DAY 02. 순열과 조합

02

순열과 조합

	2011학년도 수능 나형 18

등식 [eqn: 2 TIMES _{n} rm C _{3} =3 TIMES _{itn} rm P _{2}]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold11]

	2016학년도 4월 교육청 나형 22

[eqn: {} _{n} rmP _{2} =56]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold8]

	2011학년도 9월 평가원 나형 19

등식 [eqn: {} _{n} rmP _{3} =12times{} _{itn} rmC _{2}]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold8]

	2010년 이전 평가원 나형

여학생 [eqn: 2]명과 남학생 [eqn: 4]명이 순서를 정하여 차례로 뜀틀 넘기를 할 때, 여학생 [eqn: 2]명이 연이어 뜀틀 넘기를 하게 되는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 120]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 240]

④ [eqn: 300]	⑤ [eqn: 360]

정답 ③

	2016학년도 4월 교육청 나형 10

할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 [eqn: 5]명의 가족이 있다. 이 가족이 그림과 같이 번호가 적힌 [eqn: 5]개의 의자에 모두 앉을 때, 아버지, 어머니가 모두 홀수 번호가 적힌 의자에 앉는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 28]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 36]

정답 ⑤

	2010년 이전 평가원 나형

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]을 한 번씩만 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수 중에서 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 모두 [eqn: 3]의 배수인 자연수의 개수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold48]

	2010년 이전 평가원 나형

그림과 같이 여섯 칸으로 나누어진 직사각형의 각 칸에 [eqn: 6]개의 수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 9]를 한 개씩 써 넣으려고 한다. 각 가로줄에 있는 세 수의 합이 서로 같은 경우의 수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold72]

	2011학년도 6월 평가원 나형 28

[eqn: 1]개의 본사와 [eqn: 5]개의 지사로 이루어진 어느 회사의 본사로부터 각 지사까지의 거리가 표와 같다.

지사	가	나	다	라	마
거리([eqn: RMkm])	50	50	100	150	200

본사에서 각 지사에 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC], [eqn: RMD], [eqn: RME]를 지사장으로 각각 발령할 때, [eqn: RMA]보다 [eqn: RMB]가 본사로부터 거리가 먼 지사의 지사장이 되도록 [eqn: 5]명을 발령하는 경우의 수는? [4점]

① [eqn: 50]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 58]

정답 ③

	2010년 이전 평가원 나형

다음 그림의 빈칸에 [eqn: 6]장의 사진 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC], [eqn: RMD], [eqn: RME], [eqn: RMF]를 하나씩 배치하여 사진첩의 한 면을 완성할 때, [eqn: RMA]와 [eqn: RMB]가 이웃하는 경우의 수는? (단, 옆으로 이웃하는 경우만 이웃하는 것으로 한다.) [4점]

① [eqn: 128]	② [eqn: 132]	③ [eqn: 136]

④ [eqn: 140]	⑤ [eqn: 144]

정답 ⑤

	2010년 이전 평가원 나형

할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 가족이 있다. 이 가족 [eqn: 6]명이 그림과 같은 [eqn: 6]개의 좌석에 모두 앉을 때, 할아버지, 할머니가 같은 열에 이웃하여 앉고, 아버지, 어머니도 같은 열에 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD64]

	2010년 이전 평가원 가형

[eqn: RMA]， [eqn: RMB]， [eqn: RMC]， [eqn: RMD]， [eqn: RME] [eqn: 5]명이 [eqn: 3]인용 소파에 [eqn: 3]명, [eqn: 2]인용 소파에 [eqn: 2]명으로 나누어 앉으려고 한다. 이때 [eqn: RMA]와 [eqn: RMB]가 같은 소파에 이웃하여 앉는 방법의 수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: BOLD36]

	2010년 이전 평가원 나형

어른 [eqn: 2]명과 어린이 [eqn: 3]명이 함께 놀이공원에 가서 어느 놀이기구를 타려고 한다. 이 놀이기구는 그림과 같이 앞줄에 [eqn: 2]개, 뒷 줄에 [eqn: 3]개의 의자가 있다. 어린이가 어른과 반드시 같은 줄에 앉을 때, [eqn: 5]명이 모두 놀이기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD72]

	2010년 이전 평가원 나형

남학생 [eqn: 2]명과 여학생 [eqn: 2]명이 함께 놀이공원에 가서 어느 놀이기구를 타려고 한다. 이 놀이기구는 그림과 같이 한 줄에 [eqn: 2]개의 의자가 있고 모두 [eqn: 5]줄로 되어 있다. 남학생 [eqn: 1]명과 여학생 [eqn: 1]명이 짝을 지어 [eqn: 2]명씩 같은 줄에 앉을 때, [eqn: 4]명이 모두 놀이기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD160]

	2010년 이전 평가원 가형, 나형

어느 회사에서 사원 연수를 위하여 네 지역 서울, 부산, 광주, 대구에서 각각 [eqn: 3]명씩 모두 [eqn: 12]명의 사원을 선발하였다. 같은 지역에서 선발된 사원끼리는 같은 조에 속하지 않도록 각 지역에서 한 명씩 선택하여 [eqn: 4]명으로 구성된 [eqn: 3]개의 조로 나누는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 216]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 288]

정답 ③

	2010년 이전 평가원 가형

세 종류의 상품이 [eqn: 3]개씩 있다. 이 상품을 그림과 같은 진열장에 한 칸에 하나씩 모두 진열하고자 한다. 가로줄에는 서로 다른 세 종류의 상품을 진열하고 세로줄에는 같은 종류의 상품이 이웃하지 않게 진열하는 방법의 수는? [4점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 48]

정답 ①

	2011학년도 9월 평가원 나형 7

그림과 같이 경계가 구분된 [eqn: 6]개 지역의 인구조사를 조사원 [eqn: 5]명이 담당하려고 한다. [eqn: 5]명 중에서 [eqn: 1]명은 서로 이웃한 [eqn: 2]개 지역을, 나머지 [eqn: 4]명은 남은 [eqn: 4]개 지역을 각각 [eqn: 1]개씩 담당한다.

이 조사원 [eqn: 5]명의 담당 지역을 정하는 경우의 수는? (단, 경계가 일부라도 닿은 두 지역은 서로 이웃한 지역으로 본다.) [3점]

① [eqn: 720]	② [eqn: 840]	③ [eqn: 960]

④ [eqn: 1080]	⑤ [eqn: 1200]

정답 ⑤

	2011학년도 9월 평가원 나형 27

지수는 다음 규칙에 따라 월요일부터 금요일까지 [eqn: 5]일 동안 하루에 한 가지씩 운동을 하는 계획을 세우려고 한다.

㈎ [eqn: 5]일 중 [eqn: 3]일을 선택하여 요가를 한다.

㈏ 요가를 하지 않는 [eqn: 2]일 중 하루를 선택하여 수영, 줄넘기 중 한 가지를 하고, 남은 하루는 농구, 축구 중 한 가지를 한다.

지수가 세울 수 있는 계획의 가짓수는? [3점]

① [eqn: 50]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 70]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 90]

정답 ④

	2010년 이전 평가원 가형

[eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수에서 서로 다른 [eqn: 3]개를 선택하는 방법 중, [eqn: 17]을 포함하도록 선택하는 방법의 수를 [eqn: A]라 하고, [eqn: 17]을 포함하지 않도록 선택하는 방법의 수를 [eqn: b]라고 할 때 [eqn: { b} over {a }]의 값은? [3점]

① [eqn: {94} over {3}]	② [eqn: {95} over {3}]	③ [eqn: {97} over {3}]

④ [eqn: {98} over {3}]	⑤ [eqn: {100} over {3}]

정답 ③

	2010년 이전 수능 나형

[eqn: 1]부터 [eqn: 30]까지의 홀수 중에서 서로 다른 두 수를 선택할 때, 두 수의 합이 [eqn: 3]의 배수가 되는 경우의 수는? [4점]

① [eqn: 43]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 39]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 35]

정답 ⑤

	2010년 이전 평가원 가형, 나형

[eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수 중에서 서로 다른 [eqn: 4]개의 수를 선택할 때, [eqn: 4]개의 수 중에서 두 번째로 작은 수가 [eqn: k]인 경우의 수를 [eqn: a_k]라 하자. 예를 들어 [eqn: a_98]은 선택된 [eqn: 4]개의 수 중에서 [eqn: 98]보다 작은 수가 한 개이고 [eqn: 98]보다 큰 수가 [eqn: 2]개인 경우의 수이므로 [eqn: a_98 =97]이다. 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: a_3 = {}_2 rmC_1 times {}_97 rmC_2]

ㄴ. [eqn: a_10 = a_90]

ㄷ. [eqn: sum _{ k=2} ^{ 98} a_k = {}_100 rmC_4]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

	2010년 이전 수능 가형, 나형

여덟 개의 [eqn: a]와 네 개의 [eqn: b]를 모두 사용하여 만든 [eqn: 12]자리 문자열 중에서 다음 조건을 모두 만족시키는 문자열의 개수는? [4점]

㈎ [eqn: b]는 연속해서 나올 수 없다.

㈏ 첫째 자리 문자가 [eqn: b]이면 마지막 자리 문자는 [eqn: a]이다.

① [eqn: 70]	② [eqn: 105]	③ [eqn: 140]

④ [eqn: 175]	⑤ [eqn: 210]

정답 ②

	2010년 이전 수능 인문

아래 그림과 같이 반원 위에 [eqn: 7]개의 점이 있다. 이 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는? [1점]

① [eqn: 34]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 30]

정답 ④

	2010년 이전 평가원 나형

어느 김밥 가게에서는 기본 재료만 포함된 김밥의 가격을 [eqn: 1000]원으로 하고, 기본 재료 외에 선택 재료가 추가될 경우 다음 표에 따라 가격을 정한다. 예를 들어 맛살과 참치가 추가된 김밥의 가격은 [eqn: 1500]원이다.

선택 재료	가격
햄	[eqn: 200]
맛살	[eqn: 200]
김치	[eqn: 200]
불고기	[eqn: 300]
치즈	[eqn: 300]
참치	[eqn: 300]

선택 재료를 추가하였을 때, 가격이 [eqn: 1500]원 또는 [eqn: 2000]원이 되는 김밥의 종류는 모두 몇 가지인가? (단, 선택 재료의 양은 가격에 영향을 주지 않는다.) [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

정답 ④

	2010년 이전 수능 나형

[eqn: 1]부와 [eqn: 2]부로 나누어 진행하는 어느 음악회에서 독창 [eqn: 2]팀, 중창 [eqn: 2]팀, 합창 [eqn: 3]팀이 모두 공연할 때, 다음 두 조건에 따라 [eqn: 7]팀의 공연 순서를 정하려고 한다.

㈎ [eqn: 1]부에는 독창, 중창, 합창 순으로 [eqn: 3]팀이 공연한다.

㈏ [eqn: 2]부에는 독창, 중창, 합창, 합창 순으로 [eqn: 4]팀이 공연한다.

이 음악회의 공연 순서를 정하는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

정답 ④

	2010년 이전 평가원 나형

[eqn: 3]개의 증권 회사, [eqn: 3]개의 통신 회사, [eqn: 4]개의 건설 회사가 있다. 증권, 통신, 건설 각 업종별로 적어도 하나의 회사를 선택하여 총 [eqn: 4]개의 회사에 입사원서를 내는 경우의 수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold126]

	2011학년도 6월 평가원 나형 23

[eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 사람이 서로 다른 [eqn: 4]개의 동아리 중에서 [eqn: 2]개씩 가입하려고 한다. [eqn: RMA]와 [eqn: RMB]가 공통으로 가입하는 동아리가 [eqn: 1]개 이하가 되도록 하는 경우의 수를 구하시오. (단, 가입 순서는 고려하지 않는다.) [4점]

정답 [eqn: BOLD30]

	2010년 이전 수능 나형

서로 다른 [eqn: 5]종류의 체험 프로그램을 운영하는 어느 수련원이 있다. 이 수련원의 프로그램에 참가한 [eqn: RMA]와 [eqn: RMB]가 각각 [eqn: 5]종류의 체험 프로그램 중에서 [eqn: 2]종류를 선택하려고 한다. [eqn: RMA]와 [eqn: RMB]가 선택하는 [eqn: 2]종류의 체험 프로그램 중에서 한 종류만 같은 경우의 수를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD60]

	2010년 이전 수능 가형

네 사람이 다섯 곳의 휴양지 중에서 각각 하나의 휴양지를 임의로 선택한다고 할 때, 세 사람만 같은 휴양지를 선택하는 경우의 수를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD80]

	2010년 이전 평가원 가형

색깔이 서로 다른 [eqn: 9]개의 열쇠가 하나씩 포장되어 있다. 이 중 [eqn: 4]개는 자물쇠 [eqn: RMA]만을, [eqn: 3]개는 자물쇠 [eqn: RMB]만을, [eqn: 2]개는 자물쇠 [eqn: RMC]만을 열 수 있다. [eqn: 9]개의 열쇠 중에서 [eqn: 3]개를 임의로 선택할 때, 자물쇠 [eqn: RMA]와 자물쇠 [eqn: RMB]는 모두 열리고 자물쇠 [eqn: RMC]는 열리지 않도록 선택하는 경우의 수는? [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 35]

정답 ④

	2010년 이전 평가원 나형

자연수 [eqn: n]에 대하여 원소가 [eqn: 2n]개인 집합 [eqn: S]에서 [eqn: 2]개의 원소를 뽑는 경우의 수 [eqn: {}_2n rmC_2]를 다음과 같은 방법으로 구하였다.

[eqn: S]를 원소가 [eqn: n]개이고 서로소인 두 집합 [eqn: A]와 [eqn: B]로 나누고, 다음과 같은 경우를 생각한다.

(i) [eqn: A]와 [eqn: B] 중 한 집합에서만 두 개의 원소를 뽑는 경우

(ii) [eqn: A]와 [eqn: B] 각 집합에서 원소를 한 개씩 뽑는 경우

(i)의 경우의 수는 [eqn: BOX{~~㈎~~}]이고 (ii)의 경우의 수는 [eqn: box{~~㈏~~}]이다.

(i)과 (ii) 둘 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에 의하여 [eqn: {} _{2n} rmC _{2} =box{~~㈎~~}+box{~~㈏~~}]이다.

위에서 ㈎와 ㈏에 알맞은 것은? [3점]

㈎	㈏

① [eqn: {} _{n} rmC _{2} times _{itn} rmC _{2}]	[eqn: {} _{n} rmC _{1} times _{itn} rmC _{1}]

② [eqn: 2 _{n} rmC _{2}]	[eqn: {} _{n} rmC _{1} times _{itn} rmC _{1}]

③ [eqn: 3 _{n} rmC _{2}]	[eqn: {} _{n} rm C _{1} times _{it n rm} rm C _{1} - _{it n rm} rm C _{2}]

④ [eqn: 2 _{n} rmC _{2}]	[eqn: {} _{n} rm C _{1} TIMES _{itn-1} rm C _{1}]

⑤ [eqn: {} _{n} rmC _{2} - _{itn} rmC _{1}]	[eqn: 2 _{n} rmC _{1}]

정답 ②

	2010년 이전 평가원 가형

자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

[eqn: {} _{n} rmC _{itn} + _{itn+1} rmC _{itn} + _{itn+2} rmC _{itn} = _{itn+3} rmC _{itn+1}]

이 성립함을 다음과 같이 증명하였다.

[eqn: {} _{n+3} rmC _{itn+1}]은 집합 [eqn: A=left{1,~2,~cdots,~n+2right}]의 부분집합 중에서 원소의 개수가 [eqn: n+1]인 부분집합의 개수이다. 이것을 다른 방법으로 세어보자.

(i) 집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 [eqn: box{~~㈎~~}]이고 원소의 개수가 [eqn: n+1]인 부분집합의 개수는 [eqn: {} _{n} rmC _{itn}]이다.

(ii) 집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 [eqn: box{~~㈏~~}]이고 원소의 개수가 [eqn: n+1]인 부분집합의 개수는 [eqn: {} _{n+1} rmC _{itn}]이다.

(iii) 집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 [eqn: box{~~㈐~~}]이고 원소의 개수가 [eqn: n+1]인 부분집합의 개수는 [eqn: {} _{n+2} RMC _{itn}]이다.

(i), (ii), (iii) 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에 의하여 [eqn: {} _{n} rm C _{it n rm} + _{it n+1 rm} rm C _{it n rm} + _{itn+2} C _{it n rm} = _{it n+3 rm} C _{it n+1 rm}]이 성립한다.

위의 |증명|에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? [4점]

㈎	㈏	㈐

① [eqn: n-1]	[eqn: n]	[eqn: n+1]

② [eqn: n]	[eqn: n+1]	[eqn: n+2]

③ [eqn: n+1]	[eqn: n+2]	[eqn: n+3]

④ [eqn: n+2]	[eqn: n+1]	[eqn: n]

⑤ [eqn: n+3]	[eqn: n+2]	[eqn: n+1]

정답 ③

	2010년 이전 수능 가형, 나형

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

[eqn: sum _{k=0} ^{n} = {{} _{n} rmC _{itk}} over {{} _{itn+4} rmC _{itk}} = {n+5} over {5}]

가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

⑴ [eqn: n=1]일 때

[eqn: (좌변)= {{} _{1} rmC _{0}} over {{} _{5} rmC _{0}} + {{} _{1} rmC _{1}} over {{} _{5} rmC _{1}} = {6} over {5}], [eqn: (우변)= {1+5} over {5} = {6} over {5}]

이므로 주어진 등식은 성립한다.

⑵ [eqn: n=m]일 때 등식

[eqn: sum _{k=0} ^{m} {{} _{m} rmC _{itk}} over {{} _{itm+4} rmC _{itk}} =it {m+5} over {5}]

가 성립한다고 가정하자. [eqn: n=m+1]일 때

[eqn: sum _{k=0} ^{m+1} {{} _{m+1} rmC _{itk}} over {{} _{itm+5} rmC _{itk}} =box{~~㈎~~}+ sum _{k=0} ^{m} {{} _{itm+1} rmC _{itk+1}} over {{} _{itm+5} rmC _{itk+1}}]

이다. 자연수 [eqn: l]에 대하여

[eqn: {} _{l+1} rm C _{it k+1 rm} = BOX{~~㈏~~} cdot _{itl} rmC _{itk}] ([eqn: 0 le k le l])

이므로

[eqn: sum _{k=0} ^{m} {{} _{itm-1} rmC _{itk+1}} over {{} _{itm+5} rmC _{itk+1}} =box{~~㈐~~}cdot sum _{k=0} ^{m} {{} _{itm} rmC _{itk}} over {{} _{itm+4} rmC _{itk}}]

이다. 따라서

[eqn: sum _{k=0} ^{m+1} {{} _{itm+1} rmC _{itk}} over {{} _{itm+5} rmC _{itk}} =box{~~㈎~~}+box{~~㈐~~}cdot sum _{k=0} ^{m} {{} _{itm} rmC _{itk}} over {{} _{itm+4} rmC _{itk}} = {itm+6} over {5}]

이다.

그러므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은? [3점]

㈎	㈏	㈐

① [eqn: 1]	[eqn: {l+2} over {k+2}]	[eqn: {m+1} over {m+4}]

② [eqn: 1]	[eqn: {l+1} over {k+1}]	[eqn: {m+1} over {m+5}]

③ [eqn: 1]	[eqn: {l+1} over {k+1}]	[eqn: {m+1} over {m+4}]

④ [eqn: m+1]	[eqn: {l+1} over {k+1}]	[eqn: {m+1} over {m+5}]

⑤ [eqn: m+1]	[eqn: {l+2} over {k+2}]	[eqn: {m+1} over {m+4}]

정답 ②