수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		1. 복소수와 이차방정식			반 / 번호
	01 복소수					이름

01

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: z=(2-a)+(4-a^2 )i]가 [eqn: z^2 >0]을 만족시키도록 하는 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

02

[eqn: 1 over{x+yi}]의 실수부분을 [eqn: a], 허수부분을 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a^2 +b^2 =10]이 성립한다. 이때 [eqn: 1 over {x^2 +y^2 }]의 값을 구하여라. (단, [eqn: x,~y]는 [eqn: 0]이 아닌 실수)

03

두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a over {1-i } + b over {1+i } =1+2i]가 성립할 때, [eqn: sqrt { a } over sqrt { b}]의 값은?

① [eqn: - sqrt { 3} over 3 i]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3} i]	③ [eqn: i]

④ [eqn: - sqrt { 3}i]	⑤ [eqn: -3i]

04

복소수 [eqn: z]의 켤레복소수 [eqn: bar z]에 대하여 [eqn: (1-i)z +(2-i) barz =3-i]가 성립할 때, [eqn: z- bar z]의 값은?

① [eqn: -2i]	② [eqn: -1+i]	③ [eqn: i]

④ [eqn: 1+i]	⑤ [eqn: 2i]

05

두 복소수 [eqn: alpha,~beta]에 대하여 [eqn: bar{alpha - beta } =3+i], [eqn: bar{alpha beta } =1-i]가 성립할 때, [eqn: ( alpha + beta )^2 =a+bi]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a,~b]의 차 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: -14]	② [eqn: -12]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

06

[eqn: x=1+i,~y=1-i]일 때, [eqn: x^2 -4xy +y^2]의 값은?

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

07

두 복소수 [eqn: alpha =1+i,~beta =-1-2i]일 때, [eqn: alpha bar alpha - bar alpha beta - alpha bar beta + beta bar beta]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

08

[eqn: f(x)=x^2008 +x^2010 +x^2012 +x^2014]일 때,
[eqn: f left( {-1+i}over sqrt { 2 } right)]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: i]	⑤ [eqn: -i]

09

실수 [eqn: a]에 대하여 복소수 [eqn: z=a^2 -(i+2)a-3-i]를 제곱하면 음의 실수가 된다고 한다. 이때 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

10

복소수 [eqn: z`]에 대하여 [eqn: z+barz =2 ,~z= barz]일 때, [eqn: z]는? (단, [eqn: bar z]는 켤레복소수)

① [eqn: 1+i]	② [eqn: 1-i]

③ [eqn: 1]	④ [eqn: i]

⑤ [eqn: -i]

11

복소수 [eqn: z={ 1 + sqrt { 3}} over 2]에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은? (단, [eqn: bar z]는 켤레복소수)

① [eqn: z bar z =1]	② [eqn: z^3 =-1]

③ [eqn: bar z^3 =-1]	④ [eqn: z^2 = bar z]

⑤ [eqn: bar z +z^2 =0]

12

복소수 [eqn: z= (1-i) x^2 - (3-4i)x +2-3i]에 대하여 [eqn: z+barz =0,~z not = barz]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값은?

(단, [eqn: bar z]는 켤레복소수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

13

복소수 [eqn: z]의 켤레복소수가 [eqn: bar z]일 때, 등식 [eqn: (1+i) z+2 i bar z =-1+i]를 만족시키는 [eqn: z]는?

① [eqn: -1-2i]	② [eqn: 1+2i]

③ [eqn: -2+i]	④ [eqn: 2-i]

⑤ [eqn: 1-2i]

∣서∣술∣형∣

14

복소수 [eqn: z=k(i+1)+i-2]에 대하여 [eqn: z^2]이 실수일 때, 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합을 구하여라.

15

[eqn: bar{ 1+i +i^2 +i^3 } +(1-i+i^2 -i^ 3 )]을 간단히 하면?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]

③ [eqn: i]	④ [eqn: 1+i]

⑤ [eqn: 1-i]

16

[eqn: 1 + 1 overi + 1 over i^2 + 1 over i^3 + cdots + 1 over i^2010]의 값은?

① [eqn: -i]	② [eqn: -1]

③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]

⑤ [eqn: i]

17

두 복소수 [eqn: a,~b]에 대하여 연산 △에 대하여
[eqn: a△ b = ab -(a+b)]라고 할 때, [eqn: z={2 over 1+i }]일 때, [eqn: z △ barz]의 값은?             (단, [eqn: bar z]는 켤레복소수)

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

18

다음 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~ sqrt {-2} CDOT sqrt {-3} =- sqrt {6}]

[eqn: ㄴ.~{sqrt {8}} over {sqrt {-2}} =2i]

[eqn: ㄷ.~sqrt {-2} - sqrt {-8} =- sqrt {2} i]

[eqn: ㄹ.~sqrt {(-2) ^{2}} +( sqrt {-3} ) ^{2} =5]

① [eqn: ㄱ,~ㄴ]	② [eqn: ㄱ,~ㄷ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄹ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄷ,~ㄹ]

19

[eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: sqrt { a over b} = - sqrt { a} over sqrt { b}]를 만족시킬 때, [eqn: |`b-a`|- sqrt { b^2} -|`a+1`|]을 간단히 하면?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

20

실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: (x+2i)(y-i)= 1-i over 1+i]가 성립할 때, [eqn: 1over y - 2 over x]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3 over2]

21

[eqn: z= 1+i over 2]일 때, [eqn: (z-1)(barz -1)]의 값은?

(단, [eqn: bar z]는 켤레복소수)

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

22

두 복소수 [eqn: z_1 ,~z_2]에 대하여
[eqn: z _{1} astz _{2} =2(z _{1} -z _{2} ),~z _{1} △z _{2} =z _{1} z _{2}]라고 하자. [eqn: z=1-i]일 때, [eqn: (`z AST bar{z} `)△z]의 값은?

(단, [eqn: bar z]는 켤레복소수)

① [eqn: -4-4i]	② [eqn: -4 + 4i]
③ [eqn: 1+i]	④ [eqn: 1-i]

⑤ [eqn: -4-i]

23

[eqn: f(x)=x^ 2010 + 1 over x^2010 +2]일 때, [eqn: f left( 1-i over 1+i right)]의 값은?

① [eqn: -1-i]	② [eqn: -i]
③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]

⑤ [eqn: i]

24

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: LEFT ( {1-i} over {1+i} RIGHT )^ 2n+1 +LEFT ( {1+i} over {1-i} RIGHT )^ 4n+1]을 간단히 하면?

① [eqn: -2i]	② [eqn: -i]
③ [eqn: 0]	④ [eqn: i]

⑤ [eqn: 2i]

25

실수 [eqn: a]에 대하여
[eqn: sqrt { a-2 } sqrt { a-1} = - sqrt { (a-2)(a-1)}]이고
[eqn: (a^2 -9 +ai)^2 <0]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

26

복소수 [eqn: z_1 =1+3i]에 대하여 [eqn: z_2 = bar z_1 +(1+i),`] [eqn: \z_3 = bar z_2 +(1+i),~z_4 = bar z_3 +(1+i)]라고 한다. 같은 방법으로 [eqn: z_5 ,~z_6 ,~cdots]을 차례대로 구할 때, [eqn: z_100]의 값은?                  (단, [eqn: bar z]는 켤레복소수)

① [eqn: 100-2i]	② [eqn: 100+2i]
③ [eqn: 100-3i]	④ [eqn: 100+3i]

⑤ [eqn: 101-2i]

27

실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: sqrt { b-1}over sqrt { a+1}= - sqrt { b-1 overa+1}]이 성립할 때, [eqn: |`a+1`|+ sqrt { (b-1)^2}]을 간단히 하면?

① [eqn: a+b]	② [eqn: a-b]
③ [eqn: b-a]	④ [eqn: a-b+2]

⑤ [eqn: -a +b-2]

28

[eqn: 0]이 아닌 복소수 [eqn: z]에 대하여 다음 에서 항상 실수인 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: z - bar z]

ㄴ. [eqn: z + bar z]

ㄷ. [eqn: 1 over z + 1 over bar z]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄴ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

29

다음을 [eqn: i]를 사용하여 나타내어라
(1) [eqn: sqrt { -4}]
(2) [eqn: sqrt { -3}]
(3) [eqn: sqrt { -9}]

30

다음 복소수의 켤레복소수를 구하여라.
(1) [eqn: 4 + 3i]
(2) [eqn: -4+2i]
(3) [eqn: 3]
(4) [eqn: 4i]

31

[eqn: a,~b]가 실수일 때, 다음 등식을 만족시키도록 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: (3-a)+(b+1)i=0]
(2) [eqn: 1+2i = a+bi]

32

다음을 간단히 하여라.
(1) [eqn: (1+i)+(2+3i)]
(2) [eqn: (1-2i)(2+i)]
(3) [eqn: 3+i over 1+i]

33

다음 식을 간단히 하여라.
(1) [eqn: sqrt {-4 }+ sqrt { -9}+ sqrt { -16}+ sqrt { -25}]
(2) [eqn: 2sqrt { -49}-3 sqrt { -9}+5 sqrt { -36}]
(3) [eqn: sqrt { 27} i - sqrt { 12}i]
(4) [eqn: (5+4i )-(-3+i)]

34

다음을 계산하여라.
(1) [eqn: sqrt {2} cdot sqrt { -3}]
(2) [eqn: sqrt { -2 } cdot sqrt { -3}]
(3) [eqn: sqrt { -6} over sqrt { -2}]
(4) [eqn: sqrt { 6} over sqrt { -2}]

35

[eqn: z=-1 + 2i]일 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: z+barz]
(2) [eqn: z bar z]

36

다음을 계산하여라.
(1) [eqn: (3-2i)+(2+3i)]
(2) [eqn: (3-i)(1+2i)]
(3) [eqn: i div (2+i)]
(4) [eqn: (1+2i) div (-i)]

37

다음 식을 간단히 하여라.
(1) [eqn: 3-2i over 2+i]
(2) [eqn: 1 over 1-i + 2 over 1+i]
(3) [eqn: { sqrt { 5 } - sqrt { -2}} over{ sqrt { 5} +sqrt { -2}}]
(4) [eqn: left( {1- sqrt { 3}i} over 2 right) ^3]

38

[eqn: z= 2+3i]일 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: z+barz]
(2) [eqn: z bar z]

39

다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: a+2b -2 +(4a+b-1)i =0]을 만족시키는 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.
(2) [eqn: (1+i)x+(1-i)y = 2+ 4i]를 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]의 값을 구하여라.

40

[eqn: z bar z + 3 (z - bar z ) = 4 -6i]을 만족시키는 복소수 [eqn: z`]를 구하여라.

41

[eqn: (x+2y )+(x-y) i = 5- 4i]를 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]의 값을 구하여라.

42

[eqn: z ^2 =2i]를 만족시키는 복소수 [eqn: z`]를 구하여라.

43

다음을 계산하여라.
(1) [eqn: i+ i^2 + i^3 + i^4]
(2) [eqn: i+i^2 + i^2 + cdots + i ^100]

44

다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: z= 1 over 1+i]일 때, [eqn: z^2 -z]의 값을 구하여라.
(2) [eqn: z= 1+ sqrt { 2}i]일 때, [eqn: z ^2 -2z]의 값을 구하여라.

45

다음을 간단히 하여라.
(1) [eqn: (1-i) ^2]
(2) [eqn: (1+i)^ 4]

46

[eqn: z= { 1+ sqrt { 3}i} over 2]일 때, [eqn: z^2 -z]의 값을 구하여라.

47

[eqn: alpha = { 1+ sqrt { 3} i } over 2 ,~ beta = { 1- sqrt { 3} i } over 2]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: alpha +beta]
(2) [eqn: alpha beta]
(3) [eqn: alpha ^3]
(4) [eqn: beta ^3]

48

[eqn: omega = { -1- sqrt { 3 }i } over 2]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: omega ^2 + omega]
(2) [eqn: omega ^3]

49

[eqn: x= { 1- sqrt { 3}i} over 2]일 때, [eqn: x^ 3 +x^5]의 값을 구하여라.

50

다음을 간단히 하여라.
(1) [eqn: (- sqrt { 2}i )^2]
(2) [eqn: (2-i) ^2]
(3) [eqn: left({ 2- sqrt { 3}i} over 2 right) ^2]

51

다음을 간단히 하여라.
(1) [eqn: (- i) ^999]
(2) [eqn: (1-i) ^10]
(3) [eqn: left({ 1-i} over 1+i right) ^100]

52

[eqn: z=1+i]일 때, [eqn: z-1 over z + {barz -1 }over barz]의 값을 구하여라. (단, [eqn: bar z]는 [eqn: z]의 켤레복소수)

53

[eqn: x=1234,~y=4321]일 때, [eqn: {x+yi} over{ y-x i} +{ y-x i } over {x+ yi}]의 값을 구하여라.

54

[eqn: b-a+(b-2)i = 5a -2 -3ai]를 만족시키는 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

55

복소수 [eqn: z]가 등식 [eqn: (1+i) z + i bar z = 3+2i]를 만족시킬 때, [eqn: z bar z]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: bar z]는 [eqn: z]의 켤레복소수)

56

두 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x over 1+i + y over 1-i =2-i]가 성립할 때, [eqn: xy]의 값을 구하여라.

57

다음에서 등호가 잘못 사용된 부분을 찾아라.
[eqn: -1=( sqrt { -1 }) ^2 = sqrt { -1 } sqrt { -1}= sqrt { (-1)(-1)} = sqrt { 1}=1]

㉠        ㉡          ㉢            ㉣    ㉤

58

[eqn: x=2 + sqrt { 3}i]일 때, 등식 [eqn: x ^2 +ax+b=0]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

59

다음을 간단히 하여라.
(1) [eqn: 1 over i + 2 over i ^2 + 3 over i^3 + 4 over i^4]
(2) [eqn: 1+2i +3i^2 + 4i ^3 + 5i^4 +6i^5 + 7i^6 + 8i^7]
(3) [eqn: left( 1+i over sqrt { 2} right ) ^12 + left ( 1-i over sqrt { 2} right ) ^12]
(4) [eqn: left( { -1 +sqrt { 3} i } over 2 right) ^6 + left ( { -1 - sqrt { 3}i } over 2 right) ^6]

60

[eqn: omega = { -1+ sqrt { 3}i } over 2]일 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: omega ^2 + omega]의 값
(2) [eqn: omega ^3]의 값
(3) [eqn: omega+5 over omega-1 = a omega +b]를 만족시키는 실수 [eqn: a,~b]의 값

61

[eqn: z ^2 = 3i]일 때, [eqn: z bar z]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: bar z]는 [eqn: z]의 켤레복소수)

62

복소수 [eqn: x= a+ bi] ([eqn: a,~b]는 실수)가 [eqn: x^2 = 3 + 4i], [eqn: x^3 = 2 +11 i]를 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: i = sqrt { -1}])

63

[eqn: a,~b,~c]가 실수이고, [eqn: f(x) = ax^2 + bx +c]일 때, [eqn: f(1+i) = 2-i]이다. [eqn: f(1-i)]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: i = sqrt { -1}])

64

다음을 계산하여라.
(1) [eqn: (1+2i)+(3+4i)-(5-i)]
(2) [eqn: (3+2i)(-2+i)]
(3) [eqn: i ^107 + i ^ 201 - i ^360]
(4) [eqn: 1+i over 1-i]

65

다음 등식을 만족시키는 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: (a+2)+(-2b+8)i=0]
(2) [eqn: (a+b)+(-a+2b)i=8+7i]

66

다음을 계산하여라.
(1) [eqn: sqrt { -2}times sqrt { -8 }]
(2) [eqn: sqrt { 27} DIV sqrt { -3}]

67

복소수 [eqn: z= 1+i over 2-i]에 대하여 [eqn: z barz +4( z+barz )]의 값을 구하여라.

68

[eqn: alpha=2 +i,~beta=1-2i]일 때,
[eqn: alpha baralpha + baralpha beta + alpha barbeta + beta barbeta]의 값을 구하여라.

69

복소수 [eqn: z= (1+i) x^2 - (2+i) x -(3+2i)]에 대하여 [eqn: z=bar z]가 성립할 때, 음의 실수 [eqn: x]의 값을 구하여라.

70

[eqn: i + 2i^2 +3i ^3 + 4i ^4 +cdots + 100 i ^100 =a+bi]를 만족시키는 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: |`a` | +|`b` |]의 값을 구하여라.

71

[eqn: (x-2y+1)+(3x-y-2)i=4-3i]를 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x^2 +y ^2]의 값을 구하여라.

72

[eqn: (2+i) z+ i bar z = 4- 2i]를 만족시키는 복소수 [eqn: z]를 구하여라.

73

실수 [eqn: x,~y]가 [eqn: x>y>0]을 만족시킬 때, [eqn: sqrt { x-y } over sqrt { y-x} + sqrt { y-x } over sqrt { x-y} - sqrt { x} over sqrt { -x}]를 간단히 하면?

① [eqn: -2i]	② [eqn: -i]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: i]	⑤ [eqn: 2i]

74

복소수 [eqn: z= sqrt { -2 } sqrt { -18 } - sqrt { 18 }over sqrt { -2} }]에 대하여 [eqn: z bar z]의 값을 구하여라.

75

[eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: a,~b]가 [eqn: sqrt { b} over sqrt { a} =- sqrt { b overa}]를 만족시킬 때, [eqn: sqrt { a^2 }+ sqrt { b^2} + sqrt { (a-b) ^2 }]을 간단히 하여라.

76

[eqn: 1+i +i ^2 + i ^3 + cdots+ i ^2006]을 계산하여라.

77

다음 중 [eqn: (1+2i)z+(1-2i)barz =2]를 만족시키는 복소수 [eqn: z]가 될 수 없는 것은?

① [eqn: 3-2i]	② [eqn: -1-i]	③ [eqn: 1+i]

④ [eqn: 5+2i]	⑤ [eqn: 7+3i]

78

[eqn: x over 1+i + y over 1-i =-2+i]를 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x^2 +xy +y ^2]의 값을 구하여라.

79

다음을 만족시키는 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

[eqn: sqrt { -2} times sqrt { 8}+ sqrt { 2}times sqrt { -8}+ sqrt { -2}times sqrt { -8}=a+bi]

80

[eqn: z= {1+ i }over sqrt { 2}]일 때, [eqn: z ^999 times bar z]를 계산하여라.

81

[eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: x^2 + (k-2i)x+(-3+2i)=0]이 실근을 가질 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

82

[eqn: sqrt { x-1} over sqrt { x-2} = - sqrt { x-1 overx-2}]을 만족시키는 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt { x^2 }+ sqrt { (x-1) ^2} + sqrt { (x-2) ^2}]을 간단히 하여라.

83

[eqn: -sqrt { -2 } sqrt { -8 } + sqrt { 8 } over sqrt { -2}]의 값을 구하여라.

84

복소수 [eqn: z]가 [eqn: (1+i)z - bar z =2+i]를 만족시킬 때, [eqn: z^2 -10z +5]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		1. 복소수와 이차방정식			반 / 번호
	02 이차방정식의 실근과 허근					이름

01

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: (a-1)x=a^2 +a -2]의 해가 무수히 많을 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

02

[eqn: sqrt {a+1} over{ sqrt { a-2} }= - sqrt { a+1 over a-2}]일 때, 방정식
[eqn: |`a-2`|-|`a+1`|=3]의 해를 구하여라.

03

다음 중 방정식 [eqn: LEFT [ x RIGHT ]^2 -LEFT [ x RIGHT ]-2=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수)

① [eqn: -2]	② [eqn: - 3 over 2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

04

[eqn: sqrt { a} sqrt { a-1}=1 sqrt { a(a-1)}]을 만족시키는 실수 [eqn: a]에 대하여 방정식 [eqn: |`2-a`|+|`a-1`|=3a+8]을 만족시키는 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

05

방정식 [eqn: x^2 -2 LEFT [ x RIGHT ]-3=0~(-2<x<2)]을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 구하여라. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수)

06

이차방정식 [eqn: (sqrt { 3}-1)x^2 -(2- sqrt { 3})x - sqrt { 3}=0]의 해 중에서 양수인 것을 [eqn: a]라고 할 때, [eqn: a^2]의 값은?

① [eqn: sqrt { 3}-1]	② [eqn: sqrt { 3}]	③ [eqn: sqrt { 3}+1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: sqrt {3 }+2]

∣서∣술∣형∣

07

이차방정식
[eqn: (5x -2011)^2 +2(5x -2011) +26 =0]의 두 근의 합을 구하여라.

08

다음 방정식을 풀어라
(1) [eqn: 2(x-3)=5(x+2)]
(2) [eqn: a(x-2)=3(x+2)]

09

다음 방정식을 풀어라
(1) [eqn: |`x-3`|=5]
(2) [eqn: |`2x+3`|=9]

10

[eqn: x]에 대한 다음 일차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x+ {x -3} over 2 = 1 over3]
(2) [eqn: a(ax-1)=x-1]

11

다음 방정식을 풀어라
(1) [eqn: 2|`x-1`|=x]
(2) [eqn: |`2x+1`|=3x+4]

12

[eqn: x]에 대한 다음 일차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {x+2} over 2 - {x-3} over 4 = 1]
(2) [eqn: a(ax+1)=2(2x+1)]

13

다음 방정식을 풀어라.
(1) [eqn: |`3x-2`|=x+1]
(2) [eqn: |`x-1`|+|`x-2`|=5]

14

인수분해를 이용하여 다음 이차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^2 -2=0]
(2) [eqn: x^2 + 4 =0]
(3) [eqn: x^2 - 5x -6=0]
(4) [eqn: 4x^2 -4x +1=0]

15

근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: 2x^2 -5x+1=0]
(2) [eqn: x^2 +6x +10=0]

16

인수분해를 이용하여 다음 이차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^2 -9=0]
(2) [eqn: x^2 + 5 =0]
(3) [eqn: x^2 +2x -8=0]
(4) [eqn: 2x^2 -7x +6=0]

17

다음은 완전제곱식을 이용하여 이차방정식을 푸는 과정이다. □ 안에 알맞은 수를 써넣어라.
(1) [eqn: x^2 -4x -6=0] ➱ [eqn: x^2 -4x+box{````````````}`=box{````````````}]
➱ [eqn: (x-box{``````````````}`)^2 =box{``````````````}]

➱ [eqn: x-box{````````````}`=+-box{````````````}`]

➱ [eqn: x= 2 +- sqrt { 10}]
(2) [eqn: x^2 + 3x + 3=0] ➱ [eqn: x^2 + 3x + box{``````````````}`=box{``````````````}]
➱ [eqn: (x+box{``````````````}`)^2 =box{``````````````}]

➱ [eqn: x+box{````````````}`=+-box{````````````}`]

➱ [eqn: x= { -3 +- sqrt { 3}i } over2]

18

근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: 3x^2 + 5x +1=0]
(2) [eqn: 2x^2 -3x +3=0]

19

근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^2 + 2x -1=0]
(2) [eqn: 3x^2 -4x +2=0]

20

인수분해를 이용하여 다음 이차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: 4x^2 +1=0]
(2) [eqn: x^2 -x -20=0]
(3) [eqn: 4x^2 -7x +3=0]
(4) [eqn: 9x^2 -12x +4=0]

21

다음은 완전제곱식을 이용하여 이차방정식을 푸는 과정이다. □ 안에 알맞은 수를 써넣어라.
[eqn: x^2 + 8x +25=0] ➱ [eqn: x^2 + 8x=-25]

➱ [eqn: x^2 + 8x + box{~~~`}`=-25+box{~~~`}]

➱ [eqn: (x + box{~~~`}`)^2 =box{~~~`}]

➱ [eqn: x + box{~~~`}` =+-box{~~~`}]

22

근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^2 +x+1=0]
(2) [eqn: x^2 -6x+14=0]
(3) [eqn: 5x^2 +3x -1=0]
(4) [eqn: 3x^2 -2x -3 =0]

23

[eqn: a,~b]가 정수일 때, 다음 중 방정식 [eqn: x^2 + ax + b=0]의 근이 될 수 있는 것은?

(단, [eqn: i= sqrt { -1}])

① [eqn: {1+ sqrt { 2}i }over2]	② [eqn: {1+ sqrt {5} i} over {2}]

③ [eqn: {1+ sqrt {7} i} over {2}]	④ [eqn: {1+ sqrt {10} i} over {2}]

⑤ [eqn: {1+ sqrt {13} i} over {2}]

24

이차방정식 [eqn: x^2 -x +1=0]의 한 근을 [eqn: omega]라고 할 때, 다음 중 방정식 [eqn: x^2 +x +1=0]의 근은?

① [eqn: bar omega]	② [eqn: omega^2]	③ [eqn: 1 over omega]

④ [eqn: 1- omega]	⑤ [eqn: 1 + omega^2]

25

[eqn: alpha]는 방정식 [eqn: x+ax+b=0]의 근이고 [eqn: alpha+ 1]은 방정식 [eqn: x^2 -bx +a=0]의 근일 때, 다음 중 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: alpha]는 허수, [eqn: a,~b]는 실수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

26

고대 그리스 사람들은 황금비를 사용하여 아름다움을 추구하였다. 오른쪽 그림과 같은 직사각형에서 [eqn: a>b>0]일 때, [eqn: b over a = a over a+b]를 만족시키는 [eqn: a:b]의 값을 황금비라고 한다. 다음 중 [eqn: a:b=x:1]을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 근으로 갖는 이차방정식은?

① [eqn: x^2 - x -1=0]	② [eqn: x^2 +x -1=0]

③ [eqn: x^2 -2x-1=0]	④ [eqn: x^2 +2x-2=0]

⑤ [eqn: x^2 +2x -2=0]

27

다음 이차방정식의 근을 구하여라.
(1) [eqn: x ^{2``}-4=0]
(2) [eqn: x^2 - 6x +9=0]

28

근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: x^2 +3x +1=0]
(2) [eqn: x^2 - 4x +16=0]

29

근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: 3x^2 + 5x +1=0]
(2) [eqn: x^2 - 8x +28=0]

30

근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: 2(x^2 +2)=3x]
(2) [eqn: (sqrt { 2 }+1) x^2 -(3+ sqrt { 2})x+ sqrt { 2}=0]

31

정사각형의 두 변 중 한 변의 길이를 [eqn: 3rm``cm] 짧게 하고, 다른 한 변의 길이를 [eqn: 1``rmcm] 길게 하여 직사각형을 만들었더니 넓이가 [eqn: 3`rmcm^2]가 되었다. 처음 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.

32

정사각형의 이웃하는 두 변 중 한 변의 길이를 [eqn: 1``rmcm], 다른 한 변의 길이를 [eqn: 3``rmcm] 길게 하면, 넓이가 처음 정사각형의 넓이의 [eqn: 2]배인 직사각형이 된다고 한다. 처음 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		1. 복소수와 이차방정식			반 / 번호
	03 판별식					이름

01

다음 이차방정식의 근을 판별하여라.
(1) [eqn: x^2 +3x +2=0]
(2) [eqn: x^2 -6x +9=0]
(3) [eqn: 2x^2 -2x +1 =0]

02

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +2x +a=0]이 서로 다른 두 허근을 가질 때, 가장 작은 정수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 9]

03

두 이차방정식
[eqn: x^2 -2x +k -1=0]	…… ㉠
[eqn: x^2 +2kx +9=0]	…… ㉡
이 모두 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: alpha<x<beta]이다. 이때 [eqn: beta-alpha]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

04

[eqn: x]에 대한 두 이차방정식
[eqn: x^2 -4x +k =0,~2x^2 +x -2k=0]이 각각 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

05

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -4x +a=0]이 허근을 가질 때, [eqn: sqrt { (a-5)^2 }+ |`a`|=15]를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -10]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 10]

06

[eqn: x,~y]에 대한 이차식 [eqn: 2x ^{2}+xy-y^2 +3y -k =0]이 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

07

다음 이차방정식의 근을 판별하여라.
(1) [eqn: x^2 -3x -2=0]
(2) [eqn: 2x^2 +3x +4=0]

08

다음 이차방정식이 중근을 갖도록 □ 안을 채우고, 중근을 구하여라.
(1) [eqn: x ^{2} +5x+□=0]
(2) [eqn: 2x ^{2} -3x+□=0]

09

다음 이차방정식의 근을 판별하여라.
(1) [eqn: x^2 -x+1=0]
(2) [eqn: 3x^2 +x-5=0]
(3) [eqn: x^2 - 2 sqrt { 2 }x +2=0]
(4) [eqn: 5x^2 -5x +1=0]

10

다음 조건에 알맞은 실수 [eqn: k]값의 범위를 구하여라.
(1) [eqn: x^2 - 3x +k+5=0]이 서로 다른 두 실근을 갖는다.
(2) [eqn: 2x^2 + x+k=0]이 실근을 갖는다.

11

다음 이차방정식이 허근을 가질 때, 실수 [eqn: k]값의 범위를 구하여라.
(1) [eqn: x^2 +5x +5k=0]
(2) [eqn: 4x^2 + kx +1=0]

12

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +px+p+3=0]이 중근을 갖도록 실수 [eqn: p]의 값을 정하여라. 또 이때의 중근을 구하여라.

13

다음 이차방정식의 근을 판별하여라.
(1) [eqn: x^2 -3x-4=0]
(2) [eqn: x^2 + 5x + 5=0]
(3) [eqn: 3x^2 +2 sqrt { 3}x +1=0]
(4) [eqn: -5x^2 +3x \-2=0]

14

이차방정식 [eqn: 2x^2 + 5x +k+1=0]이 실근을 갖도록 실수 [eqn: k]값의 범위를 정하여라.

15

이차방정식 [eqn: (2x+3) ^2 = 2k +3]이 중근을 갖도록 실수 [eqn: k]의 값을 정하여라. 또 이때의 중근을 구하여라.

16

[eqn: a]가 실수일 때, 이차방정식 [eqn: x^2 +ax+a-1=0]은 실근을 가짐을 보여라.

17

[eqn: x]에 대한 이차식 [eqn: x^2 + kx + 2k +5]가 완전제곱식이 되도록 실수 [eqn: k]의 값을 정하여라.

18

[eqn: a,~b,~c]가 실수일 때, [eqn: ac<0]이면 이차방정식 [eqn: ax^2 + bx +c=0]은 서로 다른 두 실근을 가짐을 보여라.

19

[eqn: x]에 대한 이차식 [eqn: x^2 + (k-4)x+k-1]이 완전제곱식이 되도록 실수 [eqn: k]의 값을 정하여라.

20

이차방정식 [eqn: x^2 +3(1+i)x+(p+3i)=0]이 실근을 갖도록 실수 [eqn: p]의 값을 정하여라.

(단, [eqn: i= sqrt { -1}])

21

이차방정식 [eqn: x^2 +(2m+3i)x +(8- 6i ) =0]이 실근을 갖도록 실수 [eqn: m]의 값을 정하여라. 또 이때의 실근을 구하여라. (단, [eqn: i= sqrt { -1}])

22

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 + 2x +3-m=0]이 다음과 같은 근을 갖도록 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 구하여라.
(1) 실근
(2) 서로 다른 두 실근
(3) 중근
(4) 서로 다른 두 허근

23

이차방정식 [eqn: x^2 + 4x -k=0]이 중근을 가질 때, 이차방정식 [eqn: (1-2k)x^2 -kx +1=0]의 근을 판별하여라. (단, [eqn: k]는 실수)

24

[eqn: a,~b,~c]가 실수이고 [eqn: c>0]일 때, 이차방정식 [eqn: (x-a)(x-b)=c]의 근을 판별하여라.

25

[eqn: a,~b,~c]가 실수이고 [eqn: b=a+c]일 때, 이차방정식 [eqn: ax^2 +bx +c =0]의 근을 판별하여라.

26

이차방정식 [eqn: x^2 +(a-3)x +a=0]이 중근을 갖도록 실수 [eqn: a]의 값을 정하고, 이때의 중근을 구하여라.

27

이차방정식 [eqn: (a-b)x^2 +(b-c)x +(c-a)=0]이 중근을 가질 조건을 구하여라. (단, [eqn: a not= b])

28

이차식 [eqn: x^2 +a x +2a-3]이 완전제곱식이 되도록 실수 [eqn: a]의 값을 정하여라.

29

이차방정식 [eqn: x^2 +2(1+i)x+p+6i=0]이 실근을 갖도록 실수 [eqn: p]의 값을 정하여라. 또 이때의 실근을 구하여라. (단, [eqn: i= sqrt { -1}])

30

[eqn: a,~b,~c`]가 실수일 때, 이차방정식
[eqn: 3x ^2 -2(a+b +c ) x+ab+bc+ca=0]이 중근을 가질 때 항상 옳은 것은?

① [eqn: a=b=c]	② [eqn: a+b+c =0]

③ [eqn: abc=0`]	④ [eqn: ab+bc+ca=0]
⑤ [eqn: a^2 +b ^2 +c^2 =0]

31

이차방정식 [eqn: x^2 -ax +a=0]이 중근을 가질 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

32

방정식 [eqn: x^2 +2ax +2b=0]이 중근을 가질 때, 방정식 [eqn: x^2 -2ax +b^2 +2=0]의 근을 판별하여라.

33

[eqn: a]가 실수일 때, 이차방정식 [eqn: x^2 -ax +a-3=0]의 근을 판별하여라.

34

이차방정식 [eqn: 2x ^{2`}-4x-3k =0]이 허근을 갖고, 이차방정식 [eqn: x^2 + 5x -2k=0]이 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 구하여라.

35

이차방정식 [eqn: 3x^2 -6ax =4a+1]이 중근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

36

[eqn: x,~y]에 대한 이차식
[eqn: x^2 +2(y-1)x +y^2 +ky-3]이 [eqn: x,~y]에 대한 두 일차식으로 인수분해될 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

37

이차방정식 [eqn: x^2 + 2(2-m)x+m=0]이 중근을 갖도록 하는 모든 상수 [eqn: m]의 값의 합을 구하여라.

38

방정식 [eqn: x^2 -4x y + 5y ^2 +2x-8y +5=0]을 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		1. 복소수와 이차방정식			반 / 번호
	04 근과 계수의 관계					이름

01

이차방정식 [eqn: x^2 -x +2=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: 1 over alpha^2 + 1 over beta^2]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 3 over 4]	③ [eqn: - 1 over2]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1 over 2]

02

이차방정식 [eqn: x^2 -2x +2=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면 [eqn: alpha^2 - 1 over beta ,~ beta^2 - 1 over alpha]을 두 근으로 하는 이차방정식은 [eqn: 2x^2 +ax +b =0]이다. 이때 두 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

03

이차방정식 [eqn: x^2 +x -n]은 [eqn: x]의 계수와 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이때 [eqn: 1<n<20]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: n]의 값의 합은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 32]

04

이차방정식 [eqn: 2x^2 +2 sqrt { k} x +k-1=0]의 두 근이 모두 음수가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: p<k LE q]일 때, [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

05

이차방정식 [eqn: 2x^2 +(k+3) x +(k-1)=0]이 서로 다른 부호의 두 실근을 가질 때, 다음 중 실수 [eqn: k]의 값이 될 수 없는 것은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - 1 over 2]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

06

이차방정식 [eqn: x^2 -a x +b=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때, 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

07

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -kx+2k-1=0] ([eqn: k]는 상수)의 두 근의 합이 [eqn: 4]일 때, 다음 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: k=8]

ㄴ. 두 근의 곱은 [eqn: 15]이다.

ㄷ. 서로 다른 두 실근을 갖는다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄴ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

08

[eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: ax^2 +bx +c =0~(a not = 0,~c not = 0,~a,~b,~c]는 실수)의 두 근이 [eqn: 2,~3]일 때, 이차방정식 [eqn: cx^2 +bx +a =0]의 해를 구하여라.

09

[eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: x^2 +(2k^2 -k -3)x +k -1 =0]의 두 실근은 절댓값이 같고 부호가 서로 다르다. 이때 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

10

[eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: ax^2 +bx +c =0~(a not = 0,~c not = 0,~a,~b,~c]는 실수)에서 근의 공식을 [eqn: x= {b +- sqrt { b^2 -ac}} over 2a]로 잘못 알고 풀었더니 두 근이 [eqn: -1,~2]이었다. 이 방정식의 옳은 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha^2 + beta ^2]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

11

이차방정식 [eqn: x^2 -(k-1)x+6=0]의 두 근의 비가 [eqn: 2:3]이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: k` `]의 값의 합은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

12

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 2x^2 -x+a+1=0]의 두 근의 부호가 서로 다른 실근일 때, 다음 중 이차방정식 [eqn: x^2 +2x -a +4=0]의 두 근에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, [eqn: a]는 실수)

① 두 근이 모두 음수이다.

② 두 근이 모두 양수이다.

③ 중근을 갖는다.

④ 서로 다른 두 허근을 갖는다.

⑤ 부호가 다르고 두 근의 합이 [eqn: 0]이다.

13

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +ax +b =0]의 한 근이 [eqn: 1-i]일 때, 이차방정식 [eqn: x^2 +bx +a =0]의 두 근의 합은? (단, [eqn: a,~b]는 실수)

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

∣서∣술∣형∣

14

이차방정식 [eqn: ax^2 +bx +c =0]에 대하여 란이는 일차항의 계수 [eqn: a]를 잘못 보고 풀어서 [eqn: 4,~ 1 over 2]이라는 두 근을 얻었고, 찬이는 상수항 [eqn: -b]를 잘못 보고 풀어서 [eqn: 1,~2]라는 두 근을 얻었다. 주어진 방정식을 바르게 풀었을 때의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha^2 +beta^2]의 값을 구하여라.

15

이차방정식 [eqn: (1-i) x^ 2 +(1+3i)x-2(1+i)=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha ^2 +beta ^2]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

16

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +(a-2)x+a-3=0]의 두 실근의 절댓값이 같고 부호가 다를 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

17

다음 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 구하여라.
(1) [eqn: x^2 + 4x + 3 =0]
(2) [eqn: 2x^2 -3x -10=0]

18

다음 두 수를 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 만들어라.
(1) [eqn: 2,~-5]
(2) [eqn: 1+i,~1-i]

19

다음 이차식을 복소수의 범위에서 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^2 -2x -4=0]
(2) [eqn: x^2 -x +1=0]

20

이차방정식 [eqn: x^2 - 3x +5=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: alpha ^2 + beta^2]
(2) [eqn: 1 over alpha + 1 over beta]

21

다음 두 수를 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.
(1) [eqn: 1+ sqrt { 2},~1- sqrt { 2}]
(2) [eqn: {-1 +sqrt { 3}i} over 2 ,~{ -1- sqrt { 3 }i } over2]

22

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +3x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 할 때, 다음을 두 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.
(1) [eqn: - alpha ,~-beta]
(2) [eqn: {1} over {alpha } ,~{1} over {beta }]

23

다음 이차식을 복소수의 범위에서 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^2 - 6x +4]
(2) [eqn: x^2 + 2x +4]

24

이차방정식 [eqn: x^2 +x +1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: alpha ^2 + beta^2]
(2) [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3}]
(3) [eqn: ( alpha - beta)^2]
(4) [eqn: alpha^2 beta + alpha beta^2]

25

다음 두 수를 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 만들어라.
(1) [eqn: 2+ sqrt { 3 },~2- sqrt { 3}]
(2) [eqn: 1 + sqrt { 2 }i,~1- sqrt { 2 }i]

26

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x-4=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 할 때, 다음을 두 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.
(1) [eqn: - alpha ,~-beta]
(2) [eqn: {1} over {alpha } ,~{1} over {beta }]

27

이차방정식 [eqn: x ^{2}-4x -3=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: (1- alpha)(1- beta )]
(2) [eqn: (2+alpha)(2+ beta)]

28

이차방정식 [eqn: x^2 +x +2=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: (alpha^2 -alpha +2)(beta^2 - beta +2 )]
(2) [eqn: (alpha ^2 - beta +2 )( beta ^2 -alpha +2)]

29

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +3x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: (1+ alpha)(1+ beta)]
(2) [eqn: (2alpha -1)(2beta-1)]

30

이차방정식 [eqn: x^2 -x -5=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: (alpha ^2 +alpha +1)(beta^2 + beta +1)]
(2) [eqn: beta over alpha + alpha over beta]

31

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음을 두 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.
(1) [eqn: alpha^2 ,~beta ^2]
(2) [eqn: beta over alpha ,~ alpha over beta]

32

다음을 만족시키는 두 수  [eqn: alpha,~beta]를 구하여라.
(1) [eqn: alpha +beta =4,~alpha beta = 5]
(2) [eqn: alpha + beta =-6,~ alpha beta=-5]

33

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -x-4=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음을 두 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.
(1) [eqn: alpha +1 ,~beta +1]
(2) [eqn: 1 over alpha+1 ,~ 1 over beta+1]

34

합이 [eqn: -1]이고, 곱이 [eqn: 3]인 두 수를 구하여라.

35

이차방정식 [eqn: x^2 -(m-1)x +m=0]의 두 근 사이에 다음과 같은 관계가 성립할 때, 실수 [eqn: m]의 값을 구하여라.
(1) 두 근의 비가 [eqn: 2:3]이다.
(2) 두 근의 차가 [eqn: 1]이다.

36

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 3+i]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

37

이차방정식 [eqn: x^2 -mx +m+2=0]의 두 근의 비가 [eqn: 1:2]일 때, 실수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

38

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 3}]일 때, 유리수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

39

이차식 [eqn: x^2 -xy -2y^2 -3x +2]를 인수분해하여라.

40

이차식 [eqn: x^2 + 3xy +2y ^2 -4x -7y+3]를 인수분해하여라.

41

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1+ i]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

42

복소수 [eqn: z]가 [eqn: z^2 +2z +3=0]을 만족시킬 때, 다음 식의 값을 각각 구하여라.
(1) [eqn: z + barz]
(2) [eqn: z barz]

43

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 2-3i]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

44

복소수 [eqn: z]가 [eqn: (z-5)(z-6)= z-7]을 만족시킬 때, 다음 식의 값을 각각 구하여라.
(1) [eqn: z + barz]
(2) [eqn: z barz]

45

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 2}]일 때, 유리수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

46

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 3- sqrt { 3}]일 때, 유리수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

47

이차방정식 [eqn: 4x ^{2} -8x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]
(2) [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3}]
(3) [eqn: beta over alpha ,~ alpha over beta]
(4) [eqn: sqrt { alpha} + sqrt { beta}]

48

이차방정식 [eqn: x ^{2} -x+2=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, 다음을 두 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.
(1) [eqn: alpha + beta ,~alpha beta]
(2) [eqn: alpha +2 ,~beta+2]
(3) [eqn: 1 over alpha ,~ 1 over beta]
(4) [eqn: alpha + 1 overalpha ,~ beta + 1 over beta]

49

이차방정식 [eqn: x^2 - 5x +k=0]의 두 근 [eqn: alpha ,~beta]가 [eqn: |`alpha-beta `|=3]을 만족시킬 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

50

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 2+ sqrt { 3}]일 때, 유리수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

51

이차방정식 [eqn: x ^{2} -mx +m+3=0]의 두 근이 다음과 같을 때, [eqn: m]의 값을 구하여라.
(1) 두 근의 차가 [eqn: 3]
(2) 두 근의 비가 [eqn: 2: 5]

52

서로 다른 두 수 [eqn: a,~b]가 [eqn: a^2 + 2a +3 =0],[eqn: b^2 +2b +3=0]을 만족시킬 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하여라.

53

[eqn: 0]이 아닌 네 실수 [eqn: a,~b,~c,~d]에 대하여
[eqn: x^2 + ax + b =0]의 두 근이 [eqn: c,~d]이고,
[eqn: x^2 + cx +d=0]의 두 근이 [eqn: a,~b]일 때,
[eqn: a+b+c+d]의 값을 구하여라.

54

[eqn: rmA,~B] 두 사람이 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 푸는데, [eqn: rmA]는 일차항의 계수만을 잘못 보고 풀어서 [eqn: -3,~5]를, [eqn: rmB]는 상수항만을 잘못 보고 풀어서 [eqn: -1 +- sqrt { 2}i]를 두 근으로 얻었다. 이때 주어진 이차방정식의 올바른 근을 구하여라.

55

[eqn: f left( x over 3 right ) = x^2 + x +1]일 때, 방정식 [eqn: f(3x )=7]의 두 근의 합은?

① [eqn: - 1 over 18]	② [eqn: - 1 over 9]	③ [eqn: - 1 over 6]
④ [eqn: - 1 over 3]	⑤ [eqn: -1]

56

이차방정식 [eqn: x^2 + ax +b=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때,
[eqn: (alpha +1 )(beta +1 )=-1,~(2alpha +1)(2 beta +1)=1]
이면 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

57

두 이차방정식 [eqn: x^2 - mx +n=0]의 두 근이 모두 정수일 때, 다음 중 옳은 것은?

① [eqn: m]이 짝수이면 [eqn: n]도 짝수이다.

② [eqn: m]이 짝수이면 [eqn: n]은 홀수이다.
③ [eqn: m]이 홀수이면 [eqn: n]은 짝수이다.

④ [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: m]은 홀수이다.

⑤ [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: m]도 홀수이다.

58

두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 이차방정식 [eqn: x^2 + ax +b=0]이 두 허근 [eqn: z,~z^2]을 가질 때, [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

59

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 네 변을 [eqn: n]등분한 다음 오른쪽 그림과 같이 네 개의 선분을 그어 가운데 색칠한 부분이 정사각형이 되도록 하였다. 색칠한 부분의 넓이가 [eqn: 1 over 25]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

60

이차방정식 [eqn: (x-2) ^2 -3(x-2) -1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: (alpha -2)(beta-2)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

61

이차방정식 [eqn: ax^2 + bx +c=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 할 때, 다음 중 [eqn: 1 over alpha ,~ 1 over beta]을 두 근으로 하는 이차방정식은? (단, [eqn: alphabeta not=0])

① [eqn: ax^2 + bx +c=0]	② [eqn: bx^2 + cx+a=0]

③ [eqn: cx^2 + bx +a=0]	④ [eqn: x^2 over a + x over b + 1 over c =0]

⑤ [eqn: x^2 over c + x over b +a =0]

62

이차방정식 [eqn: x^2 -ax +b=0]의 한 근이 [eqn: 1+2i]일 때, 두 실수 [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

63

이차방정식 [eqn: f(x)= 0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha +beta = 6]이 성립한다. 이때 방정식 [eqn: f(5x- 7)=0]의 두 근의 합은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

64

이차방정식 [eqn: 2x^2 -4x +2=0]의 두 근의 합을 구하여라.

65

두 수 [eqn: 2,~3]을 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.

66

이차방정식 [eqn: x^2 -4x +2=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: alpha^2 +beta^2]
(2) [eqn: alpha ^3 + beta^3]
(3) [eqn: beta over alpha + alpha overbeta]

67

이차방정식 [eqn: x^2 -4x +2=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: 1 over alpha + 1 over beta]
(2) [eqn: (2alpha +1 )(2 beta +1)]

68

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +2ax +a^2 -2a+3=0]의 두 근의 차가 [eqn: 2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

69

이차방정식 [eqn: 2x^2 -3x +1=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 할 때, 다음을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.
(1) [eqn: alpha ^2 ,~beta^2]
(2) [eqn: 1 over alpha ,~ 1 over beta]

70

이차방정식 [eqn: x^2 -2x+3=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha +1,~beta+1]을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.

71

이차방정식 [eqn: x^2 +ax +b=0]의 두 근이 [eqn: 1,~alpha]이고 [eqn: x^2 +bx +a=0]의 두 근이 [eqn: -3,~beta]일 때, [eqn: alpha ,~beta]를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.

72

이차방정식 [eqn: x^2 -3x +2-k=0]의 두 근이 모두 양수일 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

73

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2x+k+6=0]의 두 근이 모두 음수가 되기 위한 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

74

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -2(m-3)x -2m=0]이 서로 다른 부호의 두 실근을 갖고, 음의 근의 절댓값이 양의 근보다 클 때, 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 구하여라.

75

이차방정식 [eqn: x ^{2} +mx+m=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,~beta]이고, [eqn: alpha ` ^{2} +beta^ 2 =3]일 때, 양수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

76

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^2 -5kx +k^2 +20=0]의 두 근의 비가 [eqn: 2:3]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

77

[eqn: x^2 +x+2=0]의 두 근이 [eqn: alpha,~beta]일 때, [eqn: alpha ^2 +1,~beta^2 +1]을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.

78

이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+1=0]이 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: sqrt {alpha ^2 +1}+ sqrt { beta ^2 +1}]의 값을 구하여라.

79

이차방정식 [eqn: x^2 -4x+a=0]의 두 근이 [eqn: alpha,~beta]이고 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =10]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

80

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x ^{2} +mx+m ^{2} -19=0]의 두 근의 비가 [eqn: 2:3]일 때, 상수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

81

이차방정식 [eqn: 3x^2 -6x +1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha over alpha-1 ,~ beta over beta-1]를 두 근으로 하는 이차방정식을 구하여라.

82

이차방정식 [eqn: x^2 +3x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: sqrt { alpha }+ sqrt { beta}]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		1. 복소수와 이차방정식			정답
	01 복소수

01

①

답

해

설

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: z=(2-a)+(4-a^2 )i]가 [eqn: z^2 >0]을 만족시키기 위해서는 [eqn: z]의 [eqn: (실수부분)not= 0]이고

[eqn: (허수부분)=0]이어야 한다. 즉,

[eqn: 2-a not=0]에서  [eqn: a not = 2]

[eqn: 4-a^2 =0]에서  [eqn: a=2] 또는 [eqn: a=-2]

따라서 [eqn: a=-2]이다.

02

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: 1 over x+yi &= {x- yi }over{ (x+yi)(x-yi)} #&= x-yi over {x^2 +y^2 } #&= x over{x^2 +y^2 } + -y over{ x^2 +y^2}i]

에서 실수부분은 [eqn: x over{x^2 +y^2 }=a,]

허수부분은 [eqn: -y over {x^2 +y^2 }=b]이므로

[eqn: a^2 +b^2 &= left( x over {x^2 +y^2} right) ^2 + left( -y over{x^2 +y^2} right)^2 #&={ x^2 +y^2 }over {(x^2 +y^2 )^2 }= 1 over{x^2 +y^2 }]

따라서 [eqn: 1 over { x^2 +y^2 } =10]이다.

03

④

답

해

설

[eqn: a over 1-i + b over 1+i& = {a(1+i)+b (1-i) }over{ (1-i)(1+i)} #&= a+b over 2 + a-b over 2 i #&=1+2i]

에서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a+b over 2 = 1]에서  [eqn: a+b=2]

[eqn: {a-b} over {2}]에서  [eqn: a-b=4]

두 식을 연립하여 풀면  [eqn: a=3,~b=-1]

따라서  [eqn: sqrt { a } over sqrt { b} = sqrt { 3 } over sqrt { -1}= sqrt { 3 }over i =- sqrt { 3 }i]

04

①

답

해

설

복소수 [eqn: z=a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)라고 하면

[eqn: bar z = a-bi]

주어진 식은

[eqn: (1-i)(a+bi)+(2-i)(a-bi)&=3a+(-2a-b)i#&=3-i]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: 3a=3,~-2a-b=-1`]이므로  [eqn: a=1,~b=-1]

따라서  [eqn: z- bar z = (1-i)-(1+i)=-2i]

05

⑤

답

해

설

[eqn: bar {alpha - beta} =3+i]에서  [eqn: alpha - beta =3-i]

[eqn: bar alphabeta = 1-i]에서  [eqn: alphabeta =1+i]이므로

[eqn: (alpha +beta )^2 &= (alpha - beta)^2 +4 alpha beta #&=(3-i)^2 +4(1+i) #&=12-2i #&=a+bi]

따라서 [eqn: a=12,~b=-2]이므로  [eqn: a-b=14]

06

②

답

해

설

[eqn: x+y =(1+i)+(1-i)=2]

[eqn: xy= (1+i)(1-i)=2]

이므로

[eqn: x^2 -4xy +y^2 &=(x+y)^2 -6xy #&=2^2 -6 cdot2 #&=-8]

07

④

답

해

설

[eqn: alpha =1+i ,~ bar alpha =1-i,~beta=-1 -2 i,~bar beta =-1 +2i]이므로

[eqn: alpha bar{alpha } - bar{alpha } beta - alpha bar{beta } + beta bar{beta } & = bar{alpha } ( alpha - beta )- bar{beta } ( alpha - beta )# & =( bar{alpha } - bar{beta } )( alpha - beta )# & =(2-3i)(2+3i)# & =4+9#&=13]

08

②

답

해

설

[eqn: x= {-1 +i } over sqrt { 2}]라고 하면

[eqn: x^2 = left( -1+i over sqrt { 2} right)^2 = 1-2i+i^2 over 2 =-i]

[eqn: x^3 = left( -1+i over sqrt { 2 }right) ^3 &= left( {-1 +i }over sqrt { 2 }right)^2 left( -1+i over sqrt { 2}right) #&=(-i) left( -1+i over sqrt { 2} right) = 1+i over sqrt { 2 }]

[eqn: x^4 = left( -1+i over sqrt { 2 }right)^4 &= left( -1+i over sqrt { 2}right) ^2 left( -1+i over sqrt { 2 }right)^2 #&=(-i)times(-i)=-1]

[eqn: f(x)& =x ^{2008} +x ^{2010} +x ^{2012} +x ^{2014} #& =(x^4 )^502 + (x^4 )^502 x^2 +(x^4 ) ^503 +(x^4 )^503 x^2]

이므로

[eqn: f left({ -1+i} over sqrt { 2 }right) #=(-1) ^{502} +(-1) ^{502} (-i)+(-1) ^{503} +(-1) ^{503} (-i)# =1-i+(-1)+i# =0]

09

③

답

해

설

[eqn: z&= a^2 -(i+2)a-3-i#&=(a^2 -2a -3)+(-a-1)i]

복소수 [eqn: z]를 제곱하여 음의 실수가 되기 위해서는 [eqn: z]가 순허수이어야 한다.

즉, [eqn: a^2 -2a -3 =0]이고 [eqn: -a-1 not= 0]이어야 한다.

[eqn: a^2 -2a -3=(a+1)(a-3)=0]에서

[eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=3]

이때 [eqn: a not =-1]이므로  [eqn: a=3]

10

③

답

해

설

[eqn: z=a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)로 놓으면 [eqn: bar z =a-bi]이므로 [eqn: z + bar z =(a+bi)+(a-bi)=2a=2]에서  [eqn: a=1]

[eqn: z= bar z]에서 [eqn: a+bi =a-bi]이므로 [eqn: b=0]

따라서 [eqn: z=a+bi =1]

11

④

답

해

설

[eqn: x= {1+ sqrt { 3}i } over 2]이므로  [eqn: bar z = {1- sqrt { 3}i }over 2]

① [eqn: z bar{z}=left({ 1+ sqrt { 3}i } over2 right) left( {1- sqrt { 3}i }over2 right) =1]

② [eqn: z = {1+ sqrt { 3 }i }over2 ,~2z=1+ sqrt { 3}i ,~2z-1= sqrt { 3}i]

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: z^2 -z+1 =0]이고 양변에 [eqn: z+1]을 곱하면  [eqn: z^3 +1 =0,~z^3 =-1]

③ [eqn: bar{z ^{3}} =left( bar z right)^3 =-1]

④ [eqn: z ^{2} = left( {1+ sqrt { 3}i }over2 right)^2 ={-1 + sqrt { 3}i }over 2 not= {1- sqrt { 3}i } over 2 = bar{z}]

⑤ [eqn: bar{z} +z ^{2} ={1- sqrt { 3}} over2 + {-1 + sqrt { 3}i } over 2 = 0]

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

12

②

답

해

설

복소수 [eqn: z]가 [eqn: z+ barz =0]을 만족시키면 [eqn: z]는 순허수 또는 [eqn: 0]이다. 그런데 [eqn: z not = bar z]이므로 [eqn: z]는 순허수이다.

[eqn: z&= (1-i)x^2 -(3-4i )x +2-3i#&=(x^2 -3 x +2 )+(-x^2 +4x-3)i]

순허수이기 위해서는

[eqn: x^2 -3x +2 =(x-1)(x-2)=0]에서

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: -x^2 +4x -3 =-(x-1)(x-3) not=0]에서

[eqn: x not=1]이고 [eqn: x not=3]

따라서 [eqn: x=2]이다.

13

⑤

답

해

설

[eqn: z=a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)로 놓으면 [eqn: bar z =a- bi]

[eqn: (1+i )z +2i barz &=(1+i)(a+bi)+2i(a-bi) #& =a+bi +ai-b +2ai+2b #&=(a+b)+(3a+b)i #&=-1 +i]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a+b =-1,~3a+b=1]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=1,~b=-2]이므로

[eqn: z=1- 2i]

14

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: z= k(i+1)+i-2=(k-2)+(k+1)i]	(가)

[eqn: z^2& = (k-2)^2 -(k+1) ^2 +2(k-2)(k+1)i #&=(-6k+3)+2(k-2)(k+1)i]	(나)

이때 [eqn: z^2]이 실수이므로 [eqn: 2(k-2)(k+1)=0]에서

[eqn: k=-1] 또는 [eqn: k=2]	(다)

따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은  [eqn: -1+2=1]	(라)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 복소수 [eqn: z]를 [eqn: a+bi]의 꼴로 나타낸다.	30 %
(나) 복소수 [eqn: z^2]를 [eqn: a+bi]의 꼴로 나타낸다.	30 %
(다) [eqn: k]의 값을 구한다.	30 %
(라) 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합을 구한다.	10 %

15

①

답

해

설

[eqn: i^2 =-1,~i^3 =-i]이므로

[eqn: bar {1+i + i^2 +i^3 } +(1-i+i^2 -i^3 )#= bar {1+i -1 -i } +(1-i-1+i)=0]

16

①

답

해

설

[eqn: i^2 =-1,~i^3 =-i,~i^4 =1]이므로

[eqn: 1+ {1} over {i} + {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} + CDOTS + {1} over {i ^{2010}}# =1+ LEFT ( {1} over {i} + {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} + {1} over {i ^{4}} RIGHT )# ~~+ LEFT ( {1} over {(i ^{4} )i} + {1} over {(i ^{4} )i ^{2}} + {1} over {(i ^{4} )i ^{3}} + {1} over {(i ^{4} )i ^{2}} RIGHT ) + CDOTS # ~~+ LEFT ( {1} over {(i ^{4} ) ^{502} i} + {1} over {(i ^{4} ) ^{502} i ^{2}} RIGHT )# =1+ LEFT ( {1} over {i} + {1} over {-1} + {1} over {-i} + {1} over {1} RIGHT )# ~~+ LEFT ( {1} over {i} + {1} over {-1} + {1} over {-i} + {1} over {1} RIGHT )+cdots+ left( 1 over i + 1 over -1right)# =1+0+0 +cdots + left( 1 over i - 1 right)= 1over i =-i]

17

②

답

해

설

[eqn: z= 2 over 1+i = 2(1-i) over{ (1+i)(1-i)} =1-i]

이므로  [eqn: barz =1+i]

따라서

[eqn: z △bar z& = z bar z -(z+ barz )# &=(1+i)(1-i)-left{ (1+i)+(1-i) right} #&=2-2 #&=0]

18

②

답

해

설

[eqn: ㄱ. sqrt { -2} cdot sqrt { -3} = sqrt { 2 }i times sqrt { 3}i = sqrt { 6}i^2 = - sqrt { 6}]

(참)

[eqn: ㄴ. sqrt { 8}over sqrt { -2 } = {2 sqrt { 2 } }over {sqrt { 2 }i} = 2 over i = 2i over i^2 = -2 i not= 2i] (거짓)

[eqn: ㄷ.~ sqrt { -2}- sqrt { -8}&= sqrt { 2}i - sqrt { 8}i # &= sqrt { 2}i -2 sqrt { 2 }i# &= - sqrt { 2}i](참)

[eqn: ㄹ.~ sqrt { (-2)^2}+ (sqrt { -3})^2 &= sqrt { 2^2}+ ( sqrt { 3}i)^2 #&=2+3i^2 # &=-1 not = 5](거짓)

따라서 옳은 것은 [eqn: ㄱ,~ㄷ]이다.

19

②

답

해

설

[eqn: sqrt { a over b} = - sqrt { a} over sqrt { b}]이므로  [eqn: a>0,~b<0]

[eqn: a>0>b]이므로  [eqn: b-a<0]

따라서  [eqn: |`b-a` |=a-b]

[eqn: b<0]이므로  [eqn: sqrt { b^2} =-b]

[eqn: a>0]이므로  [eqn: a+1>0]

따라서 [eqn: |`a+1` |=a+1]이고

[eqn: |`b-a` |- sqrt { b^2}- |`a+1` |&=a-b-(-b)-(a+1) #&=-1]

20

②

답

해

설

[eqn: (x+2i)(y-i) = 1-i over 1+i]

[eqn: (xy+2)+(-x+2y)i=-i]

[eqn: xy+2 =0]에서  [eqn: xy=-2]

[eqn: -x +2y =-1]에서  [eqn: x-2y=1]

따라서  [eqn: 1 over y - 2 over x = {x-2y} over xy =- 1 over 2]

21

④

답

해

설

[eqn: z= 1+i over2]에서 [eqn: bar z = 1-i over 2]이므로

[eqn: z bar z = 1+i over 2 cdot 1-i over 2 = 1over 2]

[eqn: z + bar z = 1+i over 2 + 1-i over 2 =1]

따라서

[eqn: (z-1)(barz -1) &=z bar z -(z +bar z ) +1 #&= 1 over 2 -1+1= 1 over2]

22

①

답

해

설

[eqn: z=1-i]에서  [eqn: bar z = 1+i]

[eqn: (`z AST bar{z} `)△z&=left{(1-i) ast (1+i)right} △(1-i) #&=2left{(1-i)-(1+i)right}△(1-i) #&=(-4i)△(1-i) #&=(-4i)cdot (1-i) #&=-4-4i]

23

③

답

해

설

[eqn: 1-i over 1+i = (1-i)^ 2 over{ (1+i)(1-i)} =-i]이고

[eqn: (-i)^2010 = left{ (-i) ^4 right}^502 cdot (-i)^2 =1 cdot (-1) =-1]

따라서

[eqn: f left( 1-i over 1+i right) &= (-i)^2010 + 1 over (-i)^2010 +2 #&=(-1)+(-1)+2 #&=0]

24

⑤

답

해

설

[eqn: 1-i over 1+i = -i,~ 1+i over 1-i =i]이므로

[eqn: left( 1-i over 1+i right)^2n+1 + left( 1+i over 1-i right) ^4n+1 #=(-i)^2n+1 +i^4n+1 #=left{(-i)^2 right} cdot (-i) +(i^4 )^n cdot i #=(-1)^n cdot (-i)+1^n cdot i #=i+i=2i]

25

[eqn: -3]

답

해

설

[eqn: sqrt { a-2} sqrt { a-1} =- sqrt { (a-2)(a-1)}]에서

[eqn: a-2 <0,~a-1<0]이므로  [eqn: a<1]	㉠

[eqn: (a^2 -9 +ai)^2 <0]에서 [eqn: a^2 -9=0,~a not=0]이므로

[eqn: a=-3] 또는 [eqn: a=3]	㉡

㉠, ㉡에 의하여  [eqn: a=-3]

26

①

답

해

설

복소수 [eqn: z_1 = 1+3i]에 대하여 [eqn: z_2 ,~z_3 ,~z_4 ,~z_5 ,~cdots]를 차례대로 구해 보면

[eqn: z_2 = bar z _1 +(1+i)=1-3i +(1+i) =2-2i]

[eqn: z_3 =bar z_2 +(1+i) =2+2i+(1+i)=3+3i]

[eqn: z_4 =bar z_3 +(1+i) =3-3i +(1+i) =4-2i]

[eqn: z_5 =bar z_4 +(1+i) =4 +2i +(1+i) =5+3i]

⋮

따라서 실수부분은 [eqn: 2,~3,~4,~5,~cdots]로 나타내고, 허수부분은 [eqn: -2,~3]이 반복되어 나타나므로

[eqn: z_100 =100 -2i]

27

⑤

답

해

설

[eqn: sqrt { b-1} over sqrt { a+1}= - sqrt { b-1 over a+1}]이므로

[eqn: a+1 <0,~b-1>0]

따라서

[eqn: |`a+1` |+ sqrt { (b-1)^2 } &=|`a+1` |+|`b-1` |#&=-(a+1)+(b-1) #&=-a-1+b-1 #&=-a+b-2]

28

⑤

답

해

설

[eqn: z= a +bi] ([eqn: a,~b]는 실수)라고 하면 [eqn: bar z = a-bi]이다.

[eqn: ㄱ.~z- bar{z} =(a+bi)-(a-bi)=2bi]
따라서 항상 실수인 것은 아니다.

[eqn: ㄴ.~z+ bar{z} =(a+bi)+(a-bi)=2a]
따라서 항상 실수이다.

[eqn: ㄷ.~z bar{z} =a^2 +b ^2]이므로 [eqn: z bar z]는 항상 실수이다.
따라서 [eqn: 1 over z + 1 over barz = {z+barz} over{z barz}]에서 [eqn: z+barz]와 [eqn: z bar z]가 모든 실수이므로 [eqn: 1 over z + 1 over barz]는 항상 실수이다.

따라서 항상 실수인 것은 [eqn: ㄴ,~ㄷ]이다.

29

[eqn: (1)~2i~~(2)~ sqrt { 3}i ~~(3)~3i]

답

해

설

(1) [eqn: sqrt { -4 } = sqrt { 4}i =2i]

(2) [eqn: sqrt { -3 } = sqrt { 3}i]

(3) [eqn: sqrt {-9}= sqrt { 9}i = 3i]

30

[eqn: (1)~4-3i~``~(2)~-4-2i~~(3)~3~~(4)~-4i]

답

해

설

[eqn: a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)의 켤레복소수는 [eqn: a-bi]이므로

(1) [eqn: bar{4+3i} =4-3i]

(2) [eqn: bar-4+2i =-4-2i]

(3) [eqn: bar3 =3]

(4) [eqn: bar4i = -4i]

31

(1) [eqn: a=3,~b=-1], (2) [eqn: a=1,~b=2]

답

해

설

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

(1) [eqn: a=3,~b=-1]

(2) [eqn: a=1,~b=2]

32

[eqn: (1)~3+4i~~(2)~4-3i~~(3)~ 2-i]

답

해

설

(1) [eqn: (1+i)+(2+3i)=(1+2)+(1+3)i =3+4i]

(2) [eqn: (1-2i)(2+i)=(2+2)+(1-4)i=4-3i]

(3) [eqn: {3+i} over {1+i} = {3+i} over {1+i} TIMES {1-i} over {1-i} & = {3-2i-i ^{2}} over {1-i ^{2}}# & = {4-2i} over {2} =2-i]

33

[eqn: (1)~14i~~(2)~35i~~(3)~ sqrt { 3}i~~(4)~ 8+ 3i]

답

해

설

(1) [eqn: sqrt {-4 }+ sqrt { -9}+ sqrt { -16}+ sqrt { -25}# = sqrt { 4}i + sqrt { 9}i + sqrt { 16} i +sqrt { 25}i # =2i +3i +4i + 5i= 14i]
(2) [eqn: 2sqrt { -49}-3 sqrt { -9}+5 sqrt { -36} #= 2 sqrt { 49} i - 3 sqrt { 9} i + 5 sqrt { 36} i # =2 cdot 7i - 3 cdot 3i + 5 cdot 6i = 35i]
(3) [eqn: sqrt { 27} i - sqrt { 12}i=3 sqrt { 3 }i -2 sqrt { 3} i = sqrt { 3}i]
(4) [eqn: (5+4i )-(-3+i)=(5+3)+(4-1)i = 8+3i]

34

[eqn: (1)~sqrt { 6}i~~(2)~- sqrt { 6}~~(3)~ sqrt { 3}~~(4)~- sqrt { 3}i]

답

해

설

(1) [eqn: sqrt {2} cdot sqrt { -3}= sqrt { 2} cdot sqrt { 3} i = sqrt { 6}i]
(2) [eqn: sqrt { -2 } cdot sqrt { -3}= sqrt { 2}i cdot sqrt { 3} i = sqrt { 6} i ^2 = - sqrt { 6}]
(3) [eqn: {sqrt {-6}} over {sqrt {-2}} = { sqrt { 6}i} over { sqrt { 2}i} = sqrt { 3}]
(4) [eqn: {sqrt {6}} over {sqrt {-2}} = sqrt { 6} over{ sqrt { 2}i}= { sqrt { 6}i }over { sqrt { 2} i^2 } = - sqrt { 3} i]

35

[eqn: (1)~-2~~(2)~5]

답

해

설

[eqn: z=-1 +2i]이므로  [eqn: bar z =-1 -2i]

(1) [eqn: z+ bar{z} & =(-1+2i)+(-1-2i)# & =(-1-1)+(2-2)i=-2]
(2) [eqn: z bar{z} & =(-1+2i)(-1-2i)# & =(1+4)+(2-2)i=5]

36

[eqn: (1)~5+i~~(2)~5+5i~~(3)~ 1 over 5 + 2 over 5 i~~(4)~-2+i]

답

(1) [eqn: (3-2i)+(2+3i)=3-2i +2+3i= 5+i]
(2) [eqn: (3-i)(1+2i) = (3+2)+(6-1)i = 5+5i]
(3) [eqn: i div (2+i) &= i over 2+i = i(2-i) over{ (2+i)(2-i)}#&={2i-i^2 } over {2^2 -i^2 } = 1+2i over 6 #&= 1 over 5 + 2 over 5 i]
(4) [eqn: (1+2i)÷(-i) & = {1+2i} over {-i} = {(1+2i)i} over {-1 CDOT i}#&= i+2i^2 = -2+i]

해

설

37

[eqn: (1)~~ {4} over {5} - {7} over {5} i~~~~~``(2)~ {3} over {2} - {1} over {2} i# (3)~ {3} over {7} - {2 sqrt {10}} over {7} i~~(4)~-1]

답

(1) [eqn: {3-2i} over {2+i} & = {(3-2i)(2-i)} over {(2+i)(2-i)} = {(6-2)+(-3-4)i} over {2 ^{2} -i ^{2}}# & = 4-7i over 5 = 4 over 5 - 7 over 5 i]
(2) [eqn: {1} over {1-i} + {2} over {1+i} & = {(1+i)+2(1-i)} over {(1-i)(1+i)}# & = {(1+2)+(1-2)i} over {1 ^{2} -i ^{2}}# & = {3-i} over {2} = {3} over {2} - {1} over {2} i]
(3) [eqn: {sqrt {5} - sqrt {-2}} over {sqrt {5} + sqrt {-2}} & = {( sqrt {5} - sqrt {2} i) ^{2}} over {( sqrt {5} + sqrt {2} i)( sqrt {5} - sqrt {2} i)}# &= {(5-2)-2 sqrt { 10} i } over { ( sqrt { 5} )^2 - ( sqrt { 2}i) ^2 } #&={ 3-2 sqrt { 10}i } over7#&= 3 over 7 - { 2 sqrt { 10}} over 7 i]
(4) [eqn: LEFT ( {1- sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{3} & = LEFT ( {1- sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{2} CDOT {1- sqrt {3} i} over {2}# & = {(1-3)-2 sqrt {3} i} over {4} CDOT {1- sqrt {3} i} over {2}# & = {-1- sqrt {3} i} over {2} CDOT {1- sqrt {3} i} over {2}# & = {-1 ^{2} +( sqrt {3} i) ^{2}} over {4}# & = {-4} over {4} =-1]

해

설

38

[eqn: (1)~4~~(2)~13]

답

(1) [eqn: z+ bar{z}=(2+3i )+(2-3i)=4]
(2) [eqn: z bar z =(2+3i )(2-3i)= 2^2 -(3i)^2 =13]

해

설

39

[eqn: (1)~a=0,~b=1~~(2)~x=3,~y=-1]

답

해

설

(1) 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
[eqn: a+2b-2=0,```4a +b-1=0]
두 식을 연립하여 풀면  [eqn: a=0,~b=1]

(2) 주어진 식을 전개하여 정리하면
[eqn: x+x i +y - yi =2+4i]
[eqn: (x+y ) +(x-y)i =2+4i]
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
[eqn: x+y =2,~x-y= 4]
두 식을 연립하여 풀면
[eqn: x=3,~y=-1]

40

[eqn: z = sqrt { 3} -i] 또는 [eqn: z= - sqrt { 3} -i]

답

해

설

[eqn: z=a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)로 놓으면 [eqn: bar z = a -bi]이므로

[eqn: z bar z = a^2 +b^2 ,~z-barz = 2bi]

[eqn: z bar z + 3( z - bar z ) = (a^2 +b^2 ) + 6bi = 4-6i]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a^2 +b^2 =4,~b=-1]

[eqn: b=-1]을 [eqn: a^2 +b^2 =4]에 대입하면  [eqn: a= +- sqrt { 3}]

[eqn: z = sqrt { 3} -i] 또는 [eqn: z= - sqrt { 3} -i]

41

[eqn: x=-1 ,~ y=3]

답

해

설

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: x+2y =5,~x-y =-4]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: x=-1 ,~ y=3]

42

[eqn: z= 1+i] 또는 [eqn: z=-1 -i]

답

해

설

[eqn: z= a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)로 놓으면

[eqn: z ^{2} =(a ^{2} -b ^{2} )+2ab`i=`2i]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a ^{2} `-`b ^{2} `=0`,~ab`=`1]

[eqn: a ^{2} - b^2 =0]에서  [eqn: (a-b)(a+b)=0]

[eqn: a=b] 또는 [eqn: a=-b]

[eqn: (i)~a=b]일 때, [eqn: ab= a^2 =1]이므로
[eqn: a=+- 1,~b=+-1] (복부호동순)
따라서  [eqn: z=1 +i] 또는 [eqn: z=-1-i]

[eqn: (ii)~a=-b]일 때, [eqn: ab=-a^2 =1]이므로 이것을 만족시키는 실수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

[eqn: (i),~(ii)]에 의하여

[eqn: z= 1+i] 또는 [eqn: z=-1 -i]

43

[eqn: (`1)~0~~(2)~``0]

답

해

설

(1) [eqn: i+ i^2 + i^3 + i^4 = i +(-1)+(-i) +1=0]
(2) [eqn: i+i ^{2} +i ^{2} + CDOTS +i ^{100}# =(i+i ^{2} +i ^{3} +i ^{4} )+(i ^{5} +i ^{6} +i ^{7} +i ^{8} )# ~~+ CDOTS +(i ^{97} +i ^{98} +i ^{99} +i ^{100} )#=(i+ i^2 +i^3 + i^4 )+i^4 ( i +i^2 +i^ 3 + i ^4 ) #~~+cdots + i^ 96 (i+i^2 +i ^3 +i ^4 ) #=0]

44

[eqn: (`1)~- 1 over 2 ~~(2)~``-3]

답

해

설

(1) [eqn: z= 1 over 1+i = 1-i over {( 1+i)(1-i) } = 1-i over 2]이므로
[eqn: 2z=1-i,~2z-1=-i]
이 식의 양변을 제곱하면  [eqn: 4z^2 -4z +1=-1]
[eqn: 4(z^2 -z) =-2,~z^2 -z= - 1 over 2]

(2) [eqn: z- 1= sqrt { 2}i]의 양변을 제곱하면
[eqn: z^2 -2z +1 =-2,~ z^2 -2z =-3]

45

[eqn: (`1)~- 1 over 2 ~~(2)~``-3]

답

해

설

(1) [eqn: (1-i) ^2 = 1-2i +i^2 =-2i]

(2) [eqn: (1+i) ^{4} & = LEFT { (1+i) ^{2} RIGHT } ^{2} =(1+2i+i ^{2} ) ^{2}# & =(2i) ^{2} =-4]

46

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: z={1+ sqrt {3}i } over 2]에서  [eqn: 2z =1+ sqrt { 3}i,~2z-1= sqrt { 3}i]

이 식의 양변을 제곱하면

[eqn: 4z ^2 -4z +1 =-3,~4(z^2 -z ) =-4]

[eqn: z^2 -z =-1]

47

[eqn: (1)~1~~(2)~1~~(3)~-1~~(4)~-1]

답

해

설

[eqn: alpha = { 1+ sqrt { 3} i } over 2 ,~ beta = { 1- sqrt { 3} i } over 2]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: alpha +beta={ 1+ sqrt { 3} i } over 2 + { 1- sqrt { 3} i } over 2 =1]
(2) [eqn: alpha beta= { 1+ sqrt { 3} i } over 2 cdot { 1- sqrt { 3} i } over 2 = 1+3 over 4 =1]

(3) [eqn: alpha +beta=1]이므로  [eqn: beta =1- alpha]
[eqn: alpha beta = alpha (1-alpha ) =1]에서  [eqn: alpha ^2 =alpha -1]
[eqn: alpha ^{3} = alpha ^{2} CDOT alpha & =( alpha -1) CDOT alpha = alpha ^{2} - alpha # & =( alpha -1)- alpha =-1]

(4) [eqn: alpha beta =1]이므로  [eqn: beta = 1 over alpha]
이때 [eqn: alpha ^3 =-1]이므로  [eqn: beta ^3 = 1 over alpha ^3 =-1]

48

[eqn: (1)~-1~~(2)~1]

답

해

설

(1) [eqn: omega = {- 1 - sqrt { 3}i } over 2]에서  [eqn: 2 omega +1= - sqrt { 3}i]
이 식의 양변을 제곱하면
[eqn: 4 omega ^2 + 4 omega +1=-3]
[eqn: omega ^2 + omega +1=0]
[eqn: omega ^2 + omega =-1]

(2) [eqn: omega ^{3} & = omega ^{2} CDOT omega =(- omega -1) omega # & =-( omega ^{2} + omega )=1]

49

[eqn: { -1 + sqrt { 3}i } over 2]

답

해

설

[eqn: x = { 1 - sqrt { 3} } over 2]에서  [eqn: 2x -1 =- sqrt { 3}i]

이 식의 양변을 제곱하면

[eqn: 4x^2 -4x +1 =-3,~x^2 -x +1=0]

이때 [eqn: x^3 = x^2 cdot x = (x-1)x =x^2 -x=-1],

[eqn: x^5 =x^3 cdot x^2 =-x^2]이므로

[eqn: x^3 +x^5 =-1 -x^2 =-x = { -1 + sqrt { 3}i } over 2]

50

[eqn: (1)~-2~~(2)~3-4i~~(3)~ 1 over 4]

답

해

설

(1) [eqn: (- sqrt { 2} i ) ^2 = 2i ^2 =-2]

(2) [eqn: (2-i)^2 = 4- 4i+i ^2 = 3- 4i]

(3) [eqn: left( { 2- sqrt { 3} i } over 2 right ) ^2 = { 4-4 sqrt { 3}i + 3i ^2 } over 4 &= { 1- 4 sqrt { 3} i } over 4 #&= 1 over 4 - sqrt { 3} i]

51

[eqn: (1)~i~~(2)~-32i~~(3)~1]

답

해

설

(1) [eqn: (-i) ^ 999& = -i ^ 999 = - (i^4 ) ^ 249 cdot i^3 = - i ^3#&= -(-i) =i]

(2) [eqn: (1-i ) ^ 10& = left{ (1-i) ^2 right } ^5 = (1-2i +i^2 ) ^5 #&= (-2i) ^5 = -2 ^5 i^5 = -32 i]

(3) [eqn: 1-i over 1+i = { (1-i ) ^2 } over {(1+i)(1-i)} = -2i over 2 = -i]
[eqn: left( 1-i over 1+i right)^ 100 = (-i)^ 100 = i ^100 =(i^4 )^25 =1]

52

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: z= 1+ i]이므로  [eqn: bar z = 1-i]

[eqn: z+ bar z = 2,~ z bar z = 2]

[eqn: z-1 over z + {barz -1 } over bar z &= { (z-1)barz + z( bar z -1 )} over {z bar z} #&=2z bar z - ( z + bar z ) #& = 4-2 over 2 =1]

53

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: {x+yi} over{ y-x i} +{ y-x i } over {x+ yi}&= { (x+yi )^2 + (y- x i) ^2 } over { (y-x i )( x+ yi) } #&= { (x^2 - y ^2 +2xy i)+( y ^2 -x ^2 -2xyi)} over {2xy +(y^2 - x^2 )i }#& = 0 over { 2xy +(y^2 -x^2 ) i }=0]

54

[eqn: a= 4 over 9 ,~ b= 2 over 3]

답

해

설

[eqn: b-a +(b-2)i = 5a -2-3ai]에서 [eqn: a,~b]가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: -a+b = 5a-2,~b-2 =-3a]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a= 4 over 9 ,~ b= 2 over 3]

55

[eqn: 25]

답

해

설

[eqn: z= a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)로 놓으면 [eqn: bar z = a- bi]이므로 주어진 등식은

[eqn: (1+i)(a+bi) + i(a-bi)= 3+2i]

[eqn: a-b +(a+b)i +ai +b= 3+2i]

[eqn: a+ (2a+b) i = 3+2i]

[eqn: a,~b]는 실수이므로

[eqn: a=3,~ 2a+b =2]

[eqn: a=3,~b=-4]

따라서

[eqn: z bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2 +b ^2 = 3^2 +(-4) ^2 =25]

56

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: {x} over {1+i} + {y} over {1-i} & = {x(1-i)+y(1+i)} over {(1+i)(1-i)}# & = {(x+y)+(y-x)i} over {2} =2-i]

[eqn: x,~y]가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: x+y over 2 =2,~ x-y over 2 =1]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: x=3,~y=1]이므로  [eqn: xy = 3]

57

㉢

답

해

설

[eqn: a<0,~b<0]일 때,

[eqn: sqrt { a} sqrt {b }= sqrt { -a}i sqrt { -b}i= sqrt { (-a)(-b)} i^2 =- sqrt { ab}]

[eqn: sqrt { -1} sqrt { -1} not = sqrt { (-1)(-1)}]

58

[eqn: a=-4,~b= 7]

답

해

설

[eqn: x= 2+ sqrt { 3}i]이므로

[eqn: x-2 = sqrt { 3}i]

이 식의 양변을 제곱하면

[eqn: x^2 - 4 x + 4 = -3]

[eqn: x^ 2 -4x +7 =0]

[eqn: a=-4,~b= 7]

59

[eqn: (1)~2+2i~~(2)~-4-4i~~(3)~-2~~(4)~2]

답

해

설

(1) [eqn: 1 over i = i over i ^ 2 = i over -1 = -i ,~ 3 over i^ 3 = 3i over i ^ 4 = 3i,]
[eqn: i^2 =-1,~ i^ 4 = 1]이므로
[eqn: 1 over i + 2 over i ^2 + 3 over i^3 + 4 over i^4 = -i -2 +3i +4 =2+2i]

(2) [eqn: 1+2i +3i^2 + 4i ^3 + 5i^4 +6i^5 + 7i^6 + 8i^7# = 1+2i - 3 -4i + 5 + 6i - 7 - 8i#=(1 -3 + 5 -7)+(2i-4i+6i -8i)#=-4-4i]

(3) [eqn: (1+i) ^ 2 = 1 +2i +i ^2 =2i]
[eqn: (1-i) ^2 = 1- 2i +i ^2 =-2i]이므로
[eqn: LEFT ( {1+i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{12} + LEFT ( {1-i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{12} & = LEFT { LEFT ( {1+i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{6} + LEFT { LEFT ( {1-i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{6}# #&=i^6 +(-i) ^ 6 =2i ^ 6 #&= 2i^4 cdot i^2 = 2 cdot 1cdot (-1) #&=-2]

(4) [eqn: LEFT ( {-1+ sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{3} & = LEFT ( {-1+ sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{2} CDOT {-1+ sqrt {3} i} over {2}# &= { -2 -2 sqrt { 3}i }over 4 cdot { -1 +sqrt { 3} i } over 2 #&= { -1 - sqrt { 3}i }over 2 cdot { -1 +sqrt { 3} i } over 2 #&= {(-1) ^2 -3i ^ 2 } over 4 =1]
[eqn: LEFT ( {-1- sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{3} & = LEFT ( {-1- sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{2} CDOT {-1- sqrt {3} i} over {2}# & = {-2+2 sqrt {3} i} over {4} CDOT {-1- sqrt {3} i} over {2}# & = {-1+ sqrt {3} i} over {2} CDOT {-1- sqrt {3} i} over {2}# & =1]
[eqn: LEFT ( {-1+ sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{6} + LEFT ( {-1- sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{6}= 1^2 + 1 ^ 2 =2]

60

[eqn: (1)~-1~~(2)~1~~(3)~a=-2,~b= -3]

답

해

설

[eqn: omega = {-1+ sqrt { 3}i } over 2]에서  [eqn: 2omega +1= sqrt { 3}i]

이 식의 양변을 제곱하면

[eqn: 4 omega ^ 2 + 4 omega +1=-3], [eqn: omega ^2 + omega +1=0]

(1) [eqn: omega ^2 + omega =-1]

(2) [eqn: omega ^ 3 = omega ^2 cdot omega =(-omega -1) omega = -(omega^2 + omega )=1]

(3) [eqn: omega+5 over omega-1 = a omega +b]에서
[eqn: omega + 5= (a omega +b)(omega -1)]
[eqn: omega + 5 = a omega ^2 -a omega +b omega -b]
따라서  [eqn: a omega ^2 + (b-a-1) omega -b-5=0]
[eqn: a(- omega -1) +(b-a-1) omega -b-5=0]
[eqn: (b-2a -1) omega -(a+b+5)=0]
이때 [eqn: a,~b]는 실수이고 [eqn: omega]는 허수이므로
두 식을 연립하여 풀면
[eqn: a=-2,~b= -3]

61

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: z= a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)라고 하면

[eqn: z^2 &= a^2 +2ab i + b^2 i^2 #& = (a^2 -b^2 )+2abi =3i]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a^2 - b^2 =0,~2ab= 3]

[eqn: z bar z = a^2 +b ^2]이므로

[eqn: ( z bar z ) ^2& = (a^2 + b^ 2 ) ^2 # &=(a^2 -b^2 ) ^2 +4a^2 b^2 #&=0 ^2 + (2ab) ^2 =9]

그런데 [eqn: a^2 +b^2 ge 0]이므로  [eqn: z bar z = 3]

62

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: x= x^3 over x^2& = 2+11i over 3+4i times 3-4i over 3-4i # &={6- 8i +33i -44i^2 } over{ 3^2 -4^2 i^2 } #&= 50+25i over 25 #&= 2+i]

따라서  [eqn: a+b=2+1=3]

63

[eqn: 2+i]

답

해

설

[eqn: f(1+i)=2-i]이므로

[eqn: a(1+i) ^2 +b(1+i) +c=2-i]

[eqn: bar{ a(1+i) ^2 + b(1+i) +c} = bar 2-i]

[eqn: bar{ a(1+i)^2} + bar{ b(1+i)} +bar c = bar 2-i]

[eqn: a(1-i) ^2 +b(1-i) +c = 2+i]

따라서  [eqn: f(1-i)= a(1-i) ^2 +b(1-i) +c =2+i]

64

(1) [eqn: -1+7i]
(2) [eqn: -8-i]
(3) [eqn: -1]
(4) [eqn: i]

답

65

(1) [eqn: a=-2,~b=4]
(2) [eqn: a=3,~b=5]

답

66

(1) [eqn: -4]	(2) [eqn: -3i]

답

67

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: z= 1+i over 2-i = {(1+i)(2+i) } over{ (2-i)(2+i)} ={2+3i+(-1) } over 4-(-1) } = 1 over 5 + 3 over 5 i]

[eqn: barz = 1 over 5 - 3 over 5 i]

[eqn: thereforez + bar z = left( 1 over 5 + 3 over 5 i right) + left( 1 over 5 - 3 over 5 i right) = 2 over 5]

[eqn: z barz = left( 1 over 5 + 3 over 5 i right) left( 1 over 5 - 3 over 5 i right) = 1 over 25 + 9 over 25 = 2 over 5]

[eqn: therefore z barz + 4( z + bar z )= 2 over 5 + 4 times 2 over 5 =2]

68

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: alpha bar{alpha } + bar{alpha } beta + alpha bar{beta } + beta bar{beta } = bar{alpha } ( alpha + beta )+ bar{beta } ( alpha + beta )# =( alpha + beta )( bar{alpha + beta } )= (3-i)(3+i)=10]

69

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: z & =(1+i)x ^{2} -(2+i)x-(3+2i)# & =(x ^{2} -2x-3)+(x ^{2} -x-2)i]

[eqn: z]가 실수이므로 [eqn: x^2 -x -2=0]에서

[eqn: x=-1~(because x<0)]

70

[eqn: 100]

답

해

설

[eqn: i+2i ^{2} +3i ^{3} +4i ^{4} + CDOTS +100i ^{100}# =(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+ CDOTS # +(97i-98-99i+100)# =(2-2i)+(2-2i)+cdots+(2-2i) #=25(2-2i)=50-50i]

따라서 [eqn: a=50,~b=-50]이므로

[eqn: |`a`|+|`b`|=100]

71

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: x-2y+1=4},~3x-y-2 =-3]에서

[eqn: x-2y=3,~3x-y=-1]

[eqn: therefore x=-1,~y=-2]

[eqn: thereforex^2 +y ^2 =5]

72

[eqn: 2-3i]

답

해

설

[eqn: z=a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)로 놓으면

[eqn: (2+i) (a+bi)+ i (a-bi) = 4- 2i]

[eqn: 2a+(2a+2b)i=4-2i]에서  [eqn: 2a=4,~2a+2b=-2]

[eqn: therefore a=2,~b=3~~thereforez=2-3i]

73

④

답

해

설

[eqn: x-y>0,~y-x <0]이므로

[eqn: {sqrt {y-x}} over {sqrt {x-y}} = sqrt {{y-x} over {x-y}} = sqrt {-1} =i]

[eqn: x>0]이므로  [eqn: sqrt {x} over sqrt { -x} } = - sqrt { x over-x} = - sqrt { -1}=-i]

[eqn: sqrt { x-y } over sqrt { y-x} + sqrt { y-x } over sqrt { x-y} - sqrt { x} over sqrt { -x}][eqn: therefore{sqrt {x-y}} over {sqrt {y-x}} + {sqrt {y-x}} over {sqrt {x-y}} - {sqrt {x}} over {sqrt {-x}}= (-i)+i-(-i)=i]

74

[eqn: 45]

답

해

설

[eqn: z & = sqrt {-2} sqrt {-18} - {sqrt {18}} over {sqrt {-2}}# & =`- sqrt {(-2)` TIMES `(-18) }+ sqrt { 18 OVER-2} #&= - sqrt { 36} + sqrt { -9} =-6+3i]

[eqn: therefore z bar z = (-6+ 3i)(-6-3i) =45]

75

[eqn: -2a+2b]

답

해

설

[eqn: a<0,~b>0]이므로  [eqn: a-b<0]

[eqn: therefore sqrt {a ^{2}} + sqrt {b ^{2}} + sqrt {(a-b) ^{2}}=-a+b-a+b=-2a+2b]

76

[eqn: i]

답

해

설

[eqn: 1+i+i ^{2} +i ^{3} + CDOTS +i ^{2006}#=(1+i-1-i)+(1+i-1-i)+cdots#~~+(1+i-1-i)+(1+i-1)#=i]

77

③

답

해

설

[eqn: z=a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)로 놓으면

[eqn: (1+2i)(a+ bi) +(1-2i) (a-bi)} =2]에서

[eqn: a=2b+1]

따라서 [eqn: z]는 [eqn: z=(2b+1)+bi]꼴이므로 ③은 [eqn: z`]가 될 수 없다.

78

[eqn: 13]

답

해

설

[eqn: (x+y)+(-x+y)i=-4+2i]

[eqn: x+y=-4,~-x+y=2]에서  [eqn: x=-3,~y=-1]

[eqn: thereforex^2 +xy +y ^2 =13]

79

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: (주어진~식)= 4i+4i-4=-4+8i]

[eqn: therefore a=-4,~b=8]

[eqn: therefore a+b=4]

80

[eqn: -i]

답

해

설

[eqn: z^2 = left({1+i} over {sqrt {2}}right) ^2 = {1+2i+i^2 } over 2 =i]에서

[eqn: z ^{999}= z ^998 cdot z=-iz= 1-i over sqrt { 2}]

[eqn: thereforez ^{999} TIMES bar{z} = 1-i over sqrt { 2} times 1-i over sqrt { 2} = -i]

81

[eqn: 2]

답

해

설

실근을 [eqn: x=alpha]라고 하면
[eqn: alpha^2 + (k-2i)alpha+(-3+2i)=0]

[eqn: (alpha ^2 +k alpha -3)+(-2alpha +2) i=0]

[eqn: alpha ^2 +k alpha -3=0,~-2alpha +2=0]

[eqn: therefore k=2]

82

[eqn: x+1]

답

해

설

[eqn: 1 le x <2]이므로

[eqn: sqrt {x ^{2}} + sqrt {(x-1) ^{2}} + sqrt {(x-2) ^{2}}#= x +(x-1)+(-x+2)=x+1]

83

[eqn: 4-2i]

답

해

설

[eqn: - sqrt {-2} sqrt {-8} + {sqrt {8}} over {sqrt {-2}} & = sqrt {(-2) TIMES (-8)} - sqrt {{8} over {-2}}# & =4-2i]

84

[eqn: -24]

답

해

설

[eqn: z=a+bi] ([eqn: a,~b]는 실수)라고 하면

[eqn: barz =a-bi]

[eqn: (1+i)(a+bi)- (a-bi)=-b+(a+2b) =2+i]

[eqn: a=5,~b=-2]이므로  [eqn: z= 5-2i]

[eqn: thereforez^2 -10z +5=-24]

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		1. 복소수와 이차방정식			정답
	02 이차방정식의 실근과 허근

01

③

답

해

설

방정식 [eqn: (a-1)x=a^2 +a-2]의 해가 무수히 많으므로 [eqn: 0cdot x =0] 꼴이어야 한다.

[eqn: (i)~a-1=0]에서  [eqn: a=1]

[eqn: (ii)~a^2 +a-2 =0,~(a-1)(a+2)=0]

따라서 [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=-2]

[eqn: (i),~(ii)]에서  [eqn: a=1]

02

[eqn: a=-1]

답

해

설

[eqn: sqrt { a+1} over sqrt { a-2}= - sqrt { a+1 over a-2}]에서

[eqn: a-2<0,~a+1>0]이므로  [eqn: -1<a<2]

[eqn: |`a-2` |-|`a+1`|=3,~-(a-2)-(a+1)=3]

[eqn: -2a=2,~a=-1]

03

③

답

해

설

주어진 방정식 [eqn: LEFT [ x RIGHT ]^2 -LEFT [ x RIGHT ]-2=0]에서 [eqn: LEFT [ x RIGHT ] =X]로 치환하면

[eqn: X^2 -X -2=0,~(X+1)(X-2)=0]

따라서  [eqn: X=-1] 또는 [eqn: X=2]

[eqn: LEFT [ x RIGHT ] =-1]에서 [eqn: -1 LE x<0,~ LEFT [ x RIGHT ]=2]에서 [eqn: 2LE x<3]

따라서 보기에서 주어진 방정식을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 ③ [eqn: -1]이다.

04

②

답

해

설

[eqn: sqrt { a} sqrt { a-1}=- sqrt { a(a-1)}]에서 [eqn: a<0,~a-1<0]이므로  [eqn: a<0]

[eqn: |`2-a` |+|`a-1`|=3a+8]

[eqn: (2-a)-(a-1)=3a+8]

[eqn: 3-2a=3a+8,~~a=-1]

05

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: (i)~-2<x< -1]일 때, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]=-2]이므로
주어진 식은 [eqn: x^2 -2 cdot(-2) -3=0]에서 [eqn: x=+-i]이므로 허근

[eqn: (ii)~-1LE x<0]일 때, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] =-1]이므로
주어진 식은 [eqn: x^2 -2 cdot (-1) -3=0]에서 [eqn: x=+-1,] 즉 [eqn: x=-1]이다.

[eqn: (iii)~0LE x<1]일 때, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] =0]이므로
주어진 식은 [eqn: x^3 -3=0]에서 [eqn: x=+- sqrt { 3}]이므로 만족시키는 [eqn: x]의 값은 없다.

[eqn: (iv)~1LE x<2]일 때, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] =1]이므로
주어진 식은 [eqn: x^2 -2 cdot 1 -3=0]에서 [eqn: x=+- sqrt { 5}]이므로 만족시키는 [eqn: x]의 값은 없다.

[eqn: (i),~(ii),~(iii),~(iv)]에서  [eqn: x=-1]

06

④

답

해

설

주어진 이차방정식의 양변에 [eqn: sqrt { 3}+1]을 곱하여 정리하면 [eqn: 2x^2 -( sqrt { 3}-1)x- sqrt { 3}( sqrt { 3}+1)=0]

[eqn: (x- sqrt { 3})(2x+ sqrt { 3}+1)=0]

따라서 [eqn: x= sqrt { 3}] 또는 [eqn: x= - {sqrt { 3}+1 } over 2]

여기서 [eqn: alpha = sqrt { 3}>0]이므로  [eqn: alpha ^2 =( sqrt { 3})^2 =3]

07

[eqn: 804]

답

해

설

[eqn: 5x -2011 =X]로 놓으면

[eqn: X^2 +2X +26 =0]	(가)

[eqn: X=-1 +- sqrt { 1-26}=-1 +- 5i]	(나)

[eqn: 5x -2011 =-1 +-5i]에서  [eqn: x=402 +-i]

따라서 두 근의 합은  [eqn: 804]	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) [eqn: 5x -2011 =X]로 치환하여 식을 세운다.	40 %
(나) 근의 공식을 이용하여 [eqn: X]의 값을 구한다.	30 %
(다) [eqn: x]의 값을 구하여 두 근의 합을 구한다.	30 %

08

(1) [eqn: x= - 16 over 3]
(2) [eqn: a not= 3]일 때, [eqn: x= {2a +6 } over a-3]
[eqn: a=3]일 때, 해는 없다.

답

09

(1) [eqn: x= 8,~-2]
(2) [eqn: x=3,~-6]

답

10

(1) [eqn: x= 11 over 9]
(2) [eqn: a not= +-1]일 때, [eqn: x= 1 over a+1]
[eqn: a=1]일 때, 모든 실수이다.
[eqn: a=-1]일 때, 해는 없다.

답

11

(1) [eqn: x=2,~ 2over3]
(2) [eqn: x=-1]

답

해

설

(1) [eqn: x ge 1]일 때,  [eqn: 2(x-1)=x},~ x=2]
[eqn: x<1]일 때, [eqn: -2(x-1)=x,~x= 2 over 3]

따라서 구하는 해는  [eqn: x=2,~ 2over3]

(2) [eqn: x ge - 1 over 2]일 때,  [eqn: 2x+1=3x+4]

[eqn: x=-3]

[eqn: x< - 1 over 2]일 때,
[eqn: -(2x+1)=3x+4,~-2x-1=3x+4]

[eqn: x=-1]

따라서 구하는 해는  [eqn: x=-1]

12

(1) [eqn: x=-3]
(2)  [eqn: a not= ±2]일 때, [eqn: x=- {1} over {a+2}]
[eqn: a=2]일 때, 모든 실수이다.
[eqn: a=-2]일 때, 해는 없다.

답

13

(1) [eqn: x= 3 over 2 ,~ 1 over 4]      (2) [eqn: x=-1,~4]

답

해

설

(1) [eqn: |`3x-2` | =x+1]

(i) [eqn: 3x-2 ge 0], 즉 [eqn: x ge 2 over3]일 때,

[eqn: 3x-2=x+1},~2x=3]

[eqn: x= 3 over 2]

(ii) [eqn: 3x-2 <0], 즉 [eqn: x< {2} over {3}]일 때,

[eqn: -(3x-2)=x+1,~-4x=-1,~x= {1} over {4}]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: x= 3 over 2 ,~ 1 over 4]

(2) [eqn: |`x-1`| +|`x-2` | =5]

(i) [eqn: x<1]일 때,

[eqn: -(x-1)-(x-2)=5,~-2x=2,~x=-1]

(ii) [eqn: 1 le x <2]일 때,

[eqn: (x-1)-(x-2)=5]

[eqn: 0 cdot x =4]이므로 해는 없다.

(iii) [eqn: x ge 2]일 때,

[eqn: (x-1)+(x-2)=5,~2x=8,~x=4]

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: x=-1,~4]

14

(1) [eqn: +- sqrt { 2}]
(2) [eqn: x=+- 2i]
(3) [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=6]
(4) [eqn: x= 1 over 2]

답

15

(1) [eqn: x= {5+- sqrt { 17 }} over 4]
(2) [eqn: x=-3+-i]

답

16

(1) [eqn: x=+-3]
(2) [eqn: x= +- sqrt { 5}i]
(3) [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-4]
(4) [eqn: x=2] 또는 [eqn: x= 3 over 2]

답

17

(1) [eqn: 4,~10,~2},~10,~2,~ sqrt {10}]
(2) [eqn: 9 over 4 ,~ - 3 over 4 ,~ 3 over 2 ,~- 3 over 4 ,~ 3over 2 ,~ sqrt { 3} over2 i]

답

18

(1) [eqn: x= {-5+- sqrt { 13}} over 6]
(2) [eqn: x= { 3+- sqrt { 15}i } over 3]

답

19

(1) [eqn: x=-1+- sqrt { 2}]
(2) [eqn: x= { 2+- sqrt { 2}i } over 3]

답

20

(1) [eqn: x= +- i over 2]	(2) [eqn: x=-4,~5]
(3) [eqn: x= 3 over 4 ,~1]	(4) [eqn: x= 2 over3]

답

21

[eqn: 16,~16,~4,~-9,~ 4,~3i]

답

22

(1) [eqn: x= {-1+- sqrt { 3}i } over 2]	(2) [eqn: x= 3+- sqrt { 5}i]
(3) [eqn: x= { -3 +- sqrt { 29} } over 10]	(4) [eqn: x= { 1+- sqrt { 10}} over 3]

답

23

③

답

해

설

근의 공식에 의하면 두 근은

[eqn: x= {- a +- sqrt { a^2 - 4b } }]

[eqn: a=-1]이면 두 근은

[eqn: x= {1+- sqrt { 1-4b }} over 2]

[eqn: b]가 정수이므로

[eqn: 1-4b= CDOTS ,~-3,~-7},~-11,~-15,~ CDOTS]

따라서 근이 될 수 있는 것은 [eqn: {1+ sqrt { 7}i } over 2]뿐이다.

24

②

답

해

설

[eqn: x^2 -x +1=0]의 근은 [eqn: x= { 1 +- sqrt { 3}i } over 2]이므로

[eqn: omega= { 1+- sqrt { 3} i } over 2]

[eqn: omega]는 [eqn: x^2 -x +1=0]의 근이므로

[eqn: omega ^{2} - omega +1=0]

① [eqn: bar{ omega}= { 1-+ sqrt { 3}i } over 2]

② [eqn: omega ^2 = omega -1 = {-1 +- sqrt { 3}i } over2]

③ [eqn: 1 over omega = { 1-+ sqrt { 3} i} over 2]
④ [eqn: 1- omega = { 1-+ sqrt { 3}i } over 2 `]

⑤ [eqn: 1 + omega ^2 = omega = { 1 +- sqrt { 3}i } over2]

[eqn: x^2 +x+1=0]의 근은 [eqn: {-1+- sqrt { 3 }i} over 2]이므로 [eqn: omega ^{2]이다.

25

②

답

해

설

실계수 방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: alpha]이므로 다른 한 근은 [eqn: baralpha]이다.

[eqn: alpha + baralpha = -a,~alpha baralpha =b]

실계수 방정식 [eqn: x^2 -bx +a=0]의 한 근이 [eqn: alpha +1]이므로 다른 한 근은 [eqn: bar alpha +1]이다.

[eqn: (alpha +1)+( bar alpha +1) =b,~ (alpha +1)(baralpha +1)=a]

[eqn: (alpha +1) +(baralpha +1)=b]에서  [eqn: -a+2=b]	㉠

[eqn: (alpha+ 1)(baralpha +1)=a]에서  [eqn: b-a+1=a]	㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: a=1,~b=1]

[eqn: a+b=2]

26

①

답

해

설

[eqn: a:b=x:1]이므로  [eqn: a=bx]

이것을 [eqn: b overa = a over a+b]에 대입하면  [eqn: b over bx + bx over bx+b]

[eqn: 1 over x = x over x+1]

[eqn: x^2 -x-1=0]

27

(1) [eqn: x=2,~-2]
(2) [eqn: x=3]

답

28

(1) [eqn: x= {-3 +- sqrt { 5}} over2]
(2) [eqn: x=2+-2 sqrt { 3}i]

답

29

(1) [eqn: x= {-5+- sqrt { 13}]
(2) [eqn: x=4+-2 sqrt { 3}i]

답

30

(1) [eqn: x = {3+- sqrt { 23}i } over 4]
(2) [eqn: x= sqrt { 2 },~ sqrt { 2}-1]

답

31

[eqn: (1+ sqrt { 7})rmcm]

답

해

설

[eqn: (x-3)(x+1)=0,~x^2 -2x -6=0]에서

[eqn: x=1+- sqrt { 1^2 -1 times (-6)}=1+- sqrt { 7}]

그런데 [eqn: x>0]이므로  [eqn: x=1+ sqrt { 7 }(rmcm)]

32

[eqn: (2+ sqrt { 7})rmcm]

답

해

설

처음 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x]라고 하면

[eqn: (x+1)(x+3)=2x^2]

[eqn: therefore][eqn: x=2+ sqrt { 7}] [eqn: (rmcm)]

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		1. 복소수와 이차방정식			정답
	03 판별식

01

(1) 서로 다른 두 실근
(2) 중근
(3)서로 다른 두 허근

답

해

설

(1) 이차방정식 [eqn: x^2 +3x +2=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: D=3^2 -4 cdot1cdot2=1>0]이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

(2) 이차방정식 [eqn: x^2 -6x +9=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: D=(-6)^2 -4 cdot 1 cdot 9=0]이므로 중근을 갖는다.

(3) 이차방정식 [eqn: 2x^2 -2x +1 =0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: D=(-2) ^{2} -4 CDOT 2 CDOT 1=-4<0]이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.

02

②

답

해

설

이차방정식 [eqn: x^2 +2x +a=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: D over 4 =1-a <0]이므로  [eqn: a>1]

따라서 가장 작은 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 2]이다.

03

④

답

해

설

[eqn: (i)] ㉠의 판별식을 [eqn: D_1]이라고 하면
[eqn: D_1 over 4 = (-1) ^2 -1 cdot (k-1) <0]에서  [eqn: k>2]

[eqn: (ii)] ㉡의 판별식을 [eqn: D _{2}]이라고 하면
[eqn: {D _{2}} over {4} =k ^{2} -1 CDOT 9<0]에서  [eqn: -3<k<3]

[eqn: (i),~(ii)]에서  [eqn: 2<k<3]

따라서 [eqn: alpha=2,~beta=3]이므로  [eqn: beta -alpha=1]

04

④

답

해

설

이차방정식 [eqn: x^2 -4x +k =0]의 판별식을 [eqn: D_1]이라고 하면 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서

[eqn: D_1 over 4 =4-k >0,~k<4]	㉠

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +x-2k=0]의 판별식을 [eqn: D _{2}]라고 하면 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서

[eqn: {D _{2}}} =1+16k >0,~k> - 1 over 16]	㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: - 1 over 16 < k <4]이므로 [eqn: k=0,~1,~2,~3]이다.

따라서 모든 [eqn: k]의 값의 합은  [eqn: 0+1+2+3=6]

05

⑤

답

해

설

이차방정식 [eqn: x^2 -4x +a=0]이 허근을 가지므로 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: D over 4 = (-2)^2 -a<0]이므로 [eqn: a>4]

[eqn: sqrt {(a-5) ^{2}} =|`a-5`|]이므로

[eqn: sqrt {(a-5) ^{2}} +|`a`|=15]에서  [eqn: |`a-5`|+|`a`|=15]

[eqn: (i)] [eqn: a GE 5]일 때, [eqn: |`a-5`|+|`a`|=15]에서
[eqn: (a-5)+a=15,~a=10]

[eqn: (ii)] [eqn: 4<a<5]일 때, [eqn: |`a-5`|+|`a`|=15]에서
[eqn: -(a-5)+a=10]이므로 해가 없다.

[eqn: (i),~(ii)]에서  [eqn: a=10]

06

②

답

해

설

[eqn: x]에 대한 내림차순으로 정리하면
[eqn: 2x ^{2}+xy-y^2 +3y -k =0]이므로

[eqn: x&= {-y +- sqrt { y^2 - 4cdot 2 cdot(-y^2 +3y -k)}}over 4# &={-y +- sqrt { 9y^2 -24y+8k} }over 4]

두 일차식의 곱으로 인수분해되려면 근호 안에 있는 [eqn: y]의 이차식이 완전제곱식이 되어야 하므로 이차방정식 [eqn: 9y^2 -24y +8k =0]의 판별식이 [eqn: D=0]을 만족시켜야 한다.

[eqn: D over 4 = (-12 )^2 - 9 times 8k =0,~k=2]

07

(1) 서로 다른 두 실근
(2) 서로 다른 두 허근

답

08

(1) [eqn: box{~~}`=` 25 over 4 ,~중근:~ - 5 over 2]
(2) [eqn: BOX{~~} `=` {9} over {8},~중근:~ 3 over 4]

답

09

(1) 서로 다른 두 허근
(2) 서로 다른 두 실근
(3) 중근
(4) 서로 다른 두 실근

답

10

(1) [eqn: k< - 11 over 4]	(2) [eqn: k le 1 over 8]

답

11

(1) [eqn: k > 5 over 4]	(2) [eqn: -4 <k< 4]

답

12

[eqn: p=6]일 때,  [eqn: x=-3]
[eqn: p=-2]일 때, [eqn: x=1]

답

13

(1) 서로 다른 두 실근
(2) 서로 다른 두 실근
(3) 중근
(4) 서로 다른 두 허근

답

14

[eqn: k le 17 over 8]

답

15

[eqn: k= - 3 over 2 ,~ x= - 3 over 2]

답

16

해설 참조

답

해

설

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+ a-1=0]의 판별식은

[eqn: D= a^2 -4(a-1)=(a-2) ^2 ge 0]

따라서 주어진 이차방정식은 실근을 갖는다.

17

[eqn: k=-2] 또는 [eqn: k=10]

답

해

설

주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 [eqn: x^2 +kx +2k+5=0]이 중근을 가져야 하므로

[eqn: D= k^2 -4(2k+5) =0]

[eqn: k^2 -8x-20=0},~(k+2)(k-10)=0]

[eqn: k=-2] 또는 [eqn: k=10]

18

해설 참조

답

해

설

판별식 [eqn: D=b ^{2} -4ac]에서 [eqn: ac<0]이고 [eqn: b^2 ge 0]이므로

[eqn: D= b^2 -4ac >0]

따라서 주어진 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

19

[eqn: k=2,~10]

답

해

설

[eqn: x^2 +(k-4)x+k-1]이 완전제곱식이 되려면, 이차방정식 [eqn: x^2 +(k-4)x+k-`1=0]이 중근을 가져야 하므로

[eqn: D= (k-4) ^2 -4(k-1) =0]

[eqn: k^2 - 12k +20=0,~(k-2)(k-10)=0]

[eqn: k=2] 또는 [eqn: k=10]

20

[eqn: p=2]

답

해

설

실근을 [eqn: alpha]라고 하면

[eqn: alpha ^2 +3(1+i) alpha +(p+3i)=0]

[eqn: (alpha ^2 +3alpha +p) +(3alpha +3) i =0]

[eqn: alpha,~p]가 실수이므로

[eqn: alpha ^2 +3 alpha +p=0]	㉠

[eqn: 3 alpha +3=0]	㉡

㉡에서 [eqn: alpha =-1]이므로 이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: 1-3+p=0,~p=2]

21

[eqn: m=-3,~x=2]

답

해

설

실근을 [eqn: alpha]라고 하면

[eqn: alpha ^2 +(2m+3i) alpha + (8-6i)=0]

[eqn: (alpha ^2 +2m alpha +8)+(3alpha -6) i=0]

[eqn: alpha ,~m]이 실수이므로

[eqn: alpha^2 + 2m alpha +8=0]	㉠

[eqn: 3 alpha -6=0]	㉡

㉡에서  [eqn: alpha=2]

[eqn: alpha=2]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 4+4m+8=0},~m=-3]

따라서 [eqn: m=-3]이고 실근은 [eqn: x=2]이다.

22

(1) [eqn: m ge 2]	(2) [eqn: m>2]
(3) [eqn: m=2]	(4) [eqn: m<2]

답

23

서로 다른 두 허근

답

해

설

[eqn: x^2 + 4x -k=0]이 중근을 가지므로

[eqn: {D} over {4} =2 ^{2} -1 CDOT (-k)=0,~k=-4]

[eqn: k=-4]를 [eqn: (1-2k) x^2 - kx +1=0]에 대입하면

[eqn: 9x^2 + 4x +1=0]

[eqn: therefore D over 4 = 2 ^2 - 9 cdot1 =-5 <0]

따라서 [eqn: (1-2k) ^2 x- kx +1=0]은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

24

서로 다른 두 실근

답

해

설

[eqn: (x-a)(x-b)=c]에서

[eqn: x^2 - (a+b) x +ab-c=0]

이므로 판별식은

[eqn: D= (a+b)^2 - 4(ab-c) = (a-b) ^2 +4c]

[eqn: (a-b) ^2 ge 0]이고, [eqn: c>0]이므로  [eqn: D>0]

따라서 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

25

실근

답

해

설

[eqn: ax^2 +bx +c =0]에서  [eqn: D= b^2 - 4ac]

[eqn: b=a+c]를 대입하면

[eqn: D=(a+c)` ^{2} `-4ac=(a-c) ^2 ge 0]

따라서 주어진 이차방정식은 실근을 갖는다.

26

[eqn: a=1,~x=1] 또는 [eqn: a=9,~x=-3]

답

27

[eqn: b+c= 2a]

답

해

설

[eqn: (a-b)x^2 +(b-c)x +(c-a)=0] ([eqn: a not = b])이 중근을 가지려면 [eqn: D=0]이어야 하므로

[eqn: D= (b-c) ^2 -4(a-b) (c-a) =0]

[eqn: b^2 - 2bc +c^2 -4(ac-a^2 -bc +ab)=0]

[eqn: b^2 -2bc +c^2 -4ac +4a^2 +4bc -4ab=0]

[eqn: b^2 +2ab +c^2 -4ac +4a^2 -4ab =0]

[eqn: (b +c) ^2 -4a(b+c) +4a^2 =0]

[eqn: (b+c-2a) ^2 =0,~b+c-2a=0]

[eqn: therefore b+c=2a]

28

[eqn: a=2,~6]

답

해

설

[eqn: x^2 +a x +2a-3]이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 [eqn: x^2 +a x +2a-3=0]이 중근을 가져야 하므로

[eqn: D= a^2 -4(2a-3)=0]

[eqn: a^2 - 8a +12=0,~(a-2)(a-6)=0]

[eqn: therefore a=2] 또는 [eqn: a=6]

29

[eqn: p= -3,~x=-3]

답

해

설

실근을 [eqn: alpha]라고 하면

[eqn: alpha ^2 +2(1+i) alpha +p + 6i =0]

[eqn: (alpha ^2 +2 alpha +p)+(2alpha +6) i=0]

[eqn: alpha,~p]가 실수이므로

[eqn: alpha^2 + 2 alpha +p=0]	㉠

[eqn: 2alpha +6=0]	㉡

㉡에서  [eqn: alpha =-3]

[eqn: alpha =-3]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 9-6+p=0,~p=-3]

따라서 [eqn: p=-3]이고 실근은 [eqn: x=-3]

30

①

답

해

설

주어진 방정식이 중근을 가지려면

[eqn: D over 4 = (a+b+c) ^2 -3(ab+bc+ca)=0]

[eqn: a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca=0]

[eqn: 1 over 2 left{ (a-b) ^2 +(b-c) ^2 +(c-a) ^2 right} =0]

[eqn: a,~b,~c]는 실수이므로  [eqn: a=b=c]

31

[eqn: 0,~4]

답

32

서로 다른 두 허근을 갖는다.

답

해

설

[eqn: x^2 + 2ax +2b=0]이 중근을 가지므로

[eqn: D over 4 = a^2 -2b=0~~~therefore a^2 =2b]

[eqn: x^2 -2ax+b^2 +2=0]에서

[eqn: {D} over {4} =a ^{2} -(b ^{2} +2) & =a ^{2} -b ^{2} -2# & =-b ^{2`}+2b-2#&=-(b-1) ^2 -1<0]

따라서 주어진 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

33

서로 다른 두 실근을 갖는다.

답

해

설

[eqn: D=(-a) ^{2} -4(a-3) & =a ^{2} -4a+12# & =(a-2) ^{2} +8>0]

따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다.

34

[eqn: 3]개

답

해

설

두 부등식 [eqn: D over 4 =4+ 6k <0,~D= 25+ 8k ge 0]을 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: - 25 over 8 le k < - 2 over3]

[eqn: therefore][eqn: 3]개

35

[eqn: -1,~ 1 over 3]

답

해

설

[eqn: 3x^2 -6ax-4a-1=0]에서

[eqn: D over 4 =(-3a) ^2 -3 times (-4a-1)=0]

[eqn: therefore][eqn: a=-1,~ 1 over 3]

36

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: x^2 +2(y-1)x +y^2 +ky-3 =0]에서

[eqn: x=-(y-1)+- sqrt { -(2+k)y+4}]

두 일차식으로 인수분해되려면 [eqn: -(2+k)y +4]가 완전제곱식이 되어야 하므로

[eqn: D=(2+k) ^2 - 4 cdot 0 cdot 4=0]

[eqn: 2+k=0~~~therefore k=-2]

37

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: D over 4 =(2-m)^2 -m=0]에서  [eqn: m=1,~4]

따라서 구하는 [eqn: m]의 값의 합은  [eqn: 1+4=5]

38

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: x^2 -2(2y-1) x+ 5y^2 -8y+5=0]에서

[eqn: D over 4 =(2y-1) ^2 -5y^2 + 8y -5 ge0]

[eqn: therefore y=2]

[eqn: thereforex+y=5]

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		1. 복소수와 이차방정식			정답
	04 근과 계수의 관계

01

②

답

해

설

[eqn: alpha +beta =1,~alpha beta =2]이므로

[eqn: {1} over {alpha ^{2}} + {1} over {beta ^{2}} = {alpha ^{2} + beta ^{2}} over {alpha ^{2} beta ^{2}} & = {( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta } over {( alpha beta ) ^{2}}# & = {1 ^{2} -2 CDOT 2} over {2 ^{2}}# & =- {3} over {4}]

02

⑤

답

해

설

[eqn: alpha + beta =2,~ alpha beta =2]이므로

[eqn: left(alpha^2 - 1 over beta right)+left(~ beta^2 - 1 over alpharight) &= alpha ^2 +beta ^2 - left( 1 over alpha + 1 over beta right) #&=(alpha +beta)^2 -2 alpha beta - alpha+beta over alphabeta #&= 2^2 - 2 times 2 - 2 over 2 #&= -1][eqn: LEFT ( alpha ^{2} - {1} over {beta } RIGHT ) LEFT ( ` beta ^{2} - {1} over {alpha } RIGHT ) & = alpha ^{2} beta ^{2} -( alpha + beta )+ 1 over{ alpha beta}# & =2 ^{2} -2+ 1 over 2 = {5} over {2}]

이므로 구하는 이차방정식은  [eqn: x^2 -(-1)x + 5 over 2 =0]

즉, [eqn: 2x^2 +2x +5 =0]이므로  [eqn: a=2,~b=5]

따라서  [eqn: a+b=7]

03

④

답

해

설

[eqn: x^2 +x -n = (x-alpha )(x - beta)] ([eqn: alpha,~beta]는 정수)라고 하면 [eqn: alpha,~beta]는 [eqn: x^2 +x -n =0]의 두 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta =-1,~alphabeta =-n]

[eqn: alpha +beta =-1]에서  [eqn: beta =-1 -alpha]

[eqn: alpha beta = alpha (-1 - alpha ) = - alpha ^2 - alpha =-n]이므로

[eqn: n= alpha^2 +alpha = alpha (alpha +1)]

[eqn: n= 1 times 2 = 2] 또는 [eqn: n= 2 times 3 =6] 또는 [eqn: n=3 TIMES 4=12]

따라서 모든 정수 [eqn: n]의 값의 합은  [eqn: 2+6+`12=20]

04

③

답

해

설

주어진 이차방정식의 판별식을 [eqn: D], 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면 [eqn: D over 4 = (sqrt { k})^2 -2 (k-1) GE 0]에서  [eqn: k LE 2]

[eqn: alpha +beta = - sqrt { k} <0]에서  [eqn: k>0]

[eqn: alpha beta = k-1 over 2 >0]에서  [eqn: k>1]

따라서  [eqn: 1 <k LE 2]

[eqn: p =1 ,~q=2]이므로  [eqn: p+q =1+2=3]

05

⑤

답

해

설

이차방정식의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면 두 근이 서로 다른 부호의 근이기 위해서는 [eqn: alpha beta <0]이다.

[eqn: alpha beta = k-1 over 2 <0]에서 [eqn: k<1]이므로 [eqn: k]의 값이 될 수 없는 것은 [eqn: 1]이다.

06

①

답

해

설

[eqn: 1+i]가 이차방정식의 한 근이므로 켤레복소수인 [eqn: 1-i]도 근이 된다.

따라서
[eqn: a=(1+i)+(1-i)=2,~b=(1+i)(1-i)=2]이므로  [eqn: a-b =0]

07

①

답

해

설

이차방정식 [eqn: 2x^2 -kx +2k -1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면

[eqn: ㄱ.] 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha + beta = - -k over 2 =4]이므로  [eqn: k=8]

[eqn: ㄴ.] [eqn: k=8]이므로 이차방정식은 [eqn: 2x^2 -8x +15= 0]에서  [eqn: alpha beta = 15 over 2]

[eqn: ㄷ.] 주어진 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라고 하면
[eqn: D over 4 = (-4) ^2 - 2 times 15 = -14 < 0]이므로 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

따라서 옳은 것은 [eqn: ㄱ]뿐이다.

08

[eqn: x = 1 over 2] 또는 [eqn: x= 1 over 3]

답

해

설

이차방정식 [eqn: ax^2 +bx +c=0]의 두 근이 [eqn: 2,~3]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: 2+3 = - b over a ,~2 times 3 = c over a]

[eqn: b=-5a,~c=6a]

[eqn: cx^2 +bx +a =0]에서  [eqn: 6ax^2 -5ax +a =0]

[eqn: 6x^2 -5x +1 =0,~(2x-1)(3x-1)=0]

따라서  [eqn: x= 1 over 2] 또는 [eqn: x= 1 over 3]

09

②

답

해

설

주어진 이차방정식의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면

[eqn: alpha +beta =0,~alpha beta <0]

[eqn: alpha +beta = - ( 2k^2 -k -3 ) =0]에서  [eqn: (k+1)(2k-3)=0]

[eqn: k=-1] 또는 [eqn: k= 3 over 2]

[eqn: alpha beta = k-1 <0]에서  [eqn: k<1]

따라서  [eqn: k=-1]

10

⑤

답

해

설

[eqn: x={ b+- sqrt { b^2 -ac} } over 2a]를 이용하여 구한 근이 [eqn: -1,~2]이므로  [eqn: {b+ sqrt { b^2 -ac}} over 2a + {b - sqrt { b^2 -ac }} over 2a = 2b over 2a = b over a]

[eqn: -1+2=1]에서  [eqn: b=a]	㉠

[eqn: { b + sqrt { b^2 -ac }} over 2a times { b- sqrt { b^2 - ac }} over 2a = { b^2 -(b^2 -ac) } over 4a^2 = c over 4a]

[eqn: -1 times 2 = -2]에서  [eqn: c over 4a =-2]

[eqn: c=-8a]	㉡

㉠, ㉡을 [eqn: ax^2 +bx +c= 0]에 대입하면 [eqn: a not=0]이므로

[eqn: ax^2 +ax -8a =0,~x^2 +x -8 =0]

이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha,~beta`]이므로 근과 계수의 관계에 의하여  [eqn: alpha +beta =-1,~alpha beta =-8]

따라서  [eqn: alpha ^2 +beta ^2 &= (alpha +beta)^2 - 2 alpha beta #&=(-1)^2 -2 times (-8) #&=17]

11

⑤

답

해

설

두 근을 [eqn: 2alpha ,~3 alpha~(alpha not = 0)]로 놓으면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: cases {`2alpha + 3 alpha =k-1 ##`2 alpha times 3 beta =6]	㉠

㉡

㉡에서  [eqn: 6 alpha ^2 = 6,~alpha = +-1]

㉠에서  [eqn: k=5 alpha +1]이므로

[eqn: alpha =1]일 때, [eqn: k=6,~ alpha =-1]일 때 [eqn: k=-4]

따라서 모든 [eqn: k]의 값의 합은  [eqn: 6 +(-4)=2]

12

④

답

해

설

이차방정식 [eqn: 2x^2 -x +a+1=0]의 두 실근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면 [eqn: alpha beta = a+1 over 2 <0]에서  [eqn: a< -1]

이차방정식 [eqn: x^2 +2x -a+4=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D over 4 = 1^2 - 1 times (-a +4) =a-3]

[eqn: a< -1]이므로 [eqn: a-3< -4], 즉 [eqn: D over 4 <0]

따라서 이차방정식 [eqn: x^2 +2x -a+4 =0]은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

13

②

답

해

설

이차방정식 [eqn: x^2 +ax +b=0]의 한 근이 [eqn: 1-i]이면 다른 한 근은 [eqn: 1+i]이므로

[eqn: (1-i)+(1+i)=-a,~a=-2]

[eqn: (1-i)(1+i)=b,~b=2]

[eqn: x^2 +bx +a =0]에서  [eqn: x^2 +2x -2 =0]

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 [eqn: -2]이다.

14

[eqn: 5]

답

해

설

란이는 일차항의 계수 [eqn: a`]를 잘못 보고 풀었으므로 두 근 [eqn: 4,~ 1 over 2]은 [eqn: x^2 +a prime x -b =0~(a not = a prime)]의 근이다.

[eqn: -b = 4 times 1 over 2 ,~ b= -2]	(가)

찬이는 상수항 [eqn: -b]를 잘못 보고 풀었으므로 두 근 [eqn: 1,~2]는 [eqn: x^2 +ax -b prime =0~(b not = b prime )]의 근이다.

[eqn: -a=1+2=3,```a=-3]	(나)

이차방정식은 [eqn: x^2 -3x +2=0]이므로

[eqn: alpha +beta =3,~ alpha beta =2]	(다)

따라서

[eqn: alpha ^2 + beta ^2 =(alpha + beta)^2 - 2 alpha beta = 3^2 - 2 times 2 =5]	(라)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 상수항 [eqn: b]의 값을 구한다.	30 %
(나) 일차항의 계수 [eqn: a]의 값을 구한다.	30 %
(다) [eqn: alpha + beta ,~ alpha beta`]의 값을 구한다.	20 %
(라) [eqn: alpha ^2 + beta ^2]의 값을 구한다.	20 %

15

①

답

해

설

주어진 방정식의 양변에 [eqn: 1+i]를 곱하면

[eqn: (1+i)(1-i) x^2 +(1+i)(1+3i)x - 2 (1+i)^2 =0]

[eqn: 2x^2 + (4i -2)x-2 cdot 2 i = 0]

[eqn: x^2 +(2i-1)x -2i = 0,~ (x+2i )(x-1)=0]

[eqn: x=-2i] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: alpha^ 2 + beta ^2 = (-2i ) ^2 + 1^ 2 = -4 + 1=-3]

16

②

답

해

설

두 실근의 절댓값이 같고, 부호가 반대이므로

(두 근의 합)[eqn: =0], (두 근의 곱)[eqn: <0]

이차방정식 [eqn: x^2 +(a-2)x+a-3 =0]에서

(두 근의 합)[eqn: = -(a-2)=0,````a=2]	㉠

(두 근의 곱)[eqn: =a-3 <0,~a<3]	㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: a]의 값은 [eqn: a=2]

17

합: [eqn: -4], 곱: [eqn: 3]
합: [eqn: 3 over 2], 곱: [eqn: -5]

답

18

(1) [eqn: x^2 +3x -10=0]
(2) [eqn: x^2 -2x +2=0]

답

19

(1) [eqn: (x-1- sqrt { 5 })(x-1+ sqrt { 5})]
(2) [eqn: left( x- {1+ sqrt { 3}i } over 2 right)left( x- {1- sqrt { 3}i } over2 right)]

답

20

(1) [eqn: -1]	(2) [eqn: 3 over 5]

답

21

(1) [eqn: x^2 - 2x -1=0]
(2) [eqn: x^2 +x+1=0]

답

22

(1) [eqn: x^2 - 3 over 2 x + 5 over 2 =0]
(2) [eqn: x^2 + 3 over 5 x + 2 over 5 =0]

답

23

(1) [eqn: (x-3- sqrt { 5})(x-3+ sqrt { 5})]
(2) [eqn: (x+1- sqrt { 3}i)(x+1+ sqrt { 3}i)]

답

24

(1) [eqn: -1]	(2) [eqn: 2]
(3) [eqn: -3]	(4) [eqn: -1]

답

25

(1) [eqn: x^2 -4x +1=0]
(2) [eqn: x^2 -2x +3=0]

답

26

(1) [eqn: x^2 +2x-4=0]
(2) [eqn: x ^{2} + {1} over {2} x- {1} over {4} =0]

답

27

(1) [eqn: -6]	(2) [eqn: 9]

답

28

(1) [eqn: 8]	(2) [eqn: 1]

답

해

설

[eqn: alpha ,~ beta]가 [eqn: x^2 +x +2=0]의 근이므로
[eqn: alpha ^2 + alpha +2=0,~beta^2 + beta +2=0]

근과 계수의 관계에 의하여  [eqn: alpha +beta =-1,~alpha beta=2]

(1) [eqn: (alpha^2 -alpha +2)(beta^2 - beta +2 )#=(alpha^2 +alpha +2-2 alpha )(beta^2 +beta+2-2beta) #=(-2alpha)(-2beta)=4 alpha beta =8]

(2) [eqn: alpha ^2 =-alpha -2,~beta^2 =-beta -2]이므로

[eqn: (alpha ^2 - beta +2 )( beta ^2 -alpha +2) #= (-alpha -2-beta+2)(- beta -2-alpha+2) #=(alpha +beta) ^2 = 1]

29

(1) [eqn: 3 over 2]	(2) [eqn: 12]

답

30

(1) [eqn: 28]	(2) [eqn: - 11 over 5]

답

해

설

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta=1,~alpha beta=-5]

[eqn: alpha,~beta]가 [eqn: x^2 -x -5=0]의 근이므로

[eqn: alpha ^2 - alpha -5=0,~beta ^2 - beta -5=0]

(1) [eqn: alpha ^2 = alpha +5,~beta^2 = beta+5]이므로

[eqn: alpha ^2 +alpha +1=2alpha +6,~beta ^2 + beta +1=2 beta + 6]

[eqn: (alpha ^2 + alpha +1)(beta ^2 +beta +1)=2beta +6]

[eqn: (alpha ^2 +alpha +1)(beta^2 +beta+1)#= (2alpha +6)(2 beta+ 6) #=4 alpha beta +12 (alpha +beta )+36 #=-20+12+36= 28]

(2) [eqn: {beta } over {alpha } + {alpha } over {beta } = {beta ^{2} + alpha ^{2}} over {alpha beta } & = {( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta } over {alpha beta }# & = {1+10} over {-5} =- {11} over {5}]

31

(1) [eqn: x ^{2}+ 6x+25=0]
(2) [eqn: x^2 + 6over 5 x +1=0]

답

32

(1) [eqn: alpha =2+i,~beta = 2-i] 또는
[eqn: alpha= 2- i,~beta=2+i]
(2) [eqn: alpha = - 3 + sqrt { 14} ,~beta = -3 - sqrt { 14}] 또는
[eqn: alpha =-3- sqrt { 14 },~beta =-3 + sqrt { 14}]

답

해

설

(1) [eqn: alpha ,~beta]를 두 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은  [eqn: x^2 - 4x +5=0,~x=2+-i]

[eqn: alpha =2+i,~beta = 2-i] 또는  [eqn: alpha= 2- i,~beta=2+i]

(2) [eqn: alpha ,~beta]를 두 근으로 하고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은  [eqn: x ^{2} +6x-5=0,~x=-3± sqrt {14}]

[eqn: alpha = - 3 + sqrt { 14} ,~beta = -3 - sqrt { 14}] 또는
[eqn: alpha =-3- sqrt { 14 },~beta =-3 + sqrt { 14}]

33

(1) [eqn: x ^{2} - 5 over 2 x - 1 over 2 =0]
(2) [eqn: x^2 + 5x -2=0]

답

해

설

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta = 1 over 2 ,~alpha beta =- 4 over 2 =-2]

(1) [eqn: (합) & =( alpha +1)+( beta +1)# & =( alpha + beta )+2= {1} over {2} +2= {5} over {2}]

[eqn: (곱)=( alpha +1)( beta +1) & = alpha beta +( alpha + beta )+1# & =-2+ {1} over {2} +1=- {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE `x ^{2} - {5} over {2} x- {1} over {2} =0]

(2) [eqn: (합) & = {1} over {alpha +1} + {1} over {beta +1} = {( beta +1)+( alpha +1)} over {( alpha +1)( beta +1)} #&= { (alpha + beta) +2 } over{ alphabeta+(alpha+beta)+1} = { 1 over 2 +1 } over {-2 + 1 over 2 +1 } #&= -5]

[eqn: (곱) & = {1} over {alpha +1} CDOT {1} over {beta +1} = {1} over {( alpha +1)( beta +1)} #&= 1 over{ alpha beta+(alpha +beta) +1 }= 1 over { -2 + 1 over 2 +1 } #&= -2]

[eqn: THEREFORE `x ^{2} + {5} x- {2} =0]

34

[eqn: {-1 + sqrt { 11}i} over 2 ,~{-1- sqrt { 11}i } over 2]

답

해

설

구하는 두 수를 [eqn: alpha,~beta]라고 하면

[eqn: alpha +beta=-1,~alpha beta=3]

[eqn: alpha ,~beta]를 두 근으로 하고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은 [eqn: x^2 +x +3=0]

[eqn: x= {-1 +- sqrt { 11 }i } over 2]

따라서 구하는 두 수는  [eqn: {-1 + sqrt { 11}i} over 2 ,~{-1- sqrt { 11}i } over 2]

35

(1) [eqn: 6,~ 1 over 6]	(2) [eqn: 6,~0]

답

해

설

(1) 두 근을 [eqn: 2alpha ,~3 alpha]로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (합)=2 alpha +3 beta =m-1]	㉠

[eqn: (곱)=2 alpha CDOT 3 alpha =m]	㉡

㉠에서  [eqn: m= 5 alpha +1]

이것을 ㉡에 대입하여 정리하면  [eqn: 6alpha ^2 - 5 alpha -1=0]

[eqn: (alpha -1)(6alpha +1)=0,~alpha =1] 또는 [eqn: alpha = - 1 over 6]

(i) [eqn: alpha =1]일 때,  [eqn: m=6]

(ii) [eqn: alpha = - 1over 6]일 때,  [eqn: m= 1 over 6]

(2) 두 근을 [eqn: alpha,~ alpha +1]로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (합)=alpha+(alpha+1) = m-1]	㉠

[eqn: (곱)=alpha(alpha+1)=m]	㉡

㉠에서  [eqn: m= 2alpha +2]

이것을 ㉡에 대입하여 정리하면  [eqn: alpha ^2 -alpha -2=0]

[eqn: (alpha -2)(alpha+1)=0,~alpha =2] 또는 [eqn: alpha =-1]

(i) [eqn: alpha =2]일 때,  [eqn: m=6]

(ii) [eqn: alpha =-1]일 때,  [eqn: m=0]

36

[eqn: a=-6,~b=10]

답

해

설

[eqn: x= 3+i]를 주어진 이차방정식 [eqn: x^2 + ax +b=0]에 대입하면

[eqn: (3+i) ^2 +a(3+i) +b=0]

[eqn: (8+3a+b)+(6+a) i=0]

[eqn: a,~b]는 실수이므로

[eqn: 8+3a+b=0},~6+a=0]

[eqn: thereforea=-6,~b=10]

37

[eqn: - 3 over 2 ,~6]

답

해

설

두 근을 [eqn: alpha ,~2alpha]로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (합)=alpha+2alpha =m]	㉠

[eqn: (곱) =alpha cdot 2alpha = m+2]	㉡

㉠에서  [eqn: m=3alpha]

이것을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: 2 alpha ^2 -3alpha -2=0]

[eqn: (2alpha+1)(alpha -2) =0]

[eqn: alpha = - 1over 2] 또는 [eqn: a=2]

(i) [eqn: a= - 1 over 2]일 때,  [eqn: m= - 3 over 2]

(ii) [eqn: a= 2]일 때,  [eqn: m=6]

38

[eqn: a=-2,~b=-2]

답

해

설

[eqn: x=1+ sqrt { 3}]을 [eqn: x^2 +ax +b=0]에 대입하면

[eqn: (1+ sqrt { 3 }) ^2 +a(1+ sqrt { 3 })+b=0]

[eqn: 4+2 sqrt { 3}+a+a sqrt { 3}+b=0]

[eqn: (4+a+b)+(2+a) sqrt { 3}=0]

[eqn: a,~b]는 유리수이므로

[eqn: 4+a+b=0,~2+a=0]

[eqn: thereforea=-2,~b=-2]

39

[eqn: (x-2y-2)(x+y-1)]

답

해

설

[eqn: x ^{2} -xy-2y ^{2} -3x+2=0]을 [eqn: x]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: x^2 -(y+3)x -2y ^2 +2=0]

근의 공식에 의하여

[eqn: x & = {y+3± sqrt {(y+3) ^{2} -4(-2y ^{2} +2)}} over {2}# & = {y+3±(3y+1)} over {2}]

[eqn: thereforex=2y+2] 또는 [eqn: x=-y+1]

[eqn: therefore][eqn: x ^{2} -xy-2y ^{2} -3x+2# = LEFT { x-(2y+2) RIGHT } LEFT { x-(-y+1) RIGHT }# =(x-2y-2)(x+y-1)]

40

[eqn: (x+y-3)(x+2y-1)]

답

해

설

주어진 식을 [eqn: x]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: x ^{2} + ( 3y-4) x+2y ^2 - 7y +3=0]

근의 공식에 의하여

[eqn: x&= { - (3y-4) +- sqrt { (3y-4) ^2 -4(2y^2 -7y +3)}} over2 #&= {-(3y-4) +- sqrt { y^2 + 4y+4 }} over 2 #&= {-(3y-4)+-(y+2) }over 2]

[eqn: therefore x=-y+3] 또는 [eqn: x=-2y+1]

[eqn: THEREFORE x^2 -xy -2y^2 -3x +2=(x+y-3)(x+2y-1)]

41

[eqn: a=-2,~b=2]

답

해

설

계수가 모두 실수이고, [eqn: 1+i]가 근이므로 [eqn: 1-i]도 근이다. 근과 계수의 관계에 의하여
(i) [eqn: (합)`=`-a=(1+i)+(1-i)~~thereforea=-2]

(ii) [eqn: (곱) = b=(1+i)(1-i)~~therefore b=2]

42

(1) [eqn: -2]	(2) [eqn: 3]

답

해

설

[eqn: z]는 이차방정식 [eqn: x^2 + 2x +3=0]의 근이다.

판별식 [eqn: D over 4 = 1 ^2 -3 =-2<0]이므로 이 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 가진다.

따라서 [eqn: z]는 허근이다.

계수가 모두 실수이고, 허수 [eqn: z]가 근이므로 [eqn: barz]도 근이다.

즉, [eqn: x^2 + 2x+3 =0]의 두 근이 [eqn: z,~barz]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

(1) [eqn: z+ barz = -2]

(2) [eqn: z barz = 3]s

43

[eqn: a=-4,~b=13]

답

해

설

계수가 모두 실수이고, [eqn: 2-3i]가 근이므로 [eqn: 2+3i]도 근이다. 근과 계수의 관계에 의하여

(i) [eqn: (합)=-a=(2-3i)+(2+3i)~~therefore a=-4]

(ii) [eqn: (곱) = b=(2-3i)(2+3i)~~therefore b=13]

44

(1) [eqn: 12]	(2) [eqn: 37]

답

해

설

[eqn: (z-5)(z-6)= z-7]에서

[eqn: z^2 -11z +30=z-7,~z^2 -12z+37=0]

[eqn: z]는 이차방정식 [eqn: x^2 -12x +37 =0]의 근이다.

판별식 [eqn: D over 4 = (-6) ^2 -37= -1<0]이므로 이 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 가진다.

따라서 [eqn: z]는 허근이다.

계수가 모두 실수이고, 허수 [eqn: z]가 근이므로 [eqn: barz]도 근이다. 근과 계수의 관계에 의하여

(1) [eqn: z + barz =12]
(2) [eqn: z barz = 37]

45

[eqn: a=-2,~b=-1]

답

해

설

계수가 모두 유리수이고, [eqn: 1+ sqrt { 2}]가 근이므로 [eqn: 1- sqrt {2}]도 근이다.

근과 계수와의 관계에 의하여

(i) [eqn: (합) = (1+ sqrt { 2 })+(1- sqrt { 2})= -a~~thereforea=-2]

(ii) [eqn: (곱)=(1+ sqrt { 2})(1- sqrt { 2})= b~~thereforeb=-1]

46

[eqn: a=-6,~b=6]

답

해

설

계수가 모두 유리수이고, [eqn: 3- sqrt { 3}]이 근이므로 [eqn: 3+ sqrt { 3}]도 근이다.

근과 계수의 관계에 의하여

(i) [eqn: (합)= -a=(3+ sqrt { 3})+(3- sqrt { 3})~~therefore a=-6]

(ii) [eqn: (곱)=b=(3+ sqrt { 3})(3- sqrt { 3})~~thereforeb=6]

47

(1) [eqn: 7 over 2]	(2) [eqn: 13 over2]
(3) [eqn: 14]	(4) [eqn: sqrt { 3}]

답

해

설

[eqn: alpha +beta =2,~alpha beta = 1 over 4]이므로

(1) [eqn: alpha^2 +beta^2 = (alpha + beta) ^2 -2 alpha beta = 4- 1 over 2 = 7 over 2]

(2) [eqn: alpha ^3 + beta ^3 &=(alpha + beta ) ^3 - 3 alpha beta(alpha +beta) #& = 4- 1 over 2 = 7 over 2]

(3) [eqn: beta over alpha + alpha over beta = { beta^2 + alpha ^2 } over alphabeta =14]

(4) [eqn: (sqrt { alpha} + sqrt { beta} ) ^2 &= alpha +beta +2 sqrt { alphabeta} #&~~ (alpha>0,~beta>0)#&=2+ 2 sqrt { 1over4} =3]

[eqn: sqrt { alpha}+ sqrt { beta}>0]이므로  [eqn: sqrt { alpha}+ sqrt { beta}= sqrt { 3}]

48

(1) [eqn: x^2 - 3x +2=0]
(2) [eqn: x^2 - 5x +8=0]
(3) [eqn: x^2 - 1 over 2 x + 1 over 2 =0]
(4) [eqn: x^2 - 3over 2 x+1=0]

답

해

설

[eqn: alpha +beta = 1,~alpha beta =2]이므로

(1) [eqn: (합) =(alpha +beta) +alpha beta =3]

[eqn: (곱)=(alpha +beta)alphabeta=2]

[eqn: thereforex^2 - 3x +2=0]

(2) [eqn: (합) =(alpha +2)+(beta+2)= (alpha +beta )+4=5]
[eqn: (곱)=( alpha +2)( beta +2) & = alpha beta +2( alpha + beta )+4# & =2+2+4=8]

[eqn: thereforex ^{2} -5x+8=0]

(3) [eqn: (합)& = left( alpha + 1 overalpharight) +left( beta + 1 over beta right) # &= (alpha+ beta)+left( 1 over alpha + 1 over beta right) #&=1+ 1 over 2 = 3 over2]

[eqn: (곱) & = LEFT ( alpha + {1} over {alpha } RIGHT ) LEFT ( beta + {1} over {beta } RIGHT )# & = alpha beta + {beta } over {alpha } + {alpha } over {beta } + {1} over {alpha beta }# & = alpha beta + {( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta } over {alpha beta } + {1} over {beta }# & =2+ LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) + {1} over {2} =1]

[eqn: THEREFORE x ^{2} - {3} over {2} x+1=0]

49

[eqn: 4]

답

해

설

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta = 5,~alpha beta =k]

[eqn: |`alpha - beta` | = sqrt { (alpha-beta) ^2 } = sqrt { (alpha+beta) ^2 - 4alpha beta}]

[eqn: 3= sqrt { 25-4k},~k=4]

50

[eqn: a=-4,~b=1,] 다른 한 근: [eqn: 2- sqrt { 3}]

답

해

설

[eqn: x= 2+ sqrt { 3} }]을 이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]에 대입하면

[eqn: (2+ sqrt { 3}) ^2 +a(2+ sqrt { 3}) +b=0]

[eqn: 7+ 4 sqrt { 3}+2a+ a sqrt { 3}+b=0]

[eqn: (7+2a+b)+(4+a) sqrt { 3}= 0]

[eqn: a,~b]는 유리수이므로

[eqn: 7+2a+b=0},~4+a=0]

[eqn: thereforea=-4,~b=1]

주어진 방정식은  [eqn: x^2 - 4x+1=0]

근의 공식에 의하여  [eqn: x= 2+- sqrt { 3}]

따라서 다른 한 근은  [eqn: 2- sqrt { 3}]

51

(1) [eqn: m=-3,~7]	(2) [eqn: m= - 21 over 10 ,~ 7]

답

해

설

(1) 두 근을 [eqn: alpha,~alpha+3]으로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (합) = alpha+ (alpha+3)=m]	㉠

[eqn: (곱)=alpha(alpha+3)=m+3]	㉡

㉠에서  [eqn: m=2alpha+3]

이것을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: alpha^2 +alpha -6 =0,~(alpha+3)(alpha-2)=0]

[eqn: alpha=-3] 또는 [eqn: alpha =2]

(i) [eqn: alpha =-3]일 때,  [eqn: m=-3]

(ii) [eqn: alpha =2]일 때,  [eqn: m=7]

(2) 두 근을 [eqn: 2alpha ,~5 alpha]로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (합)=2alpha + 5 alpha =m]	㉠

[eqn: (곱)=2alpha cdot 5 alpha = m+3]	㉡

㉠에서  [eqn: m=7 alpha]

이것을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: 10 alpha ^2 - 7alpha -3=0,~(alpha-1)(10alpha+3)=0]

[eqn: therefore alpha=1] 또는 [eqn: alpha=- 3 over 10]

(i) [eqn: alpha =1]일 때,  [eqn: m= 7]

(ii) [eqn: alpha = - 3 over 10]일 때,  [eqn: m= - 21 over 10]

52

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: a^2 + 2a +3 =0], [eqn: b^2 +2b +3=0], [eqn: a not =b]이므로

[eqn: a,~b]는 이차방정식 [eqn: x^2 + 2x +3 =0]의 두 근이다.

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: a+b=-2,~ab=3]

[eqn: a^2 +b^2 = (a+b) ^2 - 2ab = 4- 6=-2]

53

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: x^2 + ax + b =0]의 두 근이 [eqn: c,~d]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: cases{`c+d=-a~~cdotscdots㉠#`cd= b~~```~~~cdotscdots㉡]
[eqn: x^2 + cx +d=0]의 두 근이 [eqn: a,~b]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: {cases{`a+b=-c~~&CDOTS CDOTS ㉢#`ab=d~&CDOTS CDOTS ㉣ }}]

㉢, ㉣에서  [eqn: c=-(a+b)},~d=ab]를 각각 ㉠에 대입하면  [eqn: -(a+b)+ab=-a,~-b+ab=0]

[eqn: therefore b(a-1)=0]

[eqn: b not = 0]이므로  [eqn: a=1]

[eqn: ㉡times ㉣]을 하면  [eqn: abcd=bd]

[eqn: bd not = 0]이므로  [eqn: ac=1]

[eqn: therefore c=1(because a=1)]

[eqn: a=1,~c=1]이므로 ㉠에서  [eqn: d=-2]

㉢에서  [eqn: b=-2]

[eqn: therefore a+b+c+d=1-2+1-2=-2]

54

[eqn: x=-5,~3]

답

해

설

[eqn: rmA]가 일차항의 계수만을 잘못 보고 풀어서 구한 근이 [eqn: -3,~5]이므로 즉, 상수항을 옳게 보았으므로 주어진 방정식의 두 근의 곱은 [eqn: -15]이다.

한편 [eqn: rmB]가 상수항만을 잘못 보고 풀어서 구한 근이 [eqn: -1± sqrt {2}i]이므로 즉, 일차항의 계수는 옳게 보았으므로 주어진 방정식의 두 근의 합은

[eqn: (-1+ sqrt { 2}i)+(-1- sqrt { 2}i)=-2]

따라서 주어진 방정식은  [eqn: x^2 +2x-15=0]

[eqn: (x+5)(x-3)=0]

[eqn: thereforex=-5] 또는 [eqn: x=3]

55

②

답

해

설

[eqn: x over 3 =X]라고 하면  [eqn: x= 3X]

[eqn: f(X)=(3X) ^2 +3X +1=9X^2 +3X+1]

[eqn: therefore f(x)=9x^2 + 3x+1]

[eqn: f(3x)=7,~9(3x) ^2 +3(3x) +1=7]

[eqn: 81x^2 + 9x -6=0,~27x^2 +3x-2=0]

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (합) = - 3 over 27 = - 1 over 9]

56

③

답

해

설

[eqn: (alpha+1)(beta+1)=-1]에서

[eqn: alpha beta+(alpha +beta) =-2]	㉠

[eqn: (2alpha +1)(2beta+1)=1]에서

[eqn: 2alpha beta +(alpha +beta )=0]	㉡

[eqn: ㉡-㉠]을 하면  [eqn: alpha beta =2]

이것을 ㉡에 대입하면

[eqn: alpha `+ beta =-4]

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta =-a,~alpha beta=b]

이므로  [eqn: a=4,~b= 2]

[eqn: thereforea+b=6]

57

③

답

해

설

[eqn: x^2 -mx +n=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면

[eqn: alpha+beta =m,~alpha beta=n]

① [eqn: alpha,~beta]가 모두 홀수이면 [eqn: m=alpha +beta]는 짝수이고 [eqn: n= alpha beta]는 홀수이다. (거짓)

② [eqn: alpha,~beta]가 모두 짝수이면 [eqn: m= alpha +beta]는 짝수이고

[eqn: n= alpha beta]도 짝수이다. (거짓)

③ [eqn: m=alpha +beta]가 홀수이면 [eqn: alpha ,~beta] 중 하나는 홀수이고 다른 하나는 짝수이므로 [eqn: n=alpha beta]는 짝수이다. (참)

④ [eqn: alpha,~beta]가 모두 짝수이면 [eqn: n= alpha beta]는 짝수이고 [eqn: m= alpha +beta]도 짝수이다. (거짓)

⑤ [eqn: n= alpha beta]가 홀수이면 [eqn: alpha,~beta]는 모두 홀수이므로

[eqn: m=alpha +beta]는 짝수이다. (거짓)

58

[eqn: a=1,~b=1]

답

해

설

계수가 모두 실수이고, 한 허근이 [eqn: z]이므로 다른 한 허근은 [eqn: barz]이다.

[eqn: z=p+qi] ([eqn: p,~q]는 실수)로 놓으면

[eqn: z^2 = barz]

[eqn: p^2 -q^2 +2pqi =p-qi]

[eqn: therefore p^2 - q^2 =p,~2pq=-q]

[eqn: q not = 0]이므로  [eqn: p =- 1 over 2 ,~q= +- sqrt { 3 } over2]

[eqn: THEREFORE z=- {1} over {2} ± {sqrt {3}} over {2} i]

따라서 두 근은  [eqn: - 1 over 2 + sqrt { 3} over2 i ,~- 1 over2 - sqrt { 3} over2 i]

근과 계수의 관계에 의하여

(i) [eqn: (합) = -a = left( - 1 over2 + sqrt {3 } over 2 i right) + left( - 1 over 2 - sqrt { 3} over 2 i right)]

[eqn: thereforea=1]

(ii) [eqn: (곱) =b = left( - 1 over 2 + sqrt { 3} over2 i right) left( - 1 over 2 - sqrt { 3} over 2 right)]

[eqn: therefore b=1]

59

②

답

해

설

위의 그림에서와 같이 [eqn: rmbarFH]를 [eqn: rmbarCD]와 평행하게 그으면 [eqn: rm triangle FGH SIM triangle ADE]이므로

[eqn: rm barFG over barFH = bar AD overbarAE ,~barFG = { barAD cdot barFG } over barAE]

[eqn: therefore rm {barFG } ^2 = {{ barAD }^2 cdot {barFH } ^2 } over {barAE }^2]	㉠

색칠한 부분의 넓이가 [eqn: 1 over 25]이므로

[eqn: rm {barFG } ^2 = 1 over 25]	㉡

삼각형 [eqn: rmADE]는 직각삼각형이므로

[eqn: rm {barAE } ^2 = {barAD } ^2 + {barDE } ^2 = 1^2 + left( 1 - 1 over {it{n}} right) ^2]	㉢

사각형 [eqn: rmEFHC]는 평행사변형이므로

[eqn: rmbarFH = barEC = 1 over{ itn]	㉣

㉡, ㉢, ㉣을 ㉠에 대입하면

[eqn: 1 over 25 = { 1^2 cdot left( 1 over n right) ^2 } over {1^2 +left( 1- 1 overn right) ^2},~ 1 over 25 = 1 over {2n^2 -2n +1 }]

[eqn: 25= 2n^2 -2n +1,~n^2 -n-12=0]

[eqn: (n-4)(n+3)=0]

[eqn: therefore n=4``(because n>0)]

60

①

답

61

③

답

해

설

[eqn: ax^2 + bx +c=0]에서

[eqn: alpha +beta = - b over a ,~alpha beta = c over a]

[eqn: therefore 1 over alpha + 1 over beta = alpha+beta over alphabeta = - b over c]

[eqn: 1 over alpha cdot 1 over beta = 1 overalphabeta = a over c]

[eqn: x ^2 - left( 1 over alpha + 1 over beta right) x + 1 over alpha cdot 1 over beta =0]에서

[eqn: x ^2 + b over c x + a over c =0]

[eqn: therefore cx^2 +bx +a=0]

62

④

답

해

설

실계수 방정식의 한 근이 [eqn: 1+2i]이므로 다른 근은

[eqn: 1-2i]

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: (합)=a=(1+2i)+(1-2i)=2]

[eqn: (곱)=b=(1+2i)(1-2i) = 5]

[eqn: ab=10]

63

④

답

해

설

[eqn: f(x)= a (x-alpha ) (x- beta) =0~(a not = 0)]이므로

[eqn: f( 5x-7)= a(5x-7-alpha)(5x-7-beta)=0]에서

[eqn: 5x=7+alpha] 또는 [eqn: 5x = 7 +beta]

[eqn: therefore x = 7+alpha over 5] 또는 [eqn: x= 7+beta over 5]

따라서 구하는 두 근의 합은

[eqn: 14+alpha+beta over 5 = 20 over 5 =4]

64

[eqn: 2]

답

65

[eqn: x^2 -5x+6=0]

답

66

(1) [eqn: 12]     (2) [eqn: 40]     (3) [eqn: 6]

답

해

설

(1) [eqn: alpha^2 +beta^2 =(alpha + beta) ^2 -2alpha beta= 4^2 -2 cdot 2=12]
(2) [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} & =( alpha + beta ) ^{2} -3 alpha beta ( alpha + beta )# & =4^3 -3 cdot2cdot4=40]
(3) [eqn: beta over alpha + alpha overbeta = {alpha^2 + beta ^2 } over alphabeta = 12 over2 =6]

67

(1) [eqn: 4]	(2) [eqn: 7]

답

해

설

근과 계수의 관계에 의하여  [eqn: alpha +beta=2,~alpha beta= 1 over2]

(1) [eqn: 1 over alpha + 1 over beta = alpha+beta over alphabeta = 4]
(2) [eqn: (2alpha +1 )(2 beta +1) = 4alpha beta+2(alpha +beta )+1=7]

68

[eqn: 2]

답

해

설

두 근을 [eqn: m,~m+2]로 놓으면

[eqn: m+(m+2)=-2]	㉠

[eqn: m(m +2)=a^2 -2a+3]	㉡

㉠에서 [eqn: m=-a-1]을 ㉡에 대입하면

[eqn: a=2]

69

(1) [eqn: x^2 - 5 over 4 x+ 1 over 4 =0]	(2) [eqn: x^2 -3x+2=0]

답

해

설

근과 계수의 관계에 의해  [eqn: alpha +beta= 3 over 2 ,~alpha beta = 1over2]

(1) [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta = left( 3over2 right) ^2 - 2 cdot 1 over2 = 5 over4]

[eqn: alpha^2 beta^2 =(alpha beta) ^2 = left( 1 over2 right) ^2 = 1 over 4]

따라서 구하는 이차방정식은  [eqn: x^2 - 5 over 4 x+ 1 over 4 =0]
(2) [eqn: 1 over alpha + 1 over beta = alpha+beta overalphabeta = 3 over 2 DIV 1 over 2 = 3]

[eqn: 1 over alpha cdot 1 over beta = 1 over alphabeta =2]

따라서 구하는 이차방정식은  [eqn: x^2 -3x+2=0]

70

[eqn: x^2 -4x +6=0]

답

해

설

[eqn: alpha +beta=2,~alpha beta=3]이므로

[eqn: ( alpha +1)+( beta +1)=4,~( alpha +1)(beta+1)=6]

[eqn: therefore][eqn: x^2 -4x +6=0]

71

[eqn: x^2 -3x +2=0]

답

해

설

[eqn: x^2 +ax +b=0]에서  [eqn: 1+ alpha =-a,~a=b]

[eqn: x^2 +bx +a=0]에서  [eqn: -3+ beta =-b,~-3beta=a]

[eqn: therefore alpha =2,~beta=1]

따라서 구하는 이차방정식은  [eqn: x^2 -3x +2=0]

72

[eqn: - 1 over 4 le k <2]

답

해

설

이차방정식 [eqn: x^2 -3x +2-k=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 하면 판별식 [eqn: D=(-3) ^2 - 4 (2-k ) ge 0]에서  [eqn: 1+4k ge 0]

[eqn: therefore k ge - 1 over4]	㉠

[eqn: alpha +beta =3> 0,~alpha beta=2-k >0]에서  [eqn: k<2]	㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: - 1 over 4 le k <2]

73

[eqn: -6 <k le -5]

답

해

설

두 근이 모두 음수이려면

[eqn: 1-(k+6)` GEQ `0,~-2<0,~k+6 >0]

[eqn: therefore-6 <k le -5]

[eqn: -6 <k le -5]

74

[eqn: 0<m<3]

답

해

설

[eqn: alpha+beta =2(m-3)<0~~~therefore m<3]

[eqn: alpha beta=-2m<0~~~thereforem>0]

[eqn: therefore][eqn: 0<m<3]

75

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: alpha +beta =-m,~alpha beta =m]

[eqn: alpha ^2 +beta ^2 =(alpha +beta) ^2 -2alpha beta =m^2 -2m =3]

[eqn: m^2 -2m -3=0]에서  [eqn: m=3]

76

[eqn: +-2]

답

해

설

[eqn: 2alpha +3alpha =5k,~2alpha times 3alpha = k^2 +20]

두 식을 연립하여 풀면  [eqn: k=+-2]

77

[eqn: x^2 +x+2=0]

답

해

설

[eqn: alpha+beta =-1,~alpha beta=2]이므로

[eqn: (alpha ^2 +1)+(beta^2 +1)= (alpha +beta ) ^2 -2alpha beta +2=-1]

[eqn: (alpha ^2 +1)(beta^2 +1) = (alpha beta) ^2 +(alpha +beta) ^2 -2alpha beta+1=2]

따라서 구하는 이차방정식은  [eqn: x^2 +x+2=0]

78

[eqn: 2sqrt { 6}]

답

해

설

[eqn: alpha +beta=4,~alphabeta=1]이고,

[eqn: alpha ^2 - 4alpha +1=0]에서  [eqn: alpha ^2 +1=4alpha]

[eqn: beta^2 -4beta+1=0]에서  [eqn: beta^2 +1= 4 beta]

[eqn: sqrt {alpha ^2 +1}+ sqrt { beta ^2 +1} = sqrt { 4alpha}+ sqrt { 4beta}=2( sqrt { alpha}+ sqrt { beta})]

[eqn: (sqrt { alpha}+ sqrt { beta})^2 =alpha +beta +2 sqrt { alphabeta}=6]

[eqn: therefore sqrt { alpha }+ sqrt { beta}= sqrt { 6}(because sqrt { alpha}+ sqrt { beta} }>0)]

[eqn: thereforesqrt {alpha ^2 +1}+ sqrt { beta ^2 +1} = 2 sqrt { 6}]

79

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: alpha +beta=4,~alpha beta=a]

[eqn: alpha ^2 +beta ^2 =(alpha +beta) ^2 -2alpha beta =16 -2a =10]

[eqn: therefore a=3]

80

[eqn: +-5]

답

해

설

두 근을 [eqn: 2alpha,~3alpha]라고 하면

[eqn: 5alpha =-m,~6alpha ^2 =m^2 -19]

두 식을 연립하여 풀면  [eqn: m=+-5]

81

[eqn: 2x^2 -4x -1=0]

답

해

설

[eqn: alpha +` beta =2,~ alpha beta= 1 over 3]이므로

[eqn: alpha over alpha-1 + beta over beta-1 =2,~ alpha over alpha-1 times beta over beta-1 =- 1 over2]

[eqn: therefore][eqn: 2x^2 -4x -1=0]

82

[eqn: sqrt { 5}i]

답

해

설

근과 계수의 관계에서  [eqn: alpha <0,~beta <0]

[eqn: (sqrt { alpha }+ sqrt { beta}) ^2 = alpha +beta -2 sqrt { alphabeta} =-3 -2=-5]

그런데 [eqn: sqrt { alpha }+ sqrt { beta}]는 [eqn: (양수)timesi]꼴이다.

[eqn: thereforesqrt { alpha }+ sqrt { beta}= sqrt { 5}i]