기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		2. 평면벡터의 성분과 내적			반 / 번호
	01 평면벡터의 성분					이름

01 점 [eqn: rmP]가 원점 [eqn: rmO]를 출발하여 다음 그림과 같이 작은 정사각형의 대각선 방향에 있는 격자점 ([eqn: x,~y]의 좌표가 모두 정수인 점)으로 움직인다고 할 때, 다음 중 점 [eqn: rmP]가 도달할 수 없는 점은?

① [eqn: LEFT ( 5,~5 RIGHT )]       ② [eqn: LEFT ( 10,~20 RIGHT )]      ③ [eqn: LEFT ( 15,~17 RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( 9,~36 RIGHT )]      ⑤ [eqn: LEFT ( 13,~31 RIGHT )]

02 좌표평면 위에 두 정점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2 RIGHT ) ,`B LEFT ( 2,~1 RIGHT )]이 있다. ‘임의의 점 [eqn: rmP]에 대하여  [eqn: rm {vec{OP}} +`vecOQ]는  [eqn: rm {vec{OA}}]에 평행하고, [eqn: rm {vec{OP}} -` {vec{OQ}}]는 [eqn: rm {vec{OB}}] 와 수직이다.’를 만족하는 점 [eqn: rmQ]를 택할 때, 다음 조기 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: rm {vec{OP}} != {vec{0}}])

[eqn: ㄱ.``]점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면의 점이면 점 [eqn: rmQ]는 제[eqn: 3]사분면의 점이다.

[eqn: ㄴ.``]점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 2]사분면의 점이면 점 [eqn: rmQ]는 제[eqn: 4]사분면의 점이다.

[eqn: ㄷ.``]직선 [eqn: rmPQ]의 기울기는 항상 [eqn: -2]이다.

① [eqn: ㄱ]          ② [eqn: ㄴ]        ③ [eqn: ㄱ,`ㄴ]

④ [eqn: ㄱ,`ㄷ]       ⑤ [eqn: ㄴ,`ㄷ]

기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		2. 평면벡터의 성분과 내적			반 / 번호
	02 평면벡터의 내적					이름

01 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =2,~ LEFT | {vec{b}} RIGHT | =1~]일 때, [eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT | ^{2}]의 값은?

① [eqn: 6]          ② [eqn: 7]          ③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]          ⑤ [eqn: 10]

02 서로 직교하는 두 벡터 [eqn: {vec{a}}]와 [eqn: {vec{b}}]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =2]이고 [eqn: LEFT | {vec{b}} RIGHT | =3]일 때, [eqn: LEFT | 3 {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT |]이 값은?

① [eqn: 3 sqrt {2}]        ② [eqn: 4 sqrt {2}]        ③ [eqn: 5 sqrt {2}]
④ [eqn: 6 sqrt {2}]        ⑤ [eqn: 7 sqrt {2}]

03 크기가 [eqn: 1]인 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 [eqn: LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT |][eqn: =1]을 만족할 때, [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 이루는 각 [eqn: theta]의 크기는?

(단, [eqn: 0 LEQ theta LEQ pi])

① [eqn: {pi} over {6}]         ② [eqn: {pi} over {4}]        ③ [eqn: {pi} over {3}]
④ [eqn: {pi} over {2}]         ⑤ [eqn: pi]

04 세 벡터[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 4,~4 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( 2,~-1 RIGHT ) ,~ {vec{c}} = LEFT ( -1,~5 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{a}} +k {vec{b}}]와 [eqn: {vec{c}} - {vec{a}}]가 서로 평행할 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 5]           ② [eqn: 6]          ③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]           ⑤ [eqn: 9]

05 다음 그림과 같이 [eqn: anglermC=90DEG]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm {bar{AB}} =2,~ {bar{AC}} =1]이고 변 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 하자. 이때, [eqn: rm {vec{MB}} · {vec{MC}}]의 값은?

① [eqn: {sqrt {3}} over {2}]         ② [eqn: - {1} over {2}]          ③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1} over {2} `]            ⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

06 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]에 대하여[eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]와 [eqn: 2 {vec{a}} - {vec{b}}]는  수직이고, [eqn: {vec{a}}]와 [eqn: {vec{b}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 60DEG]이다. 이때[eqn: {LEFT | {vec{a}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{b}} RIGHT |}]의 값은?

① [eqn: {-1+ sqrt {33}} over {8}]       ② [eqn: {-1+ sqrt {33}} over {7}]
③ [eqn: {1+ sqrt {33}} over {6}]        ④ [eqn: {1+ sqrt {33}} over {5}]
⑤ [eqn: {-1+ sqrt {33}} over {4}]

07 다음 그림과 같이 선분 [eqn: rmAC]를 지름으로 하는 원 위에 [eqn: rm {bar{AB}} =3,~ rm {bar{AD}} =4]가 되는 점[eqn: rmB,~D]를 잡는다. 이때, [eqn: rm {vec{AB}} · {vec{AC}} + {vec{AC}} · {vec{AD}}]의 값은?

① [eqn: 10]         ② [eqn: 15]          ③ [eqn: 20]
④ [eqn: 25]         ⑤ [eqn: 30]

08 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmO,~P,~Q,~R]에 대하여 [eqn: rm {vec{OP}} =3~` {vec{OQ}} =2,~ rm ANGLE rm POQ=60 DEG ,][eqn: rm {vec{OP}} + {vec{OQ}} + {vec{OR}} = {vec{0}}]일 때, [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rmPOR RIGHT )]의 값을 구하여라.

09 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육가형 [eqn: rmABCDEF]에서 [eqn: rm LEFT ( {vec{AB}} + {vec{BC}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{CD}} + {vec{DE}} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: - {3} over {2}]        ② [eqn: - {1} over {2}]          ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]            ⑤ [eqn: 2]

10 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =2,~ LEFT | {vec{b}} RIGHT | = {5} over {2} ,~ LEFT | {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | = sqrt {`19}]를 만족할 때, 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 이루는 각[eqn: theta]의 크기는?

(단, [eqn: 0 LEQ theta LEQ pi])

① [eqn: {pi} over {6}]         ② [eqn: {pi } over {4}]        ③ [eqn: {pi } over {3}]
④ [eqn: {pi } over {2}]          ⑤ [eqn: pi]

11 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원이 있다. 이 원 위의 두 점 [eqn: rmA,~P]에 대하여 [eqn: rm LEFT | {vec{OA}} · {vec{OP}} RIGHT | LEQ 2]를 만족하는 점 [eqn: rmP]의 자취의 길이는?

① [eqn: {1} over {3} pi]         ② [eqn: {2} over {3} pi]        ③ [eqn: pi]
④ [eqn: {4} over {3} pi]         ⑤ [eqn: {5} over {3} pi]

12 두 벡터 [eqn: rm {vec{OA}} = LEFT ( 4,~2 RIGHT ) ,~ {vec{OB}} = LEFT ( 1,~0 RIGHT ) ~]이 [eqn: rm 0 LEQ {vec{OP}} · {vec{OA}} LEQ 2,~0 LEQ {vec{OP}} · {vec{OB}} LEQ 1~]을 만족할 때, 점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이는?

① [eqn: 1]         ② [eqn: sqrt {2}]        ③ [eqn: sqrt {3}]
④ [eqn: 2]         ⑤ [eqn: sqrt {5}]

13 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 [eqn: LEFT | rm {vec{AP}} RIGHT | =1]을 만족하며 움직인다. [eqn: rm {vec{OQ}} = LEFT ( rm {vec{OA}} · rm {vec{OP}} RIGHT ) rm {vec{OA}}]일 때, [eqn: LEFT | rm {vec{OQ}} RIGHT |]의 최댓값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: sqrt {2}]         ③ [eqn: sqrt {3}]
④ [eqn: 2]          ⑤ [eqn: sqrt {5}]

14 좌표평면 위에 원점 [eqn: rmO]를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터 [eqn: rm {vec{OP}} ,` {vec{OQ}}]가 잇다. 두 벡터의 종점 [eqn: rmP,`Q]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 점을 각각 [eqn: rmP',`Q']이라 할 때, 보기에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.` LEFT | rm ` {vec{OP}} - {vec{OP}} RIGHT | = sqrt {10}]

[eqn: ㄴ.` LEFT | rm ` {vec{OP}} - {vec{OQ}} RIGHT | = LEFT | {vec{OP}} '- {vec{OQ}} ' RIGHT |]

[eqn: ㄷ.` rm ` {vec{OP}} · {vec{OQ}} = {vec{OP}} '· {vec{OQ'}}]

① [eqn: ㄱ]          ② [eqn: ㄷ]        ③ [eqn: ㄱ,`ㄴ]

④ [eqn: ㄴ,`ㄷ]       ⑤ [eqn: ㄱ,`ㄴ,`ㄷ]

15 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서 세 벡터[eqn: {vec{rm AB it}} = {vec{c}} ,` {vec{rm BC it}} = {vec{a}} , {vec{rm `CA it}} = {vec{b}}]가
[eqn: {vec{a}} · {vec{b}} =l,` {vec{b}} · {vec{rm `c it}} =m,` {vec{~c}} · {vec{a}} =n,~l+m+n=-1]을 만족할 때, [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | ^{2} + LEFT | vec{b} RIGHT | ^{2} + LEFT | c RIGHT | ^{2}]의 값을 구하시오.

16 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,` {vec{b}}]에 대하여
[eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | = LEFT | vec{b} RIGHT | , sqrt {2} LEFT | vec{a} - vec{b} RIGHT | = LEFT | vec{a} + vec{b} RIGHT |]가 성립한다. [eqn: {vec{a}} ,` {vec{b}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos`theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: {2} over {3}]          ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {1} over {3}]         ⑤ [eqn: {1} over {4}]

17 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,`` {vec{b}}]에 대하여 [eqn: {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} = {vec{0}}]이고, [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =6,` LEFT | {vec{b}} RIGHT | =10,` LEFT | {vec{c}} RIGHT | =14]일 때, [eqn: {vec{a}} ,`` {vec{b}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: x`DEG]이다. 이때, [eqn: x]의 값을 구하시오.

18 좌표평면 위의 세 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 2,`2x RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( x,`1 RIGHT ) ,` {vec{c}} = LEFT ( -1,`y RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: {vec{a}} , {vec{`b}}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]이고 [eqn: {vec{b}} ,` {vec{c}}]가 수직일 때, [eqn: x+y]의 값은?

① [eqn: 0]          ② [eqn: 2± sqrt {3}]      ③ [eqn: 2±2 sqrt {3}]

④ [eqn: 4± sqrt {3}]    ⑤ [eqn: 4±2 sqrt {3}]

19 서로 수직으로 만나는 두 벡터 [eqn: veca]와 [eqn: {vec{b}}]에 대하여[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =2]이고, [eqn: LEFT | {vec{b}} RIGHT | =3]일 때, [eqn: LEFT | 3 {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT |]의 값은?

① [eqn: 3 sqrt {2}]       ② [eqn: 4 sqrt {2}]      ③ [eqn: 5 sqrt {2}]

④ [eqn: 6 sqrt {2}]       ⑤ [eqn: 7 sqrt {2}]

20 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 두 정육각형의 한 변이 접하고 있다. 두 벡터 [eqn: rm {vec{AB}} `,` {vec{AC}}]에 대하여 내적 [eqn: rm {vec{AB}} ``· {vec{AC}}]의 값은?

① [eqn: -3 sqrt {3}]    ② [eqn: - {3 sqrt {3}} over {2}]    ③ [eqn: - sqrt {3}]

④ [eqn: - {3} over {2}]         ⑤ [eqn: {4} over {3}]

21 두 평면벡터[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 3,~1 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( -2,~1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: veca]가 [eqn: {vec{a}} =k` {vec{b}} + {vec{c}}]로 표시될 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, 평면벡터 [eqn: vecc]는 벡터 [eqn: veca]에 수직이다.)

① [eqn: - {5} over {2}]       ② [eqn: - {3} over {2}]      ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {3} over {2}]         ⑤ [eqn: {5} over {2}]

22 두 위치벡터 [eqn: rm {vec{OA}} = LEFT ( 4,~10 RIGHT )]와 [eqn: rm {vec{OB}} = LEFT ( 8,~6 RIGHT )]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rm {vec{PA}} · {vec{PB}} =0]을 만족할 때, 점 [eqn: rmP]에 대한 위치벡터 [eqn: rmvecOP]의 크기의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

23 [eqn: ANGLE rm AOB=90 DEG ,` {bar{OA}} it =a,] [eqn: ` rm {vec{OB` rm}} it =b]인 직각삼각형의 빗변 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rm {vec{OA}} `·` {vec{OP}} = {vec{OB}} · {vec{OP}}]가 되도록 한 점 [eqn: rmP]를 잡을 때, [eqn: rm {vec{AP}} `:` {vec{BP}}]는?

① [eqn: 1:1]       ② [eqn: 2:1]        ③ [eqn: a:b]

④ [eqn: b:a]       ⑤ [eqn: a ^{2} `:b ^{2}]

24 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =3,` LEFT | {vec{b}} RIGHT | =2,` {vec{a}} `·` {vec{b}} =4]일 때, [eqn: LEFT | {vec{a}} +t` rm {vec{b` rm}} it RIGHT |]를 최소로 하는 실수 [eqn: t]의 값을 [eqn: t_1]이라고 하자. 이때, [eqn: {vec{b}} · LEFT ( {vec{a}} +t _{1} {vec{b}} RIGHT )]의 값을 구하시오.

25 좌표공간에서 원점 [eqn: rmO]가 중심이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구면 위의 두 점 [eqn: rmA,`B]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAB]가 정삼각형일 때, [eqn: {vec{rmOA`it}} = {vec{a}} `, {vec{rmOB`it}} = {vec{b}}]라 하자.
이때, [eqn: lim _{x-> 0} {` {LEFT | {vec{a}} +x {vec{b}} RIGHT | - LEFT | {vec{a}} RIGHT |} over {x}}]의 값은?

① [eqn: 1]        ② [eqn: {1} over {2}]        ③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]       ⑤ [eqn: a ^{2} 0]

26 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmP,`Q,`R`]에 대하여 [eqn: rm {vec{PQ}} `· {vec{PR}} `]의 최솟값은?

① [eqn: - {3} over {2}]        ② [eqn: - {1} over {2}]        ③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]          ⑤ [eqn: {3} over {2}]

27 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정팔각형 [eqn: rmABCDEFGH]에서 다음을 구하시오.

(1)[eqn: rm {vec{AB}} · {vec{AH}}]
(2)[eqn: rm {vec{AB}} · {vec{AE}}]

28 오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 할 때, 세 벡터[eqn: {vec{a}} = {vec{rm OA` it}} ,` {vec{b}} = {vec{rm OB` it}} ,` {vec{x}} = {vec{rm OH it}}]에 대하여 [eqn: {vec{x}} = {vec{rm OH it}}]를 [eqn: {vec{a}} ,` {vec{b it}}]로 나타내시오.

29 다음 중 서로 평행한 벡터를 모두 짝지어라.

(단, [eqn: {vec{a}} != {vec{0}} ,~ {vec{b}} != {vec{0}}])

[eqn: {vec{a}} ,~2 {vec{b}} ,~ {vec{a}} - {vec{b}} ,~-4 {vec{a}} ,~2 {vec{b}} -2 {vec{a}} ,~ {1} over {2} {vec{b}}]

30 평면 위에 원점 [eqn: rmO]와 서로 다른 세 점 [eqn: rmA, B, C]에 대하여 [eqn: rm {vec{OA}} it = {vec{a}} +2 {vec{b}} ,` rm {vec{OB}} it =2 {vec{a}} +3 {vec{b}} ,` rm]
[eqn: ` rm {vec{OC}} it =3 {vec{a}} +t {vec{b}}]를 만족하는 서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: {vec{a}}]와[eqn: {vec{b}}]가 있다. 세 점 [eqn: rmA,`B,`C]가 한 직선 위에 있을 때, 실수 [eqn: t]의 값은? (단, [eqn: {vec{a}} != {vec{0}} ,` {vec{b}} != {vec{0}}])

[eqn: ①][eqn: 1]          [eqn: ②][eqn: 2]          [eqn: ③][eqn: 3]

[eqn: ④][eqn: 4]           [eqn: ⑤][eqn: 5]

31 [eqn: {vec{a}} != {vec{0}} ,~ {vec{b}} != {vec{0}}], [eqn: {vec{a}}][eqn: ⫽][eqn: {vec{b}}]인 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,`` {vec{b}}]에 대하여 [eqn: {vec{p}} =3` {vec{a}} +2 {vec{b}} ,` {vec{q}} =m {vec{a}} + {vec{b}}]일 때, [eqn: {vec{p}}]와 [eqn: {vec{q}}]가 서로 평행이 되도록 하는 실수 [eqn: m]의 값은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {2}]            [eqn: ②][eqn: 1]           [eqn: ③][eqn: {3} over {2}]

[eqn: ④][eqn: 2]              [eqn: ⑤][eqn: {5} over {2}]

32 다음 그림의 두 벡터 [eqn: rm {vec{OA}} , rm {vec{OB}}]에 대하여 [eqn: rm {vec{OA}} · {vec{OB}}]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: LEFT | vec{rm OA it} RIGHT | =2,~ LEFT | vec{rm OB it} RIGHT | =1])

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )]

33 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =2,~ LEFT | {vec{b}} RIGHT | =1~]일 때, [eqn: LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT )]의 값을 구하여라.

34 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm {vec{AB}} ⦁ {vec{BC}}]의 값은?

[eqn: ①][eqn: - {sqrt {2}} over {2}]     [eqn: ②][eqn: - {1} over {2}]       [eqn: ③][eqn: 0]

[eqn: ④][eqn: {1} over {2}]           [eqn: ⑤][eqn: {sqrt {2}} over {2}]

35 두 벡터[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~1 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( -2,~2 RIGHT )]에 대하여[eqn: {vec{a}} +` {vec{b}} ,~2 {vec{a}} -` {vec{b}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

[eqn: ①][eqn: - {sqrt {10}} over {10}]      [eqn: ②][eqn: {sqrt {5}} over {5}]        [eqn: ③][eqn: {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: ④][eqn: - {sqrt {5}} over {5}]        [eqn: ⑤][eqn: - {sqrt {10}} over {10}]

36 두 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~3 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( 2,~3+x RIGHT )]에 대하여[eqn: {vec{a}}]와[eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]가 서로 수직일 때의 [eqn: x]의 값을 [eqn: alpha], 평행일 때의 [eqn: x]의 값을 [eqn: beta]라고 할 때,[eqn: alpha+beta]의 값을 구하여라.

37 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =3,~ LEFT | {vec{b}} RIGHT | =1,~ {vec{a}} ⦁ {vec{b}} =2]를 만족할 때, [eqn: LEFT | 2 {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT |]의 값은?

[eqn: ①][eqn: sqrt {26}]        [eqn: ②][eqn: 3 sqrt {3}]        [eqn: ③][eqn: 2 sqrt {7}]

[eqn: ④][eqn: sqrt {29}]          [eqn: ⑤][eqn: sqrt {30}]

38 다음 그림은 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형으로 이루어진 직사각형이다. [eqn: rm {vec{AB}} ⦁ {vec{CD}}]의 값은?

[eqn: ①][eqn: -6]        [eqn: ②][eqn: -3]        [eqn: ③][eqn: 0]

[eqn: ④][eqn: 3]            [eqn: ⑤][eqn: 6]

39 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =3,~ LEFT | {vec{b}} RIGHT | =1,~ LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT | = sqrt {7}]인 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 이루는 각의 크기는?

[eqn: ①][eqn: {pi} over {6}]          [eqn: ②][eqn: {pi} over {4}]          [eqn: ③][eqn: {pi } over {3}]
[eqn: ④][eqn: {pi } over {2}]            [eqn: ⑤][eqn: {2} over {3} pi]

40 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]에 대하여  [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =2,~ LEFT | {vec{b}} RIGHT | =3,~2 {vec{a}} + {vec{b}}]와[eqn: - {vec{a}} +2 {vec{b}}]는 서로 수직이라고 한다. 두 벡터[eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라.

41 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm {vec{AB}} ` it = {vec{a}} ,~ rm {vec{BC}} ` it = {vec{b}} ,~ rm {vec{CA}} ` it = {vec{c}} ~]일 때, [eqn: {vec{a}} + {vec{b}} - {vec{c}}]의 크기를 구하여라.

42 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 서로 평행하지 않고 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) {vec{a}} + LEFT ( 2x+y RIGHT ) {vec{b}} =6 {vec{a}} +3 {vec{b}}]를 만족할 때, [eqn: x ^{2} +y ^{2}]의 값을 구하여라.

43 세 벡터 [eqn: rm {vec{OA}} = LEFT ( 1,~3 RIGHT ) ,~ {vec{OB}} =it LEFT ( x-1,~0 RIGHT ) ,][eqn: rm {vec{OA}} it = LEFT ( 2,~-x+2 RIGHT )]에 대하여 세 점 [eqn: rm A,~B,~C]가 한 직선 위에 있도록 하는 실수 [eqn: x]값들의 합은?

[eqn: ①][eqn: 1]          [eqn: ②][eqn: 2]          [eqn: ③][eqn: 3]
[eqn: ④][eqn: 4]          [eqn: ⑤][eqn: 5]

44 두 벡터 [eqn: {vec{q}} ,~ {vec{b}} it]가 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =1,~ LEFT | {vec{b}} RIGHT | =2,][eqn: LEFT | {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | = sqrt {5} ~]를 만족할 때, [eqn: {vec{a}} · {vec{b}} it]의 값을 구하여라.

45 두 벡터 [eqn: {vec{a}}][eqn: = LEFT ( -1,~3 RIGHT )]과 [eqn: {vec{b}}][eqn: = LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에 대하여 내적 [eqn: {vec{a}} · LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT )]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 11]           [eqn: ②][eqn: 13]           [eqn: ③][eqn: 15]
[eqn: ④][eqn: 17]           [eqn: ⑤][eqn: 19]

46 두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT |][eqn: =2], [eqn: LEFT | {vec{b}} RIGHT |][eqn: =3], [eqn: LEFT | {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT |][eqn: =6]일 때, 내적 [eqn: {vec{a}} · {vec{b}}]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 5]           [eqn: ②][eqn: 4]           [eqn: ③][eqn: 3]
[eqn: ④][eqn: 2]           [eqn: ⑤][eqn: 1]

기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		2. 평면벡터의 성분과 내적			반 / 번호
	03 직선과 원의 방정식					이름

01 [eqn: TRIANGLE rmOAB]에서 변 [eqn: rmOA]의 중점을 [eqn: rmC], [eqn: rm {vec{OA}} = {vec{ita}} ,` {vec{OB}} = {vec{it b rm}}]라고 할 때, 점 [eqn: rmA]를 지나 [eqn: rm {vec{BC}}]에 평행한 직선의 벡터방정식은? (단, [eqn: t]는 실수)

① [eqn: {vec{x}} = {t} over {2} {vec{a}} -t {vec{b}}]       ② [eqn: {vec{x}} =t {vec{a}} -t {vec{b}}]

③ [eqn: {vec{x}} = LEFT ( t+1 RIGHT ) {vec{a}} +t {vec{b}}]   ④ [eqn: {vec{x}} = LEFT ( 1+ {t} over {2} RIGHT ) {vec{a}} -t {vec{b}}]

⑤ [eqn: {vec{x}} =t {vec{a}} - LEFT ( 1+ {t} over {2} RIGHT ) {vec{b}}]

기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		2. 평면벡터의 성분과 내적			정답
	02 평면벡터의 내적

01  ⑤

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: = LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) + LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT )][eqn: = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} +2 {vec{a}} · {vec{b}} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} -2 {vec{a}} · {vec{b}} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}][eqn: =2 LEFT ( LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} RIGHT ) =2 LEFT ( 2 ^{2} +1 ^{2} RIGHT ) =10]

해

설

02  ④

답

[eqn: {vec{a}} · {vec{b}} = LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT | cos`90DEG=0]
[eqn: THEREFORE LEFT | 3 {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | ^{2} = LEFT ( 3 {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT ) · LEFT ( 3 {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT )]
[eqn: =9 LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} -12 {vec{a}} · {vec{b}} +4 LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: =72]
[eqn: LEFT | 3 {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | = sqrt {72} =6 sqrt {2}]

해

설

03  ③

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT | =1]의 양변을 제곱하면
[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} -2 {vec{a}} · {vec{b}} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} =1]
[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | = LEFT | {vec{b}} RIGHT | =1]이므로 [eqn: {vec{a}} · {vec{b}} = {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {1} over {2}]
[eqn: thereforetheta= {pi} over {3}]  [eqn: LEFT ( BECAUSE 0 LEQ theta LEQ pi RIGHT )]

해

설

04  ④

답

[eqn: {vec{a}} ⫽ {vec{b}} ` LRARROW ` {vec{a}} · {vec{b}} =± LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |]이므로
[eqn: LEFT ( {vec{a}} +k {vec{b}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{c}} - {vec{a}} RIGHT ) =± LEFT | {vec{a}} +k {vec{b}} RIGHT | LEFT | {vec{c}} - {vec{a}} RIGHT |]
[eqn: -5 LEFT ( 2k+4 RIGHT ) -k+4]
[eqn: =± sqrt {LEFT ( 2k+4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -k+4 RIGHT ) ^{2}} sqrt {5 ^{2} +1 ^{2}}]
이 식을 정리하면 [eqn: k ^{2} -16k+64=0],
[eqn: LEFT ( k-8 RIGHT ) ^{2} =0]   [eqn: thereforek=8]

해

설

05   ②

답

[eqn: rm LEFT | {vec{MB}} RIGHT | = LEFT | {vec{MB}} RIGHT | =1,~ ANGLE CMB=120 DEG][eqn: rm {vec{MB}} · {vec{MC}} = LEFT | {vec{MB}} RIGHT | LEFT | {vec{MC}} RIGHT | cos120 DEG][eqn: =1·1· LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =- {1} over {2}]

해

설

06  ①

답

[eqn: {vec{a}} · {vec{b}} = LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT | cos`60 DEG = {1} over {2} LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |]
[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} ,~2 {vec{a}} - {vec{b}}]는 서로 수직이므로
[eqn: LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) · LEFT ( 2 {vec{a}} - {vec{b}} =0 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE 4 LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT | -2 LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} =0]
[eqn: 4 LEFT ( {LEFT [ {vec{a}} RIGHT ]} over {LEFT | {vec{b}} RIGHT |} RIGHT ) ^{2} + {LEFT | {vec{a}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{b}} RIGHT |} -2=0]에서
[eqn: {LEFT | {vec{a}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {-1+ sqrt {33}} over {8} `]  [eqn: LEFT ( BECAUSE {LEFT | {vec{a}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{b}} RIGHT |} >0 RIGHT )]

해

설

07   ④

답

[eqn: rm {vec{AB}} · {vec{AC}} = LEFT | {vec{AB}} RIGHT | LEFT | {vec{AC}} RIGHT | cos` theta _{1} =9][eqn: rm {vec{AC}} · {vec{AD}} = LEFT | {vec{AC}} RIGHT | LEFT | {vec{AD}} RIGHT | cos` theta _{2} =16][eqn: THEREFORE rm {vec{AB}} · {vec{AC}} + {vec{AC}} · {vec{AD}} =25]

해

설

08  [eqn: - {4 sqrt {19}} over {19}]

답

[eqn: rm {vec{OP}} · {vec{OQ}} =3,][eqn: rm LEFT | {vec{OR}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{OP}} + {vec{OQ}} RIGHT | ^{2}]                    [eqn: = rm LEFT | {vec{OP}} RIGHT | ^{2} +2 LEFT ( {vec{OP}} · {vec{OQ}} RIGHT ) + LEFT | {vec{OQ}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: =19]
[eqn: THEREFORE `cos LEFT ( ANGLE rm POR RIGHT ) = {{vec{OP}} · {vec{OR}}} over {LEFT | {vec{OP}} RIGHT | LEFT | {vec{OR}} RIGHT |}]                               [eqn: = rm {- {vec{OP·}} LEFT ( {vec{OP}} + {vec{OQ}} RIGHT )} over {LEFT | {vec{OP}} RIGHT | LEFT | {vec{OR}} RIGHT |}]                         [eqn: = {-3 ^{2} -3} over {3 sqrt {19}} =- {4 sqrt {19}} over {19}]

해

설

09  ①

답

해

설

[eqn: rm LEFT | {vec{AC}} RIGHT | ^{2} =1 ^{2} +1 ^{2} -2·1·1·cos`120DEG=3]
[eqn: rm LEFT | {vec{AC}} RIGHT | = LEFT | {vec{CE}} RIGHT | = LEFT | {vec{AG}} RIGHT | =3]
[eqn: THEREFORE rm LEFT ( {vec{AB}} + {vec{BC}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{CD}} + {vec{DE}} RIGHT )]     [eqn: = rm LEFT ( {vec{AC}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{CE}} RIGHT )]              [eqn: =rm LEFT ( {vec{AC}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{AG}} RIGHT )]              [eqn: rm = LEFT | {vec{AC}} RIGHT | LEFT | {vec{AG}} RIGHT | cos`120 DEG]
[eqn: =- {3} over {2}]

10   ③

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} -4 {vec{a}} · {vec{b}} +4 LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: 19=4-4 {vec{a}} · {vec{b}} +25]  [eqn: therefore {vec{a}} · {vec{b}} = {5} over {2}]
두 벡터[eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 이루는 각 [eqn: theta]에 대하여
[eqn: cos` theta = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {1} over {2}]   [eqn: thereforetheta= {pi} over {3} LEFT ( BECAUSE 0 LEQ theta LEQ pi RIGHT )]

해

설

11

④

답

두 벡터 [eqn: rm {vec{OA}} ,~ {vec{OP}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: LEFT | rm {vec{OA}} · {vec{OP}} RIGHT | = LEFT | LEFT | rm {vec{OA}} RIGHT | · LEFT | {vec{OP}} RIGHT | cos` theta RIGHT | =4 LEFT | cos`theta RIGHT | LEQ 2]
[eqn: therefore- {1} over {2} LEQ cos`theta LEQ {1} over {2}]
[eqn: therefore60DEG LEQ theta LEQ 120DEG]또는 [eqn: 240DEG LEQ theta LEQ 300DEG]
[eqn: THEREFORE 2 pi TIMES 2 it times {120 DEG } over {360 DEG } = {4} over {3} pi]

해

설

12   ①

답

해

설

[eqn: rm {vec{OP}} =it LEFT ( x,~y RIGHT )]라고 하면 [eqn: rm {vec{OP}} · {vec{OA}} = it 4x+2y]
[eqn: 0LEQ4x+2y LEQ2]에서 [eqn: -2x LEQ y LEQ -2x+1]
[eqn: rm {vec{OP}} · {vec{OB}} = it x]에서 [eqn: 0 LEQ x LEQ 1]     [eqn: therefore](영역의 넓이)=1

13  ④

답

[eqn: LEFT | {vec{rm AP it}} RIGHT | =1]이므로 점 [eqn: rmP]의 자취는 중심이 [eqn: rmA LEFT ( 1,~0 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm1]인 원이다.
또 [eqn: rm it LEFT ( x,~y RIGHT )]라고 하면 [eqn: rm {vec{OA}} · {vec{OP}} =it1 TIMES x+0 TIMES y=x]이므로 [eqn: rm {vec{OQ}} =itx LEFT ( 1,~0 RIGHT ) = LEFT ( x,~0 RIGHT )]
따라서 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표와 같으므로 구하는 최댓값은 [eqn: 2]이다.

해

설

14   ③

답

[eqn: ㄷ.`](반례)[eqn: rm {vec{OP}} = LEFT ( 1,~0 RIGHT ) ,` {vec{OQ}} = LEFT ( 0,~1 RIGHT )]이면
[eqn: rm {vec{OP prime }} = LEFT ( 4,~1 RIGHT ) ,` {vec{OQ prime }} = LEFT ( 3,~2 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{OP}} · {vec{OQ}} =0,` {vec{OP prime }} · {vec{OQ'}} =14]   [eqn: therefore]거짓

해

설

15   [eqn: 2]

답

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{rm `c it}} = {vec{rm `0}}]이므로 [eqn: LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{rm `c it}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{rm `c it}} RIGHT ) =0]
[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{c}} RIGHT | ^{2} +2 LEFT ( {vec{a}} · {vec{b}} + {vec{b}} · {vec{c}} + {vec{c}} · {vec{a}} RIGHT ) =0][eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{c}} RIGHT | ^{2} =-2 LEFT ( l+m+n RIGHT ) =2]

해

설

16   ④

답

[eqn: sqrt {2} LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT | = LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT |]의 양변을 제곱하면 [eqn: sqrt {2} LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: 2 LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT ) = LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT )]
[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} =6 {vec{a}} `·` {vec{a}}]  이때, [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | = LEFT | {vec{b}} RIGHT |]이므로
[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} =3 {vec{a}} `·` {vec{b}} ~~~~ THEREFORE {vec{a}} `·` {vec{b}} = {1} over {3} LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {{vec{a}} `·` {vec{b}} `} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} =` {{1} over {3} LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2}} = {1} over {3}]

해

설

17  [eqn: 60]

답

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} = {vec{0}}]이므로 [eqn: {vec{c}} =- {vec{a}} - {vec{b}}]에서
[eqn: LEFT | {vec{c}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | ^{2} ,`]즉 [eqn: LEFT | {vec{c}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} +2 {vec{a}} `·` {vec{b}} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: 14 ^{2} =6 ^{2} +2 {vec{a}} `·` {vec{b}} +10 ^{2} ,` {vec{a}} `·` {vec{b}} =30]에서 [eqn: cos`theta= {1} over {2}]이므로 [eqn: theta =60 DEG ~~~~thereforex=60DEG]

해

설

18   ⑤

답

[eqn: {vec{a}} · {vec{`b}} =2x+2x= sqrt {2 ^{2} + LEFT ( 2x RIGHT ) ^{2}} · sqrt {x ^{2} +1} · {1} over {2}]에서
[eqn: x ^{2} -4x+1=0]   [eqn: thereforex=2± sqrt {3}](복부호동순)
[eqn: thereforex+y=4±2 sqrt {3}]

해

설

19   ④

답

[eqn: {vec{a}} `·` {vec{b}} ``=0]이므로
[eqn: LEFT | 3 {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | ^{2} =9 LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} -12 {vec{a}} `·` {vec{b}} +4 LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} =72]
[eqn: therefore LEFT | 3 {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | =6 sqrt {2}]

해

설

20   ④

답

[eqn: rm ANGLE BAC=120 DEG ,`` {vec{AB}} = {vec{AC}} = sqrt {3}]
[eqn: rm {vec{AB}} · {vec{AB}} = sqrt {3} TIMES sqrt {3} TIMES cos`120 DEG =- {3} over {2}]

해

설

21   ①

답

[eqn: {vec{c}} `·` {vec{a}} =0]이므로 [eqn: {vec{a}} `·` {vec{a}} = LEFT ( k {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT ) · {vec{a}} =k {vec{a}} · {vec{b}} + {vec{c}} =k {vec{a}} · {vec{b}}]
즉, [eqn: 10=-4k~~~thereforek=- {5} over {2}]

해

설

22   [eqn: 20]

답

[eqn: rm {vec{PA}} · {vec{PB}} =0]이므로 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 위에 잇다. 원의 중심을 [eqn: rmC], 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 [eqn: rm LEFT | {vec{OP}} RIGHT |]의 최댓값 [eqn: M]은
[eqn: M= {vec{rm OC it}} ` it +r,` LEFT | ` {vec{rm OP it}} RIGHT |]의 최솟값 [eqn: m]은 [eqn: m]=[eqn: rm {vec{OC}} -r]
[eqn: THEREFORE M+m=2 rm {vec{OC}} =20]

해

설

23   ⑤

답

[eqn: rm {vec{OA}} `·` {vec{OP}} = {vec{OB}} · {vec{OP}}]에서 [eqn: rm LEFT ( {vec{OA}} `- {vec{OB}} ` RIGHT ) `·` {vec{OP}} =0,` {vec{BA}} `· {vec{OP}} =0~~ THEREFORE {vec{BA}} ` BOT {vec{OP}} `]
따라서 [eqn: rm {vec{AP}} ` it =x,` rm {vec{BP}} ` it =y]라고 하면 [eqn: a ^{2} =x LEFT ( x+y RIGHT ) ,`b ^{2} =y LEFT ( x+y RIGHT )]이므로
[eqn: rm {bar{AP}} :` {bar{BP}} it =x:y= {a ^{2}} over {LEFT ( x+y RIGHT )} : {b ^{2}} over {LEFT ( x+y RIGHT )} =a ^{2} :b ^{2}]

해

설

24   [eqn: 0]

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} +t` rm {vec{b` rm}} it RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} +2t {vec{a}} `·` {vec{b}} +t ^{2} LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}][eqn: =9+8t+4t ^{2} =4 LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2} +5]
따라서 [eqn: t=-1]일 때 [eqn: LEFT | {vec{a}} +t`veca RIGHT |]는 최소이므로 [eqn: {vec{b}} `· LEFT ( {vec{a}} +t _{1} {vec{b}} RIGHT ) = {vec{b}} · LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT ) = {vec{a}} · {vec{b}} - LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} =0]

해

설

25   ①

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} +x {vec{b}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} +2x {vec{a}} · {vec{b}} +x ^{2} LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} =4 LEFT ( 1+x+x ^{2} RIGHT )][eqn: lim _{x -> 0} {` {LEFT | {vec{a}} +x {vec{b}} RIGHT | - LEFT | {vec{a}} RIGHT |} over {x}} = lim _{x -> 0} {` {2 sqrt {1+x+x ^{2} -2}} over {x} =1}]

해

설

26   ②

답

해

설

[eqn: rm {vec{PQ}} `· {vec{PR}} `]가 최소가 되려면 [eqn: rm {bar{PH}} `]가 최대가 되어야 한다. 따라서 점 [eqn: rmR]는 [eqn: rm {bar{PQ}}]에 평행하고 원점 [eqn: rmO]를 지나는 직선 위의 점이다. [eqn: rm {bar{PM}} =s]라고 하면 [eqn: rm {bar{PH}} =1-s]이므로
[eqn: rm {vec{PQ}} · {vec{PR}} =- LEFT | {vec{PQ}} RIGHT | LEFT | {vec{PH}} RIGHT |][eqn: =-2s LEFT ( 1-s RIGHT ) =2s ^{2} -2s][eqn: =2 LEFT ( s- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} - {1} over {2} >= - {1} over {2}]

27   (1) [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]  (2)[eqn: 1]

답

(1) 정팔각형의 한 내각의 크기는 [eqn: 135DEG]이므로
[eqn: rm {vec{AB}} · {vec{AH}} = LEFT | {vec{AB}} RIGHT | LEFT | {vec{AH}} RIGHT | cos`135 DEG # ~~~~= {sqrt {2}} over {2}]
(2) 지름에 대한 원주각은 [eqn: 90DEG]이므로
[eqn: rm {vec{AB}} · {vec{AE}} = LEFT | {vec{AB}} RIGHT | LEFT | {vec{AE}} RIGHT | cos` LEFT ( ANGLE rm EAB RIGHT )# # ~~~~~~~= rm LEFT | {vec{AB}} RIGHT | LEFT | {vec{AE}} RIGHT | · {LEFT | {vec{AB}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{AE}} RIGHT |}# ~~~~~~~= rm LEFT | {vec{AB}} RIGHT | ^{2}# ~~~~~~~=1]

해

설

28   [eqn: {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2}} {vec{a}}]

답

[eqn: {vec{x}} = {vec{rmOH}}]를 [eqn: {vec{a}} ,` {vec{b}}]로 나타내면 [eqn: {vec{a}}]에 평행하고 크기가 [eqn: 1]인 단위벡터는 [eqn: {{vec{a}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT |}]이므로
[eqn: {vec{x}} = LEFT | {vec{b}} RIGHT | `cos` theta {{vec{a}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT |} = {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT | cos` theta } over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2}} {vec{a}} = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2}} {vec{a}}]

해

설

29  [eqn: {vec{a}} ⫽-4 {vec{a}} ,~2 {vec{b}} ⫽ {1} over {2} {vec{b}} ,~ {vec{a}} - {vec{b}} ⫽2 {vec{b}} -2 {vec{a}}]

답

영벡터가 아닌 두 벡터에 대하여 한 벡터가 다른 벡터의 [eqn: 0]이 아닌 실수배이면 이 두 벡터는 서로 평행하다. 즉.
[eqn: -4 {vec{a}} = LEFT ( -4 RIGHT ) TIMES {vec{a}}]에서   [eqn: {vec{a}} ⫽-4 {vec{a}}]
[eqn: 2 {vec{b}} =4times {1} over {2} {vec{b}}]에서   [eqn: 2 {vec{b}} ⫽ {1} over {2} {vec{b}}]
[eqn: 2 {vec{b}} -2 {vec{a}} =-2 LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT )]에서   [eqn: {vec{a}} - {vec{b}} ⫽2 {vec{b}} -2 {vec{a}}]

해

설

30   [eqn: ④]

답

서로 다른 세 점 [eqn: rmA,`B,`C]가 한 직선 위에 있으려면 [eqn: rm {vec{AC}} it =k` {vec{rm AB it}}](단, [eqn: k!=0]인 실수)이어야 하므로
[eqn: rm {vec{OC}} it -` {vec{rm OA it}} =k LEFT ( rm {vec{OB}} it -` {vec{rm OA it}} RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 3 {vec{a}} +t {vec{b}} RIGHT ) - LEFT ( {vec{a}} +2 {vec{b}} RIGHT ) =k LEFT { LEFT ( 2 {vec{a}} +3 {vec{b}} RIGHT ) - LEFT ( {vec{a}} +2 {vec{b}} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: 2 {vec{a}} + LEFT ( t-2 RIGHT ) {vec{b}} =k {vec{a}} +k {vec{b}}]
[eqn: thereforek=2,`k=t-2]
[eqn: thereforet=k+2=4]

해

설

31   [eqn: ③]

답

[eqn: {vec{q}} =k {vec{p}}]([eqn: k!=0]인 실수)에서
[eqn: m {vec{a}} + {vec{b}} =k LEFT ( 3 {vec{a}} +2 {vec{b}} RIGHT ) =3k {vec{a}} +2k {vec{b}}]
[eqn: THEREFORE m=3k~2k=1]   [eqn: THEREFORE k= {1} over {2} ,~m=3k= {3} over {2}]

해

설

32   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: 1]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 0]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: -1]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: rm {vec{OA}} ⦁ {vec{OB}} =2 TIMES 1 TIMES cos`60 DEG =2 TIMES 1 TIMES {1} over {2} =1]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: rm {vec{OA}} ⦁ {vec{OB}} =2 TIMES 1 TIMES cos`90 DEG =2 TIMES 1 TIMES 0=1]
[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: rm {vec{OA}} ⦁ {vec{OB}} =2 TIMES 1 TIMES cos`120 DEG =2 TIMES 1 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =-1]

해

설

33  [eqn: 3]

답

[eqn: LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) ⦁ LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{a}} · {vec{a}} - {vec{a}} · {vec{b}} + {vec{a}} · {vec{b}} - {vec{b}} · {vec{b}}]
[eqn: = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} - LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: =2 ^{2} -1 ^{2} =3]

해

설

34   [eqn: ②]

답

해

설

정상각형 [eqn: rmABC]와 합동인 정삼각형 [eqn: rmADC]를 붙여서 오른쪽 그림과 같은 마름모를 만들면 [eqn: rm {vec{BC}} = rm {vec{AD}}]이므로 [eqn: rm {vec{AB}}]와 [eqn: rm {vec{BC}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 120DEG]이다.
[eqn: THEREFORE rm {vec{AB}} ⦁ rm {vec{BC}} = LEFT | {vec{AB}} RIGHT | LEFT | {vec{BC}} RIGHT | TIMES cos`120 DEG]
[eqn: =1 TIMES 1 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =- {1} over {2}]

35  [eqn: ⑤]

답

[eqn: {vec{a}} +` {vec{b}} = LEFT ( 1,~1 RIGHT ) + LEFT ( -2,~1 RIGHT ) = LEFT ( -1,~3 RIGHT )]
[eqn: 2 {vec{a}} -` {vec{b}} =2 LEFT ( 1,~1 RIGHT ) - LEFT ( -2,~2 RIGHT ) = LEFT ( 4,~0 RIGHT )]이므로
[eqn: cos` theta = {LEFT ( -1,~3 RIGHT ) ⦁ LEFT ( 4,~0 RIGHT )} over {sqrt {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +3 ^{2} sqrt {4 ^{2} +0 ^{2}}}}]
[eqn: = {-4} over {4 sqrt {10}} =- {sqrt {10}} over {10}]

해

설

36  [eqn: -4]

답

평행 조건 : [eqn: {vec{a}} + {vec{b}} =t {vec{a}}]([eqn: t!=0]일 실수)에서
[eqn: LEFT ( 3,~6+x RIGHT ) =t LEFT ( 1,~3 RIGHT ) ~~therefore3=t,~6+x=3t]
[eqn: thereforex=3]

해

설

37  [eqn: -4]

답

[eqn: LEFT | 2 {vec{a}} -b RIGHT | ^{2} = LEFT ( 2 {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT ) ⦁ LEFT ( 2 {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT )]                             [eqn: =4 LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} -4 {vec{a}} ⦁ {vec{b}} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]                          [eqn: =4 TIMES 3 ^{2} -4 TIMES 2+1 ^{2} =29]
[eqn: THEREFORE LEFT | 2 {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT | = sqrt {29}]

해

설

38  [eqn: ②]

답

[eqn: rm A LEFT ( 0,~2 RIGHT ) ,~B LEFT ( 3,~0 RIGHT ) ,~C LEFT ( 1,~0 RIGHT ) ,~D LEFT ( 2,~3 RIGHT )]이 되도록 좌표평면을 도입하면 [eqn: rm {vec{AB}} = LEFT ( 3,~-2 RIGHT ) ,~ {vec{CD}} = LEFT ( 1,~3 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AB}} ⦁ {vec{CD}} =3times1+ LEFT ( -2 RIGHT ) times3=-3]

해

설

39  [eqn: ③]

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT | =7]에서   [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} -2 {vec{a}} ⦁ {vec{b}} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} =7]
[eqn: THEREFORE {vec{a}} ⦁ {vec{b}} = {3} over {2}]
두 벡터[eqn: {vec{a}} ⦁ {vec{b}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면
[eqn: cos` theta = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {{3} over {2}} over {3times1} = {1} over {2}]  [eqn: thereforetheta= {pi} over {3}]

해

설

40  [eqn: - {5} over {9}]

답

[eqn: LEFT ( 2 {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) ⦁ LEFT ( - {vec{a}} +2 {vec{b}} RIGHT ) =-2 LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} +3 {vec{a}} ⦁ {vec{b}} +2 LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: =10+3 {vec{a}} ⦁` {vec{b}} =0]에서 [eqn: {vec{a}} ⦁ {vec{b}} =- {10} over {3}]
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {- {10} over {3}} over {2 TIMES 3} =- {5} over {9}]

해

설

41  [eqn: 2]

답

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} - {vec{c}} = LEFT ( rm {vec{AB}} + rm {vec{BC}} RIGHT ) - rm {vec{CA}} = rm {vec{AC}} - rm {vec{CA}}]
[eqn: = rm {vec{AC}} + rm {vec{AC}} =2 rm {vec{AC}}]
[eqn: THEREFORE LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} - {vec{c}} RIGHT | =2 LEFT | {vec{rm AC it}} RIGHT | =2]

해

설

42   [eqn: 18]

답

[eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) {vec{a}} + LEFT ( 2x+y RIGHT ) {vec{b}} =6 {vec{b}} +3 {vec{b}}]에서
[eqn: x-y=6,~2x+y=3]
[eqn: thereforex=3,~y=-3]   [eqn: thereforex ^{2} +y ^{2} =3 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} =18]

해

설

43  [eqn: ①]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{OB}} - {vec{OA}} = it LEFT ( x-2,~-3 RIGHT ) ,][eqn: rm {vec{AC}} = {vec{OC}} - {vec{OA}} = it LEFT ( 1,~-x-1 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AB}} = it t rm {vec{AC}}]([eqn: t!=0]인 실수)에서
[eqn: LEFT ( x-2,~-3 RIGHT ) =t LEFT ( 1,~-x-1 RIGHT )]
[eqn: thereforex-2=t,~-3=t LEFT ( -x-1 RIGHT )]
두 식을 연립하여 [eqn: t]를 소거하면 [eqn: x ^{2} -x-5=0]이므로 두 근의 합은 [eqn: 1]이다.

해

설

44  [eqn: ①]

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | = sqrt {5} ~]의 양변을 제곱하면 [eqn: LEFT | {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | ^{2} =5]에서 [eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} -4 {vec{a}} · {vec{b}} +4 LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} =5]
[eqn: 1 ^{2} -4 {vec{a}} · {vec{b}} +4 TIMES 2 ^{2} =5]에서 [eqn: 4 {vec{a}} · {vec{b}} =12]
[eqn: THEREFORE {vec{a}} · {vec{b}} =3]

해

설

45  [eqn: ②]

답

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}}][eqn: = LEFT ( -1,~3 RIGHT ) + LEFT ( 2,~1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1,~4 RIGHT )]이므로
[eqn: {vec{a}} · LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT )][eqn: = LEFT ( -1,~3 RIGHT ) · LEFT ( 1,~4 RIGHT )][eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) times1+3times4][eqn: =11]

해

설

46  [eqn: ⑤]

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT | ^{2}][eqn: = LEFT ( {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT ) · LEFT ( {vec{a}} -2 {vec{b}} RIGHT )][eqn: = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} -4 {vec{a}} · {vec{b}} +4 LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]이므로
[eqn: 36][eqn: =4-4 {vec{a}} · {vec{b}} +4times9]에서 [eqn: {vec{a}} · {vec{b}}][eqn: =1]

해

설

기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		2. 평면벡터의 성분과 내적			정답
	01 평면벡터의 성분

01   ④

답

[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~1 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( 1,~-1 RIGHT ) ,` {vec{c}} = LEFT ( -1,~1 RIGHT ) ,` {vec{d}} = LEFT ( -1,~-1 RIGHT )]일때 지나는 점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT ) =k` {vec{a}} +l {vec{b}} +m` {vec{c}} +n` {vec{d}}]([eqn: k,`l,`m,`n]은 음이 아닌정수)로 나타낼 수 있다. 즉,
[eqn: LEFT ( x,~y RIGHT ) = LEFT ( k,~k RIGHT ) + LEFT ( l,~-l RIGHT ) + LEFT ( -m,~m RIGHT ) + LEFT ( -n,~-n RIGHT )# ~~~~~= LEFT ( k+l-m-n,`k-l+m-n RIGHT ) ~# thereforex+y=2 LEFT ( k-n RIGHT )]
즉, [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합은 짝수이다.
따라서 조건을 만족하지 않는 것은 ④이다.

해

설

02  ⑤

답

[eqn: rm P` it LEFT ( a,~b RIGHT ) ,`rmQ`it LEFT ( x,~y RIGHT )]라 하고, 보기의 참, 거짓을 조사하면, [eqn: ㄴ,`ㄷ]이 참이다.

해

설

기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		2. 평면벡터의 성분과 내적			정답
	03 직선과 원의 방정식

01   ④

답

해

설

구하는 직선 위의 임의의 점을 [eqn: rm P LEFT ( {vec{it x rm}} RIGHT )]라고 하자.
[eqn: rm {vec{BC}} = rm {vec{OC}} - rm {vec{OB}} it# = {1} over {2} {vec{a}} - {vec{b}}]이고,
구하는 벡터방정식은
[eqn: rm {vec{AP}} it =t rm {vec{BC}}]([eqn: t]는 실수)이므로
[eqn: rm {vec{OP}} - {vec{OA}} it =t LEFT ( {1} over {2} {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT ) ~` THEREFORE {vec{x}} = LEFT ( 1+ {t} over {2} RIGHT ) {vec{a}} -t {vec{b}}]
(단, [eqn: t]는 실수)