수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		3. 수열의 귀납법			반 / 번호
	01 수열의 귀납적 정의					이름

01 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{n+1} ` ^{2} =a _{n} a _{n+2} LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]를

만족하고 [eqn: a _{1} =1,`a _{2} =2]일 때, [eqn: a _{7}]의 값을 구하시오.

02 [eqn: a _{1} =2,`a _{n+1} =a _{n} +2n LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]으로 정의

된 수열 {[eqn: a _{n}]}에서 [eqn: a _{10}]의 값은?

① 90          ② 92          ③ 94

④ 96          ⑤ 98

03 수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여 [eqn: a _{1}]=2이고 [eqn: a _{n+1}]=[eqn: 2a _{n}]+2일 때, [eqn: a _{10}]의 값은?

① 1022        ② 1024        ③ 2021

④ 2046        ⑤ 2082

04 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =1]이고[eqn: a _{n} -a _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n+1} a _{n} LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k}]의 값은?

① [eqn: {200} over {101}]         ② [eqn: {300} over {101}]         ③ [eqn: {400} over {101}]

④ [eqn: {500} over {101}]         ⑤ [eqn: {600} over {101}]

05 [eqn: a _{1} =20,`a _{n+1} = {cases{{1} over {2} a _{n}&LEFT ( a _{n _{}} 이`짝수일`때 RIGHT )#a _{n} +1`&LEFT ( a _{n} 이`홀수일`때 RIGHT )}}]     ([eqn: n]=1, 2, 3, [eqn: CDOTS])로 정의된 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여[eqn: a _{2011}]의 값은?

① 1          ② 2          ③ 3

④ 4          ⑤ 5

06 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 70 cm인 정육면체 모양의 상자에 한 변의 길이가 10 cm인 정육면체 모양의 나무 블록을 다음 규칙에 따라 빈틈없이 가득 채우려고 한다.

[eqn: n]번째에 넣는 나무 블록의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 할 때,

㈎ [eqn: a _{1} =]10

㈏ [eqn: a _{n+1} = LEFT [ {a _{n}} over {2} RIGHT ]]+3, [eqn: n=]1, 2, 3, [eqn: CDOTS](단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

㈐ 상자를 가득 채우면 나무 블록 넣기를 멈춘다.

[eqn: k]번째에 상자를 가득 채웠다고 할 때, [eqn: k]의 값을

구하시오. (단, 상자의 두께는 무시한다.)

07 수직선 위에 두 점 P[eqn: {} _{1} LEFT ( 0 RIGHT )]과 P[eqn: {} _{2} LEFT ( 80 RIGHT )]이 있다. 선분 P[eqn: {} _{1}]P[eqn: {} _{2}]의 중점을 P[eqn: {} _{3} LEFT ( x _{3} RIGHT )], 선분P[eqn: {} _{2}]P[eqn: {} _{3}]의 중점을 P[eqn: {} _{4} LEFT ( x _{4} RIGHT ) ,~ CDOTS ,] 선분P[eqn: {} _{n}]P[eqn: {} _{n+1}]의 중점을 P[eqn: {} _{n+2} LEFT ( x _{n+2} RIGHT )]라고 할 때, [eqn: x _{20}]의 값은? (단, [eqn: x _{1}]=0, [eqn: x _{2}]=80)

① [eqn: {160} over {3} LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{19} RIGHT }]    ② [eqn: {160} over {3} LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{20} RIGHT }]

③ [eqn: 80 LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{19} RIGHT }]      ④ [eqn: 80 LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{20} RIGHT }]

⑤ [eqn: 160 LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{19} RIGHT }]

08 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이  [eqn: a _{1} =1,`a _{n+1} -a _{n} =3n] [eqn: LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]을 만족할 때, [eqn: a _{20} -a _{10}]의 값은?

① 435          ② 438          ③ 441

④ 444          ⑤ 447

09 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =2,~2a _{n+1} a _{n} -a _{n+1} +a _{n} =0] [eqn: LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]을 만족할 때, [eqn: a _{1} a _{2} +a _{2} a _{3} +a _{3} a _{4} + CDOTS +a _{9} a _{10}]의 값은?

① [eqn: - {39} over {29}]         ② [eqn: - {36} over {35}]         ③ [eqn: {40} over {43}]

④ [eqn: {39} over {40}]           ⑤ [eqn: {39} over {23}]

10 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =1,~a _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n}] [eqn: LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]을 만족할 때, [eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} + CDOTS +a _{1000}]을 10으로 나눈 나머지를 구하시오.

11 수열{[eqn: a _{n}]}의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 하면[eqn: a _{n} =n-S _{n} LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]이 성립한다. 이때, [eqn: a _{8}]의 값은?

① [eqn: {63} over {64}]         ② [eqn: {127} over {128}]         ③ [eqn: {255} over {256}]

④ [eqn: {511} over {512}]        ⑤ [eqn: {1023} over {1024}]

12  [eqn: a _{1} =1,`a _{2} =3]인 수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여 [eqn: x]에 관한 이차방정식 [eqn: a _{n} x ^{2} -2a _{n+1} x+a _{n+2} =0]은 중근 [eqn: x= alpha _{n}]을 갖는다. 이때, [eqn: alpha _{1} + alpha _{2} + alpha _{3} + CDOTS + alpha _{10}]의 값을 구하시오.

13 실험 용기 안에 박테리아 5마리가 들어 있다. 이 박테리아는 한 시간마다 두 마리가 죽고, 나머지는 두 배로 증식한다고 한다. 한 시간마다 박테리아의 수를 측정한다고 할 때, 살아 있는 박테리아의 수가 처음으로 1000마리를 넘는 것은 몇 시간 후인가?

① 6          ② 7          ③ 8

④ 9          ⑤ 10

14 수열 {[eqn: a _{n}]}이 [eqn: a _{n+2} =a _{n+1} -a _{n} LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]을 만족하고 [eqn: a _{1} =a,```a _{2} =b]일 때, 수열 {[eqn: a _{n}]}의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을[eqn: S _{n}]이라고 하자. 이때, 옳은   것만을 다음 중에서 있는 대로 고른 것은? (단,[eqn: ab != 0,`a != b])

① ㄱ          ② ㄷ          ③ ㄱ, ㄴ

ㄱ. [eqn: a _{n}]=0인 자연수 [eqn: n]은 존재하지 않는다.

ㄴ. 수열 {[eqn: a _{n}]}과 {[eqn: S _{n}]}은 같은 간격으로 항이 반복된다.

ㄷ. [eqn: S _{25} =a _{7}]

④ ㄱ, ㄷ [eqn: `]     ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]을 [eqn: { a _{1} =100,````a _{n+1} +3=a _{n```} LEFT ( n=1,``2,``3,` CDOTS RIGHT ) }``]으로 정의할 때,[eqn: { a _{k} =13 }``]을 만족시키는 자연수 [eqn: { k }``]의 값은?

① [eqn: { 28 }``]              ② [eqn: { 29 }``]             ③ [eqn: { 30 }``]

④ [eqn: { 31 }``]              ⑤ [eqn: { 32 }``]

16 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]에서 [eqn: { a _{1} =-62,````a _{2} =-58 }``]이고,[eqn: { a _{n+2} -2a _{n+1} +a _{n} =0 }``] [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,`2,``3,`` CDOTS RIGHT ) }``]이 성립한다. 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]의 첫째항부터 제 [eqn: { n }``]항까지의 합을 [eqn: { S _{n} }``]이라 할 때, [eqn: { S _{n} }``]의 값이 최소가 되는 [eqn: { n }``]의 값은?

① [eqn: { 15 }``]              ② [eqn: { 16 }``]              ③ [eqn: { 17 }``]

④ [eqn: { 18 }``]              ⑤ [eqn: { 19 }``]

17 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]을 [eqn: { a _{1} =2,````a _{n} =2a _{n+1} }``] [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT ) }``]으로 정의할 때,[eqn: { a _{100} =2 ^{k} }``]이다. 이 때,[eqn: { k }``]의 값을 구하여라.

18 [eqn: { a _{1} =2,````a _{2} =6 }``]인 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]에 대하여 이차방정식 [eqn: { a _{n} x ^{2} +2a _{n+1} x+a _{n+2} =0 }``] [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,`2,``3,`` CDOTS RIGHT ) }``]이 중근 [eqn: { b _{n} }``]을 가진다고 한다. 이 때,[eqn: { sum _{k=1} ^{10} b _{k} }``]의 값은?

① [eqn: { -30 }``]            ② [eqn: { -10 }``]           ③ [eqn: { 10 }``]

④ [eqn: { 30 }``]              ⑤ [eqn: { 60 }``]

19 수열[eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]이 [eqn: { a _{1} =1,````a _{n+1} =a _{n} +n ^{2} -1 }``][eqn: { LEFT ( 단,`n=1,`2,``3,`` CDOTS RIGHT ) }``]을 만족시킬 때,[eqn: { a _{10} }``]의 값을 구하여라.

20 수열[eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]에 대하여 [eqn: { a _{1} =0,````a _{n} =a _{n-1} +f(n) }``] [eqn: { LEFT ( n=2,``3,``4,`` CDOTS RIGHT ) }``]이 성립할 때, 다음 중 [eqn: { a _{10} }``]의 값과 같은 것은?

① [eqn: { sum _{k=0} ^{10} ``f`(k) }``]       ② [eqn: { sum _{k=1} ^{10} ``f`(k) }``]    ③ [eqn: { sum _{k=2} ^{10} ``f`(k) }``]
④ [eqn: { sum _{k=1} ^{9} ``f`(k) }``]       ⑤ [eqn: { sum _{k=2} ^{9} ``f`(k) }``]

21 함수 [eqn: { f(x) }``]가 모든 자연수 [eqn: { n }``]에 대하여[eqn: { f(n+1)=f(n)+4n-10 }``]을 만족시킨다. [eqn: { f(1)=8 }``]일 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{10} f(k) }``]의 값은?

① [eqn: { 280 }``]           ② [eqn: { 290 }``]           ③ [eqn: { 300 }``]

④ [eqn: { 310 }``]           ⑤ [eqn: { 320 }``]

22 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]을[eqn: { a _{1} =1,~a _{n} -a _{n-1} =2 ^{n-1} ````(n=2,~3,~4,~ CDOTS ) }``]으로 정의할 때, [eqn: { a _{k} =1023 }``] 을 만족하는 자연수 [eqn: { k }``]의 값을 구하여라.

23 수열[eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]이 [eqn: { a _{1} =2,````a _{n+1} =a _{n} + {1} over {n(n+1)} }``] [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,`2,``3,` CDOTS RIGHT ) }``]을 만족시킬 때,[eqn: { a _{30} -a _{5} }``]의 값은?

① [eqn: { {1} over {30} }``]             ② [eqn: { {1} over {6} }``]             ③ [eqn: { {1} over {5} }``]
④ [eqn: { {1} over {3} }``]              ⑤ [eqn: { {1} over {2} }``]

24 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]을[eqn: { a _{1} =3,~a _{n+1} =a _{n} + {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}] [eqn: (n=1,`2,`3,` CDOTS )]로 정의할 때, [eqn: { a_100 }``] 의 값을 구하여라.

25 [eqn: { a _{1} =1,~a _{n+1} = {n+3} over {n+1} ``a _{n} ````(n=1,~2,~3,~ CDOTS ) }``] 을 만족하는 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]의 제 [eqn: { 20 }``]항은?

① [eqn: { 71 }``]             ② [eqn: { 73 }``]            ③ [eqn: { 75 }``]
④ [eqn: { 77 }``]             ⑤ [eqn: { 79 }``]

26 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]이	[eqn: { a _{1} =1,~ sqrt {n+2} ``a _{n+1} = sqrt {n} ``a _{n}] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS )]을 만족할 때, [eqn: { a _{49} }``] 의 값을 구하여라.

27 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]이 [eqn: { a _{1} =4,````a _{n} = {n ^{2} +2n+1} over {n ^{2} +2n} a _{n+1} }``] [eqn: { LEFT ( 단,```n=1,```2,````3,```` CDOTS RIGHT ) }``]을 만족시킬 때,[eqn: { a _{n} }``]을 [eqn: { n }``]에 대한 식으로 나타내어라.

28 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]에서
[eqn: { a _{1} =1 }``], [eqn: { a _{n+1} =n`a _{n} ```` LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT ) }``]일 때,
[eqn: { a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+`a _{2010} }``]을 [eqn: { 120 }``]으로 나눈 나머지는?

① [eqn: { 30 }``]             ② [eqn: { 31 }``]           ③ [eqn: { 32 }``]
④ [eqn: { 33 }``]             ⑤ [eqn: { 34 }``]

29 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]에서	[eqn: { a _{1} =1,````a _{n+1} =n`a _{n} }``] [eqn: { LEFT ( 단,`n=1,``2,``3,`` CDOTS RIGHT ) }``]일 때,[eqn: { a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{2010} }``]을 [eqn: { 120 }``]으로 나눈 나머지는?

① [eqn: { 30 }``]             ② [eqn: { 31 }``]            ③ [eqn: { 32 }``]
④ [eqn: { 33 }``]             ⑤ [eqn: { 34 }``]

30 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``] 을 [eqn: { a _{1} =1,~a _{n+1} =-3a _{n} +2`````(n=1,~2,~3,~ CDOTS ) }``]로 정의할 때, [eqn: { a _{7} }``]의 값은?

① [eqn: { 305 }``]             ② [eqn: { 325 }``]          ③ [eqn: { 345 }``]
④ [eqn: { 365 }``]             ⑤ [eqn: { 385 }``]

31 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]에 대하여
[eqn: { a_1 = -2 }``], [eqn: { a _{n+1} =2a _{n} +5 }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~ CDOTS ) }``]가 성립할 때, [eqn: { a _{k+1} -a _{k} GEQ 300 }``]을 만족시키는 자연수 [eqn: { k }``]의 최솟값을 구하여라.

32 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]이 [eqn: { a_1 = 1 }``], [eqn: { 2a _{n+1} -a _{n} +2=0 }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~ CDOTS ) }``]을 만족시킬 때, [eqn: { sum from k=1 to n a_k }``]의 값은?

① [eqn: { 4 LEFT ( 1- {1} over {2` ^{n}} RIGHT ) -n` }``]         ② [eqn: { 6 LEFT ( 1- {1} over {2` ^{n}} RIGHT ) -2n` }``]
③ [eqn: { 4 LEFT ( 1- {1} over {2` ^{n}} RIGHT ) -2` ^{n-1} ` }``]     ④ [eqn: { 6 LEFT ( 1- {1} over {2` ^{n}} RIGHT ) -2` ^{n} ` }``]
⑤ [eqn: { 4 LEFT ( 1- {1} over {2` ^{n-1}} RIGHT ) +n` }``]

33 수열 [eqn: { left{a_n right }``]이	[eqn: { a_2 = 3a_1 }``], [eqn: { a_n+2 -3a_n+1 +2a_n =0 }``] [eqn: { (n=1,~2,~3,~cdots ) }``]을 만족시키고 [eqn: { a_8 = 85 }``]일 때, [eqn: { a_10 }``]의 값을 구하여라.

34 [eqn: { a_1 = 2 }``], [eqn: { a_2 = 5 }``], [eqn: { 4a_n+1 = a_n+2 + 3a_n }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~ CDOTS ) }``]인 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]에서 처음으로 [eqn: { 100 }``] 이상이 되는 항은 제 몇 항인가?

① [eqn: { 4 }``]               ② [eqn: { 5 }``]                ③ [eqn: { 6 }``]
④ [eqn: { 7 }``]               ⑤ [eqn: { 8 }``]

35 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]이  [eqn: { a_1 =1 }``], [eqn: { a_n+1 = a_n over{2a_n +1 } }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~cdots ) }``]을 만족시킬 때, 제 [eqn: { 100 }``]항은?

① [eqn: { 1 over197 }``]           ② [eqn: { 1 over 199 }``]          ③ [eqn: { 1 over201 }``]
④ [eqn: { 1 over 203 }``]          ⑤ [eqn: { 1 over205 }``]

36 수열 [eqn: { left{ a_n right} }``]이 [eqn: { a_1 =1 }``], [eqn: { 1 over a_n+1 = {1 - 3 a_n } overa_n }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~cdots ) }``]으로 정의될 때, 일반항 [eqn: { a_n }``]은?

① [eqn: { a_n = 4-3n }``]           ② [eqn: { a_n = 1 over 4-3n }``]
③ [eqn: { a_n = 1 over 3n-2 }``]          ④ [eqn: { a_n = 3^n-1 }``]
⑤ [eqn: { a_n = left(1 over3 right)^n-1 }``]

37 [eqn: { a_1 = 2 }``], [eqn: { a_n+1 = 2a_n over 1+a_n }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~cdots) }``]으로 정의된 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]에 대하여 [eqn: { a_10 }``]의 값을 구하여라.

38 [eqn: { a_1 =1 }``], [eqn: { a_n+1 = 3a_n`^2 }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~ CDOTS ) }``]으로 정의된 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]에 대하여 [eqn: { a_k = 3^31 }``]을 만족시키는 자연수 [eqn: { k }``]의 값을 구하여라.

39 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]에 대하여	[eqn: { a_1 = 1 }``], [eqn: { a _{n} +a _{n+1} =(-1) ^{n} }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~ CDOTS ) }``]이 성립할 때, [eqn: { a _{100} }``]의 값을 구하여라.

40 [eqn: { a_1 = 3 }``], [eqn: a _{n+1} =`(`9a _{n} ``]을 [eqn: { 7 }``]로 나눈 나머지[eqn: { ) }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~cdots) }``]로 정의된 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]에 대하여 [eqn: { a_98 + a_99 + a_100 }``]의 값은?

① [eqn: { 11 }``]              ② [eqn: { 12 }``]           ③ [eqn: { 13 }``]
④ [eqn: { 14 }``]              ⑤ [eqn: { 15 }``]

41 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]이 [eqn: { a_1 =1 }``], [eqn: { a_2 =1 }``], [eqn: { a_n+2 =a_n + a_n+1 }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~cdots ) }``]을 만족시킨다. [eqn: { a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,~ cdots,~a_100 }``] 중에서 짝수의 개수는?

① [eqn: { 31 }``]             ② [eqn: { 32 }``]             ③ [eqn: { 33 }``]
④ [eqn: { 49 }``]             ⑤ [eqn: { 50 }``]

42 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]에서 [eqn: { a_1 =1 }``], [eqn: { a_2 = 2 }``], [eqn: { a_3 = 4 }``]이고[eqn: { a _{n-1} a _{n+1} =a _{n} a _{n+2} }``]  [eqn: { (n=1,~2,~3,~ CDOTS ) }``]일 때 [eqn: { sumfrom k=1 to 20 a_k }``]의 값을 구하여라.

43 [eqn: { a_1 =3 }``], [eqn: { a_n+1 =3a_n + 3^n+1 }``][eqn: { (n ge1) }``]으로 정의된 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]에 대하여 [eqn: { a_10 }``]의 값은?

① [eqn: { 9 cdot3^9 }``]        ② [eqn: { 9cdot3^10 }``]        ③ [eqn: { 10cdot3^9 }``]
④ [eqn: { 10cdot3^10 }``]      ⑤ [eqn: { 11cdot3^10 }``]

44 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]에 대하여	[eqn: { a_1 =1 }``], [eqn: { a_2 =3 }``], [eqn: { a_n+2 -2a_n+1 + a_n =5 }``] [eqn: { (n=1,~2,~3,~cdots) }``]가 성립할 때, [eqn: { a_20 }``]의 값은?

① [eqn: { 890 }``]          ② [eqn: { 891 }``]            ③ [eqn: { 892 }``]
④ [eqn: { 893 }``]          ⑤ [eqn: { 894 }``]

45 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여	[eqn: a_1 =1], [eqn: 4a _{n} ``a _{n+1} =a _{n} -a _{n+1}]  [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]이 성립할 때, [eqn: sum from k=1 to 10 1 overa_k]의 값을 구하여라.

46 [eqn: a_1 =2], [eqn: na_n+1 = (n+1)a_n +1] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS )]로 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]의 제 [eqn: 50]항은?

① [eqn: 148]            ② [eqn: 149]            ③ [eqn: 150]
④ [eqn: 151]            ⑤ [eqn: 152]

47 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여   [eqn: a_1 =1], [eqn: n``a _{n+1} a _{n} =(n+1) ^{2} ``a _{n} -n ^{2} ``a _{n+1}]이 성립할 때, [eqn: a_10]의 값을 구하여라.

48 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면 [eqn: a_1 = -1], [eqn: S_n =2a_n +n]  [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]이 성립한다. 이 때, [eqn: a_99]의 값은?

① [eqn: -2^100]         ② [eqn: 1-2^100]       ③ [eqn: -2^99]
④ [eqn: 1-2^99]        ⑤ [eqn: -2^98]

49 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
[eqn: a_1 =5], [eqn: a_n = a_1 + a_2 + a_3 + cdots+a_n-1][eqn: (n=2,~3,~4,~cdots)]
일 때, [eqn: a_7 -a_5]의 값을 구하여라.

50 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 =S_n +3]  [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots )]이 성립한다. 이 때, [eqn: S_9]의 값은?

① [eqn: 511]            ② [eqn: 513]          ③ [eqn: 1021]
④ [eqn: 1023]          ⑤ [eqn: 1025]

51 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면 [eqn: S_n =pa_n +q]  [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots )]가 성립한다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?(단, [eqn: p], [eqn: q]는 상수이고 [eqn: p!=1]이다.)

ㄱ. [eqn: a_1 = q over1-p]

ㄴ. 수열 [eqn: left{a_n right}]은 등비수열이다.

ㄷ. [eqn: p>1]이면 [eqn: 1 overa_n > 1 over a_n+1]이다.

① ㄱ              ② ㄴ            ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

52 [eqn: a_1 =1]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여[eqn: 3(a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n} )=(n+2)a _{n}] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS )]이 성립할 때, [eqn: a_k = 55]를 만족시키는 [eqn: k]의 값을 구하여라.

53 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =3]인 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면[eqn: (S _{n+1} -S _{n-1} ) ^{``2} =4`a _{n} `a _{n+1} +4],[eqn: (n=2,~3,~4,~cdots )]가 성립한다. 이 때 [eqn: a_20]의 값은? (단 [eqn: a_1 < a_2 < a_3 < cdots < a_n < cdots])

① [eqn: 38]             ② [eqn: 39]             ③ [eqn: 40]
④ [eqn: 41]             ⑤ [eqn: 42]

54 평면 위의 어느 세 작선도 평행하지 않고 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않도록 [eqn: { n }``]개의 직선을 그을 때, 이 직선들에 의해 분할된 평면의 개수를 [eqn: { a_n }``]이라 하자. 예를 들어 다음 그림에서 [eqn: { a_3 = 7 }``]이다. 이 때 [eqn: { a_10 }``]의 값은?

① [eqn: { 56 }``]             ② [eqn: { 58 }``]             ③ [eqn: { 60 }``]
④ [eqn: { 64 }``]             ⑤ [eqn: { 72 }``]

55 평면 위에 다음 두 조건을 만족시키는 [eqn: { n }``]개의 원이 있다.

(가) 임의의 두 원은 항상 두 점에서 만난다.

(가) 세 개 이상의 원이 동시에 지나는 점은 없다.

[eqn: { n }``]개의 원의 교점의 개수를 [eqn: { a_n }``]이라 할 때, [eqn: { a_20 }``]의 값을 구하여라.

56 어떤 용기 안에 [eqn: { 6 }``]마리의 세균이 들어 있는데 한 시간 동안 [eqn: { 2 }``]마리는 죽고 나머지는 각각 [eqn: { 3 }``]마리로 분열한다고 한다. 한 시간마다 세균의 수를 측정한다고 할 때, 측정한 세균의 수가 처음으로 [eqn: { 2000 }``]마리를 넘는 것은 몇 시간 후인지 구하여라.

57 상자 속에 들어 있는 [eqn: { 7 }``]장의 색종이 중에서 임의로 [eqn: { 2 }``]장을 꺼내어 버리고 나머지 색종이는 각각 [eqn: { 2 }``]조각으로 자른다. 같은 방법으로 상자 속의 색종이 중에서 [eqn: { 2 }``]장을 꺼내어 버리고 나머지 색종이는 각각 [eqn: { 2 }``]조각으로 자르는 작업을 [eqn: { n }``]회 반복하였을 때, 상자 속에 들어 있는 색종이의 수는?

① [eqn: { 3cdot2^n -4 }``]     ② [eqn: { 3cdot2^n -2 }``]

③ [eqn: { 3cdot2^n }``]         ④ [eqn: { 3cdot2^n +2 }``]

⑤ [eqn: { 3cdot2^n +4 }``]

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		3. 수학적 귀납법			반 / 번호
	02 수학적 귀납법					이름

01 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n ^{3} +2n]이 [eqn: 3]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

02 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 = { a_n} over {1+a_n }] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])을 만족시키는 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_n = { 1} over {n }]임을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

03 자연수 [eqn: n]에 대한 명제 [eqn: p(n)]에 대하여 다음이 성립한다.

[Ⅰ] [eqn: p(1)]이 참이다.

[Ⅱ] [eqn: p(n)] 또는 [eqn: p(n+1)]이 참이면 [eqn: p(n+2)]가 참이다.

다음 중 반드시 참이라고 할 수 없는 것은?

① [eqn: p(2)]	② [eqn: p(3)]	③ [eqn: p(4)]

④ [eqn: p(5)]	⑤ [eqn: p(6)]

04 다음은 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 1+3+5+cdots+(2n-1)=n^2]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (좌변)=(우변)=1]이므로 주어진 등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+3+5+cdots+(2k-1)=k^2]

양변에 을 더하면

㈎

[eqn: left{1+3+5+cdots+(2k-1) right}+]

㈎

[eqn: =k^2 +]=

㈎

㈏

이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 등식이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

① [eqn: 2k+1], [eqn: k^2]	② [eqn: 2k+1], [eqn: (k+1)^2]

③ [eqn: 2k-1], [eqn: k^2]	④ [eqn: 2k-1], [eqn: (k+1)^2]

⑤ [eqn: k-1], [eqn: (k+1)^2]

05 다음은 [eqn: n geq 3]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: 2^n > 2n+1]이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: 2^3 > 2 cdot 3 +1]이므로 주어진 등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] ([eqn: k geq])일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면  [eqn: 2^k > 2k+1]

㈎

이때 [eqn: 4k+2>]이므로 [eqn: 2 ^{k+1} >]

㈏

㈏

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 등식이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

① [eqn: 2], [eqn: 2k+1]	② [eqn: 2], [eqn: 2(k+1)]

③ [eqn: 3], [eqn: 2k+1]	④ [eqn: 3], [eqn: 2(k+1)]

⑤ [eqn: 3], [eqn: 2(k+1`)+`1]

06 다음은 [eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: (1+x)^n >1+nx] ([eqn: x >0])가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것의 일부이다.

[eqn: n=k] ([eqn: k geq 2])일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 [eqn: (1+x)^k >1+kx]         [eqn: cdotscdots]㉠

㉠의 양변에 를 곱하면

㈎

[eqn: (1+x)^k+1 > (1+kx)] ()

㈎

이 식의 우변을 전개하면

[eqn: 1+(k+1)x+][eqn: >1+(k+1)x]

㈏

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

① [eqn: 1+x], [eqn: kx]	② [eqn: 1+x], [eqn: kx^2]

③ [eqn: 1+x], [eqn: k^2 x^2]	④ [eqn: (1+x)^2], [eqn: kx]

⑤ [eqn: (1+x)^2], [eqn: kx^2]

07 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

[eqn: 1+2+2^2 +cdots+2^n-1 =2^n -1]

08 [eqn: h>0]일 때 [eqn: n ge 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

[eqn: (1+h)^n > 1+nh]

09 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

[eqn: 1^2 +2^2 +3^2 +cdots +n^2 = { n(n+1)(2n+1)} over { 6}]

10 [eqn: n]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때, 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

[eqn: 1+ { 1} over {2 }+ { 1} over {3 }+cdots+ { 1} over { n}> { 2n} over {n+1 }]

11 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 =2a_n +1] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])로 정의될 때, 일반항은 [eqn: a_n = 2^n -1]임을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

12 [eqn: n]이 자연수일 때 [eqn: 2^n+1 +3^2n-1]이 [eqn: 7]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

13 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_2 =3], [eqn: a_n+2 -3a_n+1 +2a_n =0] ([eqn: n ge 1])으로 정의될 때, 일반항은 [eqn: a_n = 2^n-1 -1]임을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

14 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3^2n -1`]은 [eqn: 8]로 나누어 떨어짐을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

15 [eqn: n]이 자연수일 때 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

⑴ [eqn: 1 cdot 2 +2 cdot 3+ 3 cdot 4 + cdots +n(n+1)]

[eqn: = { 1} over { 3}n(n+1)(n+2)]

⑵ [eqn: { 1} over { 1 cdot2}+ { 1} over { 2 cdot 3} + { 1} over {3 cdot 4} + cdots + { 1} over {n(n+1) }]

[eqn: = { n} over {n+1 }]

16 다음 부등식이 괄호 안읜 주어진 자연수 [eqn: n]의 범위에서 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

⑴ [eqn: 2^n > 3n -2] ([eqn: n ge 3])

⑵ [eqn: {1} over {1 ^{2}} + {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} +cdots+ {1} over {n ^{2}} <2- {1} over {n}] ([eqn: n GEQ 2])

17 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.

⑴ [eqn: n(n^2 +5)]는 [eqn: 6]의 배수이다.

⑵ [eqn: 11^n -4^n]은 [eqn: 7]의 배수이다.

18 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식 [eqn: x^n -nx +n -1]은 항상 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어짐을 증명하여라.

19 수열  [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} = {1} over {2} ,~ LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) a _{n+1} =n ^{2} a _{n}] [eqn: LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]일 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a_{k} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {k ^ 2} - {n} over {n+1} CDOTS CDOTS LEFT ( ✽ RIGHT )]이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 식을 구하시오.

[Ⅰ] [eqn: n=]1일 때, (좌변)=[eqn: {1} over {2}], (우변)=1-[eqn: {1} over {2}]=[eqn: {1} over {2}]이므로

(✽)이 성립한다.

[Ⅱ] [eqn: n=m]일 때, (✽)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1}]

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} +a _{m+1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} +]        [eqn: a _{m}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} + {m ^{2}} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )}]

[eqn: cdot {LEFT ( m-1 RIGHT ) ^{2}} over {m LEFT ( m+1 RIGHT )} cdot CDOTS cdot {1 ^{2}} over {2 cdot 3} a _{1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} +]

[eqn: =][eqn: sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} + {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2}} -]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} {1} over {k ^{2}} - {m+1} over {m+2}]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때에도 (✽)이 성립한다.

[Ⅰ], [Ⅱ]에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (✽)이

성립한다.

(나)

(다)

(가)

20 자연수 [eqn: n]에 대한 명제 [eqn: p LEFT ( n RIGHT )]이 다음 두 조건

을 모두 만족한다.

㈎ [eqn: p LEFT ( 1 RIGHT )]이 참이다.

㈏ [eqn: p LEFT ( n RIGHT )]이 참이면 [eqn: p LEFT ( 2n RIGHT )]과 [eqn: p LEFT ( 5n RIGHT )]이 참이다.

다음 중 반드시 참이라고 할 수 없는 명제는?

① [eqn: p LEFT ( 25 RIGHT )]         ② [eqn: p LEFT ( 100 RIGHT )]         ③ [eqn: p LEFT ( 125 RIGHT )]

④ [eqn: p LEFT ( 150 RIGHT )]        ⑤ [eqn: p LEFT ( 250 RIGHT )]

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		3. 수학적 귀납법			정답
	01 수열의 귀납적 정의

01  [eqn: 64]

답

해

설

[eqn: a _{n+1} ` ^{2} =a _{n} a _{n+2}]이므로 수열 {[eqn: a _{n}]}은 등비수열이다.

이때, 첫째항은 [eqn: a _{1} =1], 공비는 [eqn: {a _{2}} over {a _{1}}]=2이므로

[eqn: a _{n} =1`·`2 ^{n-1} =2 ^{n-1} ``````````````` THEREFORE a _{7} =2 ^{6} =64]

02  ②

답

해

설

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +2n에]

[eqn: n=1,`2,`3,` CDOTS ,`n-1을`차례로`대입 하면# a _{2} =a _{1} +2`·`1# a _{3} =a _{2} +2`·`2# a _{4} =a _{3} +2`·3# ````````````````````````` VDOTS # a _{n} =a _{n-1} +2`·` LEFT ( n-1 RIGHT )]

위의 식들을 변끼리 더하면

[eqn: a _{n} =a _{1} + LEFT { 2`·`1+2`·`2+2`·`3+` CDOTS `+2`·`(n-1) RIGHT }# ``````=a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 2k=2+(n-1)n=n ^{2} -n+2# THEREFORE a _{10} =10 ^{2} -10+2=92]

다

른

풀

이

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =2n]이므로 수열 {[eqn: a _{n}]}의 계차수열의 일반항이 [eqn: 2n]이다. 따라서

[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 2k=n ^{2} -n+2이므로`````a _{10} =92]

03  ④

답

해

설

[eqn: a _{n+1} - alpha =2 LEFT ( a _{n} - alpha RIGHT ) 로`놓으면# a _{n+1} =2a _{n} - alpha `````````` THEREFORE alpha =-2]

[eqn: a _{n+1} +2=2 LEFT ( a _{n} +2 RIGHT )]이므로 수열[eqn: LEFT { a _{n} +2 RIGHT }]는 첫째항이 2+2=4, 공비가 2인 등비수열이다.

따라서 [eqn: a _{n} +2=4 cdot 2 ^{n-1} =2 ^{n+1}]이므로

[eqn: a _{n} =2 ^{n+1} -2]

[eqn: THEREFORE a _{10} =2 ^{11} -2=2048-2=2046]

04  ①

답

해

설

[eqn: a _{n} -a _{n+1} =(n+1)a _{n+1} a _{n} 의`양변을][eqn: `a _{n+1} a _{n} 으로`나누면# {1} over {a _{n+1}} - {1} over {a _{n}} =n+1# {1} over {a _{n}} =b _{n} 이라고`하면`````b _{n+1} -b _{n} =n+1# THEREFORE b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} (k+1)# ``````````````````=1+ {(n-1)n} over {2} +(n-1)= {n(n+1)} over {2}# 따라서`a _{n} = {2} over {n(n+1)} =2 LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) 이므로# sum _{k=1} ^{100} a _{k} =2 sum _{k=1} ^{100} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT )# ``````````````````````=2 LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {100} - {1} over {101} RIGHT ) RIGHT }# ``````````````````````=2 LEFT ( 1- {1} over {101} RIGHT ) = {200} over {101}]

05  ②

답

해

설

수열 {[eqn: a _{n}]}의 정의에 의하여

[eqn: a _{2} = {1} over {2} a _{1} = {1} over {2} `·`20=10# a _{3} = {1} over {2} a _{2} =5,`a _{4} =a _{3} +1=6# a _{5} =3,`a _{6} =4,`a _{7} =2,`a _{8} =1,`a _{9} =2,`a _{10} =1,` CDOTS # THEREFORE a _{n} = {cases{2&(n=2k-1,`k GEQ 4)#1&(n=2k,`k GEQ 4)}}# THEREFORE a _{2011} =2]

06  [eqn: 56]

답

해

설

채워야 할 전체 나무 블록의 개수는 [eqn: 7 ^{3} =]343(개)이고,

[eqn: a _{2} = LEFT [ {10} over {2} RIGHT ] +3=5+3=8,`a _{3} = LEFT [ {8} over {2} RIGHT ] +3=4+3=7# a _{4} = LEFT [ {7} over {2} RIGHT ] +3=3+3=6,`a _{5} = LEFT [ {6} over {2} RIGHT ] +3=3+3=6# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````` VDOTS # `즉,````n GEQ 4일````때````a _{n} 의````값은````항상 ````6이므로]

{[eqn: a _{n}]}: 10, 8, 7, 6, 6, 6,[eqn: CDOTS]

[eqn: k]번째까지 채운 나무 블록의 수는

10+8+7+6([eqn: k]-3)=6[eqn: k]+7 (단, [eqn: k][eqn: GEQ]3)이므로 상자를 가득 채우려면

[eqn: 6k+7 GEQ 343에서 ```` 6k` GEQ 336 ```````` THEREFORE k GEQ 56]

따라서 56번째에 상자를 가득 채우므로 구하는 [eqn: k]의 값은 56이다.

07  ①

답

해

설

[eqn: x _{n+2} = {x _{n} +x _{n+1}} over {2} 이므로]

[eqn: x _{n+2} = {1} over {2} x _{n+1} + {1} over {2} x _{n}# x _{n+2} -x _{n+1} =- {1} over {2} (x _{n+1} -x _{n} )]

즉, 수열 {[eqn: x _{n}]}의 계차수열은 첫째항이    [eqn: x _{2} -x _{1} =80,] 공비가 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: x _{n} =x _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 80 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{k-1}# ```````````=0+80`·` {LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }} over {1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT )}]

[eqn: = {160} over {3} LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE x _{20} = {160} over {3} LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{19} RIGHT }]

08  ①

답

해

설

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =3n에`````n=19,```18,```` CDOTS ,```10]을 차례로 대입하면

[eqn: a _{20} -a _{19} =3`·`19# a _{19} -a _{18} =3`·`18# a _{18} -a _{17} =3`·`17# ``````````````````` VDOTS # a _{11} -a _{10} =3`·`10]

위의 식들을 변끼리 더하면

[eqn: a _{20} -a _{10} =3`·`19+3`·`18+3`·`17+` CDOTS `+3`·`10# ```````````````````````````````=3`·` {10(10+19)} over {2} =435]

다

른

풀

이

수열 {[eqn: a _{n}]}의 계차수열의 일반항이 [eqn: 3n]이므로

[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 3k=1+ {3(n-1)n} over {2}# THEREFORE a _{20} -a _{10} = LEFT ( 1+ {3`·`19·`20} over {2} RIGHT ) - LEFT ( 1+ {3`·`9·`10} over {2} RIGHT )]

[eqn: =435]

09  ②

답

해

설

[eqn: 2a _{n+1} a _{n} -a _{n+1} +a _{n} =0`````````````````````````````````````````` CDOTS CDOTS ㉠# 양변을`````a _{n+1} a _{n} 으로`나누면````` {1} over {a _{n+1}} - {1} over {a _{n}} =-2]

따라서 수열 [eqn: LEFT { {1} over {a _{n}} RIGHT }]은 공차가 -2인 등차수열이므로

[eqn: {1} over {a _{n}} = {1} over {a _{1}} +(n-1)`·`(-2)=-2n+ {5} over {2}# THEREFORE a _{n} = {1} over {-2n+ {5} over {2}} = {2} over {-4n+5}# ㉠에서`a _{n+1} a _{n} = {1} over {2} (a _{n+1} -a _{n} )이므로# a _{`1} a _{2} +a _{2} a _{3} +a _{3} a _{4} +` CDOTS `+a _{9} a _{10}# = {1} over {2} LEFT { LEFT ( a _{2} -a _{1} RIGHT ) +(a _{3} -a _{2} )+(a _{4} -a _{3} )+` CDOTS`]

[eqn: +(a _{10} -a _{9} ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} (a _{10} -a _{1} )= {1} over {2} LEFT ( - {2} over {35} -2 RIGHT ) =- {36} over {35}]

10  [eqn: 6]

답

해

설

[eqn: a _{n+1} =(n+1)a _{n} 에`n=1,`2,`3,` CDOTS ,`n-1]을 차례로 대입하면

[eqn: a _{2} =2`·`a _{1}# a _{3} =3`·`a _{2}# a _{4} =4`·`a _{3}# ```````````````` VDOTS # a _{n} =n`·`a _{n-1}]

위의 식들을 변끼리 곱하면

[eqn: a _{n} =2`·`3`·`4 CDOTS CDOTS n`·`a _{1} =1`·`2`·`3`·`4 CDOTS CDOTS n]

이때, [eqn: a _{1} =1,`a _{2} =2,`a _{3} =6,`a _{4} =24,`a _{5} =120,` CDOTS]이므로 [eqn: a _{5} ,`a _{6} ,`a _{7} ,` CDOTS ,`a _{1000}]은 모두 10으로 나누어떨어진다.

따라서 [eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} +` CDOTS `+a _{1000}]을 10으로 나눈    나머지는 [eqn: a _{2} +a _{4}]를 10으로 나눈 나머지와 같으므로 2+24=26을 10으로 나눈 나머지는 6이다.

11  ③

답

해

설

[eqn: a _{n} =n-S` _{n} ```````````````````````````````````````````````````````````````````````` CDOTS CDOTS ㉠# a _{n+1} =(n+1)-S` _{n+1} ````````````````````````````````````` CDOTS CDOTS ㉡# ㉡-㉠을`하면```````a _{n+1} -a _{n} =1-(S _{n+1} -S _{n} )# S _{n+1} -S _{n} =a _{n+1} (n=1,```2,```3,``` CDOTS )이므로# a _{n+1} -a _{n} =1-a _{n+1} ,````2a _{n+1} =a _{n} +1# THEREFORE ``a _{n+1} -1= {1} over {2} (a _{n} -1)# 즉,````수열` LEFT { a _{n} -1 RIGHT } 은`공비가` {1} over {2} 인`등비수열이다.]

[eqn: S _{1} =a _{1} 이므로````㉠에`n=1을`대입하면# a _{1} =1-a _{1} ,```````````````````` THEREFORE `a _{1} = {1} over {2}# 따라서`a _{n} -1= LEFT ( {1} over {2} -1 RIGHT ) `·` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} =- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} 이므로# a _{n} =- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} +1`````````````````` THEREFORE a _{8} =- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{8} +1= {255} over {256}]

12  [eqn: 30]

답

해

설

주어진 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: {D} over {4} =a _{n+1} ` ^{2} -a _{n} a _{n+2} =0``````` THEREFORE a _{n+1} ` ^{2} =a _{n} a _{n+2}]

따라서 수열 {[eqn: a _{n}]}은 첫째항이 [eqn: a _{1}]=1, 공비가 [eqn: {a _{2}} over {a _{1}}]=3인 등비수열이다.

한편 주어진 이차방정식의 중근은

[eqn: alpha =- {-2a _{n+1}} over {2a _{n}} = {a _{n+1}} over {a _{n}} 이므로````` alpha _{n} =3# THEREFORE alpha _{1} + alpha _{2} + alpha _{3} +` CDOTS `+ alpha _{10}]

[eqn: =3+3+3+` CDOTS `+3=30]

13  ⑤

답

해

설

[eqn: n]시간 후 살아 있는 박테리아의 수를 [eqn: a _{n}]이라고 하면

[eqn: a _{0} =5,````a _{1} =2(5-2)=6,`````a _{n+1} =2(a _{n} -2)# 따라서`a _{n+1} -4=2(a _{n} -4)이므로# a _{n} -4=(a _{1} -4)`·`2 ^{n-1} =2^n ```````` THEREFORE a _{n} =2 ^{n} +4# 2 ^{n} +4>1000에서``````2 ^{n} >996# 2 ^{9} =512,````2 ^{10} =1024이므로```````n GEQ 10]

따라서 살아 있는 박테리아의 수가 처음으로 1000마리를 넘는 것은 10시간 후이다.

14  ⑤

답

해

설

수열 {[eqn: a _{n}]}과 {[eqn: S _{n}]}을 차례로 구해 보면

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } :a,````b,````b-a,````-a,````-b,````-b+a,````a,````b,```` CDOTS # LEFT { S _{n} RIGHT } :a,````a+b,````2b,````2b-a,````b-a,````0,````a,````a+b,```` CDOTS]

ㄱ. [eqn: ab!=0], 즉 [eqn: a!=0], [eqn: b!=0]이고 [eqn: a!=b]이므로 [eqn: a_n = 0]

인 자연수 [eqn: n]은 존재하지 않는다.

ㄴ. 수열 {[eqn: a _{n}]}과 {[eqn: S _{n}]}은 모두 주기가 6이므로 같은 간

격으로 항이 반복된다.

ㄷ. [eqn: 25=6 TIMES 4+1,````7=6 TIMES 1+1이므로# S _{25} =S _{1} =a,````a _{7} =a _{1} =a``````````````````` THEREFORE S _{25} =a _{7}]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

15  ③

답

해

설

[eqn: { a_n+1 - a_n = -3 `` }``]이므로 수열 [eqn: { left{ a_n right} `` }``]은 공차가 [eqn: { -3 `` }``]인 등차수열이다. 이때, 첫째항이 [eqn: { 100`` }``]이므로

[eqn: { a_n = 100 + (n-1) cdot (-3) = -3n +103 `` }``]

[eqn: { a_k = 13 `` }``]에서 [eqn: { -3k+103=13 `` }``]

[eqn: { 3k = 90 `` }``]    ∴ [eqn: { k=30 `` }``]

16  ②

답

해

설

[eqn: { a _{n+2} -2a _{n+1} +a _{n} =0 }``]에서 수열[eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]은 등차수열이고 [eqn: { a _{1} =-62,````a _{2} -a _{1} =4 }``]이므로 첫째항이[eqn: { -62 }``],공차가 [eqn: { 4 }``]이다.

[eqn: { therefore`a _{n} =-62+(n-1)cdot4=4n-66 }``]

[eqn: { 4n-66>0 }``]에서 [eqn: { n>16.5 }``] 따라서 제[eqn: { 17 }``]항부터 양수이므로 제 [eqn: { 16 }``]항까지의 합이 최소가 된다.

17  [eqn: { -98 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n+1 = 1 over 2 a_n `` }``]이므로 수열 [eqn: { left{ a_n right} `` }``]은 공비가 [eqn: { 1 over 2 `` }``]인 등비수열이다. 이때, 첫째항이 [eqn: { 2`` }``]이므로

[eqn: { a_n = 2 cdot left( 1 over 2 right)^n-1 = 1 over 2^n-2 `` }``]

∴ [eqn: { a _{100} = {1} over {2 ^{98}} `` }``]

18  ①

답

해

설

이차방정식 [eqn: { a _{n} x ^{2} +2a _{n+1} x+a _{n+2} =0 }``]이 중근을 가지므로

[eqn: { a _{n+1} ` ^{2} -a _{n} a _{n+2} =0 }``]  [eqn: { therefore`a _{n+1} ` ^{2} =a _{n} cdot`a _{n+2} }``]

즉 수열 [eqn: { left{ a_n right} `` }``]은 등비수열이고 [eqn: { a _{1} =2,```` {a _{2}} over {a _{1}} = {6} over {2} =3 }``]이므로 첫째항이 [eqn: { 2 }``] 공비가 [eqn: { 3 }``]이다.

[eqn: { therefore``a _{n} =`2cdot3 ^{n-1} }``]

따라서 주어진 이차방정식은

[eqn: { 2cdot3 ^{n-1} x ^{2} +2cdot2cdot3 ^{n} x+2cdot3 ^{n+1} =0 }``]

[eqn: { x ^{2} +6x+9=0,```` LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} =0````````````````````therefore`x=-3 }``]

따라서 [eqn: { b _{n} =-3 }``]이므로

[eqn: { sum _{k=1} ^{10} b _{k} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( -3 RIGHT ) = LEFT ( -3 RIGHT ) cdot10=-30 }``]

19  [eqn: { 277 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n+1 = - a_n = n^2 -1 ` }``] 이므로 수열 [eqn: { \{ a_n \}` }``]의 계차수열을 [eqn: { \{ b_n \}` }``]이라 하면 [eqn: { b_n = n^2 -1` }``]

[eqn: { THEREFORE a_n = a_1 + sum_k=1 ^n-1 b_k = 1+ sum_k=1 ^n-1 (k^2 -1 ) }``]

[eqn: { =` }``][eqn: { 1+ { (n-1)n(2n-1`)} over 6 - (n-1) }``]

[eqn: { a_10 = 1+ { 9 cdot 10 cdot 19 } over 6 -9 = 277` }``]

20  ③

답

해

설

[eqn: { a_n = a_n-1 + f(n) }``]의 양변에 [eqn: { n` }``]대신[eqn: { 2,3,4, cdots , n ` }``] 을 차례로 대입하여 변끼리 더하면

[eqn: { ~~nota_2 = a_1 + f(2) # ~~nota_3 = nota_2 + f(3) # ~~not a_4 = nota_3 + f(4) #~~~~~vdots # + ) underline{a_n = not a_{n-1} + f(n) }``]

[eqn: { a_n = a_1 + f(2) +f(3) + cdots + f(n) ` }``]

[eqn: { 0+ sum_k=2 ^n f(k) = sum_k=2 ^n f(k) }``]

[eqn: { THEREFORE a_10 = sum_k=2 ^10 f(k) }``]

21  ②

답

해

설

[eqn: { f(n+1)=f(n)+4n-10 }``]이므로 함수 [eqn: { f(n) }``]의 함숫값의 계차수열을 [eqn: { LEFT { b _{n} RIGHT } }``]이라 하면 [eqn: { b _{n} =4n-10 }``]

[eqn: { therefore`f(n)=f(1)+ sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( 4k-10 RIGHT ) }``]

[eqn: { =8+4cdot {LEFT ( n-1 RIGHT ) n} over {2} -10 LEFT ( n-1 RIGHT ) }``]

[eqn: { =2n ^{2} -12n+18 }``]

[eqn: { therefore` sum _{k=1} ^{10} f(k)= sum _{k=1} ^{10} 2k ^{2} -12k+18 }``]

[eqn: { =2cdot {10cdot11cdot21} over {6} -12 {10cdot11} over {2} +18cdot10 }``]

[eqn: { =290 }``]

22  [eqn: { 10 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n - a_n-1 = 2^n-1 ~( n= 2,~3,~4,~ cdots ) }``]의 양면에 [eqn: { n` }``]대신 [eqn: { n+1` }``]을 대입하면

[eqn: { a_n+1 - a_n = 2^n` }``] ([eqn: { n= 1,~2,~3, cdots) }``]

수열 [eqn: { \{ a_n \}` }``]의 계차수열을 [eqn: { \{ b_n \}` }``] 이라 하면 [eqn: { b_n = 2^n` }``]

[eqn: { THEREFORE a_n = a_1 + sum_k=1 ^n-1 b_k = 1+ sum_k=1 ^n-1 2^k` }``]

[eqn: { = 1+ { 2(2^n-1 -1 )} over 2-1 = 2^n -1 ` }``]

[eqn: { a_k = 1023 }``] 에서 [eqn: { 2^k-1 = 1023 }``]

[eqn: { 2^k = 1024 = 2^10 }``]

[eqn: { THEREFORE k= 10` }``]

23  ②

답

해

설

[eqn: { a _{n+1} -a _{n} = {1} over {n(n+1)} = {1} over {n} - {1} over {n+1} }``]이므로 수열 [eqn: { \{ a_n \}` }``]의 계차수열

24  [eqn: { 12 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n+1 - a_n = 1 over { sqrtn+1 + sqrtn} }``][eqn: { = sqrtn+1 - sqrtn }``] 이므로 수열 [eqn: { \{ a_n \}` }``]의 계차수열을 [eqn: { \{ b_n \}` }``]이라 하면 [eqn: { b_n = sqrtn+1 - sqrtn ` }``]

[eqn: { THEREFORE a_n = a_1 + sum_k=1 ^n-1 b_k = 3+ sum_k=1 ^n-1 (sqrtk+1 - sqrtk ) }``]

[eqn: { = 3+ \{ (sqrt2 - sqrt1 ) + ( sqrt3 - sqrt2 ) + cdots + ( sqrtn - sqrtn-1 ) \} }``]

[eqn: { = 3-1 + sqrtn` }``] [eqn: { = 2+ sqrtn` }``]

[eqn: { a_n = 2+ sqrt100 = 12` }``]

25  ④

답

해

설

[eqn: { a_n+1 = {n+3} over { n+1} a_n }``] 의 양변에 [eqn: { n` }``]대신 [eqn: { 1,~2,~3,~ cdotsn-1 }``]

을 차례로 대입하여 변변 곱하면

[eqn: { a_n = 4 over 2 cdot 5 over 3 cdot 6 over 4 cdots n+1 over n-1 cdot n+2 over n cdot a_1 }``]

[eqn: { = { (n+1)(n+2) } over{ 2 cdot3} cdot1 }``]

[eqn: { = {(n+1)(n+2)} over {6} ` }``]

[eqn: { a_20 = { 21 cdot 20 } over 6 = 77 }``]

26  [eqn: { {1} over {35} }``]

답

해

설

[eqn: { sqrtn+2 a_n+1 = sqrtn a_n }``] 에서 [eqn: { a_n+1 = sqrt {n over n+2} a_n }``]

양변에 [eqn: { n` }``]대신 [eqn: { 1,~2,~3,~ cdots , n-1 }``] 을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면

[eqn: { a_n = sqrt{ 1 over 3 } cdot sqrt { 2 over 4} cdot sqrt{ 3 over 5 } cdots sqrt{ n-2 over n }cdot sqrt {n-1 over n+1 } cdot a_1 }``]

[eqn: { = { sqrt1 sqrt2 } over { sqrtn sqrtn+1 } cdot1 = sqrt2 over { sqrtn sqrtn+1 } }``]

[eqn: { a_49 = sqrt2 over { sqrt49 sqrt50 } = 1 over 35 }``]

27  [eqn: { {2 LEFT ( n+1 RIGHT )} over {n} }``]

답

해

설

[eqn: { a _{n+1} = {n ^{2} +2n} over {n ^{2} +2n+1} a _{n} = {n LEFT ( n+2 RIGHT )} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} a _{n} }``]의 양변에 [eqn: { n }``]대신 [eqn: { 1,```2,```3,``` CDOTS ,```n-1 }``]을 차례로 대입하여 변변 곱하면

[eqn: { a _{2} = {1cdot3} over {2cdot2} a _{1} }``]

[eqn: { a _{3} = {2cdot4} over {3cdot3} a _{2} }``]

[eqn: { a _{4} = {3cdot5} over {4cdot4} a _{3} }``]

[eqn: { VDOTS }``]

[eqn: { a _{n} = {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT )} over {n`cdot`n} a _{n-1} }``]

[eqn: { a _{n} = {1} over {2} cdot {3} over {2} cdot {2} over {3} cdot {4} over {3} cdot {3} over {4} cdot {5} over {4} CDOTS {n-1} over {n} cdot {n+1} over {n} cdot`a _{1} }``]

[eqn: { = {n+1} over {2n} a _{1} = {2 LEFT ( n+1 RIGHT )} over {n} }``]

28  ④

답

해

설

[eqn: { a _{n+1} = LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{n} `a _{n} }``]의 양변에 [eqn: { n }``]대신 [eqn: { 1,`2,`3,`4,` CDOTS `,`n-1 }``]을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면

[eqn: { ~~a _{2} = sqrt {3} a _{1}# ~~a _{3} = LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} a _{2}# ~~a _{4} = LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{3} a _{3}# ````````````` VDOTS # TIMES )a _{n} = LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{n-1} `a _{n-1}# ~~ bar{~~~~~~~~~~~~~~~~~}# ~~a _{n} = sqrt {3} CDOT LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} CDOT LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{3} `` CDOTS `` LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{n-1} CDOT a _{1}# ~~```````````= LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{1+2+3`+` CDOTS `+ LEFT ( n-1 RIGHT )} CDOT sqrt {3}# ~~```````````= LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{{LEFT ( n-1 RIGHT ) n} over {2}} CDOT sqrt {3} = LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{{n ^{2} -n+2} over {2}}# ~~``````````=3 ^{{n ^{2} -n+2} over {4}} }``]

[eqn: { a _{k} =3 ^{23} }``]에서  [eqn: { 3 ^{{k ^{2} -k+2} over {4}} =3 ^{23} }``]

[eqn: { {k ^{2} -k+2} over {4} =23 }``], [eqn: { k ^{2} -k-90=0 }``]

[eqn: { LEFT ( k+9 RIGHT ) LEFT ( k-10 RIGHT ) =0 }``]

이때 [eqn: { k }``]는 자연수 이므로 [eqn: { k=10 }``]

29  ⑤

답

해

설

[eqn: { a _{n+1} =n`a _{n} }``]의 양변에 [eqn: { n }``]대신 [eqn: { 1,```2,```3,``` CDOTS ,```n-1 }``]을 대입하여 변변끼리 곱하면

[eqn: { a _{2} =1cdot`a _{1} }``]

[eqn: { a _{3} =2cdot`a _{2} }``]

[eqn: { VDOTS }``]

[eqn: { a _{n} = LEFT ( n-1 RIGHT ) a _{n-1} }``]

[eqn: { therefore`a _{n} =1cdot2cdot3cdot CDOTS CDOTS LEFT ( n-1 RIGHT ) cdot`a _{1} }``]

[eqn: { = }``][eqn: { 1 CDOT 2 CDOT 3 CDOT CDOTS CDOTS LEFT ( n-1 RIGHT ) }``]

이 때,[eqn: { 120=1cdot2cdot3cdot4cdot5 }``]이므로 [eqn: { a _{6} `,```a _{7} ```, CDOTS ,a _{2010} }``]은 모두[eqn: { 120 }``]으로 나누어떨어진다.

따라서 [eqn: { a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{2010} }``]을 [eqn: { 120 }``]으로 나눈 나머지는 [eqn: { a _{1} +a _{2} +a _{3} +`a _{4} +a _{5} }``]를 [eqn: { 120 }``]으로 나눈 나머지와 같다.

[eqn: { a _{1} +a _{2} +a _{3} +`a _{4} +a _{5} }``][eqn: { =1+1+2+6+24=34 }``]이므로 구하는 나머지는 [eqn: { 34 }``]이다

30  ④

답

해

설

[eqn: { a_n+1 = - 3a_n +2 }``] 에서 [eqn: { a_n+1 - 1 over 2 = - 3 LEFT ( a_n - 1 over 2 RIGHT ) }``]

[eqn: { a_n - 1 over 2 = b_n }``]으로 놓으면 [eqn: { b_n+1 = -3 b_n` }``]

따라서 [eqn: { \{ b_n \}` }``]은 공비가 [eqn: { -3` }``]인 등비수열이고, [eqn: { b_1 = a_1 - 1 over 2 = 1 - 1 over 2 = 1 over 2 }``]

[eqn: { b_n = 1 over 2 cdot (-3)^n-1 }``]

[eqn: { THEREFORE a_n = b_n + 1 over 2 = 1 over 2 cdot (-3)^n-1 + 1 over 2 }``]

[eqn: { a_7 = 1 over 2 cdot (-3)^6 + 1 over 2 = 365 }``]

31  [eqn: { 8 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n+1 = 2a_n +5 }``]에서  [eqn: { a_n+1 +5 = 2(a_n +5) }``]

[eqn: { a_n +5 }``]를 [eqn: { b_n }``]으로 놓으면

[eqn: { b_n+1 = 2b_n }``], [eqn: { b _{1} =a _{1} +5=3 }``]

따라서 수열 [eqn: { left{b_n right} }``]은 첫째항이 [eqn: { 3 }``], 공비가 [eqn: { 2 }``]인 등비수열이므로  [eqn: { b_n = 3 cdot2^n-1 }``]

[eqn: { THEREFORE ~a _{n} =b _{n} -5=3 CDOT 2 ^{n-1} -5 }``]

[eqn: { a _{k+1} -a _{k} GEQ 300 }``]에서

[eqn: { (3cdot2^k -5) - (3cdot2^k-1 -5) ge 300 }``]

[eqn: { 3cdot2^k-1 ge300 }``], [eqn: { 2^k-1 ge 100 }``]

[eqn: { 2^6 = 64 }``], [eqn: { 2^7 = 128 }``]이므로 [eqn: { k-1 ge7 }``] [eqn: { therefore~k ge8 }``]

따라서 자연수 [eqn: { k }``]의 최솟값은 8이다.

32  ②

답

해

설

[eqn: { 2a_n+1 -a_n +2 =0 }``]에서 a[eqn: { a_n+1 = 1 over2 a_n -1 }``]

[eqn: { therefore a_n+1 +2 = 1 over2 (a_n +2 ) }``]

[eqn: { a_n +2 = b_n }``]으로 놓으면

[eqn: { b_n+1 = 1 over2 b_n }``], [eqn: { b_1 = a_1 +2 =3 }``]

따라서 수열 [eqn: { left{b_n right} }``]은 첫째항이 [eqn: { 3 }``], 공비가 [eqn: { 1 over2 }``]인 등비수열이므로

[eqn: { b_n = 3 cdotleft(1 over2 right)^n-1 }``]

[eqn: { therefore~a_n = b_n -2 = 3 cdotleft(1 over2 right)^n-1 -2 }``]

[eqn: { therefore~sum fromk=1 to n a_k = sum from k=1 to n left{ 3 cdot left(1 over2 right)^k-1 -2 right} }``]

[eqn: { = {3 cdot left{1-left(1 over2 right)^n right}} over {1- 1over2} -2n }``]

[eqn: { =6left(1 - 1 over2^n right) -2n }``]

33  [eqn: { 341} }``]

답

해

설

[eqn: { a_n+2 -3a_n+1 +2a_n = 0 }``]에서

[eqn: { a_n+2 -a_n+1 = 2 (a_n+1 -a_n ) }``]

[eqn: { a_n+1 - a_n =b_n }``]으로 놓으면

[eqn: { b_n+1 = 2 b_n }``], [eqn: { b_1 = a_2 -a_1 = 2a_1 }``]

따라서 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]의 계차수열 [eqn: { left{ b_n right} }``]은 첫째항이 [eqn: { 2a_1 }``], 공비가 [eqn: { 2 }``]인 등비수열이므로

[eqn: { b_n = 2a_1 cdot2^n-1 = a_2 cdot2^n }``][eqn: { therefore~a_n = a_1 + sum from k=1 to n-1 b_k = a_1 + sum from k=1 to n-1 a_1 cdot2^k }``]

[eqn: { =a_1 + a_1 cdot {2 cdot(2^n-1 -1 )} over2-1 }``]

[eqn: { = (2^n -1 )a_1 }``]

이 때 [eqn: { a_8 = 85 }``]이므로

[eqn: { (2^n -1 ) a_1 = 85 }``], [eqn: { 255a_1 = 85 }``]

[eqn: { therefore~a_1 = 1 over3 }``]

따라서 [eqn: { a_n = 1 over3 (2^n -1 ) }``]이므로

[eqn: { a_10 = 1 over3 (2^10 -1 ) = 341 }``]

34  ②

답

해

설

[eqn: { 4a_n+1 = a_n+2 + 3a_n }``]에서 [eqn: { a_n+2 -4a_n+1 + 3a_n =0 }``]

[eqn: { therefore~a_n+2 -a_n+1 = 3 (a_n+1 -a_n ) }``]

[eqn: { a_n+1 - a_n =b_n }``]으로 놓으면

[eqn: { b_n+1 = 3 b_n }``], [eqn: { b_1 = a_2 -a_1 = 3 }``]

따라서 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]의 계차수열 [eqn: { left{ b_n right} }``]은 첫째항이 [eqn: { 3 }``], 공비가 [eqn: { 3 }``]인 등비수열이므로

[eqn: { b_n = 3 cdot 3 ^n-1 = 3^n }``]

[eqn: { therefore~a_n= a_1 + sum from k=1 to n-1 b_k =2 + sum from k=1 to n-1 3^k }``]

[eqn: { = 2 + { 3 cdot (3^n-1 -1 )} over 3-1 }``]

[eqn: { = 1 over2 (3^n +1 ) }``]

[eqn: { a_n ge 100 }``]에서 [eqn: { 1 over2 (3^n +1 ) ge 100 }``]

[eqn: { 3^n +1 ge 200 }``], [eqn: { 3^n ge 199 }``]

이 때 [eqn: { 3^4 = 81 }``], [eqn: { 3^5 = 243 }``]이므로 [eqn: { n ge 5 }``]

따라서 처음으로 [eqn: { 100 }``]이상이 되는 항은 제[eqn: { 5 }``]항이다.

35  ②

답

해

설

[eqn: { a_n+1 = a_n over {2a_n +1} }``]에서 [eqn: { 1 over a_n+1 = {2a_n +1} overa_n = 1 overa_n + 2 }``]

[eqn: { 1 over a_n = b_n }``]으로 놓으면 [eqn: { b_n+1 = b_n +2 }``], [eqn: { b_1 = 1 overa_1 =1 }``]

따라서 수열 [eqn: { left{ b_n right} }``]은 첫째항이 [eqn: { 1 }``], 공차가 [eqn: { 2 }``]인 등차수열이므로

[eqn: { b_n = 1 + (n-1)cdot 2 = 2n-1 }``]

[eqn: { therefore~a_n = 1 overb_n = 1 over2n-1 }``]

[eqn: { therefore~a_100 = 1 over{2 cdot 100 -1 }= 1 over199 }``]

36  ②

답

해

설

[eqn: { 1 over a_n+1 = {1 - 3a_n} over a_n = 1 overa_n -3 }``]

[eqn: { 1 over a_n = b_n }``]으로 놓으면 [eqn: { b_n+1 = b_n -3 }``], [eqn: { b_1 = 1 overa_n =1 }``]

따라서 수열 [eqn: { left{ b_n right} }``]은 첫째항이 [eqn: { 1 }``], 공차가 [eqn: { -3 }``]인 등차수열이므로

[eqn: { b_n = 1 + (n-1) cdot (-3) = -3n+4 }``]

[eqn: { therefore~a_n = 1 overb_n = 1 over 4-3n }``]

37  [eqn: { 1024 over1023} }``]

답

해

설

[eqn: { a_n+1 = 2a_n over 1+a_n }``]에서 [eqn: { 1 overa_n+1 = 1+a_n over2a_n = 1 over2a_n + 1 over2 }``]

[eqn: { 1 over a_n = b_n }``]으로 놓으면 [eqn: { b_n+1 = 1 over2 b_n + 1 over2 }``]

[eqn: { therefore~b_n+1 -1 = 1 over2 (b_n -1) }``]

따라서 수열 [eqn: { left{b_n -1 right} }``]은 공비가 [eqn: { 1over2 }``]인 등비수열이고,

[eqn: { b_1 -1 = 1 overa_1 -1 = 1 over2 - 1 = - 1over2 }``]

이므로 [eqn: { b_n -1 = left(- 1over2 right)cdotleft(1 over2 right)^n-1 = -left(1 over2 right)^n }``]

[eqn: { therefore~b_n = 1 -left(1 over2 right)^n = {2^n -1} over2^n }``]

따라서 [eqn: { a_n = 1 overb^n = 2^n over {2^n -1} }``]이므로

[eqn: { a_10 = 2^10 over{ 2_10 -1} = 1024 over 1023 }``]

38  [eqn: { 6 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n+1 = 3a_n ~^2 }``]의 양변에 밑이 [eqn: { 3 }``]인 로그를 취하면

[eqn: { log_3 ``a_n+1 = log_3 ``3a_n ~^2 = 1 + 2 log_3 ``a_n }``]

[eqn: { log_3 ``a_n = b_n }``]으로 놓으면 [eqn: { b_n+1 = 2b_n +1 }``]

[eqn: { therefore~b_n+1 +1 = 2(b_n +1 ) }``]

따라서 수열 [eqn: { left{b_n +1 right} }``]은 공비가 [eqn: { 2 }``]인 등비수열이고

[eqn: { b_1 +1 = log_3 ``a_1 +1 = log_3 ``1 + 1 =1 }``]

이므로 [eqn: { b_n+1 =1 cdot 2^n-1 = 2^n-1 }``]

[eqn: { therefore~b_n = 2^n-1 -1 }``], 즉 [eqn: { log_3 ``a_n = 2^n-1 -1 }``]

[eqn: { a_k = 3^31 }``]이므로

[eqn: { log_3 ``a_k = log_3 ``3^31 = 2^k-1 -1 }``]

[eqn: { 31= 2^k-1 -1 }``], [eqn: { 2^k-1 = 32 = 2^5 }``]

[eqn: { k-1 =5 }``] [eqn: { therefore~k=6 }``]

39  [eqn: { -100 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n + a_n+1 = (-1)^n }``]의 양변에 [eqn: { n }``] 대신 [eqn: { 1,~3,~5, `cdots, ~99 }``]를 차례로 대입하여 변끼리 더하면

[eqn: { a_1 + a_2 = -1 }``]

[eqn: { a_3 + a_4 = -1 }``]

[eqn: { a_5 + a_6 = -1 }``]

[eqn: { ~~vdots }``]

[eqn: { + }``]

[eqn: { a_99 + a_100 = -1 }``]

[eqn: { a_1 + a_2 + cdots + a_100 = -50 }``]             [eqn: { cdotscdots }``]㉠

[eqn: { a_n + a_n+1 = (-1)^n }``]의 양변에 [eqn: { n }``] 대신 [eqn: { 2,~4,~6, `cdots, ~98 }``]를 차례로 대입하여 변끼리 더하면

[eqn: { a_2 + a_3 = 1 }``]

[eqn: { a_4 + a_5 = 1 }``]

[eqn: { a_6 + a_7 = 1 }``]

[eqn: { ~~vdots }``]

[eqn: { + }``]

[eqn: { a_98 + a_99 =1 }``]

[eqn: { a_2 + a_3 + cdots + a_99 = 49 }``]                [eqn: { cdotscdots }``]㉡

㉠[eqn: { - }``]㉡을 하면 [eqn: { a_1 + a_100 = -99 }``]

[eqn: { therefore~a_100 = -99-1 = -100 }``]

다

른

풀

이

[eqn: { a_1 + a_2 = -1 }``]에서 [eqn: { a_2 = -2 }``]

[eqn: { a_2 + a_3 = 1 }``]에서 [eqn: { a_3 =3 }``]

[eqn: { a_3 + a_4 = -1 }``]에서 [eqn: { a_4 = -4 }``]

[eqn: { ~~vdots }``]

따라서 [eqn: { a_n = (-1)^n-1 cdotn }``]이므로

[eqn: { a_100 = (-1)^99 cdot 100 = -100 }``]

40  ④

답

해

설

[eqn: { a_1 =3 }``]에서

[eqn: { a_2 = }``]([eqn: { 27 }``]을 [eqn: { 7 }``]로 나눈 나머지[eqn: { )=6 }``]

[eqn: { a_3 = }``]([eqn: { 54 }``]을 [eqn: { 7 }``]로 나눈 나머지[eqn: { )=5 }``]

[eqn: { a_4 = }``]([eqn: { 45 }``]을 [eqn: { 7 }``]로 나눈 나머지[eqn: { )=3 }``]

[eqn: { a_5 = }``]([eqn: { 27 }``]을 [eqn: { 7 }``]로 나눈 나머지[eqn: { )=6 }``]

[eqn: { ~~vdots }``]

[eqn: { a_n= }``]	[eqn: { left{ 3~~(n=3k-2) #6~~(n=3k-1)#5~~(n=3k) }``]	(단 [eqn: { k }``]는 자연수)

이 때 [eqn: { 98=3cdot 33 -1 }``], [eqn: { 99 = 3cdot33 }``],

[eqn: { 100= 3cdot34 -2 }``]이므로

[eqn: { a_98 + a_99 + a_100 = 6+5+3 = 14 }``]

41  ③

답

해

설

수열 [eqn: { left{a_n right} }``]을 차례로 구해 보면

[eqn: { left{ a_n right} : 1,~1,~2,~3,~5,~8,~13,~21, ~cdots }``]

즉 홀수, 홀수, 짝수의 순서로 반복되므로 [eqn: { n=3k }``]([eqn: { k }``]는 자연수)이면 [eqn: { a_n }``]이 짝수이다.

따라서 짝수인 항은 [eqn: { a_3 ,~a_6 ,~a_9 ,~cdots, a_99 }``]의 [eqn: { 33 }``]개

42  [eqn: { 45 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n-1 a_n+1 = a_n a_n+2 }``]에서 [eqn: { a_n+2 = {a_n-1 a_n+1 } overa_n }``]

양변에 [eqn: { n }``] 대신 [eqn: { 2,~3,~4, `cdots }``]를 차례로 대입하면

[eqn: { a_4 = {a_1 a_3} over a_2 = {1 cdot4} over2 =2 }``]

[eqn: { a_5 = {a_2 a_4} over a_3 = {2 cdot2} over4 =1 }``]

[eqn: { a_6 = {a_3 a_5} over a_4 = {4 cdot1} over2 =2 }``]

[eqn: { a_7 = {a_4 a_6} over a_5 = {2 cdot2} over1 =4 }``]

[eqn: { a_8 = {a_5 a_7} over a_6 = {1 cdot4} over2 =2 }``]

[eqn: { ~~vdots }``]

따라서 수열 [eqn: { left{a_n right } }``]은 [eqn: { 1 }``], [eqn: { 2 }``], [eqn: { 4 }``], [eqn: { 2 }``]가 반복되므로

[eqn: { sum from k=1 to 20 a_k = 5 (1+2+4+2) = 45 }``]

43  ④

답

해

설

[eqn: { a_n+1 = 3 a_n + 3^n+1 }``]의 양변을 [eqn: { 3^n+1 }``]으로 나누면

[eqn: { a_n+1 over3^n+1 = a_n over 3^n + 1 }``]

[eqn: { a_n over3^n = b_n }``]으로 놓으면 [eqn: { b_n+1 = b_n +1 }``], [eqn: { b_1 = a_1 over3 = 1 }``]

따라서 수열 [eqn: { left{ b_n right} }``]은 첫째항이 [eqn: { 1 }``], 공차가 [eqn: { 1 }``]인 등차수열이므로

[eqn: { b_n = 1 + (n-1)cdot 1 = n }``]

[eqn: { therefore~a_n = b_n cdot 3^n = n cdot 3^n }``]

[eqn: { therefore~a_10 = 10 cdot 3^10 }``]

44  ⑤

답

해

설

[eqn: { a_n+2 -2a_n+1 +a_n =5 }``]에서

[eqn: { a_n+2 - a_n+1 = a_n+1 -a_n +5 }``]

[eqn: { a_n+1 -a_n =b_n }``]으로 놓으면

[eqn: { b_n+1 = b_n +5 }``], [eqn: { b_1 = a_2 -a_1 =2 }``]

따라서 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]의 계차수열 [eqn: { left{ b_n right} }``]은 첫째항이 [eqn: { 2 }``], 공차가 [eqn: { 5 }``]인 등차수열이므로

[eqn: { b_n = 2 + (n-1) cdot 5 = 5n -3 }``]

[eqn: { therefore~a_n = a_1 + sum from k=1 to n-1 b_k = 1+ sum from k=1 to n-1 (5k-3) }``]

[eqn: { =1+5 cdot {(n-1)n} over2 -3(n-1) }``]

[eqn: { = 1 over2 (5n^2 - 11n + 8 ) }``]

[eqn: { therefore~a_20 = 1 over2 ( 5cdot20^2 - 11cdot20 + 8 ) = 894 }``]

45  [eqn: { 190 }``]

답

해

설

[eqn: { 4a_n a_n+1 =a_n -a_n+1 }``]의 양변을 [eqn: { a_n a_n+1 }``]로 나누면 [eqn: { 4= 1 overa_n+1 - 1 over a_n }``]

따라서 수열 [eqn: { left{1 overa_n right} }``]은 첫째항이 [eqn: { 1 overa_1 }``], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열이므로

[eqn: 1 overa_n = 1 + (n-1)cdot4 = 4n -3]

[eqn: therefore~sum fromk=1 to 10 1 overa_k =sumfrom k=1 to 10 (4k-3)]

[eqn: = 4 cdot { 10 cdot 11} over 2 -3 cdot 10 = 190]

46  ②

답

해

설

[eqn: na_n+1 =(n+1)a_n +1]의 양변을 [eqn: n(n+1)]로 나누면

[eqn: a_n+1 overn+1 = a_n overn + 1 overn(n+1)]

[eqn: a_n over n =b_n]으로 놓으면

[eqn: b_n+1 = b_n + 1 overn(n+1)], [eqn: b_1 = 2 over1 =2]

[eqn: therefore~b_n+1 -b_n = 1 overn - 1 over n+1]

[eqn: b_n+1 -b_n = c_n]으로 놓으면

[eqn: c_n= 1 overn - 1 overn+1]

[eqn: therefore`b_n = b_1 + sum from k=1 to n-1 c_k = 2 + sum from 1 to n-1 LEFT ( 1 overk - 1 over k+1 RIGHT )]

[eqn: = 2 + left{ LEFT ( 1 - 1over2 RIGHT )+ LEFT ( 1 over2 - 1 over3 RIGHT )+ cdots + LEFT ( 1 overn-1 - 1 overn RIGHT )right}]

[eqn: = 2+1 - 1 overn = 3n-1 overn]

따라서 [eqn: a_n = nb_n =3n-1]이므로 [eqn: a_50 = 149]

47  [eqn: {50 over 23}]

답

해

설

[eqn: na_n+1 a_n = (n+1)^2 a_n -n^2 a_n+1]의 양변을 [eqn: a_n+1 a_n]으로 나누면

[eqn: n= (n+1)^2 over a_n+1 - n^2 overa_n]

[eqn: n^2 over a_n = b_n]으로 놓으면 [eqn: n= b_n+1 - b_n], [eqn: b_1 = 1 over a_1 =1]

[eqn: b_n+1 -b_n =c_n]으로 놓으면 [eqn: c_n = n]

[eqn: therefore~b_n = b_1 + sum from k=1 to n-1 c_k = 1 + sum from k=1 to n-1 ~k]

[eqn: = 1 + (n-1)n over2 = {n^2 -n +2} over2]

따라서 [eqn: n^2 over a_n = {n^2 -n+2 } over2]이므로 [eqn: a_n = 2n^2 overn^2 -2n +2]

[eqn: therefore~a_10 = 200 over 100-10+2 = 200 over 92 = 50 over23]

48  ④

답

해

설

[eqn: S_n =2a_n +n][eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]에서

[eqn: S_n+1 = 2a_n+1 +n +1]

한편, [eqn: a_n+1 = S_n+1 -S_n]  [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]이므로

[eqn: a_n+1 =2a_n+1 +n+1 -(2a_n +n)]

[eqn: a_n+1 = 2a_n -1] [eqn: therefore~a_n+1 -1 = 2(a_n -1)]

따라서 수열 [eqn: left{a_n -1 right}]은 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이고

[eqn: a_1 -1 = -1 -1 =-2]

이므로 [eqn: a_n -1 = (-2)cdot2^n-1 = -2^n]

[eqn: therefore~a_n = -2^n +1]

[eqn: therefore~a_99 = 1 - 2^99]

49  [eqn: 120]

답

해

설

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_n = S_n]으로 놓으면

[eqn: S_1 =a_1 = 5], [eqn: a_n = S_n-1]  [eqn: (n=2,~3,~4,~cdots)]

[eqn: a_n = S_n-1]  [eqn: (n=2,~3,~4,~cdots)]이므로

[eqn: S_n - S_n-1 = S_n-1]

[eqn: therefore~S_n = 2S_n-1]  [eqn: (n=2,~3,~4,~cdots)]

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: 5], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이므로

[eqn: S_n = 5 cdot 2^n-1]	[eqn: therefore~a_n = S_n - S_n-1 = 5 cdot 2^n-1 - 5cdot2^n-2][eqn: (n ge 2)][eqn: therefore~a_7 - a_5 = 5 cdot 2^5 -5 cdot 2^3 =5 cdot2^3 (2^2 -1) = 120]

50  ③

답

해

설

[eqn: a_n+1 = S_n+1 - S_n]  [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]이므로

[eqn: S_n +3 =S_n+1 - S_n], [eqn: S_n+1 = 2S_n +3]

[eqn: therefore~S_n+1 +3 = 2(S_n +3)]

따라서 수열 [eqn: left{S_n + 3 right}]은 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이고,

[eqn: S_1 + 3 = a_1 +3 =4]

이므로 [eqn: S_n +3 = 4 cdot2^n-1 = 2^n+1]

[eqn: therefore~S_n = 2^n+1 -3] [eqn: therefore~S_9 = 2^ 10 -3 = 1021]

51

답

해

설

ㄱ. [eqn: S_1 = a_1]이므로 [eqn: a_1 = pa_1 +q] [eqn: therefore~a_1 = q over 1-p]

ㄴ. [eqn: n ge2]일 때

[eqn: a_n = S_n - S_n-1]

[eqn: = (pa_n +q)-(pa_n-1 +q ) =pa_n -pa_n-1]

[eqn: therefore~a_n = p overp-1 a_n-1]

따라서 수열 [eqn: left{a_n right}]은 공비가 [eqn: p overp-1]인 등비수열이다.

ㄷ. [eqn: a_n+1 = p over p-1 a_n]에서 [eqn: 1 over a_n+1 = p-1 overp cdot 1 over a_n]

[eqn: p > 1]이면 [eqn: 0< p-1 over p <1]이므로 [eqn: 1 over a_n > 1 over a_n+1]이다.

이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

52  [eqn: 10]

답

해

설

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_n = S_n]으로 놓으면 주어진 식은

[eqn: 3S_n =(n+2)a_n]                            [eqn: cdotscdots]㉠

㉠의 양변에 [eqn: n] 대신 [eqn: n+1]을 대입하면

[eqn: 3S_n+1 = (n+3)a_n+1]                       [eqn: cdotscdots]㉡

㉡ [eqn: -] ㉠을 하면

[eqn: 3(S_n+1 -S_n ) =(n+3)a_n+1 - (n+2 ) a_n]

[eqn: 3a_n+1 = (n+3) a_n+1 -(n+2)a_n] [eqn: na_n+1 = (n+2)a_n]

[eqn: therefore~a_n+1 = n+2 overn a_n]

양변에 [eqn: n]대신 [eqn: 1,~2,~3,~cdots, ~n-1]을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면

[eqn: a_2 = 3 over1 a_1]

[eqn: a_3 = 4 over2 a_2]

[eqn: a_4 = 5 over 3 a_3]

[eqn: ~~vdots]

[eqn: a_n-1 = n over n-2 a_n-2]

[eqn: TIMES][eqn: LEFT ) ` under{a _{n} = {n+1} over {n-1} a _{n-1}} RIGHT .]

[eqn: a_n = 3 over1 cdot 4 over2 cdot 5 over3 cdotcdotscdot n over n-2 cdot n+1 over n-1 cdota_1]

[eqn: = n(n+1) over2]

[eqn: a_k = 55]에서 [eqn: k(k+1) over2 = 55]

[eqn: k^2 + k -110 =0], [eqn: (k+11)(k-10) =0]

그런데 [eqn: k>0]이므로 [eqn: k=10]

53  ②

답

해

설

[eqn: S _{n+1} -S _{n-1} =(a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n-1} +a _{n} +a _{n+1} )]

[eqn: -(a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n-1} )]

[eqn: = a_n + a_n+1]이므로

[eqn: (S_n+1 - S_n-1 )^2 =4a_n a_n+1 +4][eqn: (n=2,~3,~4,~cdots)]에서

[eqn: (a_n + a_n+1 )^2 =4a_n a_n+1 +4]

[eqn: a_n ~^2 +2a_n a_n+1 + a_n+1 ~^2 =4a_n a_n+1 +4]

[eqn: a_n ~^2 -2a_n a_n+1 + a_n+1 ~^2 = 4]

[eqn: (a_n - a_n+1 )^2 =4]

그런데 [eqn: a_1 < a_2 < a_3 < cdots <a_n < cdots]이므로

[eqn: a_n - a_n+1 = -2]

[eqn: therefore~a_n+1 - a_n = 2]  [eqn: (n=2,~3,~4,~cdots)], [eqn: a_2 - a_1 = 2]

따라서 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로

[eqn: a_n = 1 + (n-1)cdot 2 = 2n-1]

[eqn: therefore~a_20 = 2cdot20 -1 =39]

54  ①

답

해

설

[eqn: { n }``]개의 직선에 [eqn: { 1 }``]개의 직선을 추가하면 이 직선은 기존의 [eqn: { n }``]개의 직선과 각각 한 번씩 만나므로 [eqn: { (n+1) }``]개의 새로운 평면이 생긴다. 즉 [eqn: { (n+1) }``]개의 직선에 의해서 분할된 평면은 [eqn: { n }``]개의 직선에 의해서 분할된 평면보다 [eqn: { (n+1) }``]개가 많으므로

[eqn: { a_n+1 = a_n + n+1 }``] [eqn: { therefore~a_n+1 -a_n =n+1 }``]

수열 [eqn: { left{a_n right} }``]의 계차수열을 [eqn: { left{b_n right} }``]이라 하면 [eqn: { b_n = n+1 }``]

이 때, [eqn: { a_1 =2 }``]이므로

[eqn: { a_n = a_1 + sum from k=1 to n-1 b_k =2 + sum fromk=1 to n-1 (k+1) }``]

[eqn: { = 2 + (n-1)n over2 + n-1 }``]

[eqn: { = {n^2 + n + 2} over 2 }``]

[eqn: { therefore~a_10 = {10^2 + 10 +2 } over2 = 56 }``]

55  [eqn: { 380 }``]

답

해

설

[eqn: { n }``]개의 원에 [eqn: { 1 }``]개의 원을 추가하면 이 원은 기존의 [eqn: { n }``]개의 원과 각각 [eqn: { 2 }``]개의 점에서 만나므로 교점은 [eqn: { 2n }``]개 늘어난다.

[eqn: { therefore~a_n+1 =a_n + 2n }``], 즉 [eqn: { a_n+1 -a_n =2n }``]

수열 [eqn: { left{a_n right} }``]의 계차수열을 [eqn: { left{b_n right} }``]이라 하면 [eqn: { b_n = 2n }``]

이 때 [eqn: { a_1 = 0 }``]이므로

[eqn: { a_n = a_1 + sum from k=1 to n-1 b_k = 0 + sum from k=1 to n-1 2k }``]

[eqn: { =2 cdot (n-1)n over2 = n^2 -n }``]

[eqn: { therefore~a_20 = 20^2 -20 = 380 }``]

56  [eqn: { 6 }``]

답

해

설

[eqn: { n }``]시간 후의 세균의 수를 [eqn: { a_n }``]이라 하면

[eqn: { a_1 = 3(6-2) =12 }``]

[eqn: { a_n+1 = 3(a_n -2 ) }``] [eqn: { therefore~a_n+1 -3 = 3(a_n -3) }``]

따라서 수열 [eqn: { left{a_n -3 right} }``]은 공비가 [eqn: { 3 }``]인 등비수열이고 첫째항은 [eqn: { a_1 -3 = 9 }``]이므로

[eqn: { a_n - 3 = 9cdot3^n-1 = 3^n+1 }``] [eqn: { therefore~a_n = 3^n+1 +3 }``]

[eqn: { 3^n+1 +3 > 2000 }``]에서 [eqn: { 3^n+1 > 1997 }``]

[eqn: { 3^6 = 729 }``], [eqn: { 3^7 = 2187 }``]이므로

[eqn: { n+1 ge7 }``] [eqn: { therefore~n ge 6 }``]

따라서 측정한 세균의 수가 처음으로 [eqn: { 2000 }``]마리를 넘는 것은 [eqn: { 6 }``]시간 후이다.

57  ⑤

답

해

설

[eqn: { n }``]회 반복하고 난 후의 색종이의 수를 [eqn: { a_n }``]이라 하면

[eqn: { a_1= (7-2)cdot2 = 10 }``]

[eqn: { a_n+1 = 2(a_n -2 ) }``] [eqn: { therefore~a_n+1 -4 = 2(a_n -4 ) }``]

따라서 수열 [eqn: { left{a_n -4 right} }``]는 공비가 [eqn: { 2 }``]인 등비수열이고 첫째항은 [eqn: { a_1 -4 =6 }``]이므로

[eqn: { a_n -4 = 6cdot2^n-1 =3 cdot2^n }``]

[eqn: { therefore~a_n = 3cdot2^n +4 }``]

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		3. 수학적 귀납법			정답
	02 수학적 귀납법

01  풀이 참조

답

해

설

[1] [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1 ^{3} +2cdot1=3]이므로 [eqn: 3]의 배수이다.

[2] [eqn: n=k]([eqn: k]는 자연수)일 때 [eqn: k ^{3} +2k]가 [eqn: 3]의 배수라고 하자.

[eqn: k ^{3} +2k=3m]([eqn: m]은 자연수)으로 놓으면

[eqn: (k+1) ^{3} +2(k+1)=(k ^{3} +3k ^{2} +3k+1)+(2k+2)]

[eqn: =(k ^{3} +2k)+3(k ^{2} +k+1)]

[eqn: =3m+3(k ^{2}+k+1)]     [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: 3m], [eqn: 3(k^2 +k+1)]이 모두 [eqn: 3]의 배수이므로 ㉠도 [eqn: 3]의 배수이다.

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 [eqn: n^3 +2n]은 [eqn: 3]의 배수이다.

[1], [2]에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^3 +2n]은 [eqn: 3]의 배수이다.

02  풀이 참조

답

해

설

[1] [eqn: n=1]일 때 [eqn: a_1 = { 1} over {1 }=1]이므로 성립한다.

[2] [eqn: n=k]([eqn: k]는 자연수)일 때 [eqn: a_k = { 1} over {k }]이라고 가정하면

[eqn: a_k+1 = { a_k} over { 1+a_k}= { { 1} over {k } } over {1+ { 1} over { k} }= { 1} over {k+1 }]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 조건을 만족시키는 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_n = { 1} over { n}]이 성립한다.

03  ①

답

해

설

[Ⅰ]에 의해 [eqn: p(1)]이 참이고 [Ⅱ]에 의해 [eqn: p(3)]이 참임을 알 수 있다.

[Ⅱ]에서 [eqn: n=2]를 대입하면 [eqn: p(4)]도 참임을 알 수 있다. 같은 방법으로 [eqn: p(5)], [eqn: p(6)]도 참임을 알 수 있지만 [eqn: p(2)]의 참, 거짓은 알 수 없다.

04  ②

답

해

설

[eqn: n=k]일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+3+5+cdots+(2k-1)=k^2]

양변에 을 더하면

[eqn: 2k+1]

[eqn: left{1+3+5+cdots+(2k-1) right}+]

[eqn: 2k+1]

[eqn: =k^2 +]=

[eqn: 2k+1]

[eqn: (k+1)^2]

이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 등식이 성립한다.

05  ⑤

답

해

설

(ⅰ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: 2^3 > 2 cdot 3 +1]이므로 주어진 등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] ([eqn: k geq])일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면  [eqn: 2^k > 2k+1]

[eqn: 3]

이때 [eqn: 4k+2>]이므로

[eqn: 2(k+1)+1]

[eqn: 2 ^{k+1} >]

[eqn: 2(k+1)+1]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

06  ②

답

해

설

[eqn: n=k] ([eqn: k geq 2])일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 [eqn: (1+x)^k >1+kx]         [eqn: cdotscdots]㉠

㉠의 양변에 를 곱하면

[eqn: 1+x]

[eqn: (1+x)^k+1 > (1+kx)] ()

[eqn: 1+x]

이 식의 우변을 전개하면

[eqn: 1+(k+1)x+][eqn: >1+(k+1)x]

[eqn: kx^2]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 부등식이 성립한다..

07  풀이 참조

답

해

설

[1] [eqn: n=1]일 때, [eqn: (좌변)=1], [eqn: (우변)=2^1 -1 =1]

따라서 [eqn: n=1]일 때 주어진 등식은 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+2+2^2 + cdots + 2^k-1 =2^k -1]

이 식의 양변에 [eqn: 2^k]을 더하면

[eqn: 1+2+2^2 +cdots + 2^k-1 +2^k =2^k -1 +2^k]

[eqn: =2cdot 2^k -1 =2^k+1 -1]

따라서 주어진 등식은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 주어진 등식은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

08  풀이 참조

답

해

설

[1] [eqn: n=2]일 때 [eqn: (좌변)=(1+h)^2 = 1+2h +h^2]

[eqn: >1+2h =(우변)]

따라서 [eqn: n=2]일 때 주어진 부등식은 성립한다.

[2] [eqn: n=k] ([eqn: k geq 2])일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 [eqn: (1+h)^k >1+kh]

이 식의 양변에 [eqn: 1+h]를 곱하면

[eqn: (1+h)^k+1 >(1+kh)(1+h)=1+(k+1)h+kh^2]

그런데 [eqn: kh^2 >0]이므로 [eqn: (1+h)^k+1 > 1+(k+1)h]

따라서 주어진 부등식은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 주어진 부등식은 [eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

09  풀이 참조

답

해

설

[eqn: 1^2 +2^2 +3^2 +cdots+n^2 = { n(n+1)(2n+1)} over { 6}]   [eqn: cdotscdots]㉠

[1] [eqn: n=1]일 때 ㉠에서

[eqn: (좌변)=1^2 =1]

[eqn: (우변)= { 1cdot(1+1)(2cdot1+1)} over {6 }=1]

따라서 [eqn: n=1]일 때 ㉠은 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +k ^{2} = {k(k+1)(2k+1)} over {6}]

양변에 [eqn: (k+1) ^{2}]을 더하면

[eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +k ^{2} +(k+1)^2]

[eqn: ={ k(k+1)(2k+1)} over {6 }+(k+1)^2]

[eqn: ={ (k+1)(k+2)(2k+3)} over { 6}]

따라서 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 ㉠은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

10  풀이 참조

답

해

설

[eqn: 1+ { 1} over { 2}+ { 1} over {3 }+CDOTS+ { 1} over {n }> { 2n} over {n+1 }]                [eqn: cdots cdots]㉠

[1] [eqn: n=2]일 때 ㉠에서

[eqn: (좌변)=1+ { 1} over {2 }= { 3} over {2 }], [eqn: (우변)= { 2times2} over { 2+1}= { 4} over {3 }]

따라서 [eqn: n=2]일 때 [eqn: (좌변)>(우변)]이므로 ㉠은 성립한다.

[2] [eqn: n=k] ([eqn: k geq 2])일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: S_n +S_n-1 = { 9} over {S_n -S_n-1}]

[eqn: (S_n +S_n-1 )(S_n -S_n-1 )=9]

[eqn: therefore``S_n ^2 -S_n-1 ^2 =9] ([eqn: n GEQ 2])

따라서 수열 [eqn: left{ S_n ^2right}]은 첫째항이 [eqn: S_1^2 =a_1 ^2 =9]이고, 공차가 [eqn: 9]인 등차수열이므로

[eqn: S_n ^2 =9+(n-1)cdot9=9n]

[eqn: therefore``S_n ^2 =9+(n-1)cdot9=9n]

[eqn: therefore``S_n =3 sqrt { n}] ([eqn: because``S_n >0])

[eqn: THEREFORE ``S _{25} =3 sqrt {25} =15]

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} > {2k} over {k+1}]

양변에 [eqn: {1} over {k+1}]을 더하면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k}+ { 1} over {k+1 }]

[eqn: >{ 2k} over { k+1}+ { 1} over {k+1 }= { 2k+1} over {k+1 }]

그런데

[eqn: { 2k+1} over {k+1 }- { 2(k+1)} over {k+2 }]

[eqn: ={ (2k+1)(k+2)-(2k+2)(k+1)} over {(k+1)(k+2) }]

[eqn: ={ k} over { (k+1)(k+2)}>0]

이므로

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k}+ { 1} over {k+1 } > { 2k+1} over {k+1 }> { 2(k+1)} over { k+2}]

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2(k+1)} over {k+2}]

따라서 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 ㉠은 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

11  풀이 참조

답

해

설

[eqn: a_n =2^n -1]                                [eqn: cdots cdots]㉠

[1] [eqn: n=1]일 때 [eqn: a_1 =2^1 -1=1]이므로 ㉠은 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: a_k =2^k -1]

[eqn: a_k+1 =2a_k +1 =2(2^k -1) +1 =2^k+1 -1]이므로 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 ㉠은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

12  풀이 참조

답

해

설

[eqn: 2^n+1 +3^2n-1]                              [eqn: cdotscdots]㉠

[1] [eqn: n=1]일 때 [eqn: a_1 =2^1 -1 =1]이므로 ㉠은 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: a_k =2^k -1]

[eqn: a_k+1 =2a_k +1 =2(2^k -1)+1=2^k+1 -1]이므로 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 ㉠은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

13  풀이 참조

답

해

설

[eqn: a_n =2^n-1 +1]                             [eqn: cdots cdots]㉠

[1] [eqn: n=1]일 때 [eqn: a_1 =2^1-1 +1 =2]이므로 ㉠은 성립한다.

[2] [eqn: n=2]일 때 [eqn: a_2 =2^2-1 +1 =3]이므로 ㉠은 성립한다.

[3] [eqn: n=k]와 [eqn: n=k+1]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: a_k =2^k-1 +1], [eqn: a_k+1 = 2^k +1]

[eqn: a_k+2 =3a_k+1 -2a_k]

[eqn: =3(2^k +1)-2(2^k-1 +1)]

[eqn: =3cdot 2^k +3 - 2^k -2]

[eqn: =2cdot 2^k +1]

[eqn: =2^k+1 +1]

따라서 ㉠은 [eqn: n=k+2]일 때도 성립한다.

[1], [2], [3]에 의하여 ㉠은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

14  풀이 참조

답

해

설

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3^2n -1]은 [eqn: 8]로 나누어 떨어진다. [eqn: LRARROW] 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3^2n -1]은 [eqn: 8]의 배수이다.                                     [eqn: cdots cdots]㉠

[1] [eqn: n=1]일 때 [eqn: 3^2 -1 =8]이므로 ㉠은 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 3^2k -1 =8m] (단, [eqn: m]은 자연수)

[eqn: 3^2k =8m+1]

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: 3^2(k+1) -1 =9cdot3^2k -1]

[eqn: =9(8m+1)-1]

[eqn: =72m+8]

[eqn: =8(9m+1)]

이므로 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 ㉠은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

15  ⑴ 풀이 참조, ⑵ 풀이 참조

답

해

설

⑴ [eqn: 1 cdot 2 +2 cdot 3+ 3 cdot 4 + cdots +n(n+1)]

[eqn: = { 1} over { 3}n(n+1)(n+2)]                     [eqn: cdotscdots]㉠

[1] [eqn: n=1]일 때

[eqn: (좌변)=1cdot2 =2], [eqn: (우변)= { 1} over {3 }cdot1cdot2cdot3=2]

따라서 ㉠이 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: 1cdot2 +2cdot 3 +3cdot4 +cdots+k(k+1)]

[eqn: = {1} over {3} k(k+1)(k+2)]

양변에 [eqn: (k+1)(k+2)]를 더하면

[eqn: 1 CDOT 2+2 CDOT 3+3 CDOT 4+ CDOTS +k(k+1)+(k+1)(k+2)]

[eqn: = {1} over {3} k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)]

[eqn: = {1} over {3} (k+1)left{(k+1)+1 right}left{(k+1)+2right}]

따라서 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 ㉠은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

⑵ [eqn: { 1} over { 1 cdot2}+ { 1} over { 2 cdot 3} + { 1} over {3 cdot 4} + cdots + { 1} over {n(n+1) }]

[eqn: = { n} over {n+1 }]                               [eqn: cdotscdots]㉠

[1] [eqn: n=1]일 때

[eqn: (좌변)= { 1} over {1cdot2 }= { 1} over { 2}], [eqn: ( 우변)= { 1} over {1+1 }= { 1} over {2 }]

따라서 ㉠이 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: { 1} over { 1cdot 2}+ { 1} over {2cdot3 }+ cdots + { 1} over {k(k+1) }+ { 1} over {(k+1)(k+2) }]

[eqn: ={ k} over {k+1 }+ { 1} over {(k+1)(k+2) }]

[eqn: ={ (k+1)^2} over {(k+1)(k+2) }= { k+1} over {(k+1)+1 }]

따라서 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 ㉠은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

16  ⑴ 풀이 참조, ⑵ 풀이 참조

답

해

설

⑴ [eqn: n geq 3]일 때

[eqn: 2^n > 3n -2]                                [eqn: cdotscdots]㉠

[1] [eqn: n=3]일 때

[eqn: ( 좌변)=2^3 =8], [eqn: (우변)=3cdot3-2=7]

따라서 ㉠은 성립한다.

[2] [eqn: n=k] ([eqn: k GEQ 3])일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 2 ^{k} >3k-2]

양변에 [eqn: 2]를 곱하면

[eqn: 2 ^{k+1} >6k-4]

이때 [eqn: (6k-4)-(3k+1)=3k-5`>0]이므로

[eqn: 2 ^{k+1} >6k-4`>`3k`+1`=3(k+1)-2]

[eqn: 2 ^{k+1} >3(k+1)-2]

따라서 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 [eqn: n geq3]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

⑵ [eqn: n geq 2]일 때

[eqn: {1} over {1 ^{2}} + {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} +cdots+ {1} over {n ^{2}} <2- {1} over {n}]           [eqn: cdotscdots]㉠

[1][eqn: n=2]일 때

[eqn: (좌변)=1+ { 1} over {2^2 }= { 5} over {4 }], [eqn: (우변)=2- { 1} over {2 }= { 3} over {2 }]

따라서 ㉠이 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: {1} over {1 ^{2}} + {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + CDOTS + {1} over {k ^{2}} <2- {1} over {k}]

양변에 [eqn: {1} over {(k+1`) ^{2}}]을 더하면

[eqn: {1} over {1 ^{2}} + {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + CDOTS + {1} over {k ^{2}} + {1} over {(k+1) ^{2}} <2- {1} over {k} + {1} over {(k+1) ^{2}}]

이때 [eqn: {`1} over {(k+1) ^{2}} < {1} over {k(k+1)}]이므로

[eqn: 2- {1} over {k} + {1} over {(k+1) ^{2}} <2- {1} over {k+1}]

[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} +cdots+ {1} over {(k+1) ^{2}} <2- {1} over {k+1}]

따라서 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 [eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

17  ⑴ 풀이 참조, ⑵ 풀이 참조

답

해

설

⑴ [eqn: n(n^2 +5)]는 [eqn: 6]의 배수이다.               [eqn: cdotscdots]㉠

[1] [eqn: n=1]일 때 [eqn: 1(1^2 +5)=6]이므로 ㉠이 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: k(k^2 +5) =6m] (단, [eqn: m]은 자연수)

이때 [eqn: n=k+1]이면

[eqn: (k+1)left{ (k+1)^2 +5 right}]

[eqn: =k(k^2 +5)+3k(k+1)+6]                 [eqn: cdotscdots]㉡

㉡에서 [eqn: k(k+1)]은 연속하는 두 자연수의 곱이므로 [eqn: 2]의 배수이고, [eqn: 3k(k+1)]은 [eqn: 6]의 배수이다. 그러므로 ㉡은 [eqn: 6]의 배수이다.

따라서 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

⑵ [eqn: 11^n -4^n]은 [eqn: 7]의 배수이다..                [eqn: cdotscdots]㉠

[1] [eqn: n=1]일 때 [eqn: 11-4=7]이므로 ㉠이 성립한다.

[2] [eqn: n=k]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 11^k -4^k =7m] (단, [eqn: m]은 자연수)

이때 [eqn: n=k+1]이면

[eqn: 11^k+1 -4^k+1 =11^k times 11-4^k times 4]

[eqn: =11^k (7+4)-4^k cdot 4]

[eqn: =11^k times 7 +(11^k -4^k ) times 4]

[eqn: =11^k times 7 +7m times4]

[eqn: =7(11^k +4m )]

이므로 [eqn: 7]의 배수이다.

따라서 ㉠은 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

[1], [2]에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

18  풀이 참조

답

해

설

[eqn: x^n -nx +n-1]은 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어진다.

[eqn: cdotscdots]㉠

[1] [eqn: n=2]일 때 [eqn: x^2 -2x +1 =(x-1)^2]이므로 ㉠이 성립한다.

[2] [eqn: n=k] ([eqn: k geq 2])일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: x^k -kx +k -1 =(x-1)^2 cdot Q(x)]

이때 [eqn: n=k+1]이면

[eqn: x^ k+1 -(k+1)x+(k+1)-1]

[eqn: =x(x^k -kx +k-1)+k(x-1)^2]

[eqn: =x cdot (x-1)^2 cdot Q(x) +k(x-1)^2]

[eqn: =(x-1)^2 cdot left{x cdot Q(x) +k right}]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉠이 성립한다.

[1], [2]에 의하여 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식 [eqn: x^n -nx +n -1]은 항상 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어진다.

19  (가) [eqn: m^2 over{(m+1)(m+2)]

답

(나) [eqn: 1 over {(m+1)^2 (m+2)]

(다) [eqn: 1 over {(m+1)(m+2)]

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} +a _{m+1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} + bold{{m ^{2}} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} } a _{m}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} + {m ^{2}} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )}]

[eqn: CDOT {LEFT ( m-1 RIGHT ) ^{2}} over {m LEFT ( m+1 RIGHT )} CDOT CDOTS CDOT {1 ^{2}} over {2 CDOT 3} a _{1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} + bold{{1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( m+2 RIGHT )}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k ^{2}} - {m} over {m+1} + {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2}} - bold{{1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} {1} over {k ^{2}} - {m+1} over {m+2}]

20  ④

답

[eqn: p](1)이 참이므로 다음에서 각각의 명제가 참이

된다.

즉, [eqn: n=2 ^{a} TIMES 5 ^{b}]([eqn: a,`b]=0, 1, 2, [eqn: cdots])의 꼴이면

[eqn: p(n)]은 참이다.

따라서[eqn: 25=5 ^{2} ,`100=2 ^{2} TIMES 5 ^{2} ,`125=5 ^{3}]

[eqn: 150=2 TIMES 3 TIMES 5 ^{2}]

[eqn: 250=2 TIMES 5 ^{3}]이므로 반드시 참이라고 할 수 없

는 명제는 [eqn: p(150)]이다.