기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		2. 공간좌표			반 / 번호
	01 공간에서의 점의 좌표					이름

01 점 [eqn: rm P it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]의 [eqn: x]축에 대한 대칭점과 점 [eqn: rm Q it LEFT ( a-2b,~4-2c,~2-a RIGHT )]의 [eqn: zx]평면에 대한 대칭점이 같을 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 3]           ② [eqn: 4]          ③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]           ⑤ [eqn: 7]

02 두 정점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~-2,~3 RIGHT ) ,~B LEFT ( 2,~1,~-2 RIGHT )]와 [eqn: yz] 평면위의 동점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm {bar{AP}} +barBP]의 최솟값은?

① [eqn: sqrt {30}]           ② [eqn: sqrt {37}]          ③ [eqn: sqrt {39}]
④ [eqn: sqrt {43}]           ⑤ [eqn: sqrt {47}]

03 좌표공간에서 두 점[eqn: rmA LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT ) ,~rmB LEFT ( 0,~ sqrt {3,~0} RIGHT )]을 지나는 직선 [eqn: l]이 있다. 점 [eqn: rmP LEFT ( 0,~0,~ {1} over {2} RIGHT )]에서 직선 [eqn: l]에 이르는 거리는?

① [eqn: 1]          ② [eqn: sqrt {2}]         ③ [eqn: sqrt {3}]
④ [eqn: 2]          ⑤ [eqn: sqrt {5}]

04 오른쪽 그림과 같이 옆면이 모두 합동인 삼각뿔 [eqn: rmVABC]에서 [eqn: ANGLE rm AVB=30 DEG ,~ {bar{VA}} =2]일 때, 점 [eqn: rmA]를 출발하여 모서리 [eqn: rmVB,~VC]위의 한 점을 차례료 지나 다시 [eqn: rmA]에 돌아오는 최단 거리는?

① [eqn: sqrt {2}]          ② [eqn: 2 sqrt {2}]         ③ [eqn: 3 sqrt {2}]
④ [eqn: 4 sqrt {2}]         ⑤[eqn: 5 sqrt {2}]

05 오른쪽 그림과 같은 직육면체의 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmEG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmK]라고 할 때, 선분 [eqn: rmDK]의 길이는?

① [eqn: {2 sqrt {6}} over {5}]      ② [eqn: {sqrt {30}} over {5}]      ③ [eqn: {sqrt {6}} over {2}]
④ [eqn: {3 sqrt {6}} over {5}]      ⑤[eqn: {2 sqrt {30}} over {5}]

06 점 [eqn: rmP LEFT ( 3,~4~,-5 RIGHT )]에 대하여 다음을 구하시오.
(1)점[eqn: rm P]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발[eqn: rmQ]의 좌표
(2)점[eqn: rm P]에서 [eqn: yz]평면에 대한 대칭점 [eqn: rmR]의 좌표

07 두점 [eqn: rm A LEFT ( 3,~4,~0 RIGHT ) ,` rm B LEFT ( -2,`4,`1 RIGHT )]사이의 거리를 구하시오.

08 어떤 건물의 두 벽 [eqn: alpha,`beta]와 천정이 구석 [eqn: rmO] 지점에서 각각 수직으로 만나고 있다. 전등이 벽 [eqn: alpha]에서 [eqn: 8rmm], 벽 [eqn: beta]에서 [eqn: 1rmm], 그리고 [eqn: rmO]에서 [eqn: 9rmm] 되는 위치에 매달려 있을 때, 천정에서 이 전등까지의 거리를 구하시오.

(단, 단위는 [eqn: rmm])

09 정점 [eqn: rm A LEFT ( 4,~1,~6 RIGHT ) ,` rm B LEFT ( 3,~1,~4 RIGHT ) ,` rm C LEFT ( 5,~4,~2 RIGHT )]와 [eqn: xz,`xy]평면 위에 각각 동점 [eqn: rmP,`Q]있다. 이대, [eqn: rm {bar{AP}} `+ rm {bar{PB}} `+ rm {bar{BQ}} `+ rm {bar{QC}} `]의 최솟값은?

① [eqn: 9]          ② [eqn: 10]        ③ [eqn: 3+2 sqrt {7}]

④ [eqn: 4+3 sqrt {5}]   ⑤ [eqn: 5+2 sqrt {3}]

10 좌표공간 위의 두 정점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~-2,~3 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 2,~3,~1 RIGHT )]과 [eqn: yz]평면 위의 동점 [eqn: rmP]에 대하여 점[eqn: rmP]에서 두 점 [eqn: rmA,`B]에 이르는 거리의 합 [eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{BP}}]의 최솟값을 구하여라.

11 좌표공간에서 두 정점 [eqn: rm A LEFT ( -2,~0,~1 RIGHT ) ,` rm A LEFT ( 2,~2,~0 RIGHT )]
과 [eqn: x]축 위의 동점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmP]에서 두 점 [eqn: rmA,`B]에 이르는 거리의 합 [eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{BP}}]의 최솟값을 구하시오.

12 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]를 좌표공간에 놓더니 네 꼭짓점 [eqn: rmA,`B,`D,`G]좌표 [eqn: rm A LEFT ( 2,~1,~-3 RIGHT ) ,`B LEFT ( 2,~5,~-3 RIGHT ) ,`D LEFT ( 2,~1,~1 RIGHT ) ,][eqn: rmG LEFT ( -2,~5,~1 RIGHT )]이 되었다. 이때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.``]꼭짓점 [eqn: rmF]의 좌표는 [eqn: LEFT ( -2,~5,~-3 RIGHT )]이다.

[eqn: ㄴ.``]두 꼭짓점 [eqn: rmE,`H]의 [eqn: x]좌표는 같다.

[eqn: ㄷ.``]선분 [eqn: rmFH]는 [eqn: xy]평면과 평행이다.

① [eqn: ㄱ]          ② [eqn: ㄴ]        ③ [eqn: ㄱ,`ㄴ]

④ [eqn: ㄱ,`ㄷ]       ⑤ [eqn: ㄱ,`ㄴ,`ㄷ]

13 좌표공간에서 원점을 지나는 두 직선 [eqn: l,`m]이 각각 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면 위에 있다. [eqn: l]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: alpha]이고, [eqn: m]이 [eqn: y]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: beta]이다. 두 직선 [eqn: l,`m]이 이루는 각의 크기가 [eqn: rm60DEG]일 때, 다음 중 옳은 것은?

(단, [eqn: 0< alpha < {pi } over {2} ,`0<beta< {pi } over {2} `])

① [eqn: sin`alpha`sin`beta= {1} over {2}]      ② [eqn: cos` alpha `sin` beta = {1} over {2}]

③ [eqn: sin` alpha `cos` beta = {1} over {2}]      ④ [eqn: cos` alpha `cos` beta = {1} over {2}]

⑤ [eqn: cos` alpha `cos` beta =1]

14 좌표공간에서 [eqn: xy]평면 위에 원
[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =1]이 있다. 이때, 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmA` LEFT ( -1,~7,~1 RIGHT )] 사이의 거리의 최솟값은?

① [eqn: 2 sqrt {3}]       ② [eqn: sqrt {14}]        ③ [eqn: sqrt {15}]

④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: sqrt {17}]

15 오른쪽 그림의 직육면체에서 [eqn: rm {bar{OA}} =3,` rm {bar{OB}} =5,][eqn: rm {bar{OC}} =4]일 때, 다음 각 점의 좌표를 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: rmD]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: rmF]   [eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: rmG]

16 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~-1,~2 RIGHT ) ,`A LEFT ( 3,~5,~-1 RIGHT )]사이의 거리를 구하여라.

17 두 점 [eqn: rm A LEFT ( -2,~3,~4 RIGHT ) ,`B LEFT ( 0,~1,~2 RIGHT )]사이의 거리를 구하여라.

18 좌표공간 위의 한 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]세어 거리가 [eqn: 2]인  점의 자취의 방정식을 구하여라.

19 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,~1,~-3 RIGHT ) ,`B LEFT ( 3,~-1,~4 RIGHT )]에서 같은 거리에 있는 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

20 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 5,~1,~-2 RIGHT ) ,`B LEFT ( 2,~3,~-1 RIGHT )]에서 같은 거리에 있는 [eqn: z]축 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

21 두 정점 [eqn: rm A LEFT ( 2,~1,~3 RIGHT ) ,`B LEFT ( -1,~2,~1 RIGHT )]과 [eqn: x]축 위의 동점 [eqn: rmP]가 있다.[eqn: rm {bar{AP}} it + rm {bar{BP}} it]의 최솟값은?

[eqn: ①][eqn: 2 sqrt {3}]     [eqn: ②][eqn: 3 sqrt {2} rm]      [eqn: ③][eqn: 4 sqrt {2}]

[eqn: ④][eqn: sqrt {34}]     [eqn: ⑤][eqn: 6]

22 좌표공간 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 4,~-2,~3 RIGHT ) ,`B LEFT ( 1,~2,~-1 RIGHT )]에 대하여 선분[eqn: rmAB]가 [eqn: xy]평면과 이루는 예각의 크기는?

[eqn: ①][eqn: 15DEG]       [eqn: ②][eqn: 30 DEG]        [eqn: ③][eqn: 45 DEG]

[eqn: ④][eqn: 60 DEG]       [eqn: ⑤][eqn: 80 DEG]

23 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 좌표공간 위의 두 점 [eqn: rmP,`Q]의 좌표가 각각 [eqn: rm P` it LEFT ( t,~1-t,~1+t RIGHT ) ,][eqn: ` rm Q` it LEFT ( 2,~-2+t,~6-t RIGHT )]일 때, [eqn: rmbarPQ]의 최솟값은?

[eqn: ①][eqn: sqrt {2}]          [eqn: ②][eqn: sqrt {3}]           [eqn: ③][eqn: 2]

[eqn: ④][eqn: 2 sqrt {2}]         [eqn: ⑤][eqn: 2 sqrt {3}]

24 [eqn: rm A LEFT ( 4,~0,~0 RIGHT ) ,`][eqn: rmB LEFT ( 0,~3,~0 RIGHT ) ,][eqn: rm C LEFT ( 0,~0,~5 RIGHT )]로 이루어진 사면체 [eqn: rmOABC]의 내부에 다음 그림과 같이 내접하는 사각형 [eqn: rmPQRS]를 마름모가 되도록 만들 때, 한 변의 길이를 구하여라.

(단, [eqn: rm {bar{PQ}} ⫽ {bar{AB}}])

25 좌표공간에서
[eqn: A= LEFT { LEFT ( x,~y,~z RIGHT ) `|` LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-3 RIGHT ) ^{2} =4,`0<=x<=4 RIGHT }]
라고 할 때, 집합 [eqn: A]가 나타내는 도형의 부피는?

[eqn: ①][eqn: 8 pi]          [eqn: ②][eqn: 10 pi]         [eqn: ③][eqn: 12 pi]

[eqn: ④][eqn: 14 pi]         [eqn: ⑤][eqn: 16 pi]

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		2. 공간좌표			반 / 번호
	02 선분의 내분점과 외분점					이름

01 좌표공간에서 세 점 [eqn: rm O LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT ) ,][eqn: rmO LEFT ( -2,~2,~1 RIGHT ) ,~B LEFT ( 0,~3,~-4 RIGHT ) ~~]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: rm TRIANGLE rmOAB]에 대하여 [eqn: anglermAOB]의 이등분선이 변 [eqn: rmAB]와 만나는 점을 [eqn: rm C it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, 세 상수 [eqn: a,~b,~c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: - {1} over {2}]           ② [eqn: - {1} over {4}]          ③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1} over {4}]             ⑤ [eqn: {1} over {2}]

02 좌표공간에서 점[eqn: rm A LEFT ( 2,~3,~4 RIGHT )]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmA]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( a.~b,~c RIGHT )]이다. 이때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 11]          ② [eqn: 12]         ③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]          ⑤ [eqn: 15]

03 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,~3,~-4 RIGHT ) ,~B it LEFT ( -1,~5,~6 RIGHT )]을 이은 선분[eqn: rmAB]는 [eqn: xy]평면에 의하여 [eqn: m:3]으로 내분되고, [eqn: zx]평면에 의하여 [eqn: 3:n]으로 외분된다고 할 때, [eqn: m+n]의 값은?

① [eqn: 3]          ② [eqn: 5]          ③ [eqn: 7]
④ [eqn: 9]          ⑤ [eqn: 11]

04 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 4,~1,~3a RIGHT ) ,`B LEFT ( 1,~-2,~-3 RIGHT )]을 잇는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmP]와 [eqn: 2:1]로 외분하는 점 [eqn: rmQ] 사이의 거리가 [eqn: 4 sqrt {6}]이 되도록 하는 음의 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -1]          ② [eqn: -2]        ③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]           ⑤ [eqn: -5]

05 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~,3 RIGHT ) ,`B LEFT ( 3,~-1,~,-2 RIGHT ) ,`][eqn: rmC LEFT ( 2,~1,~-3 RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:2]로 외분하는 점이 [eqn: rmP]이고, 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점이 [eqn: rmQ]일 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는?

① [eqn: sqrt {38}]       ② [eqn: sqrt {74}]       ③ [eqn: 4 sqrt {6}]

④ [eqn: 10]          ⑤ [eqn: sqrt {101}]

06 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 9,~2,~6 RIGHT ) ,`B LEFT ( 5,~7,~-3 RIGHT )]을 잇는 선분이 [eqn: xy]평면과 만나는 점을 [eqn: rmP]라고 할 때, [eqn: rm {{bar{AP}}} over {{bar{BP}}}]의 값을 구하시오.

07 좌표공간 위에 점 [eqn: rm P LEFT ( 4,~5,~6 RIGHT )]이 있다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: xy]평면에 대한 대칭점을 [eqn: rmA,`z]축에 대한 대칭점을 [eqn: rmB], 원점에 대한 대칭점을 [eqn: rmC]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표는?

① [eqn: LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT )]           ② [eqn: LEFT ( {4} over {3} ,~- {5} over {3} ,~2 RIGHT )]

③ [eqn: LEFT ( - {4} over {3} ,~ {5} over {3} ,~2 RIGHT )]      ④ [eqn: LEFT ( - {4} over {3} ,~- {5} over {3} ,~2 RIGHT )]

⑤ [eqn: LEFT ( - {4} over {3} ,~- {5} over {3} ,~-2 RIGHT )]

08 좌표공간 위에 세 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,~2,~3 RIGHT ) ,][eqn: rmB LEFT ( -3,~1,~5 RIGHT ) ,`C LEFT ( 2,~4,~5 RIGHT )]가 있다. 사각형 [eqn: rmABCD]가 평행사변형이 되기 위한 점 [eqn: rmD]의 좌표를 [eqn: rm D` it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 12]          [eqn: ②][eqn: 11]          [eqn: ③][eqn: 10]

[eqn: ④][eqn: 9]           [eqn: ⑤][eqn: 8]

09 좌표공간 위에 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,~-3,~-1 RIGHT ) ,][eqn: rm B LEFT ( 4,~-1,~2 RIGHT )]가 있다. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: rm G LEFT ( 3,~-2,~-1 RIGHT )]일 따, 점[eqn: rmC]의 좌표를 구하여라.

10 한 모서리의 길이가 각각 [eqn: 3]과 [eqn: 2]인 두 정육면체를 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmF]와 두 모서리가 겹치도록 붙여 놓았다. 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmN] 사이의 거리는?

[eqn: ①][eqn: 3 sqrt {3}]         [eqn: ②][eqn: 4 sqrt {2}]          [eqn: ③][eqn: 6]

[eqn: ④][eqn: sqrt {38}]         [eqn: ⑤][eqn: 2 sqrt {10}]

11 좌표공간 위의 점 [eqn: rm A LEFT ( 3,~4,~5 RIGHT )]의 [eqn: xy,`yz,`zx]평면 위로의 정사영을 각각 점[eqn: rmP,`Q,`R]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmPQR]의 무게중심의 좌표를 구하여라.

12 좌표공간 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( -2,~1,~-3 RIGHT )][eqn: rm B LEFT ( 4,~-5,~6 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점과 외분하는 점을 각각 [eqn: rmP,`Q]라고 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이를 구하여라.

13 오른쪽 그림의 사면체에서 [eqn: rm {bar{AC}} = {bar{BD}} =8`]이고, 사각형 [eqn: rmPQRS]의 각 변은 [eqn: rm {bar{AC}}]또는 [eqn: rm {bar{BD}}]에 평행할 때, 사각형 [eqn: rmPQRS]의 둘레의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 8]          [eqn: ②][eqn: 12]         [eqn: ③][eqn: 16]

[eqn: ④][eqn: 20]          [eqn: ⑤][eqn: 24]

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		2. 공간좌표			반 / 번호
	03 구의 방정식					이름

01 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -4x-2y+10z+d=0]의 중심 좌표가 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )], 반지름의 길이가 [eqn: 6]일 때, [eqn: a+b-c-d]의 값은?

① [eqn: 8]           ② [eqn: 10]          ③ [eqn: 12]
④ [eqn: 14]          ⑤ [eqn: 16]

02 두 점 [eqn: LEFT ( 0,~5,~-3 RIGHT ) ,~ LEFT ( -2,~1,~1 RIGHT )]을 지름의 양 끝 점으로 하는 구가 있다. 이 구가 [eqn: xy]평면과 만나서 생기는 원의 넓이는?

① [eqn: 4pi]           ② [eqn: 8pi]          ③ [eqn: 10pi]
④ [eqn: 12pi]          ⑤ [eqn: 15pi]

03 좌표공간에서 [eqn: yz]평면과 접하는 구가 있다. 이 구의 중심에서 [eqn: xy]평면까지의 거리는 [eqn: 2,~yz]평면까지의 거리는 [eqn: 3,~zx]평면까지의 거리는 [eqn: 1]이다. 이구의 방정식을 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +ax+by+cz+d=0]이라고 할 때, [eqn: a-b-c+d]의 값은?
(단, 구의 중심의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표는 모두 양수이다.)

① [eqn: 2]          ② [eqn: 3]         ③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]          ⑤ [eqn: 6]

04 좌표공간 위의 한 점 [eqn: rmP LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT )]과 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]위의 임의의 점 [eqn: rmQ]가 이루는 선분 [eqn: rmPQ]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점의 좌취의 방정식은?

① [eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+1 RIGHT ) ^{2} =4]
② [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+1 RIGHT ) ^{2} =4]
③ [eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+1 RIGHT ) ^{2} =4]
④ [eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2} =4]
⑤ [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2} =4]

05 좌표공간에서 [eqn: xy]평면. [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면은 공간을 [eqn: 8]개의 부분으로 나눈다. 이 [eqn: 8]개의 부분 중에서 구 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-4 RIGHT ) ^{2} =24]가 지나는 부분의 개수는?

① [eqn: 4]          ② [eqn: 5]         ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]          ⑤ [eqn: 8]

06 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2kx-2y-4z-2=0]이 [eqn: xy]평면, [eqn: zx]평면과 각각 만나서 생기는 두 원의 넓이의 비가 [eqn: 3:4]일 때, 구의 반지름의 길이를 구하여라.

07 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~4,~5 RIGHT )]에서 구 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2} =5] 위의 점까지의 최단 거리는?

① [eqn: sqrt {3}]          ② [eqn: 2]          ③ [eqn: sqrt {5}]
④ [eqn: sqrt {6}]          ⑤ [eqn: sqrt {7}]

08 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -4x-6y-2z+10=0]에 내접하는 직원뿔 중에서 [eqn: xy]평면 위에 밑면이 잇는 직원뿔의 부피는?

① [eqn: 3pi]          ② [eqn: {10} over {3} pi]          ③ [eqn: {11} over {3} pi]
④ [eqn: 4pi]          ⑤ [eqn: {13} over {3} pi]

09 중심이 [eqn: LEFT ( 2,~-1,~1 RIGHT )]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구의 방정식을 구하시오.

10 점 [eqn: rm A LEFT ( -5,~10,~5 RIGHT )]와 구면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =25] 위의 점 [eqn: rmB]를 잇는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 자취는 구이다. 구의 중심을 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )], 반지름의 길이를 [eqn: r]라고 할 대, [eqn: a+b+c+r ^{2}]의 값은?

① [eqn: -6]         ② [eqn: -4]        ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 10]           ⑤ [eqn: 12]

11 좌표공간에서 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 구 [eqn: rmS]에 대하여 구 [eqn: rmS]를 [eqn: xy]평면으로 자른 단면의 방정식이 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =9]일 때, 구 [eqn: rmS]의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,~b,~±c RIGHT )]이다. 이때, [eqn: LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | + LEFT | c RIGHT |]의 값을 구하시오.

12 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 10,~2,~5 RIGHT ) ,`B LEFT ( -6,~10,~11 RIGHT )]을 지름의 양끝으로 하는 구와 [eqn: z]축과의 두 교점 사이의 거리는?

① [eqn: 1]            ② [eqn: 3]          ③ [eqn: 6]

④ [eqn: 14]           ⑤ [eqn: 16]

13 좌표공간 위의 네 점 [eqn: LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT ) ,`][eqn: LEFT ( 2,~0,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( 2,~3,~-1 RIGHT )]을 지나는 구의 반지름의 길이는?

① [eqn: 2 sqrt {5}]        ② [eqn: 2 sqrt {6}]       ③ [eqn: sqrt {26}]

④ [eqn: sqrt {30}]        ⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

14 공간의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( -1,~3,~1 RIGHT ) ,`B LEFT ( 2,~0,~-2 RIGHT )]에서의 거리의 비가 [eqn: 2:1]인 점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]의 자취의 방정식은?

① [eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+3 RIGHT ) ^{2} =12]

② [eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+3 RIGHT ) ^{2} =16]

③ [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+7 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+3 RIGHT ) ^{2} =16]

④ [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+7 RIGHT ) ^{2} =16]

⑤ [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+3 RIGHT ) ^{2} =12]

15 점 [eqn: rmA LEFT ( -5,~1,~4 RIGHT )]를 지나 세 좌표평면에 동시에 접하는 두 개의 구를 구했을 때, 두 개의 구의 반지름의 길이의 합을 구하시오.

16 중심의 좌표가 [eqn: rm C LEFT ( 2,~4,~3 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 구가 있다. 구 밖의 한 점 [eqn: rm A LEFT ( 5,~2,~-3 RIGHT )]에서 구 위의 임의의 점까지 거리의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M,`m]이라고 할 때, [eqn: Mm]의 값을 구하여라.

17 중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( 6,~5,~3 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 구를 [eqn: xy]평면으로 자른 단면인 원의 둘레의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 2pi]         [eqn: ②][eqn: 4pi]          [eqn: ③][eqn: 8pi]

[eqn: ④][eqn: 10pi]        [eqn: ⑤][eqn: 16pi]

18 두 점 [eqn: rm A` it LEFT ( 1,~2,~1 RIGHT ) ,``rmB LEFT ( 3,~6,~5 RIGHT ) `]를 지름의 양끝으로 하는 구의 방정식을 구하여라.

19 두 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -4x+2y-4z+a=0]과
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =2 LEFT ( 3y-2x-2 RIGHT )]가 서로 외접할 때, [eqn: a]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 0]           [eqn: ②][eqn: 1]          [eqn: ③][eqn: 2]

[eqn: ④][eqn: 3]           [eqn: ⑤][eqn: 4]

20 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면에 모두 접하고 점[eqn: rmA LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나는 구가 [eqn: 2]개 잇다. [eqn: 2]개의 구에 대한 겉넓이의 합은?

[eqn: ①][eqn: 72pi]          [eqn: ②][eqn: 76 pi]         [eqn: ③][eqn: 80pi]

[eqn: ④][eqn: 84 pi]           [eqn: ⑤][eqn: 88 pi]

21 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -4x+6y-8z+4=0]이 [eqn: xy]평면에 의하여 잘린 단면인 원의 넓이를 [eqn: rm S _{1} , it ~zx]평면에 의하여 잘린 단면인 원의 넓이를 [eqn: rmS _{2}]라고 할 때, [eqn: rm {S _{2}} over {S _{1}}]의 값을 소수 셋째 자리에서 반올림 하여 소수 둘째 자리까지 나타내어라.

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		2. 공간좌표			정답
	01 공간에서의 점의 좌표

01  ⑤

답

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]축에 대한 대칭점을 [eqn: rmP']이라고 하면 점[eqn: rmP']의 좌표는 [eqn: rm P prime it LEFT ( a,~-b,~-c RIGHT )]
점 [eqn: rmQ]의 [eqn: zx]평면에 대한 대칭점을 [eqn: rmQ']이라고 하면 점[eqn: rmQ']의 좌표는 [eqn: rm Q prime it LEFT ( a-2b,~-4+2c,~3-a RIGHT )]
[eqn: THEREFORE a=5,~b=0,`c=2# # THEREFORE a+b+c=7]

해

설

02  ④

답

점 [eqn: rmB]의 [eqn: yz]평면에 대한 대칭점 [eqn: rmB' LEFT ( -2,~1,~-2 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm {bar{AP}} +barBP]의 최솟값은 [eqn: rm barAB prime]이다.
[eqn: THEREFORE rm bar{AB prime } = sqrt {LEFT ( -2-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2-3 RIGHT ) ^{2}}# # ~~~~~~= sqrt {43}]

해

설

03  ①

답

해

설

점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면 [eqn: rm {bar{OH}} BOT {bar{AB}}]이므로

[eqn: ( rm ANGLE OAB의`넓이)= {1} over {2} TIMES 1 TIMES sqrt {3} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES rm {bar{OH}}]

[eqn: THEREFORE rm {bar{OH}} = {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: anglermPOH=90DEG]이므로 구하는 거리는

[eqn: rm {bar{PH}} = sqrt {{bar{OP}} ^{2} + {bar{OH}} ^{2}} =1]

04   ②

답

해

설

[eqn: rm ANGLE AVB= rm ANGLE BVC][eqn: = rm ANGLE CVA prime =30 DEG]

[eqn: THEREFORE ANGLE rmAVA prime 90 DEG]

따라서 최단 거리는   [eqn: rm {bar{AA prime }} = sqrt {2 ^{2} +2 ^{2}} =2 sqrt {2}]

05   ⑤

답

([eqn: TRIANGLE rmEGH]의 넓이)=[eqn: rm {1} over {2} {bar{EH}} · {bar{HG}} = {1} over {2} {bar{EG}} · {bar{HK}}]이므로 [eqn: rm {bar{HK}} = {2} over {sqrt {5}}]
직각삼각형 [eqn: rmDHK]에서 [eqn: rm {bar{DK}} ^{2} =4+ {4} over {5} = {24} over {5}]
[eqn: THEREFORE rm {bar{DK}} = {2 sqrt {30}} over {5}]

해

설

06  (1) [eqn: LEFT ( 3,~4,~0 RIGHT )] (2) [eqn: LEFT ( -3,~4,~-5 RIGHT )]

답

07  [eqn: 7]

답

08   [eqn: 4(rmm)]

답

점 [eqn: rmO]를 원점으로 하는 좌표공간에서 전등의 위치를 [eqn: rm A LEFT ( 1,~8,~z RIGHT )]로 놓으면 [eqn: rm {bar{OA}} ^{2} =1 ^{2} +8 ^{2} +z ^{2} =9 ^{2}]에서 [eqn: z ^{2} =16~~~ LEFT | z RIGHT | =4 LEFT ( rmm RIGHT )]

해

설

09  ②

답

해

설

점 [eqn: LEFT ( 4,~1,~６ RIGHT )]의 [eqn: xz]평면에 대한 대칭점을 [eqn: rmA' LEFT ( 4,~-1,~6 RIGHT )]이라 하면
[eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{PB}} = rm {bar{A prime P}} `+ rm {bar{PB}} `][eqn: >= rm {bar{A prime P}} `= sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} +2 ^{2}} =3]
같은 방법으로 점[eqn: rmC LEFT ( 5,~4,~2 RIGHT )]의 [eqn: xy]평면에 대한 대칭점을 [eqn: rmC' LEFT ( 5,~4,~-2 RIGHT )]라 하면
[eqn: rm bar{BQ} + rm bar{QC} = rm bar{BQ} `+ rm bar{QC prime }# `# ~~~~~~~~ >= rm bar{BC prime } `= sqrt {2 ^{2} +3 ^{2} +6 ^{2}} =7# # THEREFORE bar{rm AP} + rm bar{PB} + rm bar{BQ} + rm bar{QC} >= bar{A prime B} + rm bar{eqalign{BC prime # }}# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=3+7=10]

10  [eqn: sqrt {38}]

답

두 점 [eqn: rmA,`B]가 [eqn: yz]평면에 대하여 같은 쪽에 있으므로 구하는 최단거리는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: yz]평면에 대한 대칭점 [eqn: rm A prime LEFT ( -1,~-2,~3 RIGHT )]과 점 [eqn: rmB] 사이의 거리이다.
[eqn: THEREFORE rm {bar{A prime B}} `= sqrt {LEFT ( 2+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1-3 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {38}]

해

설

11  [eqn: 5]

답

점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH LEFT ( 2,~0,~0 RIGHT )]이라 하면 [eqn: rm {bar{BP}} = sqrt {{bar{BH}} ^{2} + {bar{HP}} ^{2}} rm]
점 [eqn: rmB]를 점 [eqn: rmH]를 중심으로 축에 수직이고 [eqn: xz]평면 위의 점이면서 [eqn: z]좌표가 음이 되도록 [eqn: 90DEG]회전이동하여 그 점을 [eqn: rmB' LEFT ( 2,~0,~-2 RIGHT )]로 놓으면 [eqn: rm {bar{BP}} = rm {bar{B'P}}]
[eqn: THEREFORE rm bar{AP} + rm bar{PB} = bar{AP} + rm bar{PB prime } >= rm bar{eqalign{AB prime # }}# ~~~~~~~~~`= sqrt {4 ^{2} +0 ^{2} +3 ^{2}} =5]

해

설

12    ②

답

[eqn: ㄱ.``]꼭짓점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표는 꼭짓점 [eqn: rmG]의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌      표와 같고 꼭짓점 [eqn: rmF]의 [eqn: y]좌표, [eqn: z]좌표는 꼭짓점      [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표, [eqn: z]좌표와 같다. (참)
[eqn: ㄴ.``]모서리 [eqn: rmEH]는 [eqn: z]축과 평행하므로 두 점 [eqn: rmE,`H]의      [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표는 서로 같다.  (참)
[eqn: ㄷ.``]면 [eqn: rmEFGH]가 [eqn: yz]평면과 평행하므로 선분 [eqn: rmFH]도      [eqn: yz]평면과 평행하다.  (거짓)

해

설

13   ③

답

두 직선 [eqn: l,`m]위에 [eqn: rm {bar{OP}} =1,` rm {bar{OQ}} =1]인 점을 잡으면 [eqn: rm P it LEFT ( cos` alpha ,~sin` alpha ,~0 RIGHT ) ,` rm Q it LEFT ( 0,~cos` beta ,~sin` beta RIGHT )]
[eqn: TRIANGLE rmOPQ]는 정삼각형이므로 [eqn: rm {bar{PQ}} =1]
[eqn: THEREFORE `sin` alpha `cos` beta = {1} over {2}]

해

설

14    ⑤

답

점 [eqn: rmA]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: rmH LEFT ( -1,~7,~0 RIGHT )]이고 [eqn: rmrmbarAH`=1]이다.
점 [eqn: rmH]에서 주어진 원 위의 점 [eqn: rmP]까지의 거리의 최솟값 [eqn: d]는 [eqn: d= sqrt {LEFT ( -1-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 7-3 RIGHT ) ^{2}} -1=4]
따라서 [eqn: rmbarAP]의 최솟값은
[eqn: sqrt {rm {bar{AH}} ^{2} + it d ^{2} it} = sqrt {1 ^{2} +4 ^{2}} = sqrt {17}]

해

설

15   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: rm D LEFT ( 3,~0,~4 RIGHT )]  [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: rm D LEFT ( 0,~5,~4 RIGHT )]

답

[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: rm D LEFT ( 3,~5,~4 RIGHT )]

16   [eqn: 7]

답

[eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {LEFT ( 3-1 ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 5+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1-2 RIGHT ) ^{2}}]               [eqn: rm = sqrt {4+36+9} =7]

해

설

17   [eqn: LEFT ( -1,~2,~3 RIGHT )]

답

[eqn: LEFT ( {-2+0} over {2} ,~ {3+1} over {2} ,~ {4+2} over {2} RIGHT ) = LEFT ( -1,~2,~3 RIGHT )]

해

설

18   [eqn: 4]

답

좌표공간 위의 한 점에서 거리가 일정한 점의 자취는 구이므로 구하는 방정식은
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-3 RIGHT ) ^{2} =4]

해

설

19   [eqn: rmP LEFT ( 6,~0,~0 RIGHT )]

답

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~0,~0 RIGHT )]으로 놓으면
[eqn: rm {bar{AP}} ^{2} it = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT { 0- LEFT ( -3 RIGHT ) RIGHT } ^{2}]
[eqn: =x ^{2} -4x+14]
[eqn: rm {bar{BP}} ^{2} it = LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT { 0- LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT ( 0-4 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =x ^{2} -6x+26]

해

설

20   [eqn: rm P LEFT ( 0,~0,~-8 RIGHT )]

답

[eqn: rm P` it LEFT ( 0,~0,~z RIGHT )]로 놓으면 [eqn: rm {bar{AP}} ^{2} it = rm {bar{BP}} ^{2} it]에서
[eqn: 25+1+z ^{2} +4z+4=4+9+z ^{2} +2z+1]
[eqn: 2z=-16~~~thereforez=-8~~~thereforermP LEFT ( 0,~0,~-8 RIGHT )]

해

설

21   [eqn: ④]

답

해

설

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]축에 대한 대칭점을 [eqn: rmA']이라고 하면
[eqn: rmA' LEFT ( 2,~-1,~-3 RIGHT )]
이때, [eqn: rm {bar{AP}} it + rm {bar{BP}} it]의 최솟값은 선분 [eqn: rmA'B]의 길이이다.
[eqn: rm THEREFORE {bar{A'B}} = sqrt {LEFT ( -1-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1+3 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {9+9+16} = sqrt {34}]

22   [eqn: ③]

답

두 점 [eqn: rmA,`B]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA'B']이라고 하면 [eqn: rm A LEFT ( 4,~-2,~0 RIGHT ) ,`B LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT )]
[eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {LEFT ( 1-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2-3 RIGHT ) ^{2}} =5 sqrt {2}][eqn: rm {bar{A'B'}} = sqrt {LEFT ( 1-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0-0 RIGHT ) ^{2}} =5]
[eqn: therefore`theta=rm {barA'B'} over {barAB} = {sqrt {2}} over {2} ~~~thereforetheta=45DEG]

해

설

23  [eqn: ①]

답

[eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {it LEFT ( 2-t RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2t-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 5-2t RIGHT ) ^{2} rm}]                [eqn: rm = sqrt {it 9 LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} +2 rm}]
따라서 [eqn: rm {bar{PQ}}]이 최솟값은 [eqn: t=2]일 때 [eqn: sqrt {2}]이다.

해

설

24  [eqn: {5} over {2}]

답

[eqn: rm {bar{OP}} =ita]로 놓으면
[eqn: rm {bar{AB}} : rm {bar{PQ}} = {bar{OA}} : rm {bar{OP}}]에서 [eqn: 5:x=4:a~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: rm {bar{OC}} : rm {bar{PS}} = {bar{OA}} : rm {bar{PA}}]에서 [eqn: 5:x=4:4-a~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 [eqn: 4x=5a=5 LEFT ( 4-a RIGHT )]
[eqn: thereforea=2~~~therefore {5} over {2}]

해

설

25   [eqn: ⑤]

답

[eqn: LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-3 RIGHT ) ^{2} =4]는 [eqn: yz]평면에서 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원이다. 그런데 [eqn: 0<=x<=4]이므로 집합 [eqn: A]는 밑면은 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원이고 높이가 [eqn: 4]인 원기둥을 나타낸다.
[eqn: therefore](부피)[eqn: =pitimes2 ^{2} times=16pi]

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		2. 공간좌표			반 / 번호
	02 선분의 내분점과 외분점					이름

01   ④

답

[eqn: rm {bar{AC}} : rm {bar{BC}} = rm {bar{OA}} : rm {bar{OB}} =3:5]이므로
점 [eqn: rm C it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:5]로 내분하는 점이다.
[eqn: THEREFORE a=- {5} over {4} ,~b=- {19} over {8} ,~a=- {7} over {8}]
[eqn: thereforea+b+c= {1} over {4}]

해

설

02   ⑤

답

점 [eqn: rmA]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면 [eqn: rmP LEFT ( 2,~-3,~-4 RIGHT )]
점 [eqn: rmA]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동하면 [eqn: rm Q LEFT ( -2,~3,~4 RIGHT )]
따라서 [eqn: rmbarPQ]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점은
[eqn: LEFT ( {2· LEFT ( -2 RIGHT ) -1·2} over {2-1} ,~ {2·3-1· LEFT ( -3 RIGHT )} over {2-1} ,~ {2·4-1· LEFT ( -4 RIGHT )} over {2-1} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -6,~9,~12 RIGHT )]
[eqn: thereforea+b+c=-6+9+12=15]

해

설

03  ③

답

선분 [eqn: rmAB]의 [eqn: m:3]의 내분점의 [eqn: z]좌표를 구하면
[eqn: {6m+ LEFT ( -4 RIGHT ) ·3} over {m+3} =0]   [eqn: thereforem=2]
선분 [eqn: rmAB]의 [eqn: 3:m]의 외분점의 [eqn: y]좌표를 구하면
[eqn: {5·3-3n} over {3-n} =0]   [eqn: THEREFORE n=5]
[eqn: THEREFORE m+n=2+5=7]

해

설

04  ③

답

두 점 [eqn: rm A LEFT ( 4,~1,~3 it a RIGHT ) ,`rmB LEFT ( 1,~-2,~-3 RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표는
[eqn: LEFT ( {2·1+1·4} over {2+1} ,` {2· LEFT ( -2 RIGHT ) 1+1·1} over {2+1} ,` {2· LEFT ( -3 RIGHT ) +1·3a} over {2+1} RIGHT )# = LEFT ( 2,~-1,~-2+a RIGHT )]
선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 좌표는
[eqn: LEFT ( {2·1-1·4} over {2-1} ,` {2· LEFT ( -2 RIGHT ) 1-1·1} over {2-1} ,` {2· LEFT ( -3 RIGHT ) -1·3a} over {2-1} RIGHT )# = LEFT ( -2,~-5,~-6-3a RIGHT )]
따라서 [eqn: rm {bar{PQ}} =4 sqrt {6} = sqrt {4 ^{2} +4 ^{2} |+ LEFT ( 4+4ita RIGHT ) ^{2}}]
위의 식에서 [eqn: LEFT ( a+1 RIGHT ) ^{2} =4~~~thereforea=-3]또는 [eqn: a=1]
그런데 [eqn: a<0]이므로 [eqn: a=-3]

해

설

05  ②

답

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:2]로 외분하는 점을 [eqn: rmP]라 하면 [eqn: rm P LEFT ( 7,`-7,`-12 RIGHT )]
선분 [eqn: rm AC]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점을 [eqn: rm Q]라 하면 [eqn: rm Q LEFT ( 3,`0,`-9 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE rm {bar{PQ}} = sqrt {LEFT ( 7-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -7-0 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -12+9 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {74}]

해

설

06   [eqn: 2]

답

점 [eqn: rmP]는 두 점 [eqn: rmA,`B]의 [eqn: z]성분을[eqn: 2:1]로 내분하므로 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분한다. 두 점 [eqn: rmA,`B]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영을 각각 [eqn: rm A',`B']이라 하면 [eqn: rm A LEFT ( 9,~2,~0 RIGHT ) ,`B LEFT ( 5,~7,~0 RIGHT )] [eqn: TRIANGLE rmAPA']과 [eqn: TRIANGLE rm BPB prime]이 서로 닮음이므로 [eqn: rm {bar{AP}} : rm {bar{BP}} = rm {bar{A'P}} : rm {bar{B'P}} =2:1]
따라서 [eqn: rm {bar{AP}} = rm 2 rm {bar{BP}}]이므로[eqn: rm {{bar{AP}}} over {{bar{BP}}} =2]

해

설

07    ④

답

[eqn: rm A LEFT ( 4,~5,~-6 RIGHT ) ,`B LEFT ( -4,~-5,~6 RIGHT ) ,`C LEFT ( -4,~-5,~-6 RIGHT )]
이므로 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표는
[eqn: rmG LEFT ( - {4} over {3} ,~- {5} over {3} ,~-2 RIGHT )]

해

설

08   [eqn: ①]

답

평행사변형의 두 대각선은 서로 이등분하므로 두 대각선의 중점은 일치한다.
즉, 대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]의 중점이 일치한다.
[eqn: rm barAC]의 중점의 좌표는
[eqn: LEFT ( {-1+2} over {2} ,~ {2+4} over {2} ,~ {3+5} over {2} RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} ,~3,~4 RIGHT )]
[eqn: rm {bar{BD}}]의 중점의 좌표는
[eqn: LEFT ( {a-3} over {2} ,~ {b+1} over {2} ,~ {c+5} over {2} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE {1} over {2} = {a-3} over {2} ,`3= {b+1} over {2} ,`4= {a+5} over {2} `]
[eqn: thereforea=4,`b=5,`c=3]
[eqn: thereforea+b+c=4+5+3=12]

해

설

09   [eqn: rmC LEFT ( 3,~-2,~-6 RIGHT )]

답

[eqn: {2+4+a} over {3} =3,~ {LEFT ( -3 RIGHT ) + LEFT ( -1 RIGHT ) +b} over {3} =-2,~][eqn: {1+2+c} over {3} =-1]
[eqn: THEREFORE a=3,`b=-2,`c=-6~~~ THEREFORE rm C LEFT ( 3,~-2,~-6 RIGHT )]

해

설

10   [eqn: ④]

답

점 [eqn: rmH]를 좌표공간에서의 원점, 세 모서리 [eqn: rmHE,`~HG,~HD]를 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축으로 놓을 때, 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmN]의 좌표는 각각 [eqn: rmA LEFT ( 3,~0,~`3 RIGHT ) ,`rmN LEFT ( 1,~5,~0 RIGHT )]이므로
[eqn: rm {bar{AN}} = sqrt {LEFT ( 1-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 5-0 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0-3 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {38}]

해

설

11   [eqn: LEFT ( 2,~ {8} over {3} ,~ {10} over {3} RIGHT )]

답

[eqn: rm P LEFT ( 3,~4,~0 RIGHT ) ,` rm Q LEFT ( 0,~4,~5 RIGHT ) ,`R LEFT ( 3,~0,~5 RIGHT )]이므로
[eqn: TRIANGLE rmPQR]의 무게중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~ {8} over {3} ,~ {10} over {3} RIGHT )]

해

설

12   [eqn: 4 sqrt {17}]

답

[eqn: rm P LEFT ( 2,~-3,~3 RIGHT ) ,` rm Q LEFT ( 10,~-11,~15 RIGHT )]이므로
[eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {8 ^{2} + LEFT ( -8 RIGHT ) ^{2} +12 ^{2}} =4 sqrt {17}]

해

설

13  [eqn: ③]

답

[eqn: rm {bar{AP}} = {bar{BP}} it =m:n`]으로 놓으면
[eqn: rm {bar{AP}} : {bar{PS}} it =rm {bar{AB}} : {bar{BD}} `]에서 [eqn: rm {bar{PA}} it= {8m} over {m+n}]
[eqn: rm {bar{BP}} : {bar{PQ}} it = rm {bar{AB}} : {bar{AC}} `]에서 [eqn: rm {bar{PQ}} it= {8m} over {m+n}]
따라서 [eqn: □rmPQRS]의 둘레의 길이는
[eqn: rm 2 LEFT ( {bar{PS}} + {bar{PQ}} it RIGHT ) =16`]

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		2. 공간좌표			정답
	03 구의 방정식

01  ④

답

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+5 RIGHT ) ^{2} =30-d]
[eqn: THEREFORE a+b-c-d=2+1- LEFT ( -5 RIGHT ) - LEFT ( -6 RIGHT ) =14]

해

설

02  ②

답

구의 방정식은 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+1 RIGHT ) ^{2} =9]
[eqn: xy]평면과 만나서 생기는 원의 방정식은
[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =8]
따라서 구사는 원의 넓이는 [eqn: pi times LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} =8pi]

해

설

03  ④

답

구의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 3,~1,~2 RIGHT )]. 반지름의 길이는 [eqn: 3]이므로 구의 방정식은
[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-2 RIGHT ) ^{2} =9]
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +6x-2y+4z+5=0]에서
[eqn: a=-6`,] [eqn: b=-2], [eqn: c=-4], [eqn: d=5]
[eqn: thereforea-b-c+d=5]

해

설

04  ①

답

두 점 [eqn: rm P LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT ) rm], [eqn: rm Q it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점의 좌표를 [eqn: rm R it LEFT ( x prime ,~y prime ,~z prime RIGHT )]이라고 하면
[eqn: x= {x prime +3} over {2}], [eqn: y= {y prime +2} over {2}], [eqn: z= {z prime +1} over {2}]
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]에 대입하여 정리하면 구하는 자취의 방정식은
[eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+1 RIGHT ) ^{2} =4]

해

설

05  ③

답

중심이 [eqn: rmC LEFT ( -2,~3,~4 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: r=2 sqrt {6}]이므로 점 [eqn: rmC]에서 [eqn: xy]평면. [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P,~Q,~R]라고 하고, [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm S,~T,~U]라고 하면 [eqn: rmP LEFT ( -2,~3,~0 RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( 0,~3,~4 RIGHT )], [eqn: rm R LEFT ( -2,~0,~4 RIGHT )], [eqn: rm S LEFT ( -2,~0,~0 RIGHT )], [eqn: rm T LEFT ( 0,~3,~0 RIGHT )], [eqn: rm U LEFT ( 0,~0,~4 RIGHT )]
이때, [eqn: rm {bar{CP}} =4< it r,~ rm {bar{CQ}} =2< it r,~ rm {bar{CR}} =3< it r,~ rm][eqn: rm {bar{CS}} =5> it r,~ rm {bar{CT}} =2 sqrt {5} < it r,~ rm {bar{CU}} = sqrt {13} < it r,][eqn: rm {bar{CO}} = sqrt {29} > it r~]이므로 6개의 부분을 지난다.

해

설

06  [eqn: sqrt {13}]

답

[eqn: LEFT ( x+k RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-2 RIGHT ) ^{2} =7+k ^{2}]
[eqn: xy]평면과 만나는 교선의 방정식은 [eqn: z=0]일 때이므로 [eqn: LEFT ( x+k RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =k ^{2} +3]
[eqn: zx]평면과 만나는 교선의 방정식은 [eqn: y=0]일 때이므로 [eqn: LEFT ( x+k RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} =k ^{2} +6]
두 원의 넓이의 비가 [eqn: 3:4]이므로
[eqn: LEFT ( k ^{2} +3 RIGHT ) pi : LEFT ( k ^{2} +6 RIGHT ) pi =3:4]  [eqn: thereforek ^{2} =6]
따라서 구의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {7+l ^{2}} = sqrt {13}]

해

설

07  ③

답

점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~4,~5 RIGHT )]에서 구의 중심 [eqn: LEFT ( 1,~2,~1 RIGHT )]까지의 거리는 [eqn: 2 sqrt {5}]
또한 구의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {5}]이므로 점 [eqn: rmA]에서 구 위의 점까지의 최단 거리는 [eqn: 2 sqrt {5} - sqrt {5} = sqrt {5}]

해

설

08  ①

답

해

설

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2} =4]구와 [eqn: xy]평면의 교선인 원의 방정식은 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =3]
원뿔의 높이는 [eqn: 2+ sqrt {2 ^{2} - LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} =3]
따라서 구하는 원뿔의 부피를 [eqn: V]라고 하면
[eqn: V= {pi } over {3} · LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} ·3=3pi]

09  [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2} =1]

답

10   ④

답

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =25~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]위의 점을[eqn: rm B` it LEFT ( x,~y,~c RIGHT )]라고 하면 점[eqn: rmA LEFT ( -5,~10,~5 RIGHT )]이므로 [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점 [eqn: LEFT ( p,~q,~r RIGHT )]는
[eqn: p= {2x-15} over {5} ,`p= {2y+30} over {5} ,`p= {2x+15} over {5}][eqn: THEREFORE `x= {5p+15} over {2} ,`y= {5p-30} over {2} ,`z= {5r-15} over {2}]
이것을 [eqn: ㉠]에 대입하면
[eqn: LEFT ( {5p+15} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5q-30} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5r-15} over {2} RIGHT ) ^{2} =25# THEREFORE LEFT ( p+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( q-6 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( r-3 RIGHT ) ^{2} =4]
따라서 중심이 [eqn: LEFT ( -3,~6,~3 RIGHT )]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 2]이다. 즉, [eqn: a=-3,`b=6,`r=2]

해

설

[eqn: thereforea+b+c+r ^{2} =-3+6+3+4=10]

11   ④

답

[eqn: xy]평면의 방정식은 [eqn: z=0]이고, 구 [eqn: rmS]의 중심이 [eqn: LEFT ( a,~b,~±c RIGHT )]로 나타내어지므로 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =9]는 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-c RIGHT ) ^{2} =25]에 [eqn: z=0]을 대입하여 얻은 것이다. 즉, [eqn: 25-c ^{2} =9]가 되어 [eqn: LEFT | c RIGHT | =4]
[eqn: THEREFORE LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | + LEFT | c RIGHT | =1+1+4=6]

해

설

12   ④

답

중점은 [eqn: rm LEFT ( 2,~6,~8 RIGHT )]이므로 두 점 [eqn: rmA,`B]를 지름의 양끝으로 하는 구의 방정식은 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-6 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-8 RIGHT ) ^{2} =89]
한편, [eqn: z]축과의 교점은 [eqn: x=0,`y=0]을 대입하면 [eqn: LEFT ( z-8 RIGHT ) ^{2} =49~~~thereforez=15]또는 [eqn: z=1]
따라서 두 교점 사이의 거리는 [eqn: 15-1=14]

해

설

13   ③

답

구의 방정식을 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +ax+by+cz+d=0]이라 하고 주어진 네 점을 차례로 대입하면 [eqn: a=-2,`b=0,`c=10,`d=0]이므로 구하는 구의 방정식은 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} + LEFT ( z+5 RIGHT ) ^{2} =26]
따라서 구의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {26}]이다.

해

설

14    ③

답

주어진 조건에 의해
[eqn: sqrt {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2}}# # =2 sqrt {LEFT . LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} +(z+2 RIGHT ) ^{2}}# # THEREFORE LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+3 RIGHT ) ^{2} =12]

해

설

15    [eqn: 10]

답

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]성분은 음이므로 세 좌표평면에 접하는 구의 중심을 [eqn: LEFT ( -r,~r,~r RIGHT )]라 하면 세 좌표평면에 접하는 구의 방정식은 [eqn: LEFT ( x+r RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-r RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-r RIGHT ) ^{2} =r ^{2}]이고, 점 [eqn: rm A LEFT ( -5,~1,~4 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: r ^{2} -10r+21=0]
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: r]의 값의 합은 [eqn: 10]이다.

해

설

16   [eqn: 24]

답

해

설

점 [eqn: rmA]와 구의 중심 [eqn: rmC]를 이은 직선이 오른쪽 그림과 같이 구와 만나는 점을 [eqn: rm P,`Q]라고 하면
[eqn: rm {bar{AC}} = sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -6 RIGHT ) ^{2}} =7]이므로
[eqn: M= rm {bar{AQ}} = {bar{AC}} +5=12]
[eqn: m= rm {bar{AP}} = {bar{AC}} -5=2]
[eqn: thereforeMm=12times2=24]

17   [eqn: ③]

답

구 [eqn: LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-3 RIGHT ) ^{2} =25]를 [eqn: xy]평면으로 자른 단면을 나타내는 식은[eqn: z=0]일 때이므로
[eqn: LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2} =16]
즉, 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원이므로 그 둘레의 길이는 [eqn: 8pi]이다.

해

설

18  [eqn: 9]

답

해

설

[eqn: rmbarAB]의 중점 [eqn: rmM]은 [eqn: rm M` it LEFT ( 2,~4,~3 RIGHT )]이고 [eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {4+16+16} =6]이므로
[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-3 RIGHT ) ^{2} =9]

19  [eqn: ①]

답

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-2 RIGHT ) ^{2}][eqn: =9-a,` LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} +z ^{2} =9]
두 구의 중심의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( 2,~-1,~2 RIGHT ) ,` LEFT ( -2,~3,~0 RIGHT )]이므로 두 구의 중심 사이의 거리는 [eqn: sqrt {4 ^{2} +4 ^{2} +2 ^{2}} =3+ sqrt {9-a}]   [eqn: thereforea=0]

해

설

20  [eqn: ⑤]

답

[eqn: LEFT ( x-r RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-r RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-r RIGHT ) ^{2} =r ^{2}]
이 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: LEFT ( 1-r RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2-r RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3-r RIGHT ) ^{2} =r ^{2} ,`r ^{2} -6r+7=0]
[eqn: thereforer _{1} +r _{2} =6,`r _{1} r _{2} =7]
[eqn: therefore4pi LEFT ( r _{1} ^{2} +r _{2} ^{2} RIGHT ) =4pi LEFT ( 6 ^{2} -14 RIGHT ) =88pi]

해

설

21   [eqn: 1.78]

답

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} =5]에서 원 [eqn: rm C _{1} ,`~C _{2}]의  중심의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( 2,~-3,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( 2,~0,~4 RIGHT )]이고, 구의 중심에서 각 원까지의 거리는 각각 [eqn: 4,`~3]이다. 두 원 [eqn: rm C _{1} ,`~C _{2}]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{1} ,~r _{2}]라고 하면 [eqn: r _{1} ^{2} =5 ^{2} -4 ^{2} =9,`~r _{2} ^{2} =5 ^{2} -3 ^{2} =16`]
[eqn: THEREFORE rm {S _{2}} over {S _{1}} = {16 pi } over {9 pi } =1.777cdots image 1.78]

해

설