DAY 04. 음함수와 매개변수의 미분법

04

음함수와 매개변수의 미분법

	2016학년도 10월 교육청 가형 14

곡선 [eqn: x ^{2} + 5xy - 2y^2 +11=0] 위의 점 [eqn: (1,~4)]에서의 접선과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ①

EBS 연계

2018학년도 수능 가형 24

곡선 [eqn: 2x ^{2} +x ^{2} y-y ^{3} =2] 위의 점 [eqn: (1,`1)]에서의 접선의 기울기를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold2]

	2018학년도 9월 평가원 가형 24

곡선 [eqn: 5x+xy+y ^{2} =5] 위의 점 [eqn: (1,`-1)]에서의 접선의 기울기를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold4]

	2011학년도 수능 가형 미분과 적분 27

좌표평면에서 곡선 [eqn: y^3 = ln (5-x^2 ) + xy +4] 위의 점 [eqn: (2,~2)]에서의 접선의 기울기는? [3점]

① [eqn: - {3} over {5}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: - {2} over {5}]

④ [eqn: - {3} over {10}]	⑤ [eqn: - {1} over {5}]

정답 ⑤

	2011학년도 10월 교육청 가형 5

곡선 [eqn: x^3 +xy + y ^3 -8=0]과 [eqn: x]축이 만나는 점에서의 접선의 기울기는? [3점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

정답 ①

	2010년 이전 사관학교 자연

곡선 [eqn: x ^{3} + y ^3 -9xy=0] 위의 점 [eqn: (2,~4)]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점의 좌표가 [eqn: (0,~a)]일 때, [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {11} over {5}]	③ [eqn: {12} over {5}]
④ [eqn: {13} over {5}]	⑤ [eqn: {14} over {5}]

정답 ③

	2018학년도 6월 평가원 가형 6

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선

[eqn: x=t ^{2} +2], [eqn: y=t ^{3} +t-1]

에서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

정답 ④

	2017학년도 4월 교육청 가형 24

매개변수 [eqn: t] ([eqn: t>0])로 나타내어진 함수

[eqn: x=t+2 sqrt {t}], [eqn: y=4t ^{3}]

에 대하여 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold6]

	2016학년도 10월 교육청 가형 6

매개변수 [eqn: theta]로 나타내어진 함수

[eqn: {cases{eqalign{`x=2`sin` theta -1# # `y=4`cos` theta + sqrt {3}}}}]

에 대하여 [eqn: theta= {pi} over {3}]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2 sqrt {3}]	② [eqn: -2 sqrt {2}]	③ [eqn: - sqrt {3}]

④ [eqn: - sqrt {2}]	⑤ [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]

정답 ①

	2017학년도 9월 평가원 가형 14

매개변수 [eqn: t] [eqn: (t>0)]으로 나타내어진 함수

[eqn: x=t- {2} over {t}], [eqn: y=t ^{2} + {2} over {t ^{2}}]

에서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은? [4점]

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {4} over {3}]

④ [eqn: - {5} over {3}]	⑤ [eqn: -2]

정답 ①

	2016학년도 7월 교육청 가형 11

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 좌표 [eqn: (x,~y)]가 [eqn: t] [eqn: (t>0)]을 매개변수로 하여

[eqn: x=2t+1], [eqn: y=t+ 3over t]

으로 나타내어진다. 점 [eqn: rmP]가 그리는 곡선 위의 한 점 [eqn: (a,~b)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -1]일 때, [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ②

	2014학년도 3월 교육청 B형 30

실수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan(sin``t)]인 직선과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =e ^{2t}]이 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmP]가 나타내는 곡선을 [eqn: C``]라 하자. [eqn: t=pi]일 때 곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: a times e ^{b pi]이다. [eqn: 10(a+b)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold25]

	2011학년도 4월 교육청 가형 20

매개변수 [eqn: theta]로 나타내어진 함수

[eqn: x=tan` theta], [eqn: y=cos ^{2} ` theta] [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: - {pi} over {2} < theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )]

에 대하여 이 곡선 위의 점 [eqn: left(1,~ {1} over {2} right)]에서의 접선의 기울기는? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

정답 ②

	2016학년도 사관학교 B형 11

좌표평면에서 매개변수 [eqn: theta]로 나타내어진 곡선

[eqn: x=2cos` theta +cos`2 theta], [eqn: y=2`sin` theta +sin`2 theta]

에 대하여 [eqn: theta= pi over 6]에 대응하는 이 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는? (단, [eqn: theta]는 실수이다.) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: - sqrt {3}]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

정답 ③

	2014학년도 7월 교육청 B형 26

곡선 [eqn: C``:`x^2 + y^2 =100`(y ge 0)]과 곡선 [eqn: C``]의 접선 [eqn: y=- root 3 x +20]이 있다. 곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: y]축에 평행한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA(10,~0)]을 출발하여 곡선 위를 매초 [eqn: 5]의 일정한 속력으로 점 [eqn: rmB(-10,~0)]까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 [eqn: rmPQ]의 길이의 순간변화율의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold10]

	2013학년도 4월 교육청 B형 21

그림과 같이 두 정점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리가 [eqn: 3~rmm]이고, 점 [eqn: rmQ]를 지나고 선분 [eqn: rmPQ]에 수직인 직선을 [eqn: l]이라 하자.

점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rmQ]에서 출발하여 직선 [eqn: l]을 따라 초속 [eqn: 1~rmm]의 일정한 속력으로 움직일 때, 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmB]는 [eqn: bar{rm AP} + bar{rm PB} =20``(rmm)]을 만족시키며 점 [eqn: rmQ]쪽으로 움직이고 있다. [eqn: bar {rm AQ} = 4 ``(rmm)]가 되는 순간, 선분 [eqn: rmBQ]의 길이 [eqn: (rmm)]의 시간(초)에 대한 변화율은? [4점]

① [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]	② [eqn: - {sqrt {6}} over {4}]	③ [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: - {sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: - {sqrt {6}} over {6}]

정답 ①

	2012학년도 7월 교육청 가형 19

좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rmO]와 네 점 [eqn: rmA(1,~1)], [eqn: rmB(1,~0)], [eqn: rmC(2,~0)], [eqn: rmD(2,~1)]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: x]축을 따라 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 움직인다. [eqn: t]초 후 원의 내부와 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하자. 원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: left( 1over 2 ,~0 right)]을 지나는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간(초)에 대한 변화율은? (단, [eqn: 0 le t le 1]) [4점]

① [eqn: root 3 over 3]	② [eqn: { 1} over {2 }]	③ [eqn: root 2 over 2]

④ [eqn: root 3 over 2]	⑤ [eqn: root3]

정답 ④

	2012학년도 4월 교육청 가형 30

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA(1,~0)]에서 출발하여 호 [eqn: rmAB] 위를 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 움직일 때, [eqn: x]축의 위의 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: rm bar PQ = root 5]를 만족시키면서 [eqn: x]축 위를 움직인다.

[eqn: rm angle POA = pi over 4]가 되는 순간, 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 시간(초)에 대한 변화율을 [eqn: r]라 할 때, [eqn: 9r^2]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold8]

	2010년 이전 교육청 가형

지면에서 회전 중심축까지의 높이가 [eqn: 10~rmm]이고, 길이가 [eqn: 2~rmm]인 풍력 발전기의 날개가 축을 중심으로 일정한 속력으로 시계 반대 방향으로 돌고 있다. 지면에서 날개 끝까지의 높이가 [eqn: 9~rmm]가 될 때, 시간(초)에 따른 높이의 변화율이 [eqn: 4pi``(rmm/s)]이고, 풍력 발전기의 날개가 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 [eqn: k]초라 하자. [eqn: k ^{2} = {q} over {p}]([eqn: p], [eqn: q]는 서로소)일 때, [eqn: 10(p+q)]의 값을 구하시오. (단, 축은 지면과 평행하고 축과 날개의 두께는 고려하지 않는다.) [4점]

정답 [eqn: bold70]

	2010년 이전 교육청 가형

점 [eqn: rmP]는 원점 [eqn: rmO]를 출발하여 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]를 따라 원점에서 멀어지고 있다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 매초 [eqn: 2]의 속도로 일정하게 변할 때, 직선 [eqn: rmOP]의 기울기가 [eqn: 10]이 되는 순간 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표의 시간(초)에 대한 순간변화율을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold10]

	2010년 이전 교육청 가형

곡선 [eqn: y=x ^{{3} over {2}}] 위의 점 [eqn: rmP]가 시간이 지남에 따라 원점으로부터 멀어지고 있다. [eqn: x=3]이 되는 순간 선분 [eqn: rmOP]의 시각에 대한 길이의 순간변화율이 [eqn: 11]일 때, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표의 시각에 대한 순간변화율은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

정답 ⑤

	2010년 이전 수능 가형

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: (1,~0)]에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 [eqn: {1} over {40}] (라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: left( {sqrt {3}} over {2} ,~ {1} over {2} right)]을 지나는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간(초)에 대한 변화율은 [eqn: {b} over {a}]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold83]

	2010년 이전 교육청 가형

높이가 [eqn: 45~rmm]인 번지 점프대에 길이가 [eqn: 20~rmm]인 원기둥 모양의 탄력줄이 연결되어 있다. 이 탄력줄은 힘을 주어 길이가 늘어나도 원기둥 모양이 유지되며 그 부피는 변하지 않는다고 한다. 어떤 사람이 탄력줄을 매고 점프대를 출발한 후 [eqn: 20~rmm]였던 탄력줄의 길이가 [eqn: 25~rmm]로 되는 순간에 탄력줄의 길이가 늘어나는 속도는 [eqn: 10~rmm/초]이고, 탄력줄의 반지름의 길이는 [eqn: {3} over {100} ~rmm]이다. 이 순간에 탄력줄의 반지름의 길이의 변화율을 [eqn: - {b} over {a} ~rmm/초]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold503]

	2010년 이전 수능 자연

반지름의 길이가 [eqn: 1~rmm]인 원판에 기대어 있는 막대 [eqn: rmbarOP]의 한 끝은 그림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 [eqn: rmO]에 고정되어 있다. 원판이 지면과 접하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으로 지면과 평행하게 등속도 [eqn: 1.5~rmm/초]로 움직인다.

[eqn: rm bar{OQ} =2`(rmm)]가 되는 순간, 막대 [eqn: rm bar OP]가 지면과 이루는 각의 크기 [eqn: theta]의 시간에 대한 순간변화율은?

(단, 단위는 라디안/초이다.) [2점]

① [eqn: - {3} over {5}]	② [eqn: - {3} over {2}]	③ [eqn: - {3} over {10}]

④ [eqn: - {sqrt {5}} over {6}]	⑤ [eqn: - {3} over {2 sqrt {5}}]

정답 ①