eqn: =5times1 ^{4} +1 ^{2} =6]이므로 (＊)이 성립한다.

⑵ [eqn: n=m]일 때, (＊)이 성립한다고 가정하면

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT . right)=5 sum _{k=1} ^{m} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m} k ^{2}]이다.

[eqn: n=m+1]일 때, (＊)이 성립함을 보이자.

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2} right) RIGHT .]

[eqn: =6left{ sum _{k=1} ^{m} k+(box{~~㈎~~}`)right}left{ sum _{k=1} ^{m} k ^{2} +(m+1) ^{2} right}]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT . right)]

[eqn: +( BOX{~~㈎~~} ) TIMES LEFT { 6 sum _{k=1} ^{m} k ^{2} +6(m+1) sum _{k=1} ^{m} k+6(m+1) ^{2} right} RIGHT .]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} right)+(m+1) ^{2} times{(box{~~㈏~~}`) RIGHT .]

⋮

⑵ 그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (＊)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (＊)이 성립한다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: {g(10)} over {f(5)}]의 값은? [4점]

① [eqn: 101]	② [eqn: 103]	③ [eqn: 105]

④ [eqn: 107]	⑤ [eqn: 109]

정답 ①

		2013학년도 9월 B형 16(고2)

다음은 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k ^{3}} < {1} over {2} left(3- {1} over {n ^{2}} right)]	…… (⋆)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) [eqn: n=2]일 때,

[eqn: (좌변)=box{~~㈎~~}]이고 [eqn: (우변)= {11} over {8}]이므로 (⋆)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=m][eqn: (m ge 2 )]일 때, (⋆)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{3}} < {1} over {2} left(3- {1} over {m ^{2}} right)]이다.

[eqn: n=m+1]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {1} over {k ^{3}} = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{3}} +box{~~㈏~~}< {1} over {2} left(3- {1} over {m ^{2}} right)+box{~~㈏~~}]

한편,

[eqn: {1} over {2} left{3- {1} over {(m+1) ^{2}} right}-left{ {1} over {2} left(3- {1} over {m ^{2}} right)+box{~~㈏~~}right}]

[eqn: = {box{~~㈐~~}} over {2m ^{2} (m+1) ^{3}} >0]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {1} over {k ^{3}} < {1} over {2} left{3- {1} over {(m+1) ^{2}} right}]

이 성립한다.

따라서 [eqn: n=m+1]일 때에도 (⋆)이 성립한다.

그러므로 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (⋆)이 성립한다.

위의 ㈎에 알맞은 수를 [eqn: a], ㈏, ㈐에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: {g(a)} over {f(1)}]의 값은? [4점]

① [eqn: 35]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 39]

정답 ①

		2012학년도 10월 교육청 가형, 나형 12

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k-1} (n+1-k) ^{2} = sum _{k=1} ^{n} k]	⋯⋯㉠

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

⑴ [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =1], (우변)[eqn: =1]이므로 ㉠이 성립한다.

⑵ [eqn: n=m]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} (-1) ^{k-1} (m+1-k) ^{2} = sum _{k=1} ^{m} k]

이다. [eqn: n=m+1]일 때 ㉠이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} (-1) ^{k-1} (m+2-k) ^{2}]

[eqn: =(-1) ^{0} (m+1) ^{2} +(-1) ^{1} m ^{2} +cdots+(-1) ^{m} cdot1 ^{2}]

[eqn: =(m+1) ^{2} +box{~~㈎~~}cdot sum _{k=1} ^{m} (-1) ^{k-1} (m+1-k) ^{2}]

[eqn: =(m+1) ^{2} +box{~~㈏~~}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} k]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 ㉠이 성립한다.

따라서 ⑴, ⑵에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 증명에서 ㈎에 알맞은 수를 [eqn: a]라 하고, ㈏에 알맞은 식을 [eqn: f(m)]이라 할 때, [eqn: a+f(9)]의 값은? [4점]

① [eqn: -46]	② [eqn: -44]	③ [eqn: -42]

④ [eqn: -40]	⑤ [eqn: -38]

정답 ①