미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		1. 여러 가지 미분법			반 / 번호
	01 함수의 몫의 미분법					이름
		ㅉ

01 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: {1-cos`x} over {1+cos`x}]에 대하여 [eqn: f' LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 10]          ② [eqn: {1} over {2}]         ③ [eqn: 1]
④ [eqn: {3} over {2}]          ⑤ [eqn: 2]

02 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =tan`x]일 때, [eqn: f' LEFT ( {pi} over {4} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: sqrt {2}]       ③ [eqn: 4]
④ [eqn: 4 sqrt {2}]      ⑤ [eqn: 6]

03 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {sin`x-cos`x} over {sin`x+cosx}]일 때, [eqn: f prime LEFT ( pi RIGHT )]의 값은?

① [eqn: sqrt {2}]       ② [eqn: 2]         ③ [eqn: {5} over {2}]
④ [eqn: 3]          ⑤ [eqn: 3 sqrt {2}]

04 [eqn: lim _{x -> +0} {{e ^{x} -e ^{sinx}} over {x-sin`x}}]의 값은?

① [eqn: 0]           ② [eqn: {1} over {e}]          ③ [eqn: 1]
④ [eqn: e]           ⑤ [eqn: e ^{2}]

05 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {x ^{3} -2} over {x ^{3}}]에 대하여 [eqn: lim _{h-> 0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f LEFT ( 1-3h RIGHT )} over {h}}]의 값은?

① [eqn: 15]         ② [eqn: 20]        ③ [eqn: 25]
④ [eqn: 30]         ⑤ [eqn: 35]

06 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {3} over {x} -2]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {`f LEFT ( x RIGHT ) +} lim _{x -> INF } {`f LEFT ( x RIGHT )}]이 값은?

① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]           ⑤ [eqn: 2]

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		1. 여러 가지 미분법			반 / 번호
	02 합성함수의 미분법					이름
		ㅉ

01 다음 함수의 도함수를 구하시오.

(1)[eqn: y= sqrt {x}]

(2)[eqn: y=x sqrt {x}]

(3)[eqn: y= {1} over {x ^{2}}]

02 다음 함수에서 [eqn: {dy} over {dx}]를 구하시오.

(1)[eqn: y=sin`x ^{2}]

(2)[eqn: y=sin` ^{2} x ^{}]

(3)[eqn: y=ln` LEFT | cos`x RIGHT |]

03 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이지만 미분가능하지 않을 때, [eqn: x=0]에서 미분가능한 함수를 보기에서 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: y=f(x)sin`x]

ㄴ. [eqn: y=x ^{2} f(x)]
ㄷ. [eqn: y= {1} over {1+xf(x)}]

① ㄱ          ② ㄴ         ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ       ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 [eqn: 0<x< {pi} over {2}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=ln` LEFT ( tan`x RIGHT )]와 [eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( x+ sqrt {x ^{2} +1} RIGHT )]에 대하여[eqn: f' LEFT ( {pi} over {12} RIGHT ) ·g' LEFT ( sqrt {3} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

05 [eqn: 0<x< {pi} over {2}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=ln sqrt {{1+sin`x} over {1-sin`x}}]와 [eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )]에 대하여[eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) +g prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

06 함수 [eqn: f(x)= {cases{ax ^{2} +1&``` LEFT ( x<=1 RIGHT )#ln`bx&``` LEFT ( x>=1 RIGHT )}}]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하도록 하는 상수 [eqn: a,`b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: e+ {1} over {2}]      ② [eqn: e ^{{3} over {2}} + {1} over {2}]      ③ [eqn: e ^{{3} over {2}} +1]
④ [eqn: e ^{2} +1]       ⑤ [eqn: e ^{{5} over {2}} +1]

07 함수 [eqn: f(x)= {cases{x ^{n} `sin {1} over {x} `````&(x != 0)#```````````0&(x=0)}}]에 대한 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: n=0] 이면[eqn: f(x)]는[eqn: x=0]에서 불연속이다
ㄴ. [eqn: n=1] 이면[eqn: f(x)]는[eqn: x=0]에서 연속이지만       미분불가능하다.
ㄷ. [eqn: n=2] 이면[eqn: f(x)]는[eqn: x=0]에서 연속이고         [eqn: f {acute{}} (0)=1]이다.

① ㄱ          ② ㄴ         ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ       ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

08 반지름의 길이가 매초 [eqn: 2rmcm]씩 늘어나는 구가 있다. 반지름의 길이가 [eqn: 10rmcm]가 되는 순간의 구의 부피의 변화율은?
① [eqn: 800pi]        ② [eqn: 600 pi]       ③ [eqn: 450 pi]

④ [eqn: 200 pi]        ⑤ [eqn: 90 pi]

09 야구 경기에서 한 선수가 3루수에서 홈으로 달리고 있고, 텔레비전 중계용 카메라가 홈으로부터 30[eqn: rmm] 떨어진 위치에서 이 선수를 비추고 있다. 카메라에서 홈을 연결하는 직선과 홈과 3루를 연결하는 두 직선은 서로 수직이다. 이 선수가 홈에서 15[eqn: rmm] 떨어진 지점을 초속 8[eqn: rmm]의 속력으로 통과할 때, 카메라의 화면 중앙으로 이 선수를 계속 찍으려면 카메라는 얼마의 속력으로 회전해야 하는가? (단, 단위는 라디안/초)

① [eqn: {1} over {10}]        ② [eqn: {1} over {20}]       ③ [eqn: {8} over {45}]

④ [eqn: {16} over {75}]         ⑤ [eqn: {21} over {80}]

10 야구장의 베이스(루)는 한 변의 길이가 [eqn: 90]피트인 정사각형의 꼭짓점 위에 있다. 1루에서 2루를 향해 30피트/초의 속력으로 달리는 주자가 1루에서 60피트 떨어진 지점을 지날 때, 홈에서 멀어지는 속력은? (단, 단위는 피트/초)

① [eqn: {60 sqrt {7}} over {7}]        ② [eqn: {30 sqrt {11}} over {11}]

③ [eqn: {60 sqrt {11}} over {11}]       ④ [eqn: {30 sqrt {13}} over {13}]
⑤ [eqn: {60 sqrt {13}} over {13}]

11 지상의 [eqn: rmA]지점에 착륙에 있는 헬리콥터가 [eqn: 1200rmm]의 고도로 수직 상승하여 [eqn: 100rmm/]초의 속도로 지상과 평행하게 수평 비행을 한다고 한다. 이 헬리콥터가 수평 비행을 시작한 후 몇 초 후에 지상의 [eqn: rmA]지점에서 멀어지는 속력이 [eqn: 80rmm]/초가 되는가?

① [eqn: 10]          ② [eqn: 13]        ③ [eqn: 16]

④ [eqn: 19]         ⑤ [eqn: 22]

12 지점 [eqn: rmO]와 지점 [eqn: rmE] 사이의 거리는 [eqn: 40rmm]이다. 오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 [eqn: rmO]에서 출발하여 선분 [eqn: rmOE]에 수직인 반직선 [eqn: rmOS]를 따라 초속 3[eqn: rmm]의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발한 지 10초가 되는 순간 지점 [eqn: rmE]에서 출발하여 선분 [eqn: rmOE]에 수직인 반직선 [eqn: rmEN]을 따라 초속 4[eqn: rmm]의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 [eqn: rmOE]가 만나서 이루는 각을 [eqn: theta](라디안)라 할 때, 갑이 출발한 지 20초가 되는 순간 [eqn: theta]의 변화율은?

① [eqn: {21} over {290}]라디안/초    ② [eqn: {13} over {290}]라디안/초
③ [eqn: {7} over {290}]라디안/초   ④ [eqn: {3} over {290}]라디안/초
⑤ [eqn: {1} over {290}]라디안/초

13 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =xe ^{ax+b}]에 대하여 [eqn: f prime LEFT ( 0` RIGHT ) =7,`f' prime LEFT ( 0 RIGHT ) =28]이 성립할 때 , 상수[eqn: a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: b]는 상수)

14 [eqn: f(x)=e ^{x} `sin`pix]일 때, [eqn: lim _{x -> 1} {` {x ^{2} f(1)-f(x ^{2} )} over {x-1}}]의 값은?

① [eqn: pie]          ② [eqn: 2pie]         ③ [eqn: 3pie]
④ [eqn: 0]           ⑤ [eqn: -1]

15 [eqn: f(x)= LEFT ( x+ sqrt {x ^{2} +1} RIGHT ) ^{8}]일 때, [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT ) f' LEFT ( -1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

16 함수[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{b`sin` {pi } over {2} x+x+1`````&LEFT ( x >= 1 RIGHT )#ae ^{-x}&` LEFT ( x<1 RIGHT )}}]이 [eqn: x=1]에서 미분가능하도록 하는 상수 [eqn: a,`b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -3e]         ② [eqn: -e]         ③ [eqn: e]
④ [eqn: 2e]           ⑤ [eqn: 3e]

17 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 미분가능할 때, [eqn: lim _{x-> a} {` {a ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2} f LEFT ( a RIGHT )} over {sin` LEFT ( x-a RIGHT )}}]의 극한값을 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]와[eqn: f' LEFT ( a RIGHT )]를 써서 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: af' LEFT ( a RIGHT ) -af LEFT ( a RIGHT )]      ② [eqn: af prime LEFT ( a RIGHT ) -2af LEFT ( a RIGHT )]         ③ [eqn: a ^{2} f prime LEFT ( a RIGHT ) -af LEFT ( a RIGHT )]     ④ [eqn: a ^{2} f prime LEFT ( a RIGHT ) -2af LEFT ( a RIGHT )]       ⑤ [eqn: a ^{2} f prime LEFT ( a RIGHT ) +2af LEFT ( a RIGHT )]

18 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`2x]에 대하여 구간[eqn: LEFT [ 0,`pi RIGHT ]]에서 평균값의 정리를 만족하는 [eqn: c]의 값의 합은?

19 미분가능한 함수 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT { x` rm g LEFT ( it x RIGHT ) -1 RIGHT } ^{3}], [eqn: rmg LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2], [eqn: rmg' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]일 때, [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라.

20 미분가능한 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =-3], [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =3], [eqn: rm g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1], [eqn: rm g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =-2]를 만족할 때,
[eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( rmg LEFT ( itx RIGHT ) RIGHT ) +3} over {x-1}}]의 값은?

① [eqn: -6]         ② [eqn: -4]        ③ [eqn: -2]
④ [eqn: 2]           ⑤ [eqn: 4]

21 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 이차함수[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]=[eqn: x ^{2} +1]의 합성함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( f CIRC rm g RIGHT ) it LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: h' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =10]일 때, [eqn: f' LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 4]           ② [eqn: 5]          ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]           ⑤ [eqn: 8]

22 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( {x+a} over {x-a} RIGHT ) ^{10}]에 대하여 [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =5]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

23 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =tan`x]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 0} {{f LEFT ( tan`3x RIGHT )} over {2x}}]의 값은?
① [eqn: {3} over {2}]          ② [eqn: 2]         ③ [eqn: {5} over {2}]
④ [eqn: 3]            ⑤ [eqn: {7} over {2}]

24 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+sin`x RIGHT )][eqn: =tan`x]를 만족할 때, [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]          ② [eqn: 1]         ③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]            ⑤ [eqn: {5} over {2}]

25 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{ax+b}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1][eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -5]        ② [eqn: -4]       ③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]        ⑤ [eqn: -1]

26 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cos`x} over {sqrt {1+sin`x}}]일 때, [eqn: f' LEFT ( {pi} over {6} RIGHT ) timesf' LEFT ( {pi} over {6} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {sqrt {3}} over {16}]      ② [eqn: {sqrt {3}} over {8}]     ③ [eqn: {sqrt {3}} over {4}]
④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]      ⑤ [eqn: sqrt {3}]

27 [eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( 2 ^{ln`x} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =ln`2]를 만족하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라.

28 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln LEFT | tan`x+sec`x RIGHT |]에 대하여 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]는?

① [eqn: sin`x]       ② [eqn: cos`x]       ③ [eqn: tan`x]
④ [eqn: sec`x]        ⑤ [eqn: cosec`x]

29 [eqn: 0<x< {pi} over {2}]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln` LEFT ( tan`x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f' LEFT ( {pi} over {12} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]         ② [eqn: {sqrt {3}} over {2}]      ③ [eqn: sqrt {3}]
④ [eqn: 2]          ⑤ [eqn: 4]

30 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =log LEFT | {x-2} over {x+1} RIGHT |]에 대하여 [eqn: f prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: - {3} over {2`ln`3}]    ② [eqn: - {2} over {3`ln`3}]    ③ [eqn: - {1} over {2`ln`3}]
④ [eqn: {3} over {2`} ln`3]      ⑤ [eqn: {3} over {2`} ln`3]

31 반지름의 길이가 [eqn: 1rmcm]인 원의 반지름의 길이를 매초 [eqn: 1][eqn: rmcm]의 일정한 비율로 늘려갈 때, [eqn: 5]초 후의 이 원의 넓이의 변화율은?

① [eqn: 10 pi ` rm cm ^{2} /]초       ② [eqn: 12 pi ` rm cm ^{2} /]초
③ [eqn: 14 pi ` rm cm ^{2} /]초       ④ [eqn: 16 pi ` rm cm ^{2} /]초
⑤ [eqn: 18 pi ` rm cm ^{2} /]초

32 바람을 넣으면 완전한 구 모양으로 커지는 풍선이다. 이 풍선에 매초 [eqn: 10rmcm ^{3}]씩 일정하게 바람을 넣을 때, 겉넓이가 [eqn: 20rmcm ^{2}]인 순간 풍선의 반지름의 길이의 증가 속도는?

① [eqn: {1} over {2} rmcm/]초     ② [eqn: 1cm/]초     ③ [eqn: {3} over {2} rm cm/]초
④ [eqn: rm 2cm/]초      ⑤ [eqn: {5} over {2} rm cm/]초

33 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( ln`x RIGHT ) ^{2}]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 1} {{f' LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {e}]         ② [eqn: {1} over {2}]         ③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]          ⑤ [eqn: e]

34 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 0} {`f LEFT ( x-a RIGHT )}][eqn: lim _{x -> 0} {`f LEFT ( x-a RIGHT )}][eqn: =1]이 성립할 때, [eqn: lim _{x -> 0} {` {5f LEFT ( x RIGHT ) +2} over {3f LEFT ( x RIGHT ) -2}}]의 값은?

① [eqn: 5]          ② [eqn: 6]        ③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]           ⑤ [eqn: 9]

35 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = {z} over {f LEFT ( x RIGHT ) +1}]이고, [eqn: rm g LEFT ( it 0 RIGHT )][eqn: = {1} over {3}]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?
① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

36 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]=[eqn: x ^{2} +k]에 대하여 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]이라고 할 때, [eqn: rm g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =20]을 만족하는 상수 [eqn: k]의 값은?
① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		1. 여러 가지 미분법			반 / 번호
	03 역함수의 미분법					이름
		ㅉ

01 [eqn: - {pi} over {2} <x< {pi} over {2}]에서[eqn: y=tan`x]의 역함수를 [eqn: y=g(x)]라고 할 때, [eqn: g {acute{}} ( sqrt {3)}]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]          ② [eqn: {1} over {3}]         ③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {5}]           ⑤ [eqn: {1} over {6}]

02 함수 [eqn: f(x)=2x+cos`x]의 역함수를 [eqn: y=g(x)]라고 할 때, [eqn: g'(1)]의 값은?

① [eqn: 0]          ② [eqn: {1} over {2}]         ③ [eqn: 1]
④ [eqn: {3} over {2}]          ⑤ [eqn: 2]

03 미분가능한 함수[eqn: y=f(x)]의 역함수를 [eqn: y=g(x)]라고 하자. [eqn: f(2)=3,`f'(2)=5]일 때의 값을 구하시오.

04 [eqn: y=ln` LEFT | x RIGHT |]의 도함수는?

① [eqn: {1} over {LEFT | x RIGHT |}]       ② [eqn: - {1} over {LEFT | x RIGHT |}]      ③ [eqn: {1} over {x}]
④ [eqn: - {1} over {x}]         ⑤ [eqn: 0]

05 [eqn: y= {LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3}}]의 [eqn: x=1]에서의 분계수는?

① [eqn: -70]       ② [eqn: -52]      ③ [eqn: -34]
④ [eqn: -16]         ⑤ [eqn: 2]

06 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {x}]일 때, 폐구간[eqn: LEFT [ a,`a+h RIGHT ]]에서의 평균값의 정리 [eqn: f LEFT ( a+h RIGHT ) =f LEFT ( a RIGHT ) +hf' LEFT ( a+thetah RIGHT )]
[eqn: LEFT ( a<0,`0<theta<1 RIGHT )]를 만족시키는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: lim _{k-> 0} {`theta}]의 값은?

① [eqn: 0`]         ② [eqn: {1} over {2}]         ③ [eqn: 1]
④ [eqn: {3} over {2}]        ⑤ [eqn: 2]

07 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = sqrt {x ^{2} -4x+1}]의 역함수를 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )]라고 할 때,  [eqn: rm g prime LEFT ( it 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: - {3} over {2}]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: - {1} over {2}]
④ [eqn: {1} over {2}]          ⑤ [eqn: 1]

08 미분가능한 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: y= rm g LEFT ( itx RIGHT )]라고 하자. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =3], [eqn: f' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: 5rmg' LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

09 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos`x LEFT ( 0<x< {pi} over {2} RIGHT )]이 역함수를 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )]라고 할 때, [eqn: rmg' LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]이 값은?

① [eqn: - {2 sqrt {3}} over {3}]    ② [eqn: - {3 sqrt {3}} over {5}]    ③ [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]
④ [eqn: {1} over {2}]          ⑤ [eqn: 1]

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		1. 여러 가지 미분법			반 / 번호
	04 이계도함수					이름
		ㅉ

01 함수 [eqn: y=e ^{ax} `sin`2x]에 대하여 [eqn: y''+4y prime +8y=0]이 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]       ② [eqn: -1]       ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 2]

02 함수 [eqn: y=e ^{x} cos`2x]에 대하여 [eqn: y''+ay prime +5y=0]이 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]       ② [eqn: -1]       ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 2]

03 함수[eqn: y=e ^{3x} `sin`x]에 대하여 [eqn: y''+ay'+by=0]이 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: a,`b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -4]       ② [eqn: -2]       ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]          ⑤ [eqn: 4]

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		1. 여러 가지 미분법			정답
	01 함수의 몫의 미분법
		ㅉ

01   ⑤

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {2`sin`x} over {LEFT ( 1+cos`x RIGHT )}]

해

설

[eqn: thereforef' LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: {2`sin` {pi } over {2}} over {LEFT ( 1+cos` {pi} over {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =2]

02  ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =tan`x]에서 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sec ^{2} x]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2`sec`x`sec`x`tan`x`][eqn: =2· {1} over {cos ^{2} x} ·tan`x]
[eqn: thereforef' LEFT ( {pi} over {4} RIGHT )][eqn: =2· {1} over {cos ^{2} {pi} over {4}} ·tan {pi} over {4}][eqn: =4]

해

설

03  ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT ) prime LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) -} over {}]
[eqn: {LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT ) LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) prime } over {LEFT ( sin`x+cosx RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {2} over {1+sin`2x}]
[eqn: THEREFORE f' LEFT ( pi RIGHT )]=[eqn: = {2} over {1+sin`2pi}][eqn: =2]

해

설

04   ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{2}]이라고 하면 [eqn: x>0]일 때, [eqn: sin`x<x]이므로 구간 [eqn: LEFT [ sin`x,~x RIGHT ]]에서 평균값의 정리에 의하여 [eqn: {e ^{x} -e ^{sin`x}} over {x-sin`x}][eqn: =f' LEFT ( c RIGHT )][eqn: LEFT ( sinx<c<x RIGHT )]인 [eqn: c] 적어도 하나 존재한다.
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{2}]이므로 [eqn: {e ^{x} -e ^{sin`x}} over {x-sin`x}][eqn: =e ^{c}]
[eqn: x` -> +0]이면 [eqn: sin`x<c<x]에서 [eqn: c` -> `+0]이므로
[eqn: lim _{x-> -0} {{e ^{x} -e ^{sin`x}} over {x-sin`x}}][eqn: = lim _{c-> +0} {e ^{c}}][eqn: =1]

해

설

05  ③

답

[eqn: lim _{h-> 0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f LEFT ( 1-3h RIGHT )} over {h}}][eqn: = lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( 1-3h RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}}][eqn: =2f' LEFT ( 1 RIGHT ) +3f' LEFT ( 1 RIGHT ) =5f' LEFT ( 1 RIGHT )]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {2x·x ^{3} - LEFT ( x ^{2} -2 RIGHT ) ·3x ^{2}} over {x ^{6}}][eqn: = {-x ^{2} +6} over {x ^{4}}]
[eqn: therefore5f' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =5·5][eqn: =25]

해

설

06  ②

답

[eqn: LEFT ( rm i RIGHT )] [eqn: x` -> `1]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ` -> `1]이므로 [eqn: lim _{x-> 1} {`f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =1]
[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )] [eqn: x` -> ` INF]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ` -> `-2]이므로 [eqn: lim _{x -> INF } {`f LEFT ( x RIGHT )}]       [eqn: =-2]
[eqn: LEFT ( rm i RIGHT )], [eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )]에서 구하는 합은 [eqn: -1]이다.

해

설

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		1. 여러 가지 미분법			정답
	02 합성함수의 미분법
		ㅉ

01   (1)[eqn: {1} over {2 sqrt {x}}]  (2)[eqn: {3} over {2} sqrt {x}]  (3)[eqn: - {2} over {x ^{3}}]

답

02  (1)[eqn: 2x`cos`x ^{2}]  (2)[eqn: 2`sin`x`cos`x]  (3)[eqn: -tan`x]

답

03  ⑤

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이지만 미분가능하지 않으므로 [eqn: lim _{x-> 0} {`f(x)=f(0)}]이지만 [eqn: f {acute{}} (0)]의 값이 존재하지 않는다.
ㄱ. [eqn: y=f(x)sin`x]에서 [eqn: lim _{h-> 0} {` {f(h)`sin`h-0} over {h} = lim _{h-> 0} {`f(h)=f(0)}}]
ㄴ. [eqn: y=x ^{2} f(x)]에서 [eqn: lim _{h -> 0} {` {h ^{2} f`(h)-0} over {h} = lim _{h -> 0} {`hf(h)=0}}]
ㄷ. [eqn: y= {1} over {1+xf(x)}]에서 [eqn: lim _{h -> 0} {` {{1} over {1+hf(h)} -1} over {h} = lim _{h -> 0} {` {-hf(h)} over {h(1+hf(h))} `}}]                            [eqn: = lim _{h -> 0} {` {-f(h)} over {1+hf(h)} =-f(0)}]
따라서 [eqn: x=0]에서 미분가능한 함수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답

해

설

04  ②

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {tan`x} ·`sec ^{2} x= {cos`x} over {sin`x} · {1} over {cos ^{2} x}]      [eqn: ```````````````= {1} over {sin`x`cos`x} = {2} over {sin`2x}]이므로
[eqn: f' LEFT ( {pi} over {12} RIGHT ) = {2} over {sin` {pi} over {6}} =4]
한편, [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) = {1+ {x} over {sqrt {x ^{2} +1}}} over {x+ sqrt {x ^{2} +1}} = {1} over {sqrt {x ^{2} +1}}]
이므로 [eqn: g prime LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) = {1} over {2} `````````` THEREFORE f prime LEFT ( {pi } over {12} RIGHT ) ·g prime LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) =2]

답

해

설

05  [eqn: 2]

[eqn: f(x)= {1} over {2} LEFT { ln LEFT ( 1+sin`x RIGHT ) -ln LEFT ( 1-sin`x RIGHT ) RIGHT }]이므로 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( {cos`x} over {1+sin`x} - {-cos`x} over {1-sin`x} RIGHT ) = {1} over {cos`x}# ````````# THEREFORE f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1]
한편, [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) = {2x} over {x ^{2} +1}]이므로 [eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT ) =1]
[eqn: thereforef' LEFT ( 0 RIGHT ) +g' LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

답

해

설

06  ②

[eqn: LEFT ( rm i` it RIGHT ) x=1]일 때 함수값이 같아야 하므로 [eqn: a+1+ln`b]
[eqn: LEFT ( rm ii it RIGHT ) ` LEFT ( ax ^{2} +1 RIGHT ) '=2ax,`` LEFT ( lnbx RIGHT ) '= {1} over {x}]이고 [eqn: x=1]일        때 미분계수가 같아야 하므로 [eqn: a= {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE {3} over {2} =ln`b`````````` THEREFORE b=e ^{{3} over {2}} ````` THEREFORE a+b=e ^{{3} over {2}} + {1} over {2}]

답

해

설

07  ③

[eqn: f(x)=sin {1} over {x} ,`f(x)=x`sin {1} over {x} ,`f(x)=x ^{2} `sin {1} over {x} `]에 대하여[eqn: lim _{x-> 0} {`f(x)}]와 [eqn: f {acute{}} (0)]을 구해보면 ㄱ, ㄴ만 참이다.

답

해

설

08  ①

[eqn: rm V= it {4} over {3} pi r ^{2}]에서 [eqn: {d`V it} over {dt} =4 pi r ^{2} · {dr} over {dt} =800 pi LEFT ( rmcm ^{3} /초 RIGHT )]

답

해

설

09   ④

다음 그림과 같이 카메라가 회전하는 각도를 [eqn: theta], 홈에서 선수까지의 거리를 [eqn: x` rm m]로 놓으면 [eqn: tan theta = {x} over {30} CDOTS ㉠]

답

해

설

[eqn: {dx} over {dt} =-8]임을 이용하여[eqn: LEFT | {d theta } over {dt} RIGHT |]를 구한다.
㉠의 양변을 시각 [eqn: t]에 대하여 미분하면 [eqn: sec ^{2} theta {d`theta} over {dt} = {1} over {30} · {dx} over {dt}]
[eqn: THEREFORE {d theta } over {dt} =- {8} over {30} · {1} over {sec ^{2} theta } =- {4} over {15} `cos ^{2} theta]
조건에서 [eqn: x=15]일 때 [eqn: costheta= {2} over {sqrt {5}}]이므로

[eqn: LEFT | {d theta } over {dt} RIGHT | = LEFT | - {4} over {15} · {4} over {5} RIGHT | = {16} over {75}](라디안/초)

10   ⑤

주자의 위치에서 1루와 홈까지의 거리를 각각 [eqn: x]피트. [eqn: y]피트라고 하면 [eqn: x ^{2} +90 ^{2} =y ^{2}]	양변을 시각[eqn: t]에 대하여 미분하면 [eqn: 2x {dx} over {dt} =2y {dy} over {dt} ```````therefore {dy} over {dt} = {x} over {y} · {dx} over {dt}]
[eqn: x=60]일 때 [eqn: y=30 sqrt {13} ,` {dx} over {dt} =30]이므로
[eqn: LEFT | {dy} over {dt} RIGHT | = {60 sqrt {13}} over {13}](피트/초)

답

해

설

11   ③

답

해

설

[eqn: rmA]지점에서 고도[eqn: 1200rmm]인 지점을 [eqn: rmB], [eqn: t]초 후 헬리콥터의 위치를 [eqn: rmC]라고 하고, [eqn: rm {bar{BC}} ` it =x rm m,` rm] [eqn: rmbarAC` it =y rm m]라고 하면 [eqn: x ^{2} +1200 ^{2} =y ^{2}] 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면 [eqn: 2x {dx} over {dt} =2y {dy} over {dt} ,` {dx} over {dt} =100,` {dy} over {dt} =80]이므로 [eqn: 5x=4y] 따라서 [eqn: x=1600,`y=2000]이므로 [eqn: 1600rmm]를 100[eqn: rmm]/초로 비행한 시간은 [eqn: 16]초이다.

12  ③

[eqn: t]초 후의 갑의 위치는[eqn: LEFT ( 0,`-3t RIGHT )], 을의 위치는 [eqn: LEFT ( 40,`4t-40 RIGHT )]  (단, [eqn: t]>=10)
[eqn: tan` theta = {3t+4t-40} over {40} = {7} over {40} t-1,`][eqn: cos ^{2} theta = {1} over {sec ^{2} theta } = {1} over {1+tan ^{2} theta }]이므로 [eqn: t=20]이면 [eqn: tan`theta= {5} over {2}]이고, [eqn: cos ^{2} theta= {4} over {29}]이다.
[eqn: sec ^{2} theta {d theta } over {dt} = {7} over {40}]에서 [eqn: LEFT [ {d theta } over {dt} RIGHT ] _{t=20} = {7} over {40} TIMES {4} over {29} = {7} over {290}](라디안/초)

답

해

설

13  [eqn: 2]

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =e ^{ax+b} LEFT ( 1+ax RIGHT ) ,`f '' LEFT ( x RIGHT ) =ae ^{ax+b} LEFT ( 2+ax RIGHT )# # f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =e ^{b} =7``````` THEREFORE b=ln7# # f '' LEFT ( 0 RIGHT ) =2ae ^{b} =28```````````` THEREFORE a=2]

답

해

설

14  ②

[eqn: lim _{x -> 1} {` {x ^{2} f(1)-f(x ^{2} )} over {x-1}}# # = lim _{x -> 1} {` LEFT { {x ^{2} f(1)-f(1)} over {x-1} - {f(x ^{2} )-f(1)} over {x-1} RIGHT }}# # =2f(1)-2f' LEFT ( 1 RIGHT )]
한편, [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} `sin`pix+pie ^{x} `cospix]이므로[eqn: f prime LEFT ( 1 RIGHT ) =- pi e,`f LEFT ( 1 RIGHT ) =0# # THEREFORE `(준식)=2·0-2· LEFT ( - pi e RIGHT ) =2 pi e]

답

해

설

15  [eqn: 32]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =8 LEFT ( x+ sqrt {x ^{2} +1} RIGHT ) ^{7} LEFT ( 1+ {2x} over {2 sqrt {x ^{2} +1}} RIGHT )# # thereforef' LEFT ( 1 RIGHT ) ` LEFT ( -1 RIGHT ) =8 LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT ) ^{7} LEFT ( 1+ {1} over {sqrt {2}} RIGHT )# ```````````````````````````````````````````````````·8 LEFT ( -1+ sqrt {2} RIGHT ) ^{7} LEFT ( 1- {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) =32]

답

해

설

16  ⑤

[eqn: x=1]일 때 함수값이 같아야 하므로 [eqn: b+2= {a} over {e} ,~x=1]일 때 미분계수가 같아야 하므로 [eqn: -a· {1} over {e} =1```````````thereforea=-e,`b=-3``````````thereforeab=3e]

답

해

설

17  ④

[eqn: (준식)= lim _{x -> a} {` {a ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) -a ^{2} f LEFT ( a RIGHT ) +a ^{2} f LEFT ( a RIGHT ) -x ^{2} f LEFT ( a RIGHT )} over {sin` LEFT ( x-a RIGHT )} ``}# # = lim _{x -> a} {` {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } a ^{2} - LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT )} over {sin` LEFT ( x-a RIGHT )} ``}# # = lim _{x -> a} {` {x-a} over {sin` LEFT ( x-a RIGHT )} TIMES LEFT { {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {x-a} ·a ^{2} - LEFT ( x+a RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } ``}# # =a ^{2} f prime LEFT ( a RIGHT ) -2af LEFT ( a RIGHT ) `]

답

해

설

18  ③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin``2x]는 폐구간 [eqn: LEFT [ 0,`pi RIGHT ]]에서 연속이고 개구간 [eqn: LEFT ( 0,`pi RIGHT )]에서 미분가능하므로
[eqn: f prime LEFT ( c RIGHT ) = {sin`2x-sin`2·0} over {x-2} =2`cos`2c`````````(단,`o<c<x)`]
[eqn: THEREFORE `cos`2c=0]   따라서[eqn: 2c= {pi} over {2} ,` {3} over {2} pi]이므로
[eqn: c= {pi } over {4} ,` {3} over {4} pi `````````````````` THEREFORE {pi } over {4} + {3} over {4} pi = pi].

답

해

설

19  [eqn: 9]

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3 LEFT { x` rm g LEFT ( it x RIGHT ) -1 RIGHT } ^{2} LEFT { x` rm g LEFT ( it x RIGHT ) -1 RIGHT } ^{'}]
[eqn: =3 LEFT { x` rm g LEFT ( it x RIGHT ) -1 RIGHT } ^{2} LEFT { rm g LEFT ( it x RIGHT ) +x`rmg prime LEFT ( it x RIGHT ) RIGHT }]
주어진 조건에서 [eqn: rmg LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2], [eqn: rmg' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]이므로 위의 식에 [eqn: x=1]을 대입하면
[eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =3 LEFT { 1` rm ·g LEFT ( 1 RIGHT ) -1 RIGHT } ^{2} LEFT { rm g LEFT ( 1 RIGHT ) +1·` rm g prime LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT }][eqn: =9]

해

설

20  ①

답

[eqn: f LEFT ( rmg LEFT ( itx RIGHT ) RIGHT )][eqn: =h LEFT ( x RIGHT )]로 놓으면
[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( rm g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( rm 1 RIGHT )][eqn: =-3]이므로
[eqn: lim _{h -> 1} {{f LEFT ( rmg LEFT ( itx RIGHT ) RIGHT ) +3} over {x-1}}][eqn: = lim _{h -> 1} {{h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =h prime LEFT ( 1 RIGHT )]
[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f prime LEFT ( rm g LEFT ( it x RIGHT ) RIGHT ) rm g prime LEFT ( itx RIGHT )]이므로
[eqn: h prime LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f prime LEFT ( rm g LEFT ( it 1 RIGHT ) RIGHT ) rm g prime LEFT ( it 1 RIGHT )][eqn: =f' LEFT ( 1 RIGHT ) rmg' LEFT ( 1 RIGHT )]
[eqn: =3times LEFT ( -2 RIGHT ) =-6]

해

설

21   ②

답

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]=[eqn: f LEFT ( rmg LEFT ( itx RIGHT ) RIGHT )]이므로 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( rmg LEFT ( itx RIGHT ) RIGHT ) rmg' LEFT ( itx RIGHT )] 양변에 [eqn: x][eqn: =1]을 대입하면 [eqn: h' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f prime LEFT ( rm g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) rmg' LEFT ( 1 RIGHT )]        ……㉠
[eqn: rm g LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =x ^{3} +1]에서 [eqn: rm g' LEFT ( it x RIGHT )][eqn: =2x]이므로 [eqn: rmg LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2],  [eqn: rm g prime LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2] ……㉡
[eqn: h' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =10]이므로 ㉠, ㉡세어 [eqn: f' LEFT ( 2 RIGHT ) ·2][eqn: =10]  [eqn: thereforef' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =5]

해

설

22   ④

답

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =10 LEFT ( {x+a} over {x-a} RIGHT ) ^{9} LEFT ( {x+a} over {x-a} RIGHT ) ^{'}][eqn: =- {20a LEFT ( x+a RIGHT ) ^{9}} over {LEFT ( x-a RIGHT ) ^{11}}]
[eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = {20} over {a}][eqn: =5]이므로 [eqn: a][eqn: =4]

해

설

23  ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sec ^{2} x]이므로 [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]
[eqn: therefore lim _{x -> 0} {{f LEFT ( tan`3x RIGHT )} over {2x}}]
[eqn: = lim _{x -> 0} {{1} over {2}} LEFT { {f LEFT ( tan`3x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {tan`3x} · {tan`3x} over {3x} ·3 RIGHT }]
[eqn: = {3} over {2} f' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = {3} over {2}]

해

설

24  ①

답

[eqn: f LEFT ( x+sin`x RIGHT )][eqn: =tanx]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f LEFT ( x+sin`x RIGHT ) LEFT ( x+cos`x RIGHT )][eqn: =sec ^{2} x]
양변에 [eqn: x][eqn: =0]을 대입하면 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ·2][eqn: =1]
[eqn: thereforef' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = {1} over {2}]

해

설

25  ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{ax+b}]에서
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =e ^{a+b} =1]   [eqn: thereforea+b][eqn: =0]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( ax+b RIGHT ) 'e ^{ax+b}][eqn: =ae ^{ax+b}]에서
[eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =ae ^{a+b}][eqn: =2]
[eqn: THEREFORE][eqn: a][eqn: =2], [eqn: b][eqn: =-2]   [eqn: thereforeab][eqn: =-4]

해

설

26  ①

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {-sin`x sqrt {1+sin`x} -cos`x· {cos`x} over {2 sqrt {1+sin`x}}} over {1+sin`x}]
[eqn: =- {sqrt {1+sin`x}} over {2}]
[eqn: f prime ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =- {1} over {2} · {cos`x} over {2 sqrt {1+sin`x}}][eqn: =- {cos`x} over {4 sqrt {1+sin`x}}]
[eqn: thereforef' LEFT ( {pi} over {6} RIGHT ) timesf'' LEFT ( {pi} over {6} RIGHT )][eqn: =- {sqrt {6}} over {4} times LEFT ( - {sqrt {2}} over {8} RIGHT )][eqn: = {sqrt {3}} over {16}]

해

설

27  [eqn: 1]

답

[eqn: F LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 2 ^{ln`x} RIGHT )]으로 놓으면 [eqn: F LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 2 ^{ln`x} RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )]이므로
[eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( 2 ^{ln`x} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =ln`2]에서 [eqn: lim _{x -> 1} {{F LEFT ( x RIGHT ) -F LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =ln2]    [eqn: thereforeF' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =ln`2]
[eqn: F prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f prime LEFT ( 2 ^{ln`x} RIGHT ) LEFT ( 2 ^{ln`x} RIGHT ) '][eqn: =f prime LEFT ( 2 ^{ln`x} RIGHT ) ·2 ^{ln`x} ·ln`2· {1} over {x}]
[eqn: thereforeF' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f' LEFT ( 1 RIGHT ) ·1·ln`2·1][eqn: =ln`2]    [eqn: thereforef' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]

해

설

28  ④

답

해

설

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {LEFT ( tan`x+sec`x RIGHT ) prime } over {tan`x`sec`x}]

[eqn: = {sec ^{2} x+sec`x`tan`x} over {tan`x+sec`x}]

[eqn: = {sec ^{2} x LEFT ( tan`x+sec`x RIGHT )} over {tan`x+sec`x} =sec`x]

29  ⑤

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {LEFT ( tan`x RIGHT ) '} over {tan`x}][eqn: = {1} over {tan`x} ·sec ^{2} x][eqn: = {cos`x} over {sin`x`}]
[eqn: = {1} over {sin`x`cos`x}][eqn: = {2} over {sin`2x}]
[eqn: THEREFORE f prime LEFT ( {pi} over {12} RIGHT )][eqn: = {2} over {sin {pi} over {6}}][eqn: = {2} over {{1} over {2}}][eqn: =4]

해

설

30  ①

답

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT ( {x-2} over {x+1} RIGHT ) ^{prime }} over {{x-2} over {x+1} `ln`3}][eqn: = {{x+1- LEFT ( x-2 RIGHT )} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}}} over {{x-2} over {x+1} `ln`3}]               [eqn: = {{3} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}}} over {{x-2} over {x+1} `ln`3}][eqn: = {3} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ln`3}]
[eqn: thereforef' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =- {3} over {2`ln`3}]

해

설

31  ②

답

[eqn: t]초 후의 반지름의 길이가 [eqn: 1+t]이므로 [eqn: t]초 후의 원의 넓이 [eqn: rmS LEFT ( it`t RIGHT )]는
[eqn: rmS LEFT ( it`t RIGHT )][eqn: =pi LEFT ( 1+t RIGHT ) ^{2}][eqn: =pi LEFT ( 1+2t+t ^{2} RIGHT )]
[eqn: rm S prime it ` LEFT ( it`t RIGHT )][eqn: =pi LEFT ( 2+2t RIGHT )]
[eqn: thereforermS' LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: =12pi]([eqn: rmcm ^{2} /]초)

해

설

32  ①

답

반지름의 길이가 [eqn: r]인 구의 부피는 [eqn: V][eqn: = {4} over {3} pir ^{3}],
겉넓이는 [eqn: S=4pir ^{2}]이므로
[eqn: {dV} over {dt}][eqn: = {dV} over {dt} · {dr} over {dt}][eqn: =4pir ^{2} {dr} over {dt}][eqn: =S· {dr} over {dt}],[eqn: 10][eqn: =20· {dr} over {dt}]   [eqn: THEREFORE {dr} over {dt} = {1} over {2}]([eqn: rmcm/]초)

해

설

33   ④

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( ln`x RIGHT ) {1} over {x}]에서 [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: therefore lim _{x-> 1} {{f' LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}][eqn: = lim _{x-> 1} {{f' LEFT ( x RIGHT ) -f' LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =f' prime LEFT ( 1 RIGHT )]
[eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( {1} over {x} · {1} over {x} - {1} over {x ^{2}} `ln`x RIGHT )]에서 [eqn: f'' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2]
[eqn: therefore lim _{x-> 1} {{f' LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =2]

해

설

34   ③

답

[eqn: x-a][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: x` -> `a]일 때, [eqn: t` -> `0]이므로 [eqn: lim _{x -> 0} {`f LEFT ( x-a RIGHT )}][eqn: = lim _{x -> 0} {`f LEFT ( t RIGHT )}][eqn: =1]
[eqn: therefore lim _{x -> 0} {` {5f LEFT ( x RIGHT ) +2} over {3f LEFT ( x RIGHT ) -2}}][eqn: = {5·1+2} over {3·1-2}][eqn: =7]

해

설

35   ②

답

[eqn: rmg' LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = {f LEFT ( x RIGHT ) +1-xf' LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +1 RIGHT } ^{2}}]
[eqn: rm g prime LEFT ( it 0 RIGHT )][eqn: = {f LEFT ( 0 RIGHT ) +1} over {LEFT { f LEFT ( 0 RIGHT ) +1 RIGHT } ^{2}}][eqn: = {1} over {f LEFT ( 0 RIGHT ) +1}][eqn: = {1} over {3}]
[eqn: thereforef LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2]

해

설

36  ④

답

[eqn: rmg' LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = LEFT { LEFT ( x ^{2} +k ^{2} RIGHT ) ^{2} RIGHT } =4x prime LEFT ( x ^{2} +k RIGHT )]
[eqn: rm g prime LEFT ( it 1 RIGHT )][eqn: =20]이므로 [eqn: 4 LEFT ( 1+k RIGHT )][eqn: =20], 1+ㅏ[eqn: =5]
[eqn: thereforek=4]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		1. 여러 가지 미분법			정답
	03 역함수의 미분법
		ㅉ

01  ③

[eqn: y=tan`x`]의 역함수는 [eqn: x=tany]
[eqn: y'(x)= {dy} over {dx} = {1} over {{dx} over {dy}} = {1} over {sec ^{2} y} = {1} over {1+tan ^{2} y} + {1} over {1+x ^{2}} `][eqn: THEREFORE g'( sqrt {3} )= {1} over {1+( sqrt {3} ) ^{2}} = {1} over {4}]

답

해

설

02  ②

[eqn: f(x)=2x+cos`x]의 역함수는 [eqn: x=2y+cos`y]
[eqn: thereforeg {acute{}} (x)= {dy} over {dx} = {1} over {{dx} over {dy}} = {1} over {2-sin`y}]
[eqn: x=2y+cos`y`]에서 [eqn: x=1]일 때 [eqn: y=0]
[eqn: THEREFORE g {acute{}} (1)= {1} over {2-sin`0} = {1} over {2}]

답

해

설

03  [eqn: 1]

[eqn: f(a)=b]일 때 [eqn: g'(b)= {1} over {f'(a)} ## THEREFORE 5g'(3)= {5} over {f'(2)} =1]

답

해

설

04  ③

[eqn: x>0]일 때, [eqn: y=ln`x]이므로 [eqn: y'= {1} over {x} ,``x<0]일 때, [eqn: y=ln LEFT ( -x RIGHT )]이므로 [eqn: y'= {1} over {-x} · LEFT ( -1 RIGHT ) = {1} over {x}]
[eqn: thereforey'= {1} over {x}]

답

해

설

05  ②

양변에 자연로그를 취하면
[eqn: ln`y=ln LEFT | x+2 RIGHT | +2`ln LEFT | x+1 RIGHT | -3`ln LEFT | x-2 RIGHT |]
양변을 미분하면 [eqn: {1} over {y} y prime = {1} over {x+2} + {2} over {x+1} - {3} over {x-2}# # THEREFORE y prime _{x=1} = {LEFT ( 1+2 RIGHT ) LEFT ( 1+1 RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( 1-2 RIGHT ) ^{2}}# # ```````````````````````````````````````· LEFT ( {1} over {1+2} + {2} over {1+1} - {3} over {1-2} RIGHT ) =-52]

답

해

설

06  ②

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2 sqrt {x}}]이므로

답

해

설

[eqn: sqrt {a+b} = sqrt {a} +h· {1} over {2 sqrt {a+ theta h}}]이고

[eqn: 2 sqrt {a+thetah} = {h} over {sqrt {a+h} - sqrt {a}}]에서
[eqn: theta= {-2a+h+2 sqrt {a LEFT ( a+h RIGHT )}} over {4h}]
[eqn: THEREFORE lim _{h -> 0} {` theta {8ah-h ^{2}} over {4h LEFT ( 2 sqrt {a LEFT ( a+h RIGHT )} +2a-h RIGHT )}}# # = lim _{h -> 0} {` theta {8a-h} over {4 LEFT ( 2 sqrt {a LEFT ( a+h RIGHT )} +2a-h RIGHT )} = {8a} over {16a} = {1} over {2}}]

07  ③

답

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]에서 [eqn: rmg LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이므로
[eqn: rmg' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {1} over {f' LEFT ( rmg LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )}][eqn: = {1} over {f' LEFT ( 0 RIGHT )}]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {x-2} over {sqrt {x ^{2} -4x+1}}]이므로 [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =-2]
[eqn: thereforermg' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {1} over {f' LEFT ( 0 RIGHT )}][eqn: =- {1} over {2}]

해

설

08   ①

답

[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 [eqn: y][eqn: =rmg LEFT ( itx RIGHT )]이므로
[eqn: f LEFT ( rmg LEFT ( itx RIGHT ) RIGHT )][eqn: =x]양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f LEFT ( rmg LEFT ( itx RIGHT ) RIGHT )][eqn: rmg' LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =1]    [eqn: thereforermg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = {1} over {f' LEFT ( rmg LEFT ( itx RIGHT ) RIGHT )}]
[eqn: therefore5rmg' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: = {5} over {f' LEFT ( rmg LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT )}]=[eqn: {5} over {f' LEFT ( 2 RIGHT )}][eqn: =1]

해

설

09   ①

답

[eqn: y][eqn: =cos`x]의 역함수는 [eqn: x][eqn: =cos`y]이고,
[eqn: {dx} over {dy}][eqn: =-sin`y]이므로
[eqn: {dy} over {dx}][eqn: =- {1} over {sin`y}][eqn: =- {1} over {sqrt {1-cos ^{2} y}}][eqn: =- {1} over {sqrt {1-x ^{2}}}]     [eqn: = rm g prime LEFT ( itx RIGHT )]
[eqn: thereforermg' LEFT ( {1} over {2} RIGHT )][eqn: =- {1} over {sqrt {1- {1} over {4}}}][eqn: =- {2 sqrt {3}} over {2}]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		1. 여러 가지 미분법			정답
	04 이계도함수
		ㅉ

01  ①

[eqn: y prime =e ^{ax} a`sin`2x+e ^{ax} cos`2x·2]

답

해

설

[eqn: =e ^{ax} LEFT ( a`sin`2x+2`cos`2x RIGHT )]

[eqn: y''=e ^{ax} a LEFT ( `a`sin`2x+2cos`2x RIGHT )]

[eqn: =e ^{ax} LEFT ( 2a`cos`2x-4`sin`2x RIGHT )]

[eqn: =e ^{ax} LEFT ( a ^{2} `sin``2x-4`sin`2x+4a`cos`2x RIGHT )]

[eqn: y''+4y'+8y=0]에서

[eqn: e ^{ax} LEFT ( a ^{2} `sin`2x-4`sin`2x+4a`cos`2x RIGHT )## +4e ^{ax} LEFT ( a`sin`2x+2`cos`2x RIGHT ) +8e ^{ax} `sin`2x=0]

[eqn: LEFT ( a ^{2} +4a+4 RIGHT ) e ^{ax} `sin`2x+ LEFT ( 4a+8 RIGHT ) e ^{ax} `cos`2x=0]

위의 식이 [eqn: x]의 값에 관계없이 성립하므로

[eqn: a ^{2} +4a+4=0,````````4a+8=0`````````thereforea=-2]

02  ①

[eqn: y prime =e ^{x} LEFT ( cos`2x-2`sin`2x RIGHT ) ,# y '' =e ^{x} LEFT ( -3`cos`2x-4`sin`2x RIGHT )]
[eqn: y' prime +ay prime +5y=0]에서 [eqn: LEFT ( a+2 RIGHT ) e ^{x} `cos`2x-2 LEFT ( a+2 RIGHT ) e ^{x`} `sin`2x=0# # THEREFORE a+2=0```````````````````````` THEREFORE =-2]

답

해

설

03  ⑤

[eqn: y prime =e ^{3x} LEFT ( 3`sin`x+cos`x RIGHT ) ,`][eqn: y '' =e ^{3x} LEFT ( 8`sin`x+6`cos`x RIGHT )]
[eqn: y''+ay'+by=0]에서
[eqn: LEFT ( 8+3a+b RIGHT ) e ^{3x`} `sin`x+ LEFT ( 6+a RIGHT ) e ^{3x} `cos`x=0]
[eqn: thereforea=-6,`b=10````````````````thereforea+b=4]

답

해

설