DAY 13. 도함수의 활용 ⑵

13

도함수의 활용⑵

	2011학년도 10월 교육청 나형 9

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

[eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} +2], [eqn: g(x)=sin``x]

가 있다. 이때, 합성함수 [eqn: (f circ g ) (x)]의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

정답 ②

	2018학년도 9월 평가원 가형 7

[eqn: 0 <a<1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = a^x]은 닫힌 구간 [eqn: [-2,~1]]에서 최솟값 [eqn: 5 over 6], 최댓값 [eqn: M]을 갖는다. [eqn: a times M]의 값은?

[3점]

① [eqn: 2 over 5]	② [eqn: 3 over 5]	③ [eqn: 4 over 5]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 6 over 5]

정답 ⑤

	2016학년도 4월 교육청 가형 14

다음은 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2x-1 ge k e ^x^2]을 성립시키는 실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하는 과정이다.

[eqn: f(x)=(2x-1)e^-x^2]이라 하자.

[eqn: f` prime (x)=(` BOX{~~㈎~~} `) TIMES e ^{-x ^{2}}]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=- {1} over {2}] 또는 [eqn: x=1]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 조사하면

함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: box{~~㈏~~}]이다.

또한 [eqn: lim _{x->inf} {`f(x)=0}], [eqn: lim _{x->-inf} {`f(x)=0}]이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형을 그리면

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: box{~~㈏~~}]이다.

따라서 [eqn: 2x-1 ge k e ^x^2]을 성립시키는 실수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: box{~~㈏~~}]이다.

위의 ㈎에 알맞은 식을 [eqn: g(x)], ㈏에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: g(2){times}p]의 값은? [4점]

① [eqn: {10} over {e}]	② [eqn: {15} over {e}]	③ [eqn: {20} over {root {4} of {e}}]

④ [eqn: {25} over {root {4} of {e}}]	⑤ [eqn: {30} over {root {4} of {e}}]

정답 ③

	2018학년도 9월 평가원 가형 30

함수 [eqn: f(x) = ln (e^x +1) + 2 e^x]에 대하여 이차함수 [eqn: g(x)]와 실수 [eqn: k]는 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: h(x) = |g(x) - f(x-k)|]는 [eqn: x=k]에서 최솟값 [eqn: g(k)]를 갖고, 닫힌 구간 [eqn: [k-1,~k+1]]에서 최댓값 [eqn: 2e + ln left( {1+e} over sqrt2 right)]를 갖는다.

[eqn: g' left (k - 1over 2 right)]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 5 over 2 < e<3]이다.[eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [4점]

정답 [eqn: bold 6]

	2014학년도 4월 교육청 B형 21

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 [eqn: rmA(1,~0)], [eqn: rmB(3,~0)], [eqn: rmC(3,~2)], [eqn: rmD(1,~2)]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은?

(단, 정사각형의 모든 변은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 수직이다.) [4점]

① [eqn: {2+ sqrt {3}} over {4}]	② [eqn: {1+ sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {2+ sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {2}} over {4}]

정답 ④

	2010년 이전 교육청 가형

그림과 같은 사각기둥의 물통에서 등변사다리꼴 [eqn: RMABCD]에 대하여, [eqn: RMBAR AB = BAR BC = BAR CD =1], [eqn: RM BAR AE =8]이고, 꼭짓점 [eqn: RMB], [eqn: RMC]에서 선분 [eqn: RMAD]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: RMM], [eqn: RMN]이라 할 때, [eqn: RM ANGLE ABM = ANGLE DCN= theta]이다. 물통의 부피의 최댓값이 [eqn: V]일 때, [eqn: V^2]의 값을 구하시오.

[4점]

정답 [eqn: bold108]

	2010년 이전 평가원 가형

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 부채꼴 [eqn: RMAOB]와 선분 [eqn: RMOA] 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]가 있다. 선분 [eqn: RMOP]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: RMOPQR]가 호 [eqn: RMAB]와 서로 다른 두 점 [eqn: RMS], [eqn: RMT]에서 만날 때, 정사각형 [eqn: RMOPQR]에서 점 [eqn: RMQ]를 중심으로 하고 반지름이 [eqn: RMQS]인 부채꼴 [eqn: RMSQT]를 제외한 어두운 부분의 넓이를 [eqn: D]라 하자. [eqn: RM ANGLE SOT = theta]라 할 때, [eqn: D]가 최대가 되도록 하는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: 10 pi ` tan ``theta]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold20]

	2010년 이전 수능 자연

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: ln``x-x+20-n=0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold18]

	2017학년도 4월 교육청 가형 30

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 다항함수 [eqn: f(x)]와 함수

[eqn: g(x) = x- f(x) over f'(x)]

가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근은 [eqn: 0]과 [eqn: 2]뿐이고 허근은 존재하지 않는다.

㈏ [eqn: lim_x->2 {(x-2)^2} over f(x)]이 존재한다.

㈐ 함수 [eqn: left| g(x) over x right|]는 [eqn: x= 5over 4]에서 연속이고 미분가능하지 않다.

함수 [eqn: g(x)]의 극솟값을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: 227k]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold 50]

	2016학년도 6월 평가원 B형 21

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f(x)= e^{x+1 } left{ x^2 + (x-2)x-n+3 right}+ax]

가 역함수를 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: g(n)]이라 하자.

[eqn: 1 le g(n) le 8]을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 43]	② [eqn: 46]	③ [eqn: 49]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 55]

정답 ④

	2012학년도 9월 평가원 가형 21

삼차함수 [eqn: y=f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 방정식 [eqn: f(x)-x=0]이 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]를 갖는다.

㈏ [eqn: x=3]일 때 극값 [eqn: 7]을 갖는다.

㈐ [eqn: f(f(3))=5]

[eqn: f(f(x))]를 [eqn: f(x)-x]로 나눈 몫을 [eqn: g(x)], 나머지를 [eqn: h(x)]라 할 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]는 방정식 [eqn: f(f(x))-x=0]의 근이다.

ㄴ. [eqn: h(x)=x]

ㄷ. [eqn: g`'(3)=1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③