DAY 06. 삼각함수의 성질과 덧셈정리

06

삼각함수의 성질과 덧셈정리

	2010년 이전 교육청 인문

다음은 호도법에 대한 설명이다.

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r], 중심이 [eqn: rmO]인 원에서 길이가 [eqn: l]인 호 [eqn: RMAB]에 대한 중심각 [eqn: RMAOB]의 크기를 [eqn: alphaDEG]라 하면, 호 [eqn: rmAB]의 길이는 중심각의 크기 [eqn: alphaDEG]에 비례한다. 따라서 [eqn: {l} over {BOX{~~㈎~~}} = {alphaDEG} over {360DEG}]

여기서 [eqn: l=r]이면 [eqn: alphaDEG=box{~~㈏~~}]

이 경우 중심각의 크기 [eqn: alphaDEG]는 원의 반지름의 길이에 관계없이 항상 일정하다. 이 일정한 각의 크기를 [eqn: 1]라디안이라 하고, 이것을 단위로 하여 각의 크기를 나타내는 방법을 호도법이라 한다.

위에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [3점]

① [eqn: 2 pi r], [eqn: { 180DEG} over {pi }]	② [eqn: 2pi r], [eqn: { pi} over {180DEG }]

③ [eqn: 2pi r], [eqn: 360DEG over pi]	④ [eqn: pi r], [eqn: pi over 180DEG]

⑤ [eqn: pi r], [eqn: 360DEG over pi]

정답 ①

	2010년 이전 (고1)

그림과 같이 부채꼴 모양의 종이로 고깔모자를 만들었더니, 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 8`rmcm]이고, 모선의 길이가 [eqn: 20`rmcm]인 원뿔 모양이 되었다. 이 종이의 넓이는? (단, 종이는 겹치지 않도록 한다.) [3점]

① [eqn: 160pi`rmcm ^{2}]	② [eqn: 170 pi ` rm cm ^{2}]	③ [eqn: 180 pi ` rm cm ^{2}]

④ [eqn: 190 pi ` rm cm ^{2}]	⑤ [eqn: 200 pi ` rm cm ^{2}]

정답 ①

	2010년 이전 나형 (고2)

중심각이 [eqn: theta]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 부채꼴 [eqn: rmPAB]의 중심 [eqn: rmP]가 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rmO] 위에 있다. 그림과 같이 부채꼴 [eqn: rmPAB]가 원 [eqn: RMO]에 접하며 한 바퀴 돌아서 중심 [eqn: RMP]가 제자리에 왔다. 이때 중심각 [eqn: theta]의 값은? [4점]

① [eqn: pi - 5over 2]	② [eqn: pi-2]	③ [eqn: pi- 3over 2]

④ [eqn: pi-1]	⑤ [eqn: pi - 1over 2]

정답 ②

	2018학년도 6월 평가원 가형 2

[eqn: sin` {7pi } over {3}]의 값은? [2점]

① [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

정답 ⑤

	2010년 이전 수능 인문, 자연, 예체능

[eqn: left(2+2`sin` {pi} over {3} right)left(2-tan` {pi} over {3} right)]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

정답 ①

	2010년 이전 수능 인문

직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭인 두 직선 [eqn: y=ax], [eqn: y=bx]가 이루는 각이 [eqn: 30DEG]일 때, [eqn: 3(a ^{2} +b ^{2} )]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold10]

	2010년 이전 수능

[eqn: sin`theta+cos`theta= {1} over {3}]일 때, [eqn: {1} over {cos`theta} left(tan`theta+ {1} over {tan ^{2} `theta} right)]의 값은? [3점]

① [eqn: {45} over {16}]	② [eqn: {43} over {16}]	③ [eqn: {41} over {16}]

④ [eqn: {39} over {16}]	⑤ [eqn: {37} over {16}]

정답 ④

	2010년 이전 수능 인문, 자연, 예체능

[eqn: sin`x+cos`x= sqrt {2}]일 때 [eqn: sin`x`cos`x]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: - sqrt {2}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

정답 ④

	2010년 이전 수능 인문, 자연

[eqn: cos`theta=- {1} over {3}]일 때 [eqn: sin`theta`tan`theta]의 값은? [2점]

① [eqn: - {10} over {3}]	② [eqn: - {8} over {3}]	③ [eqn: - {5} over {3}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {8} over {3}]

정답 ②

	2010년 이전 수능 예체능

[eqn: sin`theta+cos`theta= {sqrt {2}} over {2}]일 때 [eqn: {sin ^{2} `theta} over {cos ^{2} `theta} + {cos ^{2} `theta} over {sin ^{2} `theta}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold14]

	2010년 이전 수능 인문, 자연

[eqn: 4`cos ^{2} ``x+4`sin``x=5]일 때 [eqn: sin``x]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {sqrt {2}}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: - {1} over {2}]	⑤ [eqn: - {1} over {sqrt {2}}]

정답 ②

	2012학년도 3월 24 (고2)

[eqn: sin``theta+cos``theta=sin``theta`cos``theta]일 때, [eqn: sin``theta`cos``theta]의 값은

[eqn: a+b sqrt {2}]이다. [eqn: 10a-b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.) [3점]

정답 [eqn: bold11]

	2014학년도 3월 A형 9 (고2)

그림은 함수 [eqn: y=cos`a(x+b)+1]의 그래프이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: 0<b<pi]이고, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: {2} over {3} pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {4} over {3} pi]

④ [eqn: {5} over {3} pi]	⑤ [eqn: 2pi]

정답 ①

	2013학년도 3월 B형 23 (고2)

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 삼각함수 [eqn: y=a`sin`bx]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold6]

	2010년 이전 (고2)

그림은 함수 [eqn: f(x)=a`sin`b left( x + pi over 4 right)]의 그래프이다.

[eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

정답 [eqn: bold13]

	2018학년도 사관학교 가형 6

함수 [eqn: f(x)= a sin bx+c] ([eqn: a>0], [eqn: b>0])의 최댓값은 [eqn: 4], 최솟값은 [eqn: -2]이다. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+p)=f(x)]를 만족시키는 양수 [eqn: p]의 최솟값이 [eqn: pi]일 때, [eqn: abc]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

정답 ①

	2014학년도 수능 B형 18

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=n]과 함수 [eqn: y=tan``x]의 그래프가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {pi} over {4}]	② [eqn: {pi} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

정답 ④

	2010년 이전 수능 인문

그림과 같이 직사각형 [eqn: RMABCD]가 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접해 있다. [eqn: x]축과 선분 [eqn: rmOA]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos`(pi-theta)]와 같은 것은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )][3점]

① [eqn: RMA]의 [eqn: x]좌표	② [eqn: RMB]의 [eqn: y]좌표

③ [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표	④ [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표

⑤ [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표

정답 ③

	2010년 이전 수능 예체능

임의의 각 [eqn: theta]에 대하여 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: sin` LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT ) = cos `(pi + theta)]

ㄴ. [eqn: cos ` left(pi over 2 + theta right)= sin ` (pi+ theta)]

ㄷ. [eqn: tan ` left( pi over 2 + theta right) = cot ` (pi + theta )]

①ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

정답 ②

	2010년 이전 (고2)

직선 [eqn: x-3y+3=0]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos`(pi+ theta) + sin ` left( pi over 2 - theta right) + tan ` (-theta )]의 값은? [3점]

① [eqn: -3]	② [eqn: - 1over 3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over 3]	⑤ [eqn: 3]

정답 ②

	2010년 이전 (고2)

직선 [eqn: y= - 4over 3 x] 위의 점 [eqn: rmP(ita,~b)] ([eqn: a<0])에 대하여 선분 [eqn: rmOP]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때

[eqn: sin` ( pi - theta ) + cos ` ( pi + theta )]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 7over 5]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: - 1over 5]	⑤ [eqn: - 7over 5]

정답 ①

	2010년 이전 (고2)

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: RMO] 위에 두 점 [eqn: RMA], [eqn: RMB]가 있다. 점 [eqn: RMA]에서의 접선이 [eqn: RMBAROB]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: RMP], 점 [eqn: RMB]에서 [eqn: RMBAROA]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMQ]라 하고 [eqn: RMANGLE AOB =theta]라 한다. [eqn: RM BAR OQ =2 RMBAR AP CDOT BAR BQ]가 성립할 때 [eqn: csc ` theta cdot sec ` theta cdot cot ` theta]의 값은?

[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0< theta < pi over 2][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )][3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ③

	2012학년도 3월 교육청 가형 6

다음 중 [eqn: tan``10DEG+ {1} over {tan``20DEG}]의 값과 같은 것은? [3점]

① [eqn: sin``10DEG]	② [eqn: cos``20DEG]	③ [eqn: {1} over {sin``20DEG}]

④ [eqn: {1} over {cos``10 DEG }]	⑤ [eqn: {1} over {tan``20DEG}]

정답 ③

	2017학년도 6월 평가원 가형 7

[eqn: tan`left(alpha+ {pi} over {4} right)=2]일 때, [eqn: tan`alpha]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

정답 ①

	2016학년도 7월 교육청 가형 6

[eqn: sin`theta-cos`theta= {sqrt {3}} over {2}]일 때, [eqn: tan`theta+cot`theta]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ③

	2017학년도 9월 평가원 가형 5

[eqn: cos`(alpha+beta)= {5} over {7}], [eqn: cos` alpha ``cos` beta = {4} over {7}]일 때, [eqn: sin` alpha ``sin` beta]의 값은? [3점]

① [eqn: - {1} over {7}]	② [eqn: - {2} over {7}]	③ [eqn: - {3} over {7}]

④ [eqn: - {4} over {7}]	⑤ [eqn: - {5} over {7}]

정답 ①

	2017학년도 사관학교 가형 22

[eqn: sin ^{2} `theta= {4} over {5}] [eqn: left(0<theta< {pi} over {2} right)]일 때, [eqn: cos`left(theta+ {pi} over {4} right)=p]이다. [eqn: {1} over {p ^{2}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold10]

	2015학년도 6월 평가원 B형 3

[eqn: sin``theta= {2} over {3}]일 때, [eqn: cos``2theta]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {18}]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {18}]

정답 ②

EBS 연계

2014학년도 수능 B형 2

[eqn: tan``theta= {sqrt {5}} over {5}]일 때, [eqn: cos``2theta]의 값은? [2점]

① [eqn: {sqrt {6}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {3}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {3}]

정답 ③

	2013학년도 9월 평가원 가형 2

[eqn: cos ^{2} ``theta= {1} over {3}]일 때, [eqn: cos``2theta]의 값은? [2점]

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

정답 ②

EBS 연계

2013학년도 수능 가형 2

[eqn: sin``theta= {1} over {3}]일 때, [eqn: sin``2theta]의 값은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0<theta < pi over 2][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [2점]

① [eqn: {7 sqrt {2}} over {18}]	② [eqn: {4 sqrt {2}} over {9}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {5 sqrt {2}} over {9}]	⑤ [eqn: {11 sqrt {2}} over {18}]

정답 ②

	2011학년도 9월 평가원 가형 미분과 적분 26

[eqn: cos``theta= {sqrt {5}} over {3}]일 때, [eqn: sin``theta`cos``2theta]의 값은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0<theta< {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [3점]

① [eqn: {2} over {27}]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {4} over {27}]

④ [eqn: {5} over {27}]	⑤ [eqn: {2} over {9}]

정답 ①

	2010년 이전 수능 가형

[eqn: tan``theta=- sqrt {2}]일 때 [eqn: sin``theta`tan``2theta]의 값은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: {pi} over {2} < theta <pi][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [3점]

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

정답 ③

	2010년 이전 평가원 가형

[eqn: tan`` {theta} over {2} = {2} over {3}]일 때 [eqn: cos``theta]의 값은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {5} over {12}]	③ [eqn: {7} over {12}]

④ [eqn: {3} over {13}]	⑤ [eqn: {5} over {13}]

정답 ⑤

	2011학년도 수능 가형 미분과 적분 26

[eqn: tan`` {theta} over {2} = {sqrt {2}} over {2}]일 때, [eqn: sec``theta]의 값은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0<theta< {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

정답 ①

	2012학년도 6월 평가원 가형 25

[eqn: tan``2alpha= {5} over {12}]일 때, [eqn: tan``alpha=p]이다. [eqn: 60p]의 값을 구하시오.

[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0<alpha< {pi } over {4}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [3점]

정답 [eqn: bold12]