DAY 03. 쌍곡선

03

쌍곡선

	2016학년도 6월 평가원 B형 19

그림과 같이 초점이 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF']'과 [eqn: rmG], [eqn: rmG']이고 주축의 길이가 [eqn: 2], 중심이 원점 [eqn: rmO]인 두 쌍곡선이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP], 제[eqn: 3]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: bar{rm PG } times bar {rm QG} =8], [eqn: bar{rm PF} times bar{rm QF} =4]일 때 사각형 [eqn: rmPGQF]의 둘레의 길이는?

(단, 점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표와 점 [eqn: rmG]의 [eqn: y]좌표는 양수이다.) [4점]

① [eqn: 6+2 sqrt {2}]	② [eqn: 6+2 sqrt {3}]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 6+2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 6+2 sqrt {6}]

정답 ④

	2017학년도 6월 평가원 가형 18

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: x^2 over 16 - y^2 over 9 =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmP]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rmPF']을 반지름으로 하는 원을 [eqn: C``]라 하자. 원 [eqn: C``] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 선분 [eqn: rmFQ]의 길이의 최댓값이 [eqn: 14]일 때, 원 [eqn: C``]의 넓이는? (단, [eqn: bar{rm PF' } < bar {rm PF]) [4점]

① [eqn: 7pi]	② [eqn: 8pi]	③ [eqn: 9pi]

④ [eqn: 10pi]	⑤ [eqn: 11pi]

정답 ③

	2017학년도 사관학교 가형 24

두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']를 공유하는 타원 [eqn: x^2 over a + y^2 over 16 =1]과 쌍곡선 [eqn: x^2 over 4 - y^2 over 5 =1]이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 하나를 [eqn: rmP]라 할 때, [eqn: |`` {bar{rmPF}}^2 - {bar{rm PF'} } ^2 ``|]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]는 양수이다.) [3점]

정답 [eqn: bold40]

	2014학년도 6월 평가원 B형 12

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: 4x^2 over 9 - y^2 over 40 =1]의 두 초점은 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이고 점 [eqn: rmF]를 중심으로 하는 원 [eqn: C]는 쌍곡선과 한 점에서 만난다. 제[eqn: 2]사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmP]에서 원 [eqn: C]에 접선을 그었을 때 접점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: bar{rm PQ} =12]일 때, 선분 [eqn: rmPF']의 길이는? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 21over 2]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 23 over 2]	⑤ [eqn: 12]

정답 ①

	2012학년도 7월 교육청 가형 20

그림과 같이 [eqn: rmF(itp,~0)]을 초점으로 하는 포물선 [eqn: y^2 =4 px]와

[eqn: rmF(itp,~0)]과 [eqn: rmF' (-itp,~0)]을 초점으로 하는 쌍곡선

[eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 =1][eqn: (a>0,~b>0)]이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. [eqn: bar{rm AF} =5], [eqn: cos ``( rmangle AFF') = - 1over 5]일 때, [eqn: ab]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 3}]	③ [eqn: sqrt { 5}]

④ [eqn: sqrt { 7}]	⑤ [eqn: 3]

정답 ②

	2010학년도 10월 교육청 가형 8

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {6} =1]의 두 초점을 [eqn: rmF(itc,~0)], [eqn: rmF'(-itc,~0)]이라 하자. 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 지름의 양 끝점으로 하는 원과 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {6} =1]이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, [eqn: cos( rm angle PFF' )]의 값은? (단, [eqn: c]는 양수이다.) [4점]

① [eqn: {sqrt {10}} over {10}]	② [eqn: {sqrt {10}} over {15}]	③ [eqn: {2 sqrt {10}} over {15}]

④ [eqn: {sqrt {10}} over {5}]	⑤ [eqn: {3 sqrt {10}} over {10}]

정답 ①

	2010년 이전 수능 가형

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: x^2 over 16 - y^2 over 9 =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 제[eqn: 1]사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P와 제[eqn: 2]사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: bar{rm PF' } - bar{rm QF' } =3]일 때 [eqn: bar{rm QF} - bar{rm PF}]값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold13]

	2015학년도 9월 평가원 B형 25

[eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: a]에 대하여 타원 [eqn: x^2 + y^2 over a^2 =1]의 두 초점과 쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 =1]의 두 초점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이가 [eqn: 12]일 때, [eqn: a^2]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold19]

EBS 연계

2018학년도 수능 가형 27

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {8} - {y ^{2}} over {17} =1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmFP]가 직선 [eqn: rmF'P]에 동시에 접하고 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 원 [eqn: C]가 있다. 직선 [eqn: rmF'P]와 원 [eqn: C]의 접점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: bar{rmF'Q}=5 sqrt { 2}]일 때, [eqn: bar{rmFP}`^2`+bar{rmF'P}`^2]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: bar{rmF'P}`<bar{rmFP}]) [4점]

	2017학년도 4월 평가원 가형 4

쌍곡선 [eqn: { x^2} over {4 }- { y^2} over {9 }=1]의 주축의 길이는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

정답 ②

	2013학년도 6월 평가원 가형 5

쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over 9 =1]의 두 꼭짓점은 타원 [eqn: x^2 over 13 + y^2 over b^2 =1]의　두 초점이다. [eqn: a^2 + b^2]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

정답 ④

	2010년 이전 교육청 가형

쌍곡선 [eqn: x^2 over 4 - y^2 over 5 =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm angle F'PF]의 이등분선이 [eqn: x]축과 점 [eqn: rmA(1,~0)]에서 만날 때, 삼각형 [eqn: rm PF'F]의 둘레의 길이를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold18]

	2018학년도 6월 평가원 가형 10

주축의 길이가 [eqn: 4]인 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 점근선의 방정식이 [eqn: y=± {5} over {2} x]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

정답 ⑤

	2018학년도 9월 평가원 가형 9

다음 조건을 만족시키는 쌍곡선의 주축의 길이는? [3점]

㈎ 두 초점의 좌표는 [eqn: (5,~0)], [eqn: (-5,~0)]이다.

㈏ 두 점근선이 서로 수직이다.

① [eqn: 2 sqrt {2}]	② [eqn: 3 sqrt {2}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]

④ [eqn: 5 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 6 sqrt {2}]

정답 ④

	2013학년도 10월 교육청 B형 16

그림과 같이 한 초점이 [eqn: rmF]이고 점근선의 방정식이 [eqn: y=2x], [eqn: y=-2x]인 쌍곡선이 있다. 제[eqn: 1]사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmPF]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. [eqn: bar {rm OM } =6], [eqn: bar{rm MF} =3]일 때, 선분 [eqn: rm OF]의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 2sqrt { 10}]	② [eqn: 3sqrt { 5}]	③ [eqn: 5sqrt { 2}]

④ [eqn: sqrt { 55}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 15}]

정답 ②

EBS 연계

2017학년도 수능 가형 28

점근선의 방정식이 [eqn: y=+- 4over 3 x]이고 두 초점이 [eqn: rm F( it c`,~0)], [eqn: rm F prime (- it c`,~0)]([eqn: c>0])인 쌍곡선이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm bar PF' = 30], [eqn: 16 le rm bar PF le 20]이다.

㈏ [eqn: x]좌표가 양수인 꼭짓점 [eqn: rmA]에 대하여 선분 [eqn: rmAF]의 길이는 자연수이다.

이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold12]

	2013학년도 7월 교육청 B형 24

점근선의 방정식이 [eqn: y=+- 3over 4 x]이고, 한 초점의 좌표가 [eqn: (10,~0)]인 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold16]

	2011학년도 10월 교육청 가형 16

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]와 쌍곡선 [eqn: H]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 쌍곡선 [eqn: H]의 초점은 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmD]이다.

㈏ 쌍곡선 [eqn: H]의 점근선은 직선 [eqn: rmBE]와 직선 [eqn: rmCF]이다.

쌍곡선 [eqn: H]와 변 [eqn: rmAB]가 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, [eqn: bar{rm DP} - bar{rm AP]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: root 2]

④ [eqn: sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 2]

정답 ⑤

	2010년 이전 교육청 가형

쌍곡선 [eqn: x^2 over 2 - y^2 over 18 =1]과 직선 [eqn: y=ax+b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)의 교점의 개수에 대한 설명 중 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: a=-4]이고 [eqn: b=0]일 때 교점은 없다.

ㄴ. [eqn: a=3]이고 [eqn: b>0]일 때 교점은 [eqn: 1]개이다.

ㄷ. [eqn: a= 1over 3]이고 [eqn: b<0]일 때 교점은 [eqn: 2]개이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2010년 이전 평가원 가형

쌍곡선 [eqn: x^2 over 9 - y^2 over 3 =1]의 두 초점 [eqn: (2 sqrt { 3},~0)], [eqn: (-2root 3 ,~0)]을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP(itx,~y)]([eqn: x>0])에 대하여 선분 [eqn: rmF'P] 위의 점 [eqn: rmQ]가 [eqn: bar{rm FP} = bar {rm PQ}]를 만족시킬 때, 점 [eqn: rmQ]가 나타내는 도형 전체의 길이는? [4점]

① [eqn: pi]	② [eqn: root 3 pi]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: 2root 3 pi]

정답 ③

	2010년 이전 평가원 가형

두 초점을 공유하는 타원 [eqn: x^2 over 5 ^2 + y^2 over 4^2 =1]과 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선의 한 점근선이 [eqn: y= root 35 x]일 때 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거리는? [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

정답 ④

	2015학년도 6월 평가원 B형 12

쌍곡선 [eqn: x^2 over 8 - y^2 =1] 위의 점 [eqn: rmA(4,~1)]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 이 쌍곡선의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmFAB]의 넓이는? [3점]

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {7} over {12}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

정답 ②

	2017학년도 4월 교육청 가형 19

좌표평면에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 점근선의 방정식이 [eqn: y=± {sqrt {3}} over {3} x]이고 한 초점이 [eqn: {rmF}(4 sqrt {3} ,`0)]이다. 점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기는?

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: {2root3} over 3]	② [eqn: root3]	③ [eqn: {4root3} over 3]

④ [eqn: {5root3} over 3]	⑤ [eqn: 2root3]

정답 ①

	2014학년도 9월 평가원 B형 26

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF(3,~0)], [eqn: rmF'(-3,~0)]인

쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 =1] 위의 점 [eqn: rmP(4,~itk)]에서의 접선과 [eqn: x]축과의 교점이 선분 [eqn: rm F'F]를 [eqn: 2:1]로 내분할 때, [eqn: k^2]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold15]

EBS 연계

2013학년도 수능 가형 6

쌍곡선 [eqn: x^2 -4 y^2 =a] 위의 점 [eqn: (b,~1)]에서의 접선이 쌍곡선의 한 점근선과 수직이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수이다.) [3점]

① [eqn: 68]	② [eqn: 77]	③ [eqn: 86]

④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 104]

정답 ①

	2013학년도 9월 평가원 가형 12

좌표평면에서 쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b ^2 =1]의 한 점근선에 평행하고 타원 [eqn: x^2 over 8a^2 + y^2 over b^2 =1]에 접하는 직선을 [eqn: l]이라 하자. 원점과 직선 [eqn: l] 사이의 거리가 [eqn: 1]일 때, [eqn: 1 over a^2 + 1over b^2]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 19 over 2]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 21 over 2]	⑤ [eqn: 11]

정답 ①

	2012학년도 9월 평가원 가형 26

쌍곡선 [eqn: x^2 over 12 - y^2 over 8 =1]위의 점 [eqn: (a,~b)]에서의 접선이 타원

[eqn: {(x-2)^2 } over 4 + y^2 =1]의 넓이를 이등분할 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold52]

	2010년 이전 평가원 가형

쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 =32] 위의 점 [eqn: rmP(-6,~2)]에서의 접선 [eqn: l]에 대하여 원점 [eqn: rmO]에서 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 직선 [eqn: rmOH]와 이 쌍곡선이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 두 선분 [eqn: rmOH]와 [eqn: rmOQ]의 길이의 곱 [eqn: bar{rm OH } times bar {rm OQ]를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold32]

	2010년 이전 평가원 가형

직선 [eqn: y=3x+5]가 쌍곡선 [eqn: x^2 over a - y^2 over 2 =1]에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? [3점]

① [eqn: sqrt { 7}]	② [eqn: 2sqrt { 3}]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 2sqrt { 5}]	⑤ [eqn: 4sqrt { 3}]

정답 ④

	2016학년도 사관학교 B형 5

쌍곡선 [eqn: 7xz^2 - ay^2 =20] 위의 점 [eqn: (2,~b)]에서의 접선이 점 [eqn: (0,~-5)]를 지날 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

정답 ①

	2012학년도 사관학교 자연 10

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: 4x ^{2} -y ^{2} =4] 위의 점 [eqn: rmP(root 2 ,~2)]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하고, 이 쌍곡선의 두 점근선 중 기울기가 양수인 것을 [eqn: m], 기울기가 음수인 것을 [eqn: n]이라 하자. [eqn: l]과 [eqn: m]의 교점을 [eqn: rmQ], [eqn: l]과 [eqn: n]의 교점을 [eqn: rmR]라 할 때, [eqn: bar {rm QR} = itk bar{rmPQ]를 만족시키는 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt { 2}]	② [eqn: 3over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 7over 3]	⑤ [eqn: 1+root 2]

정답 ③