DAY 12. 도함수의 활용 ⑴

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도함수의 활용⑴

	EBS 연계 2015학년도 수능 B형 14

[eqn: a>3]인 상수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=a^x-1]과 [eqn: y=3^x]이 점 [eqn: rmP]에서 만난다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하자.

점 [eqn: rmP]에서 곡선 [eqn: y=3^x]에 접하는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmP]에서 곡선 [eqn: y=a^x-1]에 접하는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmH(itk,~0)]에 대하여 [eqn: rm bar{AH} =2 bar {BH}]일 때, [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ④

	EBS 연계 2016학년도 수능 B형 7

곡선 [eqn: y=3e ^{x-1}] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 원점 [eqn: rmO]를 지날 때, 선분 [eqn: rmOA]의 길이는? [3점]

① [eqn: sqrt {6}]	② [eqn: sqrt {7}]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: sqrt {10}]

정답 ⑤

	2016학년도 9월 평가원 B형 10

곡선 [eqn: y=ln``5x] 위의 점 [eqn: left( {1} over {5} ,~0right)]에서의 접선의 [eqn: y]절편은? [3점]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {3} over {2}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

정답 ④

	2016학년도 6월 평가원 B형 14

닫힌 구간 [eqn: [0,~4]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=2 sqrt {2} `sin`` {pi} over {4} x]의 그래프가 그림과 같고, 직선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA(1,~2)]를 지난다.

일차함수 [eqn: g(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,~4]]에서 [eqn: f(x) le g(x)]를 만족시킬 때, [eqn: g(3)]의 값은? [4점]

① [eqn: pi]	② [eqn: pi+1]	③ [eqn: pi +2]

④ [eqn: pi+3]	⑤ [eqn: pi+4]

정답 ③

	2015학년도 3월 교육청 B형 14

그림과 같이 함수 [eqn: f(x)= log_2 ` left( x + 1over 2 right)]의 그래프와 함수

[eqn: g(x)= a^x ``(a>1)]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점 중 점 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: RMB], 점 [eqn: RMB]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=g(x)]와 만나는 점을 [eqn: RMC]라 하자.

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: rmC]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: RMBAR AD = BAR BD]일 때, [eqn: g(2)]의 값은? [4점]

① [eqn: e ^{{2} over {3}}]	② [eqn: e ^{{5} over {3}}]	③ [eqn: e ^{{8} over {3}}]

④ [eqn: e ^{{11} over {3}}]	⑤ [eqn: e ^{{14} over {3}}]

정답 ③

	2010학년도 7월 교육청 가형 미분과 적분 28

함수 [eqn: f(x)=ln` {x} over {k}] ([eqn: k]는 자연수)의 역함수를 [eqn: y=g(x)]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점과 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 사이의 최단 거리를 [eqn: l _{k}]라 하자. [eqn: l _{k} {ge}3 sqrt {2}]를 만족시키는 [eqn: k]의 최솟값은? (단, [eqn: e=2.7]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 7]

정답 ④

	EBS 연계 2017학년도 수능 가형 15

곡선 [eqn: y=2e ^{-x}] 위의 점 [eqn: rmP(itt,~2e ^{-t} )] [eqn: (t>0)]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA]라 하고, 점 [eqn: RMP]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: RMB]라 하자. 삼각형 [eqn: RMAPB]의 넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: t]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {e} over {2}]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: e]

정답 ④

	2015학년도 10월 교육청 B형 29

좌표평면에 함수 [eqn: f(x)= sqrt {3} `ln``x]의 그래프와

직선 [eqn: l``:``y=- {sqrt {3}} over {2} x+ {sqrt {3}} over {2}]이 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A( alpha ,~itf( alpha ))], [eqn: rmB(beta,~itf(beta))] 에서의 접선을 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 하자. 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, [eqn: 6(alpha+beta)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold32]

	2012학년도 6월 평가원 가형 8

함수

[eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} -a`ln`x] [eqn: (a>0)]

의 극솟값이 [eqn: 0]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {2} over {e}]	③ [eqn: sqrt {e}]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

정답 ④

	2017학년도 6월 평가원 가형 13

함수 [eqn: f(x)=(x ^{2} -8)e ^{-x+1}]은 극솟값 [eqn: a]와 극댓값 [eqn: b]를 갖는다. 두 수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은? [3점]

① [eqn: -34]	② [eqn: -32]	③ [eqn: -30]

④ [eqn: -28]	⑤ [eqn: -26]

정답 ②

	2016학년도 4월 교육청 가형 18

양의 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=ln`x] 위의 두 점 [eqn: rmP(itt,~ln`t)], [eqn: rmQ(it2t,~ln`2t)]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmR(itr(t),~0)], [eqn: rmS(its(t),~0)]이라 하자. 함수 [eqn: f(t)]를 [eqn: f(t)=r(t)-s(t)]라 할 때, 함수 [eqn: f(t)]의 극솟값은? [4점]

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {5}]	⑤ [eqn: - {1} over {6}]

정답 ③

	2017학년도 수능 가형 30

[eqn: x>a]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 사차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(단, [eqn: a]는 상수이다.)

㈎ [eqn: x>a]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: (x-a)f(x)=g(x)]이다.

㈏ 서로 다른 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=alpha]와[eqn: x=beta]에서 동일한 극댓값 [eqn: M`]을 갖는다. (단, [eqn: M`>0])

㈐ 함수 [eqn: f(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는 함수 [eqn: g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 개수보다 많다.

[eqn: beta-alpha = 6 root 3]일 때, [eqn: M`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold216]

	2011학년도 9월 평가원 가형 미분과 적분 27

곡선 [eqn: y=left(ln` {1} over {ax} right) ^{2}]의 변곡점이 직선 [eqn: y=2x] 위에 있을 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: e]	② [eqn: {5} over {4} e]	③ [eqn: {3} over {2} e]

④ [eqn: {7} over {4} e]	⑤ [eqn: 2e]

정답 ⑤

	2017학년도 사관학교 가형 26

곡선 [eqn: y= sin ^2 `x] [eqn: (0 le x le pi )]의 두 변곡점을 각각 [eqn: RMA], [eqn: RMB]라 할 때, 점 [eqn: RMA]에서의 접선과 점 [eqn: RMB]에서의 접선이 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: p+ q pi]이다. [eqn: 40(p+q)]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold30]