DAY 02. 수열의 극한의 활용

02

수열의 극한의 활용

	2014학년도 7월 교육청 B형 6

수렴하는 수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: lim _{n->inf} {` {4a _{n} +3} over {2-a _{n}} =2}]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {`a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {7}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

정답 ③

	2013학년도 7월 교육청 A형 6

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {n+1} =3}]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {(2n+1)a _{n}} over {3n ^{2}}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ②

	2012학년도 7월 교육청 나형 26

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: lim _{n->inf} {`( sqrt {a _{n} +n}} - sqrt {n} )=5]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {sqrt {n}}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold10]

	2017학년도 4월 교육청 나형 12

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이

[eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {3n} =2}], [eqn: lim _{n->inf} {} {2n+3} over {b _{n}} =6]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {b _{n}}}]의 값은? (단, [eqn: b!=0]) [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

정답 ⑤

	2012학년도 3월 교육청 나형 28

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]은 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: lim _{n->inf} {`a _{n} =inf}]

㈏ [eqn: lim _{n->inf} {`(2a _{n} -5b _{n} )=3}]

[eqn: lim _{n->inf} {` {2a _{n} +3b _{n}} over {a _{n} +b _{n}} = {q} over {p}}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold23]

	2012학년도 9월 평가원 가형, 나형 25

수열 [eqn: left{a _{n} right}]과 [eqn: left{b _{n} right}]이

[eqn: lim _{n->inf} {`(n+1)a _{n} =2}], [eqn: lim _{n->inf} {`(n ^{2} +1)b _{n} =7}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {(10n+1)b _{n}} over {a _{n}}}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a _{n} !=0]) [3점]

정답 [eqn: bold35]

	2010학년도 7월 교육청 나형 24

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]에 대하여

[eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {2n+3} =2}], [eqn: lim _{n->inf} {` {b _{n}} over {3n+1} =3}]

일 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n} b _{n}} over {n ^{2} +4}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold36]

	2010년 이전 평가원 나형

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: lim _{n->inf} {` {5 ^{n} a _{n}} over {3 ^{n} +1}}]이 [eqn: 0]이 아닌 상수일 때

[eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {a _{n+1}}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: {5} over {3}]

④ [eqn: {9} over {5}]	⑤ [eqn: {8} over {3}]

정답 ③

	2014학년도 6월 평가원 A형 24

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식

[eqn: 3n ^{2} +2n<a _{n} <3n ^{2} +3n]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {5a _{n}} over {n ^{2} +2n}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold15]

	2010학년도 4월 교육청 나형 3

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: 3n-1<na _{n} <3n+2]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} {`a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

	2010학년도 4월 교육청 나형 12

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]에 대하여 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: lim _{n->inf} {`|`b _{n} `|=0}]이면 [eqn: lim _{n->inf} {`b _{n} =0}]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{n->inf} {`(3n+1)a _{n} =6}]이면 [eqn: lim _{n->inf} {`n`a _{n} =2}]이다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{a _{n} b _{n} right}]이 수렴하면 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]은 각각 수렴한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

	2010년 이전 평가원 나형

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} {`b _{n}}]의 값은? [3점]

㈎ [eqn: 20- {1} over {n} <a _{n} +b _{n} <20+ {1} over {n}]

㈏ [eqn: 10- {1} over {n} <a _{n} -b _{n} <10+ {1} over {n}]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

정답 ③

	2012학년도 3월 교육청 가형, 나형 12

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n<a _{n} <n+1]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} a _{k}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

정답 ①

EBS 연계

2016학년도 수능 A형 10

수열 [eqn: left{a _{n} right]]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2} -(n+1)x+a _{n}]은 [eqn: x]축과 만나고, 곡선 [eqn: y=x ^{2} -nx+a _{n}]은 [eqn: x]축과 만나지 않는다.

[eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {n ^{2}}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {20}]	② [eqn: {1} over {10}]	③ [eqn: {3} over {20}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

정답 ⑤

	2016학년도 6월 평가원 B형 10

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=2nx] 위의 점 [eqn: rmP(itn,~2n ^{2} )]을 지나고 이 직선과 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: RMQ]라 할 때, 선분 [eqn: RMOQ]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n->inf} {` {l _{n}} over {n ^{3}}}]의 값은? (단, [eqn: RMO]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

EBS 연계

2017학년도 수능 나형 28

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=4 ^{n}]이 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 만나는 점을 [eqn: rmP _{itn}]이라 하자. 선분 [eqn: rmP _{itn} rmP _{itn+1}]의 길이를 [eqn: L _{n}]이라 할 때,

[eqn: lim _{n->inf} {`left( {L _{n+1}} over {L _{n}}} right) ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold16]

	2016학년도 4월 교육청 나형 15

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rmA _{itn} (itn,~n ^{2} )]을 지나고 기울기가 [eqn: - sqrt {3}]인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB _{itn}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {rm {bar{ rm OB _{it n rm}}} it} over {rm {bar{ rm OA _{it n rm}}} it}}]의 값은?

(단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: {sqrt {3}} over {7}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

정답 ⑤

	2010학년도 3월 교육청 나형 19

이차함수 [eqn: f(x)=2x ^{2} -2nx+ {1} over {2} n ^{2} +6n+1] [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 [eqn: rmP _{itn} (itx _{n} ,~y _{n} )]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {y _{n}} over {x _{n}}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: {bold{12}}]

	2012학년도 6월 평가원 나형 28

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 직선 [eqn: 2x+y=4 ^{n}], [eqn: x-2y=2 ^{n}]이 만나는 점의 좌표를 [eqn: (a _{n} ,~b _{n} )]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {b _{n}} over {a _{n}} =p}]이다. [eqn: 60p]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold30]

	2017학년도 7월 교육청 나형 29

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: {rmP} _{n} LEFT ( n,```n ^{2} RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l _{n}]이라 하고, 직선 [eqn: l _{n}]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: {rmY} _{n}]이라 하자. [eqn: x]축에 접하고 점 [eqn: {rmP} _{n}]에서 직선 [eqn: l _{n}]에 접하는 원을 [eqn: C _{n}], [eqn: y]축에 접하고 점 [eqn: {rmP} _{n}]에서 직선 [eqn: l _{n}]에 접하는 원을 [eqn: C _{n} `']이라 할 때, 원 [eqn: C _{n}]과 [eqn: x]축과의 교점을 [eqn: {rmQ} _{n}], 원 [eqn: C _{n} `']과 [eqn: y]축과의 교점을 [eqn: {rmR} _{n}]이라 하자.

[eqn: lim _{n -> INF } {} {{bar{rm OQ _{it n rm} it}}} over {{bar{rm Y _{it n rm} R _{it n rm} it}}} `=alpha]라 할 때, [eqn: 100alpha]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, 점 [eqn: {rmQ} _{n}]의 [eqn: x]좌표와 점 [eqn: {rmR} _{n}]의 [eqn: y]좌표는 양수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold50]

	2013학년도 3월 교육청 A형 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rmP _{itn} (itn,~n ^{2} )]을 중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원을 [eqn: C _{n}]이라 하자. 원점을 지나고 원 [eqn: C _{n}]에 접하는 직선 중에서 [eqn: y]축이 아닌 직선의 기울기를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

정답 ①

	2015학년도 9월 평가원 A형 28

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: (3n,~4n)]을 중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원 [eqn: O _{n}]이 있다. 원 [eqn: O _{n}] 위를 움직이는 점과 점 [eqn: (0,~-1)]사이의 거리의 최댓값을 [eqn: a _{n}], 최솟값을 [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {b _{n}}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold4]

	2011학년도 9월 평가원 가형, 나형 9

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 기울기가 [eqn: n]이고 [eqn: y]절편이 양수인 직선이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]에 접할 때, 이 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rmQ _{itn}]이라 하자. [eqn: l _{n} = rm {bar{{rmP} _{it n rm} {rmQ} _{it n rm}}}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {l _{n}} over {2n ^{2}}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

정답 ④

	2011학년도 수능 나형 14

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 직선 [eqn: y= {1} over {n} x]와 [eqn: x=n]이 만나는 점을 [eqn: rmA _{itn}], 직선 [eqn: x=n]과 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: rmB _{itn}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmA _{itn} OB _{itn}]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rmC _{itn}]이라 하고, 삼각형 [eqn: rmA _{itn} OC _{itn}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n->inf} {` {S _{`n}} over {n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

정답 ③

	2016학년도 수능 A형 14

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표가 [eqn: (0,~2n+1)]인 점을 [eqn: rmP]라 하고, 함수 [eqn: f(x)=nx ^{2}]의 그래프 위의 점 중 [eqn: y]좌표가 [eqn: 1]이고 제[eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: RMQ]라 하자.

점 [eqn: RMR(0,~1)]에 대하여 삼각형 [eqn: RMPRQ]의 넓이를 [eqn: S _{n}], 선분 [eqn: rmPQ]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {S _{n} ^{2}} over {l _{n}}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

정답 ⑤

	2014학년도 9월 평가원 A형 14

그림은 두 곡선 [eqn: y=x ^{2}], [eqn: y= {1} over {4} x ^{2}]과 꼭짓점의 좌표가 [eqn: rmO(0,~0)], [eqn: rmA(itn,~0)], [eqn: rmB(itn,~n ^{2} )], [eqn: rmC(0,~itn ^{2} )]인 직사각형 [eqn: rmOABC]를 나타낸 것이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점 중에서 직사각형 [eqn: rmOABC] 또는 그 내부에 있고 부등식 [eqn: y`gex ^{2}]을 만족시키는 모든 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {n ^{3}}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

정답 ③

	2012학년도 10월 교육청 나형 28

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 변 [eqn: rmBC] 위에 양끝점이 아닌 한 점 [eqn: rmP _{0}]을 잡는다. 그림과 같이 [eqn: rmP _{0}]을 지나고 변 [eqn: rmAB]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 [eqn: rmP _{1}], 점 [eqn: rmP _{1}]을 지나고 변 [eqn: rmBC]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rmAB]와 만나는 점을 [eqn: rmP _{2}], 점 [eqn: rmP _{2}]를 지나고 변 [eqn: rmAC]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmP _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 점을 [eqn: rmP _{itn}]이라 하고, 점 [eqn: rmP _{0}]을 출발하여 점 [eqn: rmP _{itn}]까지 이동한 거리 [eqn: l _{n}]을

[eqn: l _{n} = rm {bar{rmP _{0} P _{1}}} + rm {bar{rmP _{1} P _{2}}} + rm {bar{rmP _{2} P _{3}}} + CDOTS + rm {bar{{rmP} _{it n-1 rm} {rmP} _{it n rm _{it rm}}}}] [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]

이라 하자.

[eqn: lim _{n -> INF } {` {l _{2n}} over {2n+1}} = {b} over {a}]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold3]

	2016학년도 7월 교육청 나형 29

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 [eqn: RMABC]와 점 [eqn: RMA]를 지나고 직선 [eqn: RMBC]와 평행한 직선 [eqn: l]이 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 중심 [eqn: rmO _{itn}]이 변 [eqn: RMAC] 위에 있고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {3} LEFT( {1} over {2} RIGHT) ^{n-1}]인 원이 직선 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: l]에 모두 접한다. 이 원과 직선 [eqn: rmAB]가 접하는 점을 [eqn: rmP _{itn}], 직선 [eqn: rmO _{itn} rmP _{itn}]과 직선 [eqn: l]이 만나는 [eqn: rmQ _{itn}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmBO _{itn} Q _{itn}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`2 ^{n} `S _{n}} =k]이다. [eqn: k ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold192]

	2011학년도 수능 가형, 나형 25

자연수 [eqn: m]에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 [eqn: 1]열에 [eqn: 1]개, [eqn: 2]열에 [eqn: 2]개, [eqn: 3]열에 [eqn: 3]개, [eqn: cdots], [eqn: m]열에 [eqn: m]개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다.

블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 [eqn: {1} over {2}]만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다.

블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, [eqn: 1]열부터 [eqn: m]열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 [eqn: f(m)]이라 하자.

예를 들어, [eqn: f(2)=2], [eqn: f(3)=5], [eqn: f(4)=6]이다.

[eqn: lim _{n->inf} {` {f(2 ^{n+1} )-f(2 ^{n} )} over {f(2 ^{n+2} )} = {q} over {p}}]

일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold19]

	2010년 이전 평가원 나형

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA _{itn} (itx _{n} ,~0)], [eqn: rm B _{it n rm} (0,~itx _{n} )], [eqn: rmC _{itn} (itx _{n} ,~x _{n} )]을 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형 [eqn: T _{n}]을 다음 조건에 따라 그린다.

㈎ [eqn: x _{1} =1]이다.

㈏ 변 [eqn: rmA _{itn+1} rmB _{itn+1}]의 중점이 [eqn: rmC _{itn}]이다. ([eqn: n=1,~2,~3,~ CDOTS])

삼각형 [eqn: T_n]의 넓이를 [eqn: a_n], 삼각형 [eqn: T_n]의 세 변 위에 있는 점 중 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: b_n]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {2 ^{n} `b _{n}} over {a _{n} +2 ^{n}}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold12]

	2010년 이전 평가원 나형

자연수 [eqn: n]에 대하여 원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: (n,~0)]을 이은 선분을 밑변으로 하고, 높이가 [eqn: h _{n}]인 삼각형의 넓이를 [eqn: a _{n}]이라 하자. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]은 첫째항이 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열일 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} = {1} over {2}]이면 [eqn: h _{n} = {1} over {n}]이다.

ㄴ. [eqn: h _{2} = {1} over {4}]이면 [eqn: a _{n} =left( {1} over {2} right) ^{n}]이다.

ㄷ. [eqn: h _{2} < {1} over {2}]이면 [eqn: lim _{n->inf} {`n`h _{n} =0}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤