DAY 18. 정적분과 급수

18

정적분과 급수

	2016학년도 사관학교 A형 24

함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} +4x]에 대하여 [eqn: lim _{n->inf} {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f{left(1+ {2k} over {n} right)}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold21]

	2017학년도 9월 평가원 나형 28

함수 [eqn: f(x)=4x ^{2} +6x+32]에 대하여

[eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2}} f} left( k over n right)]

의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold19]

	2014학년도 수능 A형 29

함수 [eqn: f(x)=3x^2 -ax]가

[eqn: lim _{n -> INF } {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f} left( 3k over n right) =f(1)]

을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold12]

	2014학년도 7월 교육청 A형 16

이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +1]에 대하여

[eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} f} LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) {k ^{2} +2nk} over {n ^{3}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {26} over {5}]	② [eqn: {31} over {5}]	③ [eqn: {36} over {5}]

④ [eqn: {41} over {5}]	⑤ [eqn: {46} over {5}]

정답 ①

	2011학년도 10월 교육청 나형 17

삼차함수 [eqn: f(x)=3x ^{3} +4x ^{2} -2x-1]에 대하여

[eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} f} left( -1 + 2k over n right)]

의 값은? [4점]

① [eqn: - {1} over {3}]	② [eqn: - {1} over {6}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

정답 ⑤

	2016학년도 7월 교육청 나형 28

[eqn: f(1)=1]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x)= x^2] 이 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이다.

㈏ [eqn: lim _{n -> INF } {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT { f` LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g` LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } =27}]

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold54]

	2016학년도 경찰대 15

함수 [eqn: f]는 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 다음을 만족시킨다.

[eqn: f(1)>0], [eqn: f(xy)=f(x)f(y)-x-y]

이때 [eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} left{ {6} over {sqrt {n}} f{left(2+ {4k} over {n} right)right} ^{2}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 510]	② [eqn: 624]	③ [eqn: 756]

④ [eqn: 832]	⑤ [eqn: 948]

정답 ⑤

	2010학년도 7월 교육청 가형 10

[eqn: F``'(x)=f(x)]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]와 임의의 두 실수 [eqn: a], [eqn: c]에 대하여 서로 다른 두 점

[eqn: rmA(ita,~F(a))], [eqn: rmB(ita+c,~F(a+c))]

를 지나는 직선의 기울기와 같은 값을 갖는 것은? [3점]

① [eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} f{left( {k} over {2n} right) {c} over {n}}]

② [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( a+ {ck} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}]

③ [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( a+c+ {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}]

④ [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n-1} f LEFT ( c+ {ak} over {n} RIGHT ) {1} over {2n}}]

⑤ [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n-1} f LEFT ( a+ {k} over {n} RIGHT ) {2} over {n}}]

정답 ②

	2015학년도 9월 평가원 A형 14

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같고,

[eqn: f(0)=f(3)=0]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f} left( k over n right) = 7over 6]일 때, [eqn: f`'(0)]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

정답 ②

	2013학년도 6월 평가원 가형 19

사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f} left ( m + k over n right) <0]

을 만족시키는 정수 [eqn: m]의 개수는? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

정답 ⑤

	2011학년도 9월 평가원 가형 11

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [0,~1]]을 [eqn: n]등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례대로

[eqn: 0=x_0], [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots], [eqn: x_n-1], [eqn: x_n =1]

이라 할 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은?

[3점]

ㄱ. [eqn: n=2m] ([eqn: m]은 자연수)이면 [eqn: sum _{k=0} ^{m-1} {f(x _{2k} )} over {m} le sum _{k=0} ^{n-1} {f(x _{k} )} over {n}]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} left{ {f(x _{k-1} )+f(x _{k} )} over {2} right}= int _{0} ^{1} {`f(x)dx}}]

ㄷ. [eqn: sum _{k=0} ^{n-1} {f(x _{k} )} over {n} le int _{0} ^{1} {f(x)dx} le sum _{k=1} ^{n} {f(x _{k} )} over {n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ②

	2015학년도 경찰대 12

[eqn: f(x)= sqrt {x}]에 대하여 [eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} {k} over {n} left{f{left( {k} over {n} right)-f{left( {k-1} over {n} right)} right}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

정답 ③

	2013학년도 10월 교육청 B형 20

연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f(2)=1]

㈏ [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx= {1} over {4}}]

[eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT { f left ( 2k over n right) - f left ( 2k-2 over n right) right} k over n]의 값은? [4점]

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: {5} over {6}]

④ [eqn: {6} over {7}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

정답 ⑤

	2010년 이전 교육청 가형

[eqn: 0 le x le 1]에서 정의된 다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

Ⅰ. [eqn: 1<f(x)<2]

Ⅱ. [eqn: x_1 < x_2]이면  [eqn: f(x_1 ) < f(x_2 )]

옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: 0<x<1]인 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x) ge0]이다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)-2x=0]의 해가 열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 적어도 한 개 존재한다.

ㄷ. [eqn: sum _{k=0} ^{n-1} f{left( {k} over {n} right) {1} over {n} < int _{0} ^{1} {`f(x)dx< sum _{k=1} ^{n} f{left( {k} over {n} right) {1} over {n}}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2014학년도 4월 교육청 B형 28

그림과 같이 곡선 [eqn: y=-x ^{2} +1] 위에 세 점 [eqn: RMA(-1,~0)], [eqn: RMB(1,~0)], [eqn: RMC(0,~1)]이 있다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 선분 [eqn: rmOC]를 [eqn: n]등분할 때, 양 끝점을 포함한 각 분점을 차례로

[eqn: rmO=D _{0} ,~D _{1} ,~D _{2} ,~CDOTS,~D _{ITn-1} ,~D _{itn} =C]라 하자. 직선 [eqn: rmAD _{itk}]가 곡선과 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmP _{itk}]라 하고, 점 [eqn: rmP _{itk}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ _{itk}]라 하자. ([eqn: k=1,~2,~cdots,~n]) 삼각형 [eqn: rmAP _{itk} Q _{itk}]의 넓이를 [eqn: S _{k}]라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k} =alpha}]이다. [eqn: 24alpha]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold11]

	2013학년도 4월 교육청 B형 29

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: RMABCD]가 있다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 변 [eqn: RMBC]를 [eqn: n]등분한 각 분점을 점 [eqn: RMB]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: RMP _{1}], [eqn: RMP _{2}], [eqn: RMP _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: RMP _{itn-1}]이라 하고, 변 [eqn: rmCD]를 [eqn: n]등분한 각 분점을 점 [eqn: rmC]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: rmQ _{1}], [eqn: RMQ _{2}], [eqn: RMQ _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: RMQ _{itn-1}]이라 하자. [eqn: 1{le}k{le}n-1]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 사각형 [eqn: rmAP _{itk} Q _{itk} D]의 넓이를 [eqn: S _{k}]라 하자.

[eqn: lim _{n->inf} {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k} =alpha}]일 때 [eqn: 150alpha]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold100]

	2010년 이전 교육청 가형

[eqn: RMBAR AD =1], [eqn: RM BAR AB = sqrt { 2}], [eqn: RM BAR BC =3]인 등변사다리꼴 [eqn: RMABCD]에서 변 [eqn: RMAB]를 [eqn: n]등분한 점을 각각 [eqn: RMP_1], [eqn: RMP_2], [eqn: RMP_3], [eqn: CDOTS], [eqn: RMP_{ITn-1}]이라 하고 각 점에서 변 [eqn: RMBC]에 평행한 직선을 그어 변 [eqn: RMCD]와 만나는 점을 각각 [eqn: RMQ_1], [eqn: RMQ_2], [eqn: RMQ_3], [eqn: CDOTS], [eqn: RMQ_{itn-1}]이라 할 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {` {1} over {n} ( rm bar{P _{1} Q _{1}} it rm ^{3} + rm bar{P _{2} Q _{2}}} it ^{3} + rm bar{P _{3} Q _{3}} it rm ^{3} + CDOTS + {rm bar{P _{it n} Q _{it n} } }^3 )]

의 값을 구하시오.[ 4점]

정답 [eqn: bold10]

	2010년 이전 수능 가형

함수 [eqn: f(x)=x^2 +ax+b] ([eqn: a{ge}0], [eqn: b>0])가 있다. 그림과 같이 [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [0,~1]]을 [eqn: n]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: 0=x_0], [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots], [eqn: x_n-1], [eqn: x_n =1]이라 하자. 닫힌 구간 [eqn: [x_k-1 ,~x_k ]]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: f(x_k )]인 직사각형의 넓이를 [eqn: A_k]라 하자.

([eqn: k=1,~2,~cdots,~n])

양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이 [eqn: A _{1} +A _{n} = {7n ^{2} +1} over {n ^{3}}]일 때 [eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} {8k} over {n} A _{k}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold14]

	2010년 이전 평가원 가형

함수 [eqn: f(x)=x ^{2}]에 대하여 그림과 같이 구간 [eqn: [0,~1]]을 [eqn: 2n]등분한 후, 구간 [eqn: left[ {k-1} over {2n} ,~ {k} over {2n} right]]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: f{left( {k} over {2n} right)]인 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{k}]라 하자.

(단, [eqn: n]은 자연수이고 [eqn: k=1,~2,~3,~cdots,~2n]이다.)

옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} S _{k} = int _{0} ^{{1} over {2}} {x ^{2} dx}}]

ㄴ. [eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} (S _{2k} -S _{2k-1} )=0}]

ㄷ. [eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} S _{2k} = {1} over {2} int _{0} ^{1} {x ^{2} dx}}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤