수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		2. 수열의 합			반 / 번호
	01 [eqn: sum]의 뜻과 성질					이름

01 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =3, sum _{k=1} ^{10} b _{k} `=1일`때,` sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} -4b _{k} +3 RIGHT )]의

값을 구하시오.

02 [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k+3 RIGHT ) LEFT ( k-1 RIGHT ) - sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k-3 RIGHT ) LEFT ( k+1 RIGHT )]의 값은?

① 210          ② 220          ③ 230

④ 240          ⑤ 250

03 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{n} +b _{n} =`-n,~a _{n} b _{n} =`-3n]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{8} LEFT ( 1+a _{k} RIGHT ) LEFT ( 1+b _{k} RIGHT )]의 값은?

① -136          ② -128          ③ -120

④ -112          ⑤ -104

04 [eqn: { sum _{k=1} ^{n} (a _{2k-1} +a _{2k} )=4n ^{2} }``]일 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{20} a _{k} }``]의 값은?

① [eqn: { 100 }``]           ② [eqn: { 200 }``]          ③ [eqn: { 400 }``]
④ [eqn: { 800 }``]           ⑤ [eqn: { 1600 }``]

05 함수 [eqn: { f(x) }``]가 [eqn: { f(20)=30,```f(2)=4 }``]를 만족시킬 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{18} f(k+2)- sum _{k=3} ^{20} `f(k-1) }``]의 값을 구하여라.

06 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]에 대하여 [eqn: { sum _{k=1} ^{49} a _{k} =16,````a _{`50} = {1} over {7} }``]일 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{49} `k(a _{k} -a _{k+1} ) }``]의 값은?

① [eqn: { 8 }``]             ② [eqn: { 9 }``]            ③ [eqn: { 10 }``]
④ [eqn: { 11 }``]            ⑤ [eqn: { 12 }``]

07 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]이	[eqn: { a _{1} =-1,```` sum _{k=1} ^{n} (a _{3k-1} +a _{3k} +a _{3k+1} )=(2n+1) ^{2} }``]을 만족시킬 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{31} a _{k} }``]의 값을 구하여라.

08 자연수 [eqn: { n }``]에 대하여 [eqn: { n ^{2} }``]을 [eqn: { 4 }``]로 나눈 나머지를 [eqn: { a _{n} }``]이라고 할 때, [eqn: { sum _{n=1} ^{2010} a _{n} }``]의 값은?

① [eqn: { 1002 }``]           ② [eqn: { 1003 }``]           ③ [eqn: { 1004 }``]
④ [eqn: { 1005 }``]           ⑤ [eqn: { 1006 }``]

09 수열 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``]에 대하여 [eqn: { a _{n} =3 ^{n} -10 LEFT [ {3 ^{n}} over {10} RIGHT ] }``]이라 할 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{40} a _{k} }``]의 값을 구하여라. (단, [eqn: { LEFT [ x RIGHT ] }``]는 [eqn: { x }``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

10 [eqn: { x _{1} ,``x _{2} ,``x _{3} ,`` CDOTS `,`x _{n} }``]은 [eqn: { 0,``1,``2 }``]의 값 중 어느 하나를 취한다. [eqn: sum _{i=1} ^{n} x _{`i} =13,`````` sum _{i=1} ^{n} x _{`i} ` ^{2} =23```]일 때, [eqn: { sum _{i=1} ^{n} x _{i} ` ^{5} }``]의 값을 구하여라.

11  [eqn: { sum _{k=1} ^{10} a _{k} =4,``` sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{} ` ^{2} =8 }``]일 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{10} (3a _{k} -1) ^{2} }``]의 값은?

① [eqn: { 49 }``]           ② [eqn: { 58 }``]           ③ [eqn: { 73 }``]
④ [eqn: { 99 }``]           ⑤ [eqn: { 121 }``]

12  [eqn: { sum _{k=1} ^{n} {1} over {1+a _{k}} =n ^{2} +n }``]일 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {1+a _{k}} }``]의 값은?

① [eqn: { -n ^{2} -2n }``]           ② [eqn: { -n ^{2} }``]

③ [eqn: { -n ^{2} +2n }``]           ④ [eqn: { n ^{2} -n }``]

⑤ [eqn: { n ^{2} }``]

13 수열의 합 [eqn: 9`+`99`+`999`+` CDOTS `+` UNDERBRACE {10개} {999 CDOTS 9} ````]의 값을 [eqn: { S }``]라 할 때, [eqn: { 9S }``]의 값은?

① [eqn: { 10 ^{10} -100 }``]           ② [eqn: { 10 ^{10} -10 }``]

③ [eqn: { 10 ^{10} -1 }``]           ④ [eqn: { 10 ^{11} -10 }``]

⑤ [eqn: { 10 ^{11} -100 }``]

14 등식 [eqn: sum _{k=1} ^{100} ` {3 ^{k} -2 ^{k}} over {4 ^{k}} `=a+b` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{100} +c` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100} ``]을 만족시키는 정수 [eqn: { a,`b,`c }``]의 합 [eqn: { a+b+c }``]의 값을 구하여라.

15 자연수 [eqn: { n }``]에 대하여 [eqn: { 8 ^{n} }``]의 모든 양의 양수를
[eqn: { a _{1} ,``a _{2} ,``a _{3} ,`` CDOTS `,`a _{m} }``]이라 하자. 이 때, [eqn: { sum _{k=1} ^{m} a _{k} }``]의 값을 구하여라.

16 수열 [eqn: { 7,~77,~777,~7777,~cdots } }``]의 첫째항부터 제 [eqn: { n }``]항까지의 합은?

① [eqn: { {7(10^n +9n-10)}over9 }``]

② [eqn: { {7(10 ^{n+1} -90n-1)} over {9} }``]
③ [eqn: { {7(10 ^{n+1} +9n-1)} over {9} }``]

④ [eqn: { {7(10 ^{n} +90n-1)} over {81} }``]

⑤ [eqn: { {7(10^n+1 -9n-10)}over81 }``]

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		2. 수열의 합			반 / 번호
	02 여러 가지 수열의 합					이름

01 [eqn: {1} over {1+ sqrt {2}} + {1} over {sqrt {2} + sqrt {3}} + {1} over {sqrt {3} +2} + CDOTS + {1} over {sqrt {99} +10}]의 합은?

① 6          ② 7          ③ 8

④ 9          ⑤ 10

02 수열 {[eqn: a _{n}]}이 2, 6, 12, 20, 30, [eqn: cdots]으로 주어질 때, [eqn: a _{20}]의 값을 구하시오.

03 첫째항이 0이고 공차가 0이 아닌 등차수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여 수열 {[eqn: b _{n}]}이 [eqn: a _{n+1} b _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]를 만족할 때, [eqn: b _{27}]의 값을 구하시오.

04 [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( sum _{k=n} ^{20} k RIGHT )]의 값은?

① 1935          ② 1945          ③ 1955

④ 1965          ⑤ 1975

05 수열 2[eqn: cdot]1, 4[eqn: cdot](1+3), 6[eqn: cdot](1+3+5), 8[eqn: cdot](1+3+5+7), [eqn: CDOTS]의 첫째항부터 제10항까지의 합은?

① 5900          ② 5950          ③ 6000

④ 6050          ⑤ 6100

06 [eqn: x]에 관한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x- LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT ) =0]의 두 근 [eqn: alpha _{n} , beta _{n}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {alpha _{n}} + {1} over {beta _{n}} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {11} over {21}]          ② [eqn: {20} over {21}]          ③ [eqn: {31} over {21}]

④ [eqn: {40} over {21}]          ⑤ [eqn: {50} over {21}]

07 첫째항이 400, 공차가 -5인 등차수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여 [eqn: {1} over {sqrt {a _{1}} + sqrt {a _{3}}} + {1} over {sqrt {a _{3}} + sqrt {a _{5}}} + CDOTS + {1} over {sqrt {a _{59}} + sqrt {a _{61}}}]의 값은?

① -1           ② 0           ③ 1

④ 2            ⑤ 3

08 아래 그림과 같이 제1행에는 1개, 제2행에는 2개, [eqn: CDOTS], 제100행에는 100개의 직사각형을 나열하고 그 안에 다음과 같은 규칙으로 수를 써넣었다.

[규칙 1] 각 행의 양쪽 끝 직사각형에는 1부터 100까지의 자연수를 순서대로 써넣는다.

[규칙 2] 각 행의 안쪽 직사각형에는 바로 위 행의 인접한 직사각형에 쓰인 두 수의 합을 써넣는다.

이때, [eqn: b-a]의 값은?

① 4878          ② 4872          ③ 4864

④ 4858          ⑤ 4852

09 다음 수열에서 [eqn: {15} over {35}]는 제 몇 항인가?

[eqn: {1} over {1} ,`` {3} over {3} ,`` {2} over {3} ,`` {1} over {3} ,`` {5} over {5} ,`` {4} over {5} ,`` {3} over {5} ,`` {2} over {5} ,`` {1} over {5} ,`` {7} over {7} ,`` {6} over {7} ,`` {5} over {7} ,` CDOTS]

① 제289항       ② 제293항       ③ 제298항

④ 제304항       ⑤ 제310항

10 수열 {[eqn: a _{n}]}의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =2n ^{2} +3n]이다. 수열 {[eqn: a _{n}]}의 각 항을 다음과 같이 배열해 나갈 때, 제10행의 왼쪽에서 5번째에 위치한 항의 값을 구하시오.

제1행 [eqn: ⇨````a _{1}]

제2행 [eqn: ⇨````a _{2} `````a _{3}]

제3행 [eqn: ⇨````a _{4} ```a _{5} ```a _{6}]

제4행 [eqn: ⇨````a _{7} ```a _{8} ```a _{9} ```a _{10}]

[eqn: VDOTS]

11 자연수 [eqn: n LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수를 모두 더한 값을 [eqn: a _{n}]이라고 하자. 예를 들어 4로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 5, 10, 15이므로 [eqn: a _{4}]=5+10+15=30이다. [eqn: a _{n}]>500을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

12 오른쪽 그림과 같이 제1행부터 차례대로 나열되는 수들이 있다. 제[eqn: n]행에 나열된 수들의 합이 256일 때, [eqn: n]의 값은?

제1행       1 2 1

제2행     1 2 3 2 1

제3행   1 2 3 4 3 2 1

제4행 1 2 3 4 5 4 3 2 1

[eqn: VDOTS]

① 12          ② 13          ③ 14

④ 15          ⑤ 16

13 다음은 제품[eqn: p _{n}]을 만드는 방법과 소요 시간에 대한 설명이다.

㈎ 제품 [eqn: p _{1}]을 하나 만드는 데에는 한 시간이 걸린다.

㈏ 제품 [eqn: p _{1}]두 개를 차례대로 만든 다음 이 둘을 연결하면 제품 [eqn: p _{2}]가 한 개 만들어진다.

㈐ 제품 [eqn: p _{n}]두 개를 차례대로 만든 다음 이 둘을 연결하면 제품 [eqn: p _{2n}]이 한 개 만들어진다.

이때, 제품 [eqn: p _{n}] 두 개를 연결하는 데 걸리는 시간은 [eqn: 2n]시간이다.

이때, 제품[eqn: p _{16}]을 한 개 만드는 데에는 몇 시간이 걸리는가? (단, [eqn: n]=[eqn: 2 ^{k}] , [eqn: k]=0, 1, 2, 3, [eqn: CDOTS])

① 40          ② 50          ③ 60

④ 70          ⑤ 80

14 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{n} =3n-2]일 때, [eqn: `a _{1} ` ^{2} +a _{3} ` ^{2} +a _{5} ` ^{2} + CDOTS +a _{2n-1} ` ^{2}]을 [eqn: n]에 관한 식으로 나타내면?

① [eqn: 6n-5]               ② [eqn: 12n ^{2} -12n+1]

③ [eqn: 36n ^{2} -60n+25]      ④ [eqn: 12n ^{3} -12n ^{2} +n]

⑤ [eqn: 36n ^{3} -60n ^{2} +25n]

15 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } 에서` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{2k-1} +a _{2k} RIGHT ) =4n ^{2}]일 때, 이 수열의 제11항부터 제20항까지의 합을 구하시오.

16 [eqn: sum _{k=1} ^{10} k cdot 2 ^{k} =a cdot 2 ^{11} +b]를 만족하는 자연수 [eqn: a`,```b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a`,```b]는 각각 한 자리의 수이다.)

① 9          ② 10          ③ 11

④ 12         ⑤ 13

17 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항이

[eqn: a _{n} =1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +n ^{2}]일 때,

[eqn: {3} over {a _{1}} + {5} over {a _{2}} + {7} over {a _{3}} + CDOTS + {199} over {a _{99}}]의 값은?

① [eqn: {289} over {50}]          ② [eqn: {291} over {50}]          ③ [eqn: {293} over {50}]     ④ [eqn: {295} over {50}]            ⑤ [eqn: {297} over {50}]

18 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {1} over {sqrt {2n+1+ sqrt {4n ^{2} +4n}}}]이라고 할 때,[eqn: sum _{k=1} ^{99} f LEFT ( k RIGHT )]의 값을 구하시오.

19 수열 1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9,[eqn: CDOTS]에서 첫째항부터 200번째 항까지의 합은?

① 2470          ② 2490          ③ 2520

④ 2570          ⑤ 2640

20 다음 중 다음 그림과 같이 배열된 100개의 수의 총합과 같은 것은?

1	2	3	[eqn: CDOTS]	8	9	10
2	4	6	[eqn: CDOTS]	16	18	20
3	6	9	[eqn: CDOTS]	24	27	30
			[eqn: VDOTS]
10	20	30	[eqn: CDOTS]	80	90	100

① [eqn: sum _{k=1} ^{10} k ^{2}]        ② [eqn: sum _{k=1} ^{100} k ^{2}]        ③ [eqn: 10 sum _{k=1} ^{10} k ^{2}]

④ [eqn: 100 sum _{k=1} ^{10} k ^{2}]     ⑤ [eqn: sum _{k=1} ^{10} k ^{3}]

21 다음과 같이 모든 항이 1로만 되어 있는 수열 1, 1, 1, [eqn: CDOTS]에서 이웃한 두 항 사이에 2를 세 개씩 추가하여 만든 수열을 {[eqn: a _{n}]}, 이웃한 두 항 사이에 0을 다섯 개씩 추가하여 만든 수열을 {[eqn: b _{n}]}이라고 하자.

{[eqn: a _{n}]} : 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, [eqn: CDOTS]

{[eqn: b _{n}]} : 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, [eqn: CDOTS]

이때, [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k} b _{k}]의 값을 구하시오.

22 수열[eqn: 10 ^{{1} over {11}} ,10 ^{{2} over {11}} ,10 ^{{3} over {11}} , CDOTS]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 곱을 [eqn: P _{n}]이라고 할 때, [eqn: P _{n}]>10000인 자연수 [eqn: n]의 최솟값은?

① 7          ② 8          ③ 9

④ 10         ⑤ 11

23 수열 {[eqn: a _{n}]}이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =log {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )} over {2}]를 만족한다.[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{2k} =p]라고 할 때,[eqn: 10 ^{p}]의 값을 구하시오.

24 다음 그림과 같이 벌집 모양으로 도형을 그려 나갈 때, [eqn: n]번째 도형에 있는 선분의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 하자. 예를 들어 [eqn: a _{1} =6,`a _{2} =15]이다. 이때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값을 구하시오.

25 다음과 같이 좌표평면 위의 점의 좌표로 이루어진 수열 {[eqn: a _{n}]}이 있다.

(1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), (3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3), (4, 0), (3, 1),[eqn: CDOTS]

이때, [eqn: a _{1000}]에 대응되는 점의 좌표는?

① (32, 10)       ② (34, 10)       ③ (36, 10)

④ (23, 12)       ⑤ (32, 12)

26 [eqn: sum _{n=1} ^{200} LEFT ( n!+n+1 RIGHT )]의 일의 자리의 수는?[eqn: LEFT ( 단,`n! =n TIMES LEFT ( n-1 RIGHT ) TIMES CDOTS TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1 RIGHT )]

① 0          ② 3          ③ 6

④ 8          ⑤ 9

27 한 변의 길이가 자연수인 정육각형을 오른쪽 그림과 같이 각각의 변에 평행한 직선을 그어 한 변의 길이가 1인 정삼각형으로 나누려고 한다. 이와 같이 한 변의 길이가 [eqn: n]인 정육각형을 한 변의 길이가 1인 정삼각형으로 나누어 만들어지는 삼각형의 개수를 [eqn: S _{n}]이라고 할 때, [eqn: S _{9}]의 값을 구하시오.

28 [eqn: sum _{k=1} ^{30} {1+2+3+`` CDOTS `+k} over {k} ``]의 값은?

① [eqn: { 485 over2 }``]                ② [eqn: { 245 }``]

③ [eqn: { 495 over2 }``]                ④ [eqn: { 250 }``]

⑤ [eqn: { 505 over2 }``]

29 이차방정식 [eqn: { x^2 -kx-k=0 }``]의 두 근을 [eqn: { alpha _{`k} ,~ beta _{`k} }``]라 할 때, [eqn: { sum _{ k=1} ^{6 }(a_k` ^3 + beta_k`^3 ) }``]의 값은?

① [eqn: { 694 }``]           ② [eqn: { 714 }``]           ③ [eqn: { 734 }``]
④ [eqn: { 754 }``]           ⑤ [eqn: { 774 }``]

30 [eqn: sum _{k=1} ^{10} `(k-c) ^{2} ``]의 값이 최소가 되도록 하는 상수 [eqn: { c }``]의 값은?

① [eqn: { 4 }``]           ② [eqn: { 9 over2 }``]           ③ [eqn: { 5 }``]

④ [eqn: { 11 over2 }``]         ⑤ [eqn: { 6 }``]

31 [eqn: { m+n=13,~mn=40 }``]일 때, [eqn: sum _{i=1} ^{m} `` LEFT { sum _{j=1} ^{n} ``(i+j) RIGHT } ``]의 값은?

① [eqn: { 220 }``]           ② [eqn: { 240 }``]           ③ [eqn: { 260 }``]
④ [eqn: { 280 }``]           ⑤ [eqn: { 300 }``]

32 [eqn: sum _{m=1} ^{n} `` LEFT { sum _{l=1} ^{m} ``` LEFT ( sum _{k=1} ^{l} 6 RIGHT ) RIGHT } ``]을 간단히 하면?

① [eqn: { n(n+1)(n+2) }``]       ② [eqn: { n(n+1)(n +3) }``]
③ [eqn: { n(n+1)(2n+1) }``]      ④ [eqn: { n(n+2)(2n+1) }``]
⑤ [eqn: { n(n+1)(2n+3) }``]

33 [eqn: sum _{n=1} ^{5} `` LEFT ( ` sum _{m=1} ^{n} mn RIGHT ) ``]의 값을 구하여라.

34 [eqn: sum _{n=1} ^{4} `` LEFT ( `` sum _{k=1} ^{n} `2 ^{k+n} RIGHT ) ``]의 값은?

① [eqn: { 620 }``]           ② [eqn: { 660 }``]           ③ [eqn: { 700 }``]
④ [eqn: { 740 }``]           ⑤ [eqn: { 780 }``]

35 [eqn: { sum _{ k=1} ^{n }a_k = n^2 +n }``]일 때, [eqn: { sum _{ k=1} ^{10 } a_2k-1 }``]의 값은?

① [eqn: { 190 }``]           ② [eqn: { 200 }``]           ③ [eqn: { 210 }``]
④ [eqn: { 220 }``]           ⑤ [eqn: { 230 }``]

36  [eqn: { a_n = 3n-2 }``]일 때, [eqn: { sum _{ k=1} ^{2n }`a_2k }``]를 [eqn: { n }``]에 대한 식으로 나타내면?

① [eqn: { 6n^2 +n }``]           ② [eqn: { 6n^2 +2n }``]

③ [eqn: { 12n^2 +n }``]           ④ [eqn: { 12n^2 +2n }``]

⑤ [eqn: { 12n^2 +4n }``]

37 등차수열 [eqn: { left{a_n right} }``]에 대하여 [eqn: { sum _{ k=1} ^{5 }``a_4k+1 =70,~ sum _{ k=1} ^{5 }``a_4k+2 =80 }``]일 때, [eqn: { sum _{ k=1} ^{ 15}``a_3k }``]의 값은?

① [eqn: { 480 }``]           ② [eqn: { 540 }``]           ③ [eqn: { 600 }``]
④ [eqn: { 660 }``]           ⑤ [eqn: { 720 }``]

38 수열의 합 [eqn: { 1cdot3+2cdot5+3cdot7+``cdots`+12cdot25 }``]의 값은?

① [eqn: { 1300 }``]           ② [eqn: { 1378 }``]           ③ [eqn: { 1456 }``]
④ [eqn: { 1950 }``]           ⑤ [eqn: { 2028 }``]

39 다음 수열의 첫째항부터 제 [eqn: { 17 }``]항까지의 합을 구하여라.

[eqn: { 9cdot10-2,~9cdot10^2 -4 ,~9cdot10^3 -6 ,~cdots }``]

40 다음 수열의 합

[eqn: 1 CDOT n+2 CDOT (n-1)+3 CDOT (n-2)+`` CDOTS `+(n-1) CDOT 2+n CDOT 1``]

을 간단히 하면?

① [eqn: { {n(n+1)(n+2)}over6 }``]      ② [eqn: { {n(n+2)(2n+1)}over6 }``]
③ [eqn: { {n(n+1)(n+2)}over3 }``]      ④ [eqn: { {n(n+1)(2n+1)}over3 }``]
⑤ [eqn: { {n(n+1)(2n+1)}over2 }``]

41 수열 [eqn: LEFT ( {n+1} over {n} RIGHT ) ^{2}], [eqn: LEFT ( {n+2} over {n} RIGHT ) ^{2}], [eqn: LEFT ( {n+3} over {n} RIGHT ) ^{2}], [eqn: cdots], [eqn: LEFT ( {2n} over {n} RIGHT ) ^{2} ``]의 합은?

① [eqn: { {12n^2 +10n+1}over6n }``]        ② [eqn: { {14n^2 +9n+1}over6n }``]
③ [eqn: { {14n^2 +11n-1}over6n }``]        ④ [eqn: { {15n^2 +8n+1}over6n }``]
⑤ [eqn: { {15n^2 +10n-1}over6n }``]

42 자연수 [eqn: { n }``]에 대하여 등식	[eqn: { 1 CDOT (2n-1)+2 CDOT (2n-3)+3 CDOT (2n-5)]

[eqn: +`` CDOTS `+n CDOT 1 }``][eqn: { = {n(n+1)(an+b)}over6 }``]가 성립할 때, 자연수 [eqn: { a,~b }``]의 합 [eqn: { a+b }``]의 값은?

① [eqn: { 3 }``]           ② [eqn: { 4 }``]           ③ [eqn: { 5 }``]
④ [eqn: { 6 }``]           ⑤ [eqn: { 7 }``]

43 다음 수열의 첫째항부터 제 [eqn: { 100 }``]항까지의 합은?

[eqn: { 1,~1+2,~1+2+4,~1+2+4+8,~cdots }``]

① [eqn: { 2^100 -100 }``]           ② [eqn: { 2^100 -101 }``]

③ [eqn: { 2^101 -100 }``]           ④ [eqn: { 2^101 -101 }``]

⑤ [eqn: { 2^101 -102 }``]

44 다음 수열의 합을 구하여라.

[eqn: 1+(1+3)+(1+3+5)+~ CDOTS `+(1+3+5+`` CDOTS `+15)``]

45 다음 그림과 같은 모양으로 [eqn: { 3 }``]층탑을 쌓는데 필요한 크기가 같은 정육면체의 개수는 [eqn: { 10 }``]개이다. 같은 방법으로 [eqn: { 7 }``]층 탑을 쌓는데 필요한 정육면체의 개수를 구하여라.

46 [eqn: {1} over {3 ^{2} -1} + {1} over {5 ^{2} -1} + {1} over {7 ^{2} -1} +`` CDOTS `+ {1} over {25 ^{2} -1} ``]의 값이 [eqn: { q overp }``]일 때, [eqn: { p+q }``]의 값은? (단, [eqn: { p,~q }``]는 서로소인 자연수)

① [eqn: { 13 }``]           ② [eqn: { 14 }``]           ③ [eqn: { 15 }``]
④ [eqn: { 16 }``]           ⑤ [eqn: { 17 }``]

47  수열 [eqn: { left{a_n right }``]에 대하여 [eqn: { a_n = {n^3 +n^2 +2}over{n^2 +n} }``]일 때, [eqn: { sum _{ k=1} ^{10 }`a_k }``]의 값은?

① [eqn: { 615 over11 }``]           ② [eqn: { 625 over11 }``]           ③ [eqn: { 635 over11 }``]
④ [eqn: { 291 over5 }``]           ⑤ [eqn: { 293 over5 }``]

48 수열의 합 [eqn: { 1+ 1 over1+2 + 1over1+2+3 +``cdots`+ 1over{1+2+3+``cdots`+n }``]의 값이 [eqn: { 40 over21 }``]일 때, 자연수 [eqn: { n }``]의 값을 구하여라.

49 수열의 합 [eqn: { {1} over {1 CDOT 2 CDOT 3} + {1} over {2 CDOT 3 CDOT 4} `+ {1} over {3 CDOT 4 CDOT 5} `+`` CDOTS `+ {1} over {8 CDOT 9 CDOT 10} }``]의 값을 구하여라.

50 수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }``]의 첫째항부터 제[eqn: { n }``]항까지의 합[eqn: { S_{ n } }``]이 [eqn: { S_{ n } =n^{ 2 } +2n }``]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k} `a _{k+1}} ``] 을 [eqn: { n }``]에 대한 식으로 나타내면?

① [eqn: { { n } over { 2(2n+1) } }``]           ② [eqn: { { n } over { 2(2n+1) } }``]

③ [eqn: { { n } over { 3(n+2) } }``]            ④ [eqn: { { n } over { 3(2n+3) } }``]

⑤ [eqn: { { n } over { 3(2n+1) } }``]

51 [eqn: { x }``]에 대한 이차방정식
[eqn: { nx^2 -x-n(n+1)=0~(n=1,~2,~3,~ cdots ) }``]의 두 근을 [eqn: { alpha_n ,~beta _n }``]이라 할 때, [eqn: { sum _{ n=1} ^{20 } LEFT ( 1over alpha_n + 1over beta_n RIGHT ) }``]의 값을 구하여라.

52  [eqn: { sum from k=1 to 98 2 over { sqrt k+2 +sqrt k } = 3sqrta -sqrtb + 9 }``]를 만족하는 자연수 [eqn: { a,~b }``]의 합 [eqn: { a+b }``]의 값은?

① [eqn: { 10 }``]           ② [eqn: { 12 }``]           ③ [eqn: { 13 }``]
④ [eqn: { 15 }``]           ⑤ [eqn: { 16 }``]

53 수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }``]은 첫째항이 [eqn: { 25 }``], 공차가 [eqn: { 4 }``]인 등차수열일 때, [eqn: { sum _{ k=1} ^{66 } { 1} over { sqrt {a_k }+ sqrt { a_k+1} } }``]의 값을 구하여라.

54 수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }``]이 다음과 같을 때, [eqn: { a_30 - a_15 }``]의 값을 구하여라.

[eqn: { 2,~1,~1,~2,~4,~7,~cdots }``]

55 일반항이 [eqn: { a_n =2n^2 -3n }``]인 수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }``]의 계차수열을 [eqn: { left { b_{ n } right } }``]이라 할 때, [eqn: { sum _{ k=1} ^{ 12}b_k }``]의 값은?

① [eqn: 294``]           ② [eqn: { 296 }``]           ③ [eqn: { 298 }``]
④ [eqn: { 300 }``]           ⑤ [eqn: { 302 }``]

56 다음 그림과 같이 정육각형의 각 변을 한 변으로 하는 정육각형을 붙여 도형을 만들어 나간다. [eqn: { n }``]번째 만들어지는 도형의 정육각형의 개수를 [eqn: { a_n }``]이라 할 때, [eqn: { a_n }``]을 구하여라.

57 수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }``]이 [eqn: { -1,~0,~2,~6,~14,~30,~cdots }``]일 때, [eqn: { a_k =1022 }``]를 만족시키는 자연수 [eqn: { k }``]의 값을 구하여라.

58 첫째항이 [eqn: { 30 }``]이고 공차가 [eqn: { -3 }``]인 등차수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }``]을 다음과 같이 괄호로 묶는다.

[eqn: { (a_1 ),~(a_2 ,~a_3 ,~a_4 ),~(a_5 ,~a_6 ,~a_7 ,~a_8 ,~a_9 ) }``][eqn: { (a_10 ,~a_11 ,~a_12 ,~a_13 ,~a_14 ,~a_15 ,~a_16 ),~cdots }``]
[eqn: { k }``]번째 괄호 안의 수 중 가장 큰 수를 [eqn: { b_k }``]라 할 때, [eqn: { b_8 }``]의 값을 구하여라.

59 수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }``]이 [eqn: { -5,~-1,~7,~19,~35,~55,~cdots }``]일 때, 첫째항부터 제 [eqn: { 10 }``]항까지의 합은?

① [eqn: { 460 }``]           ② [eqn: { 510 }``]           ③ [eqn: { 560 }``]
④ [eqn: { 610 }``]           ⑤ [eqn: { 660 }``]

60 첫째항이 [eqn: { 2 }``]인 수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }``]의 계차수열 [eqn: { left { b_{ n } right } }``]에 대하여 [eqn: { sum _{ k=1} ^{n }b_k =n(n-1) }``]이 성립한다. 수열 [eqn: { left { a_{ n } right } }``]의 첫째항부터 제[eqn: { n }``]항까지의 합을 [eqn: { S_n }``]이라 할 때, [eqn: { S_10 }``]의 값을 구하여라.

61 수열의 합 [eqn: { 1+ 2 cdot 1 over2 + 3 cdot left(1 over2 right ) ^2 + cdots + 30 cdot left(1 over2 right ) ^ 29 }``]을 [eqn: { S }``]라 할 때, [eqn: { S= a - left(1 over2 right ) ^b }``]을 만족하는 자연수 [eqn: { a,~b }``]의 합 [eqn: { a+b }``]의 값은?

① [eqn: { 20 }``]                ② [eqn: { 24 }``]             ③ [eqn: { 28 }``]
④ [eqn: { 32 }``]                ⑤ [eqn: { 36 }``]

62 [eqn: { f(x)=1`+`4x`+`7x ^{2} `+`10x ^{3} `+` CDOTS `+`31x ^{10} }``]일 때, [eqn: { f(4) }``]의 값은?

① [eqn: { 10 cdot 4^11 +1 }``]      ② [eqn: { 10 cdot 4^11 +3 }``]

③ [eqn: { 30 cdot 4^11 +3 }``]           ④ [eqn: { 10 cdot 4^12 +1 }``]

⑤ [eqn: { 10 cdot 4^12 +3 }``]

63 첫째항이 [eqn: { 1 }``], 공차가 [eqn: { 2 }``]인 등차수열의 일반항을 [eqn: { a_n }``]이라 하고, 첫째항이 [eqn: { 1 }``], 공비가 [eqn: { -2 }``]인 등비수열의 일반항을 [eqn: { b_n }``]이라 할 때, [eqn: { sum _{ k=1} ^{10 }a_k b_k = - 1over9 (1+ p cdot 2^10 ) }``]이 성립한다. 이 때 자연수 [eqn: { p }``]의 값을 구하여라.

64 다음과 같이 수를 나열할 때, 나열된 모든 수의 합은?

[eqn: { 1 }``]

[eqn: { 3~~3 }``]

[eqn: { 3^2 ~~3^2 ~~3^2 }``]

[eqn: { 3^3 ~~ 3^3 ~~3^3 ~~3^3 }``]

[eqn: { VDOTS }``]

[eqn: { 3^9 ~~3^9 ~~3^9 ~~ cdots ~~3^9 ~~ 3^9 ~~ 3^9 }``]

① [eqn: { 1 over 4 (19 cdot 3^10 -1) }``]         ② [eqn: { 1 over 4 (19 cdot 3^10 +1 ) }``]
③ [eqn: { 1 over2 (19 cdot 3^10 +1 ) }``]         ④ [eqn: { 1 over 4 (20 cdot 3^10 -1) }``]
⑤ [eqn: { 1over2 (20 cdot 3^10 +1) }``]

65 수열	[eqn: { 1,~1,~2,~1,~2,~4,~1,~2,~4,~7,~1,~2,~4,~7,~11,~cdots }``]
의 제[eqn: { 200 }``]항은?

① [eqn: { 37 }``]               ② [eqn: { 46 }``]              ③ [eqn: { 56 }``]
④ [eqn: { 67 }``]               ⑤ [eqn: { 79 }``]

66 수열
[eqn: { 1,~-2,~-1,~3,~2,~1,~-4,~-3,~-2,~-1,~ }``]
[eqn: { 5,~4,~3,~2,~1,~cdots }``]
에서 처음으로 [eqn: { 20 }``]이 나타나는 항은 제 몇 항인가?

① [eqn: { 210 }``]           ② [eqn: { 212 }``]           ③ [eqn: { 215 }``]
④ [eqn: { 218 }``]           ⑤ [eqn: { 220 }``]

67 수열	[eqn: { 1,~3,~3,~5,~5,~5,~7,~7,~7,~7,~9,~9,~9,~9,~9,~cdots }``]
에서 [eqn: { 21 }``]은 제[eqn: { p }``]항부터 제[eqn: { q }``]항까지 계속된다. 이때 [eqn: { p+q }``]의 값을 구하여라.

68 수열	[eqn: { 1,~1,~2,~1,~1,~2,~3,~2,~1,~1,~2,~3,~4,~3,~2,~1,~cdots }``]
에서 [eqn: { 9 }``]가 [eqn: { \5 }``]번째로 나타나는 항은 제 몇 항인가?

① [eqn: { 90 }``]           ② [eqn: { 109 }``]           ③ [eqn: { 113 }``]
④ [eqn: { 130 }``]          ⑤ [eqn: { 136 }``]

69 다음과 같은 군수열에서 [eqn: { 999 }``]는 제[eqn: { p }``]군의 [eqn: { q }``]번째 항이다. 이 때 [eqn: { p+q }``]의 값을 구하여라.

[eqn: { (1,~3),~(3,~5,~7),~(7,~9,~11,~13), }``][eqn: { (13,~15,~17,~19,~21),~cdots }``]

70 수열
[eqn: 1,~2,~1,~2,~2,~1,~2,~2,~2,~1,~2,~2,~2,~2,~1, CDOTS ``]의 첫째항부터 제[eqn: { 100 }``]항까지의 곱이 [eqn: { 2^a }``] 일 때, 상수 [eqn: { a }``]의 값을 구하여라.

71 다음 수열에서 [eqn: { 37over102 }``]은 제 몇 항인가?

[eqn: { 1over2 ,~ 1over3 ,~ 2over3 ,`~1over4 ,~ 2over4 ,~ 3over4 ,~ 1over5 ,~ 2over5 ,~ 3over5 ,~ 4over5 ,~cdots }``]

① [eqn: { 5005 }``]           ② [eqn: { 5029 }``]           ③ [eqn: { 5050 }``]
④ [eqn: { 5078 }``]           ⑤ [eqn: { 5087 }``]

72 다음과 같은 수열 [eqn: { LEFT { a_n RIGHT } }``]에서 [eqn: { a_k = 5over8 }``]를 만족시키는 [eqn: { k }``]의 값은?

[eqn: { 1over1 ,~ 1over2 ,~ 2over1 ,` ~ 1over3 ,` ~ 2over2 , ~ 3over1 ,~ 1over4 ,` ~ 2over3 ,` ~ 3over2 ,~ 4over1 , ~cdots }``]

① [eqn: { 70 }``]               ② [eqn: { 71 }``]              ③ [eqn: { 72 }``]
④ [eqn: { 73 }``]               ⑤ [eqn: { 74 }``]

73 수열 [eqn: { 1,~ 1over3 ,~1, ~1over3 ,~ 1over9 ,~ 1,~ 1over3 ,~ 1over9 ,~ 1over 27 ,~cdots }``]에서 첫째항부터 제[eqn: { 54 }``]항까지의 곱이 [eqn: { LEFT ( 1 over3 RIGHT )^m }``]일 때, [eqn: { m }``]의 값을 구하여라.

74 수열
[eqn: { 1over1 ,~ 1over2 ,~ 3over1 ,~ 1over4 ,~ 3over2 ,~ 5over1 ,~ 1over8 ,~ 3over4 ,~ 5over2 ,~ 7over1 ,~cdots }``]
에서 제[eqn: { 65 }``]항을 구하여라.

75 다음과 같이 순서쌍으로 이루어진 수열에서 [eqn: { (10,~11) }``]은 제 몇 항인가?

[eqn: (1,~1),~(1,~2),~(2,~1),~(1,`3),~(2,~2),~(3,~1),``][eqn: (1,~4),~(2,~3),~(3,~2),~(4,`1),~(1,~5),~ CDOTS ``]

① [eqn: { 180 }``]           ② [eqn: { 190 }``]           ③ [eqn: { 200 }``]
④ [eqn: { 210 }``]           ⑤ [eqn: { 220 }``]

76 다음과 같이 순서쌍으로 이루어진 수열이 있다.
[eqn: { (1,~1) }``]
[eqn: { (1,~3),~(2,~2) }``]
[eqn: { (1,~7),~(2,~6),~(3,~5),~(4,~4) }``]
[eqn: { (1,~15),~(2,~14),~(3,~13),~cdots,~(8,~8) }``]
[eqn: { VDOTS }``]
이때 [eqn: { (28,~100) }``]은 이 수열의 위에서 [eqn: { p }``]번째 줄의 왼쪽에서 [eqn: { q }``]번째에 있다. 이때 [eqn: { p+q }``]의 값은?

① [eqn: { 32 }``]           ② [eqn: { 33 }``]           ③ [eqn: { 34 }``]
④ [eqn: { 35 }``]           ⑤ [eqn: { 36 }``]

77 다음과 같이 순서쌍으로 이루어진 수열에서 제[eqn: { 100 }``]항을 [eqn: { (a,~b) }``]라 할 때, [eqn: { a-b }``]의 값을 구하여라.

[eqn: { (1,~2),~(2,~1),~(1,~4),~(2,~2),~(4,~1), }``]
[eqn: { (1,~8),~(2,~4),~(4,~2),~(8,~1),~(1,~16),~cdots }``]

78 자연수를 다음 그림과 같이 나열할 때, [eqn: { 100 }``]은 위에서 [eqn: { a }``]번째 중의 왼쪽에서 [eqn: { b }``]번째에 있다. 이때 [eqn: { a+b }``]의 값은?

[eqn: { 1 }``]

[eqn: { 2~~3 }``]

[eqn: { 6~~5~~4 }``]

[eqn: { 7~~8~~9~~10 }``]

[eqn: { 15~~14~~13~~12~~11 }``]

[eqn: { vdots }``]

① [eqn: { 14 }``]           ② [eqn: { 18 }``]           ③ [eqn: { 23 }``]

④ [eqn: { 27 }``]           ⑤ [eqn: { 32 }``]

79 다음과 같이 [eqn: { 2,~4,~6,~8,~10 }``]을 나열할 때, 제[eqn: { 15 }``]행에 나열된 모든 수의 합은?

제[eqn: { 1 }``]행	[eqn: { 2 }``]
제[eqn: { 2 }``]행	[eqn: { 2~~4~~6 }``]
제[eqn: { 3 }``]행	[eqn: { `10~~2~~4~````6~~8~`` }``]
제[eqn: { 4 }``]행	[eqn: { 10~~2~~``4~~6~~8~```10~~2```` }``]
제[eqn: { 5 }``]행	[eqn: { ````4~~6~~8``````~10~````2~~4~~`6~~``8~~10` }``]
[eqn: { vdots }``]	[eqn: { vdots }``]

① [eqn: { 174 }``]           ② [eqn: { 176 }``]           ③ [eqn: { 178 }``]
④ [eqn: { 180 }``]           ⑤ [eqn: { 182 }``]

80 다음과 같이 수를 나열할 때, 위에서 [eqn: { 14 }``]번째 줄의 왼쪽에서 [eqn: { 9 }``]번째에 있는 수는?

[eqn: { 1 }``]

[eqn: { 2 }``]     [eqn: { 4 }``]

[eqn: { 7 }``]    [eqn: { 11 }``]   [eqn: { 16 }``]

[eqn: { 22 }``]   [eqn: { 29 }``]    [eqn: { 37 }``]   [eqn: { 46 }``]

[eqn: { 56 }``]   [eqn: { 67 }``]   [eqn: { 79 }``]   [eqn: { 92 }``]  [eqn: { 106 }``]

[eqn: { VDOTS }``]

① [eqn: { 4551 }``]           ② [eqn: { 4651 }``]

③ [eqn: { 4751 }``]           ④ [eqn: { 4851 }``]
⑤ [eqn: { 4951 }``]

81 자연수를 오른쪽과 같이 배열할 때, 위에서 [eqn: { 3 }``]번째 줄의 왼쪽에서 [eqn: { 10 }``]번째 칸에 있는 수는?

[eqn: { 1 }``]	[eqn: { 4 }``]	[eqn: { 9 }``]	[eqn: { 16 }``]	[eqn: { cdots }``]
[eqn: { 2 }``]	[eqn: { 3 }``]	[eqn: { 8 }``]	[eqn: { 15 }``]
[eqn: { 5 }``]	[eqn: { 6 }``]	[eqn: { 7 }``]	[eqn: { 14 }``]
[eqn: { 10 }``]	[eqn: { 11 }``]	[eqn: { 12 }``]	[eqn: { 13 }``]
[eqn: { 17 }``]	[eqn: { 18 }``]
[eqn: { vdots }``]

① [eqn: { 96 }``]           ② [eqn: { 97 }``]           ③ [eqn: { 98 }``]

④ [eqn: { 99 }``]           ⑤ [eqn: { 100 }``]

82 오른쪽 표와 같이 중앙의 [eqn: { 1 }``]에서부터 시작하여 시계 반대 방향으로 자연수를 차례로 써나갈 때, [eqn: { 121 }``] 바로 위의 수를 구하여라.

83 가로줄과 세로줄의 개수가 같은 정사각형 모양의 표에 다음과 같이 자연수를 규칙적으로 배열하였다. 이 때, 자연수 [eqn: { a,~b,~c }``]에 대하여 [eqn: { b+c -a }``]의 값은?

[eqn: { 1 }``]	[eqn: { 2 }``]	[eqn: { 3 }``]	[eqn: { 4 }``]	[eqn: { 5 }``]	[eqn: { CDOTS }``]
[eqn: { 2 }``]	[eqn: { 4 }``]	[eqn: { 6` }``]	[eqn: { 8 }``]	[eqn: { 10 }``]
[eqn: { 3 }``]	[eqn: { 6 }``]	[eqn: { 9 }``]	[eqn: { 12 }``]	[eqn: { 15 }``]
[eqn: { 4 }``]	[eqn: { 8` }``]	[eqn: { 12 }``]	[eqn: { 16 }``]	[eqn: { 20 }``]
[eqn: { 5 }``]	[eqn: { 10 }``]	[eqn: { 13 }``]	[eqn: { 20 }``]	[eqn: { 25 }``]
[eqn: { vdots }``]					[eqn: { DDOTS }``]
						[eqn: { a }``]	[eqn: { b }``]
						[eqn: { c }``]	[eqn: { 400 }``]

① [eqn: { 395 }``]           ② [eqn: { 396 }``]           ③ [eqn: { 397 }``]

④ [eqn: { 398 }``]           ⑤ [eqn: { 399 }``]

84 오른쪽 표와 같이 자연수를 차례로 써나갈 때, [eqn: { 200 }``]은 [eqn: { p }``]행 [eqn: { q }``]열에 있는 수이다. 이 때 [eqn: { pq }``]의 값을 구하여라.

[eqn: { 1 }``]	[eqn: { 2 }``]	[eqn: { 4 }``]	[eqn: { 7 }``]	[eqn: { 11 }``]	[eqn: { cdots }``]
[eqn: { 3 }``]	[eqn: { 5 }``]	[eqn: { 8 }``]	[eqn: { 12 }``]
[eqn: { 6 }``]	[eqn: { 9 }``]	[eqn: { 13 }``]
[eqn: { 10 }``]	[eqn: { 14 }``]
[eqn: { 15 }``]
[eqn: { vdots }``]

85 아래 표와 같이 수를 써 나갈 때, [eqn: { m }``]행의 [eqn: { n }``]열에 있는 수를 [eqn: { f LEFT ( `m,```n RIGHT ) }``]이라 하자. 이 때, [eqn: { LEFT { ` LEFT ( `m,```n RIGHT ) vert f LEFT ( `m,```n RIGHT ) =81 RIGHT } }``]의 원소의 개수를 구하여라.

[eqn: { 2 }``]	[eqn: { 3 }``]	[eqn: { 4 }``]	[eqn: { 5 }``]	[eqn: { 6 }``]	[eqn: { 7 }``]	[eqn: { 8 }``]	[eqn: { cdots }``]
[eqn: { 3 }``]	[eqn: { 5 }``]	[eqn: { 7 }``]	[eqn: { 9 }``]	[eqn: { 11 }``]	[eqn: { 13 }``]	[eqn: { 15 }``]	[eqn: { cdots }``]
[eqn: { 4 }``]	[eqn: { 7 }``]	[eqn: { 10 }``]	[eqn: { 13 }``]	[eqn: { 16 }``]	[eqn: { 19 }``]	[eqn: { 22 }``]	[eqn: { cdots }``]
[eqn: { 5 }``]	[eqn: { 9 }``]	[eqn: { 13 }``]	[eqn: { 17 }``]	[eqn: { 21 }``]	[eqn: { 25 }``]	[eqn: { 29 }``]	[eqn: { cdots }``]
[eqn: { 6 }``]	[eqn: { 11 }``]	[eqn: { 16 }``]	[eqn: { 21 }``]	[eqn: { 26 }``]	[eqn: { 31 }``]	[eqn: { 36 }``]	[eqn: { cdots }``]
[eqn: { 7 }``]	[eqn: { 13 }``]	[eqn: { 19 }``]	[eqn: { 25 }``]	[eqn: { 31 }``]	[eqn: { 37 }``]	[eqn: { 43 }``]	[eqn: { cdots }``]
[eqn: { vdots }``]	[eqn: { vdots }``]	[eqn: { vdots }``]	[eqn: { vdots }``]	[eqn: { vdots }``]	[eqn: { vdots }``]	[eqn: { vdots }``]	[eqn: { vdots }``]

86 일반항이 [eqn: { a_n = LEFT ( -1 RIGHT )^n-1 }``]인 수열 [eqn: { left{ `a_n right} }``]에 대하여 [eqn: { left{ `b_n right} }``]을 [eqn: { b_n =`a_1 a_2 a_3 cdots a_n }``] 으로 정의할 때, 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: { n }``]은 자연수이다.)

ㄱ. [eqn: { b_3 =-1 }``]

ㄴ. [eqn: { sum from n=1 to 8 b_n =0 }``]

ㄷ. [eqn: { sum from n=1 to 30 b_3n-1 =-2 }``]

① ㄱ           ② ㄱ,ㄴ           ③ ㄱ,ㄷ
④ ㄴ,ㄷ         ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

87 오른쪽 그림과 같은 표 안의 빈칸에 가로줄의 수와 세로줄의 수의 곱을 써 넣을 때, 다음 중 빈칸에 들어갈 모든 수의 합과 같은 것은?

[eqn: { times }``]	[eqn: { 1 }``]	[eqn: { 2 }``]	[eqn: { 3 }``]	[eqn: { CDOTS }``]	[eqn: { 20 }``]
[eqn: { 1 }``]
[eqn: { 2 }``]
[eqn: { VDOTS }``]
[eqn: { 20 }``]

① [eqn: { Sum_k=1^20 k^2 }``]           ② [eqn: { Sum_k=1^20 (k^2 +k) }``]

③ [eqn: { Sum_k=1^20 k^3 }``]           ④ [eqn: { Sum_k=1^20 (k^3 +k^2 ) }``]

⑤ [eqn: { Sum_k=1^20 (k^3 -k^2 ) }``]

88 오른쪽 그림은 좌표평면에서 [eqn: { 0 }``]과 [eqn: { 1 }``]사이의 구간을 [eqn: { n }``]등분하여 한 꼭짓점이 곡선 [eqn: { y = x^2 }``] 위에 놓이도록 직사각형을 인접하게 붙여 놓은 것이다. 이 때, [eqn: { n }``]개의 직사각형의 넓이의 합과 같은 것은?

① [eqn: { n+1 over 2n }``]	② [eqn: { (n+1)^2 over 4n^2 }``]
③ [eqn: { {(n+1)(n+2)} over 3n^2 }``]	④ [eqn: { {(n+1)(2n+1)} over 6n^2 }``]
⑤ [eqn: { {(n+1)(n+2)} over 6n^2 }``]

89 자연수 [eqn: { n LEFT ( n geq 2 RIGHT ) }``]으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수를 모두 더한 값을 [eqn: { a_n }``]이라 하자. 예를 들어 [eqn: { 4 }``]로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수 [eqn: { 5,``10,``15 }``]이므로 [eqn: { a_4 =5+10+15=30 }``]이다. [eqn: { a_n >500 }``]을 만족시키는 자연수 [eqn: { n }``]의 최솟값을 구하여라.

90 [eqn: { sum from i=1 to10 i LEFT ( {1}over{i}+{1}over{i+1}+ cdots+{1}over{10} RIGHT ) }``]의 값은?

① [eqn: { 25 }``]           ② [eqn: { 55over2 }``]           ③ [eqn: { 30 }``]
④ [eqn: { 65over2 }``]           ⑤ [eqn: { 35 }``]

91 자연수 [eqn: { m }``]에 대하여 수열[eqn: { left{a_n right} }``]의 일반항이 [eqn: { a_n =left[ {n}over{m}right] }``]이고 , 첫째항부터 제[eqn: { n }``]항까지의 합을 [eqn: { S_n }``]이라 할 때, 다음 에서 옳은 것만을  있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: { [x] }``]는 [eqn: { x }``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
ㄱ. [eqn: { m=3 }``]일 때, [eqn: { S _{5} =3 }``]

ㄴ. [eqn: { S _{m} =1 }``]

ㄷ. [eqn: { S _{m LEFT ( n+1 RIGHT )} -S _{mn} =nm+1 }``]

① ㄱ           ② ㄱ, ㄴ           ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ       ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

92 크기가 [eqn: { a,```b }``]인 두 저항을 병렬로 연결할 때, 합성저항 [eqn: { R }``]는 [eqn: { 1 over R = 1 over a + 1 over b }``]이다. [eqn: { R_n = sqrt n + sqrt n+1 }``]인 [eqn: { 15 }``]개의 저항 [eqn: { R_1 ,```R_2 ,```R_3 ,```` cdots }``], [eqn: { R_15 }``]를 병렬로 연결하였을 때, 합성저항은?

① [eqn: { 1 over sqrt15 }``]                    ② [eqn: { 1 over 3 }``]

③ [eqn: { 3 }``]                         ④ [eqn: { sqrt 15 }``]

⑤ [eqn: { 3+sqrt 15 }``]

93 수열[eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } ,``` LEFT { b _{n} RIGHT } ,``` LEFT { c _{n} RIGHT } }``]에 대하여
[eqn: { a_n =n }``]
[eqn: { b_n =1,``b_n+1 =a_n +b_n`` LEFT ( n=1,`2,`3,`cdots RIGHT ) }``]
[eqn: { c_n =1,``c_n+1 =b_n +c_n`` LEFT ( n=1,`2,`3,`cdots RIGHT ) }``]
이 성립한다. 이 때 [eqn: { c_25 }``]의 값을 구하여라.

94 숫자 [eqn: { 1,``2,``3 }``]으로 만들 수 있는 수를 작은 수부터 차례로 나열한 수열은 다음과 같다.
[eqn: { 1,```2,```3,```11,```12,```13,```21, }``] [eqn: { 22,```23,```31,```32,```33,```111,```112, }``][eqn: { 113,```121,``` cdots }``]

이 수열의 제[eqn: { 200 }``]항은?

① [eqn: { 13323 }``]                ② [eqn: { 13332 }``]

③ [eqn: { 21111 }``]                ④ [eqn: { 21113 }``]

⑤ [eqn: { 21122 }``]

95 무한소수 [eqn: { x }``]는
[eqn: { x = 0.0100110001110000111100cdots }``] 과 같이 소수점 아래에서 [eqn: { 0 }``]과 [eqn: { 1 }``]의 개수가 하나씩 규칙적으로 늘어난다. [eqn: { x }``]의 소수점 아래 [eqn: { n }``]번째 자리의 수를 [eqn: { a_n }``]이라 하자. 예를 들어 [eqn: { a_2 = 1 }``], [eqn: { a_4 = 0 }``]이다. 이 때, 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: { a_100 = 0 }``]

ㄴ. [eqn: { a_111 + a_112 + a_113 + cdots+ a_120 = 10 }``]

ㄷ. [eqn: { sum _{k=1} ^{n} a _{k} =15 }``]를 만족시키는 [eqn: { n }``]의 최댓값은 [eqn: { 30 }``]이다.

① ㄱ           ② ㄴ           ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ        ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

96 다음 표와 같이 수를 규칙적으로 나열할 때, [eqn: { 73 }``]은 몇 번 나타나는지 구하여라.

[eqn: { 1 }``]	[eqn: { 2 }``]	[eqn: { 3 }``]	[eqn: { 4 }``]	[eqn: { 5 }``]	[eqn: { 6 }``]	[eqn: { CDOTS }``]
[eqn: { 1 }``]	[eqn: { 3 }``]	[eqn: { 5 }``]	[eqn: { 7 }``]	[eqn: { 9 }``]
[eqn: { 1 }``]	[eqn: { 4 }``]	[eqn: { 7 }``]	[eqn: { 10 }``]
[eqn: { 1 }``]	[eqn: { 5 }``]	[eqn: { 9 }``]
[eqn: { 1 }``]	[eqn: { 6 }``]
[eqn: { VDOTS }``]

97 함수 [eqn: { f(x)= left |`` x`-`1 `right |` LEFT ( 0 LEQ x LEQ 2 RIGHT ) }``]에 대하여 수열[eqn: { left{a_n right} }``]의 일반항 [eqn: { a_n }``]을	[eqn: { a_n = LEFT ( 방정식~f^n (x)=0의~서로~다른~실근의~개수 RIGHT ) }``]
로 정의할 때, [eqn: { sum from n=1 to100 a_n }``]의 값을 구하여라.(단, 자연수 [eqn: { n }``]에 대하여 [eqn: { f ^{1} =f,`f ^{``n+1} =f CIRC f ^{``n} }``]이다.)

98 자연수 [eqn: { n }``]에 대하여 [eqn: { n LEFT ( n +1 RIGHT ) }``]을 [eqn: { 6 }``]으로 나눈 나머지를 [eqn: { a_n }``]이라 할 때, [eqn: { sum from k=1 to n a_k =100 }``]을 만족시키는 모든 [eqn: { n }``]의 값의 합을 구하여라.

99 수열 [eqn: { left{ a_n right} }``]에 대하여

[eqn: { na_1 + LEFT ( n-1 RIGHT )a_2 + LEFT ( n-2 RIGHT )a_3 +cdots+2a_n-1 +a_n }``]

[eqn: { =n^3 -n^2 +n }``]

이 성립할 때, [eqn: { sum from k=1 to 20 a_k }``]값을 구하여라.

100 연속된 홀수의 합으로 만들어지는 다음과 같은 수열에서 제 [eqn: { 10 }``]항의 값이 [eqn: { {q}over{p} }``]일 때, [eqn: { p+q} }``]의 값을 구하여라.(단, [eqn: { p,```q }``]는 서로소인 자연수)

[eqn: { {1+3}over{3+5},~{1+3+5}over{5+7+9},~{1+3+5+7}over{7+9+11+13},~cdots }``]

101 [eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 분모는 [eqn: 2^n]꼴이고, 분자는 분모보다 작은 홀수인 모든 분수로 이루어진 다음 수열에서 첫째항부터 제[eqn: 126]항까지의 합을 구하여라.

[eqn: {1} over {2 ^{2}} ,~ {3} over {2 ^{2}} ,~ {1} over {2 ^{3}} ,~ {3} over {2 ^{3}} ,~ {5} over {2 ^{3}} ,~ {7} over {2 ^{3}} ,~ {1} over {2 ^{4}} ,~ {3} over {2 ^{4}} ,``` CDOTS]

102 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_21 = 1over4]이고 [eqn: sum_k=1^20 `k(a_k -a_k+1 )=108]일 때,  [eqn: sum_k=1^20 `a_k]의 값은?

① [eqn: 113]                ② [eqn: 115]

③ [eqn: 117]                ④ [eqn: 119]

⑤ [eqn: 121]

103  [eqn: sum_k=1^20 `|`k-8`|+sum_k=1^20 `(k-8)]의 값은?

① [eqn: 152]                      ② [eqn: 156]

③ [eqn: 160]                      ④ [eqn: 164]

⑤ [eqn: 168]

104 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n =n^2 +2n]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{30} ` {1} over {a _{k} ``a _{k+1}}]의 값은?

① [eqn: 10over63]                 ② [eqn: 4over21]

③ [eqn: 2over9]                  ④ [eqn: 16over63]

⑤ [eqn: 2over7]

105 첫째항이 [eqn: 3]인 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} ` {a _{k+1}} over {S _{k} ``S _{k+1}} = {1} over {4}]이 성립한다. [eqn: S_21]의 값을 구하여라. (단, [eqn: S_n `not=`0])

106 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 이차방정식 [eqn: x ^{2} -(2n+1)`x-n ^{2} =0]의 두 근을 [eqn: alpha_n ,~beta_n]이라 할 때, [eqn: sum_k=1^10 `1over{(alpha_k -1)(beta_k -1)}=- q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.)

107 [eqn: a_1 =1,~a_2 =4,~a_3 =11]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 수열 [eqn: left{a_n+1 -a_n right}]이 등차수열일 때, [eqn: a_20 -a_15]의 값은?

① [eqn: 275]          ② [eqn: 290]	③ [eqn: 305]

④ [eqn: 320]          ⑤ [eqn: 335]

108 수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음과 같다.

[eqn: 1,~1+2,~1+2+3,~1+2+3+4,~cdots]

[eqn: a_n+1 -a_n =b_n ``(n=1,~2,~3,~cdots)]이라 할 때, [eqn: sum_k=1^5 `a_k +sum_k=5^10 `b_k]의 값을 구하여라.

109 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 24^n]의 양의 약수의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_k=1^10 `a_k]의 값은?

① [eqn: 1130]	② [eqn: 1268]

③ [eqn: 1385]                    ④ [eqn: 1452]

⑤ [eqn: 1570]

110 이차방정식 [eqn: x^2 -3x-5=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라 할 때,

[eqn: ( alpha -1)( beta -1)+( alpha -2)( beta -2)+]

[eqn: CDOTS +( alpha -15)( beta -15)]

의 값을 구하여라.

111 방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)]을 [eqn: f(n)= {omega ^{2n} +1} over {omega ^{n}}]로 정의하자. [eqn: sum_k=1^2012 `f(k)]의 값은?

112 다음과 같이 자연수가 차례로 나열된 수열이 있다. 이 수열의 첫째항부터 제[eqn: 80]항까지의 합을 구하여라.

[eqn: 1,~2,~2,~3,~3,~3,~4,~4,~4,~4,~5,~5,~cdots]

113 첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열 [eqn: 1,~5,~9,~13,~17,~21,~25,~cdots]를 이용하여 새로운 수열 [eqn: 1,~5+9,~13+17+21,~cdots]을 만들 때, 이 수열의 제[eqn: 10]항은?

① [eqn: 1960]	② [eqn: 1970]

③ [eqn: 1980]                   ④ [eqn: 1990]

⑤ [eqn: 2000]

114 [eqn: 1over2 +3`·`left( 1over2 right)^2 +5`·`left( 1over2 right)^3]

[eqn: +cdots+17`·`left( 1over2 right)^9 =3-a`·`left( 1over2 right)^9]

일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 17]           ② [eqn: 18]           ③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]           ⑤ [eqn: 21]

115 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum_k=1^n `(k+1)]을 [eqn: n]으로 나눈 몫을 [eqn: a_n], 나머지를 [eqn: b_n]이라 할 때, [eqn: a_50 +sum_k=1^50 `b_k]의 값은?

① [eqn: 347]                      ② [eqn: 349]

③ [eqn: 351]                      ④ [eqn: 353]

⑤ [eqn: 355]

116 다음과 같은 규칙으로 제[eqn: 1]행에는 [eqn: 2]개, 제[eqn: 2]행에는 [eqn: 3]개, [eqn: cdots], 제[eqn: n]행에는 [eqn: n+1]개의 수를 나열한다.

제[eqn: 1]행               [eqn: ``3~~~~1]

제[eqn: 2]행            [eqn: ``3^2 ~~~~3~~~~1]

제[eqn: 3]행         [eqn: ``3^3 ~~~~3^3 ~~~``3~~~~1]

제[eqn: 4]행       [eqn: 3^4 ~~~~3^6 ~~~``3^4 ~~~``3~~~~1]

제[eqn: 5]행    [eqn: 3^5 ~~~``3^10 ~~~3^10 ~~~``3^5 ~~~``3~~~~1]

[eqn: vdots]                   [eqn: vdots]

[규칙 1] 제[eqn: n]행의 오른쪽 끝에는 [eqn: 1], 왼쪽 끝에는

[eqn: 3^n]을 나열한다.

[규칙 2] 제[eqn: n]행의 [eqn: k]번째 수는 제[eqn: (n-1)]행의

[eqn: (k-1)]번째 수와 [eqn: k]번째 수의 곱과 같다.

(단, [eqn: 2≤k≤n])

제[eqn: 15]행의 왼쪽에서 [eqn: 2]번째 수를 [eqn: a], 왼쪽에서 [eqn: 3]번째 수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: log_3 `ab]의 값을 구하여라.

117 수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n =sum_k=n^2n-1 (k+1)^2]

일 때, [eqn: a_10 -a_9]의 값은?

① [eqn: 655]                      ② [eqn: 658]

③ [eqn: 661]                      ④ [eqn: 664]

⑤ [eqn: 667]

118 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여	[eqn: a_10 =10,~sum_k=1^10 `a_3k =60+sum_k=1^10 `a_3k-2]

일 때, [eqn: sum_k=1^20 `a_2k]의 값은?

① [eqn: 820]                      ② [eqn: 830]

③ [eqn: 840]                      ④ [eqn: 850]

⑤ [eqn: 860]

119 자연수 [eqn: m,~n]에 대하여 [eqn: 2^m <n]을 만족시키는 [eqn: m]의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^178 `a_n]의 값은?

① [eqn: 990]                      ② [eqn: 992]

③ [eqn: 994]                      ④ [eqn: 996]

⑤ [eqn: 998]

120 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 관한 이차함수 [eqn: y=sum_k=1^n (x-k)^2]의 최솟값을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_k=1^10 `2a_k]의 값은?

① [eqn: 455]                      ② [eqn: 465]

③ [eqn: 475]                      ④ [eqn: 485]

⑤ [eqn: 495]

121 모든 항이 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =1]이고  [eqn: sum_k=1^9 `1over{a_k `·`a_k+1} =3]이 성립할 때, 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차는?

① [eqn: 2over9]           ② [eqn: 1over3]           ③ [eqn: 4over9]

④ [eqn: 5over9]           ⑤ [eqn: 2over3]

122 수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =2]이고,

[eqn: a_n+1 =a_n +(-1)^n `·`2n+1overn(n+1) ``(n ge1)]

을 만족시킨다. [eqn: a_20 = q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

123 두 수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여  [eqn: a_n =2n(2n+1),~b_n =a_n+1 -a_n]

을 만족시킬 때, [eqn: sum_k=1^10 `b_k]의 값은?

124 수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여	[eqn: a_1 =`- 11over12 ,~a_n+1 =a_n + 2over n(n+2)]

를 만족시킬 때, [eqn: a_11]의 값은?

① [eqn: 9over22]                      ② [eqn: 6over11]

③ [eqn: 15over22]                      ④ [eqn: 9over11]

⑤ [eqn: 21over22]

125 다음과 같은 규칙에 따라 수를 나열하려고 한다.

(가) 제[eqn: 1]행에는 [eqn: 1over2]을 쓴다.

(나) 제[eqn: n`(n ge2)]행에는 첫째항이 [eqn: 1over2^2n-1]이고 공비가

[eqn: 2^2]인 수열이 되도록 수를 [eqn: n]개 나열한다.

제[eqn: 1]행	[eqn: 1over2]
제[eqn: 2]행	[eqn: 1over2^3]	[eqn: 1over2]
제[eqn: 3]행	[eqn: 1over2^5]	[eqn: 1over2^3]	[eqn: 1over2]
제[eqn: 4]행	[eqn: 1over2^7]	[eqn: 1over2^5]	[eqn: 1over2^3]	[eqn: 1over2]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: ddots]
제[eqn: 11]행	[eqn: 1over2^21]	[eqn: 1over2^19]	[eqn: 1over2^17]	[eqn: 1over2^15]	[eqn: cdots]	[eqn: 1over2]

위와 같이 나열된 [eqn: 66]개의 수를 모두 곱한 값이 [eqn: 1over2^n]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 498]                      ② [eqn: 502]

③ [eqn: 506]                      ④ [eqn: 510]

⑤ [eqn: 514]

126 다음과 같이 규칙적으로 수를 나열한 수열 [eqn: left{a_n right}]이 있다.	[eqn: 1over3 ,~ 2over3 ,~ 1over5 ,~ 2over5 ,~ 3over5 ,~ 4over5 ,~ 1over7 ,~ 2over7 ,~ 3over7 ,~ 4over7 ,~ 5over7 ,~ 6over7 ,] [eqn: 1over9 ,~ 2over9 ,~cdots]

이때, [eqn: a_217]의 값은?

① [eqn: 24over29]                      ② [eqn: 27over29]

③ [eqn: 1over31]                      ④ [eqn: 4over31]

⑤ [eqn: 7over31]

127 다음과 같이 규칙적으로 수를 나열한 수열 [eqn: left{a_n right}]이 있다.	[eqn: 1over1 ,~ 1over2 ,~ 2over2 ,~ 1over3 ,~ 2over3 ,~ 3over3 ,~ 1over4 ,~ 2over4 ,~ 3over4 ,~ 4over4 ,~cdots]

첫째항부터 각 항을 기약분수로 나타내었을 때, [eqn: 6]번째로 나타나는 [eqn: 1over3]은 [eqn: k]번째 항이다. 이때, 자연수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 151]                      ② [eqn: 155]

③ [eqn: 159]                      ④ [eqn: 163]

⑤ [eqn: 167]

128 자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rmP_{itn}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 [eqn: rmP_1]의 좌표는 [eqn: (0,~1)]이다.

(나)  점 [eqn: rmP_{itn}]의 좌표가 [eqn: (a,~b)]일 때,

[eqn: a≥sqrtb+1]이면 점 [eqn: rmP_{itn+1}]의 좌표는 [eqn: (a,~b+1)]이고 [eqn: a`＜`sqrtb+1]이면 점 [eqn: rmP_{itn+1}]의 좌표는    [eqn: (a+1,~b)]이다.

예를 들면 [eqn: rmP_2 (1,~1),~P_3 (2,~1),~P_4 (2,~2)]이다. 위의 규칙에 따라 정해진 점 [eqn: rmP_120]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표를 각각 [eqn: alpha,~beta]라 할 때, [eqn: beta-alpha]의 값을 구하여라.

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		2. 수열의 합			정답
	01 [eqn: sum]의 뜻과 성질

01  (답) [eqn: 32]

답

해

설

(주어진 식)[eqn: =2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} -4 sum _{k=1} ^{10} b _{k} + sum _{k=1} ^{10} 3# =2`·`3-4`·`1+3·`10=32]

02  ②

답

해

설

(주어진 식)[eqn: = sum _{k=1} ^{10} (k ^{2} +2k-3)- sum _{k=1} ^{10} (k ^{2} -2k-3)# = sum _{k=1} ^{10} LEFT { LEFT ( k ^{2} +2k-3 RIGHT ) -(k ^{2} -2k-3) RIGHT }# = sum _{k=1} ^{10} 4k=4 sum _{k=1} ^{10} k=4`·` {10`·`11} over {2} =220]

03  ①

답

해

설

[eqn: sum _{k=1} ^{8} (1+a _{k} )(1+b _{k} )= sum _{k=1} ^{8} 1+ sum _{k=1} ^{8} (a _{k} +b _{k} )+ sum _{k=1} ^{8} a _{k} b _{k}# ``````````````````````````````````````````````````````````````````= sum _{k=1} ^{8} 1+ sum _{k=1} ^{8} (-k)+ sum _{k=1} ^{8} (-3k)# ``````````````````````````````````````````````````````````````````= sum _{k=1} ^{8} 1-4 sum _{k=1} ^{8} k# ``````````````````````````````````````````````````````````````````=1`·`8-4`·` {8`·`9} over {2} =-136]

04  ③

답

해

설

[eqn: { sum from{ k=1 } to n ( a_{2k-1} + a_2k ) }``]  [eqn: { = ( a_1 + a_2 ) + ( a_3 + a_4 ) + ~ cdots ~ + ( a_{2n-1} + a_2n ) = sum from{ k=1 } to 2n a_k` }``]

이므로 [eqn: { sum _{k=1} ^{2n} a _{k} =4n ^{2} }``]  ------------㉠

㉠ 의 양 변에 [eqn: { n=10 }``] 을 대입하면

[eqn: { sum from { k=1 } to 20 a_k = 4cdot 10^2 = 400 }``]

05  [eqn: { 26 }``]

답

해

설

[eqn: { sum _{k=1} ^{18} ``f(k+2)- sum _{k=3} ^{20} `f(k-1) }``]

[eqn: { = LEFT { f(3)+f(4)+f(5)+ CDOTS +f(20) RIGHT } }``]

[eqn: { - LEFT { f(2)+f(3)+f(4)+ CDOTS +f(19) RIGHT } }``]

[eqn: { =`f(20)-f(2)=30-4=26 }``]

06  ②

답

해

설

[eqn: { sum _{k=1} ^{49} k(a _{k} -a _{k+1} ) }``]

[eqn: { =(a _{1} -a _{2} )+2(a _{2} -a _{3} )+3(a _{3} -a _{4} )+` CDOTS ` }``]

[eqn: { + }``][eqn: { 48(a _{48} -a _{49} )+49(a _{49} -a _{50} ) }``]

[eqn: { =a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS a _{49} -49a _{50} }``]

[eqn: { = sum _{k=1} ^{49} a _{k} -49a _{50} =16-49 cdot{1} over {7} =9 }``]

07  [eqn: { 440 }``]

답

해

설

[eqn: { sum from{ k=1 } to n ( a_{3k-1} + a_ 3k + a_ { 3k+1 } ) }``]

[eqn: { =( a_2 + a_3 + a_4 ) + ( a_5 + a_6 + a_7 ) +~ cdots }``]

[eqn: { + ~ ( a_{ 3n-1} + a_3n + a_{3n+1 } ) = sum from { k=2 } to {3n+1} a_k }``]

이므로

[eqn: { sum from{ k=2 } to { 3n+1 } a_k = ( 2n +1 )^2 }``]

[eqn: { THEREFORE~ sum from{ k=1 } to { 3n+1 } a_k = a_1 + sum from{ k=2 } to { 3n+1 } a_k = (-1) + (2n+1 )^2 }``]

위의 식의 양 변에 [eqn: { n=10 }``]을 대입하면

[eqn: { sum from{ k=1 } to 31 a_k = (-1) + 21^2 = 440 }``]

08  ④

답

해

설

자연수 [eqn: { n }``]은 [eqn: { 2k-1,``2k```(k는```자연수) }``]꼴 중의 하나이다.

[eqn: { n=2k-1 }``]일 때, [eqn: { n ^{2} =`(2k-1) ^{2} =4(k ^{2} -k)+1 }``]

[eqn: { n=2k }``] 일 때, [eqn: { n ^{2} =(2k) ^{2} =4k ^{2} }``]

이므로

[eqn: { a _{2k-1} =1,```a _{2k} =0 }``]

[eqn: { THEREFORE ` sum _{k=1} ^{2010} a _{n} =a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{2010} }``]

[eqn: { =1+0+1+` CDOTS `+0 }``]

[eqn: { =1 cdot1005=1005 }``]

09  [eqn: { 200 }``]

답

해

설

두 자연수 [eqn: { a,```b }``]에 대하여 [eqn: { a }``]를 [eqn: { b }``]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: { q }``], 나머지를 [eqn: { r }``]라 하면

[eqn: { a=bq+r`(0 LEQ r<b) }``]  [eqn: { CDOTS CDOTS `㉠ }``]

양변을 [eqn: { b }``]로 나누면 [eqn: { {a} over {b} =q+ {r} over {b} LEFT ( 0 LEQ {r} over {b} <1 RIGHT ) }``]

[eqn: { THEREFORE ` LEFT [ {a} over {b} RIGHT ] =q```````````````` CDOTS CDOTS ㉡ }``]

㉡을  ㉠에 대입하면

[eqn: { a=b LEFT [ {a} over {b} RIGHT ] +r```````` THEREFORE r=a-b LEFT [ {a} over {b} RIGHT ]]

따라서 [eqn: { a _{n} =3 ^{n} -10 LEFT [ {3 ^{n}} over {10} RIGHT ] }``]은 [eqn: { 3 ^{n} }``]을 [eqn: { 10 }``]으로 나누었을 때의 나머지이다.

[eqn: { 3 ^{n} }``]을 [eqn: { 10 }``]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: { 3,9,7,1 }``]이 되풀이 되므로

[eqn: { sum _{k=1} ^{40} a _{k} =(3+9+7+1) TIMES 10=200 }``]

10  [eqn: { 163 }``]

답

해

설

[eqn: { x _{1,`} x _{2} ,``x _{3} , CDOTS ,`x _{n} }``]중 [eqn: { 1 }``]이 [eqn: { a }``]개, [eqn: { 2 }``]가 [eqn: { b }``]개 있다고 하면

[eqn: { sum _{i=1} ^{n} x _{i} =1 cdot a+2 cdot b=13# THEREFORE `a+2b=13``````` CDOTS CDOTS `㉠ }``]

[eqn: { sum _{i=1} ^{n} x _{i} ` ^{2} `=1 ^{2} cdot a+2 ^{2} cdot b=23# THEREFORE `a+4b=23````` CDOTS CDOTS `㉡ }``]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: { a=3,``b=5 }``]

[eqn: { THEREFORE sum _{i=1} ^{n} `x _{i} ` ^{5} =1 ^{5} cdot 3+2 ^{5} cdot 5=163 }``]

11  ②

답

해

설

[eqn: { sum from { k=1 } to 10 ( 3 a_k -1 )^2 = sum from { k=1 } to 10 ( 9 a_k ^2 - 6 a_k +1 ) }``]

[eqn: { = 9 sum from { k=1 } to 10 a_k ^2 - 6 sum from{k=1 } to 10 a_k + sum from {k=1 } to 10 1 }``]

[eqn: { = 9 cdot 8 - 6 cdot 4 + 1 cdot 10 = 58 }``]

12  ②

답

해

설

[eqn: { sum from { k=1 } to n a_k over { 1+ a_k } = sum from { k=1 } ton { 1+ a_k -1 } over {1+ a_k } = sum from { k=1 } to n left( 1- 1 over { 1+ a_k } right) }``]

[eqn: { = sum from { k=1 } to n 1 - sum from { k=1 } ton 1 over { 1+ a_k } }``]

[eqn: { = n - ( n^2 +n ) = -n^2 }``]

13

답

해

설

주어진 수열의 제 [eqn: { k }``]항을 [eqn: { a _{k} }``]라 하면   [eqn: { a _{k} =10 ^{k} -1 }``]

[eqn: { THEREFORE `S= sum _{k=1} ^{10} a _{k} = sum _{k=1} ^{10} (10 ^{k} -1)# ```````````````=` {10(10 ^{10} -1)} over {10-1} -10= {10 ^{11} -100} over {9}# THEREFORE 9S`=10 ^{11} -100 }``]

14  [eqn: { 0 }``]

답

해

설

[eqn: { sum from { k=1 } to 100 { 3^k - 2^k } OVER 4^k = sum from { k=1 } to 100 left( 3 over 4 right)^k - sum from { k=1 } to 100 left( 1 over 2 right)^k }``]

[eqn: { = { 3 over 4 left{ 1 - left( 3 over 4 right)^100 right } } over { 1 - 3 over 4 } -{ 1 over 2 left{ 1 - left( 1 over 2 right)^100 right } } over { 1 - 1 over 2 } }``]

[eqn: { = { 3 left{ 1 - left( 3 over 4 right)^100 right } } - left{ 1 - left( 1 over 2 right)^100 right } } }``]

[eqn: { = 2- 3 left( 3 OVER 4 RIGHT) ^100 + LEFT( 1 OVER 2 right)^100 }``]

따라서 [eqn: { a=2 ,~ b= -3 ,~ c=1 }``] 이므로

[eqn: { a+b+c = 0 }``]

15  [eqn: { 2 ^{3n+1} -1 }``]

답

해

설

[eqn: { sum _{k=1} ^{m} a _{k} }``]는 [eqn: { 8 ^{n} }``]의 모든 양의 약수의 합이므로

[eqn: { sum _{k=1} ^{m} a _{k} =1+2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{3n} }``]
[eqn: { =` {1 cdot(2 ^{3n+1} -1)} over {2-1} =2 ^{3n+1} -1 }``]

16  ⑤

답

해

설

주어진 수열의 제 [eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k` }``]라 하면
[eqn: { a_k = 7 over 9 ( 10^k -1 ) }``]

따라서 첫째항부터 제 [eqn: { n }``]항까지의 합은

[eqn: { sum from { k=1 } ton a_k = 7 over 9 sum from { k=1 } ton (10^k -1 )]

[eqn: = 7 over 9 left{ { 10 (10^n -1 ) } over { 10 -1 } - n right} }``]

[eqn: { = { 7 ( 10^{n+1 } -9n -10 ) } over 81 }``]

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		2. 수열의 합			정답
	02 여러 가지 수열의 합

01  ④

답

해

설

[eqn: {1} over {sqrt {k} + sqrt {k+1}}]

[eqn: = {sqrt {k+1} - sqrt {k}} over {( sqrt {k+1} + sqrt {k} )( sqrt {k+1} - sqrt {k} )}]

[eqn: = sqrt {k+1} - sqrt {k}]

[eqn: THEREFORE (주어진`식)]

[eqn: = sum _{k=1} ^{99} {1} over {sqrt {k} + sqrt {k+1}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{99} ( sqrt {k+1} - sqrt {k} )]

[eqn: =( sqrt {2} -1)+( sqrt {3} - sqrt {2} )+( sqrt {4} - sqrt {3} )+]

[eqn: CDOTS +( sqrt {100} - sqrt {99} )]

[eqn: = sqrt {100} -1=10-1=9]

02  [eqn: 420]

답

해

설

수열 {[eqn: a _{n}]}의 계차수열을 {[eqn: b _{n}]}이라고 하면

{[eqn: b _{n}]} : 4, 6, 8, 10, [eqn: CDOTS]

[eqn: THEREFORE b _{n} =4+(n-1)`·`2=2n+2# THEREFORE a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} b_k =2+ sum _{k=1} ^{n-1} (2k+2)# ``````````````=2+2`·` {(n-1)n} over {2} +2(n-1)=n ^{2} +n# THEREFORE a _{20} =20 ^{2} +20=420]

03  [eqn: 13]

답

해

설

첫째항이 0이고 공차가 d인 등차수열 {[eqn: a _{n}]}의 일반항은

[eqn: a _{n} =0+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d= LEFT ( n-1 RIGHT ) d# # THEREFORE a _{n+1} = LEFT ( n+1-1 RIGHT ) d=dn# # a _ { n + 1 } b _ n = sum from { k = 1 } to n a _ k에서 # d n cdot b _{n} = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k-1 RIGHT ) d= sum _{k=1} ^{n} dk- sum _{k=1} ^{n} d# # `````````````````````````=d cdot {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} -dn= {dn LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}# # THEREFORE b _{n} = {n-1} over {2} ```````````` THEREFORE b _{27} =13]

04  ①

답

해

설

[eqn: sum _{k=n} ^{20} k= sum _{k=1} ^{20} k- sum _{k=1} ^{n-1} k= {20`·`21} over {2} - {(n-1)n} over {2}# ``````````````````=210- {1} over {2} n ^{2} + {1} over {2} n]

[eqn: THEREFORE (주어진`식)= sum _{n=1} ^{10} 210- {1} over {2} sum _{n=1} ^{10} n ^{2} + {1} over {2} sum _{n=1} ^{10} n# ``````````````````````````````````````````````````=210`·`10- {1} over {2} `·` {10`·`11`·`21} over {6} + {1} over {2} `·` {10`·`11} over {2}# ``````````````````````````````````````````````````=2100- {385} over {2} + {55} over {2} =1935]

05  ④

답

해

설

주어진 수열을 {[eqn: a _{n}]}이라고 하면

[eqn: a _{n} =2n LEFT { 1+3+5+` CDOTS `+(2n-1) RIGHT }]

[eqn: =2n sum _{k=1} ^{n} (2k-1)]

[eqn: =2n LEFT { 2`·` {n(n+1)} over {2} -n RIGHT } =2n TIMES n ^{2} =2n ^{3}]

따라서 첫째항부터 제10항까지의 합은

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =2 sum _{k=1} ^{10} k ^{3} =2 LEFT ( {10`·`11} over {2} RIGHT ) ^{2} =6050]

06  ④

답

해

설

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha _{n} + beta _{n} =-4,` alpha _{n} beta _{n} =- LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )# THEREFORE sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {alpha _{n}} + {1} over {beta _{n}} RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{10} {alpha _{n} + beta _{n}} over {alpha _{n} beta _{n}}# = sum _{n=1} ^{10} {-4} over {- LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )}# =4 sum _{n=1} ^{10} {1} over {2} LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n+1} RIGHT )# =2 sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n+1} RIGHT )# =2 LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {19} - {1} over {21} RIGHT ) RIGHT }]                      [eqn: =2 LEFT ( 1- {1} over {21} RIGHT ) = {40} over {21}]

07  ③

답

해

설

[eqn: a _{n} =400+(n-1)`·` LEFT ( -5 RIGHT ) =-5n+405이고,# a _{1} -a _{3} =a _{3} -a _{5} =` CDOTS `=a _{59} -a _{61} =10`이므로# (주어진`식)# = {sqrt {a _{1}} - sqrt {a _{3}}} over {a _{1} -a _{3}} + {sqrt {a _{3}} - sqrt {a _{5}}} over {a _{3} -a _{5}} +` CDOTS]

[eqn: `+ {sqrt {a _{59}} - sqrt {a _{61}}} over {a _{59} -a _{61}}]

[eqn: = {1} over {10} ( sqrt {a _{1}} - sqrt {a _{61}} )# = {1} over {10} ( sqrt {-5`·`1+405} - sqrt {-5`·`61+405} )# = {1} over {10} ( sqrt {400} - sqrt {100} )= {1} over {10} (20-10)=1]

08  ⑤

답

해

설

제2행부터 각 행의 두 번째 직사각형 안에 있는 수로 이루어진 수열을 {[eqn: a _{n}]}이라 하고, 그 계차수열을 {[eqn: b _{n}]}이라고 하면

{[eqn: a _{n}]}: 2,   4,  7,   11,  16, [eqn: CDOTS]

{[eqn: b _{n}]}:    2,  3,   4,   5, [eqn: CDOTS]

[eqn: b _{n} =n+1이고,`a _{1} =2]이므로 [eqn: a _{n} =2+ sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( k+1 RIGHT )]

제99행의 두 번째 직사각형 안에 있는 수는 [eqn: a _{98}]이므로

[eqn: a _{98} =2+ sum _{k=1} ^{97} LEFT ( k+1 RIGHT ) =2+ sum _{k=1} ^{97} k+97]

[eqn: =99+ {97 cdot 98} over {2} =4852]

따라서 [eqn: 4852+a=b]이므로　[eqn: b-a=4852]

09  ⑤

답

해

설

주어진 수열을 다음과 같이 묶은 군수열을 생각하자.

[eqn: LEFT ( {1} over {1} RIGHT ) ,` LEFT ( {3} over {3} ,` {2} over {3} ,` {1} over {3} RIGHT ) ,` LEFT ( {5} over {5} ,` {4} over {5} ,` {3} over {5} ,` {2} over {5} ,` {1} over {5} RIGHT ) ,` CDOTS]

제[eqn: n]군의 분모는 2[eqn: n]-1이므로 2[eqn: n]-1=35에서[eqn: n]=18

따라서 [eqn: {15} over {35}]는 제18군에 속한다.

또 제18군의 분자는 첫째항이 35이고 공차가 -1인 등차수열이므로 35+([eqn: m]-1)·(-1)=15에서　[eqn: m]=21

따라서 [eqn: {15} over {35}]는 제18군의 21번째 항이다.

제[eqn: n]군의 항의 개수는 2[eqn: n]-1이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{17}](2[eqn: k]-1)+21=2[eqn: · {17`·`18} over {2}] -1·17+21=310에서 [eqn: {15} over {35}]는 제 310항이다.

10  [eqn: 201]

답

해

설

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: =(2n ^{2} +3n)- LEFT { 2 LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} +3(n-1) RIGHT }]

[eqn: =4n+1``````(n GEQ 2)]

[eqn: a _{1} =S _{1} =5이므로`````a _{n} =4n+1]

이때, 제1행부터 제9행까지의 항의 개수는

1+2+[eqn: CDOTS]+9=[eqn: {9`·`10} over {2}] =45

이므로 제10행의 왼쪽에서 5번째에 위치한 항은

[eqn: a _{45+5} =a _{50} =4`·`50+1=201]

11  [eqn: 11]

답

해

설

자연수 [eqn: n LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수는

[eqn: n]+1, 2[eqn: n]+2, 3[eqn: n]+3, 4[eqn: n]+4, [eqn: CDOTS], ([eqn: n]-1)[eqn: n]+([eqn: n]-1)의 [eqn: n]-1개이므로

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( kn+k RIGHT ) = LEFT ( n+1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{n-1} k]

[eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) cdot {LEFT ( n-1 RIGHT ) n} over {2}]

[eqn: a _{n} >500]에서

[eqn: {LEFT ( n-1 RIGHT ) n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} >500,` LEFT ( n-1 RIGHT ) n LEFT ( n+1 RIGHT ) >1000]

[eqn: n]=10일 때 [eqn: 9 cdot 10 cdot 11=990<1000]이고 [eqn: n=11]일 때 [eqn: 10 cdot 11 cdot 12=1320>1000]이므로 구하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 11이다.

12  ④

답

해

설

제1행에 나열된 수들의 합은　1+2+1=4=[eqn: 2 ^{2}]

제2행에 나열된 수들의 합은

1+2+3+2+1=9=[eqn: 3 ^{2}]

제3행에 나열된 수들의 합은

1+2+3+4+3+2+1=16=[eqn: 4 ^{2}]

[eqn: VDOTS]

따라서 제[eqn: n]행에 나열된 수들의 합은 [eqn: (n+1) ^{2}]

[eqn: (n+1) ^{2} =256=16 ^{2}]에서  [eqn: n]+1=16

∴[eqn: n]=15

13  ⑤

답

해

설

주어진 조건에 맞게 제품 [eqn: p _{1} ,`p _{2} ,`p _{4} ,`p _{8} ,`p _{16}]을 만드는 데 걸리는 시간은 다음과 같다.

[eqn: p _{1} :1]시간

[eqn: p _{2} :p _{1}]과 [eqn: p _{1}]을 연결하면 되므로

1+1+2=4 (시간)

[eqn: p _{4}]: [eqn: p _{2}]와 [eqn: p _{2}]를 연결하면 되므로

4+4+2[eqn: TIMES]2=12 (시간)

[eqn: p _{8}]: [eqn: p _{4}]와 [eqn: p _{4}]를 연결하면 되므로

12+12+2[eqn: TIMES]4=32 (시간)

[eqn: p _{16}]: [eqn: p _{8}]과 [eqn: p _{8}]을 연결하면 되므로

32+32+2[eqn: TIMES]8=80 (시간)

즉, 제품 [eqn: p _{16}]을 한 개 만드는 데에는 80시간이 걸린다.

14  ④

답

해

설

[eqn: a _{n} =3n-2이므로]

[eqn: a _{2k-1} =3(2k-1)-2=6k-5]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{n} a _{2k-1} ` ^{2} = sum _{k=1} ^{n} (6k-5) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} (36k ^{2} -60k+25)]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} (36k ^{2} -60k+25)# =36`·` {n(n+1)(2n+1)} over {6}# ```````````````-60`·` {n(n+1)} over {2} +25n# =12n ^{3} -12n ^{2} +n]

15  [eqn: 300]

답

해

설

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{2k-1} +a _{2k} )# =(a _{1} +a _{2} )+(a _{3} +a _{4} )+` CDOTS `+(a _{2n-1} +a _{2n} )]

수열 {[eqn: a _{n}]}의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 하면  [eqn: S _{2n} =4n ^{2}]

따라서 구하는 합은

[eqn: S _{20} -S _{10} =(4 TIMES 10 ^{2} )-(4 TIMES 5 ^{2} )=300]

16  ③

답

해

설

[eqn: sum _{k=1} ^{10} k`·`2 ^{k} =S]로 놓으면

[eqn: S=1`·`2+2`·`2 ^{2} +3`·`2 ^{3} +` CDOTS `+10`·`2 ^{10} ````````````` CDOTS CDOTS ㉠# 2S=1`·`2 ^{2} +2`·`2 ^{3} +` CDOTS +9`·`2 ^{10} `+10`·`2 ^{11} ``````` CDOTS CDOTS ㉡`]

㉠-㉡을 하면

[eqn: -S=2+2 ^{2} +2 ^{3} +` CDOTS `+2 ^{10} -10`·`2 ^{11}# `````````````= {2(2 ^{10} -1)} over {2-1} -10`·`2 ^{11} =-9`·`2 ^{11} -2# 따라서`````S=9`·`2 ^{11} +2이므로``````a+b=9+2=11]

17  ⑤

답

해

설

[eqn: a _{n} =1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS `+n ^{2} = {n(n+1)(2n+1)} over {6}# THEREFORE {3} over {a _{1}} + {5} over {a _{2}} + {7} over {a _{3}} +` CDOTS `+ {199} over {a _{99}}# `````````= sum _{k=1} ^{99} {2k+1} over {a _{k}} = sum _{k=1} ^{99} {2k+1} over {{k(k+1)(2k+1)} over {6}}# `````````= sum _{k=1} ^{99} {6} over {k(k+1)} =6 LEFT ( 1- {1} over {100} RIGHT ) = {297} over {50}]

18  [eqn: 9]

답

해

설

[eqn: f(n)= {1} over {sqrt {2n+1+ sqrt {4n ^{2} +4n}}}# ``````````````````= {1} over {sqrt {2n+1+2 sqrt {n(n+1)}}}]

[eqn: = {1} over {sqrt {( sqrt {n+1} + sqrt {n} ) ^{2}}}]

[eqn: = {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}} = sqrt {n+1} - sqrt {n}]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{99} f(k)= sum _{k=1} ^{99} ( sqrt {k+1} - sqrt {k} )]

[eqn: = sqrt {100} - sqrt {1} =9]]

19  ④

답

해

설

다음과 같이 묶은 군수열을 생각하자.

(1), (1, 3), (1, 3, 5), (1, 3, 5, 7), [eqn: CDOTS]

제[eqn: n]군의 항의 개수는 [eqn: n]이므로 제1군부터 제[eqn: n]군까지의 항의 개수는　1+2+3+[eqn: CDOTS]+[eqn: n]=[eqn: {n(n+1)} over {2}]

[eqn: n]=19이면 [eqn: {19`·`20} over {2}]=190이므로 200번째 항은 제20군의 10번째 항이다. 이때, 제[eqn: n]군의 모든 항의 합은 1+3+5+[eqn: CDOTS]+(2[eqn: n]-1)=[eqn: n ^{2}]이므로 첫째항부터 200번째 항까지의 합은

[eqn: sum _{k=1} ^{19} k ^{2} +(1+3+5+` CDOTS `+19)]

[eqn: = {19`·`20`·`39} over {6} +]100=2570

20  ⑤

답

해

설

제[eqn: n]행의 합을 [eqn: a _{n}]이라고 하면

[eqn: a _{n}]=[eqn: n](1+2+3+[eqn: CDOTS]+10)=[eqn: n sum _{k=1} ^{10} k]

따라서 구하는 100개의 수의 총합을 [eqn: S]라고 하면

[eqn: S= sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( n sum _{k=1} ^{10} k RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} k sum _{n=1} ^{10} n= LEFT ( sum _{k=1} ^{10} k RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{10} k ^{3}]

다

른

풀

이

다음 그림과 같이 묶은 군수열로 생각하여 더하면

1+8+27+[eqn: CDOTS]+1000

[eqn: =1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} +` CDOTS `+10 ^{3}# = sum _{k=1} ^{10} k ^{3}]

21  [eqn: 25]

답

해

설

수열{[eqn: a _{n}]}은 주기가 4인 수열이고, 수열 {[eqn: b _{n}]}은 주기가 6인 수열이므로 수열 {[eqn: a _{n} b _{n}]}은 주기가 12인 수열이다.

이때, [eqn: sum _{k=1} ^{12} a _{k} b _{k}]=1+2=3이고, 100=12·8+4이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k} b _{k}]=3·8+1=25

22  ③

답

해

설

[eqn: P _{n} =10 ^{{1} over {11}} TIMES 10 ^{{2} over {11}} TIMES 10 ^{{3} over {11}} TIMES ` CDOTS ` TIMES 10 ^{{n} over {11}} =10 ^{x}]이라고 하면

[eqn: x= {1} over {11} (1+2+3+` CDOTS `+n)= {n(n+1)} over {22}]

[eqn: P _{n} >10000]에서 [eqn: 10 ^{x} >10 ^{4}]이므로 [eqn: x>4]

[eqn: {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {22} >4]에서 [eqn: n(n+1)>88]이고 [eqn: 8`·`9=72,]

9·10=90이므로 [eqn: n]의 최솟값은 9이다.

23  [eqn: 21]

답

해

설

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =S _{n} 이라고`하면`````S _{n} =log {(n+1)(n+2)} over {2}# a _{n} =S _{n} -S _{n-1} =log {(n+1)(n+2)} over {2} -log {n(n+1)} over {2}# ``````````=log LEFT { {(n+1)(n+2)} over {2} TIMES {2} over {n(n+1)} RIGHT }# ``````````=log {n+2} over {n} (n GEQ 2)# a _{1} =S _{1} =log3이므로`````a _{n} =log {n+2} over {n}# THEREFORE a _{2n} =log {2n+2} over {2n} =log {n+1} over {n}# sum _{k=1} ^{20} a _{2k} = sum _{k=1} ^{20} log {k+1} over {k}# ````````````````````````=log2+log {3} over {2} +log {4} over {3} +` CDOTS `+log {21} over {20}# ````````````````````````=log LEFT ( 2 TIMES {3} over {2} TIMES {4} over {3} TIMES ` CDOTS ` TIMES {21} over {20} RIGHT ) =log21=p# 에서`````10 ^{p} =21]

24  [eqn: 825]

답

해

설

수열 {[eqn: a _{n}]}의 계차수열을 {[eqn: b _{n}]}이라고 하면

{[eqn: a _{n}]}: 6, 15, 27, 42, [eqn: CDOTS]이고

{[eqn: b _{n}]}: 9, 12, 15, [eqn: CDOTS]

[eqn: b _{n} =3n+6이므로# a _{n} =6+ sum _{k=1} ^{n-1} (3k+6)# ``````````=6+ {3(n-1)n} over {2} +6(n-1)= {3} over {2} n ^{2} + {9} over {2} n# THEREFORE `` sum _{k=1} ^{10} a _{k} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( {3} over {2} k ^{2} + {9} over {2} k RIGHT )# ```````````````````````````````= {3} over {2} `·` {10`·`11·`21} over {6} + {9} over {2} `·` {10`·`11} over {2} =825]

25  ②

답

해

설

수열 {[eqn: a _{n}]}을 다음과 같이 묶은 군수열을 생각하자.

[eqn: LEFT ( a _{1} ,```a _{2} RIGHT ) ,````` LEFT ( a _{3} ,```a _{4} ,```a _{5} RIGHT ) ,````` LEFT ( a _{6} ,```a _{7} ,```a _{8} ,```a _{9} RIGHT ) ,```` CDOTS]

제[eqn: n]군의 항의 개수는 [eqn: n]+1이므로 제1군부터 제[eqn: n]군까지의 항의 개수는

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (k+1)= {n(n+1)} over {2} +n= {n(n+3)} over {2}]

[eqn: n]=43이면 [eqn: {43`·`46} over {2}]=989이고, 1000=989+11이므로 [eqn: a _{1000}]은 제44군의 11번째 항이다.

따라서 제44군의 첫째항은 (44, 0)이므로 제44군의 11번째 항은 (34, 10)이다.

26  ②

답

해

설

[eqn: sum _{n=1} ^{200} LEFT ( n!+n+1 RIGHT ) = sum _{n=1} ^{200} n!+ sum _{n=1} ^{200} n+ sum _{n=1} ^{200} 1]

(i) 5[eqn: !]=5[eqn: TIMES]4[eqn: TIMES]3[eqn: TIMES]2[eqn: TIMES]1=120이므로 [eqn: n GEQ 5]일 때, [eqn: n!]의 일의 자리의 수는 0이다. 따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{200} n!]의 일의 자리의 수는 1!+2!+3!+4!=33의 일의 자리의 수와 같으므로 3이다.

(ii) [eqn: sum _{n=1} ^{200} n= {200`·201} over {2} =20100], [eqn: sum _{n=1} ^{200} 1=1`·`200=200]

(i), (ii)에서[eqn: sum _{n=1} ^{200} (n!+n+1)]의 일의 자리의 수는 3이다.

27  [eqn: 486]

답

해

설

위의 그림에서 [eqn: S _{1} ,````S _{2} ,````S _{3} ,` CDOTS]은 다음과 같다.

[eqn: THEREFORE S _{n} = LEFT { 1+3+5+` CDOTS `+(2n-1) RIGHT } TIMES 6]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} (2k-1) TIMES 6]

[eqn: = LEFT { 2`·` {n(n+1)} over {2} -n RIGHT } TIMES 6=6n ^{2}]

[eqn: THEREFORE S _{9} =6 TIMES 9 ^{2} =486]

28  ③

답

해

설

[eqn: { sum from{k=1 } to 30 = { 1+2+3+~ cdots ~ + k } over k]

[eqn: = sum from { k=1 } to 30 { {k (k+1)} over 2 } over k }``]

[eqn: { = sum from { k=1 } to 30 { k+1 } over 2 = 1over2 sum _{ k=1} ^{30 } (k+1) }``]

[eqn: { = 1 over 2 left( { 30 cdot 31 } over 2 +1 cdot 30 right) = 495 over 2 }``]

29  ②

답

해

설

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 [eqn: { a_k`+beta_k`=k,~alpha_k` beta_k`=-k }``]이므로

[eqn: { a_k`^3 + beta_k`^3 = (a_k +beta_k )^3 -3alpha_k `beta_k`(a_k`+beta_k ) }``]

[eqn: { =k^3 -3cdot(-k)cdotk =k^3`+3k^2 }``]

[eqn: { ∴~ sum _{ k=1} ^{6 }`(alpha_k`^3 +beta_k`^3 )= sum _{ k=1} ^{6 }`(k^3`+`3k^2 ) }``]

[eqn: { = left({6cdot7}over2 right)^2 +3cdot{6cdot7cdot13}over6 }``]

[eqn: { =441+273=714 }``]

30  ④

답

해

설

[eqn: { sum from { k=1} to 10 ( k-c )^2 = sum from { k=1 } to 10 ( k^2 - 2ck + c^2 ) }``]

[eqn: { = sum from { k=1} to 10 k^2 - 2c sum from{ k=1} to 10 k + sum from { k=1 } to 10 c^2 }``]

[eqn: { = { 10 cdot 11 cdot 21 } over 6 - 2c { 10 cdot 11 } over 2 + 10 c^2 }``]

[eqn: { = 10 c^2 - 110 c + 385 }``]

[eqn: { = 10 left ( c- 11 over 2 right) ^2 - 10 left( 11 over 2 right)^2 + 385 }``]

따라서 [eqn: { sum from { k=1 } to 10 ( k- c ) ^2 }``] 의 값이 최소가 되도록 하는 [eqn: { c }``]의 값은 [eqn: { 11 over 2 }``]이다.

31  ⑤

답

해

설

[eqn: { sum from { i=1 } to m left{ sum from { j=1 } to n ( i+ j ) right} }``]

[eqn: { = sum _{ i=1 }^ m left ( sum from { j=1 } to n i + sum from { j=1} to n j right)]

[eqn: `= sum from { i=1 } to m left { n i + { n (n+1 ) } over 2 right} }``]

[eqn: { =m` sum _{ i=1} ^{m}`i``+ sum _{ i=1} ^{m}``{n(n+1)}over2]

[eqn: =n cdot`{m(m+1)}over2`+`{n(n+1)}over2`cdotm }``]

[eqn: { = { mn ( m+n+2 ) } over 2]

[eqn: = { 40 cdot 15 } over 2 `=300 }]

32  ①

답

해

설

[eqn: { sum _{m=1} ^{n} LEFT { sum _{l=1} ^{m} LEFT ( sum _{k=1} ^{l} 6 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = sum _{m=1} ^{n} LEFT ( sum _{l=1} ^{m} 6l RIGHT ) }``]

[eqn: { = sum from { m=1 } to n left{ 6 cdot { m(m+1 ) } over 2 right} }``]

[eqn: { = 3 sum from { m= 1 } to n ( m^2 + m) }``]

[eqn: { = 3 left { { n(n+1 )( 2n+1 ) } over 6 + { n(n+1) } over 2 right} }``]

[eqn: { = { n(n+1 ) } over 2 cdot ( 2n +1 +3 ) }``]

[eqn: { = n (n+1 )( n+2 ) }``]

33  [eqn: { { 140 }``]

답

해

설

[eqn: { sum from { n=1 } to 5 left( sum from { m=1 } to n mn right) = sum from { n=1 } to 5 left( n sum from {m=1 } to n m right) }``]

[eqn: { = sum from { n=1 } to 5 left{ n cdot { n(n+1 ) } over 2 right} }``]

[eqn: { = 1 over 2 sum from { n=1 } to 5 ( n^3 +n^2 ) }``]

[eqn: { = 1 over 2 left{ left( { 5 cdot 6 } over 2 right)^2 + { 5 cdot 6 cdot 11 } over 6 right} }``]

[eqn: { = 140 }``]

34  ①

답

해

설

[eqn: { sum _{n=1} ^{4} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} 2 ^{k+n} RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{4} LEFT ( 2 ^{n} sum _{k=1} ^{n} 2 ^{k} RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{4} LEFT { 2 ^{n} CDOT {2(2 ^{n} -1)} over {2-1} RIGHT } }``]

[eqn: { = sum from { n=1 } to 4 2^n ( 2^{ n+1 } -2)]

[eqn: = sum from { n=1 } to 4 ( 2^{2n+1 } - 2^{n+1 } ) }]

[eqn: { = 2 sum from { n=1 } to 4 4^n - 2 sum from { n=1 } to 4 2^n }``]

[eqn: { = 2 cdot { 4 ( 4^4 -1 ) } over { 4-1 } - 2 cdot { 2 ( 2^4 -1 ) } over { 2-1 } }``]

[eqn: { = 680 - 60 = 620 }``]

35  ②

답

해

설

[eqn: { S_n = sum _{ k=1} ^{n }`a_k = n^2 +n }``]으로 놓으면

(ⅰ) [eqn: { n ge2 }``]일 때, [eqn: { a_n =S_n -S_n-1 }``]
[eqn: { =n^2 + n- left{(n-1)^2 +n-1 right} =2n }``][eqn: { cdotscdots① }``]

(ⅱ) [eqn: { n=1 }``]일 때, [eqn: { a_1 =S_1`=2 }``]
이때, [eqn: { a_1 =2 }``]는 ㉠에 [eqn: { n=1 }``]을 대입한 것과 같으므로 [eqn: { a_n =2n }``]

따라서 [eqn: { a_2k-1 =2(2k-1)=4k-2 }``]이므로

[eqn: { sum _{ k=1} ^{10}`a_2k-1 = sum _{ k=1} ^{10 }`(4k-2)=4 cdot`{10cdot11}over2`-2cdot10 }``]

[eqn: { 220-20=200 }``]

36  ④

답

해

설

[eqn: { a_n = 3n-2 ` }``]에서 [eqn: { a_ 2k = 3 cdot 2k -2 = 6k -2 }``]

[eqn: { ∴~ sum from { k=1 } to 2n a_2k = sum from { k=1 } to 2n ( 6k-2 ) }``]

[eqn: { = 6 cdot { 2n ( 2n+1 ) } over 2 - 2 cdot 2n }``]

[eqn: { = 12n^2 + 2n }``]

37  ②

답

해

설

등차수열 [eqn: { left{a_n right} }``]의 첫째항을 [eqn: { a,~ }``]공차를 [eqn: { d }``]라고 하면

[eqn: { sum _{ k=1} ^{5 }`a_4k+1 = a_5 +a_9 +a_13 +a_17 +a_21 }``]

[eqn: { =(a+4d)+(a+8d)+(a+12d)+(a+16d)+(a+20d) }``]

[eqn: { =5a+60d =70 }``]

[eqn: { ∴~a+12d=14 }``]                          [eqn: { cdotscdots㉠ }``]

[eqn: { sum _{ k=1} ^{5 }`a_4k+2 = a_6 +a_10 +a_14 +a_18 +a_22 }``]

[eqn: { =(a+5d)+(a+9d)+(a+13d)+(a+17d)+(a+21d) }``]

[eqn: { =5a+65d =80 }``]

[eqn: { ∴~a+13d=16 }``]                          [eqn: { cdotscdots㉡ }``]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: { a=-10,~d=2 }``]

[eqn: { ∴~a_n =-10+(n-1)cdot2=2n-12 }``]

따라서 [eqn: { a _{3k}``=2cdot3k-12=6k-12 }``]이므로

[eqn: { sum _{ k=1} ^{15 } a_3k = sum _{ k=1} ^{15 }`(6k-12)=6 sum _{ k=1} ^{15 }`k-` sum _{ k=1} ^{15 }`12 }``]

[eqn: { =6`cdot`{15cdot16}over2`-12cdot15 =540 }``]

38  ②

답

해

설

주어진 수열의 제[eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k }``]라 하면

[eqn: { a_k = k(2k+1)=2k^2 +k }``]

[eqn: { ∴~(주어진~식)= sum _{ k=1} ^{12 }`a_k]

[eqn: = sum _{ k=1} ^{ 12}`(2k^2 +k) }``]

[eqn: { =2cdot{12cdot13cdot25}over6 + {12cdot13}over2]

[eqn: = 1378]

39  [eqn: { 10^18 -316 }``]

답

해

설

주어진 수열의 제[eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k }``]라 하면

[eqn: { a_k =9cdot10^k -2k }``]

따라서 주어진 수열의 합은

[eqn: { sum _{ k=1} ^{17 }`a_k = sum _{ k=1} ^{17 }`(9cdot10^k -2k) =`9 sum _{ k=1} ^{17 }`10^k -2` sum _{ k=1} ^{17 }`k }``]

[eqn: { =`9 CDOT {10(10 ^{17} -1)} over {10-1} -2 CDOT {17 CDOT 18} over {2} }``]

[eqn: { =10^18 -316 }``]

40  ①

답

해

설

주어진 수열의 제 [eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k` }``]라 하면
[eqn: { a_k = ` k left{ n- (k-1) right}= -k^2 + (n+1) k ` }``]

∴ 주어진 식[eqn: { = sum from { k=1 } to n a_k = sum from { k=1} to n left{ -k^2 + (n+1) k right} }``]

[eqn: { =`- sum _{k=1 } ^{n }`k^2`+`(n+1)` sum _{ k=1} ^{n }`k }``]

[eqn: { = - { n(n+1 ) (2n+1 ) } over 6 + ( n+1 ) cdot { n(n+1 ) } over 2 }``]

[eqn: { = { n( n+1 ) ( n+2 ) } over 6 }``]

41  ②

답

해

설

주어진 수열의 제 [eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k` }``]라 하면

[eqn: { a_k = left( { n+k } over n right) ^2 = left( 1 + k over n right)^2 = 1 + 2k over n + k^2 over n^2 }``]

따라서 주어진 수열의 합은

[eqn: { sum from { k=1 } to n a_k = sum from { k=1 } to n left( 1 + 2k over n + k^2 over n^2 right) }``][eqn: { = sum from { k=1 } to n 1 + 2 over n sum from {k=1 } to n k + 1 over n^2 sum from { k=1 } to n k^2 }``]

[eqn: { = n + 2 over n cdot { n(n+1) } over 2 + 1 over n^2 cdot { n(n+1 )(2n+1) } over 6 }``]

[eqn: { = { 14n^2 + 9n +1 } over 6n }``]

42  ①

답

해

설

수열

[eqn: { 1 cdot (2n-1) ,~ 2 cdot ( 2n-3 ) ,~ 3 cdot (2n-5) ,~ cdots ,~n cdot`1 }``]

의 제[eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k }``]라 하면

[eqn: { a_k = k left{ 2n - ( 2k-1) right} = (2n+1 ) k - 2k^2 }``]

주어진 식의 좌변은 수열[eqn: { left { a_n right} }``] 의 첫째항부터 제 [eqn: { n }``] 항까지의 합이므로

[eqn: { (좌변) =` sum from { k=1 } ton `a_k = sum _{ k=1} ^{n }` left{ (2n+1) k - 2k^2 right} }``]

[eqn: { = (2n+1 ) sum from { k=1 } to n k -2 sum from { k=1 } to n k^2 }``]

[eqn: { = (2n+1) cdot { n(n+1) } over 2 -2 cdot { n(n+1)(2n+1 ) } over 6 }``]

[eqn: { = { n(n+1)(2n+1) }over 6 }``]

따라서 [eqn: { a=2 ,~ b=1 }``]이므로 [eqn: { a+b= 3 }``]

43  ⑤

답

해

설

주어진 수열의 제 [eqn: { k` }``]항을 [eqn: { a_k` }``]라 하면

[eqn: { a_k = 1+2+2^2 + ~ cdots ~ + 2^{k-1} }``]

[eqn: { = { 1 cdot ( 2^k -1 ) } over {2-1} = 2^k -1 }``]

따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제100항까지의 합은

[eqn: { sum from { k=1 } to 100 a_k = sum from { k=1 } to 100 ( 2^k -1 ) = \ { 2 ( 2^100 -1 ) } over { 2-1 } - 100 }``]

[eqn: { = 2^101 -102 }``]

44  [eqn: { 204 }``]

답

해

설

주어진 수열의 제[eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k }``]라 하면

[eqn: { a_k =1+3+5+``cdots`+(2k-1) }``]

[eqn: { =2cdot{k(k+1)}over2 =`-k= k^2 }``]

이때 [eqn: { 2k-1 =15 }``]에서 [eqn: { k=8 }``]이므로 주어진 수열의 합은

[eqn: { sum _{ k=1} ^{8 }`a_k = sum _{ k=1} ^{8 }`k^2 = {8cdot9cdot17}over6`=204 }``]

45  [eqn: { 84 }``]

답

해

설

[eqn: { 7 }``]층 탑의 위에서부터 [eqn: { k }``]번째 층에 놓이는 정육면체의 개수는

[eqn: { 1+2+3+``cdots`+k=`{k(k+1)}over2 }``]

따라서 [eqn: { 7 }``]층 탑을 쌓는데 필요한 정육면체의 개수는

[eqn: { sum _{ k=1} ^{7 }``{k^2 +k}over2`=`1over2` sum _{ k=1} ^{7 }``k^2`+`1over2` sum _{ k=1} ^{7 }`k }``]

[eqn: { = 1over2`cdot `{7cdot8cdot15}over6`+`1over2`cdot`{7cdot8}over2`=84 }``]

46  ④

답

해

설

주어진 수열의 제[eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k }``]라 하면

[eqn: { a_k = 1 over { (2k+1 )^2 -1 } = 1 over { 4k^2 + 4k } }``]

[eqn: { = 1 over { 4k (k+1 ) } = 1 over 4 left( 1 over k - 1 over { k+1 } right) }``]

주어진 식은 첫째항부터 제12항까지의 합이므로

[eqn: { sum from { k=1 } to 12 1 over 4 left( 1 over k - 1 over { k+1 } right) }``]

[eqn: { = 1 over 4 left{ left( 1 - 1 over 2 right) + left( 1 over 2 - 1 over 3 right) + ~ cdots ~ + left( 1 over 12 - 1 over 13 right) right} }``]

[eqn: { = 1 over 4 left( 1 - 1 over 13 right) = 1 over 4 cdot 12 over 13 = 3 over 13 }``]

따라서 [eqn: { p=13 ,~ q= 3 }``] 이므로  [eqn: { p+q = 16 }``]

47  ②

답

해

설

[eqn: { a_n`=`{n^3 +n^2`+2}over{n^2 +n}``=`{n^2 (n+1)+2}over{n(n+1) }``]

[eqn: { =n+ 2 over{n(n+1)`}`=n+2`left(1overn`-`1overn+1 right) }``]

[eqn: { ∴~ sum _{ k=1} ^{ 10}``a_k``=` sum _{ k=1} ^{ 10}``k`+2` sum _{ k=1} ^{ 10}``left(1overk``-`1overk+1 right) }``]

[eqn: { = 10cdot11 over2]

[eqn: + 2 left{ left(1- 1over2 right)+left(1over2 - 1over3 right)+cdots+left(1over10`-`1over11right)right} }]

[eqn: { =`55+`20over11`=`625over11 }``]

48  [eqn: { 20 }``]

답

해

설

주어진 수열의 제 [eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k` }``]라 하면

[eqn: { a_k = 1 over { 1+2+3+~ cdots ~+ k } = 1 over {{k (k+1 )} over 2 } }``]

[eqn: { = 2 over {k(k+1)} `=2 left ( 1 over k - 1 over { k+1 } right) }``]

주어진 식의 첫째항부터 제[eqn: { n }``]항까지의 합이므로

[eqn: { sum from { k=1 } to n a_k = 2 sum from { k=1 } to n left( 1 over k - 1 over { k+1 } right) }``]

[eqn: { = 2 left{ left( 1 - 1 over 2 right) + left( 1 over 2 - 1 over 3 right) + ~ cdots ~ + left( 1 over n - 1 over {n+1 } right) right} }``]

[eqn: { = 2 left( 1 - 1 over { n+1 } right) }``]

[eqn: { = 2n over { n+1 } }``]

따라서 [eqn: { 2n over { n+1 } = 40 over 21 }``] 이므로 [eqn: { n=20 }``]

49  [eqn: { 11 over 45 }``]

답

해

설

주어진 수열의 제 [eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k` }``]라 하면

[eqn: { a_k = 1 over { k (k+1 )(k+2 ) } }``]

[eqn: { = 1 over 2 left { 1 over { k(k+1 ) } - 1 over { (k+1 ) (k+2)} right} }``]

[eqn: { = 1 over 2 left{ left ( 1 over k - 1 over { k+1 } right) - left( 1 over {k+1 } - 1 over { k+2 } right) right} }``]

주어진 식은 첫째항부터 제8항까지의 합이므로

[eqn: { sum from { k=1 } to 8 a_k = 1 over 2 sum from { k=1 } to 8 left( 1 over k - 1 over { k+1 } right) - 1 over 2 sum from { k=1 } to 8 left( 1 over {k+1 } - 1 over { k+2 } right) }``]

[eqn: { = }``][eqn: { 1 over 2 left{ left( 1- 1 over 2 right) + left( 1 over 2 - 1 over 3 right) + ~ cdots ~ + left( 1 over 8 - 1 over 9 right) right} }``]

[eqn: { - 1 over 2 left{ left( 1 over 2 - 1 over 3 right) + left( 1 over 3 - 1 over 4 right) + ~ cdots ~ + left( 1 over 9 - 1 over 10 right) right} }``]

[eqn: { = 1 over 2 left( 1- 1 over 9 right) - 1 over 2 left( 1 over 2 - 1 over 10 right) }``]

[eqn: { = 1 over 2 cdot 8 over 9 - 1 over 2 cdot 2 over 5 = 11 over 45 }``]

50  ⑤

답

해

설

[eqn: { S_n =n^2 +2n }``]이므로

(ⅰ) [eqn: { n geq 2 }``]일 때

[eqn: { a_n =S_n -S_n-1 }``]

[eqn: { =n^2 +2n-(n-1)^2 +2(n-1) }``]

[eqn: { =2n+1 }``]                            [eqn: { CDOTS CDOTS CDOTS }``]㉠

(ⅱ) [eqn: { n=1 }``]일 때,

[eqn: { a_1 =S_1 = 1^2 +2cdot1 =3 }``]

이때 [eqn: { a_1 =3 }``]은 ㉠에 [eqn: { n=1 }``]을 대입한 것과 같으므로

[eqn: { a_n =2n+1 }``]

[eqn: { therefore~ sum _{ k=1} ^{n } { 1} over {a_k a_k+1 } }``]

[eqn: { =sum _{ k=1} ^{ n} { 1} over {(2k+1)(2k+3) } }``]

[eqn: { ={ 1} over {2 } sum _{ k=1} ^{ n} LEFT ( { 1} over {2k+1 }- { 1} over {2k+3 } RIGHT ) }``]

[eqn: { ={ 1} over { 2} LEFT { LEFT ( 1over3 - 1over5 RIGHT )+ LEFT ( 1over5 - 1over7 RIGHT )]

[eqn: +cdots+ LEFT ( { 1} over {2n+1 }- { 1} over {2n+3 } RIGHT ) RIGHT } }``]

[eqn: { ={ 1} over {2 } LEFT ( 1over3 - { 1} over {2n+3 } RIGHT )= { n} over {3(2n+3) } }``]

51  [eqn: { - 20over21 }``]

답

해

설

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: { alpha_n + beta_n = 1over n }``], [eqn: { alpha_n beta_n =- { n(n+1)} over {n }=-n-1 }``]

이므로

[eqn: { 1over alpha_n + 1over beta_n = { alpha_n +beta_n} over {alpha_n beta_n } }``]

[eqn: { ={ 1over n} over {-n-1 }=- { 1} over {n(n+1) } }``]

[eqn: { = { 1} over {n+1 }- { 1} over { n} }``]

[eqn: { therefore~ sum _{ n=1} ^{ 20} LEFT ( 1overalpha_n + 1overbeta_n RIGHT ) }``]

[eqn: { =sum _{ n=1} ^{ 20} LEFT ( 1overn+1 - 1overn RIGHT ) }``]

[eqn: { =LEFT ( 1over2 -1 RIGHT )+ LEFT ( 1over3 - 1over2 RIGHT )+ LEFT ( 1over4 - 1over3 RIGHT )+cdots+ LEFT ( 1over21 - 1over20 RIGHT ) }``]

[eqn: { = 1over21 -1 = - 20over21 }``]

52  ③

답

해

설

[eqn: { { 2} over { sqrt { k+2}+ sqrt { k} }= { 2( sqrt { k+2}- sqrt { k}) } over {( sqrt { k+2}+ sqrt { k})( sqrt { k+2}- sqrt { k}) } }``]

[eqn: { = sqrt { k+2}- sqrt { k} }``]

[eqn: { therefore~ sum _{ k=1} ^{98 } { 2} over { sqrt { k+2}+ sqrt { k} } }``]

[eqn: { =sum _{ k=1} ^{98 }( sqrt { k+2}- sqrt { k}) }``]

[eqn: { =( sqrt { 3}-1)+( sqrt { 4}- sqrt { 2})+( sqrt { 5}- sqrt { 3}) }``]

[eqn: { +cdots+( sqrt { 99}- sqrt { 97})+( sqrt { 100}- sqrt { 98}) }``]

[eqn: { =sqrt { 99}+ sqrt { 100}-1- sqrt { 2} }``]

[eqn: { = 3 sqrt { 11}- sqrt { 2}+9 }``]

따라서 [eqn: { a=11,~b=2 }``]이므로 [eqn: { a+b=13 }``]

53  [eqn: { 3 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n = 25 +(n-1)cdot4 =4n+21 }``]이므로

[eqn: { { 1} over { sqrt { a_k}+ sqrt { a_k+1} }= { 1} over { sqrt { 4k+21}+ sqrt { 4k+25} } }``]

[eqn: { ={ sqrt { 4k+21}- sqrt { 4k+25} } over {( sqrt { 4k+21}+ sqrt { 4k+25})( sqrt { 4k+21}- sqrt { 4k+25}) } }``]

[eqn: { ={ sqrt { 4k+25}- sqrt { 4k+21} } over {4 } }``]

[eqn: { therefore~ sum _{ k=1} ^{ 66} { 1} over { sqrt { a_k}+ sqrt { a_k+1} }= { 1} over { 4} sum _{ k=1} ^{66 }( sqrt { 4k+25}- sqrt { 4k+21}) }``]

[eqn: ={ { 1 over { 4} left{( sqrt { 29}- sqrt { 25})+( sqrt { 33}- sqrt { 29}) }``]

[eqn: { +( sqrt { 37}- sqrt { 33})+cdots+( sqrt { 289}- sqrt { 285}) right} }``]

[eqn: { ={ 1} over { 4}(17-5)=3 }``]

54  [eqn: { 300 }``]

답

해

설

수열 [eqn: { LEFT { a_n RIGHT } }``]의 계차수열을 [eqn: { LEFT { b_n RIGHT } }``]이라 하면

[eqn: { LEFT { b_n RIGHT }:~-1,~0,~1,~2,~3,~cdots }``]

이므로

[eqn: { b_n =-1+(n-1)cdot1 = n-2 }``]

[eqn: { therefore~a_n =a_1 + sum _{ k=1} ^{n-1 }b_k =2+ sum _{ k=1} ^{ n-1}(k-2) }``]

[eqn: { =2+ { (n-1)n} over { 2}-2(n-1)= { n^2 -5n +8} over { 2} }``]

따라서 [eqn: { a_15 = { 15^2 -5 cdot15 +8} over { 2}=79 }``],

[eqn: { a_30 = { 30^2 -5cdot30 +8} over { 2}=379 }``]이므로

[eqn: { a_30 -a_15 =379-79=300 }``]

55  ④

답

해

설

[eqn: { a_n =2n^2 -3n }``]에서 [eqn: { a_1 =2cdot1^2 -3cdot1 = -1 }``]

이때 [eqn: { a_13 =a_1 + sum _{ k=1} ^{10 }b_k }``]이므로

[eqn: { 2cdot13^2 -3cdot 13 =-1+ sum _{ k=1} ^{12 }b_k }``]

[eqn: { therefore~ sum _{ k=1} ^{ 13}b_k =300 }``]

56  [eqn: { a_n =3n^2 -3n +1 }``]

답

해

설

[eqn: { a_1 =1,~a_2 =7,~a_3 =19,~a_4 =37,~cdots }``]이므로 수열[eqn: { LEFT { a_n RIGHT } }``]의 계차수열을 [eqn: { LEFT { b_n RIGHT } }``]이라 하면

[eqn: { LEFT { b_n RIGHT }:6,~12,~18,~cdots }``]

[eqn: { therefore~b_n =6n }``]

[eqn: { therefore~a_n =1+ sum _{ k=1} ^{ n-1}6k=1+6cdot { (n-1)n} over {2 } }``]

[eqn: { =3n^2 -3n +1 }``]

57  [eqn: { 11 }``]

답

해

설

수열 [eqn: { LEFT { a_n RIGHT } }``]의 계차수열을 [eqn: { LEFT { b_n RIGHT } }``]이라 하면

[eqn: { LEFT { b_n RIGHT }:1,~2,~4,``~8,~16,~cdots }``]

이므로

[eqn: { b_n = 1cdot2^n-1 =2^n-1 }``]

[eqn: { therefore~a_n = a_1 + sum _{ k=1} ^{n-1 }b_k =-1+ sum _{ k=1} ^{n-1 }2^k-1 }``]

[eqn: { =-1+ { 1cdot(2^n-1 -1)} over {2-1 }=2^n-1 -2 }``]

[eqn: { a_k =1022 }``]에서   [eqn: { 2^k-1 -2 = 1022 }``]

[eqn: { 2^k-1 =1024 =2^10 }``]

[eqn: therefore] [eqn: { k=11 }``]

58  [eqn: { -117 }``]

답

해

설

수열[eqn: { LEFT { a_n RIGHT } }``]의 공차가 음수이므로 [eqn: { b_k }``]는 [eqn: { k }``]번째 괄호 안의 왼쪽에서부터 첫 번째에 오는 수이다. 즉,[eqn: { LEFT { b_n RIGHT }:~a_1 ,~a_2 ,~a_5 ,~a_10 ,~cdots }``]

이때 [eqn: { a_n =30+(n-1)cdot(-3) =-3n+33 }``]이므로

[eqn: { a_1 =30 ,~a_2 =27,~a_5 =18,~a_10 =3,~cdots }``]

수열 [eqn: { LEFT { b_n RIGHT } }``]의 계차수열을 [eqn: { LEFT { c_n RIGHT } }``]이라 하면

[eqn: { LEFT { c_n RIGHT }:~-3,~-9,~-15,~cdots }``]

이므로

[eqn: { c_n =-3 +(n-1)cdot(-6) =-6n+3 }``]

[eqn: { therefore~b_n =b_1 + sum _{ k=1} ^{ 7}c_k }``]

[eqn: { =30+ sum _{ k=1} ^{ 7}(-6k+3) }``]

[eqn: { =30+(-6)cdot { 7cdot8} over { 2}+3cdot7=-117 }``]

59  ④

답

해

설

수열 [eqn: { LEFT {a_n RIGHT } }``]의 계차수열을 [eqn: { LEFT { b_n RIGHT } }``]이라 하면

[eqn: { LEFT { b_n RIGHT }:~4,~8,~12,~16,~20,~cdots }``]

이므로

[eqn: { b_n =4n }``]

[eqn: { therefore~a_n =a_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}b_k =-5+ sum _{ k=1} ^{ n-1}4k }``]

[eqn: { =-5+4cdot { (n-1)n} over { 2}=2n^2 -2n-5 }``]

따라서 구하는 값은

[eqn: { sum _{ k=1} ^{10 }a_k = sum _{ k=1} ^{10 }(2k^2 -2k-5) }``]

[eqn: { =2 sum _{ k=1} ^{ 10}k^2 -2 sum _{ k=1} ^{ 10}k- sum _{ k=1} ^{ 10}5 }``]

[eqn: { =2cdot { 10cdot11cdot21} over { 6}-2cdot { 10cdot11} over { 2}-5cdot10 }``]

[eqn: { =770-110-50=610 }``]

60  [eqn: { 260 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n =a_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}b_k =2+(n-1)(n-2) }``]

[eqn: { =n^2 -3n+4 }``]

이므로

[eqn: { S_10 = sum _{ k=1} ^{ 10}a_k = sum _{ l=1} ^{10 }(k^2 -3k+4) }``]

[eqn: { =sum _{ k=1} ^{ 10}k^2 -3 sum _{ k=1} ^{ 10}k+4 sum _{ k=1} ^{ 10} }``]

[eqn: { ={ 10cdot11cdot21} over {6 }-3cdot { 10cdot11} over { 2}+4cdot10=260 }``]

61  ③

답

해

설

[eqn: { S=1+2cdot 1over2 +3cdot LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 +cdots+30cdot LEFT ( 1over2 RIGHT )^29 }``]   [eqn: CDOTS ``]㉠

㉠의 양변에 [eqn: { 1over2 }``]을 곱하면

[eqn: {1} over {2} S= {1} over {2} +2 CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +3 CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} + CDOTS +30 CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{30} ``]   [eqn: CDOTS ``]㉡

[eqn: { ㉠-㉡ }``]을 하면

[eqn: { 1over2 S = 1+ 1over2 + LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 + LEFT ( 1over2 RIGHT )^3 + cdots + LEFT ( 1over2 RIGHT )^29 -30cdot LEFT ( 1over2 RIGHT )^30 }``]

[eqn: { = { 1cdot LEFT { 1- LEFT ( 1over2 RIGHT )^30 RIGHT } } over { 1- 1over2}-30cdot LEFT ( 1over2 RIGHT )^30 }``]

[eqn: { =2 LEFT { 1- LEFT ( 1over2 RIGHT )^30 RIGHT }-30cdot LEFT ( 1over2 RIGHT )^30 }``]

[eqn: { =2- LEFT ( 1over2 RIGHT )^25 }``]

[eqn: { therefore~S=4- LEFT ( 1over2 RIGHT )^24 }``]

따라서 [eqn: { a=4,~b=24 }``]이므로

[eqn: { a+b=28 }``]

62  ①

답

해

설

[eqn: { f(x)=1+4x+7x^2 +10x^3 +cdots+31x^10 }``][eqn: { CDOTS CDOTS CDOTS }``]㉠

㉠의 양변에 [eqn: { x }``]를 곱하면

[eqn: { xf(x)=x+4x^2 +7x^3 +10x^4 +cdots31x^11 }``][eqn: { cdotscdotscdots }``]㉡

㉠-㉡을 하면

[eqn: { (1-x)f(x)=1+3x+3x^2 +3x^3 + cdots+ 3x^10 -31x^11 }``]

[eqn: { =1+ { 3x(x^10 -1)} over {x-1 }-31x^11 }``]

[eqn: { x=4 }``]를 대입하면

[eqn: { -3cdotf(4)=1+4(4^10 -1)-31cdot4^11 }``]

[eqn: { =-30cdot4^11 -3 }``]

[eqn: { therefore~f(4)=10 cdot4^11 +1 }``]

63  [eqn: { 59 }``]

답

해

설

[eqn: { a_n =1+(n-1)cdot2 =2n-1 }``]

[eqn: { b_n =1cdot (-2)^n-1 = (-2)^n-1 }``]

이므로 [eqn: { S= sum _{ k=1} ^{ 10}a_k b_k }``]로 놓으면

[eqn: { S= sum _{ k=1} ^{ 10}(2k-1)cdot(-2)^k-1 }``]

[eqn: { =1cdot1 + 3cdot(-2)+5cdot(-2)^2 +cdots+19cdot(-2)^9 }``]

[eqn: { CDOTS CDOTS CDOTS }``]㉠

㉠의 양변에 [eqn: { -2 }``]를 곱하면

[eqn: { -2S=1cdot(-2)+3cdot(-2)^2 +5cdot(-2)^3 +cdots+19cdot(-2)^10 }``]

[eqn: { cdotscdotscdots }``]㉡

㉠-㉡을 하면	[eqn: 3S=1 CDOT 1+2 CDOT (-2)+2 CDOT (-2) ^{2} + CDOTS +2 CDOT (-2) ^{9} -19 CDOT (-2) ^{10} ``]

[eqn: { =1+2cdot { -2 LEFT { 1-(-2)^9 RIGHT } } over {1-(-2) }-19cdot2^10 }``]

[eqn: { =1- 4over3 (1+2^9 )-19cdot2^10 = - 1over3 - 59over3 cdot 2^10 }``]

[eqn: { =- 1over3 (1+59cdot2^10 ) }``]

[eqn: { therefore~S= - 1over9 (1+59cdot 2^10 ) }``]

[eqn: { therefore~p+59 }``]

64  ②

답

해

설

구하는 합을 [eqn: { S }``]라 하면

[eqn: { S=1+2cdot3+3cdot3^2 +4cdot3^3 +cdots+10cdot3^9 }``]  -- ㉠

㉠의 양변에 [eqn: { 3 }``]을 곱하면

[eqn: { 3S=3+2cdot3^2 +3cdot3^3 +4cdot3^4 +cdots+10cdot3^10 }``]-- ㉡

㉠-㉡을 하면

[eqn: { -2S=1+3+3^2 +3^3 + cdots+3^9 -10cdot3^10 }``]

[eqn: { ={ 1cdot(3^10 -1)} over { 3-1}-10cdot3^10 }``]

[eqn: { = 1over2 (3^10 -1)-10cdot3^10 }``]

[eqn: { = - 1over2 (19cdot3^10 +1) }``]

[eqn: { therefore~S= 1over4 (19cdot3^10 +1 ) }``]

65  ②

답

해

설

주어진 수열을

[eqn: (1),~(1,~2),~(1,~2,~4),~(1,```2,~4,~7),`` CDOTS ``]

과 같이 군수열로 생각하면 제[eqn: { n }``]군의 항의 개수는 [eqn: { n }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { n }``]군까지의 항의 개수는

[eqn: { 1+2+3+cdots+n= { n(n+1)} over { 2} }``]

이때 [eqn: { n=19 }``]이면 [eqn: { { 19cdot20} over { 2}=190 }``]이므로 제[eqn: { 200 }``]항은 제[eqn: { 20 }``]군의 [eqn: { 10 }``]번째 항이다.

제[eqn: { 20 }``]군의 수열을 [eqn: { LEFT { a_n RIGHT } }``], 그 계차수열을 [eqn: { LEFT { b_n RIGHT } }``]이라 하면

[eqn: { LEFT { a_n RIGHT }:~1,~2,~4,~7,~11,~cdots }``]

[eqn: { LEFT { b_n RIGHT }:~1,~2,~3,~4,~cdots }``]

이므로 [eqn: { b_n =n }``]

[eqn: { therefore~a_n =a_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}b_k =1+ sum _{ k=1} ^{n-1 }k }``]

[eqn: { =1+ { (n-1)n} over { 2}= { n^2 -n+2} over { 2} }``]

따라서 제[eqn: { 20 }``]군의 [eqn: { 10 }``]번째 항은

[eqn: { a_10 = { 10^2 -10 +2} over {2 }=46 }``]

66  ②

답

해

설

주어진 수열을	[eqn: { (1),~(-2,~-1),~(3,~2,~1),~(-4,~-3,~-2,~-1),~ }``][eqn: { (5,~4,~3,``~2,~1),~cdots }``]

과 같이 군수열로 생각하면 [eqn: { 20 }``]이 처음으로 나타나는 것은 제[eqn: { 21 }``]군의 [eqn: { 2 }``]번째 항이다.

이때 제[eqn: { n }``]군의 항의 개수는 [eqn: { n }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { 20 }``]군까지의 항의 개수는[eqn: { sum _{ k=1} ^{ 20}k= { 20cdot21} over { 2}=210 }``]

[eqn: { 210+2=212 }``]에서 처음으로 [eqn: { 20 }``]이 나타나는 것은 제[eqn: { 212 }``]항이다.

67  [eqn: { 122 }``]

답

해

설

주어진 수열을

[eqn: { (1),~(3,~3),~(5,~5,~5),~(7,~7,~7,~7),~cdots }``]

과 같이 군수열로 생각하면 제[eqn: { n }``]군은 [eqn: { 2n-1 }``]이 계속되므로 [eqn: { 2n-1=21 }``]에서  [eqn: { n=11 }``]

따라서 [eqn: { 21 }``]은 제[eqn: { 11 }``]군의 수이다.

제[eqn: { n }``]군의 항의 개수는 [eqn: { n }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { 10 }``]군까지의 항의 개수는[eqn: { sum _{ k=1} ^{ 10}k = { 10cdot11} over { 2}=55 }``]

따라서 [eqn: { 21 }``]은 제[eqn: { 56 }``]항부터 제[eqn: { 66 }``]항까지 계속되므로

[eqn: { p=56,~q=66 }``]

[eqn: { therefore~p+q=122 }``]

68  ③

답

해

설

주어진 수열을

[eqn: { (1),~(1,~2,~1),~(1,~2,~3,~2,~1),]

[eqn: ~(1,~2,~3,~4,~3,~2,~1),~cdots }``]

과 같이 군수열로 생각하면 [eqn: { 9 }``]는 제[eqn: { 9 }``]군에서 한 번 나타나고 제[eqn: { 10 }``]군부터는 각 군에서 두 번씩 나타나므로 [eqn: { 5 }``]번째로 나타나는 [eqn: { 9 }``]는 제[eqn: { 11 }``]군의 수이다. 제[eqn: { 11 }``]군은

[eqn: { 1,~2,~cdots,~9,~10,~11,~10,~9,~cdots,~2,~1 }``]이므로 구하는 항은 제[eqn: { 11 }``]군의 [eqn: { 13 }``]번째 항이다.

제[eqn: { n }``]군의 항의 개수는 [eqn: { 2n-1 }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { 10 }``]군까지의 항의 개수는

[eqn: { sum _{ k=1} ^{ 10}(2k-1)=2cdot { 10cdot11} over { 2}-10=100 }``]

따라서 [eqn: { 100+13=113 }``]이므로 [eqn: { 9 }``]가 [eqn: { 5 }``]번째로 나타나는 항은 제[eqn: { 113 }``]항이다.

69  [eqn: { 36 }``]

답

해

설

각 군의 첫 번째 항으로 이루어진 수열을 [eqn: { LEFT { a_n RIGHT } }``], 그 계차수열을 [eqn: { LEFT { b_n RIGHT } }``]이라 하면

[eqn: { LEFT { a_n RIGHT }:~1,~3,~7,~13,~21,~cdots }``]

[eqn: { LEFT { b_n RIGHT }:~2,~4,~6,~8,~cdots }``]

이므로

[eqn: { b_n =2n }``]

[eqn: { therefore~a_n =a_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1} b_k =1+ sum _{ k=1} ^{ n-1}2k }``]

[eqn: { =1+2cdot { (n-1)n} over { 2} }``]

[eqn: { =n(n-1)+1 }``]

이때 [eqn: { a_32 =32cdot31+1 =993 }``]이므로 [eqn: { 999 }``]는 제[eqn: { 32 }``]군의 수이다.

[eqn: { therefore~p=32 }``]

각 군은 공차가 [eqn: { 2 }``]인 등차수열을 이루므로

[eqn: { 999=993+(q-1)cdot2 }``]

[eqn: { therefore~q=4 }``]

[eqn: { therefore~p+q=32+4=36 }``]

70  [eqn: { 87 }``]

답

해

설

주어진 수열을

[eqn: { (1),~(2,~1),~(2,~2,~1),~(2,~2,~2,~1),~cdots }``]

과 같이 군수열로 생각하면 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { n }``]군까지의 항의 개수는

[eqn: { 1+2+3+cdots+n= { n(n+1)} over { 2} }``]

[eqn: { n=13 }``]일 때, [eqn: { { 13cdot14} over { 2}=91 }``]이므로 제[eqn: { 100 }``]항은 제[eqn: { 14 }``]군의 [eqn: { 9 }``]번째 항이다.

이때 제[eqn: { n }``]군의 모든 항의 곱은 [eqn: { 2^n-1 }``]이므로 첫째항부터 제[eqn: { 100 }``]항까지의 곱은	[eqn: { (2^0 cdot2^1 cdot2^2 cdots2^12 )cdot2^9 =2^{(1+2+cdots+12)+9}=2^87 }``]

[eqn: { therefore~a=87 }``]

71  ⑤

답

해

설

주어진 수열을	[eqn: { left( 1over2 right) ,~ left(1over3 ,~ 2over3right) ,`~left(1over4 ,~ 2over4 ,~ 3over4right) ,~ left(1over5 ,~ 2over5 ,~ 3over5 ,~ 4over5 right) ,~cdots }``]

와 같이 분모가 같은 항끼리 묶은 군수열로 생각하면 제[eqn: { n }``]군의 분모는 [eqn: { n+1 }``]이므로 [eqn: { 37over102 }``]은 제[eqn: { 101 }``]군의 [eqn: { 37 }``]번째 항이다.

제[eqn: { n }``]군의 항의 개수는 [eqn: { n }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { 100 }``]군까지의 항의 개수는

[eqn: { sum _{ k=1} ^{ 100}k = { 100cdot101} over { 2}=5050 }``]

[eqn: { 5050+37=5087 }``]에서 [eqn: { 37over102 }``]은 제[eqn: { 5087 }``]항이다.

72  ②

답

해

설

[eqn: { left( 1over1 right) ,~left( 1over2 ,~ 2over1right) ,` ~left( 1over3 ,` ~ 2over2 , ~ 3over1 right),~ left(1over4 ,` ~ 2over3 ,` ~ 3over2 ,~ 4over1 right) , ~cdots }``]

와 같이 분모와 분자의 합이 같은 항끼리 묶은 군수열로 생각하면

제[eqn: { n }``]군의 분모와 분자의 합은 [eqn: { n+1 }``]이므로 [eqn: { 5over8 }``]는 제[eqn: { 12 }``]군의 [eqn: { 5 }``]번째항이다. 제[eqn: { n }``]군의 항의 개수는 [eqn: { n }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { 11 }``]군까지의 항의 개수는

[eqn: { sum _{ k=1} ^{ 11}k = { 11cdot12} over { 2}=66 }``]

[eqn: { 66+5=71 }``]에서 [eqn: { 5over8 }``]는 제[eqn: { 71 }``]항이다.

[eqn: { therefore~k=71 }``]

73  [eqn: { 165 }``]

답

해

설

주어진 수열을	[eqn: { left(1,~ 1over3right) ,~left(1, ~1over3 ,~ 1over9 right) ,~ left(1,~ 1over3 ,~ 1over9 ,~ 1over 27 right),~cdots }``]

과 같이 군수열로 생각하면 제[eqn: { n }``]군의 항의 개수가 [eqn: { n+1 }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { n }``]군까지의 항의 개수는

[eqn: { sum _{ k=1} ^{ n}(k+1)= { n(n+1)} over { 2}+n= { n(n+3)} over { 2} }``]

[eqn: { n=9 }``]일 때, [eqn: { { 9cdot12} over { 2}=54 }``]이므로 제[eqn: { 54 }``]항은 제[eqn: { 9 }``]군의 [eqn: { 10 }``]번째 항이다. 따라서 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { 9 }``]군까지의 모든 항의 곱은

[eqn: { LEFT ( 1over3 RIGHT )^9 times LEFT ( 1over3^2 RIGHT )^8 times LEFT ( 1over3^3 RIGHT )^7 timescdotstimes LEFT ( 1over3^9 RIGHT )^1 }``]

[eqn: { =LEFT ( 1over3 RIGHT )^{1cdot9+2cdot8+3cdot7+cdots+9cdot1 } }``]

[eqn: { therefore~m=1cdot9+2cdot8+3cdot7+cdots+9cdot1 }``]

[eqn: { =sum _{ k=1} ^{ 9}k(10-k)=10 sum _{ k=1} ^{ 9}k- sum _{ k=1} ^{ 9}k^2 }``]

[eqn: { =10cdot { 9cdot10} over { 2}- { 9cdot10cdot19} over { 6}=165 }``]

74  [eqn: { 19over2 }``]

답

해

설

주어진 수열을	[eqn: { left(1over1right) ,~ left(1over2 ,~ 3over1 right),~ left(1over4 ,~ 3over2 ,~ 5over1right) ,~left( 1over8 ,~ 3over4 ,~ 5over2 ,~ 7over1 right),~cdots }``]

과 같이 군수열로 생각하면 제[eqn: { n }``]군의 항의 개수가 [eqn: { n }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { n }``]군까지의 항의 개수는

[eqn: { 1+2+3+cdots+n = { n(n+1)} over { 2} }``]

[eqn: { n=10 }``]일 때, [eqn: { { 10cdot11} over { 2}=55 }``]이므로 제[eqn: { 65 }``]항은 제[eqn: { 11 }``]군의 [eqn: { 10 }``]번째 항이다.

이때 제[eqn: { n }``]군의 [eqn: { k }``]번째 항의 분자는 [eqn: { 2k-1 }``], 분모는 [eqn: { 2^n-k }``]이므로 제[eqn: { 65 }``]항은

[eqn: { { 2cdot10-1} over { 2^11-10}= 19over2 }``]

75  ③

답

해

설

주어진 수열을

[eqn: { left{(1,~1)right},~left{(1,~2),~(2,~1)right},~left{(1,~3),~(2,~2),~(3,~1)right}, }``]

[eqn: { left{(1,~4),~(2,~3),~(3,~2),~(4,~1)right},~cdots }``]

과 같이 두 수의 합이 같은 순서쌍끼리 묶은 군수열로 생각하면 제[eqn: { n }``]군의 순서쌍의 두 수의 합은 [eqn: { n+1 }``]이므로 [eqn: { (10,~11) }``]은 제[eqn: { 20 }``]군의 [eqn: { 10 }``]번째 항이다.

제[eqn: { n }``]군의 항의 개수는 [eqn: { n }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { 19 }``]군까지의 항의 개수는

[eqn: { sum _{ k=1} ^{ 19}k = { 19cdot20} over { 2}=190 }``]

[eqn: { 190+10=200 }``]에서 [eqn: { (10,~11) }``]은 제[eqn: { 200 }``]항이다.

76  ④

답

해

설

주어진 수열을

[eqn: { LEFT { (1,~1) RIGHT },~ LEFT { (1,~3),~(2,~2) RIGHT }, }``]

[eqn: { LEFT { (1,~7),~(2,~6),~(3,~5),(4,~4) RIGHT },~cdots }``]

와 같이 두 수의 합이 같은 순서쌍끼리 묶은 군수열로 생각하면 제[eqn: { n }``]군은 순서쌍의 두 수의 합이 [eqn: { 2^n }``]이고, 제[eqn: { n }``]군의 [eqn: { k }``]번째 항은 [eqn: { (k,~2^n -k) }``]이다.

이때 순서쌍 [eqn: { (28,~100) }``]에서 [eqn: { 28+100=128=2^7 }``]이므로 [eqn: { (28,~100) }``]은 제[eqn: { 7 }``]군의 [eqn: { 28 }``]번째 항이다.

따라서 [eqn: { p=7,~q=28 }``]이므로  [eqn: { p+q=35 }``]

77  [eqn: { 496 }``]

답

해

설

주어진 수열을	[eqn: { left{(1,~2),~(2,~1)right},~left{(1,~4),~(2,~2),~(4,~1)right}, }``]

[eqn: { left{(1,~8),~(2,~4),~(4,~2),~(8,~1)right},~cdots }``]

과 같이 두 수의 곱이 같은 순서쌍끼리 묶은 군수열로 생각하면 제[eqn: { n }``]군의 순서쌍의 두 수의 곱이 [eqn: { 2^n }``]이고, 항의 개수는 [eqn: { n+1 }``]이다.

따라서 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { n }``]군까지의 항의 개수는

[eqn: { sum _{ k=1} ^{n }(k+1)= { n(n+1)} over { 2}+n }``]

[eqn: { ={ n(n+3)} over { 2} }``]

[eqn: { n=12 }``]일 때, [eqn: { { 12cdot15} over { 2}=90 }``]이므로 제[eqn: { 100 }``]항은 제[eqn: { 13 }``]군의 [eqn: { 10 }``]번째 항이다.

이때 제[eqn: { n }``]군의 [eqn: { k }``]번째 항은 [eqn: { (2^k-1 ,~2^n-k+1 ) }``]이므로 제[eqn: { 13 }``]군의 [eqn: { 10 }``]번째 항은 [eqn: { (2^9 ,~2^4 ) }``]

따라서 [eqn: { a=2^9 ,~b=2^4 }``]이므로

[eqn: { a-b=2^9 -2^4 =496 }``]

78  ③

답

해

설

위에서 [eqn: { n }``]번째 줄에는 [eqn: { n }``]개의 자연수가 있으므로 첫 번째 줄에서 [eqn: { n }``]번째 줄까지의 자연수의 개수는

[eqn: { sum _{ k=1} ^{ n}k= { n(n+1)} over { 2} }``]

[eqn: { n=13 }``]일 때, [eqn: { { 13cdot14} over { 2}=91 }``]이므로 [eqn: { 100 }``]은 위엣 [eqn: { 14 }``]번째 줄에 있다.

이때 짝수 번째 줄은 왼쪽에서부터 [eqn: { 1 }``]씩 증가하고, [eqn: { 14 }``]번째 줄의 맨 왼쪽의 수는 [eqn: { 92 }``]이므로 [eqn: { 100 }``]은 [eqn: { 14 }``]번째 줄의 왼쪽에서 [eqn: { 9 }``]번째 수이다.

따라서 [eqn: { a=14,~b=9 }``]이므로

[eqn: { a+b=23 }``]

79  ③

답

해

설

제[eqn: { k }``]행에 나열된 수의 개수는 [eqn: { 2k-1 }``]이므로 제[eqn: { 14 }``]행까지 나열된 수의 개수는

[eqn: { sum _{ k=1} ^{ 14}(2k-1)=2 sum _{ k=1} ^{ 14}k- sum _{ k=1} ^{ 14}1 }``]

[eqn: { =2cdot { 14cdot15} over { 2}-1cdot14=196 }``]

이때 [eqn: { 196=5cdot39+1 }``]이므로 제[eqn: { 15 }``]행에 나열된 수는 [eqn: { 4,~6,~8,~10,~2 }``]의 순서로 반복된다.

제[eqn: { 15 }``]행에 나열된 수의 개수는 [eqn: { 2cdot15-1=29 }``]이므로 제[eqn: { 15 }``]행에 나열된 모든 수의 합은	[eqn: { (4+6+8+10+2)cdot5+(4+6+8+10)=178 }``]

80  ⑤

답

해

설

주어진 수를 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 [eqn: { left{a_n right} }``], 그 계차수열을 [eqn: { left{b_n right} }``]이라 하면

[eqn: { left{a_n right}:1,~2,~4,~```7,~11,~16,``⋯ }``]

[eqn: { left{b_n right}:1,~2,~3,~```4,~5,``⋯ }``]

이므로 [eqn: { b_n =n }``]

[eqn: { therefore~a_n =a_1 + sum from k=1 to n-1 b_k =1+sum from k=1 to n-1 k }``]

[eqn: { =1+ (n-1)n over 2 }``]

[eqn: { = {n^2 -n+2} over 2 }``]

한편, 위에서 [eqn: { n }``]번째 줄에는 [eqn: { n }``]개의 수가 있으므로 첫 번째 줄에서 [eqn: { 13 }``]번째 줄까지 나열된 수의 개수는

[eqn: { sum from k=1 to 13 k= {13 cdot 14 } over 2 = 91 }``]

따라서 [eqn: { 14 }``]번째 줄의 오른쪽에서 [eqn: { 9 }``]번째에 있는 수는 수열 [eqn: { left{a_n right} }``]의 제[eqn: { 100 }``]항이므로

[eqn: { a_100 = {100^2 -100+2} over 2 =4951 }``]

81  ③

답

해

설

첫 번째 항의 수는 왼쪽에서부터 차례로

[eqn: { 1^2 ,~2^2 ,~3^2 ,~4^2 ,~⋯ }``]

이므로 [eqn: { 1 }``]행 [eqn: { 10 }``]열의 수는

[eqn: { 10^2 =100 }``]

[eqn: { 1 }``]행 [eqn: { 10 }``]열의 수부터 [eqn: { 10 }``]행 [eqn: { 10 }``]열의 수까지 [eqn: { 1 }``]씩 작아지므로 [eqn: { 3 }``]행 [eqn: { 10 }``]열의 수는

[eqn: { 100-2=98 }``]

82  [eqn: { 82 }``]

답

해

설

다음 그림과 같이 [eqn: { (2k-1)^2 }``]은 한 변의 길이가 [eqn: { 2k-1 }``]인 정사각형의 맨 오른쪽 아래에 쓰여진다.

이 때, [eqn: { 121=11^2 }``]에서 [eqn: { 11^2 }``]의 왼쪽 대각선 위의 수가 [eqn: { 9^2 }``]이므로 구하는 수는 [eqn: { 9^2 +1=82 }``]

83  ⑤

답

해

설

[eqn: { m }``]행 [eqn: { n }``]열의 수는 [eqn: { mn }``]이므로 [eqn: { 400=20^2 }``]에서 [eqn: { 400 }``]은 [eqn: { 20 }``]행 [eqn: { 20 }``]열의 수이다.

따라서 [eqn: { a }``]는 [eqn: { 19 }``]행 [eqn: { 19 }``]열, [eqn: { b }``]는 [eqn: { 19 }``]행 [eqn: { 20 }``]열, [eqn: { c }``]는 [eqn: { 20 }``]행 [eqn: { 19 }``]열의 수이므로

[eqn: { a=19^2 =361,~b=19cdot20=380,```~c=20cdot19=380 }``]

[eqn: { therefore~b+c-a=380+380-361=399 }``]

다

른

풀

이

다음 그림에서 정사각형 모양으로 배열된 네 개의 칸에 들어가는 수를 각각 [eqn: { p,~q,~r,~s }``]라 하자.

이 때, [eqn: { p }``]를 [eqn: { m }``]행 [eqn: { n }``]열의 수라고 하면

[eqn: { p=mn,~q=m(n+1),~r=(m+1)n,~s=(m+1)(n+1) }``]

이므로

[eqn: { p+s=2mn+m+n+1 }``]

[eqn: { q+r=2mn+m+n }``]

[eqn: { therefore~p+s=q+r+1 }``]

따라서 주어진 문제에서

[eqn: { a+400=b+c+1 }``]

[eqn: { therefore~b+c-a=399 }``]

84  [eqn: { 108 }``]

답

해

설

[eqn: { i }``]행 [eqn: { j }``]열에서 [eqn: { i+j }``]의 값이 일정한 수끼리 군으로 묶으면

[eqn: { (1),~(2,~3),~(4,~5,~6),~(7,```~8,~9,~10),⋯ }``]

이 때, [eqn: { i }``]행 [eqn: { j }``]열에 있는 수는 제[eqn: { (i+j-1) }``]군의 [eqn: { j }``]번째 수이다.

각 군의 첫 번째 항으로 이루어진 수열을 [eqn: { LEFT { a _{n} RIGHT } }``], 그 계차수열을 [eqn: { LEFT { b _{n} RIGHT } }``]이라 하면

[eqn: { left{a_n right}:1,~2,~4,````~7,~11,~⋯ }``]

[eqn: { left{b_n right}:1,~2,~3,~````4,~⋯ }``]

이므로 [eqn: { b_n =n }``]

[eqn: { therefore~a_n =a_1 + sum from k=1 ton-1 b_k = 1+ sum from k=1 to n-1 k }``]

[eqn: { =1+ (n-1)n over 2 }``]

[eqn: { = {n^2 -n+2} over 2 }``]                               [eqn: { n=20 }``]일 때,

[eqn: { {20^2 -20+2} over 2 =191 }``]이므로 [eqn: { 200 }``]은 [eqn: { 20 }``]군의 [eqn: { 9 }``]번째 수이다.

따라서, [eqn: { p+q-1=20,``p=9 }``]이므로 [eqn: { q=12 }``]

[eqn: { therefore```pq=108 }``]

85  [eqn: { 10 }``]

답

해

설

주어진 표에서 [eqn: { m }``]번째 행의 [eqn: { n }``]번째 열의 수는 [eqn: { mn+1 }``]즉, [eqn: { mn=80 }``]이면 되므로 [eqn: { m,n }``]이 [eqn: { 80 }``]의 양의 약수이어야 한다. [eqn: { 80=2^4 cdot 5 }``]이므로 구하는 원소의 개수는  [eqn: { LEFT ( `4+1` RIGHT ) LEFT ( `1+1` RIGHT )=10 }``]

86  ②

답

해

설

[eqn: { LEFT { `a _{n} RIGHT } ``:1,``-1,``1,``-1,``1,`` CDOTS }``]

[eqn: { left{ `b_n right}``:``1,``-1,`````1,``-1,````1,``cdots }``]

ㄱ, [eqn: { b_3 =-1 }``]

ㄴ, [eqn: { b_n =b_n+4 }``]이고, [eqn: { sum from n=1 to 4 b_n = 1-1+1-1=0 }``]이므로

[eqn: { sum from n=1 to 8 b_n =0 }``]

ㄷ, [eqn: { sum from n=1 to 30 b_3n-1 = LEFT ( b_2 +b_5 +b_8 + b_11 RIGHT )+ }``]

[eqn: { `` CDOTS + LEFT ( b _{74} +b _{77} +b _{80} +b _{83} RIGHT ) +b _{86} +b _{89} }``]

[eqn: { =7 LEFT ( b_2 +b_1 +b_3 +b_4 RIGHT )+b_2 +b_1 =0 }``]

이상 옳은 것은 ㄱ,ㄴ 이다.

87  ③

답

해

설

따라서 구하는 모든 수의 합을 [eqn: { S }``]라 하면

[eqn: { S=(1+2+3+⋯+20)+2(1+2+3+⋯+20 ) }``]

[eqn: { +⋯+20(1+2+3+⋯+20) }``]

[eqn: { =(1+2+3+⋯+20)(1+2+3+⋯+20) }``]

[eqn: { =( 20cdot21 over 2 )^2 =sum from k=1 to20 k^3 }``]

88  ④

답

해

설

모든 직사각형의 가로의 길이는 [eqn: { 1 over n }``]이고, 왼쪽에서부터 [eqn: { k }``]번째 직사각형의 높이는 [eqn: { ( k over n )^2 }``]이므로 [eqn: { k }``]번째 직사각형의 넓이는

[eqn: { 1 over n ( k over n )^2 = k^2 over n^3 }``]

따라서 [eqn: { n }``]개의 직사각형의 넓이의 합을 [eqn: { S_n }``]이라 하면

[eqn: { S_n =sum from k=1 to n k^2 over n^3 = 1 over n^3 cdot {n(n+1)(2n+1)} over 6 }``]

[eqn: { ={(n+1)(2n+1)} over 6n^2 }``]

89  [eqn: { 11 }``]

답

해

설

전략 [eqn: { n }``]으로 나누었을 때 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 [eqn: { kn+k }``][eqn: { LEFT ( k= 1,2,3,cdots,n-1 RIGHT ) }``]임을 이용한다

풀이 [eqn: { n }``]으로 나누었을 때 몫과 나머지가 같아지는 자연수는

[eqn: { n+1,`2n+2,`3n+3,`cdots,` LEFT ( n-1 RIGHT )n+ LEFT ( n-1 RIGHT ) }``]의 [eqn: { LEFT ( n-1 RIGHT ) }``]개다.

[eqn: { therefore``a_n =sum from k=1 to n-1 LEFT ( kn+k RIGHT )= LEFT ( n+1 RIGHT )sum from k=1 to n-1 k }``]

[eqn: { = LEFT ( n+1 RIGHT ) CDOT {LEFT ( n-1 RIGHT ) n} over {2} }``]

[eqn: { ={n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT )}over{2} }``]

[eqn: { a _{n} >500 }``]에서

[eqn: { {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} >500,~~n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT ) >1000 }``]

이 때

[eqn: { 9cdot 10cdot 11=990<1000, ``10cdot11cdot12=1320>1000 }``]이므로 구하는 자연수 [eqn: { n }``]의 최솟값은 [eqn: { 11 }``]이다.

90  ④

답

해

설

[eqn: { sum from i=1 to 10 i LEFT ( {1}over{i} +{1}over{i+1}+cdots+{1}over{10} RIGHT ) }``]

[eqn: { = LEFT ( {1}over{1} +{1}over{2} +cdots+{1}over{10} RIGHT )+ 2 LEFT ( {1}over{2} +{1}over{3} +cdots+{1}over{10} RIGHT ) }``]

[eqn: { +3 LEFT ( {1}over{3}+{1}over{4} +cdots+{1}over{10} RIGHT )+cdots+10cdot{1}over{10} }``]

이 수열의 제 [eqn: { k }``]항을 [eqn: { a_k }``]라 하면

[eqn: { a_k ={1+2+3+cdots+k}over{k} }``]

[eqn: { ={{k LEFT ( k+1 RIGHT )}over{2}over{k}} ={k+1}over{2} }``]	[eqn: { therefore`` LEFT ( 주어진~식 RIGHT )=sum from k=1 to 10 a_k =sum from k=1 to10 {k+1}over{2}]

[eqn: ={1}over{2} LEFT ( {10cdot11}over{2}+10 RIGHT ) }``]

[eqn: { ={65}over{2} }``]

91  ⑤

답

해

설

ㄱ. [eqn: { m=3 }``]일 때, [eqn: { a_m =left[{n}over{3}right] }``]이므로

[eqn: { left{a_n right} :`0,`0,`1,`1,`1,`2, `cdots }``]

[eqn: { therefore``S_5 =3 }``]

ㄴ.⑴ [eqn: { m=1 }``]일 때, [eqn: { S_1 =a_1 = left[{1}over{1} right] =1 }``]

⑵ [eqn: { m!=1 }``]일 때,

[eqn: a _{1} = LEFT [ {1} over {m} RIGHT ] =0,~a _{2} = LEFT [ {2} over {m} RIGHT ] =0,~ CDOTS ,~a _{m-1} = LEFT [ {m-1} over {m} RIGHT ] =0``]

[eqn: { a_m = left[{m}over{m} right] =1 }``]이므로

[eqn: { S_m =a_1 +a_2 +a_3 +cdots +a_m-1 +a_m =1 }``]

⑴, ⑵에서 [eqn: { S_m =1 }``]

92  ②

답

해

설

합성 저항을 [eqn: { R }``]라 하면

[eqn: { 1 over R = 1 over R_1 + 1 over R_2 + 1 over R_3 +⋯ + 1 over R_15 }``]

[eqn: { =sum from k=1 to 15 1 over R_k }``]

[eqn: { =sum from k=1 to 15 1 over {rootk + rootk+1} }``]

[eqn: { =sum from n=1 to 15 {rootk - root k+1} over {(rootk + root k+1 )( rootk -rootk+1 ) } }``]

[eqn: { =sum from k=1 to15 (rootk+1 -rootk ) }``]

[eqn: { =(root2 -1)+(root3 -root2 )+⋯+(root16 - root15 ) }``]

[eqn: { =root16 -1=3 }``]

[eqn: { therefore~R= 1 over 3 }``]

93  [eqn: { 2325 }``]

답

해

설

전략 수열[eqn: { left{a_n right} }``]은 수열[eqn: { left{b_n right} }``]의 계차수열이고, 수열[eqn: { left{b_n right} }``]은 수열[eqn: { left{c_n right} }``]의 계차수열이다.

풀이 [eqn: { b _{n+1} -b _{n} =a _{n} LEFT ( n=1,```2,```3,`` CDOTS RIGHT ) }``]이므로 수열[eqn: { left{a_n right} }``]은 수열[eqn: { left{b_n right} }``]의 계차수열이다.

[eqn: { therefore~b_n =1+sum from k=1 to n-1 a_k =1+sum from k=1 to n-1 k }``]

[eqn: { =1+{ LEFT ( n-1 RIGHT )n}over{2} ={n^2 -n +2}over{2} }``]

또, [eqn: { c_n+1 -c_n =b_n LEFT ( n=1,`2,`3,cdots RIGHT ) }``]이므로 수열[eqn: { left{b_n right} }``]은 수열[eqn: { left{c_n right} }``]의 계차수열이다.

[eqn: { therefore~c_25 =1+sum from k=1 to 25 b_k }``]

[eqn: { =1+{1}over{2} sum from k=1 to 24 LEFT ( k^2 -k +2 RIGHT ) }``]

[eqn: { =1+{1}over{2} LEFT ( {24cdot25cdot49}over{6} -{24cdot25}over{2} +2cdot24 RIGHT ) }``]

[eqn: { =2325 }``]

94  ②

답

해

설

한 자리의 수는 [eqn: { 3 }``]개, 두 자리의 수는 [eqn: { 3^2 }``]개, 세 자리의 수는 [eqn: { 3^3 }``]개, 네 자리의 수는 [eqn: { 3^4 }``]개, ⋯이므로 [eqn: { n }``]자리의 수까지의 총 개수는

[eqn: { 3+3^2 +3^3 +⋯+3^n = {3(3^n -1)} over 3-1 ={3(3^n -1 )} over 2 }``]

이 때, [eqn: { {3(3^4 -1)} over 2 =120,~{3(3^5 -1)}over 2 =363 }``]이므로 제[eqn: { 200 }``]항은 [eqn: { 5 }``]자리의 수 중에서 [eqn: { 80 }``]번째 수이다.

[eqn: { 11113 }``]은 [eqn: { 5 }``]자리의 수 중에서 [eqn: { 3 }``]번째 수, [eqn: { 11133 }``]은 [eqn: { 9 }``]번째 수, [eqn: { 11333 }``]은 [eqn: { 27 }``]번째 수, [eqn: { 13333 }``]은 [eqn: { 81 }``]번째 수이므로 [eqn: { 80 }``]번째 수는 [eqn: { 13332 }``]이다.

95  ①

답

해

설

[eqn: { x }``]의 소수점 아랫부분을

[eqn: { (0,~1),~(0,~0,~1,~1),~(0,~0,~0,~1,~1,~1),~⋯ }``]

과 같이 군수열로 묶으면 제[eqn: { n }``]군에는 [eqn: { n }``]개의 [eqn: { 0 }``]과 [eqn: { 1 }``]이 차례로 나열되므로 제[eqn: { n }``]군의 항수는 [eqn: { 2n }``]이다.

따라서 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { n }``]군까지의 항수는

[eqn: { sum from k=1 ton 2k = 2 cdot{n(n+1)} over 2 =n(n+1) }``]

ㄱ. [eqn: { n=9 }``]일 때, [eqn: { 9cdot10=90 }``]이므로 [eqn: { a_100 }``]은 제[eqn: { 10 }``]군의 [eqn: { 10 }``]번째 수이다. 그런데 제[eqn: { 10 }``]군의 [eqn: { 10 }``]번째 수까지는 모두 [eqn: { 0 }``]이므로 [eqn: { a_100 =0 }``]

ㄴ. [eqn: { n=10 }``]일 때, [eqn: { 10cdot11=110 }``]에서 [eqn: { a_111 }``]은 제[eqn: { 11 }``]군의 첫 번째 수이고, 제[eqn: { 11 }``]군의 [eqn: { 11 }``]번째 수까지는 모두 [eqn: { 0 }``]이므로

[eqn: { a_111 =a_112 =a_113 =⋯=a_120 =0 }``]

[eqn: { therefore~a_111 +a_112 +a_113 +⋯+a_120 =0 }``]

ㄷ. 제[eqn: { n }``]군의 합은 [eqn: { n }``]이므로 제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { 5 }``]군까지의 합은 [eqn: { 15 }``]이다.

제[eqn: { 1 }``]군부터 제[eqn: { 5 }``]군까지의 항의 개수는 [eqn: { 5·6=30 }``]

이 때, 제[eqn: { 6 }``]군의 [eqn: { 6 }``]번째 수까지는 모두 [eqn: { 0 }``]이므로

[eqn: { sum _{k=1} ^{30} a _{k} = sum _{k=1} ^{31} a _{k} = CDOTS = sum _{k=1} ^{36} a _{k} =15 }``]

따라서 [eqn: { n }``]의 최댓값은 [eqn: { 36 }``]이다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

96  [eqn: { 12 }``]

답

해

설

첫 번째 행의 일반행은 [eqn: { 1+(n-1)cdot1 }``]

두 번째 행의 일반행은 [eqn: { 1+(n-1)cdot2 }``]

세 번째 행의 일반행은 [eqn: { 1+(n-1)cdot3 }``]

⋮

[eqn: { k }``]번째 행의 일반행은 [eqn: { 1+(n-1)cdotk }``]

따라서 [eqn: { k }``]번째 행에서 [eqn: { 73 }``]이 나타난다고 하면

[eqn: { 1+(n-1)k=73 }``]

[eqn: { therefore~(n-1)k=72 }``]

이 때, [eqn: { n-1,~k }``]는 모두 자연수이므로 [eqn: { 73 }``]이 나타나는 횟수는 [eqn: { 72 }``]의 양의 약수의 개수와 같다.

[eqn: { 72=2^3 times 3^2 }``]이므로 [eqn: { 72 }``]의 양의 약수의 개수는

[eqn: { (3+1)(2+1)=12 }``]

따라서 [eqn: { 73 }``]은 [eqn: { 12 }``]번 나타난다.

97  [eqn: { 150 }``]

답

해

설

방정식 [eqn: { f LEFT ( x RIGHT ) =0 }``]의 해는 함수 [eqn: { y=f LEFT ( x RIGHT ) }``]의 그래프와 [eqn: { x }``]축의 교점의 [eqn: { x }``]좌표와 같으므로 다음 그림에서 [eqn: { x=1 }``]

[eqn: { THEREFORE ```a _{1} =1 }``]

[eqn: { f ^{2} LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =0 }``]에서 [eqn: { f LEFT ( x RIGHT ) =1 }``]이므로

[eqn: { x=0 }``]또는 [eqn: { x=2 }``]

[eqn: { THEREFORE ```a _{2} =2 }``]

[eqn: { f ^{3} LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT ) =0 }``]에서 [eqn: { f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =1 }``]이므로

[eqn: { f LEFT ( x RIGHT ) =0 }``]또는 [eqn: { f LEFT ( x RIGHT ) =2 }``]

이때, 함수 [eqn: { y=f LEFT ( x RIGHT ) }``]의 그래프는 직선 [eqn: { y=0 }``]과 [eqn: { x=1 }``]에서 만나고, 직선 [eqn: { y=2 }``]와 만나지 않으므로 [eqn: { a _{3} =1 }``]

같은 방법으로 하면  [eqn: { a _{4} =2,```a _{5} =1,```a _{6} =2,``` CDOTS }``]

[eqn: { THEREFORE ```a _{2n-1} =1,```a _{2n} =2 }``]

[eqn: { THEREFORE ``` sum _{n=1} ^{100} a _{n} = sum _{n=1} ^{50} a _{2n-1} + sum _{n=1} ^{50} a _{2n} }``]

[eqn: { =50+100=150 }``]

98  [eqn: { 447 }``]

답

해

설

연속된 두 자연수의 곱은 짝수이므로 [eqn: { n LEFT ( n+1 RIGHT ) }``]은 짝수이고,

[eqn: { LEFT ( n+3 RIGHT ) LEFT { LEFT ( n+3 RIGHT ) +1 RIGHT } =n LEFT ( n+1 RIGHT ) +6 LEFT ( n+2 RIGHT ) }``]이므로

[eqn: { a _{n+3} =a _{n} }``]

또, [eqn: { a _{1} =2,```a _{2} =0,```a _{3} =0 }``]이므로

[eqn: { sum _{k=1} ^{3n-2} a _{k} = sum _{k=1} ^{3n-1} a _{k} = sum _{k=1} ^{3n} a _{k} =2n }``]

따라서 [eqn: { sum _{k=1} ^{148} a _{k} = sum _{k=1} ^{149} a _{k} = sum _{k=1} ^{150} a _{k} =100 }``]이므로 구하는 합은  [eqn: { 148+149+150=447 }``]

99  [eqn: { 1103 }``]

답

해

설

[eqn: { na _{1} + LEFT ( n-1 RIGHT ) a _{2} + LEFT ( n-2 RIGHT ) a _{3} + CDOTS +2a _{n-1} +a _{n} }``]

[eqn: { =n ^{3} -n ^{2} +n }``]                            [eqn: { CDOTS CDOTS ㉠ }``]

[eqn: { n }``]대신 [eqn: { n-1 }``]을 대입하면

[eqn: { LEFT ( n-1 RIGHT ) a _{1} + LEFT ( n-2 RIGHT ) a _{2} + LEFT ( n-3 RIGHT ) a _{3} + CDOTS +2a _{n-2} +a _{n-1} }``]

[eqn: { = LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{3} - LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) }``]            [eqn: { CDOTS CDOTS ㉡ }``]

[eqn: { ㉠-㉡ }``]을 하면	[eqn: { a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n-1} +a _{n} =3n ^{2} -5n+3 }``]

즉, [eqn: { sum _{k=1} ^{n} a _{k} =3n ^{2} -5n+3 }``]이므로

[eqn: { sum _{k=1} ^{20} a _{k} =3·20 ^{2} -5·20+3=1103 }``]

100

답

해

설

제[eqn: { 10 }``]항의 분자는

[eqn: { sum _{k=1} ^{11} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) =2· {11·12} over {2} -11=121 }``]

제[eqn: { 10 }``]항의 분모는

[eqn: { sum _{k=1} ^{11} LEFT { LEFT ( 2·10+1 RIGHT ) +2 LEFT ( k-1 RIGHT ) RIGHT } = sum _{k=1} ^{11} LEFT ( 2k+19 RIGHT ) }``]

[eqn: { =2· {11·12} over {2} +19·11 }``]

[eqn: { =341 }``]

따라서 제[eqn: { 10 }``]항은 [eqn: { {121} over {341} = {11} over {31} }``]이므로

[eqn: { p=31,```q=11 }``]

[eqn: { THEREFORE ```p+q=42 }``]

101  [eqn: { 63 }``]

답

해

설

주어진 수열을

[eqn: { LEFT ( {1} over {2 ^{2}} ,``` {3} over {2 ^{2}} RIGHT ) ,``` LEFT ( {1} over {2 ^{3}} ,``` {3} over {2 ^{3}} ,``` {5} over {2 ^{3}} ,``` {7} over {2 ^{3}} RIGHT ) , }``]	[eqn: { LEFT ( {1} over {2 ^{4}} ,``` {3} over {2 ^{4}} ,``` {5} over {2 ^{4}} ,``` CDOTS ,``` {15} over {2 ^{4}} RIGHT ) ,``` CDOTS }``]

와 같이 분모가 같은 것끼리 묶은 군수열로 생각하면 제[eqn: { n }``]군의 항의 개수는 [eqn: { 2 ^{n} }``]이므로 제[eqn: 1]군부터 제[eqn: n]군까지의 항의 개수는

[eqn: sum _{k=1} ^{n} 2 ^{k} = {2 LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT )} over {2-1} =2 LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT )]

이 때, [eqn: 2 LEFT ( 2 ^{6} -1 RIGHT ) =126]이므로 제[eqn: 1]군부터 제[eqn: 6]군까지의 항의 개수가 [eqn: 126]이다.

따라서 구하는 합은 제[eqn: 1]군부터 제[eqn: 6]군까지의 합이다.

제[eqn: n]군의 분자의 합은

[eqn: sum _{k=1} ^{2 ^{n}} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) =2· {2 ^{n} LEFT ( 2 ^{n} +1 RIGHT )} over {2} -2 ^{n} =2 ^{2n}]

이므로 제[eqn: n]군의 항의 합은 [eqn: {2 ^{2n}} over {2 ^{n+1}} =2 ^{n-1}]

따라서 구하는 합은

[eqn: sum _{n=1} ^{6} 2 ^{n-1} = {2 ^{6} -1} over {2-1} =63]

102  ①

답

103  ②

답

104  ①

답

105  12

답

106   439

답

107  ⑤

답

108  86

답

109  ③

답

110  805

답

111  ②

답

112  676

답

113  ④

답

114  ⑤

답

115  ③

답

116  560

답

117  ③

답

118  ⑤

답

119  ②

답

120  ⑤

답

121  ③

답

122  39

답

123  ⑤

답

124  ①

답

125  ③

답

126  ⑤

답

127  ③

답

128  98

답