미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		2. 정적분의 활용			반 / 번호
	01 넓이					이름
		ㅉ

01 다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]의 접선 [eqn: l]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=0]과 [eqn: x=8]로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하시오.

02 구간[eqn: LEFT [ 0,`pi RIGHT ]]에서 곡선[eqn: y=sin`x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

03 구간[eqn: LEFT [ 0,`pi RIGHT ]]에서 곡선[eqn: y=sin`x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 구하시오.

04 곡선[eqn: y=3 sqrt {x-9}]와 이곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( 18,`9 RIGHT )]에서의 접선 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

05 곡선[eqn: y=e ^{x}]과 이 곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,`e RIGHT )]에서의 접선 및[eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: e-2]       ② [eqn: e+2]     ③ [eqn: {1} over {2} e-1]
④ [eqn: {1} over {2} e+ {1} over {2}]    ⑤ [eqn: e+1]

06 곡선[eqn: y=ln`x]와 이 곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,`0 RIGHT )]에서의 접선 및 직선 [eqn: x=e]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: e ^{2} -1]      ② [eqn: e ^{2} +1]     ③ [eqn: {1} over {2} e ^{2} -e]
④ [eqn: {1} over {2} e ^{2} +e]    ⑤ [eqn: {1} over {2} e ^{2} -e- {1} over {2}]

07 다음 그림과 같이 구간[eqn: LEFT [ 0,` {pi} over {2} RIGHT ]]에서 곡선 [eqn: y=sin`x]와 직선 [eqn: y=a]로 둘러싸인 보라색을 칠한 두 부분의 넓이가 서로 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: {1} over {pi}]       ② [eqn: {2} over {pi }]      ③ [eqn: {3} over {pi }]
④ [eqn: {4} over {pi }]      ⑤ [eqn: {5} over {pi}]

08 다음 그림과 같이 곡선[eqn: y= sqrt {x} +k]와 직선 [eqn: x=2] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 두 부분 [eqn: A,B]의 넓이가 서로 같을 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: - {2 sqrt {2}} over {3}]      ② [eqn: - {sqrt {2}} over {3}]     ③ [eqn: {sqrt {2}} over {3}]
④ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]        ⑤ [eqn: sqrt {2}]

09 [eqn: 0<=x<=pi]에서 두 곡선 [eqn: y=sin`x,`y=sin`2x]로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 비는?

① [eqn: 1:2]        ② [eqn: 1:4]        ③ [eqn: 1:6]
④ [eqn: 1:8]        ⑤ [eqn: 1:9]

10 두 곡선 [eqn: y=ln`x,`y=ln {1} over {x}] 및 직선 [eqn: y=1]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: e- {1} over {e}]      ② [eqn: e+ {1} over {e}]     ③ [eqn: e- {1} over {e} -2]
④ [eqn: e+ {1} over {e} -2]  ⑤ [eqn: 2 LEFT ( e+ {1} over {e} RIGHT )]

11 다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y=cos`x LEFT ( x >= 0 RIGHT )]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: y=mx,`x= {pi} over {2}]로 둘러싸인 두 부분 [eqn: A,B]의 넓이가 같을 때, 실수[eqn: m]의 값은?

① [eqn: {1} over {pi}]         ② [eqn: {2} over {pi }]        ③ [eqn: {4} over {pi ^{2}}]
④ [eqn: {8} over {pi ^{2}}]         ⑤ [eqn: {16} over { pi ^{2}}]

12 정의역이 [eqn: LEFT { x|-1 LEQ x LEQ 4 RIGHT }]일 때, 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2} -2x-3]과 [eqn: x]축으로 둘러싸이 도형의 넓이는?

① [eqn: 11]         ② [eqn: 12]        ③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]         ⑤ [eqn: 15]

13 곡선 [eqn: y][eqn: =e ^{x} -1]과 두 직선 [eqn: x][eqn: =-1], [eqn: x][eqn: =e] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: e ^{e} -e]            ② [eqn: e ^{e} +e]
③ [eqn: e ^{e} -e- {1} over {e}]        ④ [eqn: e ^{e} -e+ {1} over {e} -1]
⑤ [eqn: e ^{e} -e+ {1} over {e} +1]

14 곡선 [eqn: t][eqn: = sqrt {x-1}]과 직선[eqn: y][eqn: =1]및 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: {1} over {3}]           ② [eqn: {2} over {3}]          ③ [eqn: 1]
④ [eqn: {4} over {3}]            ⑤ [eqn: {5} over {3}]

15 곡선 [eqn: y][eqn: =ln` LEFT ( 2-x RIGHT )]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: ln`2-1]     ② [eqn: 2`ln`2-1]    ③ [eqn: 2`ln`2+1]
④ [eqn: `4`ln`2-1]     ⑤ [eqn: 4`ln`2+1]

16 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2} +2-2]와 직선[eqn: y][eqn: =x-1]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: {1} over {2}]           ② [eqn: 1]          ③ [eqn: {4} over {3}]
④ [eqn: {3} over {2}]            ⑤ [eqn: {5} over {3}]

17 두곡선 [eqn: y][eqn: =ln`x], [eqn: y][eqn: =ln` {1} over {x}]과 두 직선[eqn: y][eqn: =-1], [eqn: y][eqn: =1]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: e- {1} over {e} -2]        ② [eqn: e+ {1} over {e} -1]
③ [eqn: 2 LEFT ( e- {1} over {e} -1 RIGHT )]     ④ [eqn: 2 LEFT ( e+ {1} over {e} -2 RIGHT )]
⑤ [eqn: 2 LEFT ( e+ {1} over {e} +2 RIGHT )]

18 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =x ^{3} -ax ^{2} +2]가 성립할 때, [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 2]           ② [eqn: 3]          ③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]            ⑤ [eqn: 6]

19 다음 그림과 같이 곡선 [eqn: sqrt {x} + sqrt {y}][eqn: =1]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1}], 곡선 [eqn: sqrt {x} + sqrt {y}]과 직선 [eqn: x+y][eqn: =1]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2}]라고 할 때, [eqn: {S _{2}} over {S _{1}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]         ② [eqn: 1]         ③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]           ⑤ [eqn: {5} over {2}]

20 곡선 [eqn: y][eqn: =y ^{3} -y ^{2} -2y]와 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: {11} over {4}]       ② [eqn: {35} over {12}]       ③ [eqn: {37} over {12}]
④ [eqn: {13} over {4}]       ⑤ [eqn: {41} over {12}]

21 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]일 때, 두 곡선 [eqn: y][eqn: =sin`x]와 [eqn: y][eqn: =cos`x]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: sqrt {2}]         ② [eqn: 2 sqrt {2}]      ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 2 sqrt {2} +1]     ⑤ [eqn: 4]

22 원점에서 곡선 [eqn: y][eqn: = {1} over {e ^{x}}]에 그은 접선을 [eqn: l]이라고 할 때, 곡선 [eqn: y][eqn: = {`1} over {e ^{x}}]과 접선 [eqn: l]및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: {e} over {2} -1]       ② [eqn: {e} over {2}]       ③ [eqn: {e} over {2} +1]
④ [eqn: e-1]        ⑤ [eqn: e]

23 두 곡선 [eqn: y][eqn: =ax ^{3}], [eqn: y][eqn: - {1} over {a} x ^{3}]과 직선 [eqn: x][eqn: =2]로 둘러싸인 도형의 넓이가 최소가 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값과 그때의 넓이의 합은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 3]           ③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]            ⑤ [eqn: 9]

24 [eqn: y][eqn: 0 LEQ x LEQ {pi} over {2}]에서 두 곡선 [eqn: y][eqn: =sin`2x] ,       [eqn: y][eqn: =a`cos`x]로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같을 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 3]           ③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]            ⑤ [eqn: 9]

25 다음 그림은 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 그 역함수 [eqn: y][eqn: =rmg LEFT ( itx RIGHT )]의 그래프이다. 두 곡선이 두 점 [eqn: LEFT ( 1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~4 RIGHT )]에서 만나고 [eqn: int _{1} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: = {7} over {2}]일 때, 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

26 어떤 그릇에 깊이가 [eqn: x rm `cm]가 되도록 물을 넣을 때의 수면의 넓이는 [eqn: cos` ^{2} 2x LEFT ( rm cm ^{2} RIGHT )]라고 한다.
물의 깊이가 [eqn: {pi `} over {4} ` rm cm]일 때, 이 그릇에 담긴 물의 부피는?

① [eqn: {pi} over {8} `rmcm ^{3}]     ② [eqn: {pi } over {4} ` rm cm ^{3}]     ③ [eqn: {pi } over {2} ` rm cm ^{3}]
④ [eqn: pi` rm cm ^{3}]       ⑤ [eqn: 2pi` rm cm ^{3}]

27 곡선 [eqn: y=][eqn: x ^{2} -3x]와 직선 [eqn: y][eqn: =ax]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: x]축에 의하여 이등분될 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: root {3} of {2} -1]     ② [eqn: root {3} of {2} +1]      ③ [eqn: 3 LEFT ( root {3} of {2} -1 RIGHT )]  ④ [eqn: 3 root {3} of {2}]        ⑤ [eqn: 3 LEFT ( root {3} of {2} +1 RIGHT )]

28 다음 그림과 같이 [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi} over {2}]에서 곡선      [eqn: y][eqn: =sin`x]와 직선 [eqn: y][eqn: =m LEFT ( x- {pi} over {2} RIGHT )]로 둘러싸인 두 부분 [eqn: A], [eqn: B]의 넓이가 같을 때, 실수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: {8} over {pi ^{2}}]        ② [eqn: {4} over {pi ^{2}}]        ③ [eqn: - {1} over {pi ^{2}}]
④ [eqn: - {4} over {pi ^{2}}]      ⑤ [eqn: - {8} over {pi ^{2}}]

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		2. 정적분의 활용			반 / 번호
	02 부피					이름

01 곡선 [eqn: y=e ^{x}]과 세 직선 [eqn: x=0,`y=e,`y=e ^{2}]으로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는?

① [eqn: {3e ^{4} -e ^{2}} over {3} pi]      ② [eqn: {3e ^{4} +e ^{2}} over {2} pi]
③ [eqn: {2e ^{4} +e ^{2}} over {2} pi]       ④ [eqn: LEFT ( e ^{4} +2e ^{2} RIGHT ) pi]
⑤ [eqn: LEFT ( e ^{4} +3e ^{2} RIGHT ) pi]

02 곡선 [eqn: y= sqrt {x-2}]와 이곡선 위의 점[eqn: LEFT ( 3,`1 RIGHT )]에서의 접선 밑 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는?

① [eqn: {pi} over {12}]      ② [eqn: {pi } over {16}]      ③ [eqn: {pi } over {3}]
④ [eqn: {pi } over {2}]       ⑤ [eqn: {2} over {3} pi]

03 곡선 [eqn: y=x+sin`x LEFT ( 0<=x<=pi RIGHT )]와 직선[eqn: y=x]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는?

① [eqn: 2pi]        ② [eqn: 2 pi ^{2}]      ③ [eqn: 4pi]
④ [eqn: {5} over {2} pi]      ⑤ [eqn: 4 pi ^{2}]

04 다음 그림과 같은 타원의 일부분을 회전시켜 물통을 만들려고 한다. 이물통의 부피는?

① [eqn: 18pi]          ② [eqn: {55} over {3} pi]        ③ [eqn: 19pi]
④ [eqn: {39} over {2} pi]         ⑤ [eqn: 20pi]

05 양면이 모두 포물선인 렌즈의 중심에 대한 단면이 다음 그림과 같을 때, 렌즈의 부피는?

(단, 가로축을 대칭축으로 회전시킨다.)

① [eqn: {1} over {2} pi]         ② [eqn: pi]        ③ [eqn: {3} over {2} pi]
④ [eqn: 2 pi]          ⑤ [eqn: {5} over {2} pi]

06 곡선 [eqn: y=ln` sqrt {3+x} +ln sqrt {3-x}]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: y]축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는?

① [eqn: pi LEFT ( 6`ln`3-3 RIGHT )]        ② [eqn: pi LEFT ( 7`ln`3-4 RIGHT )]
③ [eqn: pi LEFT ( 8`ln`3-3 RIGHT )]        ④ [eqn: pi LEFT ( 9`ln`3-4 RIGHT )]
⑤ [eqn: pi LEFT ( 10`ln`3-5 RIGHT )]

07 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {e ^{x} +e ^{-1}} over {2}]에 대하여 [eqn: x=a]에서 [eqn: x=b]까지의 곡선의 길이를 [eqn: L,] 구간[eqn: LEFT [ a,`b RIGHT ]]에서 곡선과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=a,`y=b]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S]라고 할 때, [eqn: L]과 [eqn: S]사이의 관계식으로 옳은 것은? (단, [eqn: a<b])

① [eqn: L=S]      ② [eqn: 2L=S]     ③ [eqn: L=2 S]
④ [eqn: L ^{2} =S]     ⑤ [eqn: L= S ^{2}]

08 곡선 [eqn: y= LEFT ( x ^{2} -a RIGHT ) sin`x LEFT ( 0 <= x <= pi RIGHT )]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: 0<a<pi ^{2}])

① [eqn: pi-1]      ② [eqn: pi +1]     ③ [eqn: {pi ^{2}} over {3} +1]
④ [eqn: {pi ^{2}} over {2} -2]     ⑤ [eqn: pi ^{2} -1]

09 어떤 일식에서 달이 태양을 최대로 가렸을 때, 두 원이 서로의 중심을 지났다고 한다. 태양의 가려진 부분의 넓이를 [eqn: a pi +b sqrt {3}]([eqn: a,`b]는 유리수)이라고 할 때, [eqn: ab]의 값은?
(단, 태양과 달은 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원으로 생각한다.)

① [eqn: - {1} over {5}]      ② [eqn: - {1} over {4}]     ③ [eqn: - {1} over {3}]
④ [eqn: - {1} over {2}]       ⑤ [eqn: -1]

10 함수[eqn: y=log _{3} x]의 역함수를 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]라고 하자. [eqn: int _{1} ^{3} {log _{3} x`dx=A}]일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값을 [eqn: A]로 나타내면?

① [eqn: 9-A]      ② [eqn: 6-A]     ③ [eqn: 3-A]
④ [eqn: A+2]       ⑤ [eqn: A+3]

11 다음 그림과 같이 구간[eqn: LEFT [ 0,` {pi} over {2} RIGHT ]]에서 곡선 [eqn: y=cos`x]와 [eqn: y]축 및 두 직선 [eqn: y=k,`~x= {pi } over {2}]로 둘러싸인 두 부분 [eqn: A,B]의 넓이의 합이 최소가 되도록 하는 [eqn: 2k ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수)

12 곡선 [eqn: y= {cases{0&LEFT ( 0<=x<=1 RIGHT )#ln`x```&LEFT ( 1<x<=2 RIGHT )}}] 를 [eqn: y]축의 둘레로 회전시켜 만든 그릇에 매초 [eqn: 1rmcm ^{3}]의 비율로 물을 넣는다. 수면의 높이가 그릇의 깊이의 절반이 되는 순간에서의 수면의 상승 속도는? (단, 단위는 [eqn: ㎝]/초)

① [eqn: 1]         ② [eqn: pi]        ③ [eqn: 2pi]
④ [eqn: {1} over {pi}]         ⑤ [eqn: {1} over {2pi}]

13 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2} -x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는?

① [eqn: {pi} over {30}]        ② [eqn: {pi } over {25}]       ③ [eqn: {pi } over {20}]
④ [eqn: {pi } over {15}]         ⑤ [eqn: {pi } over {10}]

14 곡선 [eqn: y][eqn: =- {1} over {2} x ^{2} +a]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: y]축을 중심으로 회전시켜 만들어진 회전체의 부피가 [eqn: 4pi]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

15 곡선 [eqn: y][eqn: = {1} over {3} x ^{2}]과 운[eqn: x ^{2} +y ^{2}][eqn: =4] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: y]축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는? (단, [eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0])

① [eqn: {5} over {3} pi]       ② [eqn: {11} over {6} pi]       ③ [eqn: 2pi]
④ [eqn: {13} over {6} pi]       ⑤ [eqn: {7} over {3} pi]

16 지상 [eqn: 10 rm `m]의 높이에서 [eqn: 30`rmm]/초의 속도로 똑바로 쏘아 올린 공의 [eqn: t]초 후의 속도는 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =30-6t]이다. 공이 최고점에 도달했을 때, 지면으로부터의  높이는?

① [eqn: 70`rmm]       ② [eqn: 75` rm m]       ③ [eqn: 80` rm m]
④ [eqn: 85` rm m]        ⑤ [eqn: 90` rm m]

17 [eqn: -2 LEQ x LEQ 2]에서 곡선 [eqn: y][eqn: = {e ^{x} +e ^{-x}} over {2}]의 길이는?

① [eqn: e- {1} over {e}]     ② [eqn: e+ {1} over {e}]     ③ [eqn: e ^{2} - {1} over {e}]
④ [eqn: e ^{2} + {1} over {e ^{2}}]   ⑤ [eqn: e ^{2} - {1} over {e ^{2}}]

18 곡선 [eqn: y][eqn: = sqrt {2x-2}]와 직선 [eqn: x][eqn: =2] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: x]축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는?

① [eqn: pi]        ② [eqn: 2pi]       ③ [eqn: 3pi]
④ [eqn: 4pi]       ⑤ [eqn: 5pi]

19 곡선 [eqn: y][eqn: =ln`x]와 직선 [eqn: y][eqn: =1] 및 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: y]축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는?

① [eqn: {pi} over {2} LEFT ( e ^{2} -2 RIGHT )]    ② [eqn: {pi } over {2} LEFT ( e ^{2} -1 RIGHT )]    ③ [eqn: {pi } over {2} e ^{2}]
④ [eqn: pi LEFT ( e ^{2} -2 RIGHT )]      ⑤ [eqn: pi LEFT ( e ^{2} -1 RIGHT )]

20 밑면의 반지름이 [eqn: 4], 높이가 [eqn: 8]인 직원기둥이 있다. 이 원기둥을 밑면의 지름을 포함하고 밑면과 [eqn: 30DEG]의 각을 이루는 평면으로 자를 때, 만들어지는 두 입체 중에서 작은 것의 부피는?

① [eqn: {64 sqrt {3}} over {3}]    ② [eqn: {128 sqrt {3}} over {3}]    ③ [eqn: {64 sqrt {3}} over {9}]
④ [eqn: {128 sqrt {3}} over {9}]   ⑤ [eqn: {256 sqrt {3}} over {9}]

21 포물선 [eqn: y][eqn: =x ^{2} +a]에 직선 [eqn: y][eqn: =bx]가 접하고, 포물선과 직선 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: x]축을 중심으로 회전시켜서 만든 회전체의 부피는 [eqn: {8} over {15} pi]이다. 이때, 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: {3} over {2}]         ③ [eqn: 2]
④ [eqn: {5} over {2}]          ⑤ [eqn: 3]

22 [eqn: {pi} over {4} LEQ x LEQ {5} over {4} pi]에서 두 곡선 [eqn: y][eqn: =sin`x], [eqn: y][eqn: =cos`x]로 둘러싸인 도형을 [eqn: x]축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피는?

① [eqn: {pi} over {4}]         ② [eqn: {pi } over {4} LEFT ( pi+3 RIGHT )]    ③ [eqn: {pi } over {4} LEFT ( pi +6 RIGHT )]
④ [eqn: {pi } over {2} LEFT ( pi +3 RIGHT )]  ⑤ [eqn: {pi } over {2} LEFT ( pi +6 RIGHT )]

23 곡선 [eqn: x][eqn: =f LEFT ( y RIGHT )][eqn: LEFT ( 0 LEQ y LEQ 25 RIGHT )]를 [eqn: y]축을 중심으로 회전시켜 밑면이 평평한 그릇을 만들었다. 이 그릇에 물을 넣기 시작한 지 [eqn: t]초 후의 수면의 상승 속도가 [eqn: {1} over {sqrt {4+t}} `rmcm]/초일 때, 수면의 높이가 [eqn: 12`rmcm]가 되는 것은 물을 넣기 시작한 지 몇 초 후인가?

① [eqn: 50]         ② [eqn: 55]         ③ [eqn: 60]
④ [eqn: 65]         ⑤ [eqn: 70]

24 곡선 [eqn: y][eqn: =2`sin`x LEFT ( 0 LEQ x LEQ RIGHT )]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: x]축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 구하여라.

25 좌표평면에서 두 부등식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} LEQ 4], [eqn: LEFT | x RIGHT | + LEFT | y RIGHT | GEQ 2]를 모두 만족하는 영역을 [eqn: x]축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는?

① [eqn: {10} over {3} pi]        ② [eqn: 4pi]        ③ [eqn: {14} over {3} pi]
④ [eqn: {16} over {3} pi]         ⑤ [eqn: 6pi]

26 [eqn: - {pi} over {2} LEQ x LEQ {pi} over {2}]에서 [eqn: y][eqn: =cos`x`]를 [eqn: x]축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피는?

① [eqn: {pi} over {2}]         ② [eqn: {pi ^{2}} over {2}]       ③ [eqn: {pi } over {4}]
④ [eqn: {pi ^{2}} over {4}]        ⑤ [eqn: pi]

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		2. 정적분의 활용			정답
	01 넓이
		ㅉ

01  [eqn: 16]

접점의 좌표를 [eqn: rmP`it LEFT ( t,` sqrt {t} RIGHT )]로 놓으면 정선의 방정식은 [eqn: y- sqrt {t} = {1} over {2 sqrt {t}} LEFT ( x-t RIGHT )] 구하고자 하는 부분의 넓이는 [eqn: rmS`it LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} ·8 LEFT ( {sqrt {t}} over {2} + {t+8} over {sqrt {t}} RIGHT ) =4t ^{{1} over {2}} +16t ^{{1} over {2}}]
[eqn: rm S prime it LEFT ( t RIGHT ) = {2 LEFT ( t-4 RIGHT )} over {sqrt {t ^{3}}}]이므로 [eqn: rmS'`it LEFT ( t RIGHT ) =0]에서 [eqn: t=]4
따라서 [eqn: rm S it LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=4]에서 최솟값 [eqn: 16]을 갖는다.

답

해

설

02  [eqn: 2]

답

03  [eqn: {pi ^{2}} over {2}]

답

04  [eqn: 27]

답

해

설

[eqn: y=3 sqrt {x-9}]에서 도함수는 [eqn: y'= {3} over {2 sqrt {x-9}}]
[eqn: x=18]일 때, [eqn: y'= {3} over {2 sqrt {18-9}} = {1} over {2}]이므로 점[eqn: LEFT ( 18,`9 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y-9= {1} over {2} LEFT ( x-18 RIGHT ) ,`]즉[eqn: y= {1} over {2} x]
따라서 구하는 영역의 넓이를 [eqn: rmS]라고 하면
[eqn: rm S` it = {1} over {2} TIMES 18 TIMES 9- int _{9} ^{18} {`3 sqrt {x-9} dx}# =81-3 LEFT [ {2} over {3} LEFT ( x-9 RIGHT ) sqrt {x-9} RIGHT ] _{9} ^{18}# # =81-54=27]

05  ③

답

접선의 방정식은 [eqn: y=ex]이므로 구하는 넓이는 [eqn: int _{0} ^{1} {` LEFT ( e ^{x} -ex RIGHT ) dx= LEFT [ e ^{x} - {1} over {2} ex ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1}} = {1} over {2} e-1]

해

설

06  ⑤

답

접선의 방정식은 [eqn: y=x-1]이므로 구하는 넓이는
[eqn: int _{1} ^{e} {` LEFT { LEFT ( x-1 RIGHT ) -ln`x RIGHT } dx`= LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -x-x`ln`x+x RIGHT ] _{1} ^{2}}# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -x`ln`x RIGHT ] _{1} ^{2}# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= {1} over {2} e ^{2} -e- {1} over {2}]

해

설

07   ②

답

해

설

구간[eqn: LEFT [ 0,` {pi} over {2} RIGHT ]]에서 곡선 [eqn: y=sin`x]와 직선 [eqn: y=a]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라고 하면, 보라색을 칠한 두 부분의 넓이가 서로 같으므로
[eqn: int _{0} ^{a} {LEFT ( a-sin`x RIGHT ) dx= int _{0} ^{{pi } over {2}} {` LEFT ( sin`x-a RIGHT ) dx}}]
[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( sin`x-a RIGHT ) dx+ int _{0} ^{a} {` LEFT ( sin`x-a RIGHT ) dx}}]
[eqn: THEREFORE int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( sin`x-a RIGHT ) dx= LEFT [ -cos`x-ax RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}}][eqn: =1- {pi } over {2} a=0~~~~~ THEREFORE a= {2} over {pi }]

08   ①

답

곡선 [eqn: y= sqrt {x} +k]와 [eqn: x]축과의 교점을 [eqn: LEFT ( a,`0 RIGHT )]이라 하고, [eqn: A,`B] 두 부분의 넓이를 각각 [eqn: rm S _{`1} ,S _{2}]라고 하면 [eqn: rm S _{1} -S _{2`} ` it = int _{0} ^{2} {LEFT ( sqrt {x} +k RIGHT ) dx+} int _{0} ^{a} {LEFT ( sqrt {x} +k RIGHT ) dk}# = int _{0} ^{2} {LEFT ( sqrt {x} +k RIGHT ) dx=0} ~~~ THEREFORE k- {2 sqrt {2}} over {3}]

해

설

09  ⑤

답

[eqn: sin`x=sin`2x]에서 [eqn: sinx=2`sin`x`cos`x]이므로	[eqn: x=0,` {pi} over {3} ,`pi] 두 부분의 넓이를  [eqn: S _{1} ,`S _{2}]라고 하면 [eqn: S _{1} = int _{0} ^{{pi } over {3}} {LEFT ( sin`2x-sin`x RIGHT ) dx= {1} over {4} ,` rm}# S _{2`} = int _{{pi } over {3}} ^{pi } {LEFT ( sin`x-sin`2x RIGHT ) dx= {9} over {4}}]
[eqn: THEREFORE S _{1} `:`S _{2} `=1:9]

해

설

10   ④

답

[eqn: y=ln`x]에서 [eqn: x=e ^{y} ,`y=ln {1} over {x}]에서 [eqn: x=e ^{-y}]이므로
[eqn: rm S` it = int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{y} -e ^{-y} RIGHT ) dy= LEFT [ e ^{y} +e ^{-y} pile{#} RIGHT ] _{0} ^{1}} =e+ {1} over {e} -2]

해

설

11   ⑤

답

해

설

[eqn: A+C= int _{0} ^{{pi } over {2}} {cos`x`dx=1,`}]
[eqn: B+C= int _{0} ^{{pi } over {2}} {mx`dx} `# = {pi ^{2}} over {8} m]
이므로 [eqn: m= {8} over {pi ^{2}}]

12   ③

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{3} {LEFT ( -x ^{2} +2x+3 RIGHT ) dx} `# + int _{3} ^{4} {LEFT ( x ^{2} -2x-3 RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} +3x RIGHT ] _{-1} ^{3}# + LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} -3x RIGHT ] _{3} ^{4}]
[eqn: = {32} over {3} + {7} over {3}][eqn: =13]

13  ④

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{0} {LEFT ( 1-e ^{x} RIGHT ) dx`}# ~~~~+ int _{0} ^{e} {LEFT ( e ^{x} -1 RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ x-e ^{x} RIGHT ] _{-1} ^{0}# ~~~~+ LEFT [ e ^{x} -x RIGHT ] _{0} ^{e}]
[eqn: =e ^{-1} +e ^{e} -e-1]
[eqn: =e ^{e} -e+ {1} over {e} -1]

14  ④

답

해

설

[eqn: y= sqrt {x-1}]에서
[eqn: x][eqn: =y ^{2} +1][eqn: LEFT ( y GEQ 0 RIGHT )]이므로
[eqn: int _{0} ^{1} {xdy}][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( y ^{2} +1 RIGHT ) dy}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {3} y ^{3} +y RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {4} over {3}]

15   ②

답

해

설

[eqn: y][eqn: =ln` LEFT ( 2-x RIGHT )]에서     [eqn: x][eqn: =2-e ^{y}]이므로 [eqn: int _{0} ^{ln`2} {x`dy}][eqn: = int _{0} ^{ln2} {LEFT ( 2-e ^{y} RIGHT ) dy}][eqn: = LEFT [ 2y-e ^{y} RIGHT ] _{0} ^{ln2}][eqn: =2`ln2-1]

16   ③

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT { eqalign{LEFT ( x-1 RIGHT ) `# - LEFT ( x ^{2} +x-2 RIGHT ) dx} RIGHT }}]
[eqn: = int _{-1} ^{1} {LEFT ( -x ^{2} +1 RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +x RIGHT ] _{-1} ^{1}]
[eqn: = {4} over {3}]

17  ④

답

[eqn: int _{-1} ^{0} {LEFT ( e ^{-y} -e ^{y} RIGHT ) dy} + int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{y} -e ^{-y} RIGHT ) dy}]
[eqn: 2 int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{y} -e ^{-y} RIGHT ) dy}]
[eqn: =2 LEFT [ e ^{y} -e ^{-y} RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: =2 LEFT ( e+ {1} over {2} -2 RIGHT )]

해

설

18   ③

답

해

설

[eqn: int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt}][eqn: =x ^{3} -ax ^{2} +2]의 양변에 [eqn: x][eqn: =1]을 대입하면
[eqn: int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt}][eqn: =1-a+2]   [eqn: thereforea][eqn: =3]
[eqn: int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt}][eqn: =x ^{3} -ax ^{2} +2]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} -6x]
따라서 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 [eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( -3x ^{2} +6x RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ -x ^{3} +3x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2}][eqn: =4]

19   ④

답

[eqn: sqrt {x} + sqrt {y}][eqn: =1]에서 [eqn: sqrt {y}][eqn: =1- sqrt {x}], 즉        [eqn: y][eqn: =1- sqrt {2} +x]이므로                       [eqn: S _{1}][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( 1-2 sqrt {x} +x RIGHT ) dx}]                        [eqn: = LEFT [ x- {4} over {3} x sqrt {x} + {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {1} over {6}]
또한 [eqn: S _{1} +S _{2}][eqn: = {1} over {2} times1times1][eqn: = {1} over {2}]이므로
[eqn: S _{2}][eqn: = {1} over {2} -S _{2}][eqn: = {1} over {2} - {1} over {6}][eqn: = {1} over {3}]    [eqn: therefore {S _{2}} over {S _{1}}][eqn: =2]

해

설

20   ③

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{2} {LEFT | y ^{3} -y ^{2} -2y RIGHT | dy}][eqn: = int _{-1} ^{2} {LEFT ( y ^{3} -y ^{2} -2y RIGHT ) dy}# ~~~~- int _{0} ^{2} {LEFT ( y ^{3} -y ^{2} -2y RIGHT ) dy}][eqn: = LEFT [ {y ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {3} -y ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{0} - LEFT [ {y ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {3} -y ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2}]
[eqn: = {5} over {12} + {8} over {3}][eqn: = {37} over {12}]

21   ②

답

해

설

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]일 때, 두 곡선 [eqn: y][eqn: =sin`x]와 [eqn: y][eqn: =cos`x]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: sin`x][eqn: =cos`]에서  [eqn: x][eqn: = {pi } over {4}], [eqn: x][eqn: = {5} over {4} pi]
따라서 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는
[eqn: int _{{pi} over {4}} ^{{5} over {4} pi} {LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ -cos`x-sin`x RIGHT ] _{{pi} over {4}} ^{{5} over {4} pi}]                         [eqn: =2 sqrt {2}]

22   ①

답

해

설

접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( alpha,` {1} over {e ^{a}} RIGHT )]로 놓고 접선 [eqn: l]의 방정식을 구하면 [eqn: y][eqn: =-ex]
따라서 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 [eqn: int _{-1} ^{0} {LEFT ( {1} over {e ^{x}} +ex RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ -e ^{-x} + {e} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{0}][eqn: = {e} over {2} -1]

23  ⑤

답

해

설

위의 그림에서 색칠한 부분의 넓이는
[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT { ax ^{3} - LEFT ( - {1} over {a} x ^{3} RIGHT ) RIGHT } dx}]
[eqn: = LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT ) LEFT [ {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{0} ^{2}][eqn: =4 LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT )]
이때, [eqn: a][eqn: =1]에서 넓이는 [eqn: 4 LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT )][eqn: =4·2][eqn: =8]로  최소이므로 구하는 합은 [eqn: 1+8][eqn: =9]

24  ①

답

해

설

위의 그림에서 두 부분의 넓이가 서로 같으므로
[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( a`cos`x-sin`2x RIGHT ) dx}]=[eqn: LEFT [ a`sin`x+ {1} over {2} `cos`2x RIGHT ] _{0} ^{{pi} over {2}}][eqn: = LEFT ( a- {1} over {2} RIGHT ) - LEFT ( 0+ {1} over {2} RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: thereforea][eqn: =1]

25   [eqn: 8]

답

해

설

두 곡선은 서로 역함수 관계이므로 구하는 넓이는 직선 [eqn: y][eqn: =x]에 의하여 이등분된다.  위의 그림에서 색칠한 부분의 넓이는
[eqn: {1} over {2} times LEFT ( 1+4 RIGHT ) times3- int _{1} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: =4]
따라서 구하는 도형의 넓이는 [eqn: 4times2=8]

26  ①

답

[eqn: V][eqn: = int _{0} ^{{pi} over {4}} {cos ^{2} 2x`dx}][eqn: = int _{0} ^{{pi} over {4}} {{1+cos`4x} over {2} dx}]          [eqn: = {1} over {2} LEFT [ x+ {1} over {4} `sin`4x RIGHT ] _{0} ^{{pi} over {4}}][eqn: = {pi } over {8} LEFT ( rmcm ^{3} RIGHT )]

해

설

27   ③

답

해

설

곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2} -3x]와 직선 [eqn: y][eqn: =ax]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: x]축에 의하여 이등분되려면 위의 그림에서

[eqn: int _{0} ^{a+3} {LEFT { ax- LEFT ( x ^{2} -3x RIGHT ) RIGHT } dx}][eqn: =2 int _{0} ^{3} {LEFT ( 3x-x ^{2} RIGHT ) dx}]
[eqn: LEFT [ {a+3} over {2} x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{a+3}][eqn: =2 LEFT [ {3} over {2} x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{3} ,` {LEFT ( a+3 RIGHT ) ^{3}} over {2} - {1} over {3} LEFT ( a+3 RIGHT ) ^{3}][eqn: =9]
[eqn: thereforea][eqn: =3 LEFT ( root {3} of {2} -1 RIGHT )]

28    ⑤

답

[eqn: int _{0} ^{{pi} over {2}} {LEFT { sin`x-m LEFT ( x- {pi} over {2} RIGHT ) RIGHT } dx}][eqn: = LEFT [ -cos`x- {m} over {2} x ^{2} + {m} over {2} pix RIGHT ] _{0} ^{{pi} over {2}}][eqn: =- {m} over {8} pi ^{2} + {m} over {4} pi ^{2} +1][eqn: =0]에서
[eqn: {mpi ^{2}} over {8} =-1]   [eqn: thereforem=- {8} over {x ^{2}}]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		2. 정적분의 활용			정답
	02 부피

01  ①

답

해

설

곡선 [eqn: y=e ^{x}]과 직선 [eqn: y=e,`y=e ^{2}]과 만나는 점 [eqn: rmP,`Q]의 좌표는 각각 [eqn: rm P`it LEFT ( 1,`e RIGHT ) ,`Q` it LEFT ( 2,`e ^{2} RIGHT )]
[eqn: V= pi int _{0} ^{1} {eqalign{` LEFT { LEFT ( e ^{2} RIGHT ) ^{2} -e ^{2} RIGHT } dx# }}# + pi int _{1} ^{2} {` LEFT { LEFT ( e ^{2} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( e ^{x} RIGHT ) ^{2} RIGHT } dx}]
[eqn: = pi LEFT [ LEFT ( e ^{4} -e ^{2} RIGHT ) x RIGHT ] _{0} ^{1} + pi LEFT [ e ^{4} x- {1} over {2} e ^{2x} RIGHT ] _{1} ^{2}# # = pi LEFT ( e ^{4} -e ^{2} RIGHT ) + pi LEFT ( e ^{4} - {1} over {2} e ^{4} + {1} over {2} e ^{2} RIGHT ) = {3e ^{4} -e ^{2}} over {2} pi]

02  ②

답

접선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} LEFT ( x-1 RIGHT )]이므로 구하는 회전체의 부피는
[eqn: pi ` int _{1} ^{3} {{1} over {4} LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} dx-} pi int _{2} ^{3} {LEFT ( x-2 RIGHT ) dx}# = pi LEFT [ {1} over {12} LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{3} RIGHT ] _{1} ^{3} - pi LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -2x RIGHT ] _{2} ^{3} = {pi } over {6}]

해

설

03  ④

답

[eqn: V= pi int _{0} ^{pi } {` LEFT { LEFT ( x+sin`x RIGHT ) ^{2} -x ^{2} RIGHT } dx}# = pi int _{0} ^{pi } {2x`sin`x`dx+ pi int _{0} ^{pi } {sin ^{2} x`dx}}# =2 pi LEFT { LEFT [ -x`cos`x pile{#} RIGHT ] _{0} ^{pi } - int _{0} ^{pi } {LEFT ( -cos`x RIGHT ) dx} RIGHT }# + {pi } over {2} LEFT [ x- {1} over {2} `sin`2x RIGHT ] _{0} ^{pi } =2 pi ^{2} + {pi ^{2}} over {2} = {5} over {2} pi ^{2}]

해

설

04   ④

답

해

설

타원의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {4 ^{2}} + {y ^{2}} over {2 ^{2}} =1]이므로 [eqn: y ^{2} =4 LEFT ( 1- {x ^{2}} over {16} RIGHT ) ~~~ LEFT ( 단,`-3<=x<=3 RIGHT )]
따라서 물통의 부피 [eqn: V]는
[eqn: V= pi int _{-3} ^{3} {y ^{2} `dx=2 pi int _{0} ^{3} {eqalign{4 LEFT ( 1- {x ^{2}} over {16} RIGHT ) dx# }}}# ~~=8 pi LEFT [ x- {x ^{3}} over {48} RIGHT ] _{0} ^{3} = {39} over {2} pi]

05   ②

답

해

설

두 포물선의 방정식은 [eqn: y ^{2} =-4 LEFT ( x-1 RIGHT ) ,`y ^{2} =- {3} over {8} LEFT ( x- {3} over {2} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE V= pi int _{0} ^{{3} over {2}} {LEFT ( 4- {8} over {3} x RIGHT ) dx}# ~~~~~~- pi int _{0} ^{1} {LEFT ( 4-4x RIGHT ) dx}]

[eqn: ~~~~~~= pi LEFT [ 4x- {4} over {3} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{{3} over {2}} - pi LEFT [ 4x-2x ^{2} pile{#} RIGHT ] _{0} ^{1}# ~~~~~~# ~~~~~~=3 pi -2 pi = pi]

06  ④

답

[eqn: y=ln sqrt {3+x} +ln sqrt {3-x} =ln sqrt {9-x ^{2}}]에서 [eqn: x ^{2} =9-e ^{2y}]이므로
[eqn: pi int _{0} ^{rm i`n` it 3} {x ^{2} dy= pi int _{0} ^{rm i`n3 it} {LEFT ( 9-e ^{2y} RIGHT ) dy}}# = pi LEFT [ 9y- {1} over {2} e ^{2y} RIGHT ] _{0} ^{` rm i`3 it} = pi LEFT ( 9`ln`3-4 RIGHT )]

해

설

07  ①

답

[eqn: L= int _{a} ^{b} {sqrt {1+ LEFT { f prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} dx,` rm S` it = int _{a} ^{b} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}]
그런데 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {e ^{x} -e ^{-x}} over {2}]이므로 [eqn: sqrt {1+ LEFT { f prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} =f LEFT ( x RIGHT ) `~~~~ THEREFORE L= S]

해

설

08  ④

답

[eqn: int _{0} ^{pi } {LEFT ( x ^{2} -a RIGHT ) sin`x`dx=pi ^{2} -2a-4=0}]이므로
[eqn: a= {pi ^{2}} over {2} -2]

해

설

09  ③

답

해

설

[eqn: A= int _{{1} over {2}} ^{1} {sqrt {1-x ^{2}}} dx]에서 [eqn: x=cos`t]로 놓으면
[eqn: A= int _{{pi } over {3}} ^{0} {sqrt {1-cos ^{2} t} LEFT ( -sin`t RIGHT ) dt}# = int _{0} ^{{pi } over {3}} {{1-cos`2t} over {2} dt= {pi } over {6} - {sqrt {3}} over {8}}]
따라서 구하는 넓이는 [eqn: 4A= {2 pi } over {3} - {sqrt {3}} over {2} ~~~ THEREFORE ab=- {1} over {3}]

10  ③

답

해

설

위의 그림에서
[eqn: int _{0} ^{1} {g LEFT ( x RIGHT ) dx=3-A}]

11  [eqn: 1]

답

[eqn: k=cos`alpha]라고 하면 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) = int _{o} ^{alpha } {` LEFT ( cos`x-k RIGHT ) dx+ int _{alpha } ^{{pi } over {2}} {LEFT ( k-cos`x RIGHT ) `dx}}# ~~~`=2`sin` alpha -2 alpha `cos` alpha + {pi } over {2} cos` alpha -1]
[eqn: f' LEFT ( alpha RIGHT ) =0]에서 [eqn: alpha= {pi} over {4}]이므로 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )]는 [eqn: alpha = {pi} over {4}]일 때 극소이면서 최소이다.
[eqn: therefore2k ^{2} =2· LEFT ( {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} =1]

해

설

12  ⑤

답

[eqn: y=ln`x]에서 [eqn: x=e ^{y}]이므로 수면의 높이를 [eqn: h]라고 하면 물의 부피 [eqn: V]는 [eqn: V= pi int _{0} ^{h} {LEFT ( e ^{y} RIGHT ) ^{2} dy= {pi } over {2}} LEFT ( e ^{2h} -1 RIGHT )]
[eqn: therefore {dV} over {dt} =pie ^{2h} · {dh} over {dt}]
[eqn: {dV} over {dt} =1]이고, [eqn: h= {1} over {2} `ln`2]에서 [eqn: e ^{2h} =2]이므로[eqn: {dh} over {dt} = {`1} over {2pi}]([eqn: rmcm]/초)

해

설

13   ①

답

해

설

[eqn: V=pi int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) ^{2} dx}]
[eqn: =pi int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{4} -2x ^{3} +x ^{2} RIGHT ) dx}]
[eqn: =pi LEFT [ {1} over {5} x ^{5} - {1} over {2} x ^{4} + {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {pi} over {30}]

14   ②

답

해

설

[eqn: V][eqn: =pi int _{0} ^{a} {x ^{2} dy}][eqn: =pi int _{0} ^{a} {2 LEFT ( a-y RIGHT ) dy}]    [eqn: =pi LEFT [ 2ay-y ^{2} RIGHT ] _{0} ^{a}]
[eqn: =a ^{2} pi][eqn: =4pi]
[eqn: thereforea ^{2}][eqn: =4]
[eqn: THEREFORE a][eqn: =2]([eqn: BECAUSE `a]는 양수)

15   ④

답

해

설

[eqn: x ^{2}][eqn: =3y]를 [eqn: x ^{2} +y ^{2}][eqn: =4]에 대입하면
[eqn: y ^{2} +3y-4][eqn: =0]      [eqn: thereforey][eqn: =1] [eqn: LEFT ( BECAUSE 0 LEQ y LEQ 2 RIGHT )]
[eqn: thereforeV][eqn: =pi int _{0} ^{1} {LEFT { LEFT ( 4-y ^{2} RIGHT ) -3y RIGHT } dy}]                       [eqn: =pi LEFT [ - {1} over {3} y ^{3} - {3} over {2} y ^{2} +4y RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {13} over {6} pi]

16   ④

답

[eqn: h][eqn: =10+ int _{0} ^{t} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt}][eqn: =10+ int _{0} ^{t} {LEFT ( 30-6t RIGHT ) `dt}]         [eqn: =10+ LEFT [ 30t-3t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{t}][eqn: =10+30t-3t ^{2}]
[eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =30-6t][eqn: =0]에서 [eqn: t][eqn: =5]이므로 구하는 높이는 [eqn: h][eqn: =10+30·5-3·5 ^{2}][eqn: =85` LEFT ( rmm RIGHT )]

해

설

17   ⑤

답

[eqn: 1+ int _{} ^{} {LEFT ( {dy} over {dx} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =1+ {LEFT ( e ^{x} -e ^{-x} RIGHT ) ^{2}} over {4}][eqn: = LEFT ( {e ^{x} +e ^{-x}} over {2} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: thereforel][eqn: = int _{-2} ^{2} {sqrt {1+ LEFT ( {dy} over {dx} RIGHT ) ^{2}} dx}][eqn: = int _{-2} ^{2} {{e ^{x} +e ^{-x}} over {2}} dx]
[eqn: = LEFT [ {e ^{x} -e ^{-x}} over {2} RIGHT ] _{-2} ^{2}][eqn: =e ^{2} - {1} over {e ^{2}}]

해

설

18   ①

답

해

설

[eqn: y][eqn: = sqrt {2x-2}]는 [eqn: x GEQ 1]에서 정의된다.
따라서 구하는 회전체의 부피를 [eqn: V]라고 하면
[eqn: V= pi int _{1} ^{2} {y ^{2} dx}][eqn: = pi int _{1} ^{2} {LEFT ( 2x-2 RIGHT ) dx}]

[eqn: =pi LEFT [ x ^{2} -2x RIGHT ] _{1} ^{2}][eqn: =pi]

19  ②

답

해

설

[eqn: y][eqn: =ln`x]에서 [eqn: x][eqn: =e ^{y}]    이므로 구하는 회전체의 부피를 [eqn: V]라고 하면

[eqn: V][eqn: =pi int _{0} ^{1} {x ^{2} dy}]

[eqn: = pi int _{0} ^{1} {e ^{2y} dy}][eqn: =pi LEFT [ {e ^{2y}} over {2} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {pi} over {2} LEFT ( e ^{2} -1 RIGHT )]

20   ④

답

해

설

위의 그림에서
[eqn: rm S` it LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} rm {bar{PQ}} · {bar{QR}}]        [eqn: = {1} over {2} · sqrt {4 ^{2} -x ^{2}}# ~~~~~· {sqrt {3}} over {3} sqrt {4 ^{2} -x ^{2}}]
[eqn: = {sqrt {3}} over {6} LEFT ( 4 ^{2} -x ^{2} RIGHT )]
따라서 구하는 부피를 [eqn: V]라고 하면
[eqn: V][eqn: = int _{-4} ^{4} {S LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: =2 int _{0} ^{4} {{sqrt {3}} over {6} LEFT ( 4 ^{2} -x ^{2} RIGHT ) dx}]         [eqn: = {sqrt {3}} over {3} LEFT [ 16x- {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{4}][eqn: = {128 sqrt {3}} over {9}]

21   ⑤

답

해

설

이차방정식  [eqn: x ^{2} -bx+a][eqn: =0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면     [eqn: D][eqn: =0]에서 [eqn: a][eqn: = {b ^{2}} over {4}]
오른쪽 그림에서 구하는 회전체의 부피를 [eqn: V]라고 하면
[eqn: V=pi int _{0} ^{{b} over {2}} {LEFT { LEFT ( x ^{2} +a RIGHT ) ^{2} -b ^{2} x ^{2} RIGHT } dx}][eqn: =pi LEFT [ {1} over {5} x ^{5} + {2a-b ^{2}} over {3} x ^{3} +a ^{2} x RIGHT ] _{0} ^{{b} over {2}}][eqn: = pi LEFT { {1} over {5} · LEFT ( {b} over {2} RIGHT ) ^{5} + {2a-b ^{2}} over {3} · LEFT ( {b} over {2} RIGHT ) +a ^{2} · {b} over {2} RIGHT }]

위의 식에 [eqn: a][eqn: = {b ^{2}} over {4}]을 대입하여 정리하면

[eqn: V][eqn: = {b ^{5}} over {60} pi][eqn: = {8} over {15} pi]이므로 [eqn: b][eqn: =2], [eqn: a][eqn: =1]

[eqn: thereforea+b][eqn: =3]

22  ③

답

해

설

오른쪽 그림에서 색칠한 부분은 점[eqn: LEFT ( {3} over {4} pi,~0 RIGHT )]에 대하여 대칭이므로 구하는 회전체의 부피를 [eqn: V]라고 하면                      [eqn: V][eqn: =2 pi LEFT ( int _{{pi } over {4}} ^{{3} over {4} pi } {sin ^{2} x`dx-} int _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} {cos ^{2} x`dx} RIGHT )]
[eqn: = pi LEFT [ x- {1} over {2} `sin`2x RIGHT ] _{{pi} over {4}} ^{{3} over {4} pi } -pi LEFT [ x+ {1} over {2} `sin`2x` RIGHT ] _{{pi} over {4}} ^{{pi} over {2}}]     [eqn: = {pi} over {4} LEFT ( pi+6 RIGHT )]

23   ③

답

물을 넣기 시작한 지 [eqn: t]초 후의 수면의 높이를 [eqn: h`rmcm]라고 하면 [eqn: {dh} over {dt}][eqn: = {1} over {sqrt {4+t}}]이므로
[eqn: h][eqn: = int _{0} ^{t} {{1} over {sqrt {4+t}} dt}][eqn: =2 LEFT [ sqrt {4+t} RIGHT ] _{0} ^{t}][eqn: =2 LEFT ( sqrt {4+t} -2 RIGHT )]
따라서 [eqn: h][eqn: =12`rmcm]이면 [eqn: 2 LEFT ( sqrt {4+t} -2 RIGHT )][eqn: =12], [eqn: sqrt {4+t} =8]     [eqn: thereforet][eqn: =60]

해

설

24   [eqn: pi ^{2}]

답

해

설

구하는 회전체의 부피를 [eqn: V]라고 하면
[eqn: V][eqn: =pi int _{0} ^{{pi} over {2}} {4`sin ^{2} x`dx}][eqn: =4 pi int _{0} ^{{pi} over {2}} {{1-cos`2x} over {2} dx}]
[eqn: =2 pi LEFT [ x- {1} over {2} `sin`2x RIGHT ] _{0} ^{{pi} over {2}}][eqn: =pi ^{2}]

25  ④

답

해

설

주어진 두 부등식을 모두 만족하는 영역은 위의 그림의 색칠한 부분과 같으므로 구하는 회전ㅊ[의 부피를 [eqn: V]라고 하면
[eqn: V][eqn: =2pi int _{0} ^{2} {LEFT { LEFT ( 4-x ^{2} RIGHT ) - LEFT ( 2-x RIGHT ) ^{2} dx RIGHT }}]                [eqn: =2pi int _{0} ^{2} {LEFT ( -2x ^{2} +4x RIGHT ) dx}][eqn: =2pi LEFT [ - {2} over {3} x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2}]    [eqn: =2pi· {8} over {3}][eqn: = {16} over {3} pi]

26   ②

답

[eqn: - {pi} over {2} LEQ x LEQ {pi} over {2}]에서 [eqn: 0 LEQ cos`x LEQ 1]이므로 구하는 부피를 [eqn: rmV]라고 하면
[eqn: rmV][eqn: =2pi int _{0} ^{{pi } over {2}} {y ^{2} dx}][eqn: =2pi int _{0} ^{{pi} over {2}} {LEFT ( cos ^{2} x RIGHT ) dx}]             [eqn: =pi int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( 1+cos`2x RIGHT ) dx}][eqn: =pi LEFT [ x+ {sin`2x} over {2} RIGHT ] _{0} ^{{pi} over {2}}]      [eqn: = {pi ^{2}} over {2}]

해

설