DAY 14. 도함수의 활용 ⑶

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도함수의 활용⑶

	2013학년도 6월 평가원 나형 13

닫힌 구간 [eqn: left[1,~4right]]에서 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +a]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M+m=20]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

	2014학년도 7월 교육청 A형 7

닫힌 구간 [eqn: left[-2,~2right]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=-x ^{3} +3x ^{2} +a]의 최솟값이 [eqn: -4]일 때, 최댓값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

정답 ①

	2017학년도 6월 평가원 나형 28

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} -a ^{2} x+2]가 닫힌 구간 [eqn: [-a,~a]]에서 최댓값 [eqn: M`], 최솟값 [eqn: {14} over {27}]를 갖는다. [eqn: a+M`]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold12]

	2014학년도 7월 교육청 B형 7

곡선 [eqn: y=x ^{3} -5x ^{2} +4x+4] 위에 세 점 [eqn: rm A(-1,~-6)], [eqn: RMB(2,~0)], [eqn: RMC(4,~4)]가 있다. 곡선 위에서 두 점 [eqn: RMA], [eqn: RMB] 사이를 움직이는 점 [eqn: RMP]와 곡선 위에서 두 점 [eqn: RMB], [eqn: RMC] 사이를 움직이는 점 [eqn: RMQ]에 대하여 사각형 [eqn: RMAQCP]의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]의 [eqn: x]좌표의 곱은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

정답 ④

	2012학년도 6월 평가원 나형 21

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선의 교점의 좌표는 [eqn: (0,~1)]이고, 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점은 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위에 있다. 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은?

(단, 정사각형의 모든 변은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행하다.) [4점]

① [eqn: {4} over {27}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {5} over {27}]

④ [eqn: {11} over {54}]	⑤ [eqn: {2} over {9}]

정답 ①

	2011학년도 4월 교육청 가형 28

[그림 [eqn: 1]]과 같이 가로의 길이가 [eqn: 12~rmcm], 세로의 길이가 [eqn: 6~rmcm]인 직사각형 모양의 종이가 있다. 네 모퉁이에서 크기가 같은 정사각형 모양의 종이를 잘라 낸 후 남은 부분을 접어서 [그림 [eqn: 2]]와 같이 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 이 상자의 부피의 최댓값을 [eqn: M~rmcm ^{3}]이라 할 때, [eqn: {sqrt {3}} over {3} M]의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.) [4점]

정답 [eqn: bold24]

	2010년 이전 평가원 가형

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 [eqn: RMO(0,~0)], [eqn: RMA(8,~0)], [eqn: RMB(8,~8)], [eqn: RMC(0,~8)]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: RMOABC]와 한 변의 길이가 [eqn: 8]이고 네 변이 좌표축과 평행한 정사각형 [eqn: RMPQRS]가 있다. 점 [eqn: RMP]가 점 [eqn: (-1,~-6)]에서 출발하여 포물선 [eqn: y=-x ^{2} +5x]를 따라 움직이도록 정사각형 [eqn: RMPQRS]를 평행이동시킨다. 평행이동시킨 정사각형과 정사각형 [eqn: RMOABC]가 겹치는 부분의 넓이의 최댓값을 [eqn: {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold527]

	2010년 이전 평가원 가형

좌표평면 위에 점 [eqn: rmA(0,~2)]가 있다. [eqn: 0<t<2]일 때, 원점 [eqn: RMO]와 직선 [eqn: y=2] 위의 점 [eqn: rmP(itt,~2)]를 잇는 선분 [eqn: RMOP]의 수직이등분선과 [eqn: y]축의 교점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: f(t)]의 최댓값은 [eqn: {b} over {a} sqrt {3}]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

정답 [eqn: bold11]

	2016학년도 6월 평가원 A형 17

두 함수

[eqn: f(x)=3x ^{3} -x ^{2} -3x], [eqn: g(x)=x ^{3} -4x ^{2} +9x+a]

에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]가 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 개수는? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ①

	2015학년도 7월 교육청 A형 12

삼차방정식 [eqn: x^3 +3x^2 -9x+4-k=0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 개수는? [3점]

① [eqn: 28]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 40]

정답 ②

	2012학년도 6월 평가원 나형 19

삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수의 그래프와 이차함수 [eqn: g(x)]의 도함수의 그래프가 그림과 같다. 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 하자. [eqn: f(0)=g(0)]일 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: 0<x<2]에서 [eqn: h(x)]는 감소한다.

ㄴ. [eqn: h(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 방정식 [eqn: h(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

	2016학년도 수능 A형 21

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: {f`'(0)} over {f(0)}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: Mm]의 값은? [4점]

㈎ 함수 [eqn: |`f(x)`|]는 [eqn: x=-1]에서만 미분가능하지 않다.

㈏ 방정식 [eqn: f(x)=0]은 닫힌 구간 [eqn: [3,~5]]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

① [eqn: {1} over {15}]	② [eqn: {1} over {10}]	③ [eqn: {2} over {15}]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

정답 ⑤

	2014학년도 7월 교육청 A형 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)<f(2)]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2+x)=f(2-x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: f(`|`x`|`)=1]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

정답 ④

	2013학년도 9월 평가원 나형 21

좌표평면에서 두 함수

[eqn: f(x)=6x ^{3} -x], [eqn: g(x)=|`x-a`|]

의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: - {11} over {18}]	② [eqn: - {5} over {9}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: - {4} over {9}]	⑤ [eqn: - {7} over {18}]

정답 ④

	2010년 이전 평가원 가형

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{4} -4x+a], [eqn: g(x)=-x ^{2} +2x-a]의 그래프가 오직 한 점에서 만날 때, [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ②

	2014학년도 10월 교육청 A형 27

자연수 [eqn: k]에 대하여 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -12x+22-4k=0]의 양의 실근의 개수를 [eqn: f(k)]라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{10} f(k)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold13]

	2013학년도 경찰대 19

다음을 만족시키는 한 자리 자연수 [eqn: a]의 개수는?

방정식 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -ax-3=0]이 서로 다른 세 실근을 가진다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

	2015학년도 6월 평가원 A형 14

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가

[eqn: x=-t^2 +4t]

이다. [eqn: y=a]에서 점 [eqn: rmP]의 속도가 [eqn: 0]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ②

	2013학년도 6월 평가원 나형 10

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]일 때의 위치는 각각 [eqn: f(t)=2t^2 -2t], [eqn: g(t)=t^2 - 8t]이다. 두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 [eqn: t]의 범위는? [3점]

① [eqn: {1} over {2} <t<4]	② [eqn: 1<t<5]	③ [eqn: 2<t<5]

④ [eqn: {3} over {2} <t<6]	⑤ [eqn: 2<t<8]

정답 ①

	2010년 이전 평가원

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]일 때의 위치는 각각 [eqn: P(t)= {1} over {3} t ^{3} +4t- {2} over {3}], [eqn: Q(t)=2t ^{2} -10]이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도가 같아지는 순간 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold12]

	2010년 이전 평가원 가형

그림과 같이 편평한 바닥에 [eqn: 60DEG]로 기울어진 경사면과 반지름의 길이가 [eqn: 0.5``rmm]인 공이 있다. 이 공의 중심은 경사면과 바닥이 만나는 점에서 바닥에 수직으로 높이가 [eqn: 21``rmm]인 위치에 있다.

이 공을 자유낙하시킬 때, [eqn: t]초 후 공의 중심의 높이 [eqn: h(t)]는

[eqn: h(t)=21-5t ^{2} ``(rmm)]

라 한다. 공이 경사면과 처음으로 충돌하는 순간, 공의 속도는? (단, 경사면의 두께와 공기의 저항은 무시한다.) [4점]

① [eqn: -20``rmm/초]	② [eqn: -17``rmm/초]	③ [eqn: -15``rmm/초]

④ [eqn: -12``rmm/초]	⑤ [eqn: -10``rmm/초]

정답 ①

	2010학년도 7월 교육청 가형 13

그림과 같이 케이블 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]은 모두 벽면과 수직이고, 케이블 사이의 거리가 각각 [eqn: 2], [eqn: 1]이다. [eqn: l] 위의 광원 [eqn: rmA]에서 [eqn: m] 위의 물체 [eqn: rmB]에 빛을 비추면 [eqn: n] 위에 그림자 [eqn: rmC]가 나타난다.

광원 [eqn: rmA]와 물체 [eqn: rmB]의 시각 [eqn: t ``(t le 8)]에서 벽으로부터의 거리를 각각 [eqn: x=4 - 1over 2 t], [eqn: y=t^2 - 11over 2 t +10]이라 할 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? (단, 광원, 물체, 그림자의 크기는 무시한다.) [4점]

ㄱ. [eqn: t= 5 over 2]에서 광원과 물체의 속도가 같아진다.

ㄴ. [eqn: rmA]와 [eqn: rmC] 사이의 거리가 [eqn: 3]인 순간은 두 번이다.

ㄷ. [eqn: 2<t<3]에서 그림자 [eqn: rmC]의 가속도는 [eqn: 1]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

	2014학년도 경찰대 23

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t ge0])에서의 위치 함수 [eqn: f(t)]가 [eqn: f(t)=t^3 + 3t^2 -2t]이다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: 0 le t le 10]에서의 평균속도와 [eqn: t=c]에서의 순간속도가 서로 같을 때, [eqn: 3c^2 + 6c]의 값을 구하시오. [2점]

정답 [eqn: bold130]

	2011학년도 7월 교육청 나형 24

한 변의 길이가 [eqn: 12 sqrt {3}]인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 [eqn: 3 sqrt {3}]씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가 [eqn: 24 sqrt {3}]이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 [eqn: a pi]이다. 이때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold36]

	2010년 이전 교육청 가형

가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: 9``rmcm], [eqn: 4``rmcm]인 직사각형이 있다. 이 직사각형의 가로와 세로의 길이가 각각 매초 [eqn: 0.2``rmcm], [eqn: 0.3``rmcm]씩 늘어난다고 할 때, 이 직사각형이 정사각형이 되는 순간의 넓이의 변화율은 몇 [eqn: rmcm ^{2} /초]인가? [3점]

① [eqn: 9.5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 10.5]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 11.5]

정답 ①