DAY 16. 공간벡터의 기본 연산

16

공각벡터의 기본 연산

	2010년 이전 평가원 가형

다음 그림은 밑면이 정팔각형인 팔각기둥이다.

[eqn: rm {bar{rm A _{1} A _{3}}} =3 sqrt {2}]이고, 점 [eqn: RMP]가 모서리 [eqn: RMA _{1} B _{1}]의 중점일 때, 벡터 [eqn: sum _{i=1} ^{8} ( rm {vec{ rm PA _{it i rm}}} + rm {vec{ rm PB _{it i rm}}} )]의 크기를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold48]

	2010년 이전 수능 가형

그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형 [eqn: RMABC]가 있고, 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구 [eqn: S]는 점 [eqn: RMA]에서 평면 [eqn: alpha]에 접한다. 구 [eqn: S] 위의 점 [eqn: RMD]에 대하여 선분 [eqn: RMAD]가 구 [eqn: S]의 중심 [eqn: RMO]를 지날 때, [eqn: |`` rm {vec{ rm AB}} + {vec{ rm DC}} ``|` ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD43]

	2010년 이전 평가원 가형

그림은 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 두 개의 정사각뿔 [eqn: RMO-ABCD], [eqn: RMO'-DCEF]에 대하여 모서리 [eqn: RMCD]를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. [eqn: |`` rm {vec{ rm OB}} + {vec{ rm OF}} ``|` ^{2}]의 값을 구하시오.

(단, 면 [eqn: RMABCD]와 면 [eqn: RMDCEF]는 한 평면 위에 있다.) [3점]

정답 [eqn: BOLD12]

	2014학년도 사관학교 B형 24

한 모서리의 길이가 [eqn: 6sqrt { 6}]인 정사면체 [eqn: rmABCD]에 대하여 등식 [eqn: rm {vec{ rm PB}} + {vec{ rm PC}} + {vec{ rm PD}} =2 {vec{ rm PA}}]를 만족시키는 점 [eqn: RMP]가 있다. 삼각형 [eqn: RMBCD]의 무게중심을 [eqn: RMG]라 할 때, 선분 [eqn: RMPG]의 길이를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: BOLD24]

	2012학년도 사관학교 자연 30

그림과 같이 사면체 [eqn: rmOABC]에서 삼각형 [eqn: RMOAB]와 삼각형 [eqn: RMCAB]는 모두 정삼각형이고, 삼각형 [eqn: RMOAB]와 삼각형 [eqn: RMCAB]가 이루는 이면각의 크기는 [eqn: pi over 3]이다. 정삼각형 [eqn: RMOAB]의 무게중심을 [eqn: RMG], 점 [eqn: RMO]에서 선분 [eqn: RMCG]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH]라 하자. [eqn: rm {vec{ rm OA}} = {vec{it a rm}}], [eqn: {vec{rm OB it}} = {vec{b}}], [eqn: vec{RMOC} = vec{c}]라 할 때, [eqn: {vec{rm OH it}} =p {vec{a}} +q {vec{b}} +r {vec{c}}]를 만족시키는 세 상수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: 28(p+q+r)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold20]

	2010년 이전 교육청 가형

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 10], 모선의 길이가 [eqn: 30]이고 꼭짓점이 [eqn: RMO]인 직원뿔이 있다. 밑면의 둘레 위의 한 점 [eqn: RMA]에서 출발하여 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아 점 [eqn: RMA]로 되돌아오는 최단경로를 [eqn: L]이라 하자. [eqn: L] 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]에 대하여 점 [eqn: RMB]가

[eqn: rm {vec{ rm AB}} = {1} over {3} {vec{ rm AO}} + {2} over {3} {vec{ rm AP}}]를 만족시킬 때, 점 [eqn: RMB]의 자취의 길이는? [4점]

① [eqn: 10 sqrt {2}]	② [eqn: 10 sqrt {3}]	③ [eqn: 20 sqrt {2}]

④ [eqn: 20 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 20 sqrt {6}]

정답 ④

	2010년 이전 사관학교 자연

그림과 같이 두 개의 정사면체 [eqn: rmOABC]와 [eqn: RMOABC ']가 면 [eqn: RMOAB]를 공유하고 있다. 벡터 [eqn: vec{RMOC'} =p vec{RMOA} +q vec{RMOB} +r vec{RMOC}]를 만족시키는 상수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: p+q+r]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

정답 ②

	2017학년도 수능 가형 16

좌표공간에서 원점에 대한 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 위치벡터를 차례로 [eqn: vec { a}], [eqn: vec { b}], [eqn: vec { c}]라 할 때, 이들 벡터 사이의 내적을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: bold cdot]	[eqn: bold{vec a]	[eqn: bold {vecb]	[eqn: bold{vec c]
[eqn: bold{vec a]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -sqrt { 2}]
[eqn: bold {vecb]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 0]
[eqn: bold{vec c]	[eqn: -sqrt { 2}]	[eqn: 0]	[eqn: 2]

예를 들어 [eqn: vec{a} CDOT vec{c} `=- sqrt {2}]이다. 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여 두 점 사이의 거리의 대소 관계로 옳은 것은? [4점]

① [eqn: rm {bar{ rm AB}} < {bar{ rm AC}} < {bar{ rm BC}}]

② [eqn: rm {bar{ rm AB}} < {bar{ rm BC}} < {bar{rm AC}}]

③ [eqn: rm {bar{ rm AC}} < {bar{ rm AB}} < rm {bar{ rm BC}}]

④ [eqn: rm {bar{ rm BC}} < {bar{ rm AB}} < {bar{ rm AC}}]

⑤ [eqn: rm {bar{ rm BC}} < {bar{ rm AC}} < {bar{ rm AB}}]

정답 ②

	2018학년도 9월 평가원 가형 29

좌표공간에 세 점 [eqn: rm O(0,~0,~0)]，　[eqn: rm A (1,~0,~0)]，　[eqn: rm B (0,~0,~2)]가 있다. 점 [eqn: rm P]가 [eqn: vec{rm OB } cdot vec{rm OP} = 0], [eqn: |`vec{rm OP} `| LE 4]를 만족시키며 움직일 때,

[eqn: |`vec{rm PQ }`| =1], [eqn: vec{rm PQ} cdot vec{rm OA} GE root3 over2]

을 만족시키는 점 [eqn: rm Q]에 대하여 [eqn: rm |`vec{rm BQ}`|]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 하자. [eqn: M+m = a+b root5]일 때, [eqn: 6(a+b)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold 27]

EBS 연계

2017학년도 수능 가형 29

한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정사면체 [eqn: RMABCD]에서 삼각형 [eqn: RMABC]의 무게중심을 [eqn: RMO], 선분 [eqn: RMAD]의 중점을 [eqn: RMP]라 하자. 정사면체 [eqn: RMABCD]의 한 면 [eqn: RMBCD] 위의 점 [eqn: RMQ]에 대하여 두 벡터 [eqn: rm {vec{ rm OQ}}]와 [eqn: rm {vec{ rm OP}}]가 서로 수직일 때, [eqn: |` rm {vec{ rm PQ}} `|]의 최댓값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold19]

	2016학년도 수능 B형 29

좌표공간의 두 점 [eqn: RMA(2,~ sqrt {2} ,~ sqrt {3} )], [eqn: RMB(1,~- sqrt {2} ,~2 sqrt {3} )]에 대하여 점 [eqn: RMP]는 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: |`` vec{RMAP} ``|=1]

㈏ [eqn: rm {vec{ rm AP}}]와 [eqn: vec{RMAB}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi} over {6}]이다.

중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구 위의 점 [eqn: RMQ]에 대하여 [eqn: rm {vec{ rm AP}} CDOT {vec{ rm AQ}}]의 최댓값이 [eqn: a+b sqrt {33}]이다. [eqn: 16(a ^{2} +b ^{2} )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold50]

	2010년 이전 수능 가형

좌표공간의 점 [eqn: RMA(3,~3,~3)]과 중심이 원점 [eqn: RMO]인 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: LEFT | ` {2} over {3} rm {vec{ rm OA}} + {1} over {3} {vec{ rm OP}} ` RIGHT |]의 최댓값은 [eqn: a+b sqrt { 3}]이다. [eqn: 10(a+b)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold30]

	2010년 이전 수능 가형

그림과 같이 [eqn: rm {bar{ rm AB}} = {bar{ rm AD}} =4], [eqn: rm {bar{ rm AE}} =8]인 직육면체 [eqn: RMABCD-EFGH]에서 모서리 [eqn: RMAE]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 [eqn: RMP], 모서리 [eqn: RMAB], [eqn: RMAD], [eqn: RMFG]의 중점을 각각 [eqn: RMQ], [eqn: RMR], [eqn: RMS]라 하자. 선분 [eqn: RMQR]의 중점을 [eqn: RMT]라 할 때, 벡터 [eqn: rm {vec{ rm TP}}]와 벡터 [eqn: rm {vec{ rm QS}}]의 내적 [eqn: rm {vec{ rm TP}} CDOT {vec{ rm QS}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: BOLD12]

	2012학년도 10월 교육청 가형 28

중심이 [eqn: rmC]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 구와 구 위의 한 점 [eqn: RMA]가 있다. 구 밖의 한 점 [eqn: RMB]를 [eqn: rm {bar{ rm AB}} =6]이고 [eqn: rm {bar{ rm CB}} =5]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: RMP]가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 [eqn: rm {vec{ rm BA}}], [eqn: rm {vec{ rm BP}}]의 내적 [eqn: rm {vec{ rm BA}} CDOT {vec{ rm BP}}]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD52]

	2010년 이전 평가원 가형

두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 교선을 [eqn: l]이라 하자. 평면 [eqn: alpha] 위에 있는 원 [eqn: S_1]과 평면 [eqn: beta] 위에 있는 원 [eqn: S_2]는 반지름의 길이가 모두 [eqn: 2]이다. 그림과 같이 원 [eqn: S_1]과 원 [eqn: S_2]는 점 [eqn: RMC]에서 직선 [eqn: l]과 접한다. [eqn: S_1]의 중심 [eqn: RMO_1]을 지나고 평면 [eqn: alpha]에 수직인 직선과 [eqn: S_2]의 중심 [eqn: RMO_2]를 지나고 평면 [eqn: beta]에 수직인 직선이 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: RMANGLE O_1 C O_2 = 2 over 3 pi]일 때, [eqn: S_1] 위에 있는 임의의 점 [eqn: RMA]와 [eqn: S_2] 위에 있는 임의의 점 [eqn: RMB]에 대하여 [eqn: |` rm {vec{ rm PA}} + {vec{ rm PB}} `|]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M+m]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold12]

	2011학년도 사관학교 자연 28

중심이 [eqn: RMO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구 위에 고정된 점 [eqn: RMA]가 있고, [eqn: rm {bar{ rm AP}} =1]을 만족시키면서 이 구 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]가 있다. 이때 선분 [eqn: RMAP] 위의 점 [eqn: RMQ]가 [eqn: rm {vec{ rm AP}} CDOT {vec{ rm OQ}} GEQ 0]을 만족시킬 때, 점 [eqn: RMQ]가 존재하는 영역의 넓이는 [eqn: {q} over {p} sqrt {3} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold11]

	2010년 이전 사관학교 자연

좌표공간에서 구 [eqn: (x-12) ^{2} +(y-5) ^{2} +(z-10) ^{2} =100]이 [eqn: xy]평면과 접하는 점을 [eqn: rmA]라 하고, 구 위를 움직이는 점을 [eqn: RMP]라 하자. 이때 [eqn: rm {vec{ rm OA}} CDOT {vec{ rm OP}}]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: RMO]는 원점이다.) [4점]

정답 [eqn: BOLD299]

	2010년 이전 사관학교 자연

좌표공간에서 두 점 [eqn: RMA(4,~0,~0)], [eqn: RMB(-4,~0,~0)]과 움직이는 점 [eqn: RMP]에 대하여 [eqn: vec{RMOA} = vec{a}], [eqn: vec{rmOB} = vec{b}], [eqn: vec{rmOP} = vec{p}]라 할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 길이는?

(단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

㈎ [eqn: ( vec{p} - vec{a} )cdot( vec{p} - vec{b} )=0]

㈏ [eqn: ( vec{p} - vec{a} )cdot( vec{p} - vec{a} )=16]

① [eqn: 2 sqrt {2} pi]	② [eqn: 2 sqrt {3} pi]	③ [eqn: 4pi]

④ [eqn: 4 sqrt {2} pi]	⑤ [eqn: 4 sqrt {3} pi]

정답 ⑤

	2010년 이전 사관학교 자연

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 6]인 정사면체 [eqn: rmOABC]에서 선분 [eqn: RMAB]의 중점을 [eqn: RMM], 삼각형 [eqn: RMOBC]의 무게중심을 [eqn: RMG]라 할 때, 두 벡터 [eqn: rm {vec{ rm OM}}], [eqn: rm {vec{ rm OG}}]의 내적의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: BOLD15]

	2010년 이전 사관학교 자연

공간에서 원점 [eqn: RMO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 [eqn: 3], [eqn: 4]인 두 개의 구 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}]가 있다. 이때 구 [eqn: S _{1}] 위의 임의의 점을 [eqn: RMP], 구 [eqn: S _{2}] 위의 임의의 점을 [eqn: RMQ]라 하고, 이 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]에 대하여

[eqn: rm {vec{ rm OP}} + {vec{ rm OQ}} = {vec{ rm OR}}]를 만족하는 점을 [eqn: RMR]라 하자. 다음은 [eqn: |` rm {vec{ rm PQ}} + {vec{ rm OR}} `|]의 최댓값을 구하는 풀이 과정이다.

[eqn: vec{RMOP} = vec{p}], [eqn: vec{rmOQ} = vec{q}]라 하면

[eqn: vec{RMPQ} + vec{RMOR} =( vec{q} - vec{p} )+( vec{q} + vec{p} )]이므로

[eqn: |` vec{RMPQ} + vec{RMOR} `|` ^{2} =|` vec{q} - vec{p} `|` ^{2} +2( vec{q} - vec{p} )cdot( vec{q} + vec{p} )+|` vec{q} + vec{p} `|` ^{2}]

[eqn: =2( BOX{````㈎````} `)+2( vec{q} - vec{p} ) CDOT ( vec{q} + vec{p} )]	……㉠

그런데 [eqn: ( vec{q} - vec{p} )cdot( vec{q} + vec{p} )le|` vec{q} - vec{p} `|`|` vec{q} + vec{p} `|]

[eqn: = sqrt {|` vec{q} - vec{p} `|` ^{2} `|` vec{q} + vec{p} `|` ^{2}}]

[eqn: = BOX{````㈏````}]

따라서 ㉠과 ㉡에 의해 [eqn: |`RM vec{PQ} + vec{OR} `|]의 최댓값은 [eqn: BOX{````㈐````}]이다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 쓰면? [3점]

㈎	㈏	㈐

① [eqn: |` vec{p} `|` ^{2} +|` vec{q} `|` ^{2}]	[eqn: sqrt {25-4( vec{p} CDOT vec{q} ) ^{2}}]	[eqn: sqrt {60}]

② [eqn: |` vec{p} `|` ^{2} +|` vec{q} `|` ^{2}]	[eqn: sqrt {25 ^{2} -4( vec{p} CDOT vec{q} ) ^{2}}]	[eqn: 15]

③ [eqn: |` vec{p} `|` ^{2} +|` vec{q} `|` ^{2}]	[eqn: sqrt {25 ^{2} -4( vec{p} CDOT vec{q} ) ^{2}}]	[eqn: 10]

④ [eqn: |` vec{p} `|` ^{2} |` vec{q} `|` ^{2}]	[eqn: sqrt {25-4( vec{p} CDOT vec{q} ) ^{2}}]	[eqn: 10]

⑤ [eqn: |` vec{p} `|` ^{2} |` vec{q} `|` ^{2}]	[eqn: sqrt {25-4( vec{p} CDOT vec{q} ) ^{2}}]	[eqn: sqrt {60}]

정답 ③

	2014학년도 9월 평가원 B형 15

좌표공간에서 구 [eqn: (x-1)^2 + (y-2)^2 +(z-1)^2 =6]과

구 [eqn: x^2 + y^2 + z^2 + 6x+2ay+2bz=0]이 원점에서 서로 접할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ④

	2013학년도 9월 평가원 가형 29

좌표공간에서 네 점 [eqn: RMA_0], [eqn: RMA_1], [eqn: RMA_2], [eqn: RMA_3]이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: rm |` {vec{ rm A _{0} A _{2}}} `|=|` {vec{ rm A _{1} A _{3}}} `|=2]

㈏ [eqn: rm {1} over {2} {vec{ rm A _{0} A _{3}}} CDOT LEFT ( ` {vec{ rm A _{0} A _{it k rm}}} - {1} over {2} {vec{ rm A _{0} A _{3}}} RIGHT ) =cos`` {3-k} over {3} pi] [eqn: (k=1,~2,~3)]

[eqn: rm |` {vec{ rm A _{1} A _{2}}} `|]의 최댓값을 [eqn: M`]이라 할 때, [eqn: M ^{`2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD8]

	2010년 이전 평가원 가형

두 벡터 [eqn: vec{a} =(2,~2,~1)], [eqn: vec{b} =(1,~4,~-1)]이 이루는 각의 크기 [eqn: theta]의 값은? (단, [eqn: 0 le theta le pi]이다.) [2점]

① [eqn: {pi} over {6}]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: {pi} over {3}]

④ [eqn: {pi} over {2}]	⑤ [eqn: {2} over {3} pi]

정답 ②

	2010년 이전 수능 자연

두 벡터 [eqn: vec{a} =(9,~x+1,~-12)], [eqn: vec{b} =(-8,~x,~7)]이 수직일 때, 양수 [eqn: x]의 값을 구하시오. [2점]

정답 [eqn: bold12]