수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		1. 등차수열과 등비수열			반 / 번호
	01 수열의 뜻					이름

01 다음 수열에서 제[eqn: 10]항을 구하여라.

⑴ [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: cdots]

⑵ [eqn: 1^2], [eqn: 2^2], [eqn: 3^2], [eqn: 4^2], [eqn: cdots]

⑶ [eqn: { 1} over { 2}], [eqn: { 2} over {3 }], [eqn: { 3} over {4 }], [eqn: { 4} over {5 }], [eqn: cdots]

⑷ [eqn: 1], [eqn: sqrt { 2}], [eqn: sqrt { 3}], [eqn: 2], [eqn: sqrt { 5}], [eqn: cdots]

02 수열 [eqn: 1], [eqn: -4], [eqn: 7], [eqn: -10], [eqn: cdots]에서 제[eqn: 8]항의 값은?

① [eqn: -22]	② [eqn: -19]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 22]

03 수열 [eqn: 1], [eqn: { 3} over {4 }], [eqn: { 5} over {9 }], [eqn: { 7} over {16 }], [eqn: cdots]의 제[eqn: 10]항을 [eqn: {n} over {m }]이라고 할 때, [eqn: m-n]의 값을 구하여라. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소이다.)

① [eqn: 2]개	② [eqn: 3]개	③ [eqn: 4]개

④ [eqn: 5]개	⑤ [eqn: 8]개

04 수열 [eqn: 9], [eqn: 99], [eqn: 999], [eqn: 9999], [eqn: cdots]의 일반항 [eqn: a _{n}]은 [eqn: 10] 미만의 자연수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: a _{n} = alpha times 10^n -beta]로 표현된다. 이때 [eqn: alpha+beta]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

05 다음 수열의 규칙을 알아보고, 제[eqn: 8]항을 구하여라.

⑴ [eqn: left{a_n right}]: [eqn: 1], [eqn: 5], [eqn: 9], [eqn: 13], [eqn: 17], [eqn: 21], [eqn: cdots]

⑵ [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]: [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2 ^{2}], [eqn: 2 ^{3}], [eqn: 2 ^{4}], [eqn: 2 ^{5}], [eqn: cdots]

06 일반항이 다음과 같이 주어진 수열의 제[eqn: 20]항을 구하여라.

⑴ [eqn: a _{n} =10-3n]

⑵ [eqn: b _{n} =n ^{2} +n]

07 다음 수열의 제[eqn: 5]항과 제[eqn: 10]항을 구하여라.

⑴ [eqn: LEFT { n^2 -n right}]              ⑵ [eqn: left{1-(-2)^n right}]

08 다음 수열의 일반항을 구하여라.

⑴ [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: cdots]

⑵ [eqn: 3], [eqn: 33], [eqn: 333], [eqn: 3333], [eqn: 33333], [eqn: cdots]

09 다음 수열의 일반항을 구하여라.

⑴ [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: cdots]

⑵ [eqn: 1], [eqn: 11], [eqn: 111], [eqn: 1111], [eqn: 11111], [eqn: cdots]

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		1. 등차수열과 등비수열			반 / 번호
	02 등차수열					이름

01 제[eqn: 5]항이 [eqn: 4], 제[eqn: 9]항이 [eqn: -20]인 등차수열의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 할 때, [eqn: a+3d]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

02 다음과 같이 주어진 등차수열에서 처음으로 음수가 되는 항은 제 몇 항인가?

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

03 세 수 [eqn: a], [eqn: x], [eqn: b]가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: a], [eqn: y], [eqn: b]의 역수가 등차수열을 이룬다. 이때, [eqn: xy]를 [eqn: a], [eqn: b]를 이용하여 나타낸 것은?

① [eqn: {ab} over {2}]	② [eqn: ab]	③ [eqn: {a+b} over {2}]

④ [eqn: a+b]	⑤ [eqn: {a+b} over {ab}]

04 등차수열 [eqn: LEFT { a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 하면 [eqn: S_10 =40], [eqn: S_20 =120]이다. 이때, [eqn: S_40]의 값은?

① [eqn: 240]	② [eqn: 320]	③ [eqn: 360]

④ [eqn: 400]	⑤ [eqn: 480]

05 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n =an^2 -2n]이고, 첫째항부터 제[eqn: 4]항까지의 합이 [eqn: 40]일 때, 일반항 [eqn: a_n]을 구하여라.

06 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n =-2n^2 +n+3]일 때, 다음 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: a_1 =2]

ㄴ. 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항부터 등차수열을 이룬다.

ㄷ. [eqn: S_n]은 [eqn: n=2]일 때 최댓값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

07 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =200], [eqn: a_200 =1]일 때, [eqn: a _{1} ^{2} -a _{2} ^{2} +a _{3} ^{2} -a _{4} ^{2} +cdots+a _{199} ^{2} -a _{200} ^{2}]의 값은?

① [eqn: 20000]	② [eqn: 20100]	③ [eqn: 20200]

④ [eqn: 21000]	⑤ [eqn: 22000]

08 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +kx+k+1=0]의 세 근이 등차수열을 이룰 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

09 오른쪽 그림과 같은 규칙으로 수를 계속 써 나갈 때, [eqn: 113]은 모두 몇 번 나타나는가?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

10 각 항이 모두 양수로 이루어진 수열 [eqn: LEFT { a _{n} right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: 2S_n =a_n + { 9} over {a_n }]가 성립한다. 이때, [eqn: S_25]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

11 다음 그림과 같은 규칙으로 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을 그리고, 각 도형에 외접하는 정삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a_n]이라고 하면 [eqn: LEFT { a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합은 [eqn: a+b sqrt { 3}]이다. 이때, [eqn: a-4b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수)

① [eqn: 160]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 200]

④ [eqn: 220]	⑤ [eqn: 240]

12 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n =n^2 + 2n]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 +a_3 +a_5 +cdots+a_2n-1 =210]을 만족시키는 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

13 다음 그림과 같이 대칭축이 일치하지 않는 두 포물선 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b], [eqn: g(x)=x ^{2} +cx+d]의 교점의 오른쪽에 일정한 간격으로 [eqn: y]축에 평행한 [eqn: 10]개의 선분을 그었다. 이 선분 중 가장 짧은 것의 길이가 [eqn: 3], 가장 긴 것의 길이가 [eqn: 11]일 때, [eqn: 10]개의 선분의 길이의 합을 구하여라.

14 다음을 각각 구하여라.

⑴ 첫째항이 [eqn: 2], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열의 일반항

⑵ 일반항이 [eqn: a_n =-3n+1]인 등차수열의 첫째항과 공차

15 등차수열의 합 [eqn: 1+3+5+cdots+99]를 구하여라.

16 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n =n^2 +3n]인 수열 [eqn: left{ a_n right}]에서 [eqn: a_1], [eqn: a_5]를 각각 구하여라.

17 제[eqn: 4]항이 [eqn: 7], 제[eqn: 7]항이 [eqn: -14]인 등차수열의 제[eqn: 10]항의 값은?

① [eqn: -40]	② [eqn: -35]	③ [eqn: -30]

④ [eqn: -25]	⑤ [eqn: -20]

18 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_2 =-32], [eqn: a_16 =17]일 때, 처음으로 양수가 되는 항은 제□항이다. 이때, □ 안에 알맞은 수를 구하여라.

19 삼차방정식 [eqn: x^3 -9x^2 +kx-6=0]의 세 실근이 등차수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

20 네 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]가 이 순서로 등차수열을 이루고 그 합이 [eqn: 60]이며 [eqn: 2(a+b)=c+d]가 성립할 때, [eqn: d]의 값을 구하여라.

21 수열 [eqn: 9], [eqn: 99], [eqn: 999], [eqn: 9999], [eqn: cdots]의 일반항 [eqn: a_n]은 [eqn: 10] 미만의 자연수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: a_n =alpha times 10^n -beta]로 표현된다. 이때, [eqn: alpha +beta]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

22 세 자리 자연수 가운데 [eqn: 3]의 배수이거나 [eqn: 4]의 배수인 것의 개수는?

① [eqn: 400]개	② [eqn: 425]개	③ [eqn: 450]개

④ [eqn: 475]개	⑤ [eqn: 500]개

23 제[eqn: 3]항이 [eqn: 11], 제[eqn: 8]항이 [eqn: 21]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 처음으로 [eqn: 100]을 넘는 항은 제 몇 항인가?

① 제[eqn: 44]항	② 제[eqn: 46]항	③ 제[eqn: 48]항

④ 제[eqn: 50]항	⑤ 제[eqn: 52]항

24 [eqn: -8]과 [eqn: 27] 사이에 [eqn: 6]개의 수를 넣어서 전체가 등차수열을 이루게 할 때, 넣어야 할 수 중 가장 큰 수는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

25 역수가 등차수열인 수열의 제[eqn: 2]항이 [eqn: { 1} over {3 }], 제[eqn: 5]항이 [eqn: { 1} over { 9}]일 때, 이 수열의 제[eqn: 20]항의 값은?

① [eqn: { 1} over {19 }]	② [eqn: { 1} over {29 }]	③ [eqn: { 1} over {39 }]

④ [eqn: { 1} over { 49}]	⑤ [eqn: { 1} over {59 }]

26 [eqn: 0]이 아닌 두 수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x], [eqn: x+2y], [eqn: 4x]가 이 순서로 등차수열을 이루고, [eqn: y], [eqn: 3x], [eqn: 4]가 이 순서로 역수가 등차수열을 이룰 때, [eqn: xy]의 값을 구하여라.

27 제[eqn: 3]항이 [eqn: 53], 제[eqn: 11]항이 [eqn: 21]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: p]항까지의 합이 최대이고, 그 최댓값은 [eqn: q]이다. 이때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.

28 등차수열 [eqn: left{a_n1 right}]의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합이 [eqn: 200], 제[eqn: 11]항부터 제[eqn: 20]항까지의 합이 [eqn: 400]일 때, 이 수열의 제[eqn: 21]항부터 제[eqn: 30]항까지의 합을 구하여라.

29 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n =an^2 -n]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 제[eqn: 8]항이 [eqn: 29]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

30 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 각각 [eqn: n^2 +alpha n], [eqn: 2n^2 +n]으로 주어진 두 수열의 제[eqn: 8]항이 서로 같을 때, 상수 [eqn: alpha]의 값을 구하여라.

31 역수가 등차수열인 수열의 제[eqn: 6]항이 [eqn: 12]이고 제[eqn: 12]항이 [eqn: 6]일 때, 이 수열의 제[eqn: 18]항의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

32 첫째항이 [eqn: 13], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: 765]일 때, 자연수[eqn: n]의 값을 구하여라.

33 첫째항이 [eqn: 8], 공차가 [eqn: -5]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: |a_1 |+|a_2 | +|a_3 |+cdots+|a_10 |]의 값은?

① [eqn: 138]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 159]

④ [eqn: 167]	⑤ [eqn: 175]

34 두 등차수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{b_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: S_n], [eqn: T_n]이라고 할 때, [eqn: S_n =pn^2], [eqn: T_n =qn^2 +rn]([eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]는 상수)이다. [eqn: a_1 =b_1 +1], [eqn: a_3 =b_3 +5]일 때, [eqn: a_5 =b_5 +□]를 만족하는 □ 안에 알맞은 수는?

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

35 다음과 같은 등차수열에서 첫째항부터 차례로 제[eqn: 5]항까지 나열하여라.

⑴ 첫째항이 [eqn: 5]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열

⑵ 첫째항이 [eqn: 10]이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열

36 다음 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을 구하여라. (단, [eqn: d]는 공차)

⑴ [eqn: a_1 =-5], [eqn: d=2]          ⑵ [eqn: a_1 =15], [eqn: d=-3]

37 다음 수열이 등차수열을 이루도록 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 정하여라.

⑴ [eqn: 3], [eqn: x], [eqn: 11], [eqn: y]               ⑵ [eqn: 23], [eqn: x], [eqn: y`], [eqn: 8]

38 수열 [eqn: 1], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: 2]의 역수가 등차수열을 이루도록 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 정하여라.

39 다음 등차수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하여라.

⑴ [eqn: -5], [eqn: -1], [eqn: 3], [eqn: 7], [eqn: 11], [eqn: cdots]

⑵ [eqn: 11], [eqn: 8], [eqn: 5], [eqn: 2], [eqn: -1], [eqn: cdots]

40 다음 등차수열의 공차를 구하여라.

⑴ 첫째항이 [eqn: 3]이고 제[eqn: 10]항이 [eqn: 66]인 등차수열

⑵ 첫째항이 [eqn: 10]이고 제[eqn: 20]항이 [eqn: -10]인 등차수열

41 [eqn: -3]과 [eqn: 7] 사이에 세 개의 수를 넣어서 전체가 등차수열이 되도록 할 때, 세 개의 수를 구하여라.

42 함수 [eqn: f(x)=2x-1]일 때, 다음과 같은 수열에서 첫째항부터 차례로 제[eqn: 5]항까지 나열하여라.

⑴ [eqn: left{f(n) right}]                     ⑵ [eqn: left{ f(2n) right}]

43 다음 등차수열의 일반항을 구하여라.

⑴ [eqn: -15], [eqn: -10], [eqn: -5], [eqn: 0], [eqn: 5], [eqn: 10], [eqn: cdots]

⑵ [eqn: 17], [eqn: 11], [eqn: 5], [eqn: -1], [eqn: -7], [eqn: cdots]

44 첫째항이 [eqn: 7]이고 공차가 [eqn: -3]인 등차수열에서 [eqn: -41]은 제 몇 항인가?

45 다음 표의 가로줄과 세로줄에 있는 세 수가 각각 등차수열을 이룰 때, [eqn: (a-c)+(b-e)]의 값을 구하여라.

46 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 제[eqn: 5]항이 [eqn: -29]이고 제[eqn: 25]항이 [eqn: 51]일 때, 일반항을 구하여라.

47 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 제[eqn: 3]항이 [eqn: -3]이고 제[eqn: 9]항이 [eqn: 27]일 때, 제[eqn: 25]항을 구하여라.

48 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항이 [eqn: 10]이고 공차가 [eqn: -{ 3} over { 4}]일 때, 다음 물음에 답하여라.

⑴ [eqn: a_n <1]인 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라.

⑵ [eqn: a_1 +a_2 + a_3 +cdots+a_n]의 값이 최대가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.

49 두 등차수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 [eqn: a_n =2n+3], [eqn: b_n =3n+2]일 때, 두 수열에 공통으로 나타나는 수를 작은 것부터 나열한 수열 [eqn: left{c_n right}]의 일반항을 구하여라.

50 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항이 [eqn: -9]이고 공차가 [eqn: { 2} over { 3}]일 때, 다음 물음에 답하여라.

⑴ [eqn: a_n >0]인 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라.

⑵ [eqn: a_1 +a_2 +a_3 + cdots+a_n]의 값이 최소가 되도록 하는 [eqn: n]의 값을 구하여라.

51 두 수열 [eqn: left{5-3n right}], [eqn: left{7-4n right}]에 공통으로 나타나는 수를 차례로 나열하여 만든 수열의 일반항을 구하여라.

52 어느 직각삼각형의 세 변의 길이가 작은 것부터 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 3]이고 이 차례로 등차수열을 이룬다. 이때 이 직각삼각형의 넓이를 구하여라.

53 [eqn: 7]과 [eqn: 15] 사이에 세 개의 수를 넣어서 전체가 등차수열을 이루도록 할 때, [eqn: 7]과 [eqn: 15] 사이에 있는 세 수의 합을 구하여라.

54 이차방정식 [eqn: x^2 -4x -10=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 하면 세 수 [eqn: alpha], [eqn: p], [eqn: beta]는 차례로 등차수열을 이루고 세 수 [eqn: alpha], [eqn: q], [eqn: beta]는 그 역수가 차례로 등차수열을 이룬다. 이때 [eqn: p], [eqn: q]를 두 근으로 하고, 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.

55 다섯 개의 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 6], [eqn: c], [eqn: d]가 이 차례로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a+b+c+d]의 값을 구하여라.

56 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_2 =2], [eqn: a_8 =-16]일 때, 일반항은 [eqn: a_n =An +B]이다. 이때 [eqn: A+2B]의 값을 구하여라.

57 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_7 =70], [eqn: a_10 =61]일 때,처음으로 음이 되는 항은 제 몇 항인가?

58 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_3 =11], [eqn: a_6 : a_10 =5:8]일 때, [eqn: a_20]의 값을 구하여라.

59 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_ 1 +a_5 +a_9 =3], [eqn: a_8 +a_10 +a_12 =12]가 성립할 때, [eqn: a_5 +a_10]의 값을 구하여라.

60 [eqn: -9]와 [eqn: 16]사이에 세 수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]를 넣어서 만든 수열 [eqn: -9], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: 16]이 등차수열이 되도록 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 값을 정하여라.

61 두 수 [eqn: { 1} over {23 }]과 [eqn: { 1} over {11 }] 사이에 세 개의 수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]를 넣으면 다섯 개의 수의 역수가 차례로 등차수열을 이룬다고 한다. 이때 [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} + {1} over {z}]의 값을 구하여라.

62 등차수열을 이루는 세 수가 있다. 그 합이 [eqn: 15]이고 제곱의 합이 [eqn: 93]일 때, 세 수의 곱을 구하여라.

63 두 수 [eqn: 1]과 [eqn: 10] 사이에 [eqn: n]개의 수 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: cdots], [eqn: a _{n}]을 넣어서 만든 수열 [eqn: 1], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: cdots], [eqn: a _{n}], [eqn: 10]이 등차수열을 이룰 때, 다음 중 이 수열의 공차가 될 수 없는 것은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {10}]

64 [eqn: ANGLE rm C =90DEG]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]의 세 변의 길이는 공차가 [eqn: d]인 등차수열을 이룬다고 한다. 이 삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R], 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라고 할 때, 다음 중 옳은 것은?

① [eqn: d=r]	② [eqn: d>r]	③ [eqn: d<r]

④ [eqn: d=R-r]	⑤ [eqn: d>R-r]

65 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_1 =98], [eqn: a_13 =89]이다. [eqn: S=a_n +a_n+1 +a_n+2 +a_n+3]일 때, [eqn: |`S``|]의 최솟값을 구하여라.

66 [eqn: ANGLE rm C =90DEG]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]의 꼭짓점 [eqn: rm C]에서 빗변 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라고 하자.[eqn: triangle rm ADC], [eqn: triangle rm CDB], [eqn: triangle rm ABC]의 넓이가 이 차례로 등차수열을 이룰 때, [eqn: cosB]의 값을 구하여라.

67 삼차방정식 [eqn: x^3 -6x^2 +11x +k =0]의 세 근이 등차수열을 이룰 때, [eqn: k]의 값을 구하여라.

68 방정식 [eqn: 3x^4 -5(a+1)x^2 +3a^2 =0]의 네 실근이 등차수열을 이룬다고 한다. 이때 [eqn: a]의 값들의 합을 구하여라.

69 제[eqn: 1]권부터 제[eqn: 7]권까지 일곱 권의 시리즈로 된 책이 있다. 각 권은 [eqn: 9]년 간격으로 발행되었으며 제[eqn: 7]권이 발행되던 해 일곱 권의 발행연도의 합은 [eqn: 13601]년이었다. 제[eqn: 5]권의 발행연도를 구하여라.

70 연속한 [eqn: 9]개의 자연수의 합으로 나타낼 수 있고, 연속한 [eqn: 10]개의 자연수의 합으로도 나타낼 수 있으며, 연속한 [eqn: 11]개의 자연수의 합으로도 나타낼 수 있는 수 중 가장 작은 자연수를 구하여라.

71 다음을 구하여라.

⑴ [eqn: 1+2+3+cdots+20]의 값

⑵ 등차수열 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: cdots]에서 첫째항부터 제[eqn: 17]항까지의 합

72 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n =n^2]일 때, [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4], [eqn: a_5]의 값을 각각 구하여라.

73 다음 등차수열에서 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합을 구하여라.

⑴ [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: cdots]

⑵ [eqn: 2], [eqn: { 3} over {2 }], [eqn: 1], [eqn: { 1} over {2 }], [eqn: 0], [eqn: -{ 1} over {2 }], [eqn: cdots]

74 [eqn: 10]과 [eqn: 20] 사이에 [eqn: 10]개의 수 [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots], [eqn: x_10]을 넣어서 등차수열 [eqn: 10,] [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots], [eqn: x_10], [eqn: 20]을 만들 때, 이 수열의 합을 구하여라.

75 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항이 [eqn: a_n =2n-5]일 때, 이 수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구하여라.

76 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n =n^2 +2n]으로 주어질 때, 다음을 구하여라.

⑴ [eqn: a_1]           ⑵ [eqn: a_10]           ⑶ [eqn: a_n]

77 등차수열에서 첫째항이 [eqn: 2]이고, 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합이 [eqn: 610]일 때, 이 수열의 공차를 구하여라.

78 수직선 위의 두 점 [eqn: rm P(1)], [eqn: rm Q(9)]를 잇는 선분 [eqn: rm PQ]를 [eqn: 10]등분하는 점의 좌표를 차례로 [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots], [eqn: x_9]라고 할 때, [eqn: x_1 +x_2 +x_3 +cdots+x_9]의 값을 구하여라.

79 세 자리의 자연수 중에서 [eqn: 8]의 배수는 모두 몇 개인가? 또 이들의 합을 구하여라.

80 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: S_n =n(n-4)]로 주어질 때, 다음을 구하여라.

⑴ [eqn: a_1]           ⑵ [eqn: a_20]           ⑶ [eqn: a_n]

81 다음 그림과 같이 밑변의 길이, 높이가 각각 [eqn: 8], [eqn: 6]인 직각삼각형의 내부에 높이와 평행한 [eqn: 10]개의 선분을 일정한 간격으로 그을 때, 이 [eqn: 10]개의 선분의 길이의 총합을 구하여라.

82 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_6 =42], [eqn: a_12 =78]이고 [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_k =264]일 때, [eqn: k]의 값을 구하여라.

83 수열 [eqn: 8], [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_n], [eqn: 30]이 등차수열을 이루고 합이 [eqn: 228]일 때, 공차 [eqn: d]와 [eqn: n]의 값의 합을 구하여라.

84 둘째항이 [eqn: 8], 제[eqn: 10]항이 [eqn: 24]인 등차수열에서 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합을 구하여라.

85 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: S_10 =10], [eqn: S_20 =40]이다. 이때 [eqn: S_30]의 값을 구하여라.

86 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: S _{5} =1], [eqn: S _{10} =10]이다. 이때 다음 값을 구하여라.

⑴ [eqn: a_6 +a_7 +a_8 +a_9 +a_10]

⑵ [eqn: a_11 + a_12 + a_13 +a_14 +a_15]

⑶ [eqn: S_15]

87 첫째항이 [eqn: 50], 공차가 [eqn: -4]인 등차수열은 첫째항부터 제 몇 항까지의 합이 최대가 되는가? 또 그 최댓값을 구하여라.

88 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항은 [eqn: 120]이고 공차는 [eqn: -16]이다. 이때 [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_n <0]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라.

89 첫째항이 [eqn: -5], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열은 첫째항부터 제 몇 항까지의 합이 최소가 되는가? 또 그 최솟값을 구하여라.

90 첫째항이 [eqn: 7]인 등차수열에서 첫째항부터 셋째항까지의 합과 첫째항부터 제[eqn: 5]항까지의 합이 같다고 한다. 이때 이 수열의 첫째항부터 제 몇 항까지의 합이 처음으로 음수가 되는가?

91 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 다음과 같이 주어질 때, 일반항 [eqn: a_n]을 구하여라.

⑴ [eqn: S_n =n^2 +3n]           ⑵ [eqn: S_n =(n+1) ^2]

92 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 다음과 같이 주어질 때, 일반항 [eqn: a_n]을 구하여라.

⑴ [eqn: S _{n} =2n ^{2} +n]           ⑵ [eqn: S _{n} =2n ^{2} +n+1]

93 다음을 계산하여라.

[eqn: 100 ^{2} -99 ^{2} +98 ^{2} -97 ^{2} +cdots+2 ^{2} -1 ^{2}]

94 첫째항이 [eqn: 5]이고, 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합이 [eqn: 230]인 등차수열에서 첫째항부터 제[eqn: 30]항까지의 합을 구하여라.

95 어떤 등차수열에서 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합이 [eqn: 145], 그 다음 [eqn: 10]개의 항의 합이 [eqn: 445]이다. 이때 그 다음 [eqn: 10]개의 항의 합을 구하여라.

96 다음 그림과 같이 같은 간격으로 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]을 연겨랗는 평행한 선분 [eqn: 10]개를 긋고 그 길이를 차례로 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{10}]이라고 하자. [eqn: a _{1} =5], [eqn: a _{10} =10]일 때 [eqn: a _{1} +a _{2} +cdots+a _{10}]의 값을 구하여라.

97 등차수열 [eqn: b _{1}], [eqn: b _{2}], [eqn: b _{3}], [eqn: cdots], [eqn: b _{47}]에서 홀수 번째 항들의 합이 [eqn: 240]일 때, 첫째항부터 제[eqn: 47]항까지의 합은?

① [eqn: 470]	② [eqn: 480]	③ [eqn: 490]

④ [eqn: 500]	⑤ [eqn: 510]

98 등차수열 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: cdots], [eqn: a _{2n-1}]에서 홀수 번째 항들의 합을 [eqn: S _{1}]이라 하고, 짝수 번째 항들의 합을 [eqn: S _{2}]라고 할 때, [eqn: S _{1} :S _{2}]를 구하여라.

99 첫째항이 [eqn: -4]이고, 공차가 [eqn: 1]인 등차수열에서 첫째항부터 제[eqn: p]항까지의 합과 첫째항부터 제[eqn: q]항까지의 합이 같을 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p!=q])

100 어떤 볼록 [eqn: n]각형의 내각의 크기는 공차가 [eqn: 5DEG]인 등차수열을 이루고 그 최속각의 크기는 [eqn: 120DEG]이다. 이때, [eqn: n]의 값을 구하여라. (단, [eqn: n<15])

101 양의 정수 [eqn: m], [eqn: n]([eqn: m<n<20])에 대하여 [eqn: m]에서 [eqn: n]까지의 모든 정수의 합이 [eqn: 100]일 때, [eqn: m+n]의 값을 구하여라.

102 첫째항이 [eqn: m], 공차가 [eqn: 1]인 등차수열에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: 50]일 때, [eqn: m+n]의 값을 구하여라. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 자연수, [eqn: m leq 10])

103 두 등차수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: A_n], [eqn: B_n]이라고 하자. [eqn: A_n : B_n =(3n+6):(7n+2)]일 때, [eqn: { a_7} over {b_7 }]의 값을 구하여라.

104 [eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수를 적은 다음, 이 중에서 하나를 지우고 남은 수들의 평균을 계산하였더니 [eqn: 6.4]이었다. 이때 지운 수를 구하여라.

105 [eqn: n]이 정수일 때 [eqn: S=|n-1|+|n-2|+cdots+|n-100|]의 최솟값을 구하여라.

106 어느 음악당에 다음 그림과 같이 [eqn: rm A]열부터 [eqn: rm T]열까지 [eqn: 1``rmm] 간격으로 [eqn: 20]열의 좌석이 배치되어 있다. [eqn: rm A]열의 좌석수는 [eqn: 30]석이며 각 열의 좌석 수는 그 열의 길이에 비례할 때 전체의 좌석 수를 구하여라.

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		1. 등차수열과 등비수열			반 / 번호
	03 등비수열					이름

01 다음 등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 구하여라.

⑴ [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 18], [eqn: cdots]

⑵ [eqn: 1], [eqn: -2], [eqn: 4], [eqn: -8], [eqn: cdots]

⑶ [eqn: sqrt { 2} +1], [eqn: 1], [eqn: sqrt { 2}-1], [eqn: 3-2 sqrt { 2}], [eqn: cdots]

⑷ [eqn: { a_n+1} over {a_n }=-2] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])

02 다음 등비수열의  안에 알맞은 수를 구하여라.

⑴ [eqn: 488], , , [eqn: 61],

⑵ [eqn: 3], , , [eqn: -24],

03 일반항이 [eqn: a_n =4 cdot 3^n-1]인 등비수열에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구하여라.

04 각 항이 양수인 등비수열에서 제[eqn: 3]항이 [eqn: 12], 제[eqn: 7]항이 [eqn: 192]일 대, 다음 물음에 답하여라.

⑴ 이 수열의 일반항을 구하여라.

⑵ 이 수열에서 처음으로 [eqn: 3000]을 넘는 항은 제 몇 항인가?

05 네 양수 [eqn: 4], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 12]에서 [eqn: 4], [eqn: a], [eqn: b]는 이 순서로 등비수열을 이루고 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 12]는 이 순서로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

06 공비가 실수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 +a_2 +a_3 =6], [eqn: a_4 +a_5 +a_6 =48]이 성립할 때, [eqn: a_2 +a_4 +a_6]의 값을 구하여라.

07 첫째항이 [eqn: a]([eqn: a!=0]), 공비가 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: {a_5 +a_7 +a_9 +a_11 +a_13} over {a_2 +a_4 +a_6 +a_8 +a_10 }]의 값을 구하여라.

08 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 수열 [eqn: left{7`a_n +a_n+1 right}]이 첫째항이 [eqn: 18], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열일 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]의 제[eqn: 2]항은?

① [eqn: 2]                  ② [eqn: 4]                ③ [eqn: 8]
④ [eqn: 18]                 ⑤ [eqn: 36]

09 첫째항이 [eqn: root3 of 5], 제[eqn: 3]항이 [eqn: 5]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에서 제[eqn: 3]항 이후에 처음으로 정수가 되는 항은 제 몇 항인지 구하여라.

10 두 수 [eqn: 1`]과 [eqn: 100`] 사이에 네 수 [eqn: a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,~a_4 `]를 넣어서 [eqn: 1,~a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,~a_4 ,~100`]이 순서로 등비수열을 이루도록 할 때, [eqn: 10 `log `a_3 `]의 값은?

① [eqn: 11]                ② [eqn: 12]              ③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]                ⑤ [eqn: 15]

11 다항식 [eqn: f`(x)=x^2 +2x+a`]를 일차식 [eqn: x+1], [eqn: x-1], [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R_1 ,~R_2 ,~R_3]이라 할 때, [eqn: R_1 ,~R_2 ,~R_3]은 이 순서로 등비수열을 이룬다. 이때 상수 [eqn: a`]의 값을 구하여라.

12 한 자리의 자연수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 세 수 [eqn: 0. dota], [eqn: 0.0 dotb], [eqn: 0.00dotc]가 이순서로 등비수열을 이룬다고 한다. 이때 [eqn: a,~b,~c]의 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]의 개수를 구하여라. (단, [eqn: a<b<c])

13 네 양수 [eqn: 2,~a,~b,~12`]에 대하여 [eqn: 2,~a,~b`]는 이 순서로 등비수열을 이루고, [eqn: a,~b,~12`]는 이 순서로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하여라.

14 [eqn: 0]이 아닌 서로 다른 세 실수 [eqn: a,~b,~c`]에 대하여 [eqn: 1overa], [eqn: 1over b], [eqn: 1 overc]이 이 순서로 조화수열을 이루고, [eqn: b,~a,~c`]가 이 순서로 등비수열을 이룬다. 세 수의 곱이 [eqn: 27`]일 때, [eqn: a+2b+3c`]의 값은?

① [eqn: -20]           ② [eqn: -19]           ③ [eqn: -18]
④ [eqn: -17]           ⑤ [eqn: -16]

15 서로 다른 세 실수 [eqn: 20], [eqn: x-9], [eqn: y+3]은 이 순서로 등차수열을 이루고, [eqn: x-9], [eqn: y+3], [eqn: 2]는 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 두 양수 [eqn: x,~y]의 곱 [eqn: xy]의 값을 구하여라.

16 등비수열을 이루는 세 실수의 합이 [eqn: 7`]이고 곱이 [eqn: 8`]일 때, 세 수 중 가장 큰 수는?

① [eqn: 2]                 ② [eqn: { 5`} over {2` }]               ③ [eqn: 3]
④ [eqn: { 7`} over { 2`}]                ⑤ [eqn: 4]

17 삼차방정식 [eqn: x^3 -px^2 +156x-216=0`]의 세 근이 등비수열을 이룰 때, 상수 [eqn: p`]의 값을 구하여라.

18 두 곡선 [eqn: y=x^3 -2x^2 -6x], [eqn: y=x^2 +k`]가 서로 다른 세 점에서 만나고, 교점의 [eqn: x`]좌표가 등비수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: k!=0])

① [eqn: -2]           ② [eqn: -4]            ③ [eqn: -6]
④ [eqn: -8]           ⑤ [eqn: -10]

19 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정삼각형 모양의 종이가 있다. 다음 그림과 같이 [eqn: 1`]회의 시행에서 각 변의 중점을 이어서 만든 정삼각형을 오려내고, [eqn: 2`]회 시행에서는 [eqn: 1`]회 시행 후 남은 [eqn: 3`]개의 작은 정삼각형에서 같은 방법으로 만든 정삼각형을 오려낸다. 이와 같은 시행을 [eqn: 10`]회 반복한 후 남아 있는 종이의 넓이는?

① [eqn: LEFT ( { 3`} over { 4`} RIGHT ) ^10]           ② [eqn: SQRT { 3`} LEFT ( { 3`} over { 4`} RIGHT ) ^10]

③ [eqn: 3 LEFT ( { 3`} over { 4`} RIGHT ) ^10]          ④ [eqn: SQRT { 3`} LEFT ( { 3`} over { 4`} RIGHT ) ^9]

⑤ [eqn: 3 LEFT ( { 3`} over { 4`} RIGHT ) ^9]

20 넓이가 [eqn: 4`]인 정사각형 모양의 종이에서 다음 그림과 같이 각 변의 중점을 이어 정사각형을 만든 후, 정사각형 이외의 부분을 오려낸다. 이와 같은 시행을 [eqn: n`]번 반복하면 남아 있는 정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: a^2-n `]이라 할 때, 실수 [eqn: a`]의 값을 구하여라.

21 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정사각형이 있다. 첫 번째 시행에서 다음 그림과 같이 정사각형을 [eqn: 9`]등분하여 그림과 같이 정사각형을 버린다. 두 번째 시행에서는 첫 번째 시행의 결과로 남은 나머지 [eqn: 8`]개의 정사각형을 각각 [eqn: 9`]등분하여 중앙의 정사각형을 버린다. 이와 같은 시행을 [eqn: 20`]번 반복했을 때, 남아 있는 도형의 넓이를 구하여라.

22 점 [eqn: rm P_1]의 좌표가 [eqn: (1,~0)]일 때, 다음 그림과 같이 점 [eqn: rm P_1]에서 직선 [eqn: y = x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P_2], 점 [eqn: rm P_2]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P_3], 점 [eqn: rm P_3]에서 직선 [eqn: y = - x]에 내린 수선의발을 [eqn: rm P_4], 점 [eqn: rm P_4]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P_5]라 하자. 이와 같은 시행을 반복할 때, 길이가 [eqn: left( 1 over 2 right)^10]인 선분은?

① [eqn: rm bar { P_9 P_10 }]           ② [eqn: rm bar{P_10 P_11}]

③ [eqn: rm bar{P_11 P_12 }]           ④ [eqn: rm bar{P_20 P_21 }]

⑤ [eqn: rm bar{P_21 P_22 }]

23 [eqn: A`]도시의 인구는 매년 일정한 비율로 증가하여 [eqn: 10`]년 후에는 [eqn: 36`]만 명, [eqn: 20`]년 후에는 [eqn: 81]만 명이 될 것으로 예상된다. 이 때, [eqn: A`]도시의 [eqn: 15`]년 후의 인구는 얼마가 될 것으로 예상할 수 있겠는가?

① [eqn: 51]만 명           ② [eqn: 53]만 명

③ [eqn: 54]만 명           ④ [eqn: 55]만 명

⑤ [eqn: 57]만 명

24 어떤 박테리아의 개체 수는 [eqn: 1`]시간마다 [eqn: r`]배 증가한다. 이 박테리아 [eqn: 1000`]마리를 관찰한 결과 [eqn: 4`]시간 후에 [eqn: 8000`]마리로 증가하였을 때, 실수 [eqn: r`]의 값을 구하여라.

25 [eqn: rm A,~B] 두 사람은 각각 같은 농도의 식염수를 [eqn: rm 10L]씩 가지고 있다. [eqn: rm A]는 식염수 [eqn: rm 5L]을 버리고 물 [eqn: rm 5L]를 넣는 시행을 반복하고, [eqn: rm B]는 식염수 [eqn: rm 7.5 L]를 버리고 물 [eqn: rm 7.5L]를 넣는 시행을 반복한다. [eqn: rm A,~B]가 이와 같은 시행을 각각 [eqn: p]번, [eqn: q]번 반복하여 얻은 식염수의 농도가 서로 같을 때, [eqn: p~:~q]를 구하여라.

26 각 항이 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } `]에서 제 [eqn: 3`]항이 [eqn: 6`]이고 제 [eqn: 7`]항이 [eqn: 24`]일 때, [eqn: a_ 1 `^2 +a_2 `^ 2 +a_3 `^2 +cdots +{a_10 }`^2`]의 값은?

① [eqn: 3(2^9 -1 )]           ② [eqn: 3(2^10 -1 )]

③ [eqn: 9(2^9 -1 )]           ④ [eqn: 9(2^10 -1 )]

⑤ [eqn: 9 cdot 2^10]

27 함수 [eqn: f(x)= x^10 +x^9 + cdots +x+1]에 대하여 [eqn: (f circ f)(1)]의 값은?

① [eqn: 1over9 (10^9 -1)]           ② [eqn: 1over9 (10^10 -1)]

③ [eqn: 1over9 (10^11 -1)]           ④ [eqn: 1over10 (11^10 -1)]

⑤ [eqn: 1over10 (11^11 -1)]

28 등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합이 [eqn: S_n]에 대하여 [eqn: S_n =30], [eqn: S_2n =50]이다. 이때 [eqn: S_3n]의 값은?

① [eqn: { 181`} over {3` }]           ② [eqn: { 185`} over {3` }]           ③ [eqn: { 187`} over {3` }]
④ [eqn: 63]             ⑤ [eqn: { 190`} over {3` }]

29 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
[eqn: a_1 +a_2 + a_3 + cdots +a_10 =12], [eqn: a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +a_9 =8]
일 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비는?

① [eqn: 1over4]           ② [eqn: 1over2]           ③ [eqn: 3over2]
④ [eqn: 2]            ⑤ [eqn: 4]

30 공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } `]에서
[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +cdots +a_10 =20`], [eqn: a_11 +a_12 + cdots + a_20 =640`]
일 때, 공비를 구하여라.

31 첫째항이 [eqn: 1]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에서
[eqn: a_2 +a_4 + cdots +a_2k =170], [eqn: a_1 +a_3 + cdots + a_2k-1 =85]
를 만족시키는 [eqn: k]의 값을 구하여라.

32 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_n = 2^n+1 -2]이다. 이때 [eqn: a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +a_9]의 값을 구하여라.

33 수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } `]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n `]이라 하면 [eqn: S_n =2 cdot 3^n +k`]가 성립한다. 이 때, 수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } `]이 첫째항부터 등비수열을 이루도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하여라.

34 첫째항이 [eqn: 1`], 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b_n `RIGHT } `]을 [eqn: b_n ={a_2n }^2 `]으로 정의하면 수열 [eqn: LEFT { b_n `RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: b`], 공비가 [eqn: r`]인 등비수열이다. 이 때, 실수 [eqn: b,``r`]의 합 [eqn: b+r`]의 값은?

① [eqn: 3]                  ② [eqn: 5]                ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 17]                 ⑤ [eqn: 20]

35 수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } `]이 첫째항이 [eqn: 1`], 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열일 때, 수열 [eqn: LEFT { 3^a_n `RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: 8]항까지의 합을 구하여라.

36 의학 기술이 발달되어 에이즈에 감염되는 사람의 수가 매년 일정한 비율로 감소한다고 하자. [eqn: 2011`]년부터 [eqn: 2030`]년까지 [eqn: 20`]년 동안은 [eqn: 50`]만 명의 새로운 에이즈 환자가 발생하였고, 이 중 [eqn: 10`]만 명은 [eqn: 2021`]년부터 [eqn: 2030`]년까지의 [eqn: 10`]년 동안에 발생했다고 할 때, [eqn: 2031]년에 발생하는 새로운 환자의 수는 [eqn: 2011`]년에 발생한 새로운 환자의 수의 몇 배인가?

① [eqn: { 1`} over {3` }]                ② [eqn: { 1`} over {4` }]             ③ [eqn: { 1`} over {6` }]
④ [eqn: { 1`} over {8` }]                ⑤ [eqn: { 1`} over {16` }]

37 영은이의 부모님은 매년 말에 일정한 금액을 적립하여 [eqn: 3]년 후에 영은이의 대학 등록금 [eqn: 300]만 원을 마련하려고 한다. 연이율이 [eqn: 5%]이고 [eqn: 1]년마다 복리로 계산할 때, 매년 얼마씩 적립하여야 하는가? (단, [eqn: 1.05^2 = 1.16]으로 계산한다.)

① [eqn: 930000]원          ② [eqn: 932500]원

③ [eqn: 935000]원          ④ [eqn: 937500]원

⑤ [eqn: 940000]원

38 월이율 [eqn: 1`%`], 한 달마다 복리로 매월 초 [eqn: 10000`]원씩 적립할 때, [eqn: 3`]년 후의 원리합계는? (단, [eqn: 1.01^36 =1.4`]로 계산한다.)

① [eqn: 360000`]원          ② [eqn: 396000`]원

③ [eqn: 404000`]원       ④ [eqn: 440000`]원

⑤ [eqn: 460000`]원

39 어느 직장인이 노후 생활을 위하여 연봉의 일부를 매년 초 저금하는데 임금 인상률을 감안하여 매년 전년도보다 [eqn: 10%]씩 증액하여 저금하려고 한다. [eqn: 2010]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일부터 [eqn: 500]만 원을 저금하기 시작한다면 [eqn: 2019]년 [eqn: 12]월 [eqn: 31]일까지 저금한 금액의 원리합계를 구하여라. (단, [eqn: 1.1^10 = 2.6], 연이율 10%, [eqn: 1]년마다 복리로 계산한다.)

40 이달 초 가격이 [eqn: 20`]만 원인 물건을 할부로 구입하고 이달 말부터 매달 일정한 금액을 [eqn: 12`]개월에 걸쳐 갚는다면 매달 얼마씩 갚아야 하는가? (단, [eqn: 1.015^12 =1.2`], 월이율은 [eqn: 1.5`%`], [eqn: 1`]개월마다 복리로 계산한다.)

① [eqn: 17000`]원              ② [eqn: 18000`]원

③ [eqn: 19000`]원              ④ [eqn: 20000`]원

⑤ [eqn: 21000`]원

41 올해부터 매년 말에 [eqn: 500`]만 원씩 [eqn: 10`]년간 받는 연금이 있다. 이 연금을 올해 초에 한꺼번에 받는다면 약 얼마를 받게 되는가? (단, [eqn: 1.05^10 =1.63`], 연이율 [eqn: 5`%`], [eqn: 1`]년마다 복리로 계산하고 [eqn: 1000`]원 미만은 버린다.)

① [eqn: 3857`]만 원          ② [eqn: 3865`]만 원

③ [eqn: 3872`]만 원         ④ [eqn: 3884`]만 원

⑤ [eqn: 3891`]만 원

42  [eqn: rm A]는 퇴직금으로 [eqn: 1]억 [eqn: 8]천만 원을 받을 예정인데 이 돈을 은행에 예치하고 매년 말에 일정한 금액씩 연금 형식으로 받으려고 한다. 퇴직금을 모두 [eqn: 1]월 초에 은행에 예치하고, 연말부터 [eqn: 12]년간 지급받는 다면 매년 받을 금액은 얼마인지 구하여라. (단, [eqn: 1.06^12 = 2], 연이율 [eqn: 6%], [eqn: 1]년마다 복리로 계산한다.)

43 [eqn: 2000`]만 원짜리 자동차를 구입하는데 [eqn: 1000`]만 원은 구입시 현금으로 지불하고 나머지 [eqn: 1000`]만 원은 할부로 지불하기로 하였다. 구입 후 [eqn: 1`]개월 후부터 매달 일정한 금액을 [eqn: 36`]회로 나누어 갚는다면 매달 얼마씩 갚아야 하는지 구하여라. (단, [eqn: 1.01^36 =1.4`], 월이율은 [eqn: 1`%`], [eqn: 1`]개월마다 복리로 계산한다.)

44 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
[eqn: 1 overa_1 + 1 over a_2 + 1over a_3 + 1overa_4 + 1overa_5 = 31 over16], [eqn: 1 over {a_2 `a_4} = 1over4]
일 때, [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5]의 값은?

① [eqn: 8 over31]           ② [eqn: 16over31]           ③ [eqn: 31over8]
④ [eqn: 31over4]           ⑤ [eqn: 31over2]

45 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } `]에 대하여 이차방정식 [eqn: x^2 -a_n `x+1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha _n ,`` beta _n `]이라 할 때, [eqn: {{ alpha_5 }`^2 }][eqn: + { beta_5 }`^2]의 값을 구하여라.

46 [eqn: a=2^10 `], [eqn: b=3^10 `]일 때, [eqn: a b`]의 양의 약수의 총합을 [eqn: a,``b`]로 나타내면?

① [eqn: { 1`} over {2` } (2a-1)(3b-1)]

② [eqn: { 1`} over {2` } (2a+1)(3b+1)]
③ [eqn: (2a-1)(3b-1)]

④ [eqn: (2a-1)(3b+1)]
⑤ [eqn: (2a+1)(3b+1)]

47 공비가 [eqn: 1]보다 큰 등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_3k = 13`S_k]를 만족시키는 [eqn: k]에 대하여 [eqn: {S_2k } over {S_k}]의 값을 구하여라.

48 다음 그림과 같이 [eqn: 1`]회의 시행에서 원 [eqn: C]의 내부에 [eqn: 4`]개의 원을 그리고, [eqn: 2`]회의 시행에서는 [eqn: 1`]회 시행의 결과로 그려진 [eqn: 4`]개의 원 내부에 각각 [eqn: 4`]개씩의 원을 그린다. 이와 같은 시행을 [eqn: 10`]회 반복할 때, 그려진 모든 원의 개수는? (단, 원 [eqn: C]는 고려하지 않는다.)

① [eqn: { 4^10 -2`} over { 3`}]            ② [eqn: { 4^10 -1`} over { 3`}]

③ [eqn: { 4^11 -4`} over { 3`}]           ④ [eqn: { 4^11 -3`} over { 3`}]

⑤ [eqn: { 4^11 -2`} over { 3`}]

49 가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각각 [eqn: a,~b,~c`]인 직육면체의 부피가 [eqn: 27`], 겉넓이가 [eqn: 60`]이고, [eqn: a,~b,~c`]가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.

50 다음 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =2], [eqn: rmbarBC ＝3]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이를 차례로
[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots]
이라 할 때, [eqn: a_9]의 값을 구하여라.

51 각 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =3,~ 3a_3 over a_2 + a_5 over a_3 =10]이 성립할 때, [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_7]의 값은?

① [eqn: 254]           ② [eqn: 292]           ③ [eqn: 340]

④ [eqn: 381]           ⑤ [eqn: 435]

52 각 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 a_3 =16,~a_2 a_4 =64]일 때, [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_8]의 값을 구하여라.

53 공비가 [eqn: 1]이 아닌 등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_2n over S_n =7]이다. [eqn: S_3n over S_n]의 값은?

① [eqn: 27]           ② [eqn: 31]           ③ [eqn: 35]

④ [eqn: 39]           ⑤ [eqn: 43]

54 [eqn: 2012]년 [eqn: 1]월 초부터 매월 초에 일정한 금액 [eqn: a]원씩 적립하였을 때 [eqn: 2012]년 [eqn: 12]월 말의 원리합계와 [eqn: 2012]년 [eqn: 1]월 초부터 매월 초에 [eqn: 26]만 원씩 적립하였을 때 [eqn: 2013]년 [eqn: 12]월 말의 원리합계가 서로 같다고 한다. [eqn: a]의 값은? (단, 월이율 [eqn: 1`%]의 복리로 계산하며, [eqn: 1.01^12 =1.13]으로 계산한다.)

① [eqn: 529800]	② [eqn: 541800]	③ [eqn: 553800]

④ [eqn: 565800]	⑤ [eqn: 577800]

55 세 수 [eqn: a,~a+b,~2a-b]는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: 1,~a-1,~3b+1]은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다. [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

56 공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 세 항 [eqn: a_2 ,~ a_4 ,~ a_9]가 이 순서대로 공비 [eqn: r]인 등비수열을 이룰 때, [eqn: 6r]의 값을 구하여라.

57 공비가 [eqn: sqrt2]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_6 =16]이다. 이때, [eqn: a_p `·`a_q =64]를 만족시키는 두 자연수 [eqn: p,~q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: 4]           ② [eqn: 5]           ③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]           ⑤ [eqn: 8]

58 두 함수 [eqn: f(x)=2^x-2 ,~g(x)=2x-1]에 대하여       [eqn: (f CIRC g)(1)+(f CIRC g)(2)+ CDOTS +(f CIRC g)(10)]

의 값은?

① [eqn: {2^10 -1}over6]	② [eqn: {2^10 -1}over3]	③ [eqn: {2^20 -1}over6]

④ [eqn: {2^20 -1}over3]	⑤ [eqn: 2^20 -1]

59 [eqn: a]와 [eqn: r]가 자연수일 때, 두 집합

[eqn: LEFT. A= LEFT { `ar ^{n-1} `` RIGHT | ``n은~자연수 RIGHT }]와

[eqn: B= LEFT { `6n`` LEFT | ```n은~20~이하의`자연수 RIGHT } RIGHT .]의 교집합 [eqn: A capB`]의 원소의 개수의 최댓값은?

① [eqn: 3]           ② [eqn: 4]           ③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]           ⑤ [eqn: 7]

60 등차수열 [eqn: left{a_n right}]과 등비수열 [eqn: left{b_n right}]에 대하여[eqn: a _{1} =b _{1} =1,~```a _{1} +a _{2} +a _{4} =b _{4} ,~````b _{1} +b _{2} +b _{3} =a _{3}]

이 성립할 때, [eqn: b_5 -a_5]의 값은? (단, 수열 [eqn: left{b_n right}]의 공비는 실수.)

① [eqn: 52]           ② [eqn: 54]           ③ [eqn: 56]

④ [eqn: 58]           ⑤ [eqn: 60]

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		1. 등차수열과 등비수열			정답
	01 수열의 뜻

01  ⑴ [eqn: 10]   ⑵ [eqn: 10^2]   ⑶ [eqn: { 10} over {11 }]   ⑷ [eqn: sqrt { 10}]

답

해

설

⑴ [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =2], [eqn: a _{3} =3], [eqn: cdots]    [eqn: therefore``a _{10} =10]

⑵ [eqn: a _{1} =1 ^{2}], [eqn: a _{2} =2^2], [eqn: a _{3} =3^2], [eqn: cdots]    [eqn: therefore``a _{10} =10^2]

⑶ [eqn: a _{1} = { 1} over { 2}], [eqn: a _{2} = {2} over {3}], [eqn: a _{3} = {3} over {4}], [eqn: cdots]    [eqn: THEREFORE ``a _{10} = {10} over {11}]

⑷ [eqn: a _{1} = sqrt {1}], [eqn: a _{2} = sqrt {2}], [eqn: a _{3} = sqrt {3}], [eqn: cdots]    [eqn: THEREFORE ``a _{10} = sqrt {10}]

02  ①

답

해

설

수열에서 나열된 규칙을 조사하면

(ⅰ) 홀수 번째 항의 부호는 [eqn: +], 짝수 번째 항의 부호는 [eqn: -]이므로 제[eqn: 8]항의 부호는 [eqn: -]이다.

(ⅱ) 각 항의 절댓값을 나열하면

[eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 7], [eqn: 10], [eqn: cdots]

이고 이것은 앞의 항에 [eqn: 3]씩 더해간 수이므로 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 7], [eqn: 10], [eqn: 13], [eqn: 16], [eqn: 19], [eqn: 22], [eqn: cdots]에서 제[eqn: 8]항의 절댓값은 [eqn: 22]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 제[eqn: 8]항은 [eqn: -22]이다.

03  [eqn: 81]

답

해

설

본모의 규칙성을 조사하면 [eqn: 1^2], [eqn: 2^2], [eqn: 3^2], [eqn: cdots], [eqn: 10^2], [eqn: cdots]

분자의 규칙성을 조사하면 [eqn: 2times1-1], [eqn: 2times2-1], [eqn: 2times3-1], [eqn: cdots], [eqn: 2times10-1], [eqn: cdots]

따라서 제[eqn: 10]항은 [eqn: {2 TIMES 10-1} over {10 ^{2}} = {19} over {`100}]

[eqn: therefore``m-n=100-19=81]

04  ①

답

해

설

[eqn: a_1 -9=10-1], [eqn: a _{2} =99=10 ^{2} -1], [eqn: a _{3} =10 ^{3} -1], [eqn: cdots]과 같이 생각하면 [eqn: a _{n} =10 ^{n} -1]로 추정할 수 있다.

[eqn: therefore``alpha=1], [eqn: beta=1]

[eqn: therefore``alpha+beta=1+1=2]

05  ⑴ [eqn: a _{8} =29]   ⑵ [eqn: b _{8} =2 ^{7}]

답

해

설

⑴ 첫째항 [eqn: 1]에 차례로 [eqn: 4]씩 더해지는 수열이므로  [eqn: a _{8} =29]

⑵ 첫째항 [eqn: 1]에 차례로 [eqn: 2]씩 곱해지는 수열이므로  [eqn: b _{8} =2 ^{7}]

06  ⑴ [eqn: -50]   ⑵ [eqn: 420]

답

해

설

⑴ [eqn: a _{20} =10-3cdot20=-50]

⑵ [eqn: b _{20} =20 ^{2} +20=420]

07  ⑴ [eqn: 20], [eqn: 90]   ⑵ [eqn: 33], [eqn: -1023]

답

해

설

⑴ [eqn: a_5 =5^2 -5= 20]

[eqn: a_10 =10^2 -10]

⑵ [eqn: b_5 =1-(-2)^5 =1-(-32)=33]

[eqn: b_10 =1-(-2)^10 =1-1024 =-1023]

08  ⑴ [eqn: a_n =2+(-1)^n]   ⑵ [eqn: a_n = { 1} over {3 }(10^n -1)]

답

해

설

⑴ [eqn: 1]과 [eqn: 3]의 중간에 있는 수, [eqn: 2]를 중심으로 [eqn: -1], [eqn: 1]을 교대로 더하면 된다. 즉, 주어진 수열은

[eqn: 2-1], [eqn: 2+1], [eqn: 2-1], [eqn: 2+1], [eqn: cdots]

이므로 일반항은  [eqn: a_n =2+(-1)^n]

⑵ 수열 [eqn: 9], [eqn: 99], [eqn: 999], [eqn: 9999], [eqn: cdots]는

[eqn: 10-1], [eqn: 10^2 -1], [eqn: 10^3 -1], [eqn: 10^4 -1], [eqn: cdots]

이므로 주어진 수열의 일반항은  [eqn: a_n = { 1} over {3 }(10^n -1)]

09  ⑴ [eqn: a_n = { 1+(-1)^n-1} over {2 }] ⑵ [eqn: a_n = { 1} over { 9}(10^n -1)]

답

해

설

⑴ [eqn: 1]과 [eqn: 0]의 중간에 있는 수, [eqn: { 1} over {2 }]을 기준으로 [eqn: { 1} over {2 }], [eqn: -{ 1} over {2 }]을 교대로 더하면 된다.

[eqn: therefore``a_n = { 1} over {2 }+left( { 1} over {2 }right) times(-1)^n-1 = { 1+(-1)^n-1} over {2 }]

⑵ 수열 [eqn: 1], [eqn: 11], [eqn: 111], [eqn: 1111], [eqn: cdots]은

[eqn: { 10-1} over { 9}], [eqn: {10 ^{2} -1} over {9}], [eqn: {10 ^{3} -1} over {9}], [eqn: {10 ^{4} -1} over {9}], [eqn: cdots]

이므로 주어진 수열의 일반항은

[eqn: a_n = { 1} over { 9}(10^n -1)]

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		1. 등차수열과 등비수열			정답
	02 등차수열

01  ⑤

답

해

설

제[eqn: 5]창이 [eqn: 4], 제[eqn: 9]항이 [eqn: -20]이므로

[eqn: a _{5} =a+4d=4]                           [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a _{9} =a+8d=-20]                        [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면 [eqn: 4d=-24]  [eqn: therefore``d=-6]

㉠에서 [eqn: a-24=4]  [eqn: therefore``a=28]

[eqn: therefore``a+3d=28-18=10]

02  ③

답

해

설

주어진 수열은 첫째항이 [eqn: 52], 공차가 [eqn: -3]인 등차수열이므로  [eqn: a_n =52+(n-1)cdot(-3)=-3n+55]

[eqn: -3n+55<0]에서 [eqn: n> { 55} over { 3}=18.timestimes]

따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제[eqn: 19]항이다.

03  ②

답

해

설

세 수 [eqn: a], [eqn: x], [eqn: b]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: x= { a+b} over {2 }]

또 세 수 [eqn: a], [eqn: y], [eqn: b]의 역수가 등차수열을 이루므로 [eqn: { 2} over {y }= { 1} over { a}+ { 1} over {b }]에서  [eqn: y= { 2ab} over { a+b}]

[eqn: therefore``xy= { a+b} over { 2}times { 2ab} over { a+b}=ab]

04  ④

답

해

설

등차수열 [eqn: left{a_n right]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: S_10 = { 10(2a+9d)} over { 2}=40]에서

[eqn: 2a+9d=8]                               [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: S _{20} = {20(2a+19d)} over {2} =120]에서

[eqn: 2a+19d=12]                             [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면  [eqn: 10d=4]  [eqn: therefore``d= {2} over {5}]

㉠에서 [eqn: 2a+9 CDOT { 2} over { 5}=8]  [eqn: therefore``a= { 11} over {5 }]

[eqn: therefore``S_40 = { 40(2a+39d)} over { 2}=20 left(2times { 11} over {5 }+39times { 2} over {5 }right)]

[eqn: =20 left( { 22} over {5 }+ { 78} over {5 }right)=400]

05  [eqn: a_n =6n-5] ([eqn: n geq 1])

답

해

설

첫째항부터 제[eqn: 4]항까지의 합이 [eqn: 40]이므로 [eqn: S_4 =16a-8=40]  [eqn: therefore``a=3]

[eqn: therefore``S_n =3n^2 -2n]

[eqn: n geq 2]일 때

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: =3n^2 -2n-left{ 3(n-1)^2 -2(n-1) right}]

[eqn: =3 left{ n^2 -(n-1)^2 right}-2 left{n-(n-1)right}]

[eqn: =6n-5]                                   [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a_1 =S_1 =3 cdot 1^2 -2 cdot1=1]

[eqn: a_1 =1]은 ㉠에 [eqn: n=1]을 대입한 것과 같으므로

[eqn: a_n =6n-5] ([eqn: n geq 1])

06  ①

답

해

설

ᄀ. [eqn: a_1 =S_1 =-2 cdot 1^2 +1+3=2] (참)

ᄂ. [eqn: n geq 2]일 때

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: =-2n^2 +n+3- left{-2(n-1)^2 +(n-1)+3 right}]

[eqn: =-4n+3]

[eqn: a_n =-4n+3]에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: -4+3=-1!=2]

이므로 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 둘째항부터 등차수열을 이룬다. (거짓)

ᄃ. [eqn: a_1 =2], [eqn: a_2 =-5], [eqn: a_3 = -9], [eqn: cdots]이므로 [eqn: S_n]은 [eqn: n=1]일 때 최댓값을 갖는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ᄀ뿐이다.

07  ②

답

해

설

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라고 하면 [eqn: a_1 =200], [eqn: a_200 =1]에서 [eqn: 1=200+199d]  [eqn: therefore``d=-1]

[eqn: a _{1} ^{2} -a _{2} ^{2} +a _{3} ^{2} -a _{4} ^{3} +cdots+a _{199} ^{2} -a _{200} ^{2} =S]라고 하면

[eqn: S=(a _{1} -a _{2} )(a _{1} +a _{2} )+(a _{3} -a _{4} )(a _{3} +a _{4} )+cdots]

[eqn: +(a _{199} -a _{200} )(a _{199} +a _{200} )]

[eqn: THEREFORE``S=-d(a_1 +a_2 +cdots+a_199 +a_200 )]

[eqn: =20100]

08  ②

답

해

설

주어진 삼차방정식의 세 근을 [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d]라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (a-d)+a+(a+d)=0]  [eqn: therefore``a=0]

[eqn: (a-d)a(a+d)=-(k+1)]에서 [eqn: -(k+1)=0]

[eqn: therefore``k=-1]

09  ④

답

해

설

제[eqn: 1]행에 나열된 수의 공차는 [eqn: 0], 제[eqn: 2]행에 나열된 수의 공차는 [eqn: 2], 제[eqn: 3]행에 나열된 수의 공차는 [eqn: 4], 제[eqn: 4]행에 나열된 수의 공차는 [eqn: 6], [eqn: cdots]이므로 제[eqn: m]행에 나열된 수의 공차는 [eqn: 2(m-1)]이다.

즉, 제[eqn: m]행에 나열된 수는 첫째항이 [eqn: 3], 공차가 [eqn: 2(m-1)]인 등차수열을 이루므로 제[eqn: m]행의 수열의 일반항을 [eqn: a_mm]이라고 하면

[eqn: a _{mn} =3+(n-1)times2(m-1)]

이때, [eqn: 3+(n-1)times2(m-1)=113]에서

[eqn: (m-1)(n-1)=55]

이때, [eqn: 55=1times55=5times11]이고, [eqn: m], [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: m-1], [eqn: n-1]의 값은 다음 표와 같다.

[eqn: m-1]	[eqn: 1]	[eqn: 5]	[eqn: 11]	[eqn: 55]
[eqn: n-1]	[eqn: 55]	[eqn: 11]	[eqn: 5]	[eqn: 1]

따라서 [eqn: a_mn =113]을 만족시키는 자연수 [eqn: m], [eqn: n]의 순서쌍 [eqn: (m,~n)]은 [eqn: (2,~56)], [eqn: (6,~12)], [eqn: (12,~6)], [eqn: (56,~2)]

이므로 [eqn: 113]은 모두 [eqn: 4]번 나타난다.

10  ②

답

해

설

[eqn: 2S_n =a_n + { 9} over {a_n }]에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: 2S _{1} =a _{1} + {9} over {a _{1}}]

[eqn: S _{1} =a _{1}]이므로 [eqn: 2a _{1} =a _{1} + {9} over {a _{1}}], [eqn: a _{1} = {9} over {a _{1}}]

[eqn: a _{1} ^{2} =9]  [eqn: a _{1} =3] ([eqn: BECAUSE ``a _{1} >0])

또 [eqn: 2S_n =a_n + { 9} over {a_n }]에 [eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}] ([eqn: n GEQ 2])을 대입하면

[eqn: 2S_n =S_n -S_n-1 + { 9} over {S_n -S_n-1}]

[eqn: S_n +S_n-1 = { 9} over {S_n -S_n-1}]

[eqn: (S_n +S_n-1 )(S_n -S_n-1 )=9]

[eqn: therefore``S_n ^2 -S_n-1 ^2 =9] ([eqn: n GEQ 2])

따라서 수열 [eqn: left{ S_n ^2right}]은 첫째항이 [eqn: S_1^2 =a_1 ^2 =9]이고, 공차가 [eqn: 9]인 등차수열이므로

[eqn: S_n ^2 =9+(n-1)cdot9=9n]

[eqn: therefore``S_n ^2 =9+(n-1)cdot9=9n]

[eqn: therefore``S_n =3 sqrt { n}] ([eqn: because``S_n >0])

[eqn: THEREFORE ``S _{25} =3 sqrt {25} =15]

11  ④

답

해

설

오른쪽 그림에서

[eqn: a _{1} =left( 1 times tan { pi} over {3 }right)times2=2 sqrt { 3}]

또 [eqn: a_2 = a_1 +2], [eqn: a_3 =a_2 +2], [eqn: cdots]에서 [eqn: a_n+1 =a_n +2]이므로 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 2sqrt { 3}], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다. 이때, 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합 [eqn: S_20]이 [eqn: a+b sqrt { 3}]이므로

[eqn: S_20 = { 20(2times2 sqrt { 2}+19times2 )} over { 2}]

[eqn: =380+40 sqrt { 3}=a+b sqrt { 3}]

[eqn: therefore a=380], [eqn: b=40]

[eqn: therefore``a-4b=220]

12  ⑤

답

해

설

[eqn: S_n =n^2 +2n]이므로 일반항은

[eqn: a_n = S_n -S_n-1][eqn: =2n+1] ([eqn: n geq 2])

이때, [eqn: a_1 =S_1 =3]이므로

[eqn: a_n =2n+1] ([eqn: n geq 1])

[eqn: therefore``a_1 +a_3 +a_5 +cdots+a_2n-1 =3+7+11+cdots+(4n-1)]

즉, [eqn: a_1 +a_3 + a_5 +cdots+a_2n-1]은 첫째항이 [eqn: 3], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열의 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: { n left{2times3+(n-1)times4 right}} over { 2}=210]

[eqn: (2n+21)(n-10)=0]

[eqn: therefore``n=10]

13  [eqn: 70]

답

해

설

[eqn: x=k] ([eqn: k>0])에서의 선분의 길이는

[eqn: f(k)-g(k)=(a-c)k+(b-d)]             [eqn: CDOTS cdots]㈎

이고, 두 포물선의 대칭축이 일치하지 않으므로 [eqn: a-c!=0]

즉, [eqn: f(k)-g(k)]는 [eqn: k]에 대한 일차식이므로 각 선분의 길이는 가장 짧은 것부터 [eqn: k]의 값에 따라 일정하게 늘어나는 등차수열을 이룬다.                   [eqn: CDOTS cdots]㈏

이때, 첫째항은 [eqn: 3], 제 [eqn: 10]항은 [eqn: 11]이므로 구하는 [eqn: 10]개의 선분의 길이의 합은

[eqn: { 10(3+11)} over { 2}=70]                           [eqn: CDOTS cdots]㈐

채|점|기|준|표
채점 기준	배점
㈎ [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]로부터 [eqn: x=k]에서의 선분의 길이 [eqn: f(k)-g(k)]의 식을 구한다.	3점
㈏ 선분의 길이는 [eqn: k]의 값에 따라 일정하게 늘어나는 등차수열임을 보인다.	4점
㈐ [eqn: 10]개의 선분의 길이의 합을 구한다.	3점

14  ⑴ [eqn: a_n =3n-1]   ⑵ 첫째항 [eqn: a_1 =-2], 공차 [eqn: d=-3]

답

해

설

⑴ [eqn: a_1 =2], [eqn: d=3]이므로

[eqn: a_n =2+(n-1)times3]

[eqn: therefore``a_n =3n-1]

⑵ [eqn: a_n =-3n+1]에서 [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots]을 대입하면

[eqn: a_1 =-2], [eqn: a_2 =-5], [eqn: a_3 =-8], [eqn: cdots]

[eqn: therefore``d=a_2 -a_1 =a_3 -a_2 = cdots=-3]

15  [eqn: 2500]

답

해

설

수열 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: cdots], [eqn: 99]에서 첫째항이 [eqn: 1]이고 공차는 [eqn: 2]이므로 일반항 [eqn: a_n]은

[eqn: a_n =1+(n-1)times2 =2n-1]

끝항이 [eqn: 99]이므로 항 수는

[eqn: 2n-1=99]  [eqn: therefore``n=50]

[eqn: therefore`` 1+3+5+cdots+99= { 50(1+99)} over {2 }=2500]

16  [eqn: a_1 =4], [eqn: a_5 =12]

답

해

설

[eqn: a_1 =S_1 =1^2 +3 cdot1 =4]

[eqn: a_5 =S_5 -S_4]

[eqn: =(5^2 +3cdot5)-(4^2 +3cdot4)]

[eqn: =12]

17  ②

답

해

설

이 등차수열을 [eqn: left{a_n right}], 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_4 =a+3d=7][eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a_7 =a+6d=-14][eqn: CDOTS cdots]㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면 [eqn: 3d=-21]  [eqn: therefore``d=-7]

㉠에서 [eqn: a=7-3d=28]

[eqn: therefore``a_n =28+(n-1)times(-7)=-7n+35]

[eqn: therefore``a_10 =-7times10 +35=-35]

18  [eqn: 12]

답

해

설

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_2 =a+d=-32]

[eqn: a_16 =a+15d=17]

이것을 연립하여 풀면

[eqn: a=- { 71} over {2 }], [eqn: d= { 7} over {2 }]

[eqn: therefore``a_n =- { 71} over { 2}+(n-1)times { 7} over {2 }= { 7n-78} over { 2}]

[eqn: a_n >0]에서 [eqn: n>11.timestimestimes]

따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제[eqn: 12]항이다.

19  ④

답

해

설

세 실근을 [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d]로 놓으면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 다음이 성립한다.

⑴ [eqn: (a-d)+a+(a+d)=9]에서  [eqn: a=3]

⑵ [eqn: a(a-d)+a(a+d)+(a-d)(a+d)=k]에서

[eqn: k=3a^2 -d^2]  [eqn: therefore``k=27-d^2]

⑶ [eqn: a(a-d)(a+d)=6]에서

[eqn: 3(3-d)(3+d)=6]  [eqn: therefore``d^2 =7]

20  [eqn: { 45} over { 2}]

답

해

설

네 수를

[eqn: a=p-3k], [eqn: b=p-k], [eqn: c=p+k], [eqn: d=p+3k]

로 놓으면 합이 [eqn: 60]이므로

[eqn: 4p=60]  [eqn: therefore``p=15]

또, [eqn: 2(a+b)=c+d]에서

[eqn: 2(2p-4k)=2p+4k]

[eqn: therefore``k= { 1} over { 6}p = { 15} over {6 }= { 5} over {2 }]

[eqn: therefore``d=p+3k=15+ { 15} over { 2}= { 45} over {2 }]

21  ①

답

해

설

[eqn: a_1 =10-1], [eqn: a_2 =10^2 -1], [eqn: a_3 =10^3 -1], [eqn: cdots]과 같이 생각하면 [eqn: a_n =10^n -1]로 추정할 수 있다.

[eqn: therefore``alpha=1], [eqn: beta=1]

[eqn: therefore``alpha+beta=2]

22  ③

답

해

설

세 수열 [eqn: a_n], [eqn: b_n], [eqn: c_n]을 다음과 같이 정하자.

[eqn: 3]의 배수 ⇨ [eqn: left{a_n right}]: [eqn: 102], [eqn: 105], [eqn: 108], [eqn: cdots], [eqn: 999]

⇨ [eqn: a _{n} =3n+99=999]에서 [eqn: n=300]

[eqn: 4]의 배수 ⇨ [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]: [eqn: 100], [eqn: 104], [eqn: 108], [eqn: cdots], [eqn: 996]

⇨ [eqn: b_n =4n+96=996]에서 [eqn: n=225]

[eqn: 12]의 배수 ⇨ [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT }]: [eqn: 108], [eqn: 120], [eqn: 132], [eqn: cdots], [eqn: 996]

⇨ [eqn: c_n =12n+96=996]에서 [eqn: n=75]

따라서 구하는 개수는 [eqn: 300+225-75=450](개)

23  ③

답

해

설

첫째항과 공차를 각각 [eqn: a], [eqn: d]로 놓으면

[eqn: a_3 =a+2d=11]                           [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a_8 =a+7d=21]                           [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=7], [eqn: d=2]

[eqn: therefore``a_n =7+(n-1)times2 =2n+5]

[eqn: a_n >100]에서 [eqn: 2n+5 >100]  [eqn: therefore``n> { 95} over {2 }=47.5]

따라서 제[eqn: 48]항부터 [eqn: 100]을 넘는다.

24  ⑤

답

해

설

이 등차수열 [eqn: left{a_n right}]을 [eqn: -8], [eqn: b_1], [eqn: b_2], [eqn: b_3], [eqn: b_4], [eqn: b_5], [eqn: b_6], [eqn: 27]로 놓고 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_8 =-8+(8-1)d=27]에서 [eqn: d=5]

[eqn: therefore``b_6 =a_7 =-8+(7-1)times5=22]

25  ③

답

해

설

이 수열을 [eqn: left{a_n right}]이라고 하면 [eqn: a_2 = { 1} over { 3}], [eqn: a_5 = { 1} over { 9}]이고, 수열 [eqn: left{ { 1} over {a_n }right}]이 등차수열이므로 그 첫째항을 [eqn: { 1} over { a}], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: { 1} over { a_2}= { 1} over { a}+d=3][eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: { 1} over {a_5 }= { 1} over { a}+4d =9][eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: d=2], [eqn: { 1} over {a }=1]

[eqn: therefore`` { 1} over { a_n}= 2n-1], [eqn: a_n = { 1} over {2n-1 }]

[eqn: therefore`` a_20 = { 1} over { 39}]

26  [eqn: { 16} over { 3}]

답

해

설

[eqn: x], [eqn: x+2y], [eqn: 4x]에서 [eqn: x+2y]가 등차중항이므로

[eqn: 2(x+2y)=x+4x]

[eqn: therefore`` 3x=4y]                                 [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: y], [eqn: 3x], [eqn: 4]가 이 순서로 조화수열을 이루므로

[eqn: { 1} over {y }], [eqn: { 1} over {3x }], [eqn: { 1} over { 4}]에서 [eqn: { 1} over {3x }]이 등차중항이다.

[eqn: therefore`` { 2} over {3x }= { 1} over { y}+ { 1} over { 4}]                            [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: x= -{ 8} over {3 }], [eqn: y=-2]

[eqn: therefore`` xy= { 16} over { 3}]

27  [eqn: 512]

답

해

설

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_3 =a+2d =53]                           [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a_11 =a+10d=21]                         [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=61], [eqn: d=-4]

[eqn: therefore``a_n =-4n+65]

[eqn: -4n +65 <0]에서 [eqn: n geq 17]

즉, 제[eqn: 17]항부터 그 값이 음수가 되므로 첫째항부터 제[eqn: 16]항까지의 합 [eqn: S_16]이 최대이다.

따라서 최대값은 [eqn: S_16 =496]

[eqn: therefore``p+q=16+496=512]

28  [eqn: 600]

답

해

설

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_1 +a_2 +cdots+a_10 = { 10} over { 2}(2a+9d)=200]에서

[eqn: 2a+9d =40]                               [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a_11 +a_12 + cdots+a_20 = { 10} over { 2}left{2(a+10d)+9d right} =400]에서

[eqn: 2a+29d =80]                              [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=11], [eqn: d=2]

[eqn: therefore``a_21 +a_22 +cdots+a_30 = { 10} over { 2}left{2(a+20d)+9d right}=600]

29  [eqn: 2]

답

해

설

수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항은

[eqn: a_n =S_n -S_n-1 = 2an-a-1] ([eqn: n geq 2])      [eqn: CDOTS cdots]㉠

첫째항은 [eqn: a_1 =S_1 =a-1]

그런데 [eqn: a_1 =a-1]은 ㉠에 [eqn: n=1]을 대입한 것과 같으므로

[eqn: a_n =2an-a-1] ([eqn: n geq 1])

제[eqn: 8]항이 [eqn: 29]이므로 [eqn: a_8 =16a-a-1=29]

[eqn: therefore``a=2]

30  [eqn: 2]

답

해

설

두 수열을 각각 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]이라 하고 각 수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: S_n], [eqn: T_n]이라고 하면 [eqn: S_n =n^2 +alphan], [eqn: T_n =2n^2 +n]

[eqn: therefore`` a_8 =S_8 -S_7 =alpha +15]

[eqn: b_8 =T_8 -T_7 =31]

[eqn: a_8 =b_8]에서 [eqn: alpha+15=31]

[eqn: alpha=16]

31  ④

답

해

설

이 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 각 항을 역수로 바꾸어 만든 등차수열 [eqn: left{ { 1} over { a_n }right}]의 첫째항을 [eqn: { 1} over { a}], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: { 1} over {a_6 }= { 1} over {a }+5d ={1} over {12 }]                         [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: {1} over {a _{12}} = {1} over {a} +11d= {1} over {6}]                        [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=72]

[eqn: therefore``a _{18} =14]

32  [eqn: 17]

답

해

설

이 수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 하면

[eqn: S _{n} = {n} over {2} LEFT { 2 TIMES 13+(n-1) TIMES 4 right} =765]에서

[eqn: (n-17)(2n+45)=0]

[eqn: therefore``n=17]

33  ④

답

해

설

[eqn: a_n =8+(n-1)times(-5)=-5n+13<0]에서 [eqn: n geq 3], 즉 제[eqn: 3]항부터 그 값이 음수이므로

[eqn: |a_1 |+|a_2 | +|a_3 |+cdots+|a_10 |]

[eqn: =(a_1 +a_2 ) -(a_3 +a_4 +a_5 +cdots+a_10 )]

[eqn: =(8+3)+(2+7+12+cdots+37)]

[eqn: =167]

34  ④

답

해

설

[eqn: a_1 =S_1 =p], [eqn: b_1 =T_1 =q+r]이므로

[eqn: a_1 =b_1 +1]에서  [eqn: p=q+r+1]              [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a_3 =S_3 -S_2 =5p], [eqn: b_3 =T_3 -T_2 =5q+r]

[eqn: a_3 =b_3 +5]에서 [eqn: 5p=5q+r+5]             [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r=0], [eqn: p=q+1]이므로

[eqn: a_5 =S_5 -S_4 =9p=9q+9], [eqn: b_5 =T_5 -T_4 =9q]

[eqn: therefore`` a_5 =b_5 +9]

35  ⑴ [eqn: 5], [eqn: 8], [eqn: 11], [eqn: 14], [eqn: 17]

답

⑵ [eqn: 10], [eqn: 6], [eqn: 2], [eqn: -2], [eqn: -6]

해

설

참조

답

36  ⑴ [eqn: a_n =2n-7]   ⑵ [eqn: a_n =-3n+18]

답

해

설

⑴ [eqn: a_n = -5+(n-1)times2 =2n-7]

⑵ [eqn: a_n =15+(n-1)times(-3) =-3n+18]

37  ⑴ [eqn: x=7], [eqn: y= 15]   ⑵ [eqn: x=18], [eqn: y=13]

답

해

설

⑴ [eqn: 2x=3+11]에서 [eqn: x=7]

[eqn: 2times11 =x+y]에서 [eqn: y= 15]

⑵ [eqn: 2x=23+y], [eqn: 2y=x+8]에서 [eqn: x=18], [eqn: y=13]

38  [eqn: x= { 6} over { 5}], [eqn: y= { 3} over { 2}]

답

해

설

수열 [eqn: { 1} over { 1}], [eqn: { 1} over {x }], [eqn: { 1} over { y}], [eqn: { 1} over { 2}]은 등차수열을 이루므로

[eqn: 2 times { 1} over {x }=1 +{1 } over {y }], [eqn: 2times { 1} over { y}= { 1} over { x}+ { 1} over { 2}]

[eqn: therefore`` x={6 } over {5 }], [eqn: y= { 3} over {2 }]

39  ⑴ [eqn: a_n =4n-9]   ⑵ [eqn: a_n =-3n+14]

답

해

설

⑴ 첫째항 [eqn: a=-5]이고, 공차 [eqn: d=4]이므로

[eqn: a_n =a+(n-1)d=-5+(n-1)cdot4=4n-9]

⑵ 첫째항 [eqn: a=11]이고, 공차 [eqn: d=-3]이므로

[eqn: a_n =a+(n-1)d=11+(n-1)cdot(-3)=-3n+14]

40  ⑴ [eqn: 7]   ⑵ [eqn: -{ 20} over {19 }]

답

해

설

주어진 등차수열의 공차를 [eqn: d]라고 하면

⑴ [eqn: a_10 =3+(10-1)d=66]에서

[eqn: 9d =63]   [eqn: therefore``d=7]

⑵ [eqn: a_20 =10 +(20-1)d=-10]에서

[eqn: 19d=-20]  [eqn: therefore``d=- { 20} over {19 }]

41  [eqn: -{ 1} over { 2}], [eqn: 2], [eqn: { 9} over { 2}]

답

해

설

공차를 [eqn: d]라고 하면 [eqn: -3], [eqn: -3+d], [eqn: -3+2d], [eqn: -3+3d], [eqn: 7]

이때, [eqn: -3+2d]와 [eqn: 7]의 등차중항이 [eqn: -3+3d]이므로

[eqn: -3+3d= { -3+2d+7} over { 2}]  [eqn: therefore``d= { 5 } over { 2}]

따라서 구하는 세 수는 [eqn: -{ 1} over { 2}], [eqn: 2], [eqn: { 9} over { 2}]

42  ⑴ [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9]   ⑵ [eqn: 3], [eqn: 7], [eqn: 11], [eqn: 15], [eqn: 19]

답

해

설

⑴ [eqn: a_1 =f(1) =2cdot1-1 =1]

[eqn: a_2 =f(2) =2times2-1 =3]

[eqn: a_3 =f(3) =2cdot3-1=5]

[eqn: a_4 = f(4)=2cdot4-1=7]

[eqn: a_5 =f(5) =2cdot5-1=9]

⑵ [eqn: a_1 = f(2cdot1)=3], [eqn: a_2 =f(2cdot2)=7]

[eqn: a_3 =f(2cdot3)=11],  [eqn: a_4 =f(2cdot4)=15]

[eqn: a_5 =f(2cdot5) =19]

43  ⑴ [eqn: 5n-20]   ⑵ [eqn: -6n+23]

답

해

설

⑴ 첫째항이 [eqn: a=-15]

공차가 [eqn: d=-10-(-15)=5]

따라서 일반항은

[eqn: a_n =-15+(n-1)cdot5=5n-20]

⑵ 첫째항이 [eqn: a=17]

공차가 [eqn: d=11-17=-6]

따라서 일반항은

[eqn: a_n = 17+(n-1)cdot(-6)=-6n+23]

44  제[eqn: 17]항

답

해

설

일반항은 [eqn: a_n =7+(n-1)cdot(-3)=-3n+10]이므로

[eqn: a_n =-3n +10 =-41]에서  [eqn: n=17]

따라서 [eqn: -41]은 제[eqn: 17]항이다.

45  [eqn: 24]

답

해

설

등차중항의 정의를 이용하여

[eqn: b+f=62], [eqn: e+f=46]에서  [eqn: b-e=16]

[eqn: c+31=2d], [eqn: a+23=2d]에서 [eqn: a-c=8]

[eqn: therefore``(a-c)+(b-e)=24]

46  [eqn: a_n =4n-49]

답

해

설

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_5 =a+(5-1)d =-29]에서 [eqn: a+4d =-29]  [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a_25 = a+(25-1)d=51]에서 [eqn: a+24d=51]  [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-45], [eqn: d=4]

[eqn: therefore``a_n =a+(n-1)d=-45+(n-1)cdot4=4n-49]

47  [eqn: 107]

답

해

설

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a _{3} =a+(3-1)d=a+2d=-3]            [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a _{25} =a+(25-1)d=a+24d=51]          [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-13], [eqn: d=5]

따라서 제[eqn: 25]항은

[eqn: `a _{25} =a+(25-1)d=-13+24times5=107]

48  ⑴ [eqn: 15]   ⑵ [eqn: 14]

답

해

설

⑴ [eqn: a _{n} =10+(n-1) CDOT left( -{ 3} over {4 } right)=- { 3} over {4 }n +{ 43} over {4 }]

[eqn: a_n <0]에서 [eqn: -{ 3} over { 4}n+ { 43} over {4 }<0]

[eqn: therefore``n> { 43} over { 3}=14.333cdots]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 15]이다.

⑵ 첫째항부터 제[eqn: 14]항까지는 모두 양이고, 제[eqn: 15]항부터는 모두 음이므로 [eqn: a_1 +a_2 +cdots+a_14]의 값이 최대가 된다. 따라서 구하는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 14]이다.

49  ⑴ [eqn: 15]   ⑵ [eqn: 14]

답

해

설

[eqn: left{a_n right}`:``5], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: 11], [eqn: 13], [eqn: 15], [eqn: 17], [eqn: 19], [eqn: 21], [eqn: 23], [eqn: cdots]

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `:``5], [eqn: 8], [eqn: 11], [eqn: 14], [eqn: 17], [eqn: 20], [eqn: 23], [eqn: cdots]

이므로 구하는 수열은 [eqn: LEFT { c _{n} right}`:``5], [eqn: 11], [eqn: 17], [eqn: 23], [eqn: cdots]

[eqn: therefore``c_n =5+(n-1)cdot6 =6n-1]

등차수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]의 공차를 각각 [eqn: d_1], [eqn: d_2]([eqn: d_1 !=d_2])라고 하면 두 수열에 공통으로 나타나는 수는 등차수열을 이루며, 이 수열의 공차는 [eqn: d_1]과 [eqn: d_2]의 최소공배수와 같다.

50  ⑴ [eqn: 15]   ⑵ [eqn: 14]

답

해

설

⑴ [eqn: a_n = -9+(n-1)cdot{ 2} over { 3}], [eqn: a_n >0]에서

[eqn: { 2} over {3 }n- { 29} over {3 }>0]  [eqn: therefore``n> { 29} over { 2}=14.5]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 15]이다.

⑵ 첫째항부터 제[eqn: 14]항까지는 모두 음이고, 제[eqn: 15]항부터는 모두 양이므로 [eqn: a_1 +a_2 + cdots+a_14]의 값이 최소가 된다. 따라서 구하는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 14]이다.

51  [eqn: -12n+11]

답

해

설

두 수열에서 공통으로 나타내는 수를 차례로 나열하면

[eqn: -1], [eqn: -13], [eqn: -25], [eqn: -37], [eqn: cdots]

따라서 이 수열은 첫째항이 [eqn: -1]이고 공차가 [eqn: -12]인 등차수열이므로 구하는 수열의 일반항은

[eqn: a_n =-1+(n-1)cdot(-12)=-12n+11]

52  [eqn: { 54} over {25 }]

답

해

설

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: 3]은 직각삼각형의 세 변의 길이이므로

[eqn: a^2 +b^2 =3^2]                                [eqn: CDOTS cdots]㉠

또 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 3]이 차례로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2b=a+3]  [eqn: therefore``a=2b-3]                   [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a= { 9} over { 5}], [eqn: b= { 12} over {5 }]

따라서 직각삼각형의 넓이는  [eqn: { 1} over {2 }ab= { 54} over { 25}]

53  [eqn: 33]

답

해

설

[eqn: 7], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: 15]가 등차수열을 이룬다고 하자. [eqn: 7]과 [eqn: 15]의 등차중항은 [eqn: y]이므로

[eqn: y= { 7+15} over { 2}=11]

[eqn: x]와 [eqn: z]의 등차중항은 [eqn: y]이므로  [eqn: x+z=2y]

[eqn: therefore``x+y+z=2y+y=3y=33]

54  [eqn: x^2 +3x-10=0]

답

해

설

[eqn: alpha+beta=4], [eqn: alphabeta=-10]이므로

[eqn: p= { 1} over { 2}(alpha+beta)=2]

[eqn: { 1} over {q }= { 1} over {2 }left( { 1} over {alpha }+ { 1} over { beta} right)= { alpha+beta} over { 2alphabeta}= -{ 1} over { 5}]

[eqn: therefore``q=-5]

따라서 구하는 이차방정식은

[eqn: x^2 -(2-5)x+2cdot(-5)=0]

[eqn: therefore``x^2 +3x-10=0]

55  [eqn: 24]

답

해

설

[eqn: 6]은 [eqn: a]와 [eqn: d]의 등차중항이므로  [eqn: a+d=12]

또 [eqn: 6]은 [eqn: b]와 [eqn: c]의 등차중항이므로 [eqn: b+c=12]

[eqn: therefore``a+b+c+d=12+12=24]

56  [eqn: 13]

답

해

설

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_2 =a+d =2]                             [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a_8 =a+7d=-16]                         [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=5], [eqn: d=-3]

[eqn: therefore``a_n =-3n+8]

따라서 [eqn: A=-3], [eqn: B=8]이므로 [eqn: A+2B=13]

57  제[eqn: 31]항

답

해

설

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a+6d=70], [eqn: a+9d =61]

[eqn: therefore``a=88], [eqn: d=-3]

[eqn: a_n =-3n+91]

이때 [eqn: -n+91<0]에서 [eqn: n>30.33cdots]

따라서 제[eqn: 31]항에서 처음으로 음이 된다.

58  [eqn: 62]

답

해

설

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_3 =11]에서 [eqn: a+2d=11]                    [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a_6 : a_10 =5:8]이므로

[eqn: (a+5d):(a+9d)=5:8]

[eqn: 5a+45d=8a+40d]

[eqn: therefore``-3a+5d=0]                           [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=5], [eqn: d=3]

[eqn: therefore``a_20 =5+(20-1)cdot3=62]

59  [eqn: 5]

답

해

설

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_1 + a_5 + a_9 =a_1 +(a_1 +4d)+(a_1 +8d)]                        [eqn: =3a_1 +12d =3]

[eqn: therefore``a_1 +4d =1]                             [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a _{8} +a _{10} +a _{12} =(a _{1} +7d)+(a _{1} +9d)+(a _{1} +11d)]

[eqn: =3a _{1} +27d=12]

[eqn: THEREFORE ``a _{1} +9d=4]                             [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a _{1} =- {7} over {5}], [eqn: d= {3} over {5}]이므로

[eqn: a _{5} +a _{10} =(a _{1} +4d)+(a _{1} +9d)]

[eqn: =2a _{1} +13d=5]

60  [eqn: x=- {11} over {4}], [eqn: y= {7} over {2}], [eqn: z= {39} over {4}]

답

해

설

수열 [eqn: -9], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: 16]의 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: x=-9+d], [eqn: y=-9+2d], [eqn: z=-9+3d]

이때 [eqn: 16=-9+4d]이므로 [eqn: d= {25} over {4}]

[eqn: THEREFORE``x=-9+ { 25} over {4 }=- { 11} over {4 }]

[eqn: y=-9+ { 25} over {2 }= { 7} over { 2}]

[eqn: z=-9+ { 75} over { 4}= { 39} over {4 }]

61  [eqn: 51]

답

해

설

[eqn: 23], [eqn: { 1} over {x }], [eqn: { 1} over {y }], [eqn: { 1} over { z}], [eqn: 11]이 이 차례로 등차수열을 이루므르 이 등차수열의 일반항을 [eqn: a_n], 공차를 [eqn: d]라고 하면 [eqn: a_1 =23], [eqn: a_5 =a_1 +4d=11]

[eqn: therefore``d=-3]

[eqn: therefore`` { 1} over { x}=23-3=20]

[eqn: { 1} over { y}=20-3=17]

[eqn: { 1} over {z }=17-3=14]

[eqn: therefore`` { 1} over {x }+{ 1} over {y }+{ 1} over {z }=20+17+14=51]

62  [eqn: 80]

답

해

설

세 수를 [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d]로 놓으면

[eqn: (a-d)+a+(a+d)=15]   [eqn: therefore``a=5]

[eqn: (a-d)^2 +a^2 +(a+d)^2 =93]   [eqn: therefore``d=+-3]

따라서 구하는 세 수는 [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 8]이므로 세 수의 곱은 [eqn: 80]이다.

63  ③

답

해

설

주어진 수열의 공차를 [eqn: d]라고 하면 첫째항은 [eqn: 1]이고 제[eqn: (n+2)]항은 [eqn: 10]이므로

[eqn: 1+(n+2-1)d=10]   [eqn: therefore``d= { 9} over {n+1 }]

이때 [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: d= { 9} over {2 }], [eqn: {9} over {3}], [eqn: {9} over {4}], [eqn: cdots]

따라서 [eqn: 1= {9} over {9}], [eqn: {1} over {2} = {9} over {18}], [eqn: {3} over {4} = {9} over {12}], [eqn: {9} over {10}]는 모두 주어진 수열의 공차가 될 수 있다.

하지만 [eqn: {2} over {3} = {9} over {n+1}]를 만족하는 자연수 [eqn: n]은 존재하지 않으므로 [eqn: {2} over {3}]는 주어진 수열의 공차가 될 수 없다.

64  ①

답

해

설

[eqn: TRIANGLE rm ABC]의 세 변의 길이는 공차가 [eqn: d]인 등차수열을 이루므로 세 변의 길이를 [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d]로 놓자.

[eqn: angle rm C=90DEG]이므로

[eqn: (a+d)^2 =a^2 +(a-d)^2]

[eqn: therefore``a=4d]

따라서 세 변의 길이는 [eqn: 3d], [eqn: 4d], [eqn: 5d]이다.

한편 [eqn: triangle rm ABC]의 널이는 [eqn: { 1} over {2 }cdot 3d cdot4d =6d^2]이므로

[eqn: { 1} over { 2}cdot3d cdot r + { 1} over {2 }cdot 4d cdot r + { 1} over { 2}cdot 5d cdot r =6d^2]

[eqn: therefore`` r=d]                                   [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: 2R=a+d]에서  [eqn: R= { 5} over {2 }d]                   [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: r=d], [eqn: R-r>d]

65  [eqn: {1} over {2}]

답

해

설

공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_13 =a_1 +(13-1)d=98+12d=89]

[eqn: therefore``d=- { 3} over {4 }]

[eqn: therefore``a_n =a_1 +(n-1)d=98- { 3} over { 4}(n-1)]

[eqn: a_n <0]에서 [eqn: n>131.cdots]

[eqn: a_131 = { 2} over {4}], [eqn: a_132 =- { 1} over { 4}]이므로 [eqn: |`S``|]가 최소가 되는 것은 [eqn: n=130]일 때이고

[eqn: |`S``|=|a_130 + a_131 + a_132 +a_133 ``|]

[eqn: =left| { 5} over { 4}+ { 2} over {4 }-{1} over { 4}- { 4} over {5 } right|= { 1} over { 2}]

66  [eqn: {sqrt {6}} over {3}]

답

해

설

[eqn: rm bar{BC}= it a],[eqn: rm {bar{AC}} = it b],[eqn: rm {bar{AB}} = it c]라고 하면

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}]                                [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: TRIANGLE rm ABC SIM TRIANGLE rm ACD SIM TRIANGLE rm CBD]이므로

[eqn: rm bar{AD}= it { b^2} over { c}], [eqn: rm bar{BD}= it {a^2} over { c}], [eqn: rm bar{CD}= it { ab} over { c}]

이때 삼각형의 넓이가 등차수열을 이루므로

[eqn: 2TRIANGLE rm CDB= TRIANGLE rm ADC + TRIANGLE rm ABC]

[eqn: 2a ^{2} =b ^{2} +c ^{2}]                               [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: 3a^2 =2c^2]

[eqn: therefore`` cosB= { a} over {c }= sqrt { { 2} over {3 } }= { sqrt { 6} } over {3 }]

67  [eqn: -6]

답

해

설

세 근을 [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d]로 놓으면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (a-d)+a+(a+d)=6]                    [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: (a-d) CDOT a+a(a+d)+(a+d)(a-d)=11]  [eqn: CDOTS cdots]㉡

[eqn: (a-d)a(a+d)=-k]                       [eqn: CDOTS cdots]㉢

㉠에서  [eqn: 3a=6]   [eqn: therefore``a=2]

㉡에서

[eqn: (2-d)cdot2+2(2+d)+(2+d)(2-d)=11]

[eqn: therefore``d=+-1]

따라서 ㉢에서 [eqn: k=-a(a^2 -d^2 )=-6]

참

고

세 수가 등차수열을 이루면 세 수를 [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d]로 놓고, 네 수가 등차수열을 이루면 네 수를 [eqn: a-3d], [eqn: a-d], [eqn: a+d], [eqn: a+3d]로 놓는다.

68  [eqn: {2} over {3}]

답

해

설

네 실근을 [eqn: alpha-3d], [eqn: alpha-d], [eqn: alpha+d], [eqn: alpha+3d]로 놓으며

[eqn: ( 네~실근의~합)=4alpha=0]   [eqn: therefore``alpha=0]

따라서 [eqn: -3d], [eqn: -d], [eqn: d], [eqn: 3d]를 네 근으로 하고 [eqn: x^4]의 계수가 [eqn: 3]인 사차방정식은

[eqn: 3(x+3d)(x+d)(x-d)(x-3d)=0]

[eqn: 3(x^2 -d^2 )(x^2 -9d^2 )=0]

[eqn: 3x^4 -30d^2 x^2 +27d^4 =0]                    [eqn: CDOTS cdots]㉠

㉠과 방정식 [eqn: 3x^4 -5(a+1)x^2 +3a^2 =0]의 계수를 비교하면

[eqn: 5(a+1)=30d^2], [eqn: 27d^4 =3a^2]

[eqn: therefore``a+1=6d^2], [eqn: 9d^4 =a^2]

위의 식에서 [eqn: (a+1)^2 =36d^4 =4a^2]

[eqn: therefore`` 3a^2 -2a-1=0]

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: a]의 값들의 합은 [eqn: { 2} over {3 }]이다.

69  [eqn: 1952]년

답

해

설

제[eqn: 7]권의 발행연도를 [eqn: a]로 놓으면 각 권의 발행연도는 제[eqn: 1]권부터 차례로

[eqn: a-6d], [eqn: a-5d], [eqn: a-4d], [eqn: a-3d], [eqn: a-2d], [eqn: a-d], [eqn: a] (단, [eqn: d=9])

이들의 합은 [eqn: 7a-21d]이다.

[eqn: therefore``7a-21d=13601]

[eqn: d=9]이므로 [eqn: a=1970]

따라서 제[eqn: 5]권의 발행연도는

[eqn: a-2d=1970-18=1952](년)

70  [eqn: 495]

답

해

설

주어진 조건을 만족하는 자연수를 [eqn: N]이라고 하면 [eqn: N]은 연속한 [eqn: 9]개, [eqn: 10]개, [eqn: 11]개를 자연수의 합으로 나타낼 수 있으므로

[eqn: N=a+(a+1)+cdots+(a+8)]

[eqn: =9a+36=9(a+4)]                     [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: N=b+(b+1)+ CDOTS +(b+9)]

[eqn: =10b+45=5(2a+9)]                   [eqn: CDOTS cdots]㉡

[eqn: N=c+(c+1)+ CDOTS +(c+10)]

[eqn: =11c+55=11(c+5)]                   [eqn: CDOTS cdots]㉢

㉠, ㉡에서 [eqn: 5]와 [eqn: 9]는 서로소이므로 [eqn: a+4]는 [eqn: 5]의 배수이다.

또 ㉠, ㉢에서 [eqn: 9]와 [eqn: 11]은 서로소이므로 [eqn: a+4]는 [eqn: 11]의 배수이다.

따라서 [eqn: a+4]는 [eqn: 55]의 배수이고 이 중 가장 작은 자연수는 [eqn: 55]이다.

[eqn: therefore``N=9times55=495]

71  ⑴ [eqn: 210]   ⑵ [eqn: 289]

답

해

설

⑴ 첫째항이 [eqn: 1], 끝항이 [eqn: 20], 항수가 [eqn: 20]이므로

[eqn: S _{20} = {20(1+20)} over {2} =210]

⑵ 첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 2], 항수가 [eqn: 17]이므로

[eqn: S _{17} = {17(2cdot1+16cdot2)} over {2} =289]

72  [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{3} =5], [eqn: a _{4} =7], [eqn: a _{5} =9]

답

해

설

[eqn: a _{1} =S _{1} =1 ^{2} =1]

[eqn: a _{2} =S _{2} -S _{1} =2 ^{2} -1 ^{2} =3]

[eqn: a _{3} =S _{3} -S _{2} =3 ^{2} -2 ^{2} =5]

[eqn: a _{4} =S _{4} -S _{3} =4 ^{2} -3 ^{2} =7]

[eqn: a _{5} =S _{5} -S _{`4} =5 ^{2} -4 ^{2} =9]

참

고

[eqn: S _{n} =n ^{2}]이므로

[eqn: n GEQ 2]일 때 [eqn: a_n =S_n -S_n-1 =n^2 -(n-1)^2 =2n-1]

[eqn: n=1]일 때 [eqn: a_1 =S_1 =1]

따라서 일반항은  [eqn: a_n =2n-1]

73  ⑴ [eqn: 110]   ⑵ [eqn: -{ 5} over {2 }]

답

해

설

⑴ 첫째항이 [eqn: a=2], 공차가 [eqn: d=2], 항수가 [eqn: n=10]이므로 [eqn: S_10 = { 10 left{2 times 2 +(10-1)times2 right}} over { 2}=110]

⑵ 첫째항이 [eqn: a=2], 공차가 [eqn: d=- { 1} over { 2}], 항수가 [eqn: n=10]이므로 [eqn: S_10 = { 10 left{2 times2+(10-1)times left(- { 1} over { 2}right) right} } over {2 }=- { 5} over {2 }]

74  [eqn: 180]

답

해

설

첫째항이 [eqn: a=10], 끝항이 [eqn: l=20], 항수가 [eqn: n=12]이므로 [eqn: S_12 = { 12(10+20)} over { 2}=180]

75  [eqn: n^2 -4n]

답

해

설

첫째항은 [eqn: a_1 =2 cdot1-5=-3]

공차는 [eqn: d=2]

따라서 주어진 수열의 합은

[eqn: S_n = { n left{2 times(-3)+(n-1)times2 right}} over { 2}]

[eqn: =n(n-4)]

[eqn: =n^2 -4n]

76  ⑴ [eqn: 3]   ⑵ [eqn: 21]   ⑶ [eqn: a_n =2n+1]

답

해

설

⑴ [eqn: a_1 =S_1 =1^2 +2 cdot1=3]

⑵ [eqn: a_10 =S_10 -S_9]

[eqn: =(10^2 +2cdot10)-(9^2 +2cdot9)=21]

⑶ [eqn: n geq 2]일 때 [eqn: S_n-1 =(n-1)^2 +2(n-1)]이므로

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: =(n ^{2} +2n)- LEFT { (n-1) ^{2} +2(n-1) RIGHT } =2n+1]

[eqn: a_1 =3]은 [eqn: a_n =2n+1]에 [eqn: n=1]을 대입한 것과 같다.

따라서 일반항은  [eqn: a_n =2n+1]

77  [eqn: 3]

답

해

설

공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: S_20 = { 20} over {2 }(2times2 +19 timesd)=610]

[eqn: 4+19d=61]  [eqn: therefore``d=3]

78  [eqn: 45]

답

해

설

수열 [eqn: 1], [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: x_3], [eqn: cdots], [eqn: x_9], [eqn: 9]는 등차수열을 이루므로 이들의 합은

[eqn: 1+x_1 +x_2 +x_3 +cdots+x_9 +9 = { 11(1+9)} over { 2}=55]

[eqn: therefore``x_1 +x_2 + x_3 + cdots+x_9 =45]

참

고

등차수열 [eqn: 1], [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: x_3], [eqn: cdots], [eqn: x_9], [eqn: 9]의 공차를 [eqn: d]라고 하면 이 수열의 제[eqn: 11]항이 [eqn: 9]이므로

[eqn: 9=1+(11-1)d]   [eqn: therefore``d= { 4} over {5 }]

79  [eqn: 112]개, 합: [eqn: 61376]

답

해

설

[eqn: 8]의 배수를 [eqn: 8N]([eqn: N]은 자연수)으로 나타내면

[eqn: 100 leq 8N <1000]   [eqn: therefore``12.5 leq N <125]

따라서 [eqn: 8]의 배수는 다음과 같다.

[eqn: 8 times 13], [eqn: 8 times 14], [eqn: cdots], [eqn: 8 times 124]

이것은 첫째항이 [eqn: 104], 끝항이 [eqn: 992]인 등차수열로 항수 [eqn: n]은

[eqn: n=124-(13-1)=112](개)

그러므로 구하는 합 [eqn: S]는

[eqn: S= { 112(104+992)} over { 2}=61376]

80  ⑴ [eqn: -3]   ⑵ [eqn: 35]   ⑶ [eqn: 2n-5]

답

해

설

⑴ [eqn: a_1 =S_1 =1(1-4)=-3]

⑵ [eqn: a_20 =S_20 -S_19]

[eqn: =left{ 20(20-4) right}-left{19(19-4)right}]

[eqn: =320-285=35]

⑶ [eqn: S_n =n(n-4)]에서

[eqn: n geq 2]일 때 [eqn: S_n-1 =(n-1)(n-1-4)]이므로

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: =left{ n(n-4)right}-left{(n-1)(n-5)right}]

[eqn: =n^2 -4n -n^2 +6n -5]

[eqn: =2n-5]

[eqn: a_1 =-3]은 [eqn: a_n =2n-5]에 [eqn: n=1]을 대입한 것과 같다. 따라서 일반항은  [eqn: a_n =2n-5]

81  [eqn: 30]

답

해

설

주어진 직각삼각형과 합동인 삼각형을 오른쪽 그림과 같이 포개면 하나의 직사각형이 된다. [eqn: 10]개의 선분의 길이의 합을 [eqn: S]라고 하면

[eqn: 2S=6 times10]   [eqn: therefore``S=30]

82  [eqn: k=8]

답

해

설

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a+5d=42][eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a+11d=78][eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=12], [eqn: d=6]

따라서 첫째항부터 제[eqn: k]항까지의 합은

[eqn: { k left{ 2 times 12 +(k-1)times6 right}} over { 2}=264], [eqn: 3k^2 +9k-264=0]

[eqn: k^2 +3k-88=0], [eqn: (k-8)(k+11)=0]

[eqn: therefore``k=8]

83  [eqn: 12]

답

해

설

[eqn: { (n+2)(8-30)} over {2 }=228]에서

[eqn: (n+2)times19=228]   [eqn: therefore``n=10]

[eqn: 30]은 주어진 수열의 제[eqn: 12]항이므로

[eqn: 8+11d=30]   [eqn: therefore``d=2]

[eqn: therefore``n+d=12]

84  [eqn: 500]

답

해

설

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a+d=8], [eqn: a+9d=24]

[eqn: therefore``c=6], [eqn: d=2]

따라서 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합은

[eqn: S_20 = { 20 left{2times6+(20-1)times2 right}} over {2 }=500]

85  [eqn: 90]

답

해

설

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: S_10 =10]에서  [eqn: { 10} over {2 }(2a+9d)=10]

[eqn: therefore``2a+9d=2]                             [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: S_20 =40]에서  [eqn: { 20} over {2 }(2a+19d)=40]

[eqn: therefore``2a+19d=4]                            [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a= { 1} over {10 }], [eqn: d= { 1} over {5 }]

[eqn: therefore``S_30 = { 30} over { 2}left{2 times { 1} over {10 }+(30-1)times { 1} over {5 }right}=90]

86  ⑴ [eqn: 9]   ⑵ [eqn: 17]   ⑶ [eqn: 27]

답

해

설

⑴ [eqn: a_6 +a_7 + a_8 + a_9 + a_10]

[eqn: =S_10 -S_5]

[eqn: =10-1=9]

⑵ [eqn: A=a_1 +a_2 +cdots+a_5], [eqn: B=a_6 +a_7 + cdots+a_10], [eqn: C=a_11 +a_12 + cdots+a_15]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 따라서

[eqn: A=a_1 +a_2 +cdots+a_5 =1], [eqn: B=a_6 +a_7 + cdots+a_10 =9]에서 [eqn: B-A=8], 즉 수열 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 공차가 [eqn: 8]이므로 [eqn: C=a_11 +a_12 + cdots+a_15 =9+8=17]

⑶ [eqn: S_15 =S_10 +(a_11 + a_12 + cdots+a_15 )]

[eqn: =10+17=27]

87  [eqn: 338]

답

해

설

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 하면

[eqn: S_n ={ n left{2times50 +(n-1)times(-4) right}} over { 2}]

[eqn: =-2n^2 +52n=-2(n-13)^2 +338]

따라서 [eqn: n=13]일 때, 즉 제[eqn: 13]항까지의 합이 최대가 되고 그 최댓값은 [eqn: 338]이다.

참

고

[eqn: a_n =50 +(n-1)times(-4)=-4n+54 <0]에서

[eqn: n>13.5]

즉, 제[eqn: 14]항부터 음수항이 나오므로 제[eqn: 13]항까지의 합이 최대임을 알 수 있다.

88  [eqn: 17]

답

해

설

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 하면

[eqn: S_n = { n left{2 times120+(n-1)times(-16) right} } over {2 }=-8n(n-16)]

[eqn: S_n <0]에서 [eqn: -8n(n-16) <0], [eqn: n(n-16)>0]

이때 [eqn: n>0]이므로 [eqn: n>16]

따라서 합이 음수가 되게 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 17]이다.

89  제[eqn: 13]항, [eqn: -9]

답

해

설

[eqn: S _{n} = {n LEFT { 2 TIMES (-5)+(n-1) TIMES 2 RIGHT }} over {2}]

[eqn: =n ^{2} -6n=(n-3) ^{2} -9]

따라서 제[eqn: 3]항까지의 합이 최소가 되고 그 최솟값은 [eqn: -9]이다.

90  제[eqn: 9]항

답

해

설

[eqn: S _{3} = {3(14+2d)} over {2} =3d+21]

[eqn: S _{5} = {5(14+4d)} over {2} =10d+35]

[eqn: S _{3} =S _{5}]이므로  [eqn: 3d+21=10d+35]   [eqn: therefore``d=-2]

[eqn: THEREFORE ``S _{n}= { n left{14+(n-1)times (-2) right}} over { 2}=-n^2 +8n]

[eqn: S_n <0]에서 [eqn: -n^2 +8n <0], [eqn: n(n-8)>0]

이때 [eqn: n>0]이므로 [eqn: n>8]

따라서 첫째항부터 제[eqn: 9]항까지의 합이 처음으로 음수가 된다.

91  ⑴ [eqn: a_n =2n+2]   ⑵ [eqn: cases{ a_1 =4& # a_n =2n+1&(n geq 2) }]

답

해

설

⑴ [eqn: n geq 2]일 때

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: =(n^2 +3n)-left{(n-1)^2 +3(n-1)right}=2n+2]

[eqn: CDOTS cdots]㉠

한편 [eqn: a_1 =S_1 =1+3 =4]는 ㉠에 [eqn: n=1]을 대입한 것과 같다. 따라서 일반항은  [eqn: a_n =2n+2]

⑵ [eqn: n geq 2]일 때

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: =(n+1)^2 -n^2 =2n+1]                [eqn: CDOTS cdots]㉠

한편 [eqn: a_1 =S_1 =(1+1)^2 =4]이다. 그러나 ㉠에 [eqn: n=1]을 대입하면 [eqn: a_1 =2 times1 +1=3 !=4]이므로 일반항은

[eqn: cases{ a_1 =4& # a_n =2n+1&(n geq 2) }]

92  ⑴ [eqn: a _{n} =4n-1]   ⑵ [eqn: {cases{a _{1} =4&#a _{n} =4n-1&(n GEQ 2)}}]

답

해

설

⑴ [eqn: n geq 2]일 때

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: =2n^2 +n-left{2(n-1)^2 +(n-1) right}]

[eqn: =4n-1]

한편 [eqn: a _{1} =S _{1} =2+1=3]이므로 [eqn: a _{n} =4n-1]은 [eqn: n=1]일 때도 성립한다. 따라서 일반항은 [eqn: a _{n} =4n-1]

⑵ [eqn: n geq 2]일 때

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: =2n ^{2} +n+1-left{2(n-1) ^{2} +(n-1)+1right}]

[eqn: =4n-1]

한편 [eqn: a _{1} =S _{1} =2+1+1=4]이고 [eqn: a _{n} =4n-1]은 [eqn: n=1]일 때 성립하지 않는다. 따라서 일반항은

[eqn: {cases{a _{1} =4&#a _{n} =4n-1&(n GEQ 2)}}]

93  [eqn: 5050]

답

해

설

[eqn: S=(100 ^{2} -99 ^{2} )+(98 ^{2} -97 ^{2} )+cdots+(2 ^{2} -1 ^{2} )]

[eqn: =(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)]

[eqn: + CDOTS +(2+1)(2-1)]

[eqn: =(100+99)+(98+97)+cdots+(2+1)]

[eqn: ={ 100(100+1)} over {2 }=5050]

94  [eqn: 1890]

답

해

설

공차를 [eqn: d]라고하 하면

[eqn: S_10 = { 10} over {2 }(2times5 +9 times d)=230]

[eqn: 50+45d=230]   [eqn: therefore``d=4]

[eqn: therefore``S_30 = { 30} over { 2}(2times5+29 times4)=1890]

95  [eqn: 745]

답

해

설

주어진 등차수열의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: S_10 = { 10(2a+9d)} over { 2}=145]에서

[eqn: 2a+9d=29]

[eqn: S_20 -S_10 = { 20(2a+19d)} over {2 }=145=445]에서

[eqn: 2a+19d=59]

㉠, ㉡에서 [eqn: a=1], [eqn: d=3]

[eqn: therefore``S_20 -S_10 = { 30(2+29times3)} over {2 }-(145+445)]

[eqn: =1335-590]

[eqn: =745]

96  [eqn: 75]

답

해

설

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_10]이 차례로 등차수열을 이루고 [eqn: a_1 =5], [eqn: a_10 =10]이므로

[eqn: a_1 +a_2 + cdots+a_10 = { 10(5+10)} over { 2}=75]

97  ①

답

해

설

제[eqn: 47]항까지의 항 중 홀수 번째 항은 [eqn: 24]개이므로

[eqn: { 240} over { 24}=10]

첫째항부터 제[eqn: 47]항까지의 평균은 10이므로 그 합은 [eqn: 47times 10=470]

98  [eqn: n:(n-1)]

답

해

설

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라고 하자.

[eqn: S_1]은 첫째항이 [eqn: a_1], 공차가 [eqn: 2d], 항수가 [eqn: n]인 등차수열의 합이고, [eqn: S_2]는 첫째항이 [eqn: a_1 +d], 공차가 [eqn: 2d], 항수가 [eqn: n-1]인 등차수열의 합이다.

[eqn: therefore``S_1 =a_1 +a_3 +cdots+a_2n-1]

[eqn: ={ n left{2a_1 +(n-1)cdot2d right}} over { 2}]

[eqn: THEREFORE ``S _{2} =a _{2} +a _{4} + CDOTS +a _{2n}]

[eqn: = {(n-1) LEFT { 2(a _{1} +d)+(n-2) CDOT 2d RIGHT }} over {2}]

[eqn: therefore``S _{1} :S _{2} =n:(n-1)]

99  [eqn: 9]

답

해

설

[eqn: S _{p} = {p left{-8+(p-1)right}} over {2}= { p(p-9)} over {2 }]

[eqn: S _{q} = {q LEFT { -8+(q-1) RIGHT }} over {2} = {q(q-9)} over {2}]

[eqn: S _{p} =S _{q}]이므로

[eqn: p(p-9)=q(q-9)]

[eqn: p ^{2} -9p=q ^{2} -9q]

[eqn: (p-q)(p+q-9)=0]

[eqn: therefore``p+q=9]

100  [eqn: 9]

답

해

설

볼록 [eqn: n]각형의 내각의 크기의 합이 [eqn: (n-2)times180DEG]이므로

[eqn: {n left{240+(n-1)5 right}} over {2}=180(n-2)]

[eqn: n^2 -25n +144 =0]

[eqn: (n-9)(n-16)=0]

이때 [eqn: n<15]이므로 [eqn: n=9]

101  [eqn: 25]

답

해

설

[eqn: { (n-m+1)(m+n)} over {2 }=100]에서

[eqn: (m+n)(n-m+1)=200=2^3 cdot 5^2]

이때 [eqn: m+n >n-m+1]이고, [eqn: m+n], [eqn: n-m+1] 중에서 한쪽은 짝수, 다른 한쪽은 홀수이다.

(ⅰ) [eqn: m+n=200], [eqn: n-m+1=1]일 때

[eqn: m=n=100]

그런데 [eqn: m<n]이므로 모순이다.

(ⅱ) [eqn: m+n =40], [eqn: n-m+1=5]일 때

[eqn: m=18], [eqn: n=22]

그런데 [eqn: n<20]이므로 모순이다.

(ⅲ) [eqn: m+n=25], [eqn: n-m+1=8]일 때

[eqn: m=9], [eqn: n=16]

이것은 주어진 조건을 만족한다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여  [eqn: m+n=25]

102  [eqn: 13]

답

해

설

[eqn: S_n =50]에서  [eqn: { n left{2m+(n-1)times1 right}} over { 2}=50]

[eqn: therefore`` n(2m+n-1)=100]

[eqn: n]은 자연수이므로 위의 식을 만족하는 [eqn: n], [eqn: m]의 값은 다음 표와 같다.

[eqn: n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 10]	[eqn: 20]	[eqn: 25]	[eqn: 50]	[eqn: 100]
[eqn: m]	[eqn: 50]	[eqn: { 49} over {2 }]	[eqn: 11]	[eqn: 8]	[eqn: { 1} over {2 }]	[eqn: -7]	[eqn: -10]	[eqn: {- 47} over {2 }]	[eqn: -49]

또한 [eqn: m]은 자연수이고, [eqn: m leq 10]이므로 [eqn: n=5], [eqn: m=8]

[eqn: therefore``m+n=8+5=13]

103  [eqn: { 15} over { 31}]

답

해

설

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]의 공차를 각각 [eqn: s], [eqn: t]라고 하면

[eqn: A_n = { n} over {2 }left{ 2a_1 +(n-1)s right}]

[eqn: B_n = { n} over {2 }left{ 2b_1 +(n-1)t right}]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: { A_n} over {B_n }= { 2a_1 +(n-1)s } over { 2b_1 +(n-1)t}= { 3n+6} over {7n+2 }][eqn: CDOTS cdots]㉠

한편 [eqn: a_7 =a_1 +6s], [eqn: b_7 =b_1 +6t]이므로

[eqn: { a_7} over {b_7 }= { a_1 +6s} over { b_1 +6t}= { 2a_1 +12s} over {2b_1 +12t}]

㉠에 [eqn: n=13]을 대입하면

[eqn: { 2a_1 +12s} over {2b_1 +12t }= { 3times13 +6} over {7times13+2 }= { 15} over {31 }]

[eqn: therefore`` { a_7} over {b_7 }= { 15} over { 31}]

104  [eqn: 2]

답

해

설

[eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수 중 [eqn: k]([eqn: 1 leq k leq n])를 지우고 남은 수들의 합을 [eqn: S]라고 하면

[eqn: 1+2+cdots+(n-1) leq S leq 2+3+cdots+n]

[eqn: { 1+2+cdots+(n-1) } over { n-1}leq { S} over {n-1 } leq { 2+3+cdots+n} over {n-1 }]

이때 [eqn: 1+2+cdots+(n-1)= { n(n-1)} over { 2}]

[eqn: 2+3+cdots+n = { (n-1)(n+2)} over { 2}]

이므로

[eqn: { n} over {2 }leq { S} over {n-1 }leq { n+2} over {2 }]

그런데 [eqn: { S} over {n-1 }=6.4]이므로 [eqn: { n} over {2 } leq 6.4 leq { n+2} over { 2}]

[eqn: therefore``10.8 leq n leq 12.8]

즉, 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 11] 또는 [eqn: 12]이다.

(ⅰ) [eqn: n=11]이면 [eqn: 1]부터 [eqn: 11]까지의 자연수 중 하나를 지우고 남은 [eqn: 10]개의 평균이 [eqn: { S} over {10 }]이므로

[eqn: { S} over {10 }=6.4]   [eqn: therefore``S=64]

[eqn: therefore``(1+2+cdots+11)-64=2]

따라서 지운 수는 [eqn: 2]이다.

(ⅱ) [eqn: n=12]이면 [eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수 중 하나를 지우고 남은 [eqn: 11]개의 평균은 [eqn: { S} over { 11}]이다.

이때 [eqn: { S} over {11 }=6.4]를 만족하는 자연수 [eqn: S]의 값은 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 지운 수는 [eqn: 2]이다.

105  [eqn: 2500]

답

해

설

(ⅰ) [eqn: n leq 1]일 때

[eqn: S=(1-n)+(2-n)+cdots+(100-n)]

[eqn: =5050-100n]

따라서 [eqn: n=1]일 때 최소가 되며 그 최솟값은 [eqn: S=4950]

(ⅱ) [eqn: n geq 100]일 때

[eqn: S=(n-1)+(n-2)+cdots+(n-100)]

[eqn: =100n-5050]

따라서 [eqn: n=100]일 때 최소가 되며 그 최솟값은 [eqn: S=4950]

(ⅲ) [eqn: 1 < n<100]일 때

[eqn: S=(n-1)+(n-2)+cdots+(n-n)]

[eqn: +left{(n+1)-n right} +cdots+(100-n)]

[eqn: =left{ (n-1)+(n-2)+cdots+2+1 right}]

[eqn: +left{1+2+cdots+(100-n)right}]

[eqn: ={ 1} over {2 }n(n-1)+ { 1} over {2 }(100-n)(101-n)]

[eqn: =n^2 -101n +5050]

따라서 [eqn: n]이 [eqn: { 101} over {2 }]에 가장 가까운 정수 [eqn: 50], [eqn: 51]일 때 최소가 되며 그 최솟값은 [eqn: S=2500]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: n=50] 또는 [eqn: n=51]일 때 최솟값이며 그 최솟값은 [eqn: 2500]이다.

106  [eqn: 1170]

답

해

설

[eqn: rm B]열의 좌석 수를 [eqn: x]라고 하면

[eqn: 10:11=30:x]   [eqn: therefore``x=33]

[eqn: rm C]열의 좌석 수를 [eqn: y]라고 하면

[eqn: 10:12 =30:y]  [eqn: therefore`` y=36]

이와 같이 생각하면 [eqn: rm A]열부터 [eqn: rm T]열까지 [eqn: 20]열의 죄석 수는 첫째항이 [eqn: 30], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열을 이루므로 전체의 좌석 수는

[eqn: { 20(60+19cdot3)} over { 2}=1170]

수학Ⅱ	Ⅲ. 수열		1. 등차수열과 등비수열			정답
	03 등비수열

01  ⑴ [eqn: 3]   ⑵ [eqn: -2]   ⑶ [eqn: sqrt { 2}-1]   ⑷ [eqn: -2]

답

해

설

⑴ [eqn: { 6} over {2 }=3]

⑵ [eqn: { -2} over {1 }=-2]

⑶ [eqn: { 1} over { sqrt { 2}+1 }= sqrt { 2}-1]

⑷ [eqn: { a_n+1} over {a_n }=-2]

02  ⑴ [eqn: 244], [eqn: 122], [eqn: { 61} over { 2}]   ⑵ [eqn: -6], [eqn: 12], [eqn: 48]

답

해

설

이 등비수열을 [eqn: left{a_n right}], 공비를 [eqn: r]라고 하면

⑴ [eqn: a_4 = 488 cdot r^3 =61], [eqn: r^3 = { 1} over {8 }]   [eqn: therefore`` r= { 1} over {2 }]

[eqn: therefore``a_2 =488 times { 1} over {2 }=244]

[eqn: a_3 = 488 timesleft( { 1} over {2 }right)^2 =122]

[eqn: a_4 =488 times left( { 1} over { 2}right)^4 = { 61} over {2 }]

⑵ [eqn: a_4 = 3 cdot r^3 =-24], [eqn: r^3 =-8]   [eqn: therefore`` r=-2]

[eqn: THEREFORE ``a _{2} =3 TIMES (-2)=-6]

[eqn: a _{3} =3 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} =12]

[eqn: a _{5} =3 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{4} =48]

03  [eqn: 2(3 ^{n} -1)]

답

해

설

첫째항이 [eqn: 4], 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이므로 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]은

[eqn: S _{n} = {4(3 ^{n} -1)} over {3-1} =2(3 ^{n} -1)]

04  ⑴ [eqn: a _{n} =3cdot2 ^{n-1}]    ⑵ 제[eqn: 11]항

답

해

설

⑴ 이 등비수열을 [eqn: left{a_n right}], 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라고 하면

[eqn: a _{3} =ar ^{2} =12]                              [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a _{7} =ar ^{6} =192]                             [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉡[eqn: ÷]㉠을 하면 [eqn: r^4 =16]   [eqn: therefore``r=+-2]

[eqn: r]는 양수이므로  [eqn: r=2]

㉠에서 [eqn: a= { 12} over { r^2}= { 12} over {4 }=3]

[eqn: therefore``a_n =3 cdot 2^n-1]

⑵ 제[eqn: n]항부터 [eqn: 3000]을 넘는다고 하면 [eqn: 3cdot2^n-1 >3000]   [eqn: therefore``2^n-1 >1000]

[eqn: 2^9 =512], [eqn: 2^10 =1024]이므로

[eqn: n-1 geq 10]   [eqn: therefore``n geq 11]

따라서 제[eqn: 11]항이 처음으로 [eqn: 3000]을 넘는 항이다.

05  [eqn: 15]

답

해

설

[eqn: 4], [eqn: a], [eqn: b]가 등비수열을 이루므로  [eqn: a^2 =4b]    [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: 12]가 등차수열을 이루므로 [eqn: 2b=a+12][eqn: CDOTS cdots]㉡

㉡에서 [eqn: a=2b-1]이므로 ㉠에 대입하여 풀면

[eqn: b^2 -13b+36=0], [eqn: (b-4)(b-9)=0]

[eqn: therefore``b=4], [eqn: 9]

[eqn: therefore``b=4]일 때 [eqn: a=-4], [eqn: b=9]일 때 [eqn: a=6]

[eqn: a], [eqn: b]는 양수이므로 [eqn: a=6], [eqn: b=9]   [eqn: therefore``a+b=15]

06  [eqn: 36]

답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면 [eqn: a_1 +a_2 +a_3 =6]에서

해

설

[eqn: a_1 +a_1 r +a_1 r^2 =6]

∴ [eqn: a_1 (1+r+r^2 ) =6]                      [eqn: cdots cdots] ㉠
또, [eqn: a_4 +a_5 +a_6 =48]에서 [eqn: a_1 r^3 +a_1 r^4 +a_1 r^5 =48]
∴ [eqn: a_1 r^3 (1+r+r^2 )= 48]                   [eqn: cdots cdots] ㉡
㉡[eqn: div]㉠을 하면 [eqn: r^3 =8]

∴ [eqn: r=2]
[eqn: r=2]를 ㉠에 대입하면 [eqn: a_1 cdot 7 =6]

∴ [eqn: a_1 = 6over7]
[eqn: a_2 +a_4 +a_6][eqn: =a_1 r +a_1 r^3 +a_1 r^5][eqn: =a_1 r(1+r^2 +r^4 )]
[eqn: = 6over7 cdot 2 cdot 21 = 36]

07  [eqn: 27]

답

[eqn: a_n = a cdot 3^n-1]에서
[eqn: {a_2 +a_4 +a_6 +a_8 +a_10 }]

해

설

[eqn: = 3a+3^3 a +3^5 a + 3^7 a + 3^9 a][eqn: =3a(1+3^2 +3^4 +3^6 +3^8 )]
[eqn: {a_5 +a_7 +a_9 +a_11 +a_13}]	[eqn: =3^4 a + 3^6 a + 3^8 a + 3^10 a +3^12 a][eqn: =3^4 a(1+3^2 +3^4 +3^6 +3^8 )]
[eqn: {a_5 +a_7 +a_9 +a_11 +a_13} over {a_2 +a_4 +a_6 +a_8 +a_10 }][eqn: ={ 3^4 a(1+3^2 +3^4 +3^6 +3^8 )} over {3a(1+3^2 +3^4 +3^6 +3^8 )}][eqn: =3^3 = 27]

08  ②

답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면
[eqn: a_n = ar^n-1]
∴ [eqn: 7a_n +a_n+1][eqn: =7ar^n-1 +ar^n][eqn: =(7a+ar)r^n-1]
즉, [eqn: 7a+ar=18], [eqn: r=2]이므로 [eqn: 9a=18]

해

설

∴ [eqn: a=2]
따라서 [eqn: a_n = 2 cdot 2^n]에서 [eqn: a_2 = 2 cdot 2 =4]

09  [eqn: 6]

답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면
[eqn: a_3 = root3 of 5 cdot r^2 = 5]

해

설

[eqn: r^2 = root3 of 5^2]
∴ [eqn: r= root3 of 5] (∵ [eqn: r>0])
따라서 [eqn: a_n = root3 of 5 cdot ( root3 of 5 )^n-1 = (root3 of 5 )^n]이므로 등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 [eqn: n]이 [eqn: 3]의 배수일 때 정수가 된다.
즉, 제[eqn: 3]항 이후에 처음으로 정수가 되는 항은 제[eqn: 6]항이다.

104  ②

답

공비를 [eqn: r``]라 하면 첫째항이 [eqn: 1`], 제 [eqn: 6`]항이 [eqn: 100`]이므로
[eqn: 1`cdot r^5``=``100``,```~r^5`=``100`]
∴ [eqn: r``=``100^{1 over 5}``=``10 ^{2 over5}]
따라서 [eqn: a_3``=``1`cdot r^3``=``( 10 ^{2 over 5})^3``=``10^{6 over 5}``]이므로
[eqn: 10`log``a_3``=``10 log `10^{6 over 5}``=``10 cdot 6 over 5``=``12``]

해

설

11  [eqn: 17``]

답

다항식 [eqn: f`(x)`=`x^2`+`2`x`+`a`]를 일차식 [eqn: x+1, x-1, x-2]로 나누었을 때의 나머지는 각각 [eqn: f(-1)=a-1], [eqn: f(1)=a+3], [eqn: f(2)=a+8]이다.
이 때, [eqn: a-1, a+3, a+8]이 이 순서로 등비수열을 이루므로
[eqn: (a+3)^2 =(a-1)(a+8) ``]
[eqn: 6a+9=7a-8]
∴ [eqn: a=17]

해

설

12  [eqn: 4]

답

[eqn: 0. dota][eqn: = a over9], [eqn: 0.0 dotb][eqn: = b over 90], [eqn: 0.00dotc][eqn: = c over 900]에서 [eqn: a over9], [eqn: b over 90], [eqn: c over 900]가 이 순서로 등비수열을 이루므로
[eqn: left( b over 90 right)^2 = a over 9 cdot c over 900]  ∵ [eqn: b^2 =ac]
이때 [eqn: a,~b,~c]는 한 자리의 서로 다른 자연수이므로 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]는
[eqn: (1,~2,~4)], [eqn: (1,~3,~9)], [eqn: (2,~4,~8)], [eqn: (4,~6,~9)]의 [eqn: 4]개

해

설

13  ②

답

[eqn: 2``, `` a `` , `` b]가 이 순서로 등비수열을 이루므로

해

설

[eqn: a^2 = 2 b]                                    ⋯⋯ ㉠
[eqn: a `` ,``b `` , ``12]가 이 순서로 등차수열을 이루므로
[eqn: 2b = a+12]                                ⋯⋯ ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
[eqn: a^2 = a +12] , [eqn: ( a - 4 ) ( a +3) =0]
∴ [eqn: a=4] (∵ [eqn: a>0])
[eqn: a`=``4`]를 ㉠에 대입하면

[eqn: 16``=2b``]

∴ [eqn: b``=``8``]
∴ [eqn: a+b=4`+``8``=``12]

14  ③

답

[eqn: a `` , ``b``,``c] 가 이 순서로 등차수열을 이루므로
[eqn: 2b = a +c]                                 ⋯⋯ ㉠
[eqn: b``,``a``,``c] 가 이 순서로 등비수열을 이루므로
[eqn: a^2 = b c]                                    ⋯⋯ ㉡
또, 세 수의 곱이 [eqn: 27]이므로
[eqn: a b c = 27]                                   ⋯⋯ ㉢
㉡을 ㉢에 대입하면
[eqn: a^3 = 27]

해

설

[eqn: THEREFORE ~ a =3]                                   ⋯⋯ ㉣
㉣을 ㉠에 대입하면
[eqn: 2 b = 3 +c]

∴ [eqn: c``=``2b``-``3``]                            ⋯⋯ ㉤
㉣, ㉤을 ㉡에 대입하면
[eqn: 9``=``b`(2b-3)], [eqn: 2b^2``-``3b``-``9``=``0``]
[eqn: (2b`+3`)(b-3)``=``0``]
∴[eqn: b =3] 또는 [eqn: b = - 3 over 2]
그런데, [eqn: a≠b]이므로 [eqn: b = - 3 over 2]
[eqn: b = - 3 over 2]을 ㉤에 대입하면

[eqn: c``=``2`cdot (- 3 over 2`)```-3````=`-6``]
∴ [eqn: a +2b +3c = 3 -3 - 18 = -18]

15  [eqn: 43]

답

해

설

[eqn: 20,~x-9,~y+3]이 이 순서로 등차수열을 이루므로
[eqn: 2(x-9)= 20+ (y+3)]                    [eqn: cdots cdots] ㉠
[eqn: x-9,~y+3,~2]가 이순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: (y+3)^2 = 2(x-9)]                        [eqn: cdots cdots] ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
[eqn: (y+3)^2 =20+(y+3)]
[eqn: y^2 +5y-14=0],[eqn: (y+7)(y-2)=0]
∴ [eqn: y=2] (∵ [eqn: y>0])
이를 ㉠에 대입하면 [eqn: x= 43 over2]
∴ [eqn: xy = 43 over2 cdot 2 = 43]

16  ⑤

답

세 실수를 [eqn: a``,``ar``,``ar^2``]으로 놓으면
[eqn: a`+``ar``+``ar^2``=``7``]                         ⋯⋯ ㉠
[eqn: a`cdot ar`cdot ar^2``=``8``]                          ⋯⋯ ㉡
㉡에서 [eqn: (ar)^3``=``8``]이므로
[eqn: ar``=``2```]

해

설

∴ [eqn: a``=``2 over r``]
[eqn: a`=``2 over r``]를 ㉠에 대입하면
[eqn: 2 over r``+``2``+``2r``=``7``]
양변에 [eqn: r`]을 곱하여 정리하면
[eqn: 2r^2``-``5r``+``2``=`0``,~(2r-1)`(r-2)``=`0``]
∴ [eqn: r`=``1 over 2``]또는 [eqn: r`=``2``]
[eqn: r`=``1 over 2``]일 때, [eqn: a`=``4``, `````r``=``2``]일 때 [eqn: a`=``1``]이므로 세 실수는 [eqn: 1,~2``,~4``]이다. 따라서 가장 큰 수는 [eqn: 4`]이다.

17  [eqn: 26``]

답

세 근을 각각 [eqn: a``,`ar,``ar^2]라고 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서
[eqn: a+ar+ar^2 =p]                            ⋯⋯ ㉠
[eqn: a^2 r +a^2 r^2 +a^2 r^3 =156]                     ⋯⋯ ㉡
[eqn: a(ar)(ar^2 ) =(ar)^3 =216 =6^3]              ⋯⋯ ㉢
㉢에서 [eqn: (ar)^3``=``216``]

해

설

∴ [eqn: ar=6]                                  ⋯⋯ ㉣
㉡에서 [eqn: ar(a+ar+ar^2 )=6p =156]이므로 ㉠, ㉣을 대입하면
[eqn: 6p``=``156``]

∴ [eqn: p=26]

18  ④

답

두 곡선 [eqn: y={x^3}-{2x^2}-6x] , [eqn: y={x^2}`+`k] 의 교점의 [eqn: x`]좌표는 삼차방정식 [eqn: {x^3}-{2x^2}-6x``=``x^2``+``k``], 즉 [eqn: x^3``-3x^2``-``6x`-``k``=``0``] 의 세근이다.
삼차방정식의 세 실근 각각 [eqn: a], [eqn: ar], [eqn: ar^2] 으로 놓으면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에서
[eqn: a+ar+a{r^2}=3]                            ⋯⋯ ㉠
[eqn: {a^2}r+{a^2}{r^2}+{a^2}{r^3}=-6]                      ⋯⋯ ㉡
[eqn: a․ar․a{r^2}=k]                                ⋯⋯ ㉢
㉡에서 [eqn: ar(a`+`ar`+`ar^2`)``=``-6``]이므로 ㉠을 대입하면
∴ [eqn: ar=-2]
이를 ㉢에 대입하면  [eqn: k={a^3}{r^3}=(ar)^3 =(-2)^3][eqn: =-8]

해

설

19  ③

답

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형의 넓이는 [eqn: root 3 over 4` cdot 4^2`=4``root 3``]
[eqn: 1]회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 [eqn: 4 root3 cdot 3over4]
[eqn: 2]회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 [eqn: {4 root 3} cdot left( 3 over 4 RIGHT ) ^2]
[eqn: vdots``]
[eqn: n`]회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 [eqn: 4root3 cdot LEFT ( 3 over 4 RIGHT ) ^n]
따라서 [eqn: 10]회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 [eqn: 4 root3 cdot LEFT ( 3 over 4 RIGHT ) ^10]이다.

해

설

20  [eqn: ROOT 2``]

답

처음 정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: 2``]이므로 첫 번째 시행 후 남아 있는 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: SQRT { {1^2}+{1^2}} = SQRT { 2}]
두 번째 시행 후 남아 있는 정사각형의 한 변의 길이는

해

설

[eqn: SQRT { { ({SQRT {2 } over 2})^2}+({SQRT {2 } over 2})^2}}}] [eqn: =1]
세 번째 시행 후 남아 있는 정사각형의 한 변의 길이는

[eqn: SQRT { {({1 over 2})^2}+({1 over 2})^2} = 1 over SQRT { 2 }]
[eqn: vdots``]
[eqn: n`]번째 시행 후 남아있는 정사각형의 한 변의 길이는
[eqn: root 2`cdot` ( 1 over root 2 ) ^n-1``=``( 1 over root 2 ) ^n-2``=``( root 2 )^2-n]
∴  [eqn: a``=``root 2``]

21  [eqn: 2^60 over 3^38]

답

한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정사각형의 넓이가 [eqn: 9`]이므로
첫 번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 [eqn: 8 over 9 × 9=``8``]
두 번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 [eqn: 8 over 9`cdot`8`]
[eqn: vdots`]
[eqn: n]번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 [eqn: ( 8 over 9 )^n-1 cdot 8`]
따라서 [eqn: 20`]번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는
[eqn: ( 8 over 9 )^20-1``cdot 8``=` 8^20 over 9^20``=``2^60 over 3 ^38]

해

설

22  ④

답

[eqn: cos 45 DEG =rm { bar { P_1 P_2 } over { bar OP_1 } }][eqn: = 1 over root 2]이므로

해

설

[eqn: rm bar{P_1 P_2 } = 1 over root 2 bar{ OP_1 }][eqn: = 1over root2]
또, [eqn: rm bar {P_2 P_3} = 1 over root 2 bar {P_1 P_2 } = left( 1 over root 2 right)^2 cdot bar { OP_1 }]이므로

[eqn: rm bar { P_n P_n+1 } = left( 1 over root 2 right)^n]
[eqn: left( 1 over root 2 right)^n = left( 1 over 2 right)^10]에서 [eqn: n = 20]
따라서 구하는 선분은 [eqn: rm bar{ P_ 20 P_ 21 }]

23  ③

답

[eqn: rmA`]도시의 올해 인구를 [eqn: a], 인구의 증가율을 [eqn: r`]라 하면 [eqn: n`]년 후의 인구는
[eqn: a`(1`+r)^n``](명)
[eqn: 10`]년 후의 인구가 [eqn: 40`]만 명이므로
[eqn: a`(1`+r)^10``=``4`cdot``10^5`]                      ⋯⋯ ㉠
[eqn: 20`]년 후의 인구가 [eqn: 50`]만 명이므로
[eqn: a`(1`+r)^20``=``5`cdot``10^5`]                      ⋯⋯ ㉡
㉡ [eqn: div`] ㉠을 하면

해

설

[eqn: (1`+r)^10``=``5 over 4``]                             ⋯⋯ ㉢
∴ [eqn: (1`+r)^n``=``root 5 over 2``]
㉢을 ㉠에 대입하면 [eqn: 5 over 4`a``=``4``cdot 10^5``]
∴ [eqn: a`=``16 over 5`cdot`10^5``]
따라서 [eqn: 15``]년 후의 인구는
[eqn: a`(1`+`r`)^15`=``16 over 5`cdot 10^5``cdot `( root 5 over 2 `)^3``][eqn: =``4.4``times``10^5``](명)
이므로 [eqn: 44`]만 명이다.

24  [eqn: root4 of 8]

답

박테리아의 개체 수가 [eqn: 1]시간마다 [eqn: r`]배 증가하고, [eqn: 1000]마리가 [eqn: 4`]시간 후 [eqn: 8000``]마리로 증가하므로

해

설

[eqn: 1000cdot r^4``=``8000``], [eqn: r^4`=``8``]
∴ [eqn: r``=``^4`root 8``]

25  [eqn: 2``:``1]

답

처음 식염수의 농도를 [eqn: a]라 하면 [eqn: rm A,~B]가 [eqn: p]번 [eqn: q]번 반복하여 얻은 식염수의 농도는 각각 [eqn: a left( 1 over 2 right)^p ,~~a left( 1 over 4 right)^q]
[eqn: a left( 1 over 2 right)^p = a left( 1 over 4 right)^q]에서 [eqn: p = 2q]
[eqn: therefore~~ p:q = 2:1]

해

설

26  ④

답

첫째항을 [eqn: a,] 공비를 [eqn: r]라 하면
[eqn: a_3 =a`r^2 =6``]                              ⋯⋯ ㉠
[eqn: a_7 =a`r^6 =24``]                             ⋯⋯ ㉡
㉡÷㉠을 하면 [eqn: r^4 =4]

해

설

∴ [eqn: r^2``=``2``(``because```r``]는 실수)
이것을 ㉠에 대입하면
[eqn: 2a_1```=``6``]

∴ [eqn: a_1``=``3``]
따라서 [eqn: a_1 ^2 +a_2 ^2 +a_3 ^2 +CDOTS+a_10 ^2]은 첫째항이 [eqn: a_1`^2``=``9``], 공비가 [eqn: r^2``=`2``]인 등비수령의 첫째항부터 제 [eqn: 10`]항까지의 합과 같으므로
[eqn: { 9(2^10 -1) } over {2-1 } =9(2^10 -1 )]

27  ⑤

답

[eqn: f(1)=1+1+1+ cdots +1=11]이므로
[eqn: (f circ f)(1)= f(f(1))=f(11)]
[eqn: =11^10 +11^9 +cdots +11+1][eqn: = {1 cdot (11^11 -1)} over 11-1][eqn: = 1over10 (11^11 -1)]

해

설

28  ⑤

답

첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`], 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n``]이라 하면
[eqn: S_n = {a(r^n -1)}over{r-1}=30]                       ⋯⋯ ㉠
[eqn: S_2n = {a(r^2n -1)}over{r-1}=50]                     ⋯⋯ ㉡
㉡[eqn: div``]㉠을 하면
[eqn: r^n``+``1`=``5 over 3``]

해

설

∴ [eqn: r^n``=``2 over 3``]
∴ [eqn: S_3n = {a(r^3n -1)}over{r-1} = {a(r^n -1)(r^n + r^2n +1) }over{r-1}]
[eqn: = 30(r^n +r^2n{+1}) ~~(∵~ S_n =30)]
[eqn: = 30 ( {2}over{3} + {4}over{9} + 1) = 30 ( {6+4+9}over{9} )]

[eqn: = 30× {19}over{9} = {190}over{3}]

29  ②

답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면
[eqn: a_! +a_2 +a_3 + cdots +a_10 = {a_1 (r^10 -1)} over r-1 = 12]    [eqn: cdots cdots]㉠
수열 [eqn: a_1], [eqn: a_3], [eqn: a_5], [eqn: cdots]의 공비는 [eqn: r^2]이므로
[eqn: a_1 +a_3 +a_5 + a_7 +a_9 = {a_1 left{(r^2 )^5 -1 right}} over {r^2 -1}][eqn: = {a_1 (r^10 -1} over {r^2 -1}=8]                          [eqn: cdots cdots] ㉡
㉠[eqn: div]㉡을 하면 [eqn: {r^2 - 1} over r-1 = 3over2]
[eqn: r+1= 3over2]

해

설

∴ [eqn: r= 1over2]

30  [eqn: root 2``]

답

공비를 [eqn: r```(``r``>``0``)``], 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n``]이라 하면
[eqn: S_10`` = {a(r^10 - 1)} over r-1 =20``]                      ⋯⋯ ㉠
[eqn: a_11 + a_12 +⋯ +a_20``=``S_20``-``S_10``]이므로
[eqn: S_20``=``S_10``+``640``=``660``]

해

설

∴ [eqn: S_20``=``][eqn: {a_1`( r^20``-`1`)} over {r-1}][eqn: =``{a_1`( r^10``-`1`)`(r^10``+`1`)``} over {r-1}] ⋯⋯ ㉡
㉡÷㉠을 하면
[eqn: r^10 =``][eqn: 640 over 20 = 32``][eqn: = 2^5 = (root2 )^10``]
∴ [eqn: r=root2``](∵ [eqn: r``>``0```])

31   [eqn: 4]

답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면
[eqn: a_2 +a_4 +a_6 + cdots +a_2k]
[eqn: = r+r^3 +r^5 +cdots +r^2k-1]
[eqn: = {r left{(r^2 )^k -1 right}} over {r^2 -1}][eqn: ={r(r^2k -1)} over {r^2 -1} =170]        [eqn: cdots cdots] ㉠
[eqn: a_1 +a_3 +a_5 + cdots +a_2k-1]
[eqn: =1+r^2 +r^4 + cdots +r^2k-2]
[eqn: = {1 left{ (r^2 )^k -1 right}} over {r^2 -1}][eqn: ={r^2k -1} over {r^2 -1} =85]            [eqn: cdots cdots] ㉡
㉠[eqn: div]㉡을 하면 [eqn: r^10 +1 =33]

해

설

∴ [eqn: r^10 =32]
∴ [eqn: r= root2] (∵ [eqn: r>0])

32  [eqn: 682]

답

[eqn: S_n = 2^n+1 -2]에서
(ⅰ) [eqn: n ge2]일 때

해

설

[eqn: a_n = S_n -S_n-1][eqn: =(2^n+1 -2)-(2^n -2)][eqn: =2^n][eqn: cdots cdots]㉠
(ⅱ) [eqn: n=1]일 때
[eqn: a_1 =S_1 = 2]
이때 [eqn: a_ 1 =2]는 ㉠에 [eqn: n=1]을 대입한 것과 같으므로
[eqn: a_n = 2^n]
∴ [eqn: a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +a_9]
[eqn: =2+2^3 +2^5 +2^7 +2^9]
[eqn: = {2 left{(2^2 )^5 -1 right}} over {2^2 -1} = 682]

33  [eqn: -2]

답

[eqn: S_n``=``2`cdot 3^n`+``k``]에서
(i) [eqn: n``>=``2``]일 때
[eqn: a_n = S_n``-``S_n-1``=``2 cdot 3^n + k - ( 2 cdot 3^n-1 + k )]
[eqn: = 2 cdot 3^n - 2 cdot 3^n-1 = 4 cdot 3^n-1]          ⋯⋯ ㉠
(ii) [eqn: n``=`1``]일 때
[eqn: a_1 =S_1``=`` 2cdot3^1 +k = 6+k``]               ⋯⋯ ㉡
이 때, 이 수열이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉠에 [eqn: n`=`1``]을 대입한 것과 ㉡이 같아야 하므로[eqn: 4․3^1-1 = 6+k``], 즉, [eqn: 4=6+k]가 성립해야 한다.
[eqn: THEREFORE ~ k =-2]

해

설

34  ⑤

답

[eqn: "{"a_n"}"``]은 첫째항이 [eqn: 1`], 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열이므로
[eqn: a_n = 1・2^n-1 ``=``2^n-1``]
∴ [eqn: a_2n = 2^2n-1 ``]
[eqn: b_n = a_2n ^2``=``(2 ^2n-1 )^2 `=``2^4n-2``]

해

설

[eqn: =`2^2`cdot 2^{4(n-1)}``=``4`cdot 16^n-1``]
따라서 수열 [eqn: "{"b_n"}"]은 첫째항이 [eqn: 4`], 공비가 [eqn: 16`]인 등비수열이므로
[eqn: b`=``4,``r``=``16``]
∴ [eqn: b`+`r``=``20``]

35  [eqn: 3over8 (9^8 -1)]

답

[eqn: "{"a_n"}"``]은 첫째항이 [eqn: 1`], 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이므로
[eqn: a_n = 1+(n-1)2 =2n-1 ``]이므로
∴ [eqn: 3^a_n = 3^2n-1][eqn: =3 cdot 3^2(n-1) = 3 cdot 9^n-1]
따라서 수열 [eqn: "{"3^a_n"}"``]은 첫째항이 [eqn: 3], 공비가 [eqn: 9]인 등비수열이므로 첫째항부터 제[eqn: 8]항까지의 합은
[eqn: {3 (9^8 -1)} over 9-1 =][eqn: 3over8 (9^8 -1)]

해

설

36  ⑤

답

[eqn: 2011`]년에 감염된 환자의 수를 [eqn: a`]라 하고, 매년 에이즈에 감염되는 환자의 수가 매면 전년도에 감염된 환자의 수의 [eqn: r`]배라 하면 [eqn: 2011`]년부터 [eqn: 2013`]년까지 발생한 환자의 수는
[eqn: a`+`ar``+```cdots``+``ar^19``][eqn: =``{a(1-r^20`)`} over {1`-r}`=``500000]	⋯ ㉠
또, [eqn: 2021`]년부터 [eqn: 2030`]년까지 발생한 환자의 수는 [eqn: ar^10`+`ar^11``+```cdots``+``ar^19`][eqn: `=``{ar^10`(1-r^10`)} over {1`-r}`=``1000000]  ⋯⋯ ㉡
㉠[eqn: div`]㉡을 하면
[eqn: {1`-`r^20} over {r^10`( 1`-`r^10)}``=``{(1`+r^10`)(`1-`r^10`)} over {r^10`(`1`-`r^10`)}``=``5``]
[eqn: {1`+r^10} over r^10``=``5``], [eqn: 1``+``r^10``=``5`r^10``]
∴ [eqn: r^10``=``1 over 4``]
따라서 [eqn: 2031`]년에 발생한 환자의 수는
[eqn: ar^20``=``a `( r^10 )^2``=``a`cdot` ( 1 over 4 ) ^ 2``=``1 over 16 `a``]
이므로 [eqn: 2011]년에 발생한 환자의 수의 [eqn: 1 over 16``]이다.

해

설

37  ④

답

예금할 일정한 금액을 [eqn: a]원 이라 하면 [eqn: 3]년 후의 원리합계는
[eqn: a + a( 1 + 0.05 ) + a ( 1 + 0.05 )^2 = 3000000]
[eqn: {a ( 1.05^2 -1 ) } over { 1.05 -1 } = { a(1.16 -1 ) } over 0.05 = 3000000]
[eqn: therefore~~a = { 3000000 times 0.05 } over 0.16 = 937500]

해

설

38  ③

답

[eqn: 3`]년 후의 적립금의 원리합계를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S=][eqn: 10000(1+0.01)+10000(1+0.01)^2 +``cdots``][eqn: +10000(1+0.01)^36]
[eqn: = { 10000 TIMES 1.01 LEFT { (1+0.01)^36 -1RIGHT } } over {(1+0.01)-1 }]
[eqn: = { 10000 TIMES 1.01TIMES (1.4-1)} over { 0.01} =404,000] (원)

해

설

39

답

[eqn: 2019]년 [eqn: 12]월 [eqn: 31]일까지 저금한 금액의 원리합계를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= 5 times 10^6 times 1.1^10 times 10][eqn: = 5 times 1.1^10 times 10^7][eqn: = 5 times 2.6 times 10^7]
[eqn: =13times 10^7](원)

해

설

40  ②

답

이달 말부터 [eqn: a]만 원씩 갚는다고 하면 이자를 포함하여 갚는 금액의 총합은
[eqn: a+a times 1.015 + cdots +a times 1.015^11]
[eqn: ={a(1.015^12 -1)} over 1.015-1 = a(1.2-1) over 0.015]
[eqn: = 0.2a over 0.015 = 40 over 3 a](만 원)                    [eqn: cdots cdots ㉠]
한편, [eqn: 20]만 원의 [eqn: 12]개월 후의 원리합계는
[eqn: 20 times 1.015^12 =20 times 1.2=24](만 원)        [eqn: cdots cdots ㉡]
㉠과 ㉡이 같아야 하므로
[eqn: 40 over 3 a=24]

해

설

[eqn: ∴ a= 9 over 5 =1.8](만 원)
따라서 매달 [eqn: 18000]원씩 갚아야 한다.

41  ②

답

매년 말에 [eqn: 500]만 원씩 [eqn: 10]년 동안 연이율 [eqn: 5]%의 복리로 적립한 원리합계는
[eqn: 500+500 times 1.05 + cdots +500 times 1.05^9]
[eqn: ={500(1.05^10 -1)} over 1.05-1 = {500(1.63-1)} over 0.05]
[eqn: =6300](만 원)                             [eqn: cdots cdots ㉠]
한꺼번에 연금 [eqn: a]만 원을 받는다면 [eqn: 10]년 동안 연이율 [eqn: 5]%의 복리로 적립한 원리합계는

해

설

[eqn: a times 1.05^10 =1.63a]                         [eqn: cdots cdots ㉡]
㉠과 ㉡이 같아야 하므로 [eqn: 1.63a=6300]
[eqn: ∴ a= 6300 over 1.63 image 3865](만 원)

42  [eqn: 2160]만 원

답

한꺼번에 [eqn: 1]억 [eqn: 8]천만 원을 받는 다면 [eqn: 12]년 동안 연이율 [eqn: 6%]의 복리로 적립한 원리합계는
[eqn: 18000 times 1.06^12 = 36000](만 원)              [eqn: cdots~㉠]
매년 말에 [eqn: a]만 원씩 [eqn: 12]년 동안 연이율 [eqn: 6%]의 복리로 적립한 원리합계는
[eqn: a + a times 1.06 +`` cdots ``+ a times 1.06^11]
[eqn: = { a( 1.06^12-1 ) } over { 1.06 -1 } = { a ( 2-1 ) } over 0.06 = 50 over 3 a]          [eqn: cdots~㉡]
㉠과 ㉡이 같아야 하므로 [eqn: 36000 = 50 over 3 a]
[eqn: therefore~~a = 2160]

해

설

43  [eqn: 35]만 원

답

갚아야 할 총 금액은
[eqn: 1000 times 1.01^36 =1000 times 1.4=1400](만 원)  [eqn: cdots cdots ㉠]
매달 [eqn: a]만 원씩 갚는다고 하면 [eqn: 36]개월 후의 원리합계는
[eqn: a+a times 1.01+ cdots +a times 1.01^35]
[eqn: ={a(1.01^36 -1)} over 1.01-1 = a(1.4-1) over 0.01 =40a]	[eqn: cdots cdots ㉡]
㉠과 ㉡이 같아야 하므로 [eqn: 1400=40a]
[eqn: ∴ a= 1400 over 40 =35](만 원)

해

설

44  ④

답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면
[eqn: 1 overa_1 + 1 over a_2 + 1over a_3 + 1overa_4 + 1overa_5]
[eqn: = 1 overa + 1 over ar + 1 over ar^2 + 1 over ar^3 + 1over ar^4]
[eqn: = {r^4 +r^3 +r^2 +r+1} over ar^4]
[eqn: = {a(r^4 +r^3 +r^2 +r+1)} over{ a^2 r^4}][eqn: = 31 over16] [eqn: cdots cdots] ㉠
또, [eqn: 1 over {a_2 `a_4} = 1over4]에서 [eqn: 1 over ar cdot 1 over ar^3 = 1 over {a^2 r^4 } = 1over4]
∴ [eqn: a^2 r^4 = 4] [eqn: cdots cdots] ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
[eqn: a(r^r +r^3 +r^2 +r+1) = 31 over4]
∴ [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5]
[eqn: =a+ar+ar^2 +ar^3 +ar^4]
[eqn: = a(1+r+r^2 +r^3 +r^4 )]
[eqn: = 31over4]

해

설

45  [eqn: 254]

답

[eqn: a_n =1 cdot 2^n-1 =2^n-1]
이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha_n +beta_n =2^n-1 ,~alpha_n beta_n =1]
이 때, [eqn: alpha_n`^2 +beta_n`^2 =(alpha_n +beta_n )^2 -2 alpha_n beta_n]이므로
[eqn: alpha_n`^2 +beta_n`^2 =(2^n-1 )^2 -2 cdot 1=4^n-1 -2]
[eqn: ∴ alpha_5`^2 +beta_5`^2 =4^5-1 -2=254]

해

설

46  ①

답

[eqn: 2^10 cdot 3^10]의 양의 약수의 총합은
[eqn: (2^0 +2^1 +cdots +2^10 )(3^0 +3^1 + cdots 3^10 )]
[eqn: =][eqn: {1 cdot (2^11 -1)} over 2-1 times {1 cdot (3^11 -1)} over 3-1]
[eqn: =][eqn: (2^11 -1) times {3^11 -1} over 2]
[eqn: =][eqn: 1 over 2 (2 cdot 2^10 -1)(3 cdot 3^10 -1)]
[eqn: =][eqn: 1 over 2 (2a-1)(3b-1)]

해

설

47  [eqn: 4]

답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면
[eqn: S_k = {a(r^k -1)} over r-1]
[eqn: S_3k = {a(r^3k -1)} over r-1 = {a(r^k -1)(r^2k +r^k +1)} over r-1]
[eqn: S_3k = 13`S_k]에서
[eqn: {a(r^k -1)(r^2k +r^k +1)} over r-1][eqn: =13 cdot {a(r^k -1)} over r-1]
[eqn: r^2k +r^k +1=13],
[eqn: r^2k +r^k -12=0],[eqn: (r^k +1)(r^k -3)=0]
∴ [eqn: r^k =3] (∵ [eqn: r>1])
따라서 [eqn: S_2k = {a(r^2k -1)} over r-1 = {a(r^k -1)(r^k +1)} over r-1]이므로
[eqn: S_2k over S_k = r^k +1 = 3+1=4]

해

설

48  ③

답

[eqn: n]회 실시 후 그려진 모든 원의 개수를 [eqn: a_n]이라 하면
[eqn: a_1 =4]
[eqn: a_2 =4+4 cdot 4=4+4^2]
[eqn: a_3 =4+4^2 +4 cdot 4^2 =4+4^2 +4^3]
[eqn: a_4 =4+4^2 +4^3 +4 cdot 4^3 =4+4^2 +4^3 +4^4]

해

설

[eqn: VDOTS]
[eqn: ∴ a_10 =4+4^2 +4^3 +cdots +4^10]
[eqn: ={4 cdot (4^10 -1)} over 4-1 = {4^11 -4} over 3]

49  [eqn: 40]

답

가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각각 [eqn: a,~b,~c]인 직육면체의 부피가 [eqn: 27], 겉넓이가 [eqn: 60]이므로
[eqn: abc=27]                                  [eqn: cdots cdots ㉠]
[eqn: 2(ab+bc+ca)=60]                       [eqn: cdots cdots ㉡]
[eqn: a,~b,~c]가 이 순서로 등비수열을 이루므로
[eqn: b^2 =ac]                                   [eqn: cdots cdots ㉢]
㉢을 ㉠에 대입하면
[eqn: b^3 =27]

해

설

[eqn: ∴ b=3]
[eqn: b=3]을 ㉢에 대입하면 [eqn: ac=9]
[eqn: b=3], [eqn: ac=9]를 ㉡에 대입하면
[eqn: 2(3a+3c+9)=60,] [eqn: 3a+3c+9=30]
[eqn: ∴ a+c=7]
따라서 모든 모서리의 길이의 합은
[eqn: 4(a+b+c)=4 cdot (3+7)=40]

50  [eqn: 2 cdot left( 3over 5 right)^9]

답

해

설

다음 그림에서

[eqn: (2-a_1 )``:``a_1 ``=``rmbarAB ``:``barBC][eqn: =2``:``3]
[eqn: 2a_1 = 6-3a_1]
∴ [eqn: a_1 = 6over5]
같은 방법으로 하면 [eqn: (a_n - a_n+1 ) ``:``a_n+1 =2``:``3]
[eqn: 2a_n+1 = 3a_n -3a_n+1]

[eqn: 5a_n+1 =3a_n]
∴ [eqn: {a_n+1} over {a_n } = 3over5]
따라서 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 6over5], 공비가 [eqn: 3over5]인 등비수열이므로
[eqn: a_n = 6over5 cdot left( 3over5 right)^n-1 = 2 cdot left( 3over5 right)^n]
∴ [eqn: a_9 =][eqn: 2 cdot left( 3over 5 right)^9]

51  ④

답

52  510

답

53  ⑤

답

54  ③

답

55  10

답

56  15

답

57  ⑤

답

58  ③

답

59  ③

답

60  ③

답