DAY 18. 정적분의 정의와 성질의 응용

18

정적분의 정의와 성질의 응용

	2017학년도 7월 교육청 가형 27

함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x) = e^x + int_0 ^1 t f(t)dt]

를 만족시킬 때, [eqn: f(ln`10)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold 12]

	2018학년도 6월 평가원 가형 12

양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: int_1 ^x f(t)dt = x^2 - a sqrtx] [eqn: (x>0)]

을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 3]

정답 ②

EBS 연계

2013학년도 수능 가형 12

연속함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=e ^{x ^{2}} + int _{0} ^{1} {tf(t)dt}]

를 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)dx}]의 값은? [3점]

① [eqn: e-2]	② [eqn: {e-1} over {2}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: {e+1} over {2}]

정답 ④

	2013학년도 10월 교육청 B형 7

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt=cos``2x+ax ^{2} +a}]

를 만족시킬 때, [eqn: f left( pi over 2 right)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: - {3} over {2} pi]	② [eqn: -pi]	③ [eqn: - {pi} over {2}]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: {pi} over {2}]

정답 ②

	2017학년도 수능 가형 20

함수 [eqn: f(x)=e ^{-x} int _{0} ^{x} {sin`(t ^{2} )dt}]에 대하여 |보기|에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: f( sqrt {pi} )>0]

ㄴ. [eqn: f`'(a)>0]을 만족시키는 [eqn: a]가 열린 구간 [eqn: (0,~ sqrt {pi} )]에 적어도 하나 존재한다.

ㄷ. [eqn: f`'(b)>0]을 만족시키는 [eqn: b]가 열린 구간 [eqn: (0,~ sqrt {pi} )]에 적어도 하나 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2018학년도 사관학교 가형 25

도함수가 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]이다.

㈏ [eqn: f(pi)=0]

㈐ [eqn: int_0 ^pi x^2 f'(x) dx = -8pi]

[eqn: int_-pi ^pi (x+cosx) f(x) dx = k pi]일 때, [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold8]

	2017학년도 6월 평가원 가형 30

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 상수

[eqn: a] ([eqn: 0<a<2pi])와 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f(x)=f(-x)]

㈏ [eqn: int _{x} ^{x+a} {f(t)dt=sin`left(x+ {pi} over {3} right)}]

닫힌 구간 [eqn: left[0,~ {a} over {2} `right]]에서 두 실수 [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[eqn: f(x)=b`cos`(3x)+c`cos`(5x)]일 때 [eqn: abc=- {q} over {p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold83]

	2018학년도 수능 가형 30

실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x) =cases { 1-|x-t|~~~(|x-t| leq 1) # 0 ~~~~~~~~~~(|x-t|>1)]

이라 할 때, 어떤 홀수 [eqn: k]에 대하여 함수

[eqn: g(t) = int_k ^k+8 f(x) cos (pix)dx]

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=alpha]에서 극소이고 [eqn: g(alpha)<0]인 모든 [eqn: alpha]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], …, [eqn: alpha_m] ([eqn: m]은 자연수)라 할 때, [eqn: sum_i=1 ^m alpha_i = 45]이다.

[eqn: k- pi^2 sum_i=1 ^m g(alpha_i )]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold 21]

EBS 연계

2015학년도 수능 B형 9

함수 [eqn: f(x)= {1} over {x}]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} f} left( 1+ 2k over n right) 2 over n]의 값은? [3점]

① [eqn: ln`2]	② [eqn: ln`3]	③ [eqn: 2`ln`2]

④ [eqn: ln`5]	⑤ [eqn: ln`6]

정답 ②

	2015학년도 사관학교 B형 13

모든 실수에서 연속이고 역함수가 존재하는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 제[eqn: 1]사분면에 있는 두 점 [eqn: (2,~a)], [eqn: (4,~a+8)]을 지난다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,

[eqn: lim _{n->inf} {` {2} over {n} sum _{k=1} ^{n} f{left(2+ {2k} over {n} right)+ lim _{n->inf} {` {8} over {n} sum _{k=1} ^{n} g{left(a+ {8k} over {n} right)=50}}]

을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

정답 ③

	2016학년도 7월 교육청 가형 14

함수 [eqn: f(x)= {1} over {x ^{2} +x}]의 그래프가 다음과 같다.

[eqn: lim _{n -> INF } {` {2} over {n} sum _{k=1} ^{n} f} left( 1+ 2k over n right)]의 값은? [4점]

① [eqn: ln` {9} over {8}]	② [eqn: ln` {5} over {4}]	③ [eqn: ln` {11} over {8}]

④ [eqn: ln` {3} over {2}]	⑤ [eqn: ln` {13} over {8}]

정답 ④

	2014학년도 6월 평가원 B형 18

함수 [eqn: f(x)=e ^{x}]이 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌　구간 [eqn: [1,~2]]를 [eqn: n]등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례로

[eqn: 1=x _{0}], [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: cdots], [eqn: x _{n-1}], [eqn: x _{n} =2]

라 하자. 세 점 [eqn: (0,~0)], [eqn: (x _{k} ,~0)], [eqn: (x _{k} ,~f(x _{k} ))]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: A _{k}] [eqn: (k=1,~2,~cdots,~n)]라 할 때,

[eqn: lim _{n->inf} {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} A _{k}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {2} e ^{2} -e]	② [eqn: {1} over {2} (e ^{2} -e)]	③ [eqn: {1} over {2} e ^{2}]

④ [eqn: e ^{2} -e]	⑤ [eqn: e ^{2} - {1} over {2} e]

정답 ③

	2011학년도 7월 교육청 가형 20

[eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {4n ^{2} -(n+k) ^{2}}}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {pi} over {12}]	② [eqn: {pi} over {6}]	③ [eqn: {pi} over {4}]

④ [eqn: {pi} over {3}]	⑤ [eqn: {pi} over {2}]

정답 ④

	2016학년도 사관학교 B형 14

[eqn: x ge 0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = 4 over { 1+x^2 }]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} g{left(1+ {3k} over {n} right)}]의 값은? [4점]

① [eqn: {pi- sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {pi+ sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {4pi-3 sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: {4pi+3 sqrt {3}} over {9}]	⑤ [eqn: {2pi- sqrt {3}} over {3}]

정답 ③