DAY 14. 구의 방정식

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구의 방정식

	2018학년도 9월 평가원 가형 17

좌표공간에 구 [eqn: S``:``x ^{2} +y ^{2} +(z-1) ^{2} =1]과 [eqn: xy]평면 위의

원 [eqn: C~:~x ^{2} +y ^{2} =4]가 있다. 구 [eqn: S]와 점 [eqn: rmP]에서 접하고 원 [eqn: C] 위의 두 점 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]를 포함하는 평면이 [eqn: xy]평면과 이루는 예각의 크기가 [eqn: {pi} over {3}]이다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: z]좌표가 [eqn: 1]보다 클 때, 선분 [eqn: rmQR]의 길이는?

[4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: sqrt { 3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt { 5}]

정답 ④

	2015학년도 사관학교 B형 28

좌표공간에서 구 [eqn: (x-6)^2 + ( y+1)^2 + (z-5)^2 =16] 위의 점 [eqn: rmP]와 [eqn: yz]평면 위에 있는 원 [eqn: (y-2)^2 + (z-1)^2 =9] 위의 점 [eqn: rmQ] 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold14]

EBS 연계

2015학년도 수능 B형 29

좌표공간에 구 [eqn: S ``: `` x^2 + y^2 + z^2 =50]과 점 [eqn: rmP(0,~5,~5)]가 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 원 [eqn: C`]에 대하여 [eqn: C`]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값을 [eqn: q over p pi]라 하자. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

㈎ 원 [eqn: C`]는 점 [eqn: rmP]를 지나는 평면과 구 [eqn: S`]가 만나서 생긴다.

㈏ 원 [eqn: C`]의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.

정답 [eqn: bold9]

	2010년 이전 수능 가형

좌표공간에서 [eqn: x]축을 포함하고 [eqn: xy]평면과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta] [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (][eqn: 0< theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )]인 평면을 [eqn: alpha]라 하자. 평면 [eqn: alpha]가 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z^2 =1]과 만나서 생기는 도형의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영이 영역 [eqn: left{ (x,~y,~0)``|``x+3y-2 le 0 right}]에 포함되도록 하는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos`theta]의 최댓값을 [eqn: M]이라 하자. [eqn: 60M^2]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold20]

	2010년 이전 수능 가형

좌표공간에서 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면은 공간을 [eqn: 8]개의 부분으로 나눈다. 이 [eqn: 8]개의 부분 중에서 구

[eqn: (x+2)^2 + (y-3)^2 + (z-4)^2 =24]

가 지나는 부분의 개수는? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

정답 ③

	2010년 이전 평가원 가형

다음 조건을 만족하는 점 [eqn: rmP] 전체의 집합이 나타내는 도형의 둘레의 길이는? [3점]

좌표공간에서 점 [eqn: rmP]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구가 두 개의 구

[eqn: x^2 + y^2 + z^2 =1],

[eqn: (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 =4]

에 동시에 외접한다.

① [eqn: {2 sqrt {5}} over {3} pi]	② [eqn: sqrt {5} pi]	③ [eqn: {5 sqrt {5}} over {3} pi]

④ [eqn: 2 sqrt {5} pi]	⑤ [eqn: {8 sqrt {5}} over {3} pi]

정답 ⑤

	2013학년도 9월 평가원 가형 27

좌표공간에서 구

[eqn: S``:``(x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} +(z-1) ^{2} =4]

위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 점 [eqn: rmP]에서 구 [eqn: S]에 접하는 평면이 구 [eqn: x^2 + y^2 + z^2 =16]과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 [eqn: (a+ b root 3 ) pi]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold13]

	2010년 이전 수능 가형

두 구 [eqn: x^2 + y^2 + z^2 =81], [eqn: x^2 + (y-5)^2 + z ^2 =56]을 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 하자. 두 구 [eqn: S_1], [eqn: S_2]가 만나서 생기는 원 위의 한 점을 [eqn: RMP]라 하고, 점 [eqn: RMP]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영을 [eqn: RMP']이라 하자. 구 [eqn: S_1]과 [eqn: y]축이 만나는 점을 각각 [eqn: RMQ], [eqn: RMR]라 할 때, 사면체 [eqn: RMPQP'R]의 부피의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD84]

	2010년 이전 예비평가 가형

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 [eqn: 9], [eqn: 15], [eqn: 36]이고 서로 외접하는 세 개의 구가 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있다. 세 구의 중심을 각각 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC]라 할 때, 삼각형 [eqn: RMABC]의 무게중심으로부터 평면 [eqn: alpha]까지의 거리를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold20]