DAY 12. 정사영

12

정사영

	2017학년도 7월 교육청 가형 14

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형을 밑면으로 하고 [eqn: bar{rm OA} = bar{rm OB} = bar{rm OC }= bar{rmOD}=2root5]인 정사각뿔 [eqn: rm O-ABCD]가 있다. 두 선분 [eqn: rm OA], [eqn: rm AB]의 중점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 평면 [eqn: rm OCD] 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 3 over 4]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5 over 4]	⑤ [eqn: 3 over 2]

정답 ③

	2017학년도 사관학교 가형 15

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 12]인 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 두 모서리 [eqn: rmBD], [eqn: rmCD]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 하자. 사각형 [eqn: rmBCNM]의 평면 [eqn: rmAMN] 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

① [eqn: {15 sqrt {11}} over {11}]	② [eqn: {18 sqrt {11}} over {11}]	③ [eqn: {21 sqrt {11}} over {11}]

④ [eqn: {24 sqrt {11}} over {11}]	⑤ [eqn: {27 sqrt {11}} over {11}]

정답 ⑤

	2016학년도 9월 평가원 B형 26

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} =9], [eqn: rm {bar{rm BC}} =12], [eqn: cos ( angle rmABC ) = ROOT 3 OVER 3]인　사면체 [eqn: RMABCD]에 대하여 점 [eqn: RMA]의 평면 [eqn: RMBCD] 위로의 정사영을 [eqn: RMP]라 하고 점 [eqn: RMA]에서 선분 [eqn: RMBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMQ]라 하자. [eqn: cos (RMANGLE AQP)= ROOT 3 OVER 6]일 때 삼각형 [eqn: RMBCP]의 넓이는 [eqn: k]이다. [eqn: k^2]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold162]

EBS 연계

2016학년도 수능 B형 27

좌표공간에 서로 수직인 두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 있다. 평면 [eqn: alpha] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: RMB]에 대하여 [eqn: RM BAR AB = 3 ROOT 5]이고 직선 [eqn: RMAB]는 평면 [eqn: beta]에 평행하다. 점 [eqn: rmA]와 평면 [eqn: beta] 사이의 거리가 [eqn: 2]이고, 평면 [eqn: beta] 위의 점 [eqn: rmP]와 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리는 [eqn: 4]일 때, 삼각형 [eqn: RMPAB]의 넓이를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD15]

	2015학년도 9월 평가원 B형 29

그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있는 서로 다른 네 구 [eqn: S], [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: S]의 반지름의 길이는 [eqn: 3]이고, [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.

㈏ [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]은 모두 [eqn: S]에 접한다.

㈐ [eqn: S_1]은 [eqn: S_2]와 접하고, [eqn: S_2]는 [eqn: S_3]과 접한다.

[eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]의 중심을 각각 [eqn: RMO_1], [eqn: RMO_2], [eqn: RMO_3]이라 하자. 두 점 [eqn: RMO_1], [eqn: RMO_2]를 지나고 평면 [eqn: alpha]에 수직인 평면을 [eqn: beta], 두 점 [eqn: RMO_2], [eqn: RMO_3]을 지나고 평면 [eqn: alpha]에 수직인 평면이 [eqn: S_3]과 만나서 생기는 단면을 [eqn: D]라 하자. 단면 [eqn: D]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: q over p pi]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold11]

	2015학년도 10월 교육청 B형 19

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정팔면체 [eqn: rmABCDEF]가 있다. 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmCBF]의 평면 [eqn: rmBEF] 위로의 정사영의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 할 때, [eqn: S_1 +S_2]의 값은? [4점]

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

정답 ①

	2012학년도 9월 평가원 가형 29

그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 점 [eqn: rmA]가 있고 [eqn: alpha]로부터의 거리가 각각 [eqn: 1], [eqn: 3]인 두 점 [eqn: RMB], [eqn: RMC]가 있다. 선분 [eqn: RMAC]를 1 : 2로 내분하는 점 [eqn: RMP]에 대하여 [eqn: RM BAR BP =4]이다. 삼각형 [eqn: RMABC]의 넓이가 [eqn: 9]일 때, 삼각형 [eqn: RMABC]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: S^2]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD45]

	2010년 이전 교육청 가형

평면 [eqn: pi]에 수직인 직선 [eqn: l]을 경계로 하는 세 반평면 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 있다. [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기와 [eqn: beta], [eqn: gamma]가 이루는 각의 크기는 모두 [eqn: 120DEG]이다. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구가 [eqn: pi], [eqn: alpha], [eqn: beta]에 동시에 접하고, 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구가 [eqn: pi], [eqn: beta], [eqn: gamma]에 동시에 접한다.

두 구의 중심 사이의 거리를 [eqn: d]라 할 때, [eqn: 3d^2]의 값을 구하시오. (단, 두 구는 평면 [eqn: pi]의 같은 쪽에 있다.) [4점]

정답 [eqn: bold31]

	2010년 이전 수능 가형

그림과 같이 반지름의 길이가 모두 [eqn: sqrt { 3}]이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있다. 평면 [eqn: alpha]와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 [eqn: RMP], [eqn: RMQ], [eqn: RMR]라 할 때, 삼각형 [eqn: RMQPR]는 이등변삼각형이고, 평면 [eqn: RMQPR]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 60DEG]이다. 세 원기둥의 높이를 각각 [eqn: 8], [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 8<a<b]) [4점]

정답 [eqn: bold25]

EBS 연계

2013학년도 수능 가형 28

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB}} =9], [eqn: rm {bar{rm AD}} =3]인 직사각형 [eqn: RMABCD] 모양의 종이가 있다. 선분 [eqn: RMAB] 위의 점 [eqn: RME]와 선분 [eqn: RMDC] 위의 점 [eqn: RMF]를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 [eqn: RMB]의 평면 [eqn: RMAEFD] 위로의 정사영이 점 [eqn: RMD]가 되도록 종이를 접었다. [eqn: rm {bar{rm AE}} =3]일 때, 두 평면 [eqn: RMAEFD]와 [eqn: RMEFCB]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]이다. [eqn: 60`cos``theta]의 값을 구하시오.

[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.[eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [4점]

정답 [eqn: bold40]

	2012학년도 7월 교육청 가형 21

그림과 같이 정사면체 [eqn: RMABCD]의 모서리 [eqn: RM CD]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점을 [eqn: RMP]라 하자. 삼각형 [eqn: RMABP]와 삼각형 [eqn: RMBCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos ``theta]의 값은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [4점]

① [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {9}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {12}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {15}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {18}]

정답 ②

	2011학년도 9월 평가원 가형 25

같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]이 있다. 직선 [eqn: l] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], 직선 [eqn: m] 위의 점 [eqn: rmC], 직선 [eqn: n] 위의 점 [eqn: rmD]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: rm bar AB = 2 sqrt { 2}], [eqn: RM BAR CD =3]

㈏ [eqn: rm bar{AC} BOT ` it l], [eqn: RM BAR AC =5]

㈐ [eqn: rm bar{BD} BOT ` it l], [eqn: RM BAR BD = 4 sqrt { 2}]

두 직선 [eqn: m], [eqn: n]을 포함하는 평면과 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 15`tan^2 ``theta]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [4점]

정답 [eqn: bold30]

	2010년 이전 수능 가형

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 3]인 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]의 세 모서리 [eqn: rmAD], [eqn: RMBC], [eqn: RMFG] 위에

[eqn: RM BAR DP = BAR BQ = BAR GR =1]인 세 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ], [eqn: RMR]가 있다. 평면 [eqn: RMPQR]와 평면 [eqn: RMCGHD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0< theta < pi over 2][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [3점]

① [eqn: {sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: {sqrt {10}} over {10}]	③ [eqn: {sqrt {11}} over {11}]

④ [eqn: {2 sqrt {11}} over {11}]	⑤ [eqn: {3 sqrt {11}} over {11}]

정답 ⑤

	2010년 이전 수능 자연

오른쪽 그림과 같이 정육면체 위에 정사각뿔을 올려놓은 도형이 있다. 이 도형의 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2]이고, 면 [eqn: rmPAB]와 면 [eqn: rmAEFB]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: cos ` theta]의 값은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: {pi} over {2} < theta <pi][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [3점]

① [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]	② [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {3}]

④ [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]

정답 ①

	2010년 이전 사관학교 자연

그림은 모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔 [eqn: RMO-ABCD]와 정사면체 [eqn: RMO-CDE]를 면 [eqn: RMOCD]가 공유하도록 붙여 놓은 것이다. 평면 [eqn: RMABCD]와 평면 [eqn: RMCDE]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos^2 ` theta]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

정답 ②

	2010년 이전 사관학교 자연

오른쪽 그림과 같이 밑면은 한 변의 길이가 [eqn: 5]인 정사각형이고 높이는 [eqn: 2]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 직육면체의 면 위에 점 [eqn: rmE]에서부터 두 모서리 [eqn: RMAB]와 [eqn: RMBC]를 지나고 점 [eqn: RMG]에 이르는 최단 거리의 선을 그어 모서리 [eqn: RMAB]와 만나는 점을 [eqn: RMP], 모서리 [eqn: RMBC]와 만나는 점을 [eqn: RMQ]라 하자. 평면 [eqn: RMEPQG]와 평면 [eqn: RMEFGH]가 이루는 이면각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos ` theta]의 값은? [4점]

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {6}]

정답 ②

	2011학년도 수능 가형 11

그림과 같이 중심 사이의 거리가 [eqn: sqrt { 3}]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 두 원판과 평면 [eqn: alpha]가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 [eqn: l]은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 [eqn: alpha]와 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]이다. 태양광선이 그림과 같이 평면 [eqn: alpha]에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평면 [eqn: alpha]에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.) [4점]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3} pi+ {3} over {8}]	② [eqn: {2} over {3} pi+ {sqrt {3}} over {4}]

③ [eqn: {2 sqrt {3}} over {3} pi+ {1} over {8}]	④ [eqn: {4} over {3} pi+ {sqrt {3}} over {16}]

⑤ [eqn: {2 sqrt {3}} over {3} pi+ {3} over {4}]

정답 ⑤

	2013학년도 7월 교육청 B형 13

반지름의 길이가 [eqn: 1], 중심이 [eqn: rmO]인 원을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 2sqrt { 2}]인 원뿔이 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있다. 그림과 같이 태양광선이 평면 [eqn: alpha]에 수직인 방향으로 비출 때, 원뿔의 밑면에 의해 평면 [eqn: alpha]에 생기는 그림자의 넓이는?

(단, 원뿔의 한 모선이 평면 [eqn: alpha]에 포함된다.) [3점]

① [eqn: {pi} over {12}]	② [eqn: {pi} over {8}]	③ [eqn: {pi} over {4}]

④ [eqn: {7} over {24} pi]	⑤ [eqn: {pi} over {3}]

정답 ⑤

	2010년 이전 평가원 가형

그림과 같이 태양광선이 지면과 [eqn: 60 DEG]의 각을 이루면서 비추고 있다. 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고 태양광선과 [eqn: 30DEG]의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: S]의 값을 [eqn: {sqrt {3} (a+b pi )} over {3}]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이고 판의 두께는 무시한다.) [4점]

정답 [eqn: bold30]

	2010년 이전 교육청 자연

그림과 같이 검은 종이로 만든 정사면체 [eqn: RMABCD]에 면 [eqn: RMABC]와 수직인 방향으로 빛을 비추고 있다. 빛이 밑면 [eqn: RMBCD]의 위에만 비치도록 면 [eqn: RMABC]에 정사각형 모양의 구멍을 뚫었다. 이 정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: 2]일 때, 빛이 비추어져 밑면에 생긴 부분의 넓이를 구하시오. [2점]

정답 [eqn: BOLD12]

	2011학년도 사관학교 자연 14

그림과 같이 지면과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]인 평평한 유리판 위에 반구가 엎어져 있다. 햇빛이 유리판에 수직인 방향으로 비출 때 지면 위에 생기는 반구의 그림자의 넓이를 [eqn: S_1], 햇빛이 유리판과 평행한 방향으로 비출 때 지면 위에 생기는 반구의 그림자의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. [eqn: S_1 : S_2 = 3:2]일 때, [eqn: tan ` theta]의 값은? (단, [eqn: theta]는 예각이다.) [4점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

정답 ⑤

	2010년 이전 사관학교 자연

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 반구가 평평한 지면 위에 떠 있다. 반구의 밑면이 지면과 평행하고 태양광선이 지면과 [eqn: 60DEG]의 각을 이룰 때, 지면에 나타나는 반구의 그림자의 넓이는? (단, 태양광선은 평행하게 비춘다.) [4점]

① [eqn: 6(3+root 3 ) pi]	② [eqn: 6(3+2root 3 ) pi]

③ [eqn: 8(2+root 3 ) pi]	④ [eqn: 8(1+2root 3 ) pi]

⑤ [eqn: 8(2+3 root 3 ) pi]

정답 ②