DAY 08. 함수의 연속

08

함수의 연속

	2012학년도 6월 평가원 가형 6

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{` {x ^{2} +ax-10} over {x-2} `````(x != 2)# # ~~~~~~b~~~~~~(x=2)}}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

정답 ①

	2017학년도 6월 평가원 나형 9

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`4x ^{2} -a~~(x<1)# # `x ^{3} +a~~~(x{ge}1)}}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

정답 ①

EBS 연계

2015학년도 수능 A형 23

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`2x+10~~(x<1)# # `x+a~~~~(x`ge1)}}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold11]

	2015학년도 9월 평가원 A형 25

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{` {(3x+2)(x-3)} over {x-3} ~~(x != 3)# # `~~~~~~~a~~~~~~~```(x=3)}}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold11]

	2015학년도 6월 평가원 A형 7

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`2x+5~~``(x != 1)# # ~~~a~~~~(x=1)}}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ②

	2014학년도 9월 평가원 A형 7

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`x+2~~```````(x LEQ 1)# # `-x+a~~(x>1)}}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

정답 ⑤

	2018학년도 6월 평가원 나형 14

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{` {x ^{2} -5x+a} over {x-3} ~~```````(x != 3)# # ```````````````````b~~`````````````````````````````(x=3)}}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은?

(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)[4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

정답 ④

EBS 연계

2017학년도 수능 나형 14

두 함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`x ^{2} -4x+6~~```````(x<2)# # ``````````````````1~~````````````````````````(x GEQ 2)}}}],

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =ax+1]

에 대하여 함수 [eqn: {g LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: - {5} over {4}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {3} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {2}]	⑤ [eqn: - {1} over {4}]

정답 ④

	2014학년도 7월 교육청 A형 18

다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _{x->inf} {` {f(x)} over {x ^{2}} =1}], [eqn: lim _{x->1} {` {f(x)} over {x-1} =k}]

를 만족시키고, 함수 [eqn: g(x)]는

[eqn: g(x)= {cases{eqalign{`x+1~~(x` LEQ 2)# # `2-x~~`(x>2)}}}]

이다. 함수 [eqn: h(x)-f(x)g(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

정답 ②

	2018학년도 9월 평가원 나형 17

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: x<0]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +4]

[eqn: x>0]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x+8]

이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 연속이고

[eqn: lim _{x->0-} {} g LEFT ( x RIGHT ) - lim _{x->0+} {} g LEFT ( x RIGHT ) =6]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

정답 ⑤

	2013학년도 수능 가형 15

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같고, 삼차함수 [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: g(0)=3]이다. 합성함수 [eqn: (g circ f ) (x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g(3)]의 값은? [4점]

① [eqn: 31]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 27]

정답 ⑤

	2014학년도 3월 교육청 B형 16

두 함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`x ^{2} -x+2a~~(x GEQ 1)# # `3x+a~~~~~````(x<1)}}}],  [eqn: g(x)=x ^{2} +ax+3]

에 대하여 합성함수 [eqn: (g circ f ) (x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: {7} over {4}]	② [eqn: {15} over {8}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {17} over {8}]	⑤ [eqn: {9} over {4}]

정답 ⑤

	2013학년도 10월 교육청 B형 25

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다. 함수 [eqn: g(x)= ax^3 + b x ^2 +cx +10] ([eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수)에 대하여 합성함수 [eqn: ( g circ f ) (x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이다.

[eqn: g(1)+ g(2)]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold20]

	2013학년도 3월 교육청 B형 30

그림은 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1], [eqn: x=2], [eqn: x=3]에서만 불연속이다. 이차함수 [eqn: g(x)=x ^{2} -4x+k]에 대하여 함수 [eqn: (f circ g ) (x)]가 [eqn: x=2]에서 불연속이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 합을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold13]

	2010년 이전 수능 가형

닫힌 구간 [eqn: [0,~5]]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= {cases{eqalign{``` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} ~~~``(0 LEQ x LEQ 3)# # `(f CIRC f)(x)~~(3<x LEQ 5)}}}]

라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,~5]]에서 연속이 되도록 하는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프로 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ.

ㄴ.

ㄷ.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ②

	2013학년도 9월 평가원 가형 6

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

합성함수 [eqn: (f circ f ) (x)]가 [eqn: x=a]에서 불연속이 되는 모든 [eqn: a]의 값의 합은? (단, [eqn: 0 le a le 6]이다.) [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

정답 ⑤

	2010년 이전 교육청 가형

그래프는 두 함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`x-2~~(x>1)# # `-x~~~(|`x`| LEQ 1)# # `x+2~~(x< -1 )}}}], [eqn: g(x)= {cases{eqalign{`|`x`|~~``(0<|`x`| LEQ 1)# # `-1~~(x=0)# # ``0~~~``(|`x`|>1)}}}]

를 각각 나타낸 것이다.

합성함수 [eqn: y= ( g circ f ) (x)]의 불연속점의 개수는? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

정답 ②

	2010년 이전 교육청 가형

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`x ^{2} -2x-1~~~(x<1)# # ~~~~1~~~~~~~``(x=1)# # `-x ^{2} +2x+1~`(x>1)}}}]

에 대한 설명 중 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: lim _{x->1} {`|`f(x)`|=2}]

ㄴ. [eqn: lim _{x->2+} {`f(f(x))=-2}]

ㄷ. 함수 [eqn: y=f(f(x))]의 불연속점은 [eqn: 3]개이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2010년 이전 교육청 가형

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음과 같을 때 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: g(f(0))=0]

ㄴ. [eqn: y=g(f(x))]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄷ. [eqn: -1 le x le 3]에서 [eqn: y=g(f(x))]가 불연속인 [eqn: x]의 값은 [eqn: 2]개이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2014학년도 4월 교육청 A형 17

함수

[eqn: f(x)= {1} over {2} lim _{n -> INF } {` {x ^{2n+1} +ax ^{2} +bx-2} over {x ^{2n} +1}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

정답 ⑤

	2014학년도 6월 평가원 A형 10

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`~~~~~~x+a~~~~~~`````(x LEQ 1)# # ` lim _{n -> INF } {` {2x ^{n+1} +3x ^{n}} over {x ^{n} +1} ~~(x>1)}}}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

정답 ②

	2012학년도 4월 교육청 나형 19

함수 [eqn: f(x)= lim _{x->inf} {` {left(x ^{2} + {1} over {2} right) ^{n} -2} over {left(x ^{2} + {1} over {2} right) ^{n} +2}}]에 대하여

[eqn: f LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) + lim _{x -> {sqrt {2}} over {2} -} {`f(x)}]의 값은? [4점]

① [eqn: - {4} over {3}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

정답 ①

	2010학년도 4월 교육청 가형 12

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수

[eqn: f(x)= lim _{n->inf} {` {-a`|`x`|-|`x`| ^{n} +b} over {|`x`| ^{n} +1}}]

가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속일 때, |보기|에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: a-b=1]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -1]이다.

ㄷ. [eqn: a<1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 만나지 않는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ④

	2016학년도 7월 교육청 나형 27

함수 [eqn: f(x)= lim _{n->inf} {` {x ^{2n}} over {1+x ^{2n}}}]과 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: g(x)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g(8)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold63]

	2010년 이전 수능 가형

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -4x+a]와 함수

[eqn: g(x)= lim _{n->inf} {` {2`|`x-b`| ^{`n} +1} over {|`x-b`|` ^{n} +1}}]

에 대하여 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]라 하자. 함수 [eqn: h(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

정답 ③

	2010년 이전 교육청 가형

두 함수

[eqn: f(x)=x ^{5} +x ^{3} -3x ^{2} +k], [eqn: g(x)=x ^{3} -5x ^{2} +3]

에 대하여 구간 [eqn: (1,~2)]에서 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]가 적어도 하나의 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold36]

	2016학년도 4월 교육청 나형 30

함수 [eqn: f(x)=x^2 - 8x +a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= {cases{eqalign{`2x+5a~~```(x GEQ a)# # `f(x+4)~~(x<a)}}}]

라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱을 구하시오. [4점]

㈎ 방정식 [eqn: f(x)=0]은 열린 구간 [eqn: (0,~2)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

㈏ 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=a]에서 연속이다.

정답 [eqn: bold56]

	2010년 이전 평가원 가형

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수

[eqn: g(x)= {cases{eqalign{` {1} over {2} x-1~~(x>0)# # `-x-2~~(x le0)}}}]

의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: lim _{x->0+} {`g(x)=-2}]

ㄴ. 함수 [eqn: g(f(x))]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄷ. 방정식 [eqn: g(f(x))=0]은 닫힌 구간 [eqn: [-3,~3]]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ④