미적분Ⅱ	Ⅰ. 지수함수와 로그함수		1. 지수함수와 로그함수의 미분			반 / 번호
	01 지수함수와 로그함수의 극한					이름
		ㅉ

01 다음 극한값을 구하시오.

(1) [eqn: lim _{x -> INF } {` {2 ^{x} +2 ^{-x}} over {2 ^{x} -2 ^{-x}}}]

(2) [eqn: lim _{x -> INF } {` LEFT { rm log` it rm _{2} LEFT ( x+1 RIGHT ) - rm log` it rm _{2it} x RIGHT }} it]

(3) [eqn: lim _{x -> INF } {`(1+3x) ^{{1} over {x}}}]

(4) [eqn: lim _{x -> INF } {` LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{2x}}]

02 다음 등식을 만족하는 [eqn: x]의 값을 구하시오.

(1)[eqn: ln(x+e)=1]

(2)[eqn: x=ln sqrt {e} +lne ^{2}]

03 [eqn: lim _{x-> INF } {`(3 ^{x} +2 ^{x} ) ^{{1} over {x}}}]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]

④ [eqn: INF]         ⑤ [eqn: 0]

04 극한값 [eqn: lim _{x-> INF } {` {1} over {1+a ^{x}}}]에 대한 의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: a>1]일 때 극한값은 [eqn: 1]이다.

ㄴ. [eqn: a=1]일 때 극한값은 [eqn: {1} over {2}]이다.

ㄷ. [eqn: 0<a<1]일 때 극한값은 [eqn: 1]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ        ⑤ ㄴ, ㄷ

05 [eqn: lim _{x -> +0} {` {1} over {1+2 ^{{1} over {x}}}} =a], [eqn: lim _{x -> -0} {` {1} over {1+2 ^{{1} over {x}}}} =b]        일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

06 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)= {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {n+1} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {n+2} RIGHT ) CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT )]일 때 ,[eqn: lim _{n -> INF } {`} LEFT { f(x) RIGHT } ^{n}]의 값은?

① [eqn: {1} over {sqrt {2}}]         ② [eqn: {1} over {e}]         ③ [eqn: sqrt {e}]

④ [eqn: e]              ⑤ [eqn: e ^{2}]

07 [eqn: A= lim _{n -> 0} {`} LEFT ( 1+ {2} over {x} RIGHT ) ^{x}], [eqn: B= lim _{n -> 0} {`} {e ^{4x} -1} over {x}]일 때, [eqn: {A} over {B}]의 값은?

① [eqn: {e ^{2}} over {4}]         ② [eqn: {e ^{2}} over {2}]         ③ [eqn: {e} over {4}]

④ [eqn: {e} over {2}]           ⑤ [eqn: e ^{2}]

08 [eqn: lim _{x -> 1} {`x} ^{{1} over {1-x}}]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: e]

④ [eqn: {1} over {e}]           ⑤ [eqn: 0]

09 [eqn: lim _{x -> 0} {`} {ln(1+2x)} over {ln(1+3x)}]의 값은?

① [eqn: {2} over {3}]           ② [eqn: {3} over {2}]           ③ [eqn: e ^{{2} over {3}}]

④ [eqn: ln` {2} over {3}]          ⑤ [eqn: {ln`2} over {ln3}]

10 [eqn: lim _{x -> 0} {`} {ln(1+x)} over {2x}]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]

④ [eqn: {1} over {2}]            ⑤ [eqn: {1} over {3}]

11 [eqn: lim _{x -> 0} {`} {ln(a+x)-lna} over {x}]의 값은?

① [eqn: {2} over {a}]           ② [eqn: {1} over {a}]           ③ [eqn: a]

④ [eqn: 2a]             ⑤ [eqn: a ^{2}]

12 [eqn: 1]년 동안 [eqn: 12%]의 이율로 한 번 계산한 원리합계보다 [eqn: 1]년 동안 매달 [eqn: 1%]의 이율로 [eqn: 12]회 복리로 계산한 원리합계가 더 크다. [eqn: 1]년을 균등하게 나누어 [eqn: {12} over {n}]%의 이율로 [eqn: n]회 복리로 계산한 [eqn: a]원에 대한 원리합계를 [eqn: f(n)]이라고 할 때, [eqn: lim _{n-> 0} {` {f(n)} over {a}}]의 값은?

① [eqn: 2]           ② [eqn: e ^{0.12}]           ③ [eqn: sqrt {e}]

④ [eqn: e]             ⑤ [eqn: e ^{2}]

13 어떤 쇠공을 [eqn: 100 CENTIGRADE]로 달군 다음 공기 중에 꺼내 놓으면 이때부터 [eqn: t]분 후에 쇠공의 온도가 낮아지는 변화율이

[eqn: lim _{DELTA t -> 0} {` {80(e ^{-0.5(t+ DELTA t)} -e ^{-0.5t} )} over {DELTA t}}]

으로 나타내어진다고 한다. 이때, 공기 중에 꺼낸 지 [eqn: 2]분 후에 쇠공의 온도가 낮아지는 변화율은?

① [eqn: - {2} over {e}]         ② [eqn: - {9} over {e}]         ③ [eqn: - {16} over {e}]

④ [eqn: - {28} over {e}]         ⑤ [eqn: - {40} over {e}]

14 [eqn: lim _{x -> INF } {`} {e ^{sqrt {x+1}}} over {e ^{sqrt {x}}}]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: 1]            ② [eqn: e]           ③ [eqn: e ^{2}]

④ [eqn: {1} over {e}]             ⑤ [eqn: {1} over {e ^{2}}]

15 [eqn: lim _{x -> 0} {`} {e ^{5x} -e ^{3x} -e ^{2x} +1} over {x ^{2}}]의 값을 구하시오.

16 [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( {x+1} over {x-1} RIGHT ) ^{x}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]         ② [eqn: {1} over {e}]           ③ [eqn: 1]

④ [eqn: e]             ⑤ [eqn: e ^{2}]

17 [eqn: lim _{x -> 0} {{ln` LEFT | x RIGHT |} over {LEFT | 2x RIGHT |}}]의 값을 구하시오.

18 [eqn: lim _{x -> 0} {{4 ^{x} -1} over {x}}]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 4]

④ [eqn: ln`2]          ⑤ [eqn: 2`ln`2]

19 [eqn: lim _{x -> 0} {{3 ^{{1} over {x}} +a} over {3 ^{{1} over {x}} +3 ^{x+1}}}]의 극한값이 존재할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

20 연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x-> 0} {` {e ^{2x} -1} over {f(x)}} =6]을 만족할 때,[eqn: lim _{x-> 0} {` {f(x)} over {x}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]          ② [eqn: {1} over {3}]           ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 2]              ⑤ [eqn: 3]

21 [eqn: x>=0]일 때, [eqn: f(x)= lim _{x -> INF } {` {1+x} over {1+ LEFT { log _{2} LEFT ( 1+x RIGHT ) RIGHT } ^{n}}}] 로 정의되는 함수[eqn: f(x)]의 그래프의 개형은?

22 함수[eqn: f(x)=(x+1) ^{cot`x} LEFT ( x != 0 RIGHT )]이 [eqn: x=0]에서 연속일 때, [eqn: f(0)]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: e]           ③ [eqn: 2e]

④ [eqn: 3e]           ⑤ [eqn: e ^{2}]

23 곡선[eqn: y=e ^{x}]위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 세 점 [eqn: rm rmA` it (0,`e),` rm B` it (0,`1),` rm C` it (1,1)]이 있다. [eqn: TRIANGLE rm PAB,` TRIANGLE rm PBC]의 넓이를 각각 [eqn: rm S _{1`} ,` rm S _{2}]라고 할 때, [eqn: lim _{x -> 0} {` {rm S _{1} it} over {rm S _{2} it}}]의 값은?

① [eqn: e-2]         ② [eqn: e-1]        ③ [eqn: 2e-3]

④ [eqn: 2(e-1)]       ⑤ [eqn: 2e-1]

24 다음 그림과 같이 지수함수 [eqn: y=a ^{x} (a>1)] 위의 점[eqn: rm A` it (0,`1),`rmP`it(t,`a ^{t} )]에 대하여 점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x]축에 내린 수선과 직선 [eqn: y=1]과의 교점을 [eqn: rmQ]라고 하자.

[eqn: lim _{t -> 0} {` {rm {bar{PQ}} it} over {rm {bar{AQ}} it}} =1]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2]          ② [eqn: sqrt {e}]        ③ [eqn: e]

④ [eqn: 2e]          ⑤ [eqn: e ^{2}]

25 [eqn: lim _{x-> INF } {` LEFT ( 1- {3} over {x} + {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{x}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {e ^{3}}]         ② [eqn: {1} over {e ^{2}}]        ③ [eqn: {1} over {e}]

④ [eqn: e]            ⑤ [eqn: e ^{2}]

26 [eqn: lim _{x -> 0} {`(1-x-2x ^{2} ) ^{{1} over {x}}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]         ② [eqn: {1} over {e ^{}}]        ③ [eqn: 1]

④ [eqn: e]            ⑤ [eqn: e ^{2}]

27 [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT { log _{2} 8x-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) RIGHT }}]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

28 [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT { log _{2} LEFT ( 2+ {1} over {x} RIGHT ) -1 RIGHT }}]의 값은?

① [eqn: {2} over {ln`2}]      ② [eqn: {1} over {2`ln`2}]     ③ [eqn: ln`2]
④ [eqn: {1} over {ln`2}]       ⑤ [eqn: 2`ln`2]

29 [eqn: lim _{x -> +0} {{ln LEFT ( {2} over {x} +3 RIGHT )} over {ln LEFT ( {4} over {x} +5 RIGHT )}}]의 값은?

① [eqn: -ln`2]      ② [eqn: {1} over {2}]      ③ [eqn: {3} over {5}]
④ [eqn: 1]           ⑤ [eqn: ln`2]

30 [eqn: x>1]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{h -> 0} {{LEFT ( log _{a} x RIGHT ) ^{h} -1} over {h}}][eqn: LEFT ( a>1,~a!=x RIGHT )]로 정의될 때, [eqn: f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )]의 값은?

① [eqn: ln`2]        ② [eqn: ln`3]        ③ [eqn: ln`4]
④ [eqn: ln`5]         ⑤ [eqn: ln`6]

31 [eqn: lim _{x -> +0} {{1} over {1+2 ^{{1} over {x}}}} =a], [eqn: lim _{x -> -0} {{1} over {1+2 ^{{1} over {x}}}} =b]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 2]

32 [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 1+ {4} over {x} + {3} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{x}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {e ^{4}}]         ② [eqn: {1} over {e ^{2}}]        ③ [eqn: e]
④ [eqn: e ^{2}]          ⑤ [eqn: e ^{4}]

33 [eqn: lim _{x -> INF } {{e ^{ax+b} -1} over {ln LEFT ( 1+cx RIGHT )}}][eqn: =3]일 때, [eqn: {a+b} over {c}]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

34 서로 다른 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 0} {{1} over {x} `ln {a ^{x} +b ^{x}} over {2}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {ln`ab}]         ② [eqn: 1]        ③ [eqn: ab]
④ [eqn: {1} over {2} `lnab]        ⑤ [eqn: ln`ab]

35 방정식 [eqn: log _{10} x][eqn: =4-x]는 하나의 실근을 갖는다. 이 실근이 자연수 [eqn: n]에 대하여 구간 [eqn: LEFT ( n,~m+1 RIGHT )]에 있을 때, [eqn: m]의 값으로 알맞은 것은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

36 양의 정수 [eqn: n]을 이진법으로 나타냈을 때의 자리의 수를 [eqn: a _{n}]이라고 하면 [eqn: 2 ^{a _{n} -1} LEQ n LEQ 2 ^{a _{n}}] 이 성립한다. 이때, [eqn: = lim _{x -> 0} {{log _{10} n} over {a _{n}}}]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: log _{10} 2]       ③ [eqn: log _{10} 4]
④ [eqn: log _{10} 5]      ⑤ [eqn: log _{10} 8]

37 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n-> 0} {{LEFT ( log _{a} x RIGHT ) ^{n} -1} over {n}}]일 때,

[eqn: f LEFT ( 2010 ^{2} RIGHT ) -f LEFT ( 2010 RIGHT )]의 값은?(단, [eqn: a>1,`x>a])

① [eqn: ln2]          ② [eqn: ln2010 ^{2}]       ③ [eqn: 2]
④ [eqn: sqrt {2010}]      ⑤ [eqn: 2010]

38 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} `ln LEFT ( x+1 RIGHT )]의 역함수를 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )]라고 할 때, [eqn: = lim _{x -> 0} {{rmg LEFT ( itx RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}}]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

39 [eqn: lim _{x-> a} {{b`ln`x} over {x ^{2} -a ^{2}}}][eqn: =1]을 만족하는 상수 [eqn: a,][eqn: b]에 대하여 [eqn: 2a+b]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

40 [eqn: lim _{x -> 0} {{1} over {x} LEFT { ln LEFT ( e ^{x} +e ^{2x} +cdots+e ^{nx} RIGHT ) -ln`n RIGHT }}]의 값은?

① [eqn: {n} over {2}]         ② [eqn: {n+1} over {2}]       ③ [eqn: n]
④ [eqn: n+1]      ⑤ [eqn: n ^{2}]

미적분Ⅱ	Ⅰ. 지수함수와 로그함수		1. 지수함수와 로그함수의 미분			반 / 번호
	02 지수함수와 로그함수의 미분					이름

01 폐구간[eqn: LEFT [ 1,`e RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln`x]의 평균변화율과 [eqn: x=c]에서의 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 미분계수가 같을 때, [eqn: c]의 값은? (단, [eqn: 1<c<e])

① [eqn: sqrt {e}]        ② [eqn: sqrt {e} -1]   ③ [eqn: sqrt {2} - {1} over {2}]
④ [eqn: e-1]      ⑤ [eqn: e-2]

02 구간 [eqn: LEFT [ 1,`4 RIGHT ]]에 속하는 임의의 두수
두수[eqn: x _{1} ,`x _{2} LEFT ( x _{1} <x _{2} RIGHT )]에 대하여 부등식 [eqn: a< {ln`x _{2} -ln`x _{1}} over {x _{2} -x _{1}} <b]가 성립하도록 [eqn: a,`b]의 값을 정할 때, a의 최댓값과 [eqn: b]의 최솟값의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]        ② [eqn: {1} over {2}]      ③ [eqn: {3} over {4}]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: {5} over {4}]

03 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x}]에 대하여 폐구간[eqn: LEFT [ 0,`x RIGHT ]]에서 [eqn: a< {1} over {x} `ln {e ^{x} -1} over {x} <b]가 성립하도록 [eqn: a,`b]의 값을 정할 때, [eqn: a]의 최댓값과 [eqn: b]의 최솟값의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b]는 상수)

04 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x`ln`x]에 대하여 닫힌 구간[eqn: LEFT [ 1,~e RIGHT ]]에서 평균값의 정리를 만족하는 상수 [eqn: c]의 값은?
① [eqn: e ^{{1} over {e-1}}]      ② [eqn: e ^{{1} over {e+1}}]      ③ [eqn: e ^{{1} over {2e+1}}]
④ [eqn: e ^{{1} over {e}}]         ⑤ [eqn: e ^{{2} over {e}}]

미적분Ⅱ	Ⅰ. 지수함수와 로그함수		1. 지수함수와 로그함수의 미분			정답
	01 지수함수와 로그함수의 극한
		ㅉ

01   (1) [eqn: 1] (2) [eqn: 0] (3) [eqn: e ^{3}] (4) [eqn: e ^{2}]

답

02   (1) [eqn: 0]  (2) [eqn: {5} over {2}]

답

03   ③

[eqn: lim _{x -> INF } {`(3 ^{x} +2 ^{x} ) ^{{1} over {x}}]

답

해

설

[eqn: = lim _{x -> INF } {` LEFT [ 3 ^{x} LEFT { 1+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x} RIGHT } RIGHT ] ^{{1} over {x}}}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {`(3 ^{x}} ) ^{{1} over {x}} LEFT { 1+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x} RIGHT } ^{{1} over {x}}]

[eqn: =3 lim _{x -> INF } {` LEFT { 1+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x} RIGHT } ^{{1} over {x}}}]

[eqn: =3·(1+0) ^{0} =3]

04   ⑤

답

해

설

[eqn: ㄱ.`a>1]일 때, [eqn: lim _{x-> INF } {` {1} over {1+a ^{2}}} =0]
[eqn: ㄴ.`a=1]일 때, [eqn: lim _{x -> INF } {` {1} over {1+a ^{2}}} = {1} over {2}]
[eqn: ㄱ.`0<a<1]일 때, [eqn: lim _{x -> INF } {` {1} over {1+a ^{2}}} =1]

05   [eqn: 1]

[eqn: lim _{x -> +0} {` {1} over {x}} = INF]이므로  [eqn: lim _{x -> +0} {`2 ^{{1} over {x}}} = INF]
[eqn: therefore lim _{x-> +0x} {` {1} over {1+2 ^{{1} over {x}}}} =a=0]
[eqn: lim _{x -> -0} {` {1} over {x}} =- INF]이므로  [eqn: lim _{x -> -0} {`2 ^{{1} over {x}}} = INF]
[eqn: THEREFORE lim _{x -> -0x} {` {1} over {1+2 ^{{1} over {x}}}} =b=1]

답

해

설

[eqn: THEREFORE a+b=0+1=1]

06

③

[eqn: {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {n+1} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {n+2} RIGHT ) CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT )# # = {1} over {2} TIMES {n+1} over {n} TIMES {n+2} over {n+1} TIMES {n+3} over {n+2} TIMES CDOTS TIMES {2n+1} over {2n}# # = {2n+1} over {2n}# THEREFORE (준식)= lim _{n -> INF } {eqalign{` LEFT ( {2n+1} over {2n} RIGHT ) ^{n}# # }}# ~~~~~~~~= lim _{n -> INF } {` LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT ) ^{2n} RIGHT }} ^{{1} over {2}}# ~~~~~~~~`=e ^{{1} over {2}} = sqrt {e}]

답

해

설

07   ①

[eqn: A= lim _{x -> INF } {` LEFT { LEFT ( 1+ {2} over {x} RIGHT ) ^{{x} over {2}} RIGHT } ^{2} =e ^{2}}]

답

해

설

[eqn: B= lim _{x -> INF } {` {e ^{4x} -1} over {4x}} ·4=4]

이므로

[eqn: {A} over {B} = {e ^{2}} over {4}]

08   ④

[eqn: 1-x=t]로 놓으면 [eqn: x -> 1]일 때, [eqn: t -> 0]이므로
[eqn: (준식)= lim _{t -> 0} {`(1-t) ^{{1} over {t}} ``}# # ```````````````````````= lim _{t -> 0} {` LEFT { LEFT ( 1-t RIGHT ) ^{- {1} over {t}} RIGHT }} ^{-1}# ```````````````````````# `````````````````````````=e ^{-1}# ````````````````````````# ```````````````````````= {1} over {e}]

답

해

설

09   ①

[eqn: lim _{t -> 0} {{ln(1+2x)} over {ln(1+3x)}}# # = lim _{t -> 0} {{{1} over {x} `ln(1+2x)} over {{1} over {x} `ln(1+3x)}}]

답

해

설

[eqn: = {lim _{t -> 0} {`ln(1+2x) ^{{1} over {x}}}} over {lim _{t -> 0} {`ln(1+3x) ^{{1} over {x}}}}#]

[eqn: = {2 lim _{t -> 0} {`ln(1+2x) ^{{1} over {2x}}}} over {3 lim _{t -> 0} {`ln(1+3x) ^{{1} over {3x}}}}# # = {2lne} over {3lne} = {2} over {3}]

10   ④

[eqn: (준식)= lim _{x -> 0} {` {ln(1+x) ^{{1} over {x}}} over {2}} = {ln`e} over {2} = {1} over {2}]

답

해

설

11   ②

[eqn: (준식)= lim _{x -> 0} {` {ln(1+ {x} over {a} )} over {x}}# # ````````````````````````= lim _{x -> 0} {`ln LEFT { LEFT ( 1+ {x} over {a} RIGHT ) ^{{a} over {x}} RIGHT } ^{{1} over {a}}}# ``# ```````````````````````=ln`e ^{{1} over {a}} = {1} over {a}]

답

해

설

12   ②

[eqn: 12%=0.12]이므로   [eqn: f(n)=a LEFT ( 1+ {0.12} over {n} RIGHT ) ^{n}][eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {` {f(n)} over {a}} = lim _{n -> INF } {` LEFT ( 1+ {0.12} over {n} RIGHT ) ^{n}}]

답

해

설

[eqn: = lim _{n -> INF } {` LEFT { LEFT ( 1+ {0.12} over {n} RIGHT ) ^{{n} over {0.12}} RIGHT }} ^{0.12} =e ^{0.12}]

13   ⑤

[eqn: lim _{DELTA t -> 0} {` {80(e ^{-0.5(2t+ DELTA t)} -e ^{-0.5 TIMES 2} )} over {DELTA t}} `# # = lim _{DELTA t -> 0} {` {80(e ^{LEFT ( -1-0.5 DELTA t RIGHT )} -e ^{-1} )} over {DELTA t}} `# # = lim _{DELTA t -> 0} {` {80e ^{-1} (e ^{-0.5 DELTA t} -1)} over {DELTA t}} `# `# = lim _{DELTA t -> 0} {` {e ^{-0.5 DELTA t} -1} over {-0.5` DELTA t} TIMES LEFT ( -0.5 TIMES 80e ^{-1} RIGHT )} `=- {40} over {e}]

답

해

설

14   ①

[eqn: (준식)= lim _{x -> INF } {`e ^{sqrt {x+1} - sqrt {x}}} `# ``````````````````````= lim _{x -> INF } {`e ^{{1} over {sqrt {x+1} + sqrt {x}}}} `=e ^{0} =1]

답

해

설

15    [eqn: 6]

[eqn: e ^{5x} -e ^{3x} -e ^{2x} +1=(e ^{3x} -1)(e ^{2x} -1)]이므로
[eqn: (준식)= lim _{x -> 0} {` {e ^{3x} -1} over {x}} `· lim _{x -> 0} {` {e ^{2x} -1} over {x}} `=3·2=6]

답

해

설

16   ⑤

[eqn: (준식)= lim _{x -> INF } {` LEFT ( 1+ {2} over {x-1} RIGHT ) ^{x} `````} `# # = lim _{x -> INF } {` LEFT { LEFT ( 1+ {2} over {x-1} RIGHT ) ^{{x-1} over {2}} RIGHT } ^{2} · LEFT ( 1+ {2} over {x-1} RIGHT ) =e ^{2}}]

답

해

설

17   [eqn: 1]

[eqn: ln LEFT | x RIGHT | =t]로 놓으면
[eqn: (준식)= lim _{x-> 0} {` {ln LEFT | x RIGHT |} over {ln`2+ln LEFT | x RIGHT |} = lim _{x-> INF } {` {t} over {ln2+t}} =1}]

답

해

설

18   ⑤

[eqn: 4 ^{x} -1=t]로 놓으면 [eqn: x= rm log` it rm _{4} (1+t)# # THEREFORE lim _{x -> 0} {` {4 ^{x} -1} over {x} `=} ` lim _{x -> 0} {` {t} over {rm log _{4} ` it (1+t)} `} `][eqn: = lim _{x -> 0} {` {1} over {rm log _{4} ` it (1+t) ^{{1} over {t}}} `=` {1} over {rm log _{4} e it} `=2`ln`2}]

답

해

설

19   [eqn: 3]

[eqn: lim _{x-> +0} {`3 ^{{1} over {x}} = INF }]이므로 [eqn: lim _{x -> +0} {{3 ^{{1} over {x}} +a} over {3 ^{{1} over {x}} +3 ^{x+1}}} `= lim _{x -> +0} {{1+ {a} over {3 ^{{1} over {x}}}} over {1+ {3 ^{x+1}} over {3 ^{{1} over {x}}}}} `=1,][eqn: lim _{x -> -0} {`3 ^{{1} over {x}}} =0]이므로 [eqn: lim _{x -> -0} {{3 ^{{1} over {x}} +a} over {3 ^{{1} over {x}} +3 ^{x+1}} = {a} over {3} `````````` THEREFORE {a} over {3}} `=1```````` THEREFORE a=3`````]

답

해

설

20   ②

[eqn: lim _{x -> 0} {` {f(x)} over {x}} = lim _{x -> 0} {` {e ^{2x} -1} over {x} · {f(x)} over {e ^{2x} -1}} `# # =2 lim _{x -> 0} {` {e ^{2x} -1} over {2x}} · lim _{x -> 0} {` {f(x)} over {e ^{2x} -1}}# # =2·1· {1} over {6} = {1} over {3}]

답

해

설

21  ①

[eqn: `( rm i)````0 <= log _{2} LEFT ( 1+x RIGHT ) <1(즉,`0 <= x<1)]일 때          [eqn: f(x)=1+x]
[eqn: `( rm ii)```log _{2} LEFT ( 1+x RIGHT ) =1(즉,`x=1)]일 때 [eqn: f(x)=1]
[eqn: ( rm iii)`log _{2} LEFT ( 1+x RIGHT ) >1(즉,`x>1)]일 때 [eqn: f(x)=0]
따라서 구하는 그래프의 개형은 ①이다.

답

해

설

22   ②

[eqn: f(0)= lim _{x -> 0} {`(x+1) ^{cot`x} ``}# =` lim _{x -> 0} {`(1+x) ^{{1} over {x} · {x} over {tan`x}} =e}]

답

해

설

23   ②

답

해

설

점[eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,`e ^{2} )]으로 놓으면 [eqn: rm S _{1`} it = {(e-1)x} over {2} ,` rm S _{2} it = {e ^{2} -1} over {2}]이므로 [eqn: lim _{x -> 0} {` {rm S _{1} it} over {rm S _{2} it} = lim _{x -> 0} {` {(e-1)x} over {e ^{2} -1}}} rm# = lim _{x -> 0} {`(e-1)· {x} over {e ^{x} -1} `}# # =(e-1)·1=e-1]

24   ③

[eqn: lim _{t -> 0} {` {rm {bar{PQ}} it} over {rm {bar{AQ}} it}} =1` LRARROW ` lim _{t -> 0} {` {a ^{t} -1} over {t}} =1]이므로 [eqn: a ^{t} -1=x]로 놓으면 [eqn: t=log _{a} (1+x)]
[eqn: THEREFORE lim _{t -> 0} {` {a ^{t} -1} over {t}} = lim _{t -> 0} {` {x} over {log _{a} (1+x)}} `# # = lim _{t -> 0} {` {1} over {log _{a} (1+x) ^{{1} over {x}}} =} {1} over {log _{a} e} =ln`a=1```# # THEREFORE a=e]

답

해

설

25   ①

[eqn: lim _{x -> INF } {` LEFT ( 1- {3} over {x} + {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{x} = lim _{x -> INF } {` LEFT { LEFT ( 1- {1} over {x} RIGHT ) LEFT ( 1- {2} over {x} RIGHT ) RIGHT } ^{x}}}# # = lim _{x -> INF } {` LEFT ( 1- {1} over {x} RIGHT ) ^{x} LEFT ( 1- {2} over {x} RIGHT ) ^{x}}# # = lim _{x -> INF } {` LEFT { LEFT ( 1- {1} over {x} RIGHT ) ^{-x} RIGHT } ^{-1} LEFT { LEFT ( 1- {2} over {x} RIGHT ) ^{- {x} over {2}} RIGHT } ^{-2}}# # =e ^{-1} ·e ^{-2} = {1} over {e ^{3}}]

답

해

설

26   ②

[eqn: x -> 0]일 때 [eqn: x ^{2} -> 0]이지만 [eqn: x]보다는 [eqn: x ^{2}]이 더 빨리0에 가까워지므로 [eqn: lim _{x -> 0} {`(1-x-2x ^{2} ) ^{{1} over {x}}} = lim _{x -> 0} {` LEFT { (1-x) ^{- {1} over {x}} RIGHT } ^{-1}} = {1} over {e}]

답

해

설

27   ③

답

(주어진 식)[eqn: = lim _{x -> INF } {LEFT ( log _{2} {8x} over {x+2} RIGHT )}]
[eqn: =log _{2} LEFT ( lim _{x -> INF } {{8} over {1+ {2} over {x}}} RIGHT )][eqn: =log _{2} 8][eqn: =3]

해

설

28   ②

답

(주어진 식)[eqn: = lim _{x-> INF } {x LEFT { log _{2} LEFT ( 2+ {1} over {x} RIGHT ) -log _{2} 2 RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x -> INF } {x`log _{2} LEFT ( 1+ {1} over {2x} RIGHT )}]                          [eqn: = lim _{x -> INF } {`log _{2} LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {2x} RIGHT ) ^{2x} RIGHT } ^{{1} over {2}}}]
[eqn: =log _{2} e ^{{1} over {2}}][eqn: = {1} over {2`ln`2}]

해

설

29   ④

답

[eqn: {1} over {x}][eqn: =t]라고 하면 [eqn: x` -> `+0]일 때, [eqn: t` -> ` INF]이므로
(주어진 식)[eqn: = lim _{t -> INF } {{ln LEFT ( 2t+3 RIGHT )} over {ln LEFT ( 4t+5 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t -> INF } {{lnt+ln LEFT ( 2+ {1} over {t} RIGHT )} over {lnt+ln LEFT ( 4+ {5} over {t} RIGHT )}}][eqn: =1]

해

설

30   ①

답

[eqn: log _{a} x][eqn: =A]로 놓으면 [eqn: a>1], [eqn: x>1]에서 [eqn: A>0]
[eqn: THEREFORE][eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{h -> 0} {{A ^{h} -1} over {h}}][eqn: =ln`A]=[eqn: ln` LEFT ( log _{a} x RIGHT )]
[eqn: THEREFORE][eqn: f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln` LEFT ( 2log _{a} x RIGHT ) -ln` LEFT ( log _{a} x RIGHT )]
[eqn: =ln LEFT ( {2log _{a} x} over {log _{a} x} RIGHT )][eqn: =ln`2]

해

설

31   ④

답

[eqn: lim _{x-> +0} {{1} over {x} = INF }]이므로 [eqn: lim _{x-> +0} {2 ^{{1} over {x}} = INF }]
[eqn: therefore lim _{x-> +0} {{1} over {1+2 ^{{1} over {x}}} =a=0}]
[eqn: lim _{x -> -0} {{1} over {x} =- INF }]이므로 [eqn: lim _{x -> -0} {2 ^{{1} over {x}} =0}]
[eqn: THEREFORE lim _{x -> -0} {{1} over {1+2 ^{{1} over {x}}} =b=0}]
[eqn: THEREFORE a+b=0+1=1]

해

설

32   ④

답

[eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 1+ {4} over {x} + {3} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{x}}][eqn: = lim _{x -> INF } {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) LEFT ( 1+ {3} over {x} RIGHT ) RIGHT }} ^{x}][eqn: = lim _{x -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x} · lim _{x -> INF } {LEFT { LEFT ( 1+ {3} over {x} RIGHT ) ^{{x} over {3}} RIGHT } ^{3}}}][eqn: =e·e ^{3} =e ^{4}]

해

설

33    ③

답

[eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( e ^{ax+b} -1 RIGHT ) =0}]에서 [eqn: e ^{b} -1][eqn: =0]  [eqn: thereforeb][eqn: =0]
[eqn: lim _{x -> INF } {{e ^{ax} -1} over {ln LEFT ( 1+cx RIGHT )}}][eqn: = lim _{x -> INF } {{a· {e ^{ax} -1} over {ax}} over {c· {ln LEFT ( 1+cx RIGHT )} over {cx}}}][eqn: = {a} over {c}][eqn: =3]에서 [eqn: a][eqn: =3c]   [eqn: therefore {a+b} over {c}][eqn: = {3c+0} over {c}][eqn: =3]

해

설

34   ④

답

[eqn: lim _{x -> 0} {{1} over {x} `ln {a ^{x} +b ^{x}} over {2}}]
[eqn: = lim _{x -> 0} {{1} over {x} `ln LEFT { LEFT ( 1+ {a ^{x} +b ^{x} -2} over {2} RIGHT ) ^{{2} over {a ^{x} +b ^{x} -2}} RIGHT } ^{{a ^{x} +b ^{x} -2} over {2}}}][eqn: = lim _{x -> 0} {{1} over {x} `· {a ^{x} +b ^{x} -2} over {2} `ln LEFT ( 1+ {a ^{x} +b ^{x} -2} over {2} RIGHT ) ^{{2} over {a ^{x} +b ^{x} -2}}}][eqn: = lim _{x -> 0} {{1} over {2} ` LEFT ( {a ^{x} -1} over {x} + {b ^{x} -1} over {x} RIGHT ) ·lne}]
[eqn: {1} over {2} LEFT ( ln`a+ln`b RIGHT )][eqn: = {1} over {2} `ln`ab]

해

설

35  ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =log _{10} x-4+x]로 놓으면 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( 0,~ INF RIGHT )]에서 연속이다.
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =log _{10} 3-4+3][eqn: =-1+log _{10} `3<0]
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =log _{10} 4-4+4][eqn: =log _{10} `4>0]
따라서 방정식 [eqn: log _{10} x-4+x=0]은 구간[eqn: LEFT ( 3,~4 RIGHT )]
에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
[eqn: thereforec=3]

해

설

36   ②

답

[eqn: 2 ^{a _{n} -1} LEQ n LEQ 2 ^{a _{n}}]의 각 변에 상용로그를 취하면 [eqn: LEFT ( a _{n} -1 RIGHT ) log _{10} 2 LEQ log _{10} n<a _{n} `log _{10} 2]
[eqn: a _{n} GEQ 1]이므로 각 변을 [eqn: a _{n}]으로 나누면
[eqn: LEFT ( 1- {1} over {a _{n}} RIGHT ) log _{10} 2 LEQ {log _{10} n} over {a _{n}} <log _{10} 2]
[eqn: x` -> ` INF]일 때, [eqn: a _{n} ` -> ` INF]이므로
[eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 1- {1} over {a _{n}} RIGHT ) log _{10} 2}][eqn: =log _{10} 2]
[eqn: therefore lim _{n-> INF } {{log _{10} n} over {a _{n}}}][eqn: =log _{10} 2]

해

설

37   ①

답

[eqn: LEFT ( log _{a} x RIGHT ) ^{n} -1][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: n][eqn: = {ln LEFT ( t+1 RIGHT )} over {ln LEFT ( log _{a} x RIGHT )}]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln LEFT ( log _{a} x RIGHT ) lim _{t -> 0} {{t} over {ln LEFT ( t+1 RIGHT )}}][eqn: =ln LEFT ( log _{a} x RIGHT )]
[eqn: thereforef LEFT ( 2010 ^{2} RIGHT ) -f LEFT ( 2010 RIGHT )][eqn: =ln LEFT ( log _{a} 2010 ^{2} RIGHT ) -ln LEFT ( log _{a} 2010 RIGHT )][eqn: =ln {2log _{a} 2000} over {log _{a} 2010}]
[eqn: =ln`2]

해

설

38   ④

답

[eqn: y#][eqn: = {1} over {2} ln LEFT ( x+1 RIGHT )]이라고 하면 [eqn: e ^{2y}][eqn: =x+1,]
[eqn: x][eqn: =e ^{2y} -1]이므로 [eqn: rm g LEFT ( it x RIGHT )][eqn: =e ^{2x} -1]
[eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {{rm g LEFT ( it x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}}][eqn: = lim _{x -> 0} {{e ^{2x} -1} over {{1} over {2} `ln LEFT ( x+1 RIGHT )}}]                            [eqn: = lim _{x -> 0} {LEFT { 4· {e ^{2x} -1} over {2x} · {x} over {ln LEFT ( x+1 RIGHT )} RIGHT }}][eqn: =4]

해

설

39   ④

답

[eqn: b`ln`a][eqn: =0]이고 [eqn: b!=0]이므로 [eqn: a][eqn: =1]
[eqn: therefore lim _{x-> 1} {{b`ln`x} over {x ^{2} -1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {LEFT ( {b`ln`x} over {x-1} · {1} over {x+1} RIGHT )}][eqn: =1]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =b`ln`x]로 놓으면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이므로
[eqn: THEREFORE lim _{x -> 1} {{b`ln`x} over {x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =f' LEFT ( 1 RIGHT )]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {b} over {x}]이므로 [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =b]
[eqn: THEREFORE lim _{x -> 1} {{b`ln`x} over {x ^{2} -1}}][eqn: = {1} over {2} b][eqn: =1], [eqn: b][eqn: =2]
[eqn: therefore2a+b][eqn: =2+2][eqn: =4]

해

설

40   ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln LEFT ( e ^{x} +e ^{2x} + CDOTS +e ^{nx} RIGHT )]으로 놓으면
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {e ^{x} +2e ^{2x} + CDOTS +n`e ^{nx}} over {e ^{x} +e ^{2x} + CDOTS +e ^{nx}}]에서
[eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = {1+2+cdots+n} over {1+1+cdots+1}][eqn: = {{n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}} over {n}][eqn: = {n+1} over {2}]
[eqn: therefore](주어진 식)[eqn: = lim _{x -> 0} {{1} over {x} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x -> 0} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}}][eqn: =f' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = {n+1} over {2}]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅰ. 지수함수와 로그함수		1. 지수함수와 로그함수의 미분			정답
	02 지수함수와 로그함수의 미분

01  ④

[eqn: LEFT [ 1,`e RIGHT ]]에서의 평균변화율은

답

해

설

[eqn: {ln`e-ln1} over {e-1} = {1} over {e-1} ,```f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x}]

이므로

[eqn: f LEFT ( c RIGHT ) = {1} over {c}]
[eqn: THEREFORE ` {1} over {c} = {1} over {e-1}]

[eqn: THEREFORE c=e-1]

02  ⑤

[eqn: LEFT ( ln`x RIGHT ) '= {1} over {x}]이므로 평균값의 정리에 의하여

답

해

설

[eqn: {ln`x _{2} -ln`x _{1}} over {x _{2} -x _{1}} = {1} over {c} ```` LEFT ( 단,`1<c<4 RIGHT )]

인 [eqn: c]가 존재한다. 따라서

[eqn: {1} over {4} < {ln`x _{2} -ln`x _{1}} over {x _{2} -x _{1}} <1]

에서 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: {1} over {4}], [eqn: b]의 최솟값은 [eqn: 1]이므로

구하는 합은 [eqn: {5} over {4}]이다.

03  [eqn: 1]

[eqn: {e ^{x} -e ^{0}} over {x-0} =f' LEFT ( c RIGHT ) =e ^{c}]이므로

답

해

설

[eqn: e ^{x} -1=e ^{c} x,] [eqn: ` {e ^{x} -1} over {x} =e ^{c}]

[eqn: ln {e ^{x} -1} over {x} =c]이므로

[eqn: 0<ln {e ^{x} -1} over {x} <x]에서

[eqn: 0< {1} over {x} `ln {e ^{x} -1} over {x} <1]이고 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 0], [eqn: b]의 최솟값은 1이므로 구하는 합은 1이다.

04   ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x`ln`x]는 닫힌 구간[eqn: LEFT [ 1,~e RIGHT ]]에서 연속이고 열린 구간 [eqn: LEFT ( 1,~e RIGHT )]에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여

해

설

[eqn: {f LEFT ( e RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {e-1}][eqn: =f' LEFT ( c RIGHT )]

인 [eqn: c]가 구간 [eqn: LEFT ( 1,~e RIGHT )]에 적어도 하나 존재한다.

[eqn: therefore {e} over {e-1}][eqn: =ln`c+1]

[eqn: thereforec][eqn: =e ^{{1} over {e-1}}]