DAY 11. 여러 가지 미분법

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여러 가지 미분법

	2014학년도 3월 교육청 B형 22

함수 [eqn: f(x)=8x- {4} over {x}]에 대하여 [eqn: f`'(1)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold12]

EBS 연계

2018학년도 수능 가형 9

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x) = f(x) over e^x-2]

라 하자. [eqn: lim_x->2 {f(x)-3} over x-2 =5]일 때, [eqn: g'(2)]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ②

	2018학년도 6월 평가원 가형 9

함수 [eqn: f(x) = 1over x+3]에 대하여 [eqn: lim_h->0 {f'(a+h) - f'(a)} over h =2]를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

정답 ①

EBS 연계

2014학년도 수능 B형 22

함수 [eqn: f(x)=5e ^{3x-3}]에 대하여 [eqn: f`'(1)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold15]

EBS 연계

2018학년도 수능 가형 23

함수 [eqn: f(x) = ln (x^2 +1)]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값을 구하시오. [3점]

답 [eqn: bold 1]

	2018학년도 6월 평가원 가형 23

함수 [eqn: f(x) = sqrt{x^3 +1}]에 대하여 [eqn: f'(2)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold 2]

	2017학년도 7월 교육청 가형 25

두 함수 [eqn: f(x) = kx^2 - 2x], [eqn: g(x) = e^3x +1]이 있다. 함수

[eqn: h(x) = (f circ g)(x)]에 대하여 [eqn: h'(0)=42]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold 4]

	2014학년도 6월 평가원 B형 8

점 [eqn: rmA(1,~0)]을 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y=2 root x]와 만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC], 직선 [eqn: l]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자.

점 [eqn: rm B(itt,~2root t )]에 대하여 삼각형 [eqn: rmBAC]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 할 때,  [eqn: f`'(9)]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

정답 ⑤

	2017학년도 9월 평가원 가형 9

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(2x+1)=(x ^{2} +1) ^{2}]

을 만족시킬 때, [eqn: f`'(3)]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

	2013학년도 9월 평가원 가형 22

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x ^{3} )=2x ^{3} -x ^{2} +32x]

를 만족시킬 때, [eqn: f`'(1)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold12]

	2013학년도 7월 교육청 B형 12

함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(cos``x)=sin``2x+tan``x] [eqn: left(0<x< {pi} over {2} right)]

를 만족시킬 때, [eqn: f`'left( {1} over {2} right)]의 값은? [4점]

① [eqn: -2 sqrt {3}]	② [eqn: - sqrt {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: sqrt {3}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

정답 ①

	2012학년도 9월 평가원 가형 22

함수 [eqn: f(x)=ln`(2x-1)]에 대하여 [eqn: f`'(10)= {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

정답 [eqn: bold21]

	2017학년도 6월 평가원 가형 15

두 함수 [eqn: f(x)=sin ^{2} `x], [eqn: g(x)=e ^{x}]에 대하여

[eqn: lim _{x-> {pi} over {4}} {` {g(f(x))- sqrt {e}} over {x- {pi} over {4}}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {1} over {sqrt {e}}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {e}]	⑤ [eqn: e]

정답 ④

	2016학년도 수능 B형 21

[eqn: 0<t<41]인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{3} +2x ^{2} -15x+5]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 세 점 중에서 [eqn: x]좌표가 가장 큰 점의 좌표를 [eqn: (f(t),~t)], [eqn: x]좌표가 가장 작은 점의 좌표를 [eqn: (g(t),~t)]라 하자. [eqn: h(t)=t times left{f(t)- g(t) right]라 할 때, [eqn: h`'(5)]의 값은? [4점]

① [eqn: {79} over {12}]	② [eqn: {85} over {12}]	③ [eqn: {91} over {12}]

④ [eqn: {97} over {12}]	⑤ [eqn: {103} over {12}]

정답 ④

	2015학년도 6월 평가원 B형 26

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=f(x)`ln`x ^{4}]

이라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (e,~-e)]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (e,~-4e)]에서의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: 100f`'(e)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold50]

	2015학년도 6월 평가원 B형 21

양의 실수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면에서 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립부등식

[eqn: {cases{eqalign{`x ^{2} +(y-1) ^{2} LEQ 1# # `y le tx }}}]

가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하자. 다음은 [eqn: f`'(2)]의 값을 구하는 과정이다.

원 [eqn: C``:`x ^{2} +(y-1) ^{2} =1]의 중심을 [eqn: rmA], 원 [eqn: C]와

직선 [eqn: l`:`y=tx]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmO], [eqn: rmB]라 하자. 직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를

[eqn: theta``left(0<theta< {pi} over {2} right)]라 하면

[eqn: rmangleOAB=2theta]이다. 주어진 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 하면

[eqn: g(theta)=theta-box{~~㈎~~}]

이다. [eqn: t=tan``theta]이므로 [eqn: g(theta)=f(t)=f(tan``theta)]이고, 합성함수의 미분법에 의하여

[eqn: g` prime ( theta )=f` prime (t) TIMES box{~~㈏~~}]

이다. [eqn: t=2]일 때, [eqn: tan``theta=2]이므로 [eqn: f`'(2)=box{~~㈐~~}]이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: h_1 (theta)], [eqn: h_2 (theta)]라 하고 ㈐에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: a times h_1 left( pi over 4 right ) times h_2 left( pi over 4 right)]의 값은? [4점]

① [eqn: {8} over {25}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {12} over {25}]

④ [eqn: {14} over {25}]	⑤ [eqn: {16} over {25}]

정답 ①

	2014학년도 예비평가 B형 20

열린 구간 [eqn: (0,~5)]에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가 그림과 같다. 합성함수 [eqn: h(x)=( f circ g )(x)]에 대하여 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: h(3)=4]

ㄴ. [eqn: h`'(2) ge 0]

ㄷ. 함수 [eqn: h(x)]는 구간 [eqn: (3,~4)]에서 감소한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

EBS 연계

2018학년도 수능 가형 11

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 있다. [eqn: f(x)]가 [eqn: g(x)]의 역함수이고 [eqn: f(1)=2], [eqn: f'(1)=3]이다. 함수 [eqn: h(x)=xg(x)]라 할 때, [eqn: h'(2)]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 5 over 3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 7 over 3]

정답 ③

	2018학년도 9월 평가원 가형 11

함수 [eqn: f(x) = x^3 + 5x+3]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g'(3)]의 값은?

[3점]

① [eqn: 1 over 7]	② [eqn: 1 over 6]	③ [eqn: 1 over5]

④ [eqn: 1 over 4]	⑤ [eqn: 1 over 3]

정답 ③

	2017학년도 수능 가형 6

함수 [eqn: f(x)= x^3 + x +1]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g`'(1)]의 값은?

[3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: 1]

정답 ⑤

	2015학년도 7월 교육청 B형 24

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +2x+1]에 대하여 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: 24g`'(1)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold12]

	2016학년도 4월 교육청 가형 9

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _{x->1} {` {f(x)-2} over {x-1} = {1} over {3}}]을 만족시킨다. [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(2)+g`'(2)]의 값은? [3점]

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

정답 ⑤

	2017학년도 7월 교육청 가형 16

함수 [eqn: f(x) = tan^3 x] [eqn: left( - pi over 2 < x < pi over 2 right)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (1,~g(1))]에서의 접선의 기울기는? [4점]

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 6]

정답 ①

	2017학년도 9월 평가원 가형 26

함수 [eqn: f(x)=2x+sin`x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (4pi,~2pi)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold4]

	2014학년도 9월 평가원 B형 27

함수 [eqn: f(x)=ln`(tan``x)] [eqn: left(0<x< {pi} over {2} right)]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여

[eqn: lim _{h->0} {` {4g(8h)-pi} over {h}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold16]

	2013학년도 6월 평가원 가형 26

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,~1)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 1]이다. 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (1,~a)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b]이다. [eqn: 10(a+b)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold15]

	2016학년도 7월 교육청 가형 17

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]가

[eqn: g left ( 3 f(x)- 2 over { e^x + e ^2x } right) =x]를 만족시킬 때, 다음은 [eqn: g `'left( 1over 2 right)]의 값을 구하는 과정이다.

[eqn: g left ( 3 f(x)- 2 over { e^x + e ^2x } right) =x]에서

[eqn: 3 f (x) - 2 over { e^x + e^ 2x } = g`^-1 (x)]이므로

[eqn: f(x)= {1} over {BOX{~~㈎~~}}]

이다.

[eqn: f(x)]의 도함수를 구하면

[eqn: f`'(x)= {-e ^{x} -2e ^{2x}} over {(`box{~~㈎~~}`) ^{2}}]

이다. [eqn: f(0)= {1} over {2}]이므로 [eqn: g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =0]이다.

그러므로 [eqn: g`'left( {1} over {2} right)=box{~~㈏~~}]

이다.

위의 ㈎에 알맞은 식을 [eqn: h(x)], ㈏에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: p times h ( ln`2)]의 값은? [4점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

정답 ①