기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		2. 평면곡선의 접선			반 / 번호
	01 음함수의 미분					이름

01 곡선 [eqn: 3x ^{2} +2xy+y ^{2}][eqn: =6]위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT )]에서의 점선의 기울기는?
① [eqn: -2]         ② [eqn: -1]        ③ [eqn: - {1} over {2}]
④ [eqn: 1]           ⑤ [eqn: 2]

02 곡선 [eqn: sqrt {x} + sqrt {y}][eqn: =3]위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~4 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는?
① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]          ⑤ [eqn: 3]

03 음함수 [eqn: x][eqn: =y LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{3}]에서 [eqn: y][eqn: =- {3} over {2}]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은?
① [eqn: -2]         ② [eqn: - {3} over {2}]         ③ [eqn: -1]
④ [eqn: - {1} over {2}]        ⑤ [eqn: {1} over {2}]

기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		2. 평면곡선의 접선			반 / 번호
	02 매계변수로 나타낸 함수의 미분					이름

01 매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 함수 [eqn: x][eqn: = {1} over {3} t ^{3} + {1} over {2} t ^{2} -6t,] [eqn: y][eqn: = {1} over {3} t ^{3} =9t]에 대하여 [eqn: lim _{t-> 4} {{dy} over {dx}}]의 값은?
① [eqn: {1} over {6}]           ② [eqn: {1} over {5}]          ③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {3}]           ⑤ [eqn: {1} over {2}]

02 매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 함수 [eqn: x][eqn: =t+ {1} over {t}],
[eqn: y][eqn: =t- {1} over {t}]에서 [eqn: lim _{t-> INF } {{dy} over {dx}}]의 값은?
① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]          ⑤ [eqn: 3]

03 매개변수[eqn: t]로 나타내어진 함수                    [eqn: x][eqn: =2 LEFT ( t-sin`t RIGHT ) LEFT ( 1-cos`t RIGHT )]에 대하여 등식
[eqn: {d ^{2} y} over {dx ^{2}}][eqn: = {a} over {y ^{2}}]를 만족하는 상수 [eqn: a]의 값은?
① [eqn: -2]         ② [eqn: - {3} over {2}]         ③ [eqn: -1]
④ [eqn: - {1} over {2}]        ⑤ [eqn: {1} over {2}]

04 [eqn: 0 LEQ t LEQ {pi } over {2}]일 때, 곡선 [eqn: x][eqn: =e ^{t} `sin`2t], [eqn: y][eqn: =e ^{t} cos`2t]의 길이는?
① [eqn: sqrt {2} (e ^{{pi } over {2}} -1)]       ② [eqn: sqrt {2} (e ^{{pi } over {2}} +1)]
③ [eqn: sqrt {5} (e ^{{pi } over {2}} -1)]       ④ [eqn: sqrt {5} (e ^{{pi } over {2}} +1)]
⑤ [eqn: sqrt {5} (e ^{{pi } over {2}} +2)]

05 [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi} over {6}]에서 곡선 [eqn: y][eqn: =ln` LEFT ( cos`x RIGHT )]의 길이는?
① [eqn: {1} over {2} `ln`2]        ② [eqn: {1} over {2} `ln`3]        ③ [eqn: ln`3]
④ [eqn: {1} over {2} `ln`5]         ⑤ [eqn: `ln`5]

기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		2. 평면곡선의 접선			반 / 번호
	01 음함수의 미분					이름

01  ①

답

주어진 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: 6x+2y+2x {dx} over {dy} +2y][eqn: =0]
[eqn: LEFT ( 2x+2y RIGHT ) {dx} over {dy}][eqn: =-6x-2y]
[eqn: therefore {dy} over {dx}][eqn: =- {3x+y} over {x+y}]
따라서 점 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT )]에서의 점선의 기울기는
[eqn: - {3+1} over {1+1}][eqn: =-2]

해

설

02  ①

답

[eqn: sqrt {x} + sqrt {y}][eqn: =3]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: {1} over {2 sqrt {x}} + {1} over {2 sqrt {y}} {dx} over {dy}][eqn: =0]
[eqn: therefore {dy} over {dx}][eqn: =- {sqrt {y}} over {sqrt {x}} `] (단, [eqn: x!=0])
따라서 점 [eqn: LEFT ( 1,~4 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는
[eqn: - {sqrt {4}} over {sqrt {1}}][eqn: =-2]

해

설

03   ③

답

[eqn: {dx} over {dy}][eqn: = LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{3} +3y LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2}]이므로
[eqn: {dx} over {dy}][eqn: = {1} over {LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{3} +3y LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2}}]
따라서 [eqn: y][eqn: =- {3} over {2}]일 때, [eqn: {dy} over {dx}][eqn: = {1} over {{1} over {8} - {9} over {2} · {1} over {4}}][eqn: =-1]

해

설

기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		2. 평면곡선의 접선			반 / 번호
	02 매계변수로 나타낸 함수의 미분					이름

01  ⑤

답

[eqn: lim _{t-> 4} {{dy} over {dx}}][eqn: = lim _{t -> 4} {{t ^{2} -9} over {t ^{2} t-6}}][eqn: = lim _{t -> 4} {{LEFT ( t-3 RIGHT ) LEFT ( t+3 RIGHT )} over {LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t+3 RIGHT )}}]              [eqn: = lim _{t -> 4} {{t-3} over {t-2}}][eqn: = {1} over {2}]

해

설

02  ③

답

[eqn: {dx} over {dy}][eqn: =1- {1} over {t ^{2}}], [eqn: {dy} over {dx}][eqn: =1+ {1} over {t ^{2}}]이므로
[eqn: lim _{t -> INF } {{dy} over {dx}}][eqn: = lim _{t -> INF } {{{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = lim _{t -> INF } {{1+ {1} over {t ^{2}}} over {1- {1} over {t ^{2}}}}}][eqn: =1]

해

설

03    ①

답

[eqn: {dx} over {dy}][eqn: =2 LEFT ( 1-cos`t RIGHT )], [eqn: {dx} over {dy}][eqn: =2`sin`t]
[eqn: therefore][eqn: {dx} over {dy}][eqn: =cosec`t+cot`t], [eqn: {d ^{2} y} over {dx ^{2}}][eqn: =- {1} over {2 LEFT ( 1-cos`t RIGHT ) ^{2}}][eqn: =- {1} over {2 LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =- {2} over {y ^{2}}]    [eqn: THEREFORE][eqn: a][eqn: =-2]

해

설

04   ③

답

[eqn: {dx} over {dt}][eqn: = {d} over {dt} LEFT ( e ^{t} `sin`2t RIGHT )][eqn: =e ^{t} LEFT ( sin`2t+2`cos`2t RIGHT )],  [eqn: {dx} over {dt}][eqn: = {d} over {dt} LEFT ( e ^{t} `cos`2t RIGHT )][eqn: =e ^{t} LEFT ( cos`2t-2`sin`2t RIGHT )]
따라서 구하는 곡선의 길이를 [eqn: l]이라고 하면
[eqn: l][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2} dt}}][eqn: = int _{0} ^{{pi} over {2}} {sqrt {eqalign{e ^{2t} LEFT ( sin`2t+2`cos`2t RIGHT ) ^{2}# ````````````````````+e ^{2t} LEFT ( cos`2t-2`sin`2t RIGHT ) ^{2}}} dt}][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {sqrt {5`e ^{2t} LEFT ( sin ^{2} `2t+`cos ^{2} `2t RIGHT )} dt}][eqn: = int _{0} ^{{pi} over {2}} {sqrt {5} e ^{t} dt}][eqn: = LEFT [ sqrt {5} e ^{t} RIGHT ] _{0} ^{{pi} over {2}}][eqn: = sqrt {5} (e ^{{pi } over {2}} -1)]

해

설

05  ②

답

[eqn: y][eqn: = LEFT ( cos`x RIGHT )]에서 [eqn: {dy} over {dx}][eqn: =- {sin`x} over {cos`x}]이므로 구하는 곡선의 길이를 [eqn: l]이라고 하면
[eqn: l][eqn: = int _{0} ^{{pi} over {6}} {sqrt {1+ LEFT ( {dy} over {dx} RIGHT ) ^{2}} dx}][eqn: = int _{0} ^{{pi} over {6}} {sqrt {1+tan ^{2} x} dx}][eqn: int _{0} ^{{pi} over {6}} {sec`x`dx}][eqn: = int _{0} ^{{pi} over {6}} {{1} over {cos`x`} dx}][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {6}} {{cos`x} over {1-sin ^{2} x} dx}] 이때, [eqn: sin`x][eqn: =t]로 놓으면
[eqn: cos`x`dx][eqn: =dt]이고 [eqn: x][eqn: =0]일 때 [eqn: t][eqn: =0], [eqn: x][eqn: = {pi} over {6}]일 때 [eqn: t][eqn: = {1} over {2}]이므로 [eqn: l][eqn: = int _{0} ^{{1} over {2}} {{1} over {1-t ^{2}} dt}][eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{{1} over {2}} {LEFT ( {1} over {1-t} + {1} over {1+t} RIGHT ) dt}][eqn: = {1} over {2} LEFT [ -ln LEFT | 1-t RIGHT | +ln` LEFT | 1+t RIGHT | RIGHT ] _{0} ^{{1} over {2}}][eqn: = {1} over {2} `ln`3]

해

설