DAY 14. 도함수의 활용 ⑶

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도함수의 활용⑶

	2014학년도 7월 교육청 B형 26

곡선 [eqn: C``:`x^2 + y^2 =100`(y ge 0)]과 곡선 [eqn: C]의 접선 [eqn: y=- root 3 x +20]이 있다. 곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: y]축에 평행한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA(10,~0)]을 출발하여 곡선 위를 매초 [eqn: 5]의 일정한 속력으로 점 [eqn: rmB(-10,~0)]까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 [eqn: rmPQ]의 길이의 순간변화율의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold10]

	2013학년도 4월 교육청 B형 21

그림과 같이 두 정점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리가 [eqn: 3~rmm]이고, 점 [eqn: rmQ]를 지나고 선분 [eqn: rmPQ]에 수직인 직선을 [eqn: l]이라 하자.

점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rmQ]에서 출발하여 직선 [eqn: l]을 따라 초속 [eqn: 1~rmm]의 일정한 속력으로 움직일 때, 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmB]는 [eqn: rm bar AP + bar PB =20``(rmm)]을 만족시키며 점 [eqn: rmQ]쪽으로 움직이고 있다. [eqn: rm bar AQ = 4 ``(rmm)]가 되는 순간, 선분 [eqn: rmBQ]의 길이[eqn: (rmm)]의 시간(초)에 대한 변화율은? [4점]

① [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]	② [eqn: - {sqrt {6}} over {4}]	③ [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: - {sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: - {sqrt {6}} over {6}]

정답 ①

	2012학년도 4월 교육청 가형 30

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA(1,~0)]에서 출발하여 호 [eqn: rmAB] 위를 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 움직일 때, [eqn: x]축의 위의 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: rm bar PQ = root 5]를 만족시키면서 [eqn: x]축 위를 움직인다.

[eqn: rm angle POA = pi over 4]가 되는 순간, 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 시간(초)에 대한 변화율을 [eqn: r]라 할 때, [eqn: 9r^2]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold8]

	2010년 이전 평가원 가형

길이가 [eqn: 10]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]가 점 [eqn: RMB]에서 동시에 출발하여 다음 조건을 만족시키면서 반원 위를 움직인다.

㈎ [eqn: rm ANGLE QAB =2 ANGLE PAB]

㈏ 선분 [eqn: RMBP]의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은 [eqn: { 1} over {2 }]이다.

점 [eqn: RMP]가 점 [eqn: RMB]에서 출발하여 [eqn: 5]초가 되는 순간 선분 [eqn: RMAQ]의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은 [eqn: p]이다. [eqn: 100p^2]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0 le rm ANGLE PAB< {pi } over {4}]이다.[eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [4점]

정답 [eqn: bold25]

	2011학년도 3월 교육청 가형 20

그림과 같이 좌표평면 위의 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 사분원 [eqn: rmOAB]에 대하여 각 [eqn: rmAOB]를 이등분하는 직선이 사분원과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 두 점 [eqn: rmP{], [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmC]에서 동시에 출발하여 사분원의 둘레를 따라 각각 시계 방향, 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: pi over 36]의 일정한 속력으로 움직인다.

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 점 [eqn: rmC]에서 출발하여 [eqn: t]초[eqn: (0<t<9)]가 되는 순간, 선분 [eqn: rmPQ]를 한 변으로 하고 사분원 [eqn: rmOAB]에 내접하는 직사각형의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하자. 출발한 지 [eqn: 6]초가 되는 순간, 넓이 [eqn: S(t)]의 시간(초)에 대한 변화율은? [4점]

① [eqn: {1- sqrt {3}} over {36} pi]	② [eqn: {1- sqrt {3}} over {72} pi]	③ [eqn: {sqrt {3} -1} over {72} pi]

④ [eqn: {sqrt {3} -1} over {36} pi]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {36} pi]

정답 ①

	2015학년도 4월 교육청 B형 30

그림과 같이 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 10]인 원이 있다. 직선 [eqn: y=root 3 x]와 원이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 점 [eqn: rmP]는 원점 [eqn: RMO]를 출발하여 [eqn: x]축을 따라 양의 방향으로 매초 [eqn: 2]의 속력으로 움직인다. 점 [eqn: RMP]가 원점 [eqn: RMO]를 출발하여 [eqn: t]초가 되는 순간, 점 [eqn: RMP]를 지나고 직선 [eqn: y=root 3 x]에 평행한 직선이 제[eqn: 1]사분면에서 원과 만나는 점을 [eqn: RMQ]라 하자. 세 선분 [eqn: RMAO], [eqn: RMOP], [eqn: RMPQ]와 호 [eqn: RMQA]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, 점 [eqn: RMQ]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 5]가 되는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간(초)에 대한 변화율을 구하시오. (단, [eqn: 0<t<5]) [4점]

정답 [eqn: BOLD10]

	2013학년도 3월 교육청 B형 14

두 곡선 [eqn: y=4^x], [eqn: y=2^x]과 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmP(0,~ita)] [eqn: (a>1)]가 있다. 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 두 곡선 [eqn: y=4^x], [eqn: y=2^x]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 또, 점 [eqn: rmB]를 지나고 [eqn: y]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=4^x]과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하고, 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2^x]과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자.

점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: (0,~2)]를 출발하여 [eqn: y]축의 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속도로 움직인다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: (0,~4)]를 지나는 순간, 삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은? [4점]

① [eqn: 5+ {3} over {2`ln`2}]	② [eqn: 5+ {5} over {2`ln`2}]	③ [eqn: 7+ {1} over {2`ln`2}]

④ [eqn: 7+ {3} over {2`ln`2}]	⑤ [eqn: 7+ {5} over {2`ln`2}]

정답 ④

	2012학년도 7월 교육청 가형 19

좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rmO]와 네 점 [eqn: rmA(1,~1)], [eqn: rmB(1,~0)], [eqn: rmC(2,~0)], [eqn: rmD(2,~1)]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: x]축을 따라 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 움직인다. [eqn: t]초 후 원의 내부와 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하자. 원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: left( 1over 2 ,~0 right)]을 지나는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간(초)에 대한 변화율은? (단, [eqn: 0 le t le 1]) [4점]

① [eqn: root 3 over 3]	② [eqn: { 1} over {2 }]	③ [eqn: root 2 over 2]

④ [eqn: root 3 over 2]	⑤ [eqn: root3]

정답 ④

	2010년 이전 수능 가형

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 + y^2 =1] 위의 점 [eqn: RMP]는 점 [eqn: RMA(1,~0)]에서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: { pi} over {2 }]의 일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 [eqn: RMQ]는 점 [eqn: RMA]에서 출발하여 점 [eqn: RMB(-1,~0)]을 향하여 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 [eqn: x]축 위를 움직이고 있다. 점 [eqn: RMP]와 점 [eqn: RMQ]가 동시에 점 [eqn: RMA]에서 출발하여 [eqn: t]초가 되는 순간, 선분 [eqn: RMPQ], 선분 [eqn: RMQA], 호 [eqn: RMAP]로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하자. 출발한 지 [eqn: 1]초가 되는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간(초)에 대한 변화율은? [4점]

① [eqn: {pi} over {4} -1]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: {pi} over {4} + {1} over {3}]

④ [eqn: {pi} over {4} + {1} over {2}]	⑤ [eqn: {pi} over {4} +1]

정답 ④

	2010년 이전 교육청 가형

좌표평면에서 [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t``(0<t<pi)]에서의 좌표는 [eqn: left( {t ^{2}} over {pi} ,~0right)]이다. 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=sin``x]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 점 [eqn: rmP]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rmPQ]를 반지름으로 하는 원의 넓이를 [eqn: S]라 하자.

[eqn: t= {pi} over {2}]인 순간, 넓이 [eqn: S]의 [eqn: t]에 대한 변화율은? [4점]

① [eqn: -pi]	② [eqn: - {pi} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {pi} over {2}]	⑤ [eqn: pi]

정답 ⑤