수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			반 / 번호
	01 명제와 증명					이름
		0

01 다음 중 명제인 것을 모두 고르면? (정답 2개)

① [eqn: 2+3〉6]

② [eqn: 3x+y=6]

③ 두 직선이 만날 때, 맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

④ 저 학생은 매우 착하구나!

⑤ 진주는 예쁜가?

02 다음 명제의 가정과 결론을 말하여라.

⑴ 정삼각형의 한 내각의 크기는 [eqn: 60°]이다.

⑵ 넓이가 같은 두 삼각형은 합동이다.

03 다음 중 명제가 아닌 것은?

① 무엇을 하려고 하는가?

② 그는 나의 형이다.

③ [eqn: x=2]이면 [eqn: x+3=0]이다.

④ 이등변삼각형은 정삼각형이다.

⑤ [eqn: y` times y = 25]일 때, [eqn: y =5]이다.

04 다음 그림에서 [eqn: RM BAR AB = BAR AD `],[eqn: RM BAR BC = BAR DC `]이면 [eqn: ANGLE \BAC= ANGLE \DAC`]임을 증명하는 과정이다. (   ) 안에 알맞은 것을 바르게 나열한 것은?

[가정] [eqn: rm bar AB = bar AD `], [eqn: rm bar BC = bar DC]

[결론] (   ㉠   )

[증명] [eqn: rm TRIANGLE ABC`]와 [eqn: rm TRIANGLE ADC`]에서

[eqn: rm bar AB =`](  ㉡  )…(ⅰ)

[eqn: rm bar BC =`](  ㉢  )…(ⅱ)

[eqn: rm bar AC]는 공통인 변 …(ⅲ)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터

[eqn: TRIANGLE \ABC ≡ TRIANGLE \ADC`]( ㉣ 합동 )

[eqn: ∴ ANGLE \BAC = ANGLE \DAC`]

	㉠	㉡	㉢	㉣
①	[eqn: ANGLE rm BAC= ANGLE rm DAC`]	[eqn: {BAR \AB}`]	[eqn: {BAR \BC}`]	[eqn: \SAS`]
②	[eqn: ANGLE rm BAC= ANGLE rm DAC`]	[eqn: {BAR \BC}`]	[eqn: {BAR \AB}`]	[eqn: \SSS`]
③	[eqn: ANGLE rm BAC= ANGLE rm DAC`]	[eqn: {BAR \AD}`]	[eqn: {BAR \DC}`]	[eqn: \ASA`]
④	[eqn: ANGLE \BAC = ANGLE \DAC`]	[eqn: {BAR \AB}`]	[eqn: {BAR \BC}`]	[eqn: \SSS`]
⑤	[eqn: ANGLE \BAC = ANGLE \DAC`]	[eqn: {BAR \AD}`]	[eqn: {BAR \DC}`]	[eqn: \SSS`]

05 다음 중 정의가 아닌 것을 모두 고르면?(정답 2개)

① 예각은 [eqn: 0]ﾟ보다 크고 [eqn: 90]ﾟ보다 작은 각이다.

② 다각형의 외각의 크기의 합은 [eqn: 360]ﾟ이다.

③ 합동인 두 삼각형에서 대응하는 세 쌍의 대응각의 크기는 각각 같다.

④ 네 변의 길이가 모두 같은 사각형은 마름모이다.

⑤ 원 위의 두 점을 연결한 선분은 현이다.

06 다음 용어의 정의로 옳은 것은?

① 정사각형 : 네 변의 길이가 모두 같은 사각형

② 평행사변형 : 두 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형

③ 예각삼각형 : 세 내각의 크기가 각각 예각인 삼각형

④ 등변사다리꼴 : 두 대각선의 길이가 같은 사다리꼴

⑤ 마름모 : 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형

07 다음 중 명제가 아닌 것을 모두 고르면? (정답 [eqn: 2]개)

① 가을은 좋은 계절이다.

② 삼각형의 내각의 크기의 합은 [eqn: 180°]이다.

③ [eqn: x=2]이면 [eqn: x+2＞3]이다.

④ [eqn: x+2=4]

⑤ [eqn: 2x=1+2x]

08  다음 명제 중에서 참인 것은?

① [eqn: x-1＞3]의 해는 4이다.

② 모든 원은 서로 합동이다.

③ [eqn: LEFT | -5 RIGHT | ≤-7]

④ 2의 배수는 4의 배수이다.

⑤ [eqn: x=2]이면 [eqn: 2x+1＞4]이다.

09 다음은 점 [eqn: \P]가 [eqn: rmbar AB]의 수직이등분선 [eqn: l] 위의 한 점이고, 점 [eqn: \M]은 직선 [eqn: l]과 [eqn: rmbar AB]의 교점일 때, [eqn: rm bar PA = barPB]임을 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 써 넣어라.

[가정] [eqn: rmbar PM` bot` bar AB], [eqn: rmbar AM = bar BM]

[결론]

[증명] [eqn: rm△PAM]과 [eqn: rm△PBM]에서

[eqn: rmbar AM = □], □은 공통,

[eqn: rmangle AMP= angle BMP= □°]이므로

[eqn: rm△PAM== △PBM](□ 합동)

∴[eqn: rm bar PA = barPB]

10 다음 중 용어의 정의가 옳은 것을 모두 고르면? (정답[eqn: 2]개)

① 두 내각의 크기가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라 한다.

② 모든 변의 길이가 같은 다각형을 정다각형이라 한다.

③ 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형을 직사각형이라 한다.

④ 한 내각의 크기가 직각인 삼각형을 직각삼각형이라 한다.

⑤ 두 직선이 서로 만나지 않을 때 두 직선을 평행선이라 한다.

11 다음 용어의 정의 중 옳지 않은 것은?

① 대각선 : 다각형에서 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분

② 원 : 한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 집합

③ 마름모 : 네 변의 길이가 같은 사각형

④ 직사각형 : 네 각의 크기가 같은 사각형

⑤ 정삼각형 : 세 각의 크기가 같은 삼각형

12 다음 중 사다리꼴의 정의로 옳은 것은?

① 한 쌍의 대변만 평행한 사각형

② 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형

③ 한 쌍의 대변이 평행한 사각형

④ 두 각의 크기가 직각인 사각형

⑤ 한 쌍의 대변의 길이가 같고, 평행한 사각형

13 다음 명제가 참인지 거짓인지를 말하여라.

⑴ [eqn: 2]는 짝수이면서 소수인 유일한 수이다.

⑵ 정삼각형은 예각삼각형이다.

⑶ [eqn: 12]의 약수는 [eqn: 6]의 약수이다.

⑷ [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: n^2]은 홀수이다.

14 다음 명제 중 참인 것을 모두 고르면?

① [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: n^2]은 짝수이다.

② [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: n(n+1)]은 홀수이다.

③ [eqn: 1over x `＞` 1over y]이면 [eqn: x`＜`y]이다.

④ [eqn: xz`＞`yz]이면 [eqn: x`＞`y]이다.

⑤ [eqn: z != 0]일 때, [eqn: xz`＞`yz]이면 [eqn: x over z `＞` y over z]이다.

15 다음 중 명제인 것은?

① 백두산은 높은 산이다.

② 장미는 아름답다.

③ [eqn: 5x+4]

④ [eqn: 4+5=1]

⑤ [eqn: 3x`＞`6]

16 다음은 「아래 그림과 같이[eqn: rm ANGLE AOB]와[eqn: rm ANGLE COD]가 각각 [eqn: 90°]이면,[eqn: rm ANGLE AOC = ANGLE BOD]」임을 증명하는 과정이다. (가)～(마)에 알맞은 것으로 틀린 것은?

[가정] [eqn: rm ANGLE AOB =][eqn: = 90°]

㈎

[결론]

㈏

[증명] [eqn: rm ANGLE AOC = 90° -] [eqn: cdots cdots`]㉠

㈐

[eqn: rm ANGLE BOD = 90° -] [eqn: cdots cdots`]㉡

㈑

따라서 ㉠, ㉡에서 [eqn: rm AOC =]

㈒

① (가) :[eqn: rm ANGLE BOD]

② (나) :[eqn: rm ANGLE AOC = ANGLE BOD]

③ (다) :[eqn: rm ANGLE COB]

④ (라) :[eqn: rm ANGLE COB]

⑤ (마) :[eqn: rm ANGLE BOD]

17 명제 “[eqn: a + b`]가 짝수이면 [eqn: a,~b] 중 적어도 하나는 짝수이다.”의 참, 거짓을 옳게 판별한 것은?

① 참이다.

② 거짓이다.

③ 참도 아니고 거짓도 아니다.

④ 거짓이면서 참이다.

⑤ 알 수 없다.

18 다음 그림에서 [eqn: rm △ABC]와 [eqn: rm△DCE]가 정삼각형일 때, [eqn: rm bar AE = bar BD]임을 증명한 것이다. □ 안에 알맞은 것을 써 넣어라.

[eqn: rm△CBD]와 [eqn: rm△CAE]에서

[eqn: rmbar CB = □] (∵[eqn: rm△ABC]는 정삼각형) … ㉠

[eqn: rm bar CD =□] (∵[eqn: rm△DCE]는 정삼각형) … ㉡

[eqn: rm angle BCD=60° + □= angle ACE] … ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 [eqn: rm△CBD== △CAE](□ 합동)이므로 [eqn: rm bar AE = bar BD]이다.

19 명제 ‘[eqn: a]가 짝수, [eqn: b]가 홀수이면 [eqn: a+b]는 홀수’의 가정과 결론을 말하여라.

20 다음은 ‘[eqn: rm bar AC]와 [eqn: rm bar BD]가 점[eqn: rm M]에서 만나고, [eqn: rm bar AB = bar CD], [eqn: rm bar AB] □[eqn: rm bar DC]일 때, [eqn: rm bar AM = bar CM]’을 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 써넣어라.

[가정] [eqn: rm bar AB = bar CD], [eqn: rm bar AB] □[eqn: rm bar DC]

[결론] [eqn: rm bar AM = bar CM]

[증명]

[eqn: rm ANGLE A = ANGLE C] ([eqn: BECAUSE] 엇각) …… ㉠

[eqn: rm ANGLE B =]□ ([eqn: BECAUSE] 엇각)   …… ㉡

[eqn: rm bar AB = bar CD]           …… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 [eqn: TRIANGLE rm MAB == TRIANGLE MCD] (□ 합동)

[eqn: rm THEREFORE ~ bar AM = bar CM]

21 다음 그림은 [eqn: RMbarAB`=barAC]인 [eqn: RM TRIANGLE ABC]에서 점 [eqn: RMA]를 지나 [eqn: RMbarBC]에 평행한 직선은 [eqn: RM`ANGLEA]의 외각을 이등분함을 증명하기 위한 것이다. 다음  안에 알맞은 것을 써 넣어라.

[eqn: RM TRIANGLE ABC]는 이등변삼각형이므로

[eqn: RM`ANGLEB=] … ㉠

[eqn: RMbarAD]□[eqn: RMbarBC]에서

[eqn: RMANGLEEAD=](동위각)

[eqn: RMANGLEDAC=](엇각)

… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: RMANGLEEAD=]

22 아래 그림에서 점 [eqn: rm O]는 [eqn: rm barAB `,` barCD]의 중점일 때, [eqn: rm barAC = barBD]임을 증명하는 과정이다. (   )안에 알맞은 것이 아닌 것은?

[가정] [eqn: rm barAO `= barBO], (  ㉠  )

[결론] [eqn: rm barAC ``=] (  ㉡  )

[증명] [eqn: rm △ACO]와 [eqn: rm △BDO]에서

[eqn: rm barAO `=` barBO `,~ barCO `=] (  ㉢  ),

[eqn: rm ANGLE AOC= ANGLE BOD] (  ㉣  )

즉, 두 쌍의 대응하는 변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로

[eqn: rm △ACO == △BDO] ( ㉤ 합동)

[eqn: rm THEREFORE ` barAC ``=] (  ㉡  )

① ㉠[eqn: rm barCO = barDO]	② ㉡[eqn: rm barBD]

③ ㉢[eqn: rm barDO]	④ ㉣ 맞꼭지각

⑤ ㉤[eqn: rm ASA]

23 다음 중 명제가 아닌 것은?

① 맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

② 정삼각형의 한 내각의 크기는 [eqn: 60]ﾟ이다.

③ [eqn: 2x+3=3+2x]

④ [eqn: x+3=5]

⑤ [eqn: 2+4`＞`5]

24 다음 명제 중 거짓인 것을 모두 고르면? (정답 2개)

① [eqn: ac>bc]이면 [eqn: a>b]이다.

② [eqn: ac>bc]이면 [eqn: {a} over{ c} > {b} over{ c}]이다. (단, [eqn: c != 0])

③ [eqn: a+c>b+c]이면 [eqn: a>b]이다.

④ [eqn: a-c>b-c]이면 [eqn: a>b]이다.

⑤ [eqn: { 1} over {a } > { 1} over {b }]이면 [eqn: a>b]이다.

25 다음 그림에서 점 [eqn: rmD]는 각 [eqn: rmA]의 이등분선과 [eqn: rmbarBC]의  교점이고, 점 [eqn: rmH]는 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmbarBC]에 내린 수선의 발이다. 이때, [eqn: ANGLE rmDAH= 1 over 2][eqn: (ANGLE rmABC][eqn: -ANGLE rmACB)]임을 증명하여라. (단, [eqn: ANGLE rmABC][eqn: ＞ANGLE rmACB])

26 다음  중에서 명제인 것의 개수는?

㉮ [eqn: x-2y=7]

㉯ [eqn: LEFT | -128RIGHT | =6]

㉰ [eqn: x-9=-7]

㉱ [eqn: x=5]이면 [eqn: 3x+31 ＞ 0]이다.

㉲ [eqn: a=0] 또는 [eqn: b=0]이면[eqn: ab=0]이다.

① [eqn: 1]개	② [eqn: 2]개

③ [eqn: 3]개	④ [eqn: 4]개

⑤ [eqn: 5]개

27 다음은 “이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.”를 증명한 것이다. 바르게 나타낸 것을 모두 고르면? (정답 2개)

(가정) [eqn: rmTRIANGLE ABC] 에서

[eqn: rmBAR AB = BAR AC ,~ ANGLE BAD =ANGLE CAD]

(결론) ( ㉠ )

(증명) [eqn: rmTRIANGLE ABD] 와 [eqn: rmTRIANGLE ACD] 에서

[eqn: rmBAR AB =] ( ㉡ ) (가정)

[eqn: rmBAR AD] 는 공통

[eqn: rmANGLE BAD =] ( ㉢ )

그러므로 [eqn: rmTRIANGLE ABD == TRIANGLE ACD] ( ( ㉣ ) 합동)

[eqn: rm∴~BAR BD = BAR CD]

또한 [eqn: rmANGLE ADB = ANGLE ADC] 이고

[eqn: rmANGLE ADB + ANGLE ADC = 180°]이므로

[eqn: rmANGLE ADB =ANGLE ADC=90°] 이다.

[eqn: rm∴ BAR AD ⊥] ( ㉤ )

① ㉠ :[eqn: rmBAR BD = BAR CD]	② ㉡ :[eqn: rmBAR AC]

③ ㉢ :[eqn: rmANGLE ACD]	④ ㉣ :[eqn: rmASA]

⑤ ㉤ :[eqn: rmBAR BC]

28 ‘각의 이등분선 위의 한 점에서 각의 두 변에 이르는 거리는 같음’을 다음과 같이 증명하였다. □ 안에 알맞은 것을 써넣어라.

[가정][eqn: rm ANGLE POA = ANGLE POB]

[eqn: rm ANGLE PAO = ANGLE PBO=90 °]

[결론][eqn: rm bar PA = bar PB]

[증명]

[eqn: rm ANGLE XOY]의 이등분선 위의 한 점 [eqn: rm P]를 잡으면, [eqn: TRIANGLE rm PAO]와 [eqn: TRIANGLE rm PBO]에서

[eqn: rm ANGLE PAO =]□[eqn: =90]ﾟ … ㉠

가정에서 [eqn: rm ANGLE POA =]□ … ㉡

□는 공통 … ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 두 직각삼각형은 □와 □가 각각 같으므로 [eqn: rm TRIANGLE PAO == TRIANGLE PBO]

[eqn: rm THEREFORE ~ bar PA = bar PB]

29 [eqn: rm bar AB = bar AC]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]에서, 꼭지각 [eqn: rm ANGLE A]의 이등분선을 그어 밑변 [eqn: rm BC]와의 교점을 [eqn: rm D]라 하자. 이때 직선 [eqn: rm AD] 위에 한 점[eqn: rm P]를 잡으면 [eqn: rm bar BP = bar CP]이다. 이것을 다음과 같이 증명하였다.  안에 차례로 들어갈 말을 채우면?

(증명) [eqn: rm TRIANGLE BPD]와 [eqn: rm TRIANGLE CPD]에서

[eqn: rm bar BD =]

[eqn: rm ANGLE BDP =][eqn: = 90°`]

[eqn: rm bar PD]는 공통

[eqn: therefore` rm TRIANGLE BPD == TRIANGLE CPD]

따라서, [eqn: rm bar BP = bar CP]

①[eqn: rm bar PD ,~ ANGLE CDP]	②[eqn: rm bar CD ,~ ANGLE CDP]

③[eqn: rm bar AD ,~ ANGLE CPD]	④[eqn: rm bar PC ,~ ANGLE CPD]

⑤[eqn: rm bar CD ,~ ANGLE PCD]

30 다음은 “[eqn: RM BAR AB = BAR AC]인 이등변삼각형 [eqn: \ABC`]에서 변 [eqn: \AB`], [eqn: \AC`] 위의 두 점 [eqn: \D`], [eqn: \E`]에 대하여 [eqn: RM BAR AD = BAR AE `]이면 [eqn: RM BAR DC = BAR EB]이다.”를 증명한 것이다. ㉠～㉤에 알맞은 것을 짝지은 것으로 옳지 않은 것은?

(가정) [eqn: TRIANGLE \ABC`]에서 [eqn: RM BAR AB = BAR AC `],

[eqn: RM BAR AD =`]( ㉠ )

(결론) [eqn: RM BAR DC =`]( ㉡ )

(증명) [eqn: TRIANGLE \ABE`]와 [eqn: TRIANGLE \ACD`]에서

[eqn: RM BAR AB =`]( ㉢ ), [eqn: RM BAR AE =`]( ㉣ ),

[eqn: ANGLE \A`]는 공통이므로

[eqn: TRIANGLE \ABE ≡ TRIANGLE \ACD`] ( ㉤ 합동 )

[eqn: ∴` rm bar DC =`]( ㉡ )

① ㉠ :[eqn: rm bar AE]	② ㉡ :[eqn: rm bar EB]

③ ㉢ :[eqn: rm bar AC]	④ ㉣ :[eqn: rm bar AD]

⑤ ㉤ :[eqn: \ASA`]

31 다음 그림의 [eqn: ANGLE \C=90°]인 [eqn: TRIANGLE \ABC`]의 변 [eqn: \AC] 위의 한 점[eqn: \P`]에서 변[eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을[eqn: \D`]라 할 때, [eqn: rm bar PC = BAR PD]이면[eqn: rm bar BP]는 [eqn: ANGLE \B`]의 이등분선임을 증명하는 과정이다. (   ) 안의 내용이 옳지 않은 것은?

[증명] [eqn: TRIANGLE \PBD`]와 [eqn: TRIANGLE \PBC`]에서

[eqn: ANGLE \PDB=(㉠ )=90°,]

[eqn: rm bar PD =(㉡),`]

[eqn: (㉢)`]는 공통

[eqn: ∴~ TRIANGLE \PBD≡ TRIANGLE \PBC``(㉣ )`]

[eqn: ∴~ ANGLE \PBD=( ㉤)`]

따라서, [eqn: rm bar BP]는 [eqn: ANGLE \B`]의 이등분선이다.

① ㉠ : [eqn: RM ANGLE PCB]	② ㉡ : [eqn: RM BAR PC]

③ ㉢ : [eqn: RM BAR PB]	④ ㉣ : SAS 합동

⑤ ㉤ : [eqn: RM ANGLE PBC]

32 다음은 ‘빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같은 두 직각삼각형은 서로 합동이다.’를 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 써넣어라.

[가정][eqn: rm triangle ABC]와[eqn: rm TRIANGLE DEF]에서[eqn: rm ANGLE C=][eqn: =90°], [eqn: rm bar AB =], [eqn: rm ANGLE A = ANGLE D]

㈎

㈏

[결론][eqn: rm triangle ABC == TRIANGLE DEF]

[증명]

[eqn: rm triangle ABC]와[eqn: rm triangle DEF]에서

[eqn: rm ANGLE C =][eqn: =90]ﾟ (가정) … ㉠

㈎

[eqn: rm ANGLE A = ANGLE D] (가정)이므로[eqn: rm ANGLE B =ANGLE E] … ㉡

[eqn: rm bar AB =] (가정) … ㉢

㈏

따라서, ㉠, ㉡, ㉢에서 [eqn: rm triangle ABC == TRIANGLE DEF] ( 합동)

㈐

33 다음은[eqn: rm ANGLE XOY``]안에 있는 한 점 [eqn: rm P``]에서 두 변 [eqn: rm OX],[eqn: rmOY]에 내린 수선 [eqn: rm PH,~PK``]의 길이가 같을 때, 반직선 [eqn: rm OP``]는 [eqn: rm ANGLE XOY``]의 이등분선임을 증명하는 과정이다. 안에 알맞은 것이 순서대로 옳은 것은?

[가정] [eqn: rm bar PH ``BOT`` bar OX ,~bar PK ``bot`` bar OY ,~bar PH = bar PK]

[결론] [eqn: rm ANGLE POH = ANGLE POK]

[증명] [eqn: rm TRIANGLE POH``]와 [eqn: rm TRIANGLE POK``]에서

[eqn: rm ANGLE PHO =][eqn: = 90 °]	⋯⋯⋯⋯㉠

가정에서 [eqn: rm BAR PH =]	⋯⋯⋯⋯㉡

는 공통변	⋯⋯⋯⋯㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: rm TRIANGLE POH ``==`` TRIANGLE POK] ( 합동)

[eqn: rm THEREFORE ANGLE POH = ANGLE POK]

따라서, 반직선 [eqn: RM OP``]는 [eqn: rm ANGLE XOY``]를 이등분한다.

①[eqn: rm ANGLE PKO ,~ BAR PK , ~BAR PO , ~ RHA]

②[eqn: rm ANGLE POK , ~ BAR PK , ~ BAR PO , ~ RHA]

③[eqn: rm ANGLE PKO ,~ BAR KP , ~ BAR OH , ~ RHA]

④[eqn: rm ANGLE PKO , ~ BAR PK , ~ BAR PO , ~ RHS]

⑤[eqn: rm ANGLE PKO , ~ BAR KP , ~ BAR OK , ~ RHS]

34 「각의 이등분선 위의 한 점에서, 각의 두 변에 이르는 거리는 같다.」를 다음과 같이 증명하였다. 빈칸 (가)～(바)에 알맞은 것을 차례대로 구하여라.

[가정] [eqn: rm angle POA = angle POB], [eqn: rm angle PAO = angle PBO = 90ﾟ]

[결론] [eqn: rm bar PA = bar PB]

[증명] [eqn: rm angle XOY]의 이등분선 위의 한 점 [eqn: \P]를 잡으면

[eqn: rm triangle PAO]와 [eqn: rm triangle PBO]에서

[eqn: rm angle PAO =][eqn: = 90ﾟ]	……①

(가)

가정에서 [eqn: rm angle POA =]	……②

(나)

는 공통인 변	……③

(다)

①, ②, ③에 의해 두 직각삼각형의

와 가 각각 서로 같으므로

(라)

(마)

[eqn: rm triangle PAO ==]

(바)

∴ [eqn: rm bar PA = bar PB]

35 다음은 [eqn: RM TRIANGLEABC]에서 점[eqn: RMD]는 [eqn: RMbarBC]의 중점이고 [eqn: RM barBE ,~barCF]는 점 [eqn: RMB,~C]에서 [eqn: RMbarAD] 또는 그 연장선 위에 각각 그은 수선이라고 할 때, [eqn: RMbarBE =barCF]임을 증명하는 과정이다.  안에 알맞은 것을 써 넣어라.

[eqn: RM TRIANGLE BDE]와 [eqn: RM TRIANGLECDF]에서

[eqn: RMANGLEBED =ANGLECFD=]ﾟ

[eqn: RMbarBD =], [eqn: RMANGLE BDE=](맞꼭지각)

∴ [eqn: RM TRIANGLEBDE== TRIANGLECDF]( 합동)

∴ [eqn: RMbarBE =]

36 다음 문장 중 명제인 것을 모두 찾아라.

(1) 코끼리는 동물이다.

(2) [eqn: 29]는 소수가 아니다.

(3) [eqn: x=2]이면 [eqn: x^2}+2x+1=0]이다.

(4) 중요한 것은 눈에 보이지 않는다.

37 다음 명제의 가정과 결론을 말하여라.

(1) [eqn: x=y]이면 [eqn: xz=yz]이다

(2) 마름모는 정사각형이다.

(3) [eqn: ac>bc]이면 [eqn: a<b]이다.

(4) 정삼각형은 이등변삼각형이다.

38 명제 ‘[eqn: x ^2} =1]이면 [eqn: x=1]이다.’가 거짓임을 보이는

반례를 찾아라.

39 다음 명제의 참, 거짓으로 판별하여라.

(1) [eqn: x ^2}` >`0]이면 [eqn: x`>`0]이다.

(2) [eqn: a+b`>`0], [eqn: ab `LEQ `0]이면 [eqn: a`>`0], [eqn: b`<`0]이다.

(3) [eqn: x=-1]이면 [eqn: x ^2} +x=0]이다.

수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			반 / 번호
	02 조건과 진리집합					이름

01 두 조건 [eqn: p,``q]의 진리집합이 각각

[eqn: P=left{6,`12,`18`right}]

[eqn: Q=left{3,`6,`9,`12,`15,`18`right}]

일 때, 명제 [eqn: p` -> `q]의 참, 거짓을 판별하여라.

02 자연수 전체의 집합에서 조건 ‘[eqn: p`:``x]는 [eqn: 12]의

약수이다.’의 진리집합 [eqn: P]를 구하여라.

03 진리집합을 이용하여 명제 ‘의 배수이면 의

배수이다.’의 참, 거짓을 판별하여라.

04 다음 명제의 부정을 말하여라.

(1) [eqn: 15]는 소수이다.

(2) 정사각형은 직사각형이다.

05 두 조건 [eqn: p,``q]의 진리집합 [eqn: P,``Q]가 다음과 같

을 때, [eqn: p```` RARROW ````q] 또는 [eqn: p```` LRARROW ````q]의 꼴로 나타내어라.

(1) [eqn: P=left{2,`3,`5,`7`right}], [eqn: Q=left{x``|``x]는 자연수}

(2) [eqn: P=left{2,`4,`6,`8,`⋯`right}], [eqn: Q=left{2x``|``x]는 자연수}

06 다음 명제의 부정을 말하여라.

(1) 정사각형은 평행사변형이다.

(2) 는 짝수이고 소수이다.

07 두 조건 [eqn: p,``q]가 각각 다음과 같을 때,

[eqn: p``` RARROW`` `q]이지만 [eqn: q``` RARROW ```p]가 아닌 것을 찾아라.

(1) [eqn: p`:``x(x-2)=0]           [eqn: q`:``x=2]

(2) [eqn: p`:``x<y]                  [eqn: q`:``-x>-y]

(3) [eqn: p`:``rm△ABC]는 정삼각형이다.

[eqn: q`:``rm△ABC&]는 두 밑각의 크기는 같다.

09 명제 ‘모든 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 12]의 약수이다.’의

부정을 말하고, 그 부정의 참, 거짓을 판별하여

라.

10 다음 명제의 부정을 말하고, 그 부정의 참,

거짓을 판별하여라.

(1) 모든 실수 [eqn: x]의 제곱은 [eqn: 0]보다 크다.

(2) 어떤 소수는 홀수가 아니다.

11 네 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]의 진리집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R], [eqn: S]에

대하여 [eqn: P` SUBSET Q], [eqn: R` SUBSET S]일 때, 다음 중 [eqn: p`` -> ``s]가 참

임을 보이기 위해 필요한 조건을 찾아라.

ㄱ. [eqn: Q^C` ⊂`R^C]     ㄴ.[eqn: R`⊂`Q]     ㄷ.[eqn: R^C`⊂`Q^C]

12 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: p` ```RARROW ````q],

[eqn: ～r` ````RARROW ````～q]일 때, 조건 [eqn: p]의 진리집합 [eqn: P]와

조건[eqn: r]의 진리집합 [eqn: R] 사이의 포함 관계를 구하

여라.

13 두 조건 ‘[eqn: p`:``x` LEQ -3] 또는 [eqn: x``>``5]’,

‘[eqn: q`:``a ``LEQ`` x``<``b]’에 대하여 명제 [eqn: ～p```` -> ````q]가 참이

되기 위한 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값의 범위를 구하여라.

14 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집

때, 그 포함 관계는 오른쪽 그

림과 같다. 이때, 다음 중 옳은

것을 찾아라.

(1) [eqn: p```` RARROW ````r]   (2) [eqn: p```` RARROW ````q]   (3) [eqn: q```` RARROW ````r]

(4) [eqn: r```` RARROW``` `q]   (5) [eqn: q```` RARROW ````p]

수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			반 / 번호
	03 명제의 역과 대우					이름

01 다음 명제의 역을 구하여라.

(1) 사람이면 동물이다.

(2) 넓이가 같은 두 삼각형은 합동이다.

(3) [eqn: a=2],[eqn: b=3]이면[eqn: a+b=5]이다.

(4) [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: n+1]은 홀수이다.

대답한사람 순위	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmC]	[eqn: rmD]
[eqn: 1]		[eqn: rmC]	[eqn: rmA]
[eqn: 2]	[eqn: rmC]			[eqn: rmB]
[eqn: 3]			[eqn: rmD]
[eqn: 4]	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]		[eqn: rmD]

02 [eqn: rm{A}],[eqn: rm{B}],[eqn: rm{C}],[eqn: rm{D}] 네

사람이 달리기를 한 후

이들에게 순위를 물었

니 오른쪽 표와 같이

대답하였다. 이들이 모

두 두 사람의 순위를

대답했지만 하나는 옳고, 하나는 틀리다고 한다.

이때, [eqn: 1]등한 사람을 구하여라.

03 다음 명제의 역, 대우를 구하여라.

[eqn: x=5]이면 [eqn: x+5=10&]이다.

04 다음 명제의 역, 대우를 구하여라.

[eqn: a^ 2 +b ^2 != 0]이면 [eqn: a!=0] 또는 [eqn: b!=0]이다.

05  명제 [eqn: p` -> `q]가 참일 때, 다음 중 참인 것을   찾아라.

ㄱ. [eqn: q```` rarrow````p]	ㄴ. [eqn: simp ```` rarrow simq]	ㄷ. [eqn: sim q ````rarrow ````sim p]

06 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여

[eqn: p```` RARROW ````q], [eqn: q```` RARROW``` `r]

일 때, 다음 중 옳은 것을 찾아라.

(단, 기호 [eqn: RARROW]는 [eqn: rarrow]가 참일 때를 나타낸 것이다.)

ㄱ. [eqn: p```` Rarrow````r]	ㄴ. [eqn: q ````Rarrow````p]	ㄷ. [eqn: r```` Rarrow````q]

07 다음 명제의 역, 대우를 구하고, 그 참, 거짓을 판별하여라.

정삼각형은 예각삼각형이다.

08 네 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]에 대하여

[eqn: p```` RARROW ````q], [eqn: ～r```` RARROW ````～q], [eqn: r```` RARROW ````s]

일 때, 다음 중에서 옳은 것을 찾아라.

(1) [eqn: p```` RARROW``` `～r]   (2) [eqn: ～p```` RARROW ````～r]   (3) [eqn: p```` RARROW``` `s]

(4) [eqn: q```` RARROW`` `～s]    (5) [eqn: ～r`` ``RARROW ````～s]

09 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가 각각 다음과 같을 때, 명제 [eqn: p````-> ````q]의 역이 참이 되게 하는 정수 [eqn: n]의 개수를 구하여라.

[eqn: p`:``-1 leq x < 5],  [eqn: q`:``|`x-n`|`leq `1]

10 다음 명제의 역, 대우를 구하고, 그 참, 거짓을 판별하여라.

(1) [eqn: x=0]이면 [eqn: 2x+1 GEQ` 0]이다.

(2) [eqn: x``>`2]이면 [eqn: 3x+1 GEQ `0]이다.

(3) [eqn: x]가 유리수이면 [eqn: x ^2}]도 유리수이다.

11 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라고 할 때[eqn: p```` RARROW `````r], [eqn: r```` RARROW ````～q]  가 성립한다. 다음 중 옳은 것을 모두 찾아라.

ㄱ. [eqn: P ``subset `R]	ㄴ. [eqn: Q `` subset `R]	ㄷ. [eqn: P ``cap `Q= emptyset]

12 다음 명제가 참임을 대우를 이용하여 증명하여라.

자연수 [eqn: x,``y]에 대하여 [eqn: xy]가 홀수이면[eqn: x]와[eqn: y]는

모두 홀수이다.

13 어떤 가게에 오른쪽과 같은 안내문이 붙어 있다. 찬호, 하영, 주호, 성호, 예슬, 예봄이가 이 가게에서 물건을 샀다. 이 사람들에게 물건 값 또는 사은품을 받았는지를 조사하였더니 다음 표와 같았다.

이 름	찬호	하영	주호	성호	예슬	예봄
물건 값	[eqn: rmA]	[eqn: 12]만 원	[eqn: rmC]	[eqn: 5]만 원	[eqn: rmE]	[eqn: 9]만 원
사은품	받음	[eqn: rmB]	받음	[eqn: rmD]	못 받음	못 받음

이때, 안내문의 약속이 지켜졌는지 확인하려면 위의[eqn: rmA],[eqn: rmB],[eqn: rmC],[eqn: rmD],[eqn: rmE] 중에서 어떤 것을 추가로 조사해야 하는지 말하여라.

수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			반 / 번호
	04 필요조건과 충분조건					이름

01 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 조건 [eqn: p], [eqn: q]가 다음과

같을 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 어떤 조건인지 말하여

라.

(1) [eqn: p`:````x=y]         [eqn: q`:````x ^2} =y ^2}]

(2) [eqn: p`:````x]는 [eqn: 3]의 배수  [eqn: q`:````x]는 [eqn: 9]의 배수

02 두 조건 ‘[eqn: p`:````x]는 [eqn: 3]의 약수’, ‘[eqn: q`:````x]는 [eqn: 6]의 약수’에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라고 할

때, [eqn: P], [eqn: Q]를 구하여라.

(2) 두 집합[eqn: P], [eqn: Q]의 포함 관계를 말하여라.

(3) [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 어떤 조건인지 말하여라.

03 다음

안에 들어갈 알맞은 말을 써넣어

라.

이등변삼각형은 정삼각형이기 위한

조건이

다.

04 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가 다음과 같을 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 어떤 조건인지 말하여라.

(단, [eqn: x], [eqn: y]는 실수)

(1) [eqn: p`:``x=0,`y=0], [eqn: q{:``x ^2} +y ^2} =0]

(2) [eqn: p`:``x>0,`y<0]	, [eqn: q`:``xy<0]

(3) [eqn: p`:rm△ABC]는 직삼각형, [eqn: q`:`` ANGLE rmA=90〫]

(4) [eqn: p`:``A=B],	[eqn: q`:``A SUBSET B]

05 두 조건 ‘[eqn: p`:````2x-3` LEQ `1]’,  ‘[eqn: q`:````x`<`a]’에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건일 때, 상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

06 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P,] [eqn: Q], [eqn: R]라고 할 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건, [eqn: ～q]는 [eqn: ～r]이기 위한 충분조건이다. 이때, 세 집합 [eqn: P,] [eqn: Q], [eqn: R]의 포함 관계를 말하여라. (단, [eqn: P`` !=` Q], [eqn: Q`` != `R])

07 전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: P], [eqn: Q]를 각각 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합이라고 하자. [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건일 때, 다음을 구하여라.

(1) [eqn: P `CUP Q ^C}]

(2)[eqn: Q``-P]

08 [eqn: -1` LEQ` x `LEQ `1]이기 위한 충분조건을 [eqn: 2]개 이상 말하여라.

09 다음 중에서 [eqn: x ^2} -1=0]이기 위한 필요조건과 충분조건을 차례로 나열하여라.

ㄱ.[eqn: x=1]

ㄴ.[eqn: x=2] 또는 [eqn: x=1]

ㄷ.[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=-1]

10 실수 [eqn: x]에 대하여 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라고 하면 [eqn: P`=`LEFT{x``|``x=1RIGHT}], [eqn: Q`=`LEFT{x``|``x ^2} -ax+2=0RIGHT}], [eqn: R`=`LEFT{x``|``x^2}+3x+b=0right}]이다. [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이고, [eqn: r]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

11 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라고 할 때, [eqn: P`∪(Q-P)^C}=U]이다. 이때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 무슨 조건인지 구하여라.

(단, [eqn: P != Q]이고 [eqn: U]는 전체집합)

12 자연수 [eqn: n]의 배수의 집합 [eqn: A _n}]에 대하여 [eqn: x IN A _6}]은 [eqn: x IN A _k}]가 되기 위한 충분조건일 때, 자연수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라. (단, [eqn: k!=6])

13 어떤 놀이 기구를 탈 수 있는 사람은 다음 두 조건을 모두 만족해야 한다.

Ⅰ. 키가[eqn: rm140```cm] 이상

Ⅱ. 나이가 [eqn: 13]세 이상 [eqn: 60]세 이하

이때, 다음 중에서 이 놀이 기구를 타기에 충분한

사람을 모두 찾아라.

(1) 나이가 [eqn: 17]세인 사람

(2) 키가 [eqn: 145rmcm]인 사람

(3) 키가 [eqn: 140rmcm], 나이가 [eqn: 13]세인 사람

(4) 키가 [eqn: 154rmcm], 나이가 [eqn: 11]세인 사람

(5) 키가 [eqn: 163rmcm], 나이가 [eqn: 16]세인 사람

14 네 학생 영주, 연석,

미애, 승현 중 한 학생이

지각을 했다는 사실을 알

고 있는 담임 선생님께

학생들이 오른쪽과 같이 말하였다.

이때, 네 학생 중 오직 한 학생의 말이 거짓이라

면 지각한 학생은 누구인지 말하여라.

1단계 문제를 이해하고 계획을 세워 보자.

(1) 구해야 할 것이 무엇인지 알아보아라.

(2) 주어진 조건을 찾아보아라.

2단계 문제를 풀어 보자.

(1) 지각을 한 학생이 각각 영주, 연석, 미애, 승현이인 네 가지 경우에 대하여 네 사람의 말의 참, 거짓을 다음 표에 나타내고 그 모순 여부를 살펴보아라.

구분 지각생	영주	연석	미애	승현	모순 여부
영주		참	거짓
연석				참
미애	참			참
승현		참

(2) 거짓말을 한 학생이 한 명이라는 사실에 유의하여 거짓말을 한 학생을 찾아라.

(3) 지각한 학생을 찾아라.

3단계 검증하여 보자.

(1) 구한 답이 주어진 조건에 모순이 없는지 확인하여라.

(2) 잘못된 점이 있으면 이를 고쳐 보아라.

수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			반 / 번호
	05 절대부등식					이름

01 임의의 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 다음 부등식을 증

명하여라.

(1) [eqn: (a+b)^{ 2 } GEQ 4ab]

(2) [eqn: a^{ 2 } +2>a]

02 다음은 [eqn: a GEQ 0], [eqn: b GEQ 0]일 때, 부등식   [eqn: { a^{ 2 } +b^{ 2 } } over { 2 } GEQ ab]를 증명하는 과정이다.

안에

알맞은 것을 써 넣어라.

[eqn: { a^{ 2 } +b^{ 2 } } over { 2 } -ab= { a^{ 2 } +b^{ 2 } -2ab } over { 2 }]

[eqn: =]

[eqn: (]

[eqn: )^{ 2 }]

[eqn: 2]

[eqn: GEQ 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: { a^{ 2 } +b^{ 2 } } over { 2 } GEQ ab]

여기서 등호가 성립하는 경우는

일 때이다.

03 [eqn: a>b>0]일 때, 부등식 [eqn: { a } over { 1+a } > { b } over { 1+b }]를 증

명하여라.

04 부등식 [eqn: a^{ 2 } +b^{ 2 } +c^{ 2 } GEQ ab+bc+ca]를 증명

하고, 등호가 성립하는 경우를 말하여라.

05 [eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, 다음 부등식을 증명하여라.

(1) [eqn: sqrt { 2(a+b) } GEQ sqrt { a } + sqrt { b }]

(2) [eqn: sqrt { ab } GEQ { 2ab } over { a+b }]

(3) [eqn: { b } over { a } + { a } over { b } GEQ 2]

(4) [eqn: (a+b) left ( { 1 } over { a } + { 1 } over { b } right ) GEQ 4]

06 [eqn: a>0], [eqn: b>0]이고 [eqn: a+b=8]일 때, [eqn: ab]의 최댓

값을 구하여라.

07 [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: c>0]일 때,

[eqn: (a+b+c) left ( { 1 } over { a } + { 1 } over { b } + { 1 } over { c } right )]의 최솟값을 구하여

라.

08 오른쪽 그림과 같이 정사각

형 [eqn: rm { ABCD }]에 내접하는 정사각

형 [eqn: rm { PQRS }]가 있다. 색칠한 부분

의 넓이가 [eqn: 10]일 때, 정사각형

[eqn: rm { PQRS }]의 넓이의 최솟값을 구하

여라.

09 [eqn: a>b>0], [eqn: c>0]일 때, 부등식 [eqn: { a } over { b } > { a+c } over { b+c }]를

증명하여라.

10 [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: c>0]일 때, 부등식

[eqn: a^{ 3 } +b^{ 3 } +c^{ 3 } GEQ 3abc]를 증명하여라.

11 [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: c>0]일 때, 다음 부등식을 증명

하여라.

(1) [eqn: a+b+c GEQ sqrt { ab } + sqrt { bc } + sqrt { ca }]

(2) [eqn: (a+b)(b+c)(b+a) GEQ 8abc]

12 다음 부등식을 증명하여라.

(1) [eqn: |a|+|b| GEQ |a+b|]

(2) [eqn: |a|+|b| GEQ |a-b|]

13 지름이 [eqn: 1``` rmm]인 원목을

잘라 직육면체 모양의 기

둥을 만들려고 한다. 이 기

둥의 밑면의 넓이를 [eqn: S```rmm^2]

라고 할 때, [eqn: S]의 최댓값을

구하여라.

14 높이가 [eqn: 5`` rm { cm }]인 직육면체

모양의 상자를 만들어 오른쪽

그림과 같이 끈으로 묶으려고 한다. 이때, 길이

가 [eqn: 100`` rm { cm }]인 끈으로 묶을 수 있는 상자의 최대

부피를 구하여라. (단, 매듭의 길이는 생각하지

않는다.)

수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			정답
	01 명제와 증명
		07

01  ①, ③

답

해

설

명제는 참 또는 거짓을 판별할 수 있으므로 보기 중 명제인 것은

① [eqn: 2 + 3 〉6] (거짓인 명제)

③ 두 직선이 만날 때, 맞꼭지각의 크기는 서로 같다. (참인 명제)

02  ⑴ 가정：삼각형이 정삼각형이다. 결론：한 내각의 크기는 [eqn: 60°]이다. ⑵ 가정：두 삼각형의 넓이가 같다. 결론：두 삼각형은 합동이다.

답

해

설

⑴ (삼각형이) 정삼각형이면 한 내각의 크기는 [eqn: 60°]이다.

⑵ (두 삼각형의) 넓이가 같으면 두 삼각형은 합동이다.

03  ①

답

해

설

참, 거짓을 판별할 수 있는 것이 명제이다.

04  ⑤

답

해

설

[가정][eqn: rm bar AB = bar AD], [eqn: rm bar BC = BAR DC]

[결론][eqn: ANGLE \BAC= ANGLE \DAC`]

[증명][eqn: TRIANGLE \ABC`]와 [eqn: TRIANGLE \ADC`]에서

[eqn: rm bar AB = BAR AD]…… (ⅰ)

[eqn: rm bar BC = BAR DC]…… (ⅱ)

[eqn: rm bar AC]는 공통인 변 …… (ⅲ)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터

[eqn: rm TRIANGLE ABC == TRIANGLE ADC`( SSS``합동)`]

[eqn: THEREFORE ` rm ANGLE BAC= ANGLE DAC`]

05  ②, ③

답

해

설

②, ③은 정리이다.

06  ③

답

해

설

②, ④, ⑤는 정리이다.

07  ①, ④

답

해

설

② 참인 명제

③ 참인 명제

⑤ 거짓인 명제

① 명확한 기준이 없어 참, 거짓의 판단이 불가능하므로 명제가 아니다.

④ [eqn: x=2]이면 참, [eqn: x !=2]이면 거짓이므로 명제가 아니다.

08  ⑤

답

해

설

① 부등식을 풀면 [eqn: x＞4]이므로 거짓

② 반지름의 길이에 따라 원의 크기가 결정되므로 거짓

③ [eqn: LEFT | -5 RIGHT |=5]이므로 거짓

④ 2의 배수 중 2, 6, 10, …은 4의 배수가 아니므로 거짓

⑤ [eqn: x=2]이면 [eqn: 2x+1=5]이므로 참

09  [eqn: rm bar PA = barPB], [eqn: rm barBM], [eqn: rmbar PM], [eqn: 90], [eqn: \SAS]

답

10  ③, ④

답

해

설

① 두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형 이라 한다.

② 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형을 정다각형 이라 한다.

⑤ 한 평면 위에서 서로 만나지 않는 두 직선을 평행선 이라 한다.

11  ⑤

답

해

설

⑤ 정삼각형 : 세 변의 길이가 같은 삼각형

12  ③

답

13  ⑴ 참  ⑵ 참  ⑶ 거짓  ⑷ 참

답

해

설

⑴ 소수이면서 짝수인 수는 [eqn: 2]뿐이므로 참인 명제이다.

⑵ 정삼각형의 내각의 크기는 모두 60°이므로 예각삼각형이다. 따라서 참인 명제이다.

⑶ [eqn: 12]의 약수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 12]이고, [eqn: 6]의 약수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 6]이므로 [eqn: 12]의 약수 중에는 [eqn: 6]의 약수가 아닌 것도 있다. 따라서 거짓인 명제이다. [eqn: 6]의 약수는 [eqn: 12]의 약수이다.

⑷ [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: n^2]은 홀수이므로 참인 명제이다.

14  ①, ⑤

답

해

설

② [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: n(n+1)]은 짝수이다.

③ [eqn: x]가 양수이고 [eqn: y]가 음수이면 성립하지 않는다.

④ [eqn: z]가 음수이면 성립하지 않는다.

15  ④

답

해

설

④ 참, 거짓을 판단할 수 있으므로 명제이다.

16  ①

답

해

설

[eqn: rm ANGLE AOB = ANGLE AOC + ANGLE COB = 90°]에서

[eqn: rm ANGLE AOC = 90° - ANGLE COB ~~ cdots cdots`]㉠

[eqn: rm ANGLE COD = ANGLE COB + ANGLE BOD = 90°]에서

[eqn: rm ANGLE BOD = 90° - ANGLE COB ~~ cdots cdots`]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: rm ANGLE AOC = ANGLE BOD]

17  ②

답

해

설

[eqn: a=3,~ b=5]이면 [eqn: 3 + 5 = 8]이지만 [eqn: 3,~ 5]는 모두 홀수이다. 따라서 거짓이다.

18  [eqn: rmbar CA ,~ bar CE ,] [eqn: rm angle ACD ,~ SAS]

답

19  가정 : [eqn: a]가 짝수, [eqn: b]가 홀수이다. 결론 : [eqn: a+b]는 홀수이다.

답

해

설

명제가 “[eqn: p]이면 [eqn: q]이다.”의 꼴로 되어 있을 때, [eqn: p]를 이 명제의 가정, [eqn: q]를 이 명제의 결론이라고 한다. 따라서 “[eqn: a]가 짝수, [eqn: b]가 홀수이면 [eqn: a+b]는 홀수”에서 가정은 “[eqn: a]가 짝수, [eqn: b]가 홀수이다.”, 결론은 “[eqn: a+b]는 홀수이다.”이다.

20  [eqn: rm ANGLE D], [eqn: rm ASA]

답

해

설

[eqn: rm ANGLE A = ANGLE C] ([eqn: BECAUSE] 엇각)

[eqn: rm ANGLE B = ANGLE D] ([eqn: BECAUSE] 엇각) [eqn: rm bar AB = bar CD]

∴ [eqn: TRIANGLE rm MAB == TRIANGLE MCD] ( [eqn: rm ASA] 합동)

∴ [eqn: rm bar AM = bar CM]

21  [eqn: RMANGLEC,~ANGLEB,~ANGLEC,`][eqn: rm ANGLEDAC]

답

22  ⑤

답

해

설

[가정] [eqn: rm barAO `= barBO `,` barCO = barDO]

[결론] [eqn: rm barAC ``= barBD]

[증명] [eqn: rm △ACO]와 [eqn: rm △BDO]에서

[eqn: rm barAO `= barBO `,` barCO = barDO],

[eqn: rm ANGLE AOC= ANGLE BOD] (맞꼭지각)

두 쌍의 대응하는 변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로

[eqn: rm △ACO == △BDO] (SAS 합동)

[eqn: rm THEREFORE ` barAC = barBD]

23  ④

답

해

설

④ [eqn: x]가 [eqn: 2]인 경우에는 참이지만 [eqn: x]가 [eqn: 2]가 아닌 경우에는 거짓으로 참인지 거짓인지 분명하게 알 수 없으므로 명제가 아니다.

24  ①, ⑤

답

해

설

① [eqn: c<0]일 때, [eqn: ac>bc]의 양변을 [eqn: c]로 나누면 [eqn: a<b]로 (거짓)

② [eqn: ac>bc]의 양변을 [eqn: c^2]으로 나누면 [eqn: { a} over {c } > { b} over {c }] (참)

③ [eqn: a+c-b-c > 0]이면 [eqn: a-b>0]에서 [eqn: a>b] (참)

④ [eqn: a-c-b+c > 0]이면 [eqn: a-b>0]에서 [eqn: a>b] (참)

⑤ [eqn: a=2,~b=3]이면 [eqn: 1over2 ＞ 1 over3]이지만 [eqn: 2<3]이다. (거짓)

25  해설 참조

답

해

설

[eqn: angle rmDAH][eqn: =90ﾟ-angle rmADH=90ﾟ]

[eqn: rm-left ( 1over2 angleBAC+angleACB right)]

[eqn: rm =90ﾟ - 1over2 (180ﾟ-angleABC-angleACB)]

[eqn: -angle rmACB]

[eqn: rm= 1over2 (angleABC-angleACB)]

다

른

풀

이

[eqn: angle rmDAH][eqn: =angle rmDAB-angle rmHAB]

[eqn: =rm 1over2 angleBAC-(90ﾟ-angleABC)]

[eqn: =rm 1over2 (180ﾟ-angleABC-angleACB)]

[eqn: -90ﾟ+angle rmABC]

[eqn: = 1over2 rm(angleABC-angleACB)]

26  ③

답

해

설

명제인 것 : ㉯, ㉱, ㉲

27  ②, ⑤

답

해

설

㉠[eqn: rm bar BD = bar CD],[eqn: rm bar AD BOT bar BC]

㉢[eqn: rm angle CAD]

㉣[eqn: rm SAS]

28  [eqn: rm ANGLE PBO], [eqn: rm ANGLE POB], [eqn: rm bar OP], 빗변의 길이, 한 예각의 크기

답

해

설

[eqn: rm ANGLE XOY]의 이등분선 위의 한 점 [eqn: rm P]를 잡으면, [eqn: TRIANGLE rm PAO]와 [eqn: TRIANGLE rm PBO]에서 [eqn: rm ANGLE PAO =][eqn: rm ANGLE PBO][eqn: =90]ﾟ 가정에서 [eqn: rm ANGLE POA =][eqn: rm ANGLE POB], [eqn: rm bar OP]는 공통

따라서 두 직각삼각형은 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 [eqn: rm TRIANGLE PAO == TRIANGLE PBO](∵ [eqn: rmRHA] 합동)

[eqn: rm THEREFORE ~ bar PA = bar PB]

29  ②

답

해

설

[eqn: rm TRIANGLE BPD]와 [eqn: rm TRIANGLE CPD]에서, [eqn: rm bar BD = bar CD]

([eqn: BECAUSE][eqn: rm TRIANGLE ABC]가 이등변삼각형)

[eqn: rm ANGLE BDP = ANGLE CDP = 90°`]

[eqn: rm bar PD]는 공통

[eqn: therefore` rm TRIANGLE BPD ==TRIANGLE CPD]([eqn: \SAS] 합동)

30  ⑤

답

해

설

[가정] : [eqn: TRIANGLE \ABC`]에서

[eqn: rm bar AB = BAR AC], [eqn: rm bar AD = BAR AE]

[결론] : [eqn: rm bar DC = BAR EB]

[증명] : [eqn: TRIANGLE \ABE`]와 [eqn: TRIANGLE \ACD`]에서

[eqn: rm bar AB = BAR AC], [eqn: rm bar AE = BAR AD]

[eqn: ANGLE \A`]는 공통이므로

[eqn: TRIANGLE \ABE ≡ TRIANGLE \ACD~( \SAS``합동)`]

[eqn: ∴` rm bar DC = BAR EB]

31  ④

답

해

설

[eqn: TRIANGLE \PBD`]와 [eqn: TRIANGLE \PBC`]에서

[eqn: ANGLE \PDB = ANGLE \PCB = 90°`], [eqn: rm bar PD = BAR PC],

[eqn: rm bar PB]는 공통

[eqn: ∴~ TRIANGLE \PBD ≡ TRIANGLE \PBC~( \RHS~합동)`]

[eqn: ∴~ ANGLE \PBD = ANGLE \PBC`]

따라서, [eqn: rm bar BP]는 [eqn: ANGLE \B`]의 이등분선이다.

32  ㈎ [eqn: rm ANGLE F] ㈏ [eqn: rm bar DE] ㈐ [eqn: rm ASA]

답

해

설

명제 ‘빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같은 두 직각삼각형은 서로 합동이다.’에서 가정은 ‘[eqn: rm triangle ABC]와 [eqn: rm triangle DEF]에서 [eqn: rm ANGLE C=][eqn: rm ANGLE F][eqn: =90]ﾟ,[eqn: rm bar AB = bar DE],[eqn: rm ANGLE A = ANGLE D]’이고,

결론은 ‘[eqn: rm triangle ABC == TRIANGLE DEF]’이다.

[eqn: TRIANGLE rm ABC]와[eqn: TRIANGLE rm DEF]에서[eqn: rm ANGLE C = angle F = 90°] (가정),

[eqn: rm ANGLE A = ANGLE D] (가정)이므로

[eqn: rm ANGLE B =ANGLE E] [eqn: rm bar AB = bar DE] (가정)

∴[eqn: rm TRIANGLE ABC == TRIANGLE DEF] ([eqn: \ASA] 합동)

33  ④

답

해

설

[가정] [eqn: rm bar PH ``BOT`` bar OX ,~bar PK ``bot`` bar OY ,~bar PH = bar PK]

[결론] [eqn: rm ANGLE POH = ANGLE POK]

[증명] [eqn: rm TRIANGLE POH``]와 [eqn: rm TRIANGLE POK``]에서

[eqn: rm ANGLE PHO =][eqn: RM ANGLE PKO][eqn: = 90 °]   ⋯⋯⋯⋯㉠

가정에서 [eqn: rm BAR PH =][eqn: RM BAR PK]     ⋯⋯⋯⋯㉡

[eqn: RM BAR PO]는 공통변	⋯⋯⋯⋯㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: rm TRIANGLE POH ``==`` TRIANGLE POK] (RHS 합동)

[eqn: rm THEREFORE ANGLE POH = ANGLE POK]

따라서 반직선 [eqn: RM OP``]는 [eqn: rm ANGLE XOY``]를 이등분한다.

34  해설 참조

답

해

설

(가) [eqn: rm ANGLE PBO]	(나) [eqn: rm ANGLE POB]    (다) [eqn: rm bar OP]

(라) 빗변의 길이  (마) 한 예각의 크기

(바) [eqn: rm TRIANGLE PBO]

35  [eqn: RM90,~barCD`,~ANGLECDF,~][eqn: rm RHA,~barCF]

답

36  (1), (2). (3)

답

37  (1) 가정: [eqn: x=y]이다. 결론: [eqn: xz=yz]이다.

답

(2) 가정: 마름모이다. 결론: 정사각형이다.

(3) 가정: [eqn: ac>bc]이다.  결론: [eqn: a<b]이다.

(4) 가정: 정삼각형이다. 결론: 이등변삼각형이다.

38  [eqn: x=-1]이면 [eqn: x^{ 2 } =1]이지만 [eqn: x != 1]이다.

답

39  (1) 거짓 (2) 참

답

해

설

(1) (반례) [eqn: x=-1&]이면 [eqn: x^2 =1&]이므로 [eqn: x^2 >0&]이지

만 [eqn: x<0]이다.   (거짓)

(2) (반례) [eqn: a=-1,``b=2]이면 [eqn: a+b=1],

[eqn: ab=-2]이므로[eqn: a+b>0,``ab<0]이지만

[eqn: a<0]이다.   (참)

수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			정답
	02 조건과 진리집합

01  [eqn: ⊂], 참

답

02  [eqn: P=left{1,2,3,4,6,12 right}]

답

03  풀이 참조

답

해

설

[eqn: 4]의 배수의 집합을 [eqn: P], [eqn: 2]의 배수의 집합을[eqn: Q]

라고 하면

[eqn: P=left{4,8,12,16.⋯ right},``Q=left{2,4,6,8,⋯right}]

이므로 [eqn: P⊂Q]이다. 따라서 주어진 명제는 참이

다.

04  (1) [eqn: 15]는 소수가 아니다.

답

(2) 정사각형은 직사각형이 아니다.

05  (1) [eqn: P⊂Q]이므로    [eqn: p``⇒``q]

답

(2) [eqn: P=Q]이므로   [eqn: p``⇔``q]

06  (1) 정사각형은 평행사변형이 아니다.

답

(2) [eqn: 2]는 짝수가 아니거나 소수가 아니다.

07  (3)

답

해

설

두 조건 [eqn: p,q]의 진리집합을 [eqn: P,Q]라고 하면

(1)[eqn: P= left{0,2 right},``Q=left{2 right}]이므로    [eqn: Q⊂P]

[eqn: ∴``q``⇒``p]

(2) 부등식 [eqn: x`<`y]의 양변에 [eqn: -1]을 곱하면

[eqn: -x`>`-y]이므로    [eqn: P`=`Q]    [eqn: ∴`p``⇔``q]

[eqn: P=left{x`|`x는~정삼각형 right}],

[eqn: Q=left{x`|`x는~ 이등변삼각형 right}이므로]

[eqn: P⊂Q~~~~∴`p``⇒``q]

따라서 [eqn: p``⇒``q]인 것은 (3)이다.

08  풀이 참조

답

해

설

어떤 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 12]의 약수가 아니다. (참)

09  풀이 참조

답

해

설

(1) 어떤 실수 [eqn: x]의 제곱은 0보다 작거나 같다.

(참)

(2) 모든 소수는 홀수이다. (거짓)

10  ㄷ

답

해

설

[eqn: p```→```s]가 참임을 보이기 위해 필요한 조건은

[eqn: P``⊂``S``]이다. 그런데 주어진 조건에서 [eqn: P``⊂``Q],

[eqn: R⊂S]이므로 [eqn: Q⊂R]인 조건이 더 필요하다

이때, [eqn: R^C ``⊂ ``Q^C]이면 [eqn: Q⊂R]이므로 필요한 조건

은 ㄷ이다.

11  [eqn: P`⊂`R]

답

해

설

[eqn: ∼r~⇒~∼q]이면 [eqn: q~⇒~r]

세 조건 [eqn: p,``q,``r]의 진리집합을 각각 [eqn: P,``Q,``R]라

고 하면 [eqn: p``⇒``q,``q``⇒``r] 이므로

[eqn: P`⊂`Q,``Q`⊂`R]

따라서 [eqn: P`⊂`Q`⊂`R]이므로    [eqn: P`⊂`R]

12  [eqn: a`≤`-3,``b`>`5]

답

해

설

두 조건 [eqn: p,`q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,`Q]라고 할 때, 명제[eqn: ∼p``→``q]가 참이 되려면 [eqn: P^C`` ⊂`Q]이어야 한다.[eqn: P^C `=left{`x`|`-3<x`≤5right},~Q=left{`x`|`a`≤`x`<b right}]이므로

[eqn: a`≤`-3,``b`>`5]

13  (5)

답

해

설

[eqn: Q`⊂`P,``R`⊂`P]이므로    [eqn: q~⇒``p,``r~⇒``p]

따라서 옳은 것은 (5) [eqn: q~⇒``p]이다.

수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			정답
	03 명제의 역과 대우

01  풀이 참조

답

해

설

(1) 동물이면 사람이다.

(2) 두 삼각형이 합동이면 넓이가 같다.

(3) [eqn: a+b=5]이면 , [eqn: a=2,``b=3]이다.

(4) [eqn: n+1]이 홀수이면 [eqn: n]은 짝수이다.

02  [eqn: rmC]

답

해

설

(ⅰ) [eqn: rmA]가 대답한 순위 중에서 2위 [eqn: rmC]가 옳을 경우 [eqn: rmC]는 2위이므로 [eqn: rmB]의 대답에서 [eqn: rmB]는 4위이고,  [eqn: rmB]가 4위이므로 [eqn: rmD]의 대답에서 [eqn: rmD]는 4위이다.  이때,[eqn: rmB]와[eqn: rmD]가 동시에 4위이므로 모순이다.  따라서 ‘[eqn: rmC]가 2위이다.’는 거짓이다.

(ⅱ) [eqn: rmA]가 대답한 순위 중에서 4위 [eqn: rmA]가 옳을 경우 [eqn: rmA]는 4위이므로 [eqn: rmC]의 대답에서 [eqn: rmD]는 3위이고, [eqn: rmD]가 3위이므로 [eqn: rmD]의 대답에서 [eqn: rmB]는 2위이고, [eqn: rmB]가 2위이므로 [eqn: rmB]의 대답에서 [eqn: rmC]는 1위이다.

따라서 등한 사람은 [eqn: rmC]이다.

03  풀이 참조

답

해

설

역  : [eqn: x+5=10]이면 [eqn: x=5]이다.

대우: [eqn: x+5≠10]이면 [eqn: x≠5]이다.

04  풀이 참조

답

해

설

역  : [eqn: a≠0] 또는[eqn: b≠0] 이면 [eqn: a^2 +b^2 ≠0]이다.

대우: [eqn: a=0,``b=0]이면 [eqn: a^2 +b^2 =0]이다.

05   ㄷ

답

06   ㄱ

답

07  풀이 참조

답

해

설

역  : 예각삼각형은 정삼각형이다. (거짓)

대우: 예각삼각형이 아니면 정삼각형이 아니다.

(참)

08   (3)

답

해

설

[eqn: ∼r~⇒``∼q]이면 [eqn: q~⇒``r]이므로

[eqn: p~⇒``q,``q~⇒``r,``r~⇒``s]

[eqn: p~⇒``r,``p~⇒``s,``q~⇒``s]

따라서 옳은 것은 (3) [eqn: p~⇒``s]이다.

09  [eqn: 4]

답

해

설

[eqn: |`x-n`|`≤`1,`` -1`≤`x-n`≤`1,``n-1`≤`x`≤`n+1]

이므로 명제 [eqn: p~→``q]의 역이 참이 되려면

[eqn: left{`x`|`-1`≤`x`<`5` right}`⊃` left{`x`|`n-1`≤`x`≤`n+1` right}]이어야

한다.

즉, [eqn: n-1`≥`-1]이고 [eqn: n+1`<`5]이어야 하므로[eqn: 0`≤`n`<`4]

따라서 주어진 조건을 만족하는 정수 [eqn: n]은 0, 1, 2, 3의 개이다.

10  풀이 참조

답

해

설

(1) 역  : [eqn: 2x+1`≥`0].이면 [eqn: x=0]이다. (거짓)

이  : [eqn: x≠0]이면 [eqn: 2x+1`<`0]이다. (거짓)

대우: [eqn: 2x+1`<`0]이면 [eqn: x≠0]이다. (참)

(2) 역  : [eqn: 3x+1≥0]이면 [eqn: x>2]이다. (거짓)

이  : [eqn: x≤2]이면 [eqn: 3x+1<0]이다. (거짓)

대우: [eqn: 3x+1<0]이면 [eqn: x≤ 2]이다. (참)

(3) 역  : [eqn: x^2]이 유리수이면 [eqn: x]도 유리수이다. (거짓)

이  : [eqn: x]가 유리수가 아니면 [eqn: x^2]도 유리수가 아니다. (거짓)

대우: [eqn: x^2]이 유리수가 아니면 [eqn: x]도 유리수가 아니다. (참)

11  ㄱ, ㄷ

답

해

설

[eqn: P`⊂`R,``R`⊂`Q^C]이므로 옳은 것은

ㄱ. [eqn: P``⊂`R,]  ㄷ.[eqn: P ``cap` Q`=∅]

12  풀이 참조

답

해

설

대우: 자연수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x] 또는 [eqn: y]가 짝수이면 [eqn: xy]는 짝수이다

(ⅰ) [eqn: x]가 짝수, [eqn: y]가 홀수라고 하면 [eqn: x=2m,][eqn: y=2n-1]([eqn: m,n]은 자연수)로 나타낼 수 있다.

[eqn: ∴``xy`=`2m`(`2n`-`1`)`=`2(`2nm`-`m`)]

(ⅱ) [eqn: x]가 홀수, [eqn: y]가 짝수라고 하면 [eqn: x=2m-1],

[eqn: y=2n]([eqn: m,n]은 자연수)으로 나타낼 수 있 다.

[eqn: ∴``xy`=`(2m`-`1`)(`2n`)`=`2(`2mn`-`n`)]

(ⅲ) [eqn: x]가 짝수, [eqn: y]도 짝수라고 하면

[eqn: x=2m, ``y=2n]([eqn: m,n]은 자연수)으로 나타낼 수 있다.

[eqn: ∴``xy`=`2m ⋅ 2n`=`3mn`=`2(2mn)]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: xy]는 짝수이다.

따라서 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.

13  E, F

답

해

설

명제 [eqn: p````→````q]의 대우는 [eqn: ∼q````→````∼p]이다.

따라서 ‘10만 원 이상 구매한 고객 중에서 사은품을

받지 못한 사람이 있는지’와 ‘사은품을 받지 못한

사람의 구매 금액이 10만 원 미만인지’를 확인해야

한다.

즉, [eqn: rmB]와 [eqn: rmE]를 추가로 조사해야 한다.

수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			정답
	04 필요조건과 충분조건

01  풀이 참조

답

해

설

(1) 참, 거짓, 충분

(2) [eqn: left{3,`6,`9,`12,`15,`18,`⋯ right}], ⊄, ⊂, 필요

02  풀이 참조

답

해

설

(1)[eqn: P`=`left{1,`3 right},~Q`=`left{1,`2,`3,`6 right}]

(2) [eqn: P`⊂`Q]

(3) 충분조건

03  필요

답

04   풀이 참조

답

해

설

(1) 필요충분조건

(2) 충분조건

(3) 필요조건

(4) 충분조건

05  [eqn: ∴``a>2]

답

해

설

[eqn: 2x-3 ≤ 1,~2x≤4~~~~~~~∴x≤2]

두 조건 [eqn: p,`q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,`Q]라고 하면 [eqn: P`⊂`Q]이므로 다음 그림과 같아야 한다.

[eqn: ∴``a>2]

06   [eqn: R subset Q subset P]

답

해

설

[eqn: P`⊃`Q,```Q^C`⊂` R^C]

[eqn: Q`⊂`P,~R`⊂`Q~~~~~∴R⊂Q⊂P]

07   (1) [eqn: U] (2) [eqn: emptyset]

답

해

설

[eqn: P`⊃`Q]이므로

(1) [eqn: P`` cup` Q^ C =U]

(2) [eqn: Q-P= ∅]

08  풀이 참조

답

해

설

[eqn: -1 ≤ x ≤ 1]이기 위한 충분조건을 [eqn: p]라 하고, 조건 [eqn: p]의 진리집합을 [eqn: P]라고 하면 [eqn: P⊂left{`x`|`-1` ≤` x` ≤ `1`right}]이어야 하므로

[eqn: p``:0≤x≤1,p``:-1≤x<0,p``:-{1 over 2}≤x<{1 over 2},⋯]

09  필요조건: ㄷ, 충분조건: ㄱ

답

10  [eqn: a=3], [eqn: b=`-4]

답

해

설

[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P`⊂`Q]	[eqn: cdots]㉠

[eqn: r]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: P`⊂`R]   [eqn: cdots]㉡

㉠으로부터    [eqn: 1-a+2=0]    [eqn: ∴a=3]

㉡으로부터    [eqn: 1+3+b=0]     [eqn: ∴b=-4]

11  필요조건

답

해

설

[eqn: (Q-P)^ C` =`(Q cap P^C`` )^ C` =`Q^C` cup` P]이므로

[eqn: P`` cup (Q-P`)^ C =P `cup (Q`^ C`cup P`)=P` cup Q`^ C =U]

[eqn: therefore][eqn: Q`⊂`P]

따라서 [eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건이다.

12   3

답

해

설

[eqn: A_6 ⊂A_k]이므로 [eqn: k]는 6의 약수이다.

따라서 [eqn: k]의 최댓값은 3이다. ([eqn: ∵k≠6] )

13  (3), (5)

답

14  풀이참조

답

해

설

1단계

(1) 지각한 학생

(2) (ⅰ) 4명 중 1명이 지각을 했다.

(ⅱ) 4명 중 1명이 거짓말을 했다.

(ⅲ) 영주, 연석, 미애, 승현이가 한 말

2단계

(1)

	영주	연석	미애	승현	모순 여부
영주	거짓	참	거짓	참	모순
연석	거짓	거짓	거짓	참	모순
미애	참	참	거짓	참	모순 없음
승현	거짓	참	참	거짓	모순

(2) 미애             (3)미애

3단계

(1) 미애가 지각을 했으므로 영주의 말은 참이다.

연석이는 지각을 하지 않았으므로 연석이의 말은 참이다. 승현이는 지각을 하지 않았으므로 미애의 말은 거짓이다. 미애가 거짓말을 하였으므로 승현이의 말은 참이다.

수학Ⅱ	Ⅰ. 집합과 명제		2. 명제			정답
	05 절대부등식

01  (1) [eqn: a^{ 2 } -2ab+b^{ 2 }], [eqn: a-b], [eqn: a=b]

답

(2) [eqn: { 7 } over { 4 }], [eqn: { 1 } over { 2 }], [eqn: { 7 } over { 4 }]

02   [eqn: a-b], [eqn: a=b]

답

03   풀이 참조

답

해

설

[eqn: a>b>0]이므로

[eqn: { a } over { 1+a } + { b } over { 1+b } = { a(1+b)-b(1+a) } over { (1+a)(a+b) }]

[eqn: = { a-b } over { (1+a)(1+b) } >0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: { a } over { 1+a } > { b } over { 1+b }]

04   풀이 참조

답

해

설

[eqn: a^{ 2 } +b^{ 2 } +c^{ 2 } -(ab+bc+ca)]

[eqn: = { 1 } over { 2 } (a^{ 2 } -2ab+b^{ 2 } +b^{ 2 } -2bc+c^{ 2 } +c^{ 2 } -2ca+a^{ 2 } )`]

[eqn: = 1 over 2 left{(a-b)^{ 2 } +(b-c)^{ 2 } +(c-a)^{ 2 }right}]

이때 [eqn: (a-b)^{ 2 } GEQ 0], [eqn: (b-c)^{ 2 } GEQ 0], [eqn: (c-a)^{ 2 } GEQ 0]

이므로

[eqn: a^{ 2 } +b^{ 2 } +c^{ 2 } -(ab+bc+ca) GEQ 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a^{ 2 } +b^{ 2 } +c^{ 2 } GEQ ab+bc+ca]

(단, 등호는 [eqn: a=b=c]일 때 성립한다.)

05   풀이 참조

답

해

설

(1) [eqn: ( sqrt { 2(a+b) } )^{ 2 } -( sqrt { a } + sqrt { b } )^{ 2 }]

[eqn: 2(a+b)-(a-2sqrt{ab} +b)]

[eqn: =a-2 sqrt { ab } +b]

[eqn: =( sqrt { a } )^{ 2 } -2 sqrt { a } sqrt { b } +( sqrt { b } )^{ 2 }]

[eqn: =( sqrt { a } - sqrt { b } )^{ 2 } GEQ ( sqrt { a } + sqrt { b } )^{ 2 }]이므로

[eqn: sqrt { 2(a+b) } GEQ sqrt { a } + sqrt { b }]

(단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

(2) [eqn: sqrt { ab } - { 2ab } over { a+b } = { sqrt { ab } (a+b)-2ab } over { a+b }]

[eqn: = { sqrt { ab } (a+b)-2( sqrt { ab } )^{ 2 } } over { a+b }]

[eqn: = { sqrt { ab } (a-2 sqrt { ab } +b) } over { a+b }]

[eqn: = { sqrt { ab } ( sqrt { a } - sqrt { b } )^{ 2 } } over { a+b } GEQ 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sqrt { ab } GEQ { 2ab } over { a+b }]

(단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

(3) [eqn: { b } over { a } + { a } over { b } -2= { b^{ 2 } +a^{ 2 } -2ab } over { ab } = { (a-b)^{ 2 } } over { ab } GEQ 0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: { b } over { a } + { a } over { b } GEQ 2]

(단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

(4) [eqn: (a+b) left ( { 1 } over { a } + { 1 } over { b } right ) -4=1+ { a } over { b } + { b } over { a } +1-4`]

[eqn: = { b } over { a } + { a } over { b } -2]

[eqn: = { a^{ 2 } +b^{ 2 } -2ab } over { ab }]

[eqn: = { (a-b)^{ 2 } } over { ab } GEQ 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: (a+b) left ( { 1 } over { a } + { 1 } over { b } right ) ≥4]

(단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

06  [eqn: 16]

답

해

설

[eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: a+b=8]이므로 절대부등식

[eqn: { a+b } over { 2 } GEQ sqrt { ab }]를 이용하면

[eqn: { 8 } over { 2 } GEQ sqrt { ab }], [eqn: 4 GEQ sqrt { ab }]

(단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

양변을 제곱하면 [eqn: ab LEQ 16]

따라서 [eqn: ab]의 최댓값은 [eqn: 16]이다

07  [eqn: 9]

답

해

설

[eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: c>0]이므로

[eqn: (a+b+c) left ( { 1 } over { a } + { 1 } over { b } + { 1 } over { c } right )]

[eqn: =1+ { a } over { b } + { a } over { c } + { b } over { a } +1+ { b } over { c } + { c } over { a } + { c } over { b } +1]

[eqn: =3+ left ( { b } over { a } + { a } over { b } right ) + left ( { c } over { b } + { b } over { c } right ) + left ( { a } over { c } + { c } over { a } right )]

[eqn: ≥3+2 sqrt { { b } over { a } CDOT { a } over { b } } +2 sqrt { { c } over { b } CDOT { b } over { c } } +2 sqrt { { a } over { c } CDOT { c } over { a } }]

[eqn: =3+2+2+2=9]

(단, 등호는 [eqn: a=b=c]일 때 성립한다.)

따라서 주어진 식의 최솟값은 [eqn: 9]이다.

08  [eqn: 10]

답

해

설

오른쪽 그림과 같이 정사각형[eqn: rm { ABCD }] 에서

[eqn: { bar { rmAP }=` ita,``bar{rmAS}=` it b,``bar{rmPS}=`it c }]

라고 하면 색칠한 부분의 넓이가

[eqn: 10]이므로 [eqn: { ab } over { 2 } TIMES 4=10]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=5]

이때, [eqn: a>0], [eqn: b>0]이므로 정사각형 [eqn: rm { PQRS }]의 넓

이 [eqn: S]는

[eqn: S=c^{ 2 } =a^{ 2 } +b^{ 2 } GEQ 2 sqrt { a^{ 2 } b^{ 2 } } =2ab=10]

(단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

따라서 정사각형의 [eqn: rm { PQRS }]의 넓이의 최솟값은 [eqn: 10]이다.

09  풀이 참조

답

해

설

[eqn: a>b>0], [eqn: c>0]이므로

[eqn: { a } over { b } - { a+c } over { b+c } = { a(b+c)-b(a+c) } over { b(b+c) }]

[eqn: = { ac-bc } over { b(b+c) } = { c(a-b) } over { b(b+c) } >0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: { a } over { b } > { a+c } over { b+c }]

10  풀이 참조

답

해

설

[eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: c>0]이므로

[eqn: a^{ 3 } +b^{ 3 } +c^{ 3 } -3abc]

[eqn: =(a+b+c)(a^{ 2 } +b^{ 2 } +c^{ 2 } -ac-bc-ca)]

[eqn: =(a+b+c) { 1 } over { 2 } (2a^{ 2 } +2b^{ 2 } +2c^{ 2 } -2ab-2bc-2ca)]

[eqn: = { 1 } over { 2 } (a+b+c)][eqn: left{(a^{ 2 } -2ab+b^{ 2 } )]

[eqn: +(b^{ 2 } -2bc+c^{ 2 } )+(c^{ 2 } -2ca+a^{ 2 } ) right}]

[eqn: = { 1 } over { 2 } (a+b+c)][eqn: left{(a-b)^{ 2 } +(b-c)^{ 2 } +(c-a)^{ 2 }right}][eqn: GEQ ``0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a^{ 3 } +b^{ 3 } +c^{ 3 } GEQ 3abc]

(단, 등호는 [eqn: a=b=c]일 때 성립한다.)

11  풀이 참조

답

해

설

(1) [eqn: a+b+c- sqrt { ab } - sqrt { bc } - sqrt { ca }]

[eqn: =( sqrt { a } )^{ 2 } +( sqrt { b } )^{ 2 } +( sqrt { c } )^{ 2 } - sqrt { ab } - sqrt { bc } - sqrt { ca } `]

[eqn: = { 1 } over { 2 }][eqn: left{2( sqrt { a } )^{ 2 } +2( sqrt { b^{ } } )^{ 2 } +2( sqrt { c } )^{ 2 } -2 sqrt { ab }]

[eqn: -2 sqrt { bc } -2 sqrt { ca } right}]

[eqn: ={1 over2}left{( sqrt { a } - sqrt { b } )^{ 2 } +( sqrt { b } - sqrt { c } )^{ 2 } +( sqrt { c } - sqrt { a } )^{ 2 }right}]

[eqn: GEQ 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b+c GEQ sqrt { ab } + sqrt { bc } + sqrt { ca }]

(단, 등호는 [eqn: a=b=c]일 때 성립한다.)

(2) [eqn: (a+b)(b+c)(b+a)-8abc]

[eqn: =a(b^{ 2 } +c^{ 2 } )+b(c^{ 2 } +a^{ 2 } )+c(a^{ 2 } +b^{ 2 } )-6abc]

[eqn: =a(b^{ 2 } +c^{ 2 } -2bc)+b(c^{ 2 } +a^{ 2 } -2ca)]

[eqn: +c(a^{ 2 } +b^{ 2 } -2ab)]

[eqn: =a(b-c)^{ 2 } +b(c-a)^{ 2 } +c(a-b)^{ 2 } GEQ 0]

[eqn: therefore] [eqn: (a+b)(b+c)(c+a) GEQ 8abc]

(단, 등호는 [eqn: a=b=c]일 때 성립한다.)

12   풀이 참조

답

해

설

(1) [eqn: (|`a`|+|`b`|)^{ 2 } -|`a+b`|^{ 2 }]

[eqn: =a^{ 2 } +2|`a`|``|`b`|+b^{ 2 } -a^{ 2 } -2ab-b^{ 2 }]

[eqn: =2`|a|`|b|-2ab]

[eqn: =2(|`a`|``|`b`|-ab) GEQ 0] [eqn: ( BECAUSE ````|`a`|``|`b`|` GEQ` ab)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: (|`a`|+|`b`|)^{ 2 } GEQ |`a+b`|^{ 2 }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: |`a`|+|`b`| GEQ |`a+b`|]

(단, 등호는 [eqn: ab GEQ 0]일 때 성립한다.)

(2) [eqn: (|`a`|+|`b`|)^{ 2 } -|`a-b`|^{ 2 }]

[eqn: =a^{ 2 } +2|`a`|``|`b`|+b^{ 2 } -(a^{ 2 } -2ab+b^{ 2 } )]

[eqn: =2|`a`|``|`b`|+2ab]

[eqn: =2(|`a`|``|`b`|+ab) GEQ 0] [eqn: ( BECAUSE] [eqn: |`a`|``|`b`| GEQ -ab)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: (|`a`|+|`b`|)^{ 2 } GEQ |`a-b`|^{ 2 }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: |`a`|+|`b`| GEQ |`a-b`|]

[eqn: (]단, 등호는 [eqn: ab GEQ 0]일 때 성립한다.)

13  [eqn: 1 over 2]

답

해

설

오른쪽 그림과 같이 밑면의

가로와 세로의 길이를 각각

[eqn: x rmm }], [eqn: y rm m]로 놓으면 [eqn: x^{ 2 } >0],

[eqn: y^{ 2 } >0]이므로

[eqn: x^{ 2 } +y^{ 2 } GEQ 2 sqrt { x^{ 2 } y^{ 2 } }][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

원목의 지름이 [eqn: 1 rm { m }]이므로    [eqn: x^{ 2 } +y^{ 2 } =1]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: 1 GEQ 2 sqrt { x^{ 2 } y^{ 2 } }], [eqn: 2xy LEQ 1]    [eqn: THEREFORE] [eqn: xy LEQ { 1 } over { 2 }]

[eqn: S=xy]이므로 [eqn: S]의 최댓값은 [eqn: { 1 } over { 2 }]이다.

14  [eqn: 2000rmcm^3]

답

해

설

상자의 밑면의 가로와 세로의 길이를 각각

[eqn: x rm {cm }], [eqn: y`rm { cm }]라고 하면

[eqn: 2x+2y+4 CDOT 5=100]

[eqn: x+y=40]

[eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로    [eqn: x+y GEQ 2 sqrt { xy }]

여기에 ㉠을 대입하면    [eqn: 40 GEQ 2 sqrt { xy }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: xy LEQ 400]

[eqn: THEREFORE] (상자의 부피)[eqn: =5xy LEQ 2000]

따라서 상자의 최대 부피는 [eqn: 2000 rm cm^{ 3 }]이다.